§4.3 高阶微分方程的降阶法

高数可降阶的高阶微分方程
高数中可降阶的高阶微分方程，是指可以通过变量代换或其他方法将高阶微分方程转化为更低阶的微分方程的方程。

以二阶线性非齐次微分方程为例，可以通过提取其中的齐次解，得到其对应的齐次方程，之后再运用待定系数法求出非齐次方程的特解，将齐次解与特解相加即可得到方程的通解。

例如，对于形如 $y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$ 的二阶线性非齐次微分方程，我们可以先求出其对应的齐次方程
$y''+p(x)y'+q(x)y=0$ 的通解 $y_c(x)$，然后通过待定系数法求出非齐次方程的一个特解 $y_p(x)$，通解就可以表示为
$y(x)=y_c(x)+y_p(x)$ 的形式。

这样，原方程就被降阶为了一阶微分方程。

类似的，对于其他类型的高阶微分方程，也可以通过一些变量代换或其他方法将其降阶为更低阶的微分方程，方程的解法也可以根据具体情况采用待定系数法、变量分离、变换变量等方法进行求解。

可降阶的高阶方程
求解高阶微分方程的方法之一是设法降低方程的阶数。

下面我们以二阶方程为例来学习三种可以降阶的方程。

1.右端仅含x的方程：y"=f(x)
对这类方程，只须两端分别积分一次就可化为一阶方程
，
再次积分，即可求出方程得通解。

例题：求方程y"=cosx的通解。

解答：一次积分得：
二次积分即得到方程得通解：
2.右端不显含y的方程：y"=f(x,y')
我们为了把方程降阶，可令y'=p，将p看作是新的未知函数，x仍是自变量，于是，代入原方程得：
这就是一个一阶方程，然后即可由我们前面学的方法进行求解了。

例题：求方程的通解。

解答：令y'=p.，代入方程，得
分离变量后，得
积分，得
.即
再积分，即得原方程的通解：
.
3.右端不显含x的方程：y"=f(y,y')
我们为了把方程降阶，可令y'=p，将p看作是自变量y的函数，有
代入原方程，得
这是关于p的一阶方程，我们可由此解出通解，然后再代入原方程求解，即可。

例题：求方程的通解
解答：令代入原方程得：
它相当于两个方程：
由第一个方程解得：y=C;
第二个方程可用分离变量法解得
p=C
y
1
从而
由此再分离变量，解得：
这就是原方程的通解（解y=C包含在这个解中）。

可降阶的高阶微分方程引言高阶微分方程是微积分中的一个重要概念，通常包含二阶及以上的导数。

然而，在某些情况下，我们可能希望将高阶微分方程降阶为一阶微分方程，这样可以更方便地求解和分析。

本文将讨论可降阶的高阶微分方程及其相关概念。

一阶可降阶微分方程一阶可降阶微分方程是指可以通过某种变换将其降为一阶微分方程的高阶微分方程。

例如，考虑一个二阶微分方程：d2y dx2+a(x)dydx+b(x)y=f(x)通过引入新的变量P(x)=dydx，我们可以将上述二阶微分方程转化为一个一阶可降阶微分方程：dPdx+a(x)P+b(x)y=f(x)这样，我们就成功地将高阶微分方程降为了一阶微分方程。

降阶方法降阶高阶微分方程的一般方法是引入新的变量，并通过适当选择这些变量的方式将其转化为一阶微分方程。

下面介绍几种常用的降阶方法。

1. 变量代换法变量代换法是一种常见的降阶方法，通过引入新的变量将高阶微分方程转化为一阶微分方程。

例如，对于一个三阶微分方程：d3y dx3+a(x)d2ydx2+b(x)dydx+c(x)y=f(x)我们可以引入新的变量P(x)=d 2ydx2和Q(x)=dydx，从而将该三阶微分方程转化为一个一阶微分方程：dPdx+a(x)P+b(x)Q+c(x)y=f(x)dQdx+b(x)P+c(x)Q=02. 微分幺正变换法微分幺正变换法是一种通过选择适当的变换矩阵将高阶微分方程转化为一阶微分方程的方法。

具体而言，通过选择一个幺正变换矩阵U(x)，我们可以将一个n阶微分方程转化为一个一阶微分方程：d dx [y1y2⋮y n]=U(x)[f1f2⋮f n]其中y i表示原始高阶微分方程的解，f i表示相应的一阶微分方程的解。

