三类可降阶的三阶非线性微分方程

三阶常系数线性非齐次微分方程通解的降阶法降阶法是高阶线性微分方程的一种解法，它可以解决三阶常系数非齐次微分方程。

下面我们来分析一下它是如何解决三阶常系数非齐次微分方程的。

1. 定义降阶法降阶法是一种用于解决三阶常系数非齐次微分方程的算法，它将三阶常系数非齐次微分方程转化为一组互相关的线性一阶方程组。

2. 三阶常系数非齐次微分方程三阶常系数非齐次微分方程是在三阶线性常系数微分方程的基础上，涉及右端非齐次项，则称为三阶常系数非齐次微分方程，它的一般形式为：$$y^{'''}+a_2y''+a_1y'+a_0y=g(x)$$3. 降阶法的基本思想降阶法的基本思想是将三阶general equation降低到一组互相关的线性一阶方程组，通过求解这个方程组来解决三阶general equation，换言之，就是将三阶微分方程转化为三个一阶微分方程。

4. 降阶法的具体步骤（1）令$u_1=y$ 、$u_2=y'$和$u_3=y''$ ，引入三个新变量。

（2）将三阶常系数非齐次微分方程变换为三个一阶微分方程：$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad u_1'=u_2$$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad u_2'=u_3$$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad u_3'=g(x)-a_2u_2-a_1u_1-a_0u_0$（3）解上述方程组，即可求得三阶常系数非齐次微分方程原方程的通解。

5. 降阶法的优缺点（1）优点：相比于其他解法，降阶法计算量较小，易于推导和实现。

（2）缺点：当微分方程非常复杂时，降阶法可能会出现运算失真或者不稳定的现象，影响最终结果的准确性。

《Legendre小波法求解三类分数阶微积分方程组》篇一一、引言分数阶微积分方程组在众多领域中有着广泛的应用，如物理学、工程学、生物学等。

由于这些方程组具有复杂的非线性特性和高阶导数，传统的数值方法往往难以准确求解。

因此，寻找一种高效且准确的求解方法显得尤为重要。

本文将介绍一种基于Legendre小波法的求解策略，对三类分数阶微积分方程组进行求解，并通过数值实验验证其有效性。

二、问题描述本文将研究以下三类分数阶微积分方程组：1. 线性分数阶微分方程组；2. 非线性分数阶微分方程组；3. 带有边界条件的分数阶偏微分方程组。

这三类方程组在各自的领域中具有广泛的应用，但由于其复杂性和高阶特性，传统方法往往难以解决。

本文将使用Legendre 小波法对这些方程组进行求解。

三、Legendre小波法概述Legendre小波法是一种基于小波分析的数值求解方法。

它通过将待求解的函数表示为一系列Legendre小波的加权和，从而将原问题转化为求解一系列代数方程的问题。

该方法具有计算效率高、精度好、适用于高阶微分方程等特点。

四、Legendre小波法求解三类分数阶微积分方程组1. 线性分数阶微分方程组的求解对于线性分数阶微分方程组，我们首先将其转化为标准形式，然后利用Legendre小波法进行求解。

通过选择合适的小波基函数和加权系数，我们可以得到近似解。

通过数值实验，我们发现该方法具有较高的精度和计算效率。

2. 非线性分数阶微分方程组的求解对于非线性分数阶微分方程组，我们同样可以利用Legendre 小波法进行求解。

与非线性问题不同的是，我们需要对非线性项进行适当的处理，如将其展开为Taylor级数或利用迭代法进行求解。

通过数值实验，我们发现该方法在处理非线性问题时同样具有较高的精度和计算效率。

3. 带有边界条件的分数阶偏微分方程组的求解对于带有边界条件的分数阶偏微分方程组，我们需要在求解过程中考虑边界条件的影响。

可降阶微分方程的三种类型可降阶微分方程是一类比较常见的微分方程，其特征在于变量分离后可以进行一系列的代数运算，最终将该微分方程化为一阶微分方程或高阶微分方程的形式。

本文将介绍可降阶微分方程的三种类型，以及对应的解法。

第一种类型是可化为常数系数的齐次线性微分方程。

其形式为：$$y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_1y'+a_0y=0$$其中$a_0,a_1,\cdots,a_{n-1}$为常数。

