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2020年重庆八中高考数学强化试卷(理科)(一)

2020年重庆八中高考数学强化试卷（理科）（一）

一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.集合M={x|x<16}，N={x|x2<16}，则()

A. M?N

B. N?M

C. M??R N

D. N??R M

2.若复数z=a2?4+(a?2)i(a∈R)是纯虚数，则z?=()

A. 4

B. ?4

C. 4i

D. ?4i

3.设等差数列{a n}的前n项和为S n，a1+a5+a12=6，则S11=()

A. 11

B. 22

C. 33

D. 66

4.点M为圆O：x2+y2=4上的动点，点N(0,4)，点P是线段MN的中点，则点P的轨迹方程为()

A. (x?2)2+y2=1

B. (x+2)2+y2=1

C. x2+(y?2)2=1

D. x2+(y+2)2=1

5.下列命题为假命题的是()

A. ?x∈R，3x>1

B. ?x>1，2x+1

x?1

C. ?x0∈R，cosx0=0

D. ?x0∈R，lgx0>1

6.执行如图所示的程序框图，若输入N的值为28，则输出N的值为()

A. 3

B. 2

C. 1

D. 0

7.已知平面α内有三个不共线的点A，B，C到平面β的距离相等，则下列说法一定正确的是()

A. 平面α内所有的点到平面β的距离都相等

B. 过A有且仅有一条直线l满足l?α且l//β

C. AB//β

D. 平面α内有无数个点到平面β的距离等于点C到平面β的距离

8.设集合A={(a1,a2,a3,a4,a5,a6)|a i∈{?1，1}，i=1，2，3，4，5，6}，那么集合A中满足条件“?2≤

a1+a2+a3+a4+a5+a6≤2”的元素的个数为()

A. 35

B. 50

C. 60

D. 180

9.已知直线l1：x=?2，l2：y=x+3，点A为抛物线C：y2=4x上一动点，过A作l1，l2的垂线，垂

足分别为P，Q，则|PA|+|QA|的最小值为()

A. 4

B. 4√2

C. 1+2√2

D. 1+3√2

10.小赵和小钱摩托车比赛(比赛过程中，两人均匀速行驶)，刚开始小赵领先，但中途小赵摩托车坏了，

小钱趁机超过了小赵，小赵修好车后，奋起直追，最终超过小钱先抵达终点．如果用s1，s2分别表示小钱和小赵所行走的路程，t表示时间，则图中与该事实符合的是()

A. B.

C. D.

11.已知数列{a n}满足a n+1={2a n,n为奇数

a n+1,n为偶数

，若3≤a9≤15，则a1的取值范围是()

A. [?1,0]

B. [?3

4,0] C. [0,3

] D. [0,1]

12.已知双曲线E：x2

a2?y2

=1(a>0,b>0)的左焦点为F1(?c,0)，点A为圆O：x2+y2=c2与双曲线E

位于第二象限的交点，直线l：y=kx+m与圆O交于A，B两点．记△F1AB和△OAB的面积分别为S1，S2，若S1=2S2，且tan∠AOB=?4

，则双曲线E的离心率为()

A. 4

B. 2

C. √3

D. √5

二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）

13.已知a?,b? 均为单位向量，且(a?+2b? )⊥(4a??3b? )，则a?,b? 夹角的余弦值为______．

14.从编号为1，2，3，…，800的800件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是50的样本，若编号为

38的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为______．

15.对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)给出定义：设f′(x)是函数y=f(x)的导函数，f′′(x)是

函数f′(x)的导函数，若方程f′′(x)=0有实数解x0，则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就

是对称中心．给定函数f(x)=x3?3x2+3x+1，请你根据上面探究结果，计算f(1

1010)+f(2

1010

f(3

1010)+?+f(2019

1010

)=______．

三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）

16.如图所示，正方体ABCD?A1B1C1D1的棱AB=2，点E，F分别为棱BB1，CC1

上的动点，记a=AE+EF+D1F.当a取最大值时，三棱锥D1?AEF的体积为V1，当a取最小值时，三棱锥D1?AEF的体积为V2，则V1=(1)；V1

=(2)．四、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17.已知函数f(x)=cos2(x+π

4)?sinxcosx?1

．

(1)讨论f(x)在[π

12,π

]上的单调性；

(2)锐角△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f(B

2)=?1

，b=2，求△ABC的面积的

最大值．

18.如图，四棱台ABCD?A1B1C1D1的底面是矩形，平面ABCD⊥平面ABB1A1，AB=2A1B1=2，AA1=2，

BB1=√5．

(1)求证：DC⊥AA1；

(2)若二面角B?CC1?D的二面角的余弦值为?√10

，求AD的长．

19.已知椭圆E：x2

a2+y2

=1(a>b>0)的离心率为1

，椭圆的四个顶点所围成菱形的面积为4√3．

(1)求椭圆E的方程；

(2)直线l1：y=k1x交椭圆E于A，C两点，直线l2：y=k2x交椭圆E于B，D两点，若k1?k2=?3

.求四边形ABCD的面积．

20.随着社会的发展进步，人类对能源的需求加大，近年来，世界各国都重视新能源的开发与利用．我国

也加大了对新能源的研发．比如，国内某汽车品牌研发了一款新能源汽车，并在出厂前对1000辆汽车进行了单次最大续航里程(理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能提供给车行驶的最远里程)的测试．测试数据的频率分布直方图如图：

