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华南理工大学最优化理论——第十一章Hopfield神经网络优化方法剖析

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利用Hopfield神经网络求解旅行商问题研究

利用Hopfield神经网络求解旅行商问题研究

文章编号:1007-757X (2006)11-0001-03利用Hopfield 神经网络求解旅行商问题研究杨秀梅,a 陈洪亮,a 董得义a摘　要:本文主要研究利用连续的Hopfield 网络求解TSP 问题,从连续的Hopfield 神经网络原理出发,结合TSP 问题的要求,在给定参数要求下求得问题的最优解。

并分析了实际算法的弱点,给出分析改进算法,加快了算法的收敛速度,改善有效解并提高最优解的比例。

关键词:连续的Hopfield 网络;旅行商问题;改进算法;优化中图分类号:TP 301 文献标识码:A1　概述用神经网络解决组合优化问题是神经网络应用的一个重要方面。

所谓组合优化问题,就是在给定约束条件下,使目标函数极小(或极大)的变量组合问题。

将Hopfield 网络应用于求解组合优化问题,把目标函数转化为网络的能量函数,把问题的变量对应到网络的状态。

这样,当网络的能量函数收敛于极小值时,问题的最优解也随之求出。

由于神经网络是并行计算的,其计算量不随维数的增加而发生指数性“爆炸”,因而对于优化问题的高速计算特别有效。

本文针对将Hopfield 理论应用于实践给出了研究性方法。

2　问题的提出TSP 问题,即所谓的旅行商问题。

问题的提法:在N 个城市中各经历一次后回到出发点,使所经过的路程最短。

其不同选择方案有(N -1)!/2种,在城市数较少的情况下可以用枚举等方法,但如果城市数量较大,例如,N=33时,使用枚举法求解就要考虑的情况是1025数量级,计算量如此之大是不可想象的。

将Hopfield 网络应用于求解TSP 问题,效果是显著的。

下面就利用连续的Hopfield 网络求解T SP 问题进行探讨。

3　Hopfield 神经网络及求解TSP 问题算法1)Hopfield 神经网络主要是模拟生物神经网络的记忆机理,是一种全连接型的神经网络,对于每个神经元来说,自己输出的信号通过其他神经元又反馈到自身,所以Hopfield 神经网络是一种反馈型神经网络。

第5章 Hopfield神经网络与联想记忆

第5章 Hopfield神经网络与联想记忆

第5章Hopfield神经网络与联想记忆前面介绍了前向网络及其学习算法，对于所介绍的前向网络，从学习的观点来看，它是一个强有力的学习系统，系统结构简单、易于编程；从系统的观点来看，它是一个静态非线性映射，通过简单非线性处理单元的复合映射可获得复杂系统的非线性处理能力；从计算的观点来看，它并不是一强有力系统，缺乏丰富的动力学行为。

反馈神经网络是一个反馈动力学系统，具有更强的计算能力。

1982年美国物理学家J. Hopfield提出的单层全互连含有对称突触连接的反馈网络是最典型的反馈网络模型。

Hopfield 用能量函数的思想形成了一种新的计算方法，阐明了神经网络与动力学的关系，并用非线性动力学的方法来研究这种神经网络的特性，建立了神经网络稳定性判据，并指出信息存储在网络中神经元之间的连接上，形成了所谓的Hopfield网络，称之为离散Hopfield网络。

而且Hopfield还将该反馈网络同统计物理中的Ising模型相类比，把磁旋的向上和向下方向看成神经元的激活和抑制两种状态，把磁旋的的相互作用看成神经元的突触权值。

这种类推为大量的物理学理论和许多的物理学家进入神经网络领域铺平了道路。

1984年，Hopfield设计与研制了Hopfield网络模型的电路，指出神经元可以用运算放大器来实现，所有神经元的连接可用电子线路来模拟，称之为连续Hopfield网络。