该微分方程可进行变量代换和递推公式的推导，最终将该微分方程化为一阶线性微分方程的形式：$$y^{(n)}=-a_{n-1}y^{(n-1)}-\cdots-a_1y'-a_0y$$然后，通过特征方程的求解和系数法的运用，即可求出该微分方程的通解。

第二种类型是可化为常数系数的非齐次线性微分方程。

其形式为：$$y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_1y'+a_0y=f(x)$$其中$a_0,a_1,\cdots,a_{n-1}$为常数，$f(x)$为已知函数。

与第一种类型的微分方程相对应，该微分方程也可以通过递推公式的推导，化为一阶线性微分方程的形式：$$y^{(n)}=-a_{n-1}y^{(n-1)}-\cdots-a_1y'-a_0y+f(x)$$然后，通过求解该一阶线性微分方程的齐次和非齐次部分，得到该微分方程的通解。

第三种类型是可化为一阶线性微分方程的微分方程。

其形式为：$$y^{(n)}=f(x,y,y',\cdots,y^{(n-1)})$$该微分方程的解法比较特殊，需要通过变量分离，分部积分和一阶线性微分方程的代换，将该微分方程化为一阶线性微分方程的形式：$$y'=f(x,y)$$然后，通过分离变量和积分求解该一阶微分方程，并将解代入原式，从而得到该微分方程的通解。

综上所述，可降阶微分方程是一类比较简单和常见的微分方程，其解法包括变量代换，递推公式的推导和一阶线性微分方程的代换等。

一些三階非線性微分方程之解法
，
三階非線性微分方程（NDEs）是描述物理系統的非常重要的數學形式。

它們的解可用於
廣泛的電氣、化學或機械系統。

NDEs會比一階或二階非線性微分方程（ODEs）更難解決，因此需要很多的技巧和數學解決方案來處理它們。

首先，有幾種轉換可以用於解決三階非線性微分方程，其中最常用的是Liouville轉換。

Liouville轉換可以將三階NDE化簡為組合第一階NDE和第二階NDE，這些NDE可以使
用現有技術來解決，或者可以使用有限元或有限差分法來求解。

其次，經轉換後NDE可以使用許多有效的數值技術來獲得解決方案，例如拉格朗日投影
方法、前瞻性正規化方法和牛頓法。

近來，深度學習技術也被用於NDE的解決方案，可
以有效地進行高維度微視圖模塊評估，甚至跨過紊流或混沌體系。

最后，針對某些特殊的三階非線性微分方程，可以用解析法來求解，但是由於方程式通常
由非常複雜的函數和參數組成，所以對解析法來說，要求強大的數學知識和能力；目前只有少數特定的非線性NDE可以使用解析法進行求解。

因此，要解決一般的三階非線性微分方程，需要相應的數學方法，包括但不限於轉換、數值方法與深度學習技術；另外，對於一些特定的非線性三階微分方程，也可以使用解析法來求解。

几种可降阶的三阶变系数齐次线性微分方程类型
张敬;周莉
【期刊名称】《高师理科学刊》
【年(卷),期】2007(027)002
【摘要】讨论了三阶变系数齐次线性微分方程可降阶的3个充分条件,它是文献[1～2]中相关结论的改进和发展.
【总页数】2页(P1-2)
【作者】张敬;周莉
【作者单位】齐齐哈尔大学,理学院,黑龙江,齐齐哈尔,161006;齐齐哈尔大学,理学院,黑龙江,齐齐哈尔,161006
【正文语种】中文
【中图分类】O175.1
【相关文献】
1.三阶变系数非线性齐次微分方程正周期解 [J], 韩卫卫
2.三阶常系数线性非齐次微分方程通解的降阶法 [J], 李文娟;李书海;汤获
3.特征重根型变系数线性齐次微分方程的降阶求解方法 [J], 孟令保
4.线性变系数齐次微分方程的两种降阶法 [J], 舒志彪
5.二阶、三阶变系数线性微分方程可降阶的一个类型 [J], 孙景宏
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非线性微分方程三阶三点边值问题正解的存在性
区别线性微分方程和非线性微分方程：1.微分方程中的线性，指的是y及其导数y'都是一次方。