(1)估计这1000辆汽车的单次最大续航里程的平均值x?(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)．

(2)根据大量的测试数据，发现本款汽车的单次最大续航里程X近似地服从正态分布N(μ,σ2)，经计算

第(1)问中样本标准差s的近似值为50.用样本平均数x?作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在200千米到350千米之间的概率．

(3)某汽车经销商为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可通过

转转盘(转盘为圆形，沿直径一分为二，涂蓝绿二色)的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥

控车停在“胜利大本营”，可获得购车优惠券．显然转到蓝、绿的概率都是1

，方格图上标有第0格、第1格、第2格、……、第2020格．遥控车开始在第0格，客户每转一次转盘，遥控车向前移动一次，若转到蓝色，遥控车向前移动一格(从k到k+1)，若转到绿色，遥控车向前移动两格(从k到k+2)，直到遥控车移到第2019格(失败大本营)或第2020格(成功大本营)时，游戏结束，设遥控车移到第n 格的概率为P n(n=1,2，…，2020)，其中P0=1，试说明{P n?P n?1}(n=1,2，…，2019)是等比数列，

并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车．

参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，则：P(μ?σ<ξ≤μ+σ)≈0.6827；P(μ?2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.9545；P(μ?3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.9973．

21.已知函数f(x)=ax?ln(x+1)，且f(x)≥0．

(1)求实数a的值；

(2)若函数g(x)=f(x)?sinx，求证：g(x)有且仅有两个零点．(参考数据：eπ2?1≈1.77)

22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=3cosφ?4sinφ

y=12

cosφ+9

sinφ(φ为参数).以坐标原点

O为极点，x

轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin(θ+π

)=√3．(1)曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

(2)若直线l与曲线C交于P，Q两点，M(2,0)，求|MP|+|MQ|的值．

23.已知函数f(x)=|2x?1|?|x?3|．

(Ⅰ)解不等式f(x)>0；

(Ⅱ)若不等式m2?4|m|+|x?3|>f(x)对x∈R恒成立，求实数m的取值范围．

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：N ={x|x 2<16}=(?4,4)， ∴N ?M ，故选：B ．

求出集合N 所包含的范围，画数轴可得集合M 和N 的关系．本题考查集合间的关系，属于基础题．

2.【答案】C

【解析】解：∵z =a 2?4+(a ?2)i(a ∈R)是纯虚数，

∴{a 2

?4=0a ?2≠0

，即a =?2． ∴z =?4i ，则z ?

=4i ．故选：C ．

由实部为0且虚部不为0求得a 值，得到z ，再由共轭复数的概念得答案．本题考查复数的基本概念，是基础题．

3.【答案】B

【解析】解：由a 1+a 5+a 12=6，∴a 1+a 5+a 12=a 6+a 7+a 5=3a 6=6， ∴a 6=2，

∴S 11=11a 6=22，故选：B ．

利用等差数列的通项公式及其性质即可得出．

本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

4.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查轨迹方程的求法，训练了利用交轨法求点的轨迹方程，是中档题．

设P(x,y)，M(x 0,y 0)，由已知利用中点坐标公式可得{x 0=2x

y 0=2y ?4

，代入圆O ：x 2+y 2=4，整理可得点

P的轨迹方程．

【解答】

解：设P(x,y)，M(x0,y0)，

又N(0,4)，且点P是线段MN的中点，

∴{x=x0

y=y0+4

，则{

x0=2x

y0=2y?4．

代入圆O：x2+y2=4得：4x2+(2y?4)2=4，

即x2+(y?2)2=1．

∴点P的轨迹方程为x2+(y?2)2=1．

故选C．

5.【答案】A

【解析】解：因为3?1<1得A为假命题；

故选：A．

举特例即可求解．

本题主要考查含有量词的命题的真假，属于基础题目．

6.【答案】A

【解析】解：模拟程序的运行，可得

N=28，不能被3整除，可得：N=28?1=27；

27能被3整除，N=27

=9；

9能被3整除，N=9

=3，

此时，3≤3，终止循环，输出N=3．

故选：A．

由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量N的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．