用该电路Hopfield成功的解决了旅行商（TSP）计算难题（优化问题）。

Hopfield网络是神经网络发展历史上的一个重要的里程碑。

把神经网络看作一种非线性的动力学系统，并特别注意其稳定性研究的学科，被称为神经动力学（Neurodynamics）。

Hopfield神经网络可看作一种非线性的动力学系统，所以为了方便介绍Hopfield神经网络，本章首先简单介绍神经动力学。

前面介绍的单层前向网络和多层前向网络，其思路均是先介绍网络模型再介绍相应的学习算法。

第9章Hopfield神经网络与联想记忆PPT课件

第9章Hopfield神经网络与联想记忆PPT课件

9.1 神经动力学
1989年Hirsch把神经网络看成是一种非线性动力学 系统，称为神经动力学（Neurodynamics）。
确定性神经动力学将神经网络作为确定性行为，在 数学上用非线性微分方程的集合来描述系统的行为， 方程解为确定的解。
统计性神经动力学将神经网络看成被噪声所扰动， 在数学上采用随机性的非线性微分方程来描述系统 的行为，方程的解用概率表示。
反馈神经网络是一个反馈动力学系统，具有更强的计 算能力。1982年J. Hopfield提出的单层全互连含有对 称突触连接的反馈网络是最典型的反馈网络模型。 Hopfield 用能量函数的思想形成了一种新的计算方法， 阐明了神经网络与动力学的关系，并用非线性动力学 的方法来研究这种神经网络的特性，建立了神经网络 稳定性判据，并指出信息存储在网络中神经元之间的 连接上，形成了所谓的离散Hopfield网络。
第9章 Hopfield神经网络与联想记忆
前言 神经动力学 Hopfield神经网络 Hopfield神经网络 联想记忆 最优化计算 仿真实例
1
机器人智能与神经计算实验室(B) (B) (B) (B) (B)
9.0 前言
d V(t的稳态或
平衡态。
7
机器人智能与神经计算实验室(B) (B) (B) (B) (B)
N维向量所处的空间称为状态空间， 状态空间通常 指的是欧氏空间，当然也可以是其子空间，或是类 似圆、球、圆环和其他可微形式的非欧氏空间。
3
机器人智能与神经计算实验室(B) (B) (B) (B) (B)
1984年，Hopfield设计与研制了Hopfield网络模型的 电路，指出神经元可以用运算放大器来实现，所有 神经元的连接可用电子线路来模拟，称之为连续 Hopfield网络。

基于模拟退火与Hopfield神经网络的输气管优化运行

基于模拟退火与Hopfield神经网络的输气管优化运行
１ ． １ 目标 函 数
根据 输气 管 运 行 工 况要 求 ， 输 气管 压 气站 优化
运 行 问题 的约束 条件如 下 ：
１ ． ２ ． １ 工艺 操作 约束 条件
ｐ ｍ ｉ ｎ ｐ ｐ 一 （ ２ ）
式中 ｐ 血， ｐ —— 分 别 表 示 输 气 压 力 的上 、 下
模 拟退 火与神 经 网络 相 结合 的 混合优 化 算 法 求解 输 气管优化 运行 模型 。 优 化 算例表 明 ： 该 方法 改进 了标 准连 续性神 经 网络 算法 的 收敛过 程 ， 能有 效 防止搜 索陷入局 部 最优 解和 避 免 对 于初始 迭代 值 的过度依
赖， 且 优化 结 果优 于标 准连 续 性神 经 网络 算 法 的计 算 结果 ， 具有 更 高的优 化效 率 和 更强 的鲁棒 性 ， 能够 获 得 高性 能的优 化运 行 方案 。
关 键词 ： 输气管； 优 化运 行 ； 模 拟退 火 ； 神 经 网络 ； 算法 中图分 类号 ： Ｔ Ｅ８ ３ ２ 文献 标 识码 ： Ａ 文章 编号 ： １ ０ ０ ６ －７ ９ ８ １ （ ２ Ｏ １ ３ ） Ｏ ８ —０ ０ ６ ９ 一Ｏ ４ 本文 主要 研究 天然 气 气源输 量波动 引起 的各 压 缩 机站 机 组运 行 方 案 的变 化 ， 故选 取 动 力费 用为 最
（ １ ）
调节运行方案 ， 可以有效地降低投资成本 ， 减少运行 费用 ， 达到提高经济效益 的 目的。 输气管压缩机站运
行 优 化 中机 组 的 启停 和转 速 调 节 只 能取 离 散 值 ， 该
ｍ —— 全 线各 压缩机 站 的压缩 机组 台数 ；
ｃ ——第个压缩机站单位动力消耗费用 ；
压缩 机组 的燃 料消 耗 占压缩 机 站运 营 费用 的７ Ｏ ９ ， ６ 以 上［ １ 叫］ 。 因此对 输气 管 压 缩机 站 的运行 方 式 采用 最 优 化 方 法规 划 ， 选 用 最 佳 压缩 机 组 开 关 和 机 组转 速

智能优化计算_第五章__神经网络优化计算

智能优化计算_第五章__神经网络优化计算
稳定状态
如果从t=0的任一初始态s(0)开始变化，存在某一有 限时刻t，从此以后网络状态不再变化，即 s(t+1)=s(t)，则称网络达到稳定状态。
智能优化计算
华东理工大学自动化系 2007年
5.3 反馈型神经网络
5.3.1 离散Hopfield神经网络
能量函数的定义
异步方式：
E 1 2
5.3 反馈型神经网络
Hopfield神经网络
1982年提出Hopfield反馈神经网络（HNN），证明 在高强度连接下的神经网络依靠集体协同作用能自 发产生计算行为。 是典型的全连接网络，通过引入能量函数，使网络 的平衡态与能量函数极小值解相对应。
智能优化计算
华东理工大学自动化系 2007年
智能优化计算
华东理工大学自动化系 2007年
5.1 人工神经网络的基本概念
5.1.2 McCulloch-Pitts神经元
-θ
结构
Input signal
x1
w1
x2
w2

