偏微分方程(PDEs)在图像去噪中的运用

应 用 数 学M A T H EM AT ICA A P PL ICAT A2005,18(2):219~224*偏微分方程在图像去噪中的应用王正明,谢美华(国防科技大学理学院系统科学与数学系,湖南长沙410073)庆贺陈庆益先生八十寿辰摘要:本文介绍用于图像去噪的偏微分模型、方法的发展历程.从理论上分析了线性模型、简单非线性模型、复杂非线性模型、多步处理模型出现的背景和优缺点,并从空域和频域上对偏微分方程模型的去噪原理进行了分析.最后,指出了偏微分方程去噪与小波去噪结合的途径,据此对偏微分方程未来的发展方向进行了展望.关键词:偏微分方程;模型;扩散;正则化;去噪中图分类号:T P391 AMS(2000)主题分类:35R文献标识码:A 文章编号:1001 9847(2005)02 0219 06光学图像成像过程中的噪声污染通常来自于CCD成像器件、图像传输设备及处理设备的背景光子散粒噪声、暗电流散射噪声、读出噪声、热噪声、放大器噪声等,其中最终起限制作用的是光子散粒噪声,统计上服从高斯或泊松分布.同时图像数字化过程中的量化以及其它人为的因素也会导致噪声的产生,这种CCD传感器噪声和量化噪声可以仿真成 加性的或乘性的 , 信号相关的或信号无关的 以及 有色的或白色的 ,它们的存在极大地影响了图像的质量.这里只考虑加性的与信号无关的白噪声.此时,图像的成像模型可描述为g(x,y)=f(x,y)+ (x,y),(1)其中f(x,y)为不含噪的真实图像,g(x,y)为实际观测到的图像, ~N(0, 2).那么,图像去噪问题就相当于,寻找合适的算子F R R,使得F(g(x,y))=f(x,y).(2)由于噪声是随机性的,事实上我们只能得到f(x,y)的近似估计,而不可能使(2)式完全成立.因此,在评价算法的优劣时,通常以下述峰值信噪比作为评价指标.PSNR=10*lg2552 m ni,j(f(i,j)-f*(i,j))2,(3)其中f*(x,y)为采用某算法去噪后的图像,m,n为图像的尺寸.传统的图像去噪方法,如中*收稿日期:2004 05 08基金项目:全国优秀博士论文作者专项基金(200140),国家自然科学基金资助项目(60272013)作者简介:王正明,男,汉,湖南长沙人,教授,博导,国防科技大学理学院院长,主要研究方向为图像处理中的数学方法、装备试验分析与评估.值滤波、均值滤波,主要将图像的高频成分滤除.由于图像的细节如边缘纹理等也分布在高频区域,所以总是在对噪声进行滤除的同时将图像的边缘部分模糊了.事实上,数字图像在本质上可看成是R 2 R 的以图像的边缘为边界的分片连续的映射.基于这一性质,可以以图像的边缘为边界采用分片连续的函数来逼近图像中的真实信号,抑制其中的随机性噪声,如二元多项式就是一种可选的基函数,由于逼近是在图像的内区域进行的,所以不会造成对边缘的模糊,图像去噪的偏微分方程(PDE)方法就是基于这一性质构建的.令u 0 R 2 R 表示一个含噪的灰值图像.对u 0(x ,y )去噪相当于极小化能量函数[1]E (g)= 2 (u -u 0)2d x d y + |u 2x +u 2y |d x d y ,(4)其中 为正则化参数, 为图像的支撑域, 称为正则化参函数,是梯度的增函数,满足 0.(1)式中的前一项用以约束去噪图像与原图像的逼近程度,而后一项用以约束图像的光滑程度.它的含义是将图像近似为分片连续的零阶多项式.对极值问题(4),应用Eluer 方程,并采样最速下降法引进时间参数t,可转化为求解如下偏微分方程u t=F[u(x ,y ,t)],(5)其中u(x ,y ,t) R 2 [0, ] R 是随时间演化的图像,F R R 表示一个特定算法对应的算子.根据F 定义的不同可分为线性扩散、非线性扩散、各向异性扩散等.其中,最早出现的是如下线性扩散模型 t u = u,u(x ,y ,0)=u 0(x ,y ),(6)它对应于方程(4)中 =0, (s)=s 2/2的情形.(6)式是一个解热传导方程的Cauchy 问题,通过对其进行Fourier 变换,可求得其解为u(x ,y ,t)=u 0(x ,y )(K *u 0)(x ,y) t =0t >0,K (x ,y ,t)=1(4 t )3/2ex p -x 2+y 24t ,(7)显然这就是对应图像的高斯光滑,即利用高斯函数对邻域内的点进行加权平均来实现去噪.(7)式给出的解可从空域上理解(6)式去噪的含义,下面从分离变量法的角度给出方程(6)的解[7],从频域上理解(6)式去噪的含义.设初始图像u 0(x ,y )按正弦函数可以展开成如下级数u 0(x ,y )=M k =1 N l =1Ak,l sin k x M sin l y N ,(8)其中N ,,M 分别为u 0(x ,y )沿x ,y 方向的离散采样点的个数.则(6)式的解可表示为u(x 1,x 2,t)= M k=1 N l =1A k,l e -k 2 2t M 2+l 2 2t N 2sin k x 1M sin l x 2N .(9)从(9)式可以看出,经过(6)式去噪后的图像的正弦级数系数等于u 0(x ,y )的正弦级数的展开系数乘以一个与扩散时间相关的压缩因子w (k,l)=e -k 2 2t M 2+l 2 2t N 2,因为随着k,l 的增大w (k ,l)不断减小,因此(9)式对u 0(x ,y )的高频成分保留很少,因而能够实现对噪声的抑制.由于方程(6)采用的正则化参函数 (s)=s 2/2,这就要求图像的梯度在整幅图像上实现最小,当扩散时间T 趋向于无穷时,得到的是用一个常数对图像进行逼近的结果,这无疑会导致对图像如边缘等微细结构的模糊.为了避免这种模糊的产生,人们采用了一种非线性的正则化参函数,利用分片连续的平面对图像进行逼近.此时参函数 的选取可以有很多形式,如 (s)=(k 2/2)log (1+(s/k)2),或220应 用 数 学2005当 (s)=(k 2/2)log (1+(s/k )2)时,(5)式对应典型的非线性扩散方程-P M 扩散[2],此时 t u =div (g(| u |2) u),g(| u |2)=11+| u |2/k 2,u(x ,y ,0)=u 0(x ,y ), 或 t u =div (g(| u |2) u),g(| u |2)=11+| u |2/k 2,u(x ,y ,0)=u 0(x ,y ).