本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．7.【答案】D

【解析】解：若A，B，C在α同侧，则面ABC//α；

若A，B，C在α异侧，则面ABC与α相交，

由此得到：

对于A，平面α内所有的点到平面β的距离不一定都相等，故A错误；

对于B，当面ABC与α平行时，过A有无数条直线l满足l?α且l//β，故B错误；

对于C，当面ABC与α相交，AB与β相交或平行，故C错误；

对于D，平面α内有无数个点到平面β的距离等于点C到平面β的距离，故D正确．

故选：D．

若A，B，C在α同侧，则面ABC//α；若A，B，C在α异侧，则面ABC与α相交，由此能求出结果．

本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

8.【答案】B

【解析】解：∵集合A={(a1,a2,a3,a4,a5,a6)|a i∈{?1，1}，i=1，2，3，4，5，6}，

要满足“?2≤a1+a2+a3+a4+a5+a6≤2”

由题可得：a i中有2个?1，4个1，或3个?1，3个1，或4个?1，2个1，共三类情况符合条件．

所以A中满足条件“?2≤a1+a2+a3+a4+a5+a6≤2”的元素的个数为：?62+?63+?64=50；

故选：B．

由题意可得a1+a2+a3+a4+a5+a6只能取?2，0，2三种情况，根据分类计数原理可得．

本题看似集合题，其实考查了的是用排列组合思想去解决问题．其中，分类讨论的方法是在概率统计中经常用到的方法，也是高考中一定会考查到的思想方法．

9.【答案】C

【解析】解：抛物线C：y2=4x的焦点为F(1,0)，准线为x=?1，

=2√2．

记F到直线l2的距离为d，d=

√2

则|PA|+|QA|=|AF|+1+|QA|≥d+1=2√2+1．

故选：C．

画出图形，结合抛物线的定义与性质，转化求解|PA|+|QA|的最小

值即可．

本题考查抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系的应用，是

基本知识的考查．

10.【答案】D

【解析】解：先研究小赵，可知s 2关于t 的函数图象应该先保持上升趋势，再与x 轴平行一段距离，然后再保持上升趋势，

而s 1关于t 的函数图象一直是保持上升趋势，但到达最高点时，小钱需要的时间大于小赵需要的时间．故选：D ．

根据题意，结合选项，直接得解．

本题考查函数图象的实际运用，考查数形结合思想，属于基础题．

11.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．利用数列的递推关系式，结合3≤a 9≤15，转化求解a 1的取值范围即可．【解答】

解：由题意列{a n }满足a n+1={

2a n ,n 为奇数a n +1,n 为偶数

，

当n 为奇数时，a n =a n?1+1=2a n?2+1?a n +1=2(a n?2+1)，所以a 9+1=24(a 1+1)?4≤24(a 1+1)≤16??3

4≤a 1≤0，故选：B ．

12.【答案】D

【解析】解：点A 为第二象限的点，记△F 1AB 和△OAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 1=2S 2，两个三角形的底边都是AB ，F 1到AB 的距离是O 到AB 距离的2倍，F 1O 的延长线与AB 的交点为M ，O 为F 1M 的中点，说明M 与F 2重合，并且与B 重合，故O 是BF 1的中点，B 与F 1重合，F 1B 为圆O 的直径，

所以，点B 为双曲线E 的右焦点．记∠AF 1B =θ，则∠AOB =2θ，

由tan∠AOB =?4

3得2tanθ

1?tan 2θ=?4

3?2tan 2θ?3tanθ?2=0?tanθ=2或tanθ=?1

2(舍)，

所以|AB|：|AF1|：|F1B|=2：1：√5，

由定义得e=|BF1|

|AB|?|AF1|

=√5．

故选：D．

画出图形，通过两个三角形的关系，结合tan∠AOB=?4

，然后结合双曲线的定义，转化求解双曲线的离心率即可．

本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用，考查计算能力．

13.【答案】2

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量的数量积应用问题，是基础题．

由平面向量垂直的定义和数量积，计算两向量夹角的余弦值．

【解答】

解：由(a?+2b? )⊥(4a??3b? )，

得(a?+2b? )?(4a??3b? )=0，

4a?2+5a??b? ?6b? 2=0，

a??b? =2

，

cos=a? ?b?

|a? |×|b?|=

1×1

．

故答案为：2

．

14.【答案】790

【解析】解：组距为800

=16，

由38=2×16+6得38是第3组第6件产品，

所以最大编号n=49×16+6=790，

故答案为：790．

根据系统抽样的定义求出样本间隔即可得到结论．

本题主要考查系统抽样的应用，求解样本间隔是解决本题的关键．

15.【答案】4038

【解析】解：f′′(x)=6x?6，令f′′(x)=0得x=1，f(1)=2，所以f(x)的对称中心为(1,2)，

所以f(x)+f(2?x)=4，

则2(f(1

1010)+f(2

1010

)+f(3

1010

)+?+f(2019

1010

))