Summing function
Activation function Output
f ( )
y

xn
Synaptic weights
N
s2(t)
…
sn(t) wn2
w2n wn1
…
Σ sn(t+1)
Δ
N为网络节点总数。
智能优化计算
华东理工大学自动化系 2007年
5.3 反馈型神经网络
5.3.1 离散Hopfield神经网络
网络结构
一般认为vj(t)=0时神经元保持不变sj(t+1)=sj(t); 一般情况下网络是对称的（wij=wji）且无自反馈（ wjj=0）; 整个网络的状态可用向量s表示：

第三章 神经网络优化计算

第三章 神经网络优化计算

3、层（级）间联接
层间（Inter-field）联接指不同层中的
神经元之间的联接。这种联接用来实现层 间的信号传递 前馈信号 反馈信号
现代优化计算
3.1 人工神经网络的基本概念
3.1.3人工神经网络的拓扑特性-网络的分层结构
单级网
简单单级网
x1 w11 w1m x2 w2m … xn … wn1 … om o2 o1
3.3.1 竞争学习的概念与原理 3.3.2 自组织特征映射神经网络
现代优化计算
3.4 反馈型神经网络
3.4.1 离散Hopfield神经网络 3.4.2 连续Hopfield神经网络 3.4.3 Hopfield神经网络在TSP中的应用
现代优化计算
3.1 人工神经网络的基本概念
3.1.1 发展历史
现代优化计算
3.2 多层前向神经网络
3.1.1 感知器及其算法
3.1.1.1 感知器与人工神经网络的早期发展 3.1.1.2 感知器的学习算法
离散单输出感知器训练算法 离散多输出感知器训练算法 连续多输出感知器训练算法
实现！
3..1.1.3 线性不可分问题
异或(Exclusive –OR)问题 线性不可分问题的克服
3.1.1 生物神经网
突触的信息处理
生物神经元传递信息的过程为多输入、单输出
神经元各组成部分的功能来看，信息的处理与传递
主要发生在突触附近 当神经元细胞体通过轴突传到突触前膜的脉冲幅度 达到一定强度，即超过其阈值电位后，突触前膜将 向突触间隙释放神经传递的化学物质 突触有两种类型，兴奋性突触和抑制性突触。前者 产生正突触后电位，后者产生负突触后电位
x1
x2 … xn o1 o2

第5章 Hopfield神经网络与联想记忆教材

第5章 Hopfield神经网络与联想记忆教材

第5章Hopfield神经网络与联想记忆前面介绍了前向网络及其学习算法，对于所介绍的前向网络，从学习的观点来看，它是一个强有力的学习系统，系统结构简单、易于编程；从系统的观点来看，它是一个静态非线性映射，通过简单非线性处理单元的复合映射可获得复杂系统的非线性处理能力；从计算的观点来看，它并不是一强有力系统，缺乏丰富的动力学行为。

反馈神经网络是一个反馈动力学系统，具有更强的计算能力。

1982年美国物理学家J. Hopfield提出的单层全互连含有对称突触连接的反馈网络是最典型的反馈网络模型。

Hopfield 用能量函数的思想形成了一种新的计算方法，阐明了神经网络与动力学的关系，并用非线性动力学的方法来研究这种神经网络的特性，建立了神经网络稳定性判据，并指出信息存储在网络中神经元之间的连接上，形成了所谓的Hopfield网络，称之为离散Hopfield网络。

而且Hopfield还将该反馈网络同统计物理中的Ising模型相类比，把磁旋的向上和向下方向看成神经元的激活和抑制两种状态，把磁旋的的相互作用看成神经元的突触权值。

这种类推为大量的物理学理论和许多的物理学家进入神经网络领域铺平了道路。

1984年，Hopfield设计与研制了Hopfield网络模型的电路，指出神经元可以用运算放大器来实现，所有神经元的连接可用电子线路来模拟，称之为连续Hopfield网络。