如y'=2xy。

2.非线性，就是除了线性的。

如y'=2xy^2。

若一个微分方程不符合上面的条件，就是非线性微分方程。

线性方程：在代数方程中,仅不含未知数的一次幂的方程称作线性方程。

这种方程的
函数图象为一条直线，所以称作线性方程。

可以认知为：即为方程的最低次项就是一次的，容许存有0次项，但无法少于一次。

比如说ax+by+c=0，此处c为关于x或y的0次项。

微分方程：含有自变量、未知函数和未知函数的导数的方程称为微分方程。

如果一个微分方程中仅所含未明函数及其各阶导数做为整体的一次幂,则表示它为线
性微分方程。

可以认知为此微分方程中的未明函数y就是不少于一次的，且此方程中y的
各阶导数也必须就是不少于一次的。

第七章：微分方程第一类：（可分离变量型——包括一阶齐次线性微分方程）方程可以化为dy y g dx x f )()(=形式，用分离变量微分法；第二类：（非线性齐次型）方程可以化为)(x y dx dy ϕ=的形式，用u xy =替换法；一种较特殊的方程c b a y x c by ax dx dy 111++++=（*）在不同情况下可经过不同的变化来属于第一、二类微分方程1.01==c c 时，(1111x y x y x y b a yx by ax dx dy b a b a ϕ=++=++=属于第二类微分方程；2.01≠⋅c c 时，首先考虑b a ba 11=（&）成不成立；（1）不成立：根据此时的（*）并不属于第二类，可以重新构造分子、分母，来使得新形成的常数都为零，为了计算简便，引入的新参数必须与x、y 齐次,故设m X x +=、n Y y +=，这样就确保了dX dx =、dY dy =，故c b a b a c b a n m Y X cbn am bY aX y x c by ax dx dy dX dY 11111111++++++++=++++==，为了使这个式子属于第二类微分方程，则必须像 1.一样，常数都为零，即0111=++=++c b a n m c bn am （A ），因为（&）不成立，所以011≠-ab a b ，故可解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=b ba c cb b a a ac a b m a b c n 11111111，则此时就有)(1111111X Y X Y X Y ba Y X bY aX y x c by ax dx dy dX dYb a b ac b a ϕ=++=++=++++==，属于第二类微分方程；（2）成立：由（1）中叙述可知，当（&）式成立时，方程组（A ）无解，则（2）中的方法不可行，故考虑整体替换，即设λ==b a b a 11，c b a b a c b a y x c y x y x c by ax dx dy 11111111)(++++=++++=λ，再令y x u b a 11+=，此时⇒=+++=⇒++=-=)(1111111u g u c u dx du u c u dx du dx dy a c b c b a λλduu g dx x f )()(=（1)(=x f ），属于属于第一类微分方程；第三类：（可降阶微分型）1.),(y x f y '=''型[y 的二阶微分方程中不含y 型]，用p y ='替换法；2.),(y y f y '=''型[y 的二阶微分方程中不含x 型]，用p y ='替换法；第四类：（一阶非齐次线性微分型）方程可化为)()(x Q y x p dxdy =+的形式，用背公式或者常数变易法；公式：一阶非齐次线性微分方程的通解（简称“非通”）y =e e dx x p dx x p dxx Q C ⎰⎰+⎰)()()(【背诵口诀：C+Q(X)积分含e 的P(x)积分方，再除以e 的P(x)积分方】；常数变易法：第一步：先求一阶齐次微分方程（即一阶非齐次微分方程右端为零时的方程）的通解（运用第一类微分方程的解法）；第二步：令第一步求得的通解中的常数C 为u ，求出y '；第三步：将第二步得到的⎩⎨⎧='=y y 代入一阶非齐次微分方程中得到一个关系式（只引入了一个参数u ，一个关系式足矣），消掉y '、y 后（第一、二步都是为这个消掉y '、y 做准备），解得u '，再利用积分求得u ；第四步：将u 代入第二步替换后的通解中，即求得一阶非齐次微分方程的通解；一种较特殊的方程y n x Q y x p dxdy )()(=+（伯努力方程）（*）在不同情况下可经过不同的变化来属于第一、四类微分方程1.当n=1时,dx x p x Q ydy y x Q y x p dx dy )]()([)()(-=⇒=+，属于第一类微分方程；2.当n=0时，)()(x Q y x p dx dy =+，属于第四类微分方程；3.当n 1,0≠时，方程变形得)()(1x Q x p dx dy y y n n =+--，令C z dy dz dxdz dx dy y y n y n n n n +=⇒=⇒=-----1)1()1(，取y n z -=1，则有)1(n dx dz dx dy y n -=-代入y n x Q y x p dx dy )()(=+后变形得)()1()()1(x Q n z x p n dx dz -=-+，令)()()1(2x x p n p =-，)()()1(2x x Q n Q =-)()(22x z x dx dz Q p =+⇒，属于第四类微分方程；第五类：（二阶非齐次线性微分型）方程可化为)()()(x f y x Q y x p y =+'+''的形式，用背公式或者常数变易法(过程与第四类中的常数变易法类似)--------用【已知“齐通找非齐特”，或者“已知齐一特”法】；公式：对于二阶非齐次线性微分方程的通解（简称“非通”）y 等于该非齐次方程对应的齐次方程的通解加上该非齐次方程的一个特解，即非通-非特=齐通【容易证明，对于n 阶非齐次线性微分方程都有这个结论】常数变易法：第一步：已知二阶齐次微分方程（即二阶非齐次微分方程右端为零时的方程——第六类方程）的通解；第二步：令第一步求得的通解中的常数C1、C2分别为u u 21,，求出y '、y ''；第三步：将第二步得到的⎪⎩⎪⎨⎧=''='=y y y 代入二阶非齐次微分方程中得到一个关系式①（两个引入参数u u 21,，一个关系式不够，还需要得到一个关系式，而且得到的这个关系式为了求出u u 21,，故为了最简单地求解出这两个参数，就不允许在y ''中出现u u ''''21,，而又因为u u 21,均不为常数，故在y '定会出现u u ''21,，而要划线部分同时成立，则必须在y '中将u u ''21,抵消掉，而y u y u y u y u y '''+'++='22112211，故令02211='+'y u y u ②，为了更方便的求解，所以需要得到更简单的①式，所以将②式在第二步中就运用，这样得到的①式为)(2211x f y u y u =''+''②，联立①②就可解得u u ''21,），再利用积分求得u u 21,；第四步：将u u 21,代入第二步替换后的通解中，即求得二阶非齐次微分方程的通解。