=(f(1

1010)+f(2019

1010

))+(f(2

1010

)+f(2018

1010

))+?+(f(2019

1010

)+f(1

1010

))=4×2019=8076，

所以f(1

1010)+f(2

1010

)+f(3

1010

)+?f(2019

1010

)=4038．

故答案为：4038．

先根据题意，求出函数f(x)的对称中心，进而可得f(x)+f(2?x)=4，再利用2(f(1

1010)+f(2

1010

f(3

1010)+?+f(2019

1010

))=(f(1

1010

)+f(2019

1010

))+(f(2

1010

)+f(2018

1010

))+?+(f(2019

1010

)+f(1

1010

))，即可得解．

本题考查利用导数研究函数的性质，考查整体思想及运算求解能力，属于中档题．16.【答案】8

【解析】解：当E与B1重合，F与C重合时，a取最大值，此时V1=V正?4V B

1?ABC =8

；

沿侧棱AA1剪开再展开，如图，

当E，F为三等分点时，a取最小值，取棱DD1的三等分点G，可得GF//AE，∴GF//面D1AE，

∴V 2=V F?D 1AE =V G?D 1AE =V E?D 1AG =13×(12×2×43)×2=8

9，

则V 1

V 2

389

=3．

故答案为：8

3；3．

由题意，当E 与B 1重合，F 与C 重合时，a 取最大值，由正方体的体积减去4个三棱锥的体积求V 1；再由多面体的剪展问题可得当E ，F 为三等分点时，a 取最小值，利用等体积法求解V 2，则V 1

V 2

可求．

本题考查在正方体中基于面面平行寻找线线，线面平行关系，考查棱锥体积的求法，是中档题．

17.【答案】解：(1)∵f(x)=

1+cos(2x+π2

)

?12sin2x ?12=?12sin2x ?1

2sin2x =?sin2x ，

∴f(x)在[π

12,π

4]单减；在[π4,π

3]单增，

(2)∵f(B

2)=?1

2，∴?sinB =?1

2，∴sinB =1

2，又∵△ABC 是锐角三角形， ∴B =π6，

△ABC 中，由余弦定理：cos π

a 2+c 2?42ac

，

∴√3ac +4=a 2+c 2≥2ac ，当a =c 时等号成立，

∴ac ≤

42?√3

=4(2+√3)

∴S △ABC =1

2acsinB =ac 4

≤2+√3，

故最大值为2+√3．

【解析】(1)由已知结合二倍角公式及诱导公式进行化简，然后结合正弦函数的单调性可求；

(2)由已知f(B

2)=?1

2，代入可求B ，然后结合余弦定理及基本不等式可求ac 的范围，再结合三角形的面积公式即可求解．

本题主要考查了二倍角公式，诱导公式在三角化简中的应用，还考查了余弦定理，三角形的面积公式在求解三角形中的应用．

18.【答案】解：(1)取AB 中点E ，连接B 1EAE =A 1B 1，且AE//A 1B 1，

所以四边形AEB 1A 1为平行四边形，所以B 1E =AA 1=2，BE =1，

所以BB 12

=BE 2+B 1E 2，则BE ⊥B 1E ，

所以AA 1⊥AB ，

又平面ABCD ⊥平面ABB 1A 1，所以AA 1⊥平面ABCD ，所以DC ⊥AA 1；

(2)由(1)知AA 1⊥AD ，设AD =2a(a >0)，建系如图，

则A(0,0，0)，B(0,0，2)，C(2a,0，2)，D(2a,0，0)，C 1(a,2，1)，故CC 1??????? =(?a,2,?1),DC ????? =(0,0,2),BC ????? =(2a,0,0)，

设平面CC 1D 的法向量n ? =(x,y,z)，则{CC 1??????? ?n ? =0DC ????? ?n ? =0

?{?ax +2y ?z =02z =0，可取n

? =(2,a,0)，设平面BCC 1的法向量m ??? =(x,y,z)，则{CC 1??????? ?m ??? =0

BC ????? ?m ??? =0?{?ax +2y ?z =02ax =0，可取m

??? =(0,1,2)，所以cos?n ? ,m ??? ?=n ?? ?m ???