(10)本着在边缘处扩散系数g(s)小的准则,一般选取g(s)使之满足如下条件:g(0)=1,g(s)为减函数,且lim sg(s)=0.而且,在参数的选取上一般选取 为严格凸函数,这是因为定理1 当势能函数 (| u |)为严格凸函数时,能量函数E(u)=(| u |)d x 正好有一个最小值.证 令 (| u |)= ( ( u))=g(| u |2) u,由 (| u |)为严格凸函数可知 严格单调递增,又 (0)=0,从而当| u |>0时,有 (| u |)>0,从而 (| u |)是严格单调递增的.对一个常值图像 u 而言,其梯度恒等于零,而 (| u |)是关于| u |的严格单调增函数,因此任给u,| u | 0,必有 (| u |)> (| u |),又因为 (| u |) 0,从而有E(|u |)>E (| u |),因而 u 是E (u)的唯一最小值.定理证毕.当定理1成立时,不必进行非凸优化所涉及的复杂的计算,而可使用标准的有限元近似来获得稳定的解.(10)式所示的非线性方程能根据图像的梯度| u |来判断边缘位置,使边缘处的扩散系数小,降低对边缘的模糊程度.但是,在| u |> 的情况下,其势能函数是非凸的,从而使得边缘等处的处理表现出不稳定性.而且,由于边缘处扩散系数很小,边缘处的噪声得不到有效抑制.由于正则化参函数 选取的不恰当,线性模型与非线性模型都有各自的缺点.为克服这一缺点,在后续的研究中人们将更多的精力投入到了 函数的选取上.其发展主要沿两个方向进行.第一,由简单方程到复杂方程的转变,这种复杂方程的复杂性主要体现在参函数的形式上,如考虑采用高阶方程[3]、逆扩散方程[4],以及增加约束条件[5]等;第二,由偏微分方程的一步实现到多重实现的转变,这种多重实现指的是多次运用简单方程来实现复杂的操作[6,7].目前,偏微分方程去噪研究的重点仍放在这两方面.但是,由于采样复杂的参函数会增加约束参数的个数和模型的复杂性,给处理带来较大的麻烦,所以其前景较偏微分方程的多重实现差.高阶偏微分方程 在能量函数(4)中,考虑对图像的二阶导数的约束有如下能量泛函[3]E(u)=f (| u |)d (11)时它所对应的偏微分方程为u t= [g(| u |) u].(12) 这是一个四阶偏微分方程,它的含义是将图像近似为分片连续的一阶多项式.使用四阶方程较前面的二阶偏微分方程的好处是能克服二阶方程常出现的 块状 (blocky )的效果.前向 后向扩散方程 考虑逆扩散方程t u (x ,t)=-c 2u(x ,t),c >0,(13)这等价于一个高斯去卷积过程,当其作用于边缘附近时具有锐化边缘的作用.这一方程由于其数值不稳定性而被认为是病态的,但是Gilboa,Zeevi,Sochen 认为在局部范围内使用逆扩散过程不会破坏其稳定性,因此,提出了一种前向 后向扩散方程[4].即取扩散系数g(s)满足221第2期王正明等:偏微分方程在图像去噪中的应用g(s)=1-(s/k f )n ,[((s -k b )/w )2m -1],0, 0 s k f ,k b -w s k b +w ,else.(14)前向 后向扩散方程的优点是能在光滑区域内部的同时锐化边缘,缺点是参数选取困难.除了这些形式的方程所对应的参函数以外,还有复扩散方程[5]、基于边缘检测的扩散方程、约束曲面面积扩散方程、拐点增强扩散方程,以及基于特殊边缘增强的藕合模型、稳健扩散、自适应扩散、多重网格等等.偏微分方程多步实现的代表是各向异性扩散方程.其中具有代表性的有边缘增强扩散和相干增强扩散.边缘增强扩散是为了对边缘处的噪声进行处理,而相干增强扩散是为了凸现图像的线状结构.在引入各向异性扩散模型之前,先介绍如下定理.定理2 设u 0为原始图像,D 为连续的2 2扩散矩阵,p 1,p 2为其规范正交的特征向量分别对应图像的梯度方向和边缘方向, 1, 2为其相应的特征根,考虑如下扩散平滑问题t u =div [D u],u(0,x ,y )=u 0(x ,y),(15)则利用(7)式对u 0进行光滑近似于分别以 1, 2的速度沿p 1,p 2方向光滑.证 设p 1=(p 11,p 12)T ,p 2=(p 21,p 22)T ,由于图像的边缘方向在小范围内基本不变,所以p 1,p 2在一定范围内取常值,此时u t= (p 211u xx +2p 11p 12u xy +p 212u yy )+ 2(p 221u xx +2p 21p 22u xy +p 222u yy )= 1p 11 (p 11u x +p 12u y ) x +p 12 (p 11u x +p 12u y ) y+ 2p 21 (p 21u x +p 22u y ) x +p 22 (p 21u x +p 22u y ) y = 1 (p 11u x +p 12u y ) p 1+ 2 (p 21u x +p 22u y ) p 2= 1 2u p 21+ 2 2u p 22.因此,u 沿p 1,p 2方向扩散的速度分别为 1, 2,定理证毕.各向异性扩散方程采用(7)式所对应的模型,其中扩散张量D 的特征向量p 1平行于梯度矢量,p 2垂直于梯度矢量.边缘增强扩散以 u u = u u T 为边缘定向算子,D 与u u 有相同的特征向量,其中u =u( ,t)*K ,K ( )=12 2 ex p -| |22 2.而D 的特征根为[6] 1=1, 2=l 2/(l 2+| u |2),其中 1对应垂直于梯度方向的特征向量, 2对应平行于梯度方向的特征向量.显然该方程是先利用了一次线性方程对边缘定向,然后再利用非线性扩散方程实现了沿边缘方向的扩散,是分两次利用偏微分方程.边缘增强扩散的优点是考虑到了扩散系数沿边缘方向和垂直边缘方向的不同,缺点是所采样的边缘定向算子 u u 不能正确的对边缘定向.与边缘增强扩散不同,相干增强扩散采用了一个新的边缘定向算子J 来对图像边缘定向,其扩散张量D 的特征向量与J 相同,其中[7]J ( u )=K *( u u ), 0.(16)扩散张量D 的特征值取为1 2,(17)222应 用 数 学20051, 2为 u u 的特征值.C 为大于零的常数, (0,1),常取一个很小的值.对应每一个J ,其中 1对应垂直于梯度方向的特征向量, 2对应平行于梯度方向的特征向量.相干增强扩散的优点是所采样的边缘定向算子能准确的描述边缘方向,缺点是其特征根的选取不适合平坦区域的去噪,会导致虚假边缘的产生.改变结构描述算子(16)的特征值的取值(17)还可以实现许多其他结构的定向增强.