一种基于泰勒展开的临界降阶直流配电系统稳定控制算法袁宇波1，易文飞1，赵学深2,3，朱琳2,3，王一振2,3，刘海涛4(1. 国网江苏省电力有限公司电力科学研究院，江苏 南京　211103；2. 天津大学 智能电网教育部重点实验室，天津　300072；3. 天津市智慧能源与信息技术重点实验室，天津　300072；4. 中国电力科学研究院有限公司，北京　100192)摘　要：以中压直流（medium-voltage DC, MVDC ）配电系统为研究对象，建立了直流系统的临界降阶模型，研究了恒功率负载对系统稳定性的影响。

由于直流系统中恒功率负载的负阻抗特性会导致系统电压发生振荡失稳现象，给稳定运行带来不利影响，提出一种能够提高MVDC 配电系统电压稳定性的稳定控制算法，通过状态反馈控制、下垂控制及电压控制中关键参数的分散灵活设计，改变系统主导极点在s 域平面的位置，有效提高MVDC 配电系统的稳定性。

仿真结果验证了临界降阶模型的合理性以及基于泰勒展开控制算法的有效性。

关键词：中压直流配电系统；泰勒展开；阻尼比；临界降阶模型；稳定控制算法DOI ：10.11930/j.issn.1004-9649.2020120060 引言长期以来，中压交流（medium-voltage AC,MVAC ）配电系统以其电压变换方便性和继电保护装置经济性，一直是传统配电系统广泛采用的解决方案[1-3]。