|n ?? |?|m ??? |

=√5?√a 2+4

，

由二面角B ?CC 1?D 的二面角的余弦值为?√10

，得

√5?√a 2+4

√10

，解得a =2，所以AD =4．

【解析】(1)先利用勾股定理可得BB 12=BE 2+B 1E 2，

由此可知BE ⊥B 1E ，结合AE//A 1B 1，可知AA 1⊥AB ，再由平面ABCD ⊥平面ABB 1A 1，可得AA 1⊥平面ABCD ，进而得证；

(2)建立空间直角坐标系，设AD =2a ，根据题设关系，求出平面CC 1D 及平面BCC 1的法向量，根据题设建立方程，解出即可．

本题考查线面垂直及面面垂直的性质定理及判定定理的运用，考查利用空间向量求解二面角问题，考查运算求解能力，逻辑推理能力，属于中档题．

19.【答案】解：(1)由已知得：c a =12，1

2×2a ×2b =4√3,a 2=b 2+c 2，

解得a =2,b =√3,c =1．所以椭圆E 的方程为

x 24

y 23

=1．

(2)法一：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由k 1?k 2=?3

4得y 1y 2

1x 2

=?3

4①，

当直线AB 的斜率不存在时，易得|x 1|=√2,|y 1|=√6

，则四边形ABCD 的面积S ABCD =4|x 1y 1|=4√3，

当直线AB 的斜率存在时，设AB 的直线方程为：y =kx +m ．联立{y =kx +m x 2

y 23

消去y 得(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2?12=0，

△=64k 2m 2?4(3+4k 2)(4m 2?12)=48(4k 2?m 2+3)>0，

x 1+x 2=?8km 2,x 1x 2=4m 2?12

②

y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2

x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2

=3m 2?12k 2

3+4k 2

③

将②③代入①得

3m 2?12k 24m ?12

=?3

4，化简得m 2=

4k 2+32

，

又|AB|=√1+k 2?√48(4k

2?m 2?3)

3+4k 2

，O 到AB 的距离d =√1+k 2

，

所以四边形ABCD 的面积S ABCD =4S △OAB =2|AB|?d

=2√1

+k 2

?√48(4k 2?m 2+3)

3+4k 2√1

+k 2 =2?

√48(4k 2?4k 2+32+3)(4k 2

+32

)

2√12(4k 2+3)2

3+4k 2

=4√3，

综上所述，四边形ABCD 的面积的面积为4√3．

法二：由对称性，不妨设A ，B 分别在第一和第四象限，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2). 联立{

y =k 1x

x 24

+y 23

解得x 1=√3√3+4k 1

y 1=√3k 1√3+4k 1

，即A(√3√3+4k 1

√3k

√3+4k 1

)，

同理可得：B(√3√3+4k 2

√3k

√3+4k 2

)，

由k 1?k 2=?34得k 1=?3

4k 2

．

所以四边形ABCD 的面积S ABCD =4S △OAB =4×12×|x 1y 2?x 2y 1|=√3

√3+4k 1

√3k 2

√3+4k 2

√3

√3+4k 2

√3k 1

√3+4k 1

24|k 2+

4k 2

|122

24|k 2+3

4k 2

√18+10816k 22+12k 2

4√3|4k 2

+3|

2422

√3|4k 22√(4k 2

+3)2=4√3．

【解析】(1)通过离心率以及椭圆的四个顶点所围成菱形的面积为4√3.求出a ，b ，即可得到椭圆E 的方程． (2)法一：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由k 1?k 2=?3

4推出结果；当直线AB 的斜率不存在时，求出四边形ABCD 的面积；当直线AB 的斜率存在时，设AB 的直线方程为：y =kx +m.直线与椭圆方程联立，利用韦达定

理，弦长公式O 到AB 的距离，求出四边形ABCD 的面积，推出结果；法二：不妨设A ，B 分别在第一和第四象限，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2).联立{y =k 1x x 2

y 23

解得A 坐标，同理求

得B 的坐标，四边形ABCD 的面积S ABCD =4S △OAB =4×1

2×|x 1y 2?x 2y 1|推出结果．

本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，考查设而不求，转化思想的应用，分类讨论思想的应用，是难题．

20.【答案】解：(1)x ?

=0.1×205+0.2×255+0.45×305+0.2×355+0.05×405=300；

(2)P(200≤X ≤350)=P(300?2×50≤X ≤300+50)=P(μ?2σ≤X ≤μ+σ)=0.6827+0.9545

0.8186；

(3)由题设：遥控车移到第n(2≤n ≤2019)格有下列两种情况： ①先移到第n ?2格，又转到绿色，其概率为1

2P n?2； ②先移到第n ?1格，又转到蓝色，其概率为12P n?1，

∴P n =1

2P n?2+1

2P n?1(2≤n ≤2019)，得P n ?P n?1=?1

2(P n?1?P n?2)．

又∵P 1=1

2,P 1?P 0=?1

2，∴{P n ?P n?1}是以P 1?P 0=?1

2为首项，?1

2为公比的等比数列．得P n ?P n?1=

(?1

2)n ，累加得P n

?P 0=

?12

(1?(?12)n )

1?(?1

)

，即P n =23+13?(?1

2)n ．

∴P 2019=2

3?1

3×1

22019，P 2020=12P 2018=12(23+1

3×1

22018)=1

3+1

3×1

22019， ∴P 2020

【解析】(1)由每个小矩形中点的横坐标乘以频率作和即可求得这1000辆汽车的单次最大续航里程的平均值x ?