用该电路Hopfield成功的解决了旅行商（TSP）计算难题（优化问题）。

Hopfield网络是神经网络发展历史上的一个重要的里程碑。

把神经网络看作一种非线性的动力学系统，并特别注意其稳定性研究的学科，被称为神经动力学（Neurodynamics）。

Hopfield神经网络可看作一种非线性的动力学系统，所以为了方便介绍Hopfield神经网络，本章首先简单介绍神经动力学。

前面介绍的单层前向网络和多层前向网络，其思路均是先介绍网络模型再介绍相应的学习算法。

Hopfield网络在系统优化设计中的应用

Hopfield网络在系统优化设计中的应用
一
与变化 的变 量数 目众 多 ， 采用线 性规 划 、 动态优 化等普 通意 义上 的优 化方法 已经 显得 力不从 心 。我们 必须 要 从另 外一个 角度 去 考 虑 与 解 决 问题 ， 不 能 盲 目地 从 扩 大 计 算 机 容 量 、 高 计 算 机 运 行 速 度 上 去 想 而 提 办法［ 。
的指标为评价标准）对于不符合总体 目 ， 标的信息反馈 ， 对网络设计中的层次设置进行调整 ， 以期实现设计
的最 优化 ［ｌ ４。
所谓绝 对 的“ 优化 ” 不可 能实 现的 ， 不仅 仅是 因为系统 的约束 条件 ， 响因素始 终在不 断变化 的 最 是 这 影 过程 中， 更重要的是人们对多层次系统的认识并不深刻 。但是相对意义上 的“ 最优化” 却可 以通过神经网 络加 以实 现 ， 是符合辩 证 法 的 ， 这 也符合 人类 认识未 知事 物的基本 规律 。
中图 分 类 号 ： ＇ ６ １１ ｔ８ 文献标识码 ： Ａ 文 章 编 号 ：６１ ０ ３ （０ ８０ 一Ｏ０ —０ １７ — ２ １２０ ）４ ０４ ４
随着现代科学技术 的复杂性和外部条件的频繁变化 ， 用直观的传统方法和单凭个人经验来组织管理 个大规模复杂系统的研制已经不行了 ， 需要利用现代信息系统与各种学科和技术领域内所获得的成就 ， 进 行优 化设计 ， 以保证 系统在所 要求 的技 术范 围 内， 所得 收益 达到最 优解 的水平 ［ 。然 而 复杂系统 由于参
收 稿 日期 ：０８—０ ２０ ８—２ ５
作者简介 ： 林
４
盾（９ ６ ， 四川 奄人 ， １７ 一） 男， 硕士生 ， 研究方 向： 计算机对信息 的分析处理及财 复杂系统 的优化设计仿 真过程研究。
ห้องสมุดไป่ตู้

基于精确罚函数的神经网络优化方法求解TSP问题

基于精确罚函数的神经网络优化方法求解TSP问题

基于精确罚函数的神经网络优化方法求解TSP问题
焦铭
【期刊名称】《福建电脑》
【年(卷),期】2004(000)002
【摘要】利用精确罚函数方法结合神经网络来求解最优化问题,重点求解的是组合优化问题的TSP经典问题,重点讲述的是Hopfield神经网络基于精确罚函数求解组合优化问题TSP.在用Hopfield神经网络求解TSP问题时,人工神经网络的初始态对应着无约束优化问题的初始解,人工神经网络系统的稳态对应着无约束问题的优化解.在求解TSP问题中是利用能量函数来构造的.当人工神经网络系统达到稳定状态时的一个极小点也就是TSP问题的最优解.
【总页数】2页(P20-21)
【作者】焦铭
【作者单位】衡阳师范学院计算机系,湖南,衡阳,421008
【正文语种】中文
【中图分类】TP3
【相关文献】
1.用罚函数求解线性双层规划的全局优化方法 [J], 赵茂先;高自友
2.基于精确罚函数的一类广义非线性神经网络模型 [J], 孟志青;胡奇英;杨晓琪
3.二层规划求解的精确罚函数蚁群优化算法 [J], 冯力静;陈丽芳;刘洋
4.基于遗传算法的退火精确罚函数非线性约束优化方法 [J], 吴志远;邵惠鹤;吴新余
5.应用罚函数求解二层线性优化问题的全局优化方法 [J], 曹东
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基于Hopfield神经网络的打磨工艺路线优化

基于Hopfield神经网络的打磨工艺路线优化

基于Hopfield神经网络的打磨工艺路线优化崔光鲁;陈劲杰;徐希羊;周媛【摘要】为提升工件表面处理工艺品质,提出运用人工智能的方法解决打磨工艺执行路线决策问题.基于人工神经网络思想,利用连续型Hopfield神经网络算法,对打磨工艺执行路线进行优化排序.文中以锅具打磨为分析案例,展示具体应用方法.得出了更加优化的锅具表面打磨工艺执行路线,为以后工件表面处理更加智能高效提供了理论依据.【期刊名称】《电子科技》【年(卷),期】2017(030)005【总页数】4页(P36-39)【关键词】决策优化;智能算法;Hopfield神经网络;工艺排序方法【作者】崔光鲁;陈劲杰;徐希羊;周媛【作者单位】上海理工大学机械工程学院,上海200093;上海理工大学机械工程学院,上海200093;上海理工大学机械工程学院,上海200093;上海理工大学机械工程学院,上海200093【正文语种】中文【中图分类】TP18随着现代工业产品复杂程度的不断增加，新的加工制造方法也层出不穷，导致了产品的生产工艺路线的可行解也成指数方式增长。