为了进一步完善算子,[8]对扩散模型的最优停止时间进行了讨论,采用了一种最小化噪声协方差的去相关准则来实现最优停止.为解决去噪问题(1),人们从不同的角度提出了很多不同的方法,其中主要的有正则化方法、小波系数伸缩法、总变分方法以及偏微分方程方法,文献[10]的研究指出这些不同方法之间存在某种程度的统一,并指出这种统一有利于综合利用这些方法的优点获得更好的去噪效果.前面也说明了偏微分扩散方程可以通过Euler 方程与正则化方法联系在一起.下面对偏微分方程与小波伸缩之间的相互关系进行讨论.在应用最速下降法引入时间参数t 后,偏微分方程去噪每一步迭代的值可以看成空间{u t }的一个元素,可以证明{u t }满足尺度空间性质,于是偏微分方程一步扩散的结果就可以对应小波去噪的一步伸缩.文献[9]证明了H aar 小波的伸缩函数与非线性扩散方程的扩散系数之间存在一对一的关系,这种相互关系可通过下述过程获得(i)给出偏微分方程进一步扩散的离散表达式.为方便记,我们考虑一维处理的情况,设所采用的偏微分方程的扩散系数为g,则离散化后的偏微分方程进一步扩散的表达式为u n +1(i)=u n (i)+ (g |u n (i +1)-u n (i)|)(u n (i+1)-u n (i))-g(|u n (i)-u n (i -1)|)(u n (i)-u n (i -1)).(18) (ii)给出H aar 小波去噪的一步分解与重构的离散表达式.设所采用的H aar 小波的伸缩函数为S ,则在一维情况下,基于H aar 小波一步分解与重构的离散化后地的表达式为u n +1(i)=u n (i -1)+2u n (i)+u n (i +1)4+122S u n (i)-u n (i +1)2-122S u n (i -1)-u n (i)2.(19)(iii)对比(i),(ii),可得到两者之间的相互转换关系.将(18)式重写为u n +1(i)=u n (i -1)+2u n (i)+u n (i +1)4+u n (i)-u n (i +1)4-u n (i -1)-u n (i)4+ (g(|u n (i +1)-u n (i)|)(u n (i +1)-u n(i))-g(|u n (i)-u n (i -1)|)(u n (i)-u n (i -1)))=u n (i -1)+2u n (i)+u n (i +1)4+(u n (i)-u n (i +1))(1/4- (g(|u n (i)-u n (i +1)|)))-(u n (i -1)-u n (i))(1/4- (g(|u n (i -1)-u n (i)|))).(20)对比(19)与(20)有122S (x /2)=x (1/4- g (|x |)).从而S 与g 之间的相互关系可表述为S (x )=x (1-4 g (21)223第2期王正明等:偏微分方程在图像去噪中的应用g(|x|)=14-24 xSx2,(22)由(21),(22)两式可在小波伸缩函数与扩散系数之间进行转换,从而可综合利用二者.参考文献:[1] W eickert J.A R eview o f N onlinear Diffusion F ilter ing in Scale space T heor y in Computer V ision[M].Berlin:Spring er,1997.[2] Per ona P,M alik J.Scale space and edg e detect ion using a niso tro pic diffusion[J].IEEE T r ansactio n onP attern A nalysis and M achine Intellig ence,1990,12(7):629~639.[3] L ysaker M,L under vo ld A,T ai X C.N oise remov al using fo ur th or der partial differential equatio n w ithapplicat ions to medical magnetic resonance imag es in space and time[J].IEEE T ransactions o n Imag e P ro cessing,2003,12(12):1579~1590.[4] G ilbo a G,Zeevi Y Y,So chen N A.F orw ard and backwar d diffusion pro cesses fo r adaptiv e image enhancement denosing[J].IEEE T ransaction on Image P rocessing,2002,11(7):689~703.[5] G ilboa G,Zeev i Y Y,Sochen N plex diffusion pr ocess for imag e filter ing[C].Scale Space,2001,L N CS2106,Ber lin:Spr inger Ver lag,2001.[6] W eicker t J.T heoret ical foundatio ns of naisotr 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odels,such as linear model,simple nonlinear model,complex no nlinear m odel and its m ulti steps realiza tion,and analysis the denoising pr inciple of partial differential equation fro m spatial dom ain and fr equency dom st,w e point out a strateg y of com bining w avelet and partial differ ential equation,and give a pr eview of its development.Key words:Partial differential equation;M odel;Diffusion;Regularizatio n;Denoising224应 用 数 学2005。