；

(2)利用σ、2σ原则求解任取一辆汽车，它的单次最大续航里程恰在200千米到350千米之间的概率； (3)由题设：遥控车移到第n(2≤n ≤2019)格有下列两种情况：①先移到第n ?2格，又转到绿色，其概率为1

2P n?2；②先移到第n ?1格，

又转到蓝色，其概率为1

2P n?1，由互斥事件的概率加法公式求得P n =1

2P n?2+12P n?1

(2≤n ≤2019)，得P n ?P n?1=?12(P n?1?P n?2).进一步说明{P n ?P n?1}是以P 1?P 0=?1

2为首项，?1

2为公比的等比数列．求其通项公式，再由累加法求得P n =2

3+1

3?(?1

2)n .然后求出P 2020与P 2019，比较大小得结论．

本题考查频率分布直方图，考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查等比数列的判定，考查相

互独立事件及互斥事件的概率的求法，训练了利用累加法求数列的通项，正确理解题意是关键，属难题．21.【答案】解：(1)法一：f(x)的定义域为(?1,+∞)，f′(x)=a?1

x+1

，

①当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(?1,+∞)单调递减，当x>0时，f(x)

②当a>0时，当?1

a ?1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>1

?1时，f′(x)>0，f(x)单调递

增．

所以f(x)min=f(1

a ?1)，又f(x)≥0，f(0)=0，所以1

?1=0，a=1．

综上所述，a=1，

法二：因为f(x)≥0=f(0)，所以f(x)在x=0处取极小值．

所以f′(0)=0，解得a=1，

当a=1时，f′(x)=x

x+1

(x>?1)，当?10时，f′(x)>0，f(x)单调递增．所以f(x)≥f(0)=0．

综上所述，a=1，

(2)法一：由(1)得g(x)=x?ln(x+1)?sinx，(x>?1)

①当x∈(?1,0)时，由(1)知x?ln(x+1)≥0，sinx<0，所以g(x)>0．

所以，g(x)在(?1,0)无零点，

②当x=0时，由g(0)=0得x=0为g(x)的一个零点，

③当x∈(0,π)时，g′(x)=1?1

x+1?cosx，g′(x)在(0,π)单调递增，且g′(0)=?1<0，g′(π

)=1?2

2+π

>0，

所以g′(x)在(0,π)有唯一零点x0且x0∈(0,π

)．当x∈(0,x0)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(x0,π)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，

又g(π

2)=π

?1?ln(1+π

)≈ln1.77?ln(1+π

)<0，g(π)=π?ln(π+1)>0．

所以g(x)在(0,π)有唯一零点x2，

④当x∈[π,+∞)时，g(x)=x?ln(x+1)?sinx≥x?ln(x+1)?1．

令?(x)=x?ln(x+1)?1，由(1)知?(x)在区间[π,+∞)单调递增，

所以?(x)≥?(π)=π?1?ln(π+1)>0，所以g(x)在区间[π,+∞)无零点．

综上所述，g(x)有且仅有两个零点，

法二：由(1)得g(x)=x?ln(x+1)?sinx，(x>?1)，g(0)=0．g′(x)=1?1x+1?cosx,g″(x)=1

(x+1)2

+ sinx，

①当x ∈(?1,π]时，g′′(x)>0，g′(x)单调递增，g′(0)=?1<0,g′(π)=2?1

π+1>0，所以存在唯一x 0∈(?1,π]使得g′(x 0)=0，当x ∈(?1,x 0)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x ∈(x 0,π]时，g′(x)>0，g(x)单调递增．又g(π

2)<0,g(0)=0,g(π)>0，

所以g(x)在(?1,π]存在两个零点x 1，x 2，其中x 1=0,x 2∈(π

2,π], ②当x ∈(π,+∞)时，g(x)=x ?ln(x +1)?sinx ≥x ?ln(x +1)?1．令?(x)=x ?ln(x +1)?1,?′(x)=1?1

x+1=x

x+1>0，

所以?(x)在(π,+∞)单调递增，所以?(x)>?(π)=π?1?ln(π+1)>0 所以g(x)>0，所以g(x)在(π,+∞)无零点．综上所述，g(x)有且仅有两个零点．

【解析】(1)先对函数求导，然后结合a 的范围可判断导数的符号，进而可求函数的单调性，结合单调性可求函数的最小值，结合已知即可求解；

法二：由f(x)≥0=f(0)，可知f(x)在x =0处取极小值，结合极值存在的条件可求；

(2)法一：由(1)得g(x)=x ?ln(x +1)?sinx ，(x >?1)，结合(1)中的讨论，利用导数判断函数的单调性，再由零点判定定理可求；

法二：由(1)得g(x)=x ?ln(x +1)?sinx ，(x >?1)，对g(x)二次求导，结合三角函数的性质，然后对定义域分段考虑，结合单调性及函数性质进行讨论可求．

本题主要考查了利用导数与函数的性质求解不等式成立及函数的零点问题，体现了转化思想的应用． 22.