3. 特解代换法特解代换法是一种通过引入特解来降低高阶微分方程的阶数的方法。

具体而言，我们假设高阶微分方程的一个特解形式，并代入原方程求解。

将得到的特解代入原方程，我们可以得到一个低阶微分方程。

高阶方程的降阶技巧高阶方程的降阶技巧目 录一．高阶方程的引入及定义 (1)二．几类常见的可降阶的高阶微分方程…………………………………………2 （一）()y f x ''=型的微分方程………………………………………2 （二）(,)y f x y '''= 型的微分方程 (3)（三）(,)y f y y '''=型的微分方程 (4)（四）二阶方程的幂级数解 (5)三．其他情况的高阶微分方程 (7)四．总结 (12)参考文献 (12)高阶方程的降阶技巧摘要:对于高阶方程的解法问题，降阶是普遍的求解方法，利用变换把高阶方程的求解问题化为较低阶的方程的求解问题。

对于不同高阶微分方程给出了相应的降阶方法。

关键词:线性微分方程，降阶，非零特解1一．高阶方程的引入及定义所谓阶,就是导数(或微分)的最高阶数.函数未知，但知道变量与函数的代数关系式，便组成了代数方程，通过求解代数方程解出未知函数.同样，如果知道自变量，未知函数及函数的导数（或微分）组成的关系式，得到的便是微分方程，通过求解微分方程求出未知函数自变量只有一个的微分方程称为常微分方程。

自变量的个数为两个或两个以上的微分方程称为偏微分方程. 而高阶微分方程,即阶数大于二或者等于二的方程.一般的高阶微分方程没有普遍的解法，处理问题的基本原则是降阶，利用变换把高阶微分方程的求解问题化为较低阶的方程来求解。

因为一般来说，低阶微分方程的求解会比求高阶的微分方程方便些。

特别地，对于二阶（变系数）齐次线性微分方程，如能知道它的一个非零特解，则可利用降阶法求得与它线性无关的另一个特解，从而得到方程的通解，对于非齐次线性微分方程，只需再运用常数变易法求出它的一个特解，问题也就解决了。

因此，问题的关键就在于寻找齐次线性微分方程的一个非零特解。

一些相关定义如果方程(,,,,)0n n dyd yF x y dxdx= （1）的左端为y 及,,n n dyd ydxdx的一次有理整式。

可降阶的高阶微分方程高阶微分方程是指方程中包含高于一阶导数的项。

在某些情况下，我们可以将高阶微分方程转化为可降阶的形式，从而更容易地求解。

首先，我们来看一个简单的例子：$$y'' + 2y' + y = e^x$$这是一个二阶齐次线性微分方程，它的特征方程为：$$r^2 + 2r + 1 = 0$$解得$r=-1$（重根），因此通解为：$$y_h(x) = (c_1+c_2 x)e^{-x}$$现在考虑非齐次方程右侧的$e^x$项。

我们可以猜测一个特解形式为$y_p(x) = Ae^x$，代入原方程得到：$$Ae^x + 2Ae^x + Ae^x = e^x$$解得$A=\frac{1}{4}$，因此特解为：$$y_p(x) = \frac{1}{4}e^x$$于是原方程的通解为：$$y(x) = (c_1+c_2 x)e^{-x} + \frac{1}{4}e^x$$现在我们来看如何将高阶微分方程转化为可降阶的形式。

考虑以下三阶线性非齐次微分方程：$$y'''(t) + a_2 y''(t) + a_1 y'(t) + a_0 y(t) = f(t)$$我们可以猜测一个特解形式为$y_p(t) = A t^n e^{rt}$，其中$n$是一个整数，$r$是$f(t)$的特征根。

代入原方程得到：$$A n(n-1)(n-2)t^{n-3}e^{rt} + a_2 A n(n-1)t^{n-2}e^{rt} + a_1 A n t^{n-1}e^{rt} + a_0 A t^n e^{rt} = f(t)$$整理得：$$A \left(n^3+(a_2+2n)a_1+n(a_2a_0-a_1^2)\right)t^{n-3}e^{rt} = f(t)$$由于$n$和$r$已经确定，因此我们可以将上式看作一个常数乘以$t^{n-3}$和$e^{rt}$的乘积。