偏微分方程在图像处理中的应用近年来，随着计算机技术的飞速发展，图像处理技术在各个领域得到了广泛应用。

而偏微分方程作为数学分析中的重要工具，也在图像处理中发挥着重要的作用。

本文将探讨偏微分方程在图像处理中的应用。

一、图像去噪图像去噪是图像处理中的一个重要问题，而偏微分方程可以通过模型来实现图像的去噪。

常见的偏微分方程去噪模型有总变分模型和非局部模型。

总变分模型是一种基于全变分的去噪方法，它通过最小化图像的总变分来实现去噪。

总变分是图像灰度在空间上的变化程度的度量，通过控制总变分的大小，可以实现去除图像中的噪声。

非局部模型则是通过对图像进行非局部相似性的测量，将图像的每个像素点与其周围像素点进行比较，从而实现去噪的效果。

二、图像增强图像增强是指通过一系列的处理方法，改善图像的质量和视觉效果。

偏微分方程可以通过图像的梯度信息来实现图像的增强。

梯度是指图像中像素灰度变化的速率，是图像中最重要的特征之一。

通过计算图像的梯度，可以得到图像中每个像素点的亮度变化情况，从而实现图像的增强。

常见的偏微分方程增强模型有梯度扩散模型和非线性扩散模型。

梯度扩散模型通过对图像的梯度进行扩散，使得图像中的细节信息得到增强。

非线性扩散模型则是通过对图像的梯度进行非线性的处理，进一步增强图像的细节信息。

三、图像分割图像分割是将图像分成若干个具有独立特征的区域的过程。

偏微分方程可以通过对图像的边缘进行检测，实现图像的分割。

边缘是图像中灰度变化突然的地方，是图像分割中最重要的特征之一。

通过对图像的边缘进行检测，可以将图像中的不同区域分割开来。

常见的偏微分方程分割模型有基于水平集的模型和基于变分的模型。

基于水平集的模型通过对图像中的边缘进行演化，实现图像的分割。

基于变分的模型则是通过最小化图像的能量函数，将图像分割成不同的区域。

四、图像恢复图像恢复是指通过一系列的处理方法，从损坏或噪声严重的图像中恢复出原始图像。

偏微分方程可以通过最小化图像的能量函数，实现图像的恢复。

基于偏微分方程的图像去噪算法对比和改进作者：刘会林罗聪秦琴张紫茵来源：《数码设计》2017年第03期摘要：对比主流图像去噪算法模型并利用信噪比衡量图像中所含噪声比例，先用高斯噪声模型对图像进行加噪得到含噪声的噪声图像，再采用三种去噪算法对该噪声图进行去噪最后对比实验结果做出改进。