【答案】解：(1)曲线C 的参数方程{x =3cosφ?4sinφy =

125

cosφ+9

5sinφ

消去参数φ得，曲线C 的普通方程为

x 225

y 29

=1．

∵ρsin(θ+π

3)=√3，∴√3ρcosθ+ρsinθ?2√3=0，

∴直线l 的直角坐标方程为√3x +y ?2√3=0.………………………………(5分) (2)设直线l 的参数方程为{x =2?1

y =√3

(t 为参数)，将其代入曲线C 的直角坐标方程并化简得7t 2?6t ?63=0，∴t 1+t 2=6

7,t 1t 2=?9． ∵点M(2,0)在直线l 上，

∴|MP|+|MQ|=|t 1?t 2|=√(t 1+t 2)2?4t 1t 2=√36

49+36=

30√2

.………………………………(10分)

【解析】(1)曲线C 的参数方程{

x =3cosφ?4sinφy =

125

cosφ+9

5sinφ

，利用平方关系消去参数φ得，可得曲线C 的普通方

程．由ρsin(θ+π

3)=√3，可得√3ρcosθ+ρsinθ?2√3=0，利用互化公式可得：直线l 的直角坐标方程． (2)设直线l 的参数方程为{x =2?1

y =√3

2t (t 为参数)，将其代入曲线C 的直角坐标方程并化简得7t 2?6t ?63=0，利用根与系数的关系、弦长公式即可得出．

本题考查了极坐标参数方程与普通方程的互化、根与系数的关系、弦长公式、平方关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

23.【答案】解：(Ⅰ)f(x)>0即为|2x ?1|>|x ?3|，

∴|2x ?1|2>|x ?3|2，即4x 2?4x +1>x 2+9?6x ， ∴3x 2+2x ?8>0，解得x >4

3或x

(Ⅱ)m 2?4|m|+|x ?3|>|2x ?1|?|x ?3|即m 2?4|m|>|2x ?1|?|2x ?6|恒成立，由||2x ?1|?|2x ?6||≤|(2x ?1)?(2x ?6)|=5(x =3时等号成立)，可知m 2?4|m|>5，解得|m|>5，

∴m >5或m

【解析】(Ⅰ)由f(x)>0得|2x ?1|>|x ?3|，两边平方后，化为一元二次不等式，解出即可； (Ⅱ)问题即为m 2?4|m|>|2x ?1|?|2x ?6|恒成立，利用绝对值不等式的性质可得m 2?4|m|>5，解出即可．

本题考查绝对值不等式的解法以及绝对值不等式性质的运用，考查不等式的恒成立问题，考查分离变量思想，属于基础题．

2018年高三数学模拟试题理科

黑池中学2018级高三数学期末模拟试题理科（四）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1.已知集合{}2,101，， -=A ，{} 2≥=x x B ，则A B =I A ．{}2,1,1- B.{ }2,1 C.{}2,1- D. {}2 2.复数1z i =-,则z 对应的点所在的象限为 A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3 .下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是 A ．2x y = B ．y x = C ．y x = D ．2 1y x =-+ 4.函数 y=cos 2(x + π4 )－sin 2(x + π4 )的最小正周期为 A. 2π B. π C. π2 D. π 4 5. 以下说法错误的是（） A ．命题“若x 2 -3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2 -3x+2≠0” B ．“x=2”是“x 2 -3x+2=0”的充分不必要条件 C ．若命题p:存在x 0∈R,使得2 0x -x 0+1<0,则﹁p:对任意x∈R,都有x 2 -x+1≥0 D ．若p 且q 为假命题,则p,q 均为假命题 6.在等差数列{}n a 中, 1516a a +=,则5S = A ．80 B ．40 C ．31 D ．-31 7.如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．π16+ B ．π416+ C ．π8+ D ．π48+ 8.二项式6 21()x x +的展开式中，常数项为 A ．64 B ．30 C ． 15 D ．1 9.函数3 ()ln f x x x =-的零点所在的区间是 A ．(1,2) B ．(2,)e C ． (,3)e D ．(3,)+∞ 10.执行右边的程序框图，若0.9p =，则输出的n 为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 开始 10n S ==， S p

(完整版)2018技能高考模拟题(数学部分)