为了与新的发展形势相适应，人工智能算法可为工艺路线提供一种更加智能且行之有效的解决方法。

传统的工艺决策路线是分级、分阶段地考虑几何特征、加工工艺要求、工艺实现方法与优化指标等约束条件的，最后得出各工序较为合理的安排顺序。

存在着工艺决策智能化水平较低、过程与设计经验难以提取等缺点。

当产品工艺路线网络图中可能的组合方案较多时，枚举法不再适用[1]，就需要寻求一些智能算法对生产中最优的工艺执行路线进行求解。

打磨生产过程中，需要综合考虑制造资源、生产实效两方面的因素。

制造资源包括打磨所使用的执行设备、打磨材料、夹具等，生产实效则为打磨效果、实现成本、加工效率等。

上述两方面因素构成了对打磨的限制约束，以成本低、效率高为优化目标。

打磨过程的排序问题就转化为寻找制造资源的变换次数最少的执行路线问题[2]。

最新6神经网络优化学习10-11-药学医学精品资料

最新6神经网络优化学习10-11-药学医学精品资料
1 2 i n
类别界限 w1u1 w2u2 wi ui wn un 0
2019/2/24 6
adqiao@
单神经元感知器
u2
二输入单神经元感知器
w1u1 w2 u2 0


2

w2
y 1
若 u1 0 ，则 u 2 w 若 u 2 0 ，则 u1
多神经元感知器
y1 y2
输入向量 u [u1 u2 un ]T 阈值向量 θ [1 2 m ]T 连接权系数矩阵
w11 w W 21 wm1 w12 w22 wm 2 w1n w2 n wmn
ym
n ( n 3 )输入单神经元感知器，类别界限
w1u1 w2u2 wi ui wn un 0
对于在 n 维向量空间上的线性可分模式，通过一个 n 输入的单神 经元感知器一定可以找到一个超平面，将该模式分为两类。
2019/2/24 8
adqiao@
2
adqiao@
第六章：神经网络的优化学习
1969年, Marvin Minsky和Seymour Papert,《感知器》,神经网络
研究陷入低潮。 直到80年代, 改进的(多层)感知器网络和学习规则, 唤起人们对 神经网络研究的兴趣。
2019/2/24
3
adqiao@
1
w11 w12
2
wm1
w1n
m
wm 2 wmn

作用函数 输出向量
2019/2/24
1 x 0 f ( x) 0 x 0
y f (W u θ )

最优化理论与方法课程教学创新性体系研究

最优化理论与方法课程教学创新性体系研究

［收稿时间］2023-05-05［作者简介］舒万能（1981—），男，武汉人，博士，副教授，硕士研究生导师，研究方向为云计算、智能计算、机器学习等方面应用。

September ，2023University Education［摘要］最优化方法是现代管理科学的重要理论基础和不可缺少的方法，被人们广泛地应用到计算机科学、智能科学与技术、经济管理、国防等领域。

最优化理论与方法课程是高校人工智能专业一门专业必修课程，为学生熟悉现代最优化理论及方法的设计和应用打下良好的基础。

文章探讨了该课程实践教学的现状及其存在的问题，分析了该课程目标达成度与实践教学创新性体系的研究方法与实践措施。

［关键词］最优化理论与方法；实践教学体系；计算机科学与技术；人工智能;精品课程［中图分类号］G642.0［文献标识码］A ［文章编号］2095-3437（2023）17-0033-03在人工智能时代，人工智能专业相关课程的实践教学是培养和提高学生编程能力和创新能力的重要环节。

最优化理论与方法课程作为高校人工智能本科专业的一门专业必修课，以数据结构、算法设计与分析等课程为专业基础，课程的创新性体系研究对培养高素质、创新型、复合型人才有重要的促进作用[1-2]。

虽然国内大部分高校人工智能相关的课程开设较早，但人工智能学科成立的时间比较晚，尤其是面向高考招生的人工智能专业，基本上是近五年才开始的。

最优化理论与方法作为人工智能专业的核心课程，其实践教学与创新性体系尚处于起步建设阶段，加强实践教学是实现人才培养目标和提高人才培养质量的迫切要求[3-4]，是实施国内“双一流”高校建设的内在要求和重要内容。

最优化理论与方法课程主要分析最优化方法在计算机科学、智能科学与技术、经济管理、国防等领域的作用[5]，研究最优化基本要素和一维最优化方法搜索区间的确定，重点在于分析线性规划的求解原理和过程，以及整数规划数学模型和穷举法，同时设计非线性规划中的多目标优化模型。