实验结果表明，运用全变分去噪方法能够更好地权衡图像边缘信息及细节纹理特征之间的关系，且参数更具有稳定性。

改进的全变分去噪算法继承了原有偏微分方程算法的优点，提高了传统全变分算法的运行效率，在边缘区域实现了扩散的同时保护了边缘并且可以较为明显地提高信噪比以及直观的视觉质量。

关键词：图像去噪；偏微分方程；噪声模型；全变分中图分类号：TP391 文献标识码：A 文章编号：1672-9129（2017）03-0015-05Abstract： Comparing with the mainstream image denoising algorithms and using SNR （signal-to-noise ratio） to measure the noise ratio of the image. Firstly， adding noise to the image by using Gaussian noise model to get a noisy image. And then， using three kinds of mainstream denoising algorithms to denoise the noisy image and making improvements by comparing the experimental results. The experimental results show that the total variational denoising method can balance the relationship between image edge information and detail texture features in a better way，and the parameters are more stable. The improved total variational denoising algorithm inherits the advantages of the original partial differential equation algorithm， improves the efficiency of the traditional total variational algorithm， achieves anisotropic diffusion in the edge region and protects the edges of the image， and can obviously improve signal-noise ratio and visual effects.Key words： image denoising； partial differential equation； noise model； total variation引言图像噪声是在信息传输过程中由于各种原因对图像造成的污染且很大程度上影响了图像细节的真实性，所以必须对这些噪声进行有效去除[1]。

基于偏微分方程(PDE)的图像去噪/ZJ r 目录 Z 7辭微分方程图像处理发展过程 戈石微分方程图像处理数学基础唇•三、偏微分方程图像处理的优缺点及应用■■结构• ■、偏微分方程去噪问题的研究• 4.1各向同性扩散（热扩散模型）4・2 P ・M 非线性扩散•五、偏微分方程其他方面的简略介绍在过去几十年，计算机可视化和图像分析 领域中以偏微分方程为基础的模型在图像处理研究领域占据着重要地位。

徧微分方程图像处理发展过程•使刑偏微分方程处理图像的思想可以追溯Gabor 和Jain。

但是这种方法真正建立起来是Koenderind 丁和Witkin的研究工作开始的，他们引入了尺」度空间(Scale Space)的概念，尺度空间把】一组图像同时在多个尺度上表述。

•他们的贡献在很大程度上构成了偏微分方程图像处理理论的基础。

在他们的研究工作中，图像的多尺度表示是通过高斯平滑来获得的，这等价于利用经典的热传导方程来演化图像得到一个各向同性扩散流』匸在0）年代末，Hummel提出热传导方程并不厂是唯一可以产生尺度空间的抛物方程，并提出构成尺度空间的准则:只要满足最大原则的演化方程就可以定义一个尺度空间。

• Perona和Malik提出各向异性扩散方程在这个领域最具有影响力。

他们提出用一个保持边缘的有选择性的扩散来替换Gaussian 扩散。

他们的工作引发了很多理论和实际问题的研究。

• Osher和他的研究小组提出了几何制约的偏k微分方程，其中最著名的是曲率流。

,•曲率流是“纯粹的”各向异性扩散模型，'它使图像灰度值的扩散只发生在图像梯度的正交方向上，在保持图像轮廓精确位置和清晰的同时沿轮廓进行平滑去噪。

■^psher和Rudin关于激波的研究以及关于TV 旷模型的研究工作更突出了偏微分方程在图\ 像处理中的重要性，这些方法成功之处在于将图像视为由跳跃边缘连接而成的分片光滑函数（曲面），从而与某种偏微分方程的分片光滑解联系起来。

偏微分方程的应用——浅谈偏微分方程在图像去噪方面的应用前言：实话来说，对于这么纯粹的数学学科，我实在是没有什么信心学好，当初的常微分方程已经让我头疼不已了，更何况现在变成了偏微分。

它从名字上就已经把我打到了。

对它实在是有些畏惧。

不过看到这个论文题目还是让我很欣喜的，因为把它同现实联系了起来，不再是呆板的解题计算，而是真切的去了解这门学科在我们的生活中，或者是其他学科中的应用。

这样一来，它就不再是有些枯燥的数学了，而是一种赋予生活气息的学科。

摘要：图像去噪一直以来都是图像处理领域一个很受关注的问题，而且也是高层图像处理应用的预处理过程。

传统的图像去噪方法在去除噪声的同时往往会破坏边缘、线条、纹理等图像特征，基于偏微分方程的算法在图像去噪的同时，能够很好的保持图像的细节特征，因此，近年来受到越来越多的关注。