2018技能高考模拟题（数学部分） ―、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 1. 下列四个命题：（1）空集没有子集.（2）空集是任何集合的真子集（3）}0{=? （4）任何集合必有两个或两个以上的子集.其中正确的有（）个 A.0 B. 1 C.2 D.3 2.下列函数：（l ）2x y =，（2）3x y =，（3）x x y -+=11lg ，（4）2 1131--=x y 其中奇函数有（）个 A.3 B.2 C.1 D.0 3.下列命题：（l ）02sin 2cos >-,（2）若54sin =a ，则53cos =a . （3）在三角形ABC 中，若A A cos 3sin 2=，则角A 为30度角.其中正确的有（）个 A.3 B. 2 C.1 D.0 4.下列说法：（1）两个相等的向量起点相同，则终点相同.（2）共线的单位向量相等.（3）不相等的向量一定不平行.（4）与零向量相等的向量一定是零向量. （5）共线向量一定在一条直线上.其中正确的有（）个 A.2 B.3 C.4 D.5 5. 有点（3，4），（3-，4-），（1,1+3）（1-,31-），其中在直线013=+-y x 上的有（）个 A.1 B.2 C.3 D.4 6.下列说法中：⑴数列{112-n }中负项有6项.（2)73为数列{12-n }中的项. （3）数列2.4.6.8可表示为{2. 4. 6.8}.其中正确的有（）个 A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）

1.若数列{n a }中，11++= n n n a a a 对任意正整数都成立，且216=a ，则5a = 。 n a = 。 2. 若a =（3,4），b =（2,1），且（a +xb ）)(b a -⊥ = 。 3. 满足2 1sin ≥ a 的角a 的集合为。 4. 4.函数|3|log 2 1-=x y 的单调减区间为。三、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分） 1.（1）角a 的终边上一点P 的坐标为（t t 3,4-）（t 不为0），求a a cos sin 2+. （2）设2e ，2e 是两不共线的向量，若涵212ke +=，113e e +=，212e e -= 若三点A 、B 、D 共线，求k 的值. 2.（1）求函数)6 2sin(3π-=x y 的单增区间. （2）说出函数)3tan(π-=x y 的周期和单调区间. 3.（1）过点P （1-，1-）的直线与两坐标轴分别相交于A 、B 两点，若P 点为线段AB 的中点，求该直线的方程和倾斜角. （2）已知数列{n a }为等差数列，n S 为其前n 项和，且77=S ，1515=S . ①求n S .②若为数列的{n S n }前n 项和，求n T .

全国统一高考数学试卷(理科)(全国一卷)

绝密★启用前全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本题共12小题, 每小题5分, 共60分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，, 则M N I = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2．设复数z 满足=1i z -, z 在复平面内对应的点为(x , y ), 则 A ．22 +11()x y += B ．221(1)x y +=- C ．22(1)1y x +-= D ．2 2(+1)1y x += 3．已知0.20.32 log 0.220.2a b c ===，，, 则 A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b c a << 4．古希腊时期, 人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 512-（ 51 2 -≈0.618, 称为黄金分割比例), 著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外, 最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 51 -．若某人满足上述两个黄金分割比例, 且腿长为105 cm, 头顶至脖子下端的长度为26 cm, 则其身高可能是

A ．165 cm B ．175 cm C ．185 cm D ．190 cm 5．函数f (x )= 2 sin cos ++x x x x 在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ． C ． D ． 6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成, 爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”, 如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦, 则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A ． 516 B ． 1132 C ． 2132 D ． 1116 7．已知非零向量a , b 满足||2||=a b , 且()-a b ⊥b , 则a 与b 的夹角为 A ． π6 B ． π3 C ． 2π3 D ． 5π6 8．如图是求 112122 + +的程序框图, 图中空白框中应填入

2020-2021高考理科数学模拟试题

高三上期第二次周练数学（理科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{}=0123A ，，，， {}=21B x x a a A =-∈，，则=( )A B ? A. {}12， B. {}13， C. {}01 ， D. {}13-， 2．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（） A. i - B. i C. 1- D. 1 3．在等比数列{}n a 中， 13521a a a ++=， 24642a a a ++=，则数列{}n a 的前9项的和9S =（） A. 255 B. 256 C. 511 D. 512 4．如图所示的阴影部分是由x 轴，直线1x =以及曲线1x y e =-围成，现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影区域的概率是（） A. 1e B. 21 e e -- C. 11e - D. 11e - 5．在 52)(y x x ++ 的展开式中，含 2 5y x 的项的系数是（） A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 6．已知一个简单几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 ( ) A. 36π+ B. 66π+ C. 312π+ D. 12 7．已知函数 ())2log(x a x f -= 在 )1,(-∞上单调递减，则a 的取值范围是( ) A. 11<<