随着国民经济的快速发展，直流负荷所占比重越来越高，如数据中心、电动汽车、城市轨道交通，且源荷直流特征愈发显著[4]。

随着更高效率的电力电子变换装置的问世，中压直流配电技术在提高电能质量方面的巨大潜力引起学者们的广泛关注。

中压直流（medium-voltage DC, MVDC ）配电系统凭借能源效率高、配电容量大、配电损耗小、建设成本低等优势成为未来城市智能配电的重要发展方向[5]。

MVDC 配电系统呈现一种非线性、时变的特性，通常为串级分布式结构[6]。

三类三阶微分方程边值问题的正解三类三阶微分方程边值问题的正解一、引言微分方程是数学中的重要概念，它是描述自然界和人类社会中许多现象的重要数学工具。

在微分方程中，特别是高阶微分方程的解析解求取一直是研究的热点和难点。

在高阶微分方程中，三阶微分方程是一类常见的问题，它的解析解求取一直备受研究者的关注。

本文将重点讨论三类三阶微分方程边值问题的正解，为解决实际问题提供一定的借鉴意义。

二、型式一：三阶常系数线性齐次微分方程三阶常系数线性齐次微分方程的一般形式为：\[y''' + ay'' + by' + cy = 0\]其中a，b，c为常数。

解该方程的一般步骤如下：1. 通过设定特征方程求得方程的特征根。

令$y=e^{mx}$，代入微分方程，则得到特征方程$am^3+bm^2+cm=0$，解此方程即可得到特征根。

2. 根据特征根求得对应的特解。

因为是线性齐次方程，所以特解的形式为$y=c_1e^{m_1x}+c_2e^{m_2x}+c_3e^{m_3x}$，其中$c_1$、$c_2$、$c_3$为常数，$m_1$、$m_2$、$m_3$为特征根。

3. 将特解带入原方程，并通过满足边值条件来确定常数。

将特解$y=c_1e^{m_1x}+c_2e^{m_2x}+c_3e^{m_3x}$代入原方程，再通过给定的边值条件解方程组，确定$c_1$、$c_2$、$c_3$的值。

三、型式二：三阶变系数线性齐次微分方程三阶变系数线性齐次微分方程的一般形式为：\[y''' + p(x)y'' + q(x)y' + r(x)y = 0\]其中p(x)、q(x)、r(x)为已知的函数。