一、偏微分方程的起源及历史微积分方程这门学科产生于十八世纪，欧拉在他的著作中最早提出了弦振动的二阶方程，随后不久，法国数学家达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中提出了特殊的偏微分方程。

这些著作当时没有引起多大注意。

1746年，达朗贝尔在他的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》中，提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式。

这样就由对弦振动的研究开创了偏微分方程这门学科。

和欧拉同时代的瑞士数学家丹尼尔·贝努利也研究了数学物理方面的问题，提出了解弹性系振动问题的一般方法，对偏微分方程的发展起了比较大的影响。

拉格朗日也讨论了一阶偏微分方程，丰富了这门学科的内容。

偏微分方程得到迅速发展是在十九世纪，那时候，数学物理问题的研究繁荣起来了，许多数学家都对数学物理问题的解决做出了贡献。

这里应该提一提法国数学家傅立叶，他年轻的时候就是一个出色的数学学者。

在从事热流动的研究中，写出了《热的解析理论》，在文章中他提出了三维空间的热方程，也就是一种偏微分方程。

他的研究对偏微分方程的发展的影响是很大的。

二、偏微分方程在现代学科中的应用偏微分方程是反映有关的未知变量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间制约关系的等式。

基于偏微分方程的图像增强算法研究近年来，图像增强技术在计算机视觉领域中备受关注。

在数码相机、图像处理软件等各种各样的图像设备和应用程序中，图像增强技术越来越成为图像处理中不可或缺的一部分。

偏微分方程（Partial Differential Equation，简称PDE）是图像增强技术的一种重要应用方法，它可以对图像进行均衡化、锐化、噪声抑制等各种处理。