第5章 Hopfield神经网络与联想记忆

第5章 Hopfield神经网络与联想记忆
合肥工业大学 计算机与信息学院 图像信息处理研究室 Tel:2901393 Email:images@ /organ/images

Hopfield 网络中有个 n 神经元，其中任意神 经元i的输入用 ui表示，输出用vi表示，它们 都是时间的函数，其中 vi(t) 也称为神经元 i n 在 t 时刻的状态。 ui (t ) wij v j (t ) bi
V (t ) V
。、、、 合肥工业大学
计算机与信息学院 图像信息处理研究室
Tel:2901393 Email:images@ /organ/images
定义


定义3 若平衡态 V 是稳定的、收敛的，则该平衡 态被称为渐进稳定。 定义4 若平衡态 V 是稳定的，且当时间 t 趋向于 无穷大时，所有的系统轨线均收敛于 V ，则此平 衡态是渐进稳定的或全局渐进稳定的。
j 1 j i

相应神经元i的输出或状态为：

合肥工业大学 计算机与信息学院 图像信息处理研究室
vi (t 1) f (ui (t ))
Tel:2901393 Email:images@ /organ/images

其中的激励函数f (· )可取阶跃函数u(t)或符号函数 Sgn(t)。如取符号函数，则Hopfield网络的神经元 的输出vi(t+1)取离散值1或-1，即：

神经元可取二值{0/1}或{-1/1}，其中的任意神经元i与j 间的突触权值为 Wij，神经元之间联接是对称的，即 Wij= Wji，神经元自身无联接,即Wii=0。虽然神经元自 身无联接，但每个神经元都同其它的神经元相连，即 每个神经元都将其输出通过突触权值传递给其它的神 经元，同时每个神经元又都接收其它神经元传来的信 息，这样对于每个神经元来说，其输出信号经过其它 神经元后又有可能反馈给自己，所以 Hopfield 网络是 一种反馈神经网络。

第七章 Hopfield网络

第七章 Hopfield网络
1 2 K (ii). 能够记忆预先给定的K个模式 x , x , , x ，即
xik sign( wij x k j i ), i 1,2, , n, k 1,2, , K .
今后为了方便起见, 我们记 wii i 归结Hopfield网络的学习算法如下: (1)开始赋于权值矩阵 W(0) 以一个较小不为 0 的随机数, t=0 并且要求:
7-1-1 离散型Hopfield网络
离散Hopfield网结构见图(a)，是单层反馈非线性网， 每一节点的输出反馈至输入。 Hopfield用模拟电路(电阻、电容和运算放大器)实现网 络的神经元(节点)，见图(b)。来自图9-1 离散型Hopfeld网络
7-1-1 离散型Hopfield网络
网络为一层结构的反馈网络，能处理双极型离散数据 (即输入 –1,+1)， 及二进制数据(0,1)。 给定初始输入时，网络处于特定的初始状态。网络从初始状态开始运行， 可得到网络下一状态的输出。这个输出状态通过反馈连接送到网络的输入 端，作为下一阶段运行的输入信号，它可能与初始输入信号不同。如此下 去，网络的整个运行过程就是上述反馈过程的重复。如果网络稳定，那么 随着多次反馈运行，网络状态最后将达到稳态。用公式表达为：
j i
若网络对模式 x k 稳定,转到(4);否则进行 (3); (3)更新网络权值: 1 wij (t 1) wij (t ) ( (ri (t )) (rj (t ))) xi (t ) x j (t ), i j , 2 (4) 若网络权值对所有的模式稳定, 则停机; 否则转到 (2). 其中
1 E s(t )( v ) ( v )W ( v ) T 2 T 其中 s(t ) v(t )W ,而 v v(t 1) v(t ) vi si (t ) 0, 故 s(t )(v) 0