解该方程的一般步骤如下：1. 利用变换求得常系数微分方程的解。

通过变换$y=e^{h(x)}$，其中$h(x)=\int p(x)dx$，可将变系数微分方程转化为常系数微分方程。

《广义微分变换及小波法求解三类非线性分数阶微积分方程》篇一一、引言在数学物理的多个领域中，非线性分数阶微积分方程的求解一直是研究的热点。

这些方程在描述复杂系统时具有很高的精度和适用性，如流体动力学、量子力学、生物医学等。

然而，由于非线性和分数阶的复杂性，直接求解这类方程通常具有挑战性。

因此，研究高效且精确的求解方法具有重要意义。

本文将重点探讨广义微分变换和小波法在求解三类非线性分数阶微积分方程中的应用。

二、非线性分数阶微积分方程的类型及特性非线性分数阶微积分方程可以大致分为三类：非线性分数阶微分方程、非线性分数阶偏微分方程和非线性Caputo型分数阶微分方程。

这些方程的特性在于其高度的非线性和分数阶导数带来的复杂性。

这使得传统的求解方法往往难以奏效，需要寻找新的方法和技巧。

三、广义微分变换方法广义微分变换是一种用于求解线性或非线性微分方程的有效方法。

该方法通过将原方程转化为易于处理的代数方程，从而简化求解过程。

在处理非线性分数阶微积分方程时，广义微分变换可以有效地将原方程中的高阶或分数阶导数项进行变换，使问题转化为求代数表达式的值，进而求解原方程的解。

四、小波法在非线性分数阶微积分方程中的应用小波法是一种基于小波函数的数值计算方法，它在求解各种复杂的微分和偏微分方程中具有显著的优势。

对于非线性分数阶微积分方程，小波法可以通过选择合适的小波函数来逼近方程的解，并通过数值计算得到近似解。

该方法在处理高阶和分数阶导数项时具有较高的精度和稳定性。

五、结合广义微分变换和小波法的求解策略结合广义微分变换和小波法的优势，我们可以提出一种新的求解策略。

首先，利用广义微分变换将非线性分数阶微积分方程转化为易于处理的代数表达式。

然后，选择合适的小波函数来逼近这些代数表达式的解。

通过数值计算，我们可以得到原非线性分数阶微积分方程的近似解。

这种方法不仅可以提高求解的精度和稳定性，还可以大大降低求解的复杂度。

六、实例分析以三个典型的非线性分数阶微积分方程为例，我们分别应用广义微分变换和小波法进行求解。

非线性三阶微分方程的上下解方法王晓燕;贾爱霞【摘要】本文在较弱的单调性条件下,利用上下解方法与单调迭代技巧获得了非线性三阶微分方程u＇（t）＋au＇（t）＋bu＇（t）=f（t,u（t））,t∈R极值ω-周期解的存在性,并且给出了解的迭代序列,其中f：R×R→R为关于t以ω为周期的连续函数,a,b〉0为常数.【期刊名称】《兰州工业学院学报》【年(卷),期】2016(023)003【总页数】3页(P83-85)【关键词】非线性三阶微分方程;上下解;单调迭代方法【作者】王晓燕;贾爱霞【作者单位】兰州工业学院基础学科部,甘肃兰州730050【正文语种】中文【中图分类】O175近年来，三阶微分方程两点边值问题得到了反复而深入的研究[1-5]，然而三阶微分方程周期问题由于其自身结构的复杂性，研究结果相对较少[6-9].本文中，我们利用上下解与单调迭代方法研究非线性三阶微分方程u'''(t)+au''(t)+bu'(t)=f(t,u(t))，t∈R极值ω-周期解的存在性.其中,f:R×R→R为关于t以ω为周期的连续函数，a,b>0为常数．文献[6～8]运用上下解与单调迭代方法研究了三阶半线性微分方程周期边值问题解的存在性．后来，文献[9]用上下解与单调迭代方法研究了完全非线性三阶微分方程周期边值问题解的存在性．但该文中所提的条件过于苛刻，在应用上不易满足．本文使用不同于文献[9]的方法，通过把问题(1)转化为三个一阶微分算子的复合的技巧，在较为简洁的条件下获得了问题(1)极值ω-周期解的存在性，并且给出了解的迭代序列．显然，微分方程(1)ω-周期解的存在性等价于微分方程周期边值问题解的存在性. 因为方程(1)的ω-周期解限制在[0,ω]上即为周期边值问题(2)的解，而周期边值问题(2)的解以ω为周期延拓在R上后为方程(1)的ω-周期解.记X=C[0,ω]为[0,ω]上所有连续函数按范‖u‖构成的Banach空间．首先做如下假设：(H1) 存在常数c>0,c<a使得1) b+c2>ac;2) a2+2ac≥3c2+4b.∀h∈X，首先考察线性微分方程周期边值问题若常数a,b>0满足假设条件(H1)，则特征多项式P(λ)=λ3+aλ2+bλ+c(b+c2-ac)有三个负根，一个为-c，其余两个即为-r1,-r2．熟知，有如下的结论成立：引理1 对∀h∈X，M>0，线性微分方程周期边值问题有唯一解，其中引理2 若假设条件(H1)成立，则线性微分方程周期边值问题(3)存在唯一解h(υ)dυdτds=Sh(t).且S:X→C3[0,ω]为正线性全连续算子．证明通过直接验证可知，u(t)=Sh(t)为线性微分方程周期边值问题(3)的唯一解．又由算子S的定义易知，当h(t)≥0时，Sh(t)≥0，故S为正线性算子，且为有界算子．又由于S等度连续，因此，由Arzela-Ascoli定理[10-11]易证S:X→C3[0,ω]全连续．定义1 若函数α(t)∈C3[0,ω]满足则称α(t)为微分方程周期边值问题(2)的一个下解；若函数β(t)∈C3[0,ω]满足则称β(t)为微分方程周期边值问题(2)的一个上解．定理1 假设常数a,b>0满足假设条件(H1)．