本文讨论了基于偏微分方程的图像增强算法的研究。

一、偏微分方程偏微分方程是数学分析中的一个重要分支，它描述了物理现象中的变化率。

偏微分方程与常微分方程的区别在于，偏微分方程中的未知函数是多个变量的函数，因此需要用多元函数的方法来求解。

在偏微分方程的解法中，常用的方法包括有限差分法、有限元法等。

二、偏微分方程在图像处理中的应用偏微分方程可以用于图像处理中的各个方面。

例如，广泛应用的双向扩散滤波器就是一种基于偏微分方程的图像增强算法，它可以用于图像去噪和细节增强。

双向扩散滤波器的数学模型可以表示为一个偏微分方程，通过数值方法求解得到图像的新像素值。

另一种基于偏微分方程的图像增强算法是非线性扩散滤波器。

非线性扩散滤波器的基本思想是通过限制像素点之间的扩散速度，达到图像平滑的效果。

这种算法可以去除图像的噪声，同时保留图像中的细节。

还有一种经典的基于偏微分方程的图像增强算法是大名鼎鼎的Perona-Malik模型。

Perona-Malik模型利用偏微分方程的差分算子去掉图像中的噪声，并且保留图像中的边缘和细节。

Perona-Malik模型被广泛应用于各个领域的图像处理中。

三、基于偏微分方程的图像增强算法的优缺点基于偏微分方程的图像增强算法可以通过数学模型进行精确控制，并且能够保留图像的细节和特征。

相比于其他图像增强算法，基于偏微分方程的算法具有以下优点：1. 具有良好的抗噪性能。

基于偏微分方程的滤波算法是一种非线性滤波算法，能够对噪声进行有效抑制，并且保留图像中的细节；2. 能够对多尺度的图像进行处理。

偏微分方程及其在图像处理中的应用模型讨论摘要：偏微分方程是一种重要的数学工具，它在许多领域中的应用广泛。

本文将重点讨论偏微分方程在图像处理中的应用模型，包括图像去噪、图像增强和图像分割等方面的应用。

通过对具体模型的描述和讨论，可以更好地理解偏微分方程在图像处理中的作用，为相关领域的研究和应用提供参考。

引言：图像处理是一门研究如何对图像进行识别、分析和改变的学科。

随着数学和计算机科学的发展，偏微分方程在图像处理中的应用得到了广泛关注。

偏微分方程通过数学模型，可以有效地对图像进行去噪、增强和分割等处理，不仅提高了图像质量，还扩展了图像处理的应用领域。

一、图像去噪图像噪声是指图像中由于各种因素导致的不希望的噪声现象。

为了得到清晰的图像，需要对图像进行去噪。

偏微分方程在图像去噪中有广泛的应用。

例如，经典的热方程可以用来模拟图像中的噪声传播过程。

通过求解热方程，可以将图像噪声在空间上进行平滑，从而得到去噪后的图像。

此外，还可以利用偏微分方程和变分方法来设计去噪模型，如全变分去噪模型和非局部均值去噪模型等。

二、图像增强图像增强是指通过一系列算法和方法，使得图像在视觉上更加清晰、鲜明和具有良好的对比度。

偏微分方程方法在图像增强中也得到了广泛的应用。

例如，非线性扩散方程是一种常用的偏微分方程方法，通过在图像中引入扩散项，可以有效地增强图像的细节和边缘。

此外，还可以利用偏微分方程和变分方法来设计增强模型，如总变分图像增强模型和增强双曲正切模型等。

三、图像分割图像分割是指将图像划分成若干个具有独立意义的区域的过程。

偏微分方程在图像分割中也有重要的应用。

例如，平均演化方程是一种常用的偏微分方程方法，通过在图像中引入演化项，可以实现图像的分割。

此外，还可以利用偏微分方程和变分方法来设计分割模型，如最小变分分割模型和水平集分割模型等。

四、应用实例偏微分方程在图像处理中有许多实际应用。

例如，在医学图像处理中，偏微分方程可以用来对X光、CT和MRI等图像进行去噪和增强，从而提高诊断准确性。

基于偏激分方程(PDE)的图像去噪的方法综述摘要:偏微分方程(PDE)方法,是图像处理中的一种较新的方法,有着很强的数学基础,在图像处理中的应用发展非常快。

本文将近几年应用较多的几种图像去噪方法进行了系统的概括总结,指出了该领域的学者是如何一步步进行改进得到新方法的,并对该领域的发展做了新的展望。

关键词:图像去噪偏微分方程平滑滤波总变差1 引言图像去噪是数字图像处理中的一个经典问题。

随着数字图像处理技术的发展,大量数字图像经由信道传输或通过介质保存。

图像在传输或存储过程中受到外界物理条件的限制,所产生的噪声会影响图像的视觉效果。

而在众多的应用领域中,又需要清晰的、高质量的图像,因此,图像去噪是一类重要的图像处理问题,同时也是其它图像处理的重要预处理过程,对后继处理带来很大的影响。

基于偏微分方程(PDE)的方法进行图像处理因具有各向异性的特性,自适应性强,能够在平滑噪声的同时更好的保持边缘与纹理等细节性息,故在过去的二十几年中获得了巨大的发展。

这个领域的实质性的创始工作归功于和各自独立的研究。

他们严格地介绍了尺度空间理论并指出图像与具有递增方差的高斯函数做卷积实现低通滤波和求解以原图像为初值的热传导方程等价。

然而由于高斯滤波是各向同性扩散,在去除噪音的同时模糊了边界。

改进滤波技术,在去噪的同时能完好的保存边缘等重要信息,一直是这一领域的目标。

本文详细介绍了现存的基于PDE的图像去噪的主要方法,并指出了它们之间的联系。

2 图像去噪模型偏微分方程与图像去噪的结合产生了许多模型,大体上可以分为两大类:一种是基本的迭代格式,随着时间的变化更新,使得图像向所要得到的效果逐步逼近,这种算法的代表为的方程以及对其改进的后续工作。

该方法在前向扩散的同时具有向后扩散的功能,所以具有平滑图像和边缘锐化的能力,并且扩散系数有很大的选择空间。

但是该方法是病态问题,在应用中不稳定。

另一种是基于变分法的思想,确定图像的能量函数,通过求能量函数的最小值,使得图像达到平滑状态,现在得到广泛应用的总变差TV(Total Variation)模型[4]就是这一类。

基于MAP估计，变分PDE的图像去噪问题研究基于MAP估计，变分PDE的图像去噪问题研究摘要：图像去噪是数字图像处理领域中的重要问题之一。

本文针对图像去噪问题，使用了基于最大后验估计（Maximum A Posteriori, MAP）估计准则和变分偏微分方程（Partial Differential Equation, PDE）方法进行研究。