人工神经网络第三1部分BP及hopfield网

人工神经网络第三1部分BP及hopfield网
其中：H (t ) n w X (t ) ij i j j
i 1
X j (t 1) sgn( H j (t )) 0 H j (t ) 0
j 为节点j的阈值。 Wij为节点i与j间的连接权，
Hopfield神经网络特点
整个网络的状态用X(t)表示，是由各个节点的状态Xj(t)构成的 向量 例如，设网络输出层有三个节点，则整个网络的状态共有 八种状态，每一个状态都是一个三位的二进制数(如0和1)。如下 图，立方体每一个顶点代表一网络状态。 一般情况下，输出层有 n 个神经元，则 网络就有 2n 个状态，与一个 n 维超立体 相关联。 当一个输入向量输入到网络后，网 络的迭代过程就不断从一耳光顶点转向 另外一个，直到稳定于一个顶点，若网 络输入只有部分正确，则网络稳定于所 期望顶点附近的顶点位置。
Hopfield网络的MATLAB仿真程序设计 本例MATLAB仿真程序设计的主要步骤： 根据数字图片，构造标矢量t ； 创建和设计Hoppfield 网络； 对训练后的网络进行仿真。
神经网络理论研究、神经网络应用研究和神 经网络的实现技术是人工神经网络的三个研究 主要方向。 本讲结合神经网络的应用实例，对神经网络 模型算法及其MATLAB仿真作了简要介绍。
训练误差曲线及单元激活函数。 例题参考 C:\matlab\nnet\demobp4.m
B1 w1 w2
Sum -Squared Error
10
2
Sum-Squared Network Error for 6321 Epochs
10
1
B2
10
0
10
-1
10
-2
0
1000
2000
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③即前面已讨论过的
容易证明它满足Lyapunov函数的三个条件：①函数
连续可导；②函数正定以及；③函数的导数半 负定。
E (V ) wij v j i ①从 可以看出E对于所有V的分量是连续的。 v i j i
② 严格来说，式（10-9）并不能满足Lyapunov函数的正定条 件。但是，对于神经元有界的神经网络的稳定性来说，正定 条件可以退化为只要求该函数有界。
Hopfield神经网络优化方法 17
Hopfield网络基本结构:
其中，I1, I2,..., In是外部对网络的输入；v1, v2,..., vn是网络系统 的输出；u1, u2, ..., un是对相应神经元输入，wij是从第j个神经 元对第i个神经元的输入的权值，wji=wij，wii=0。f(•)是特性函 数，决定了网络是离散的还是连续的。
Hopfield神经网络优化方法
16
10.2 Hopfield神经网络 - HNN
特点：



网络中引入了反馈，所以它是一个非线性动力 学系统 . 非线性动力学系统着重关心的是系统的稳定性 问题。 在Hopfield模型中，神经网络之间的联系总是 设为对称的，这保证了系统最终会达到一个固 定的有序状态，即稳定状态。



各神经元接受前一层的输入，并输出给下一 层，没有反馈。 结点分为两类，即输入单元和计算单元，每 一计算单元可有任意个输入，但只有一个输 出（它可耦合到任意多个其他结点作为输 入）。 可分为不同的层，第i-1层输出是第i层的输 入，输入和输出结点与外界相连，而其他中 间层称为隐层。
主要起函数映射作用，常用于模式识别和函数逼近 。
0 0.55 0.45 0.33 W 0.63 0.78 0.24 0.17 0.55 0 0.91 0.47 0.58 0.61 0.30 0.22 0.45 0.91 0 0.10 0.19 0.26 0.77 0.53 0.33 0.63 0.47 0.58 0.10 0.19 0 0.66 0.66 0 0.32 0.15 0.14 0.70 0.05 0.065 0.78 0.61 0.26 0.32 0.15 0 0.81 0.15 0.24 0.17 0.30 0.22 0.77 0.53 0.14 0.05 0.70 0.065 0.81 0.15 0 0.23 0.23 0
0.65 0.3 0.4 0.75 0.15 0.25 0.95 0.35
试确定网络最后的平衡状态。
Hopfield神经网络优化方法 27
能量函数与稳定性
例10-1 试计算一个有8个神经元的离散Hopfield网络， 其网络权值W和阈值向量如下：
6
人工神经元模型

权值：给不同的输入的信号一定的权值，用wij 表示。一般权值为‘+’表示激活，为‘-’表示 抑制；
Hopfield神经网络优化方法
7
人工神经元模型

求和器：用表示，以计算各输入信号的加权 和，其效果等同于一个线性组合；
Hopfield神经网络优化方法
8
人工神经元模型

激活函数：图中的f()，主要起非线性映射作用， 另外还可以作为限幅器将神经元输出幅度限制 在一定范围内；
Hopfield神经网络优化方法
9
人工神经元模型

阈值：控制激活函数输出的开关量，用i表示。
Hopfield神经网络优化方法
10
人工神经元模型

上述作用可用数学方式表示如下：
ui wij s j
j 1 n
xi ui i vi f ( xi )
i=1, 2,…, n
式中，sj为输入信号；wij为神经元i对输入信号sj的权值； ui为线性组合结果；i为阈值；f()为激活函数； vi为神经元i的输出。
Hopfield神经网络优化方法 15
（2）反馈型网络

所有结点都是计算单元，同时也可接受输入，并向外界输出。 若总的单元数为n，则每一个结点有n-1个输入、—个输出，如图10-7 的 形式。
反馈网络按对能量函数极 小点的利用分为两类： •一类是能量函数的所有极 小点都起作用，主要用作 各种联想存储器； •第二类只利用全局极小点， 主要用于优化问题求解。 Hopfield模型、波尔兹曼 机（BM）模型等可以完成 此类计算。
1 vi 0
xi 0 xi 0
Hopfield神经网络优化方法
（10-6）
19
离散型Hopfield网络