α0(t),β0(t)∈C3[0,ω]分别为微分方程周期边值问题(2)的一个下解与上解，α0(t)≤β0(t),t∈[0,ω]，并且条件(H2)对∀t∈[0,ω]，α0(t)≤x1≤x2≤β0(t),有f(t,x2)-f(t,x1)≥-c(b+c2-ac)(x2-x1)成立，则非线性三阶微分方程(1)在[α0,β0]之间存在最小、最大ω-周期解．证明定义算子T:[α0,β0]→C3[0,ω]如下：[f(υ,u(v))+c(b+c2-ac)u(v)]dυdτds t∈[0,ω].由引理2，T:[α0,β0]→C3[0,ω]为正的全连续算子，且微分方程周期边值问题(2)的解就等价于算子T的不动点．由算子T的正性及假设条件(H1)易知，T为[α0,β0]上的增算子．下面证明α0≤Tα0，Tβ0≤β0．令c2-ac)α0(t),由(4)式可知，h(t)≤f(t,α0(t))+c(b+c2-ac)α0(t)．由引理2及定义1 有].即α0≤Tα0．类似的，可以证明Tβ0≤β0．因此，T:[α0,β0]→C3[0,ω]为全连续的增算子．下面定义序列与满足迭代方程与由引理2及算子T的定义可知与满足算子迭代方程αn=Tαn-1，βn=Tβn-1，n=1,2,…又由前面的讨论及算子T的增性易得α0≤α1≤α2≤…≤αn≤…≤βn≤…≤β2≤β1≤β0且αi与βi分别满足迭代方程(6)与(7)．因此，必存在α,β∈[α0,β0]，使得，对t∈[0,ω]一致的成立．在式(8)中令n→∞，则有α(t)=Tα(t)，β(t)=Tβ(t)，t∈[0,ω]．所以，α与β为算子T的不动点．下证α(t)与β(t)分别为算子T在[α0,β0]中的极小、极大不动点．令γ(t)为算子T 的任一不动点，则有Tγ(t)=γ(t)，且α0(t)≤γ(t)≤β0(t)t∈[0,ω].上式用T作用n次，有αn(t)≤γ(t)≤βn(t)t∈[0,ω].令n→∞，有α(t)≤γ(t)≤β(t)t∈[0,ω].因此，α(t)与β(t)分别为算子T在[α0,β0]中的极小、极大不动点．所以，α(t)与β(t)为微分方程周期边值问题(2)的极值解，把α(t)与β(t)以ω为周期延拓到R上后即为微分方程(1)的极值ω-周期解．【相关文献】[1] Q L Yao, Y Q Feng. The existence of solutions for a third order two-point boundary value problem[J]. Appl. Math. Lett., 2002, 15: 227-232.[2] Q L Yao. Solution and positive solution for a semilinear third-order two-point boundary value problem[J]. Appl. Math. Lett., 2004, 17: 1171-1175.[3] Y Q Feng, S Y Liu. Solvability of a third-order two-point boundary value problem[J]. Appl. Math. Lett., 2005, 18: 1034-1040.[4] S H Li, S Y Liu. Positive solutions of nonlinear singular third-order two-point boundary value problem [J]. J. Math. Anal. Appl., 2006, 323: 413-425.[5] Z Q Liu, J Sheok Ume, S M Kang. Positive solutions of a singular nonlinear third order two-point boundary value problem [J]. J. Math. Anal. Appl., 2007, 326:589-601.[6] J J Nieto. On the existence of periodic solutions for the third-order nonlinear ordinary differential equations[J]. Commen. Math. Univ. Cirolinae, 1991, 32: 495-499.[7] P Omput, M Trombetta. Remarks on the lower and upper solutions method for second and third-order periodic boundary value problems[J]. Appl. Math. Comput.,1992, 50: 1-20.[8] A Cabada. The method of lower and upper solutions for third-order periodic boundary value problems[J]. J. Math. Anal. Appl., 1995, 195: 568-589.[9] 李波，刘文斌. 三阶非线性常微分方程周期边值问题解的存在性[J].数学研究,2008,41(1):79-86.[10] 郭大钧.非线性泛函分析[M].济南: 山东科学技术出版社, 1985.[11] 郭大钧,孙经先，刘兆理.非线性常微分方程泛函方法[M]. 济南: 山东科学技术出版社, 1995.。