首先，介绍了图像去噪的概念和相关背景知识。

然后，详细介绍了MAP估计和变分PDE方法的原理和基本思想。

接着，提出了一种基于MAP估计和变分PDE的图像去噪算法，并通过实验验证了该算法的效果。

最后，对该算法进行了分析和总结，并对未来的研究方向进行了展望。

关键词：图像去噪，最大后验估计，变分偏微分方程，数字图像处理引言：随着电子设备的普及和计算机技术的进步，数字图像的处理变得越来越重要。

然而，由于图像在采集、传输和存储过程中受到噪声的影响，图像往往会出现模糊、有噪声等问题，影响了图像的质量和可视化效果。

因此，图像去噪成为了数字图像处理领域中的一个关键问题。

图像去噪的目标是通过对噪声进行准确估计并去除，恢复出原始图像的细节和清晰度。

传统的去噪方法中，常用的有空间域滤波器和频域滤波器等。

然而，这些方法往往会引入图像失真和模糊，无法完全满足实际需求。

为了解决这一问题，一些基于数学模型的图像去噪方法被提出，并取得了一定的成果。

其中，基于MAP估计和变分PDE的方法成为了研究热点，因为它可以准确估计噪声并保护图像的细节信息。

MAP估计和变分PDE方法原理及基本思想：MAP估计是一种基于贝叶斯定理的参数估计方法，通过最大化后验概率来估计模型的参数。

在图像去噪问题中，我们可以将噪声视为随机变量，并假设噪声符合高斯分布。

然后，通过最大化条件概率分布来估计原始图像。

变分PDE方法是一种通过对图像进行梯度流动的过程来去除噪声的方法。

基本思想是在图像空间中构建一个偏微分方程模型，并通过迭代求解偏微分方程来去除图像中的噪声。

图像降噪的PDE插值小波算法研究的开题报告一、研究背景随着数码相机、智能手机等数码产品的普及，数字图像处理已经成为现代生活中不可或缺的重要组成部分。

其中，图像降噪是数字图像处理中的一个重要任务之一，其主要目的是消除图像中的噪声，提高图像的画质和清晰度。

目前，常用的图像降噪方法包括滤波、小波变换、偏微分方程等，其中基于偏微分方程的插值小波算法是近年来比较有发展潜力的研究方向。

二、研究内容本次研究主要着眼于图像降噪的PDE插值小波算法，包括以下内容：1. 研究偏微分方程在图像降噪中的应用，探究其优点和不足之处。

2. 研究小波变换在图像降噪中的应用，比较不同小波函数的特点和适用场景。

3. 结合偏微分方程和小波变换的特点，提出一种新的降噪方法——PDE插值小波算法。

4. 对新算法进行理论分析和实验验证，评价其降噪效果和运算速度的优劣。

三、研究意义本次研究旨在探索一种全新的图像降噪方法，为数字图像处理提供更加高效、准确的方案。

一方面，PDE插值小波算法结合了偏微分方程和小波变换的优点，可以更好地处理各种图像噪声类型，具有更好的降噪效果。

另一方面，本次研究还将对新算法进行优化改进，进一步提高其运算效率和稳定性，为实际应用提供更多技术支持和保障。

四、研究方法本次研究将采用以下研究方法：1. 对偏微分方程和小波变换进行基础理论研究，明确它们在图像降噪中的优点和不足之处。

2. 根据研究结果，提出PDE插值小波算法的核心思想和具体实现步骤。

3. 利用MATLAB等图像处理工具，进行算法的实际应用和效果验证，包括图像降噪效果、运算速度等方面的评价。

五、研究进度安排本次研究计划的进度安排如下：1. 阅读相关论文，对偏微分方程和小波变换进行理论研究和分析，预计于XXXX年X月底完成。

2. 根据研究结果，提出PDE插值小波算法的核心思想和具体实现步骤，预计于XXXX年X月底完成。

3. 利用MATLAB等图像处理工具，进行算法的实际应用和效果验证，预计于XXXX年X月底完成。

一种改进的偏微分扩散方程的医学超声图像去噪方法张程睿;罗代升【摘要】研究了偏微分扩散方程在医学超声图像去噪中的应用.首先对各向异性扩散模型的进行分析,为了更好地去除噪声并保留图像的边缘等重要信息,提出了构造新的各向异性加权系数和优化的迭代次数的改进方法,并通过实验证明可达到更好的去噪效果.【期刊名称】《现代电子技术》【年(卷),期】2007(030)024【总页数】3页(P124-126)【关键词】偏微分扩散方程;各向异性加权系数;最佳迭代次数;医学超声图像【作者】张程睿;罗代升【作者单位】四川大学,电子信息学院图像信息研究所,四川,成都,610064;四川大学,电子信息学院图像信息研究所,四川,成都,610064【正文语种】中文【中图分类】TP391在现代医学中,核磁共振、CT、超声等医学影像图像处理与识别，正在临床研究和诊断上起着非常重要的作用。

医学超声图像利用不同组织和局部细节的不同回声信号强度和分布来捕捉重要的医学病变信息。

但是，医学超声图像普遍存在成像质量差、噪声大的缺点。

所以在医学超声图像处理和分析中，去除噪声是一个长期存在的问题。

超声图像的噪声主要为斑点噪声，具有瑞利分布特征。

至今人们已提出了很多滤波方法，包括基于中值滤波的方法；基于同态滤波的方法；基于小波变换和基于偏微分方程即扩散方程的方法。

基于自适应中值滤波方法根据图像噪声的局部统计特征自动选取滤波窗口的大小和形状或者自动选取滤波窗口内各点的权值,尽管这些方法在保留图像细节方面取得了一定的效果,但这类基于窗口平滑的滤波方法对于窗口的形状和大小均十分敏感,窗口的自适应选择仍限制了其滤波效果。

基于同态滤波方法是对图像进行对数变换后,将乘性噪声转换成加性噪声后用常规方法进行滤波。

基于小波变换的方法将超声图像变换到小波域,然后将某些尺寸的元素丢弃,再进行逆变换以去除噪声但该方法很难选择合适的尺度,如果丢弃小尺度信号,则不能有效地除去噪声,如果丢弃大尺度信号,则可能丢失有用信号。