2种状态更新方式：


异步方式：在任一时刻 t ，只有某一个神经元按式 （10-6）发生变化，而其余n-1个神经元的状态保持 不变。 同步方式：在任一时刻t，有部分神经元按式（10-6） 变化（部分同步）或所有神经元按式（10-6）变化 （全并行方式）。
13
激活函数的若干形式

（3）sigmoid函数
1 f ( x) 1 exp(cx)
式中，c为大于0的参数， 可控制曲线斜率
Hopfield神经网络优化方法
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10.1.3 人工神经网络的互连模神经网络分为 如下2种形式：前馈型网络 ，反馈型网络
（1）前馈型网络
Hopfield神经网络优化方法
4
人工神经元模型

人工神经元是构成人工神经网络的基本单元， 是对生物神经元特性及功能的一种数学抽象， 通常为一个多输入单输出器件。
Hopfield神经网络优化方法
5
人工神经元模型

输入与输出信号：s1、s2、….sn为输入，vi为输 出。输出也称为单元的状态。
Hopfield神经网络优化方法
xi wij v j i>0，则取v =1
n
xi wij v j i <0，则取vi=-1
j i
j i n
i
Hopfield神经网络优化方法
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能量函数与稳定性
例10-1 试计算一个有8个神经元的离散Hopfield网络， 其网络权值W和阈值向量如下： 2．计算结果 （1） 初始解按v0=[-1 1 -1 1 -1 1 1 1]T 最终状态：v=[1 1 1 1 1 1 1 1 ]T 最小能量：E=-15.165。 （2） 初始解按v0=[1 -1 1 -1 1 -1 1 -1]T 最终状态：v=[-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 ]T 最小能量：E=-7.564998。 经尝试不同的初始状态，该网络系统最终收敛到（1）和（2 ）两个状态之一。其中，状态1为最优解，而状态2为局部最优 解。 解毕。
的，则在满足一定的参数条件下，某种能量函数在网络运 行过程中是不断降低并最后趋于稳定平衡状态的——网络 中任意一个神经元节点状态发生变化时，能量E都将减小。
Hopfield神经网络优化方法 22
能量函数与稳定性
假设第i个神经元节点状态 v i 的变化量记为
Ei 。能量
（1）当状态 （2）当状态
vi ，相应的能量变化量记为
第10章 Hopfield神经网络 优化方法
胡广华
1
Hopfield神经网络优化方法

10.1 人工神经网络模型 10.2 Hopfield神经网络 10.3 Hopfield网络与最优化问题
Hopfield神经网络优化方法
2
人工神经网络

人工神经网络是指由大量简单人工神经元互联而成的一 种计算结构。它可以在某种程度上模拟生物神经系统的 工作过程，从而具备解决实际问题的能力。
Hopfield神经网络优化方法
21
离散型Hopfield网络

定理10.1 若神经网络的连接权矩阵W是零主对角元素的
对称矩阵，即满足wij=wji且wii＝0，i＝l，2，…，n，网络
状态按串行异步方式更新，则网络必收敛于状态空间中的 某一稳定状态。

能量函数与稳定性之间的关系 ：如果网络是稳定
n
Ei ( wij v j i )vi
对于离散型网络方程，Hopfield将网络整体能量函数定义为：
1 n n E (t ) wij vi v j i vi 2 i 1 j i i
Hopfield神经网络优化方法 23
能量函数与稳定性

“E随状态变化而严格 单调递减”
Hopfield神经网络优化方法 11
激活函数的若干形式

（1）阈值函数，即阶跃函数
1 f ( x) sgn( x) 0 x0 x0
于是神经元i的相应输出为：
1 vi 0
n
xi 0 xi 0
j 1
式中，
x i wij s j i
12
Hopfield神经网络优化方法
一旦给出Hopfield网络的权值和神经元的阈值， 则网络的状态转移序列就确定了。
Hopfield神经网络优化方法 20
离散型Hopfield网络

定义10.1 若神经元i在更新过程中，输出变量v 不再变化，则称神经元i已稳定。若Hopfield网 络从t=0的任意一个初始输出状态开始，存在 一个有限的时间，此时间点后系统中所有神经 元都是稳定的，即网络状态不再发生变化，则 v (t t ) v (t )，对所 称该系统是稳定的，即： 有 t 0 。
人工神经网络由于其大规模并行处理、学习、联想和记 忆等功能，以及它高度的自组织和自适应能力，已成为 解决许多工程问题的有力工具，近年来得到了飞速的发 展。

Hopfield神经网络优化方法
3
生物神经系统

生物神经系统是一个有高度组织和相互作用的 数目庞大的细胞组织群体。这些细胞被称为神 经细胞，也称作神经元。