偏微分方程---图像去噪

应 用 数 学M A T H EM AT ICA A P PL ICAT A2005,18(2):219~224*偏微分方程在图像去噪中的应用王正明,谢美华(国防科技大学理学院系统科学与数学系,湖南长沙410073)庆贺陈庆益先生八十寿辰摘要:本文介绍用于图像去噪的偏微分模型、方法的发展历程.从理论上分析了线性模型、简单非线性模型、复杂非线性模型、多步处理模型出现的背景和优缺点,并从空域和频域上对偏微分方程模型的去噪原理进行了分析.最后,指出了偏微分方程去噪与小波去噪结合的途径,据此对偏微分方程未来的发展方向进行了展望.关键词:偏微分方程;模型;扩散;正则化;去噪中图分类号:T P391 AMS(2000)主题分类:35R文献标识码:A 文章编号:1001 9847(2005)02 0219 06光学图像成像过程中的噪声污染通常来自于CCD成像器件、图像传输设备及处理设备的背景光子散粒噪声、暗电流散射噪声、读出噪声、热噪声、放大器噪声等,其中最终起限制作用的是光子散粒噪声,统计上服从高斯或泊松分布.同时图像数字化过程中的量化以及其它人为的因素也会导致噪声的产生,这种CCD传感器噪声和量化噪声可以仿真成 加性的或乘性的 , 信号相关的或信号无关的 以及 有色的或白色的 ,它们的存在极大地影响了图像的质量.这里只考虑加性的与信号无关的白噪声.此时,图像的成像模型可描述为g(x,y)=f(x,y)+ (x,y),(1)其中f(x,y)为不含噪的真实图像,g(x,y)为实际观测到的图像, ~N(0, 2).那么,图像去噪问题就相当于,寻找合适的算子F R R,使得F(g(x,y))=f(x,y).(2)由于噪声是随机性的,事实上我们只能得到f(x,y)的近似估计,而不可能使(2)式完全成立.因此,在评价算法的优劣时,通常以下述峰值信噪比作为评价指标.PSNR=10*lg2552 m ni,j(f(i,j)-f*(i,j))2,(3)其中f*(x,y)为采用某算法去噪后的图像,m,n为图像的尺寸.传统的图像去噪方法,如中*收稿日期:2004 05 08基金项目:全国优秀博士论文作者专项基金(200140),国家自然科学基金资助项目(60272013)作者简介:王正明,男,汉,湖南长沙人,教授,博导,国防科技大学理学院院长,主要研究方向为图像处理中的数学方法、装备试验分析与评估.值滤波、均值滤波,主要将图像的高频成分滤除.由于图像的细节如边缘纹理等也分布在高频区域,所以总是在对噪声进行滤除的同时将图像的边缘部分模糊了.事实上,数字图像在本质上可看成是R 2 R 的以图像的边缘为边界的分片连续的映射.基于这一性质,可以以图像的边缘为边界采用分片连续的函数来逼近图像中的真实信号,抑制其中的随机性噪声,如二元多项式就是一种可选的基函数,由于逼近是在图像的内区域进行的,所以不会造成对边缘的模糊,图像去噪的偏微分方程(PDE)方法就是基于这一性质构建的.令u 0 R 2 R 表示一个含噪的灰值图像.对u 0(x ,y )去噪相当于极小化能量函数[1]E (g)= 2 (u -u 0)2d x d y + |u 2x +u 2y |d x d y ,(4)其中 为正则化参数, 为图像的支撑域, 称为正则化参函数,是梯度的增函数,满足 0.(1)式中的前一项用以约束去噪图像与原图像的逼近程度,而后一项用以约束图像的光滑程度.它的含义是将图像近似为分片连续的零阶多项式.对极值问题(4),应用Eluer 方程,并采样最速下降法引进时间参数t,可转化为求解如下偏微分方程u t=F[u(x ,y ,t)],(5)其中u(x ,y ,t) R 2 [0, ] R 是随时间演化的图像,F R R 表示一个特定算法对应的算子.根据F 定义的不同可分为线性扩散、非线性扩散、各向异性扩散等.其中,最早出现的是如下线性扩散模型 t u = u,u(x ,y ,0)=u 0(x ,y ),(6)它对应于方程(4)中 =0, (s)=s 2/2的情形.(6)式是一个解热传导方程的Cauchy 问题,通过对其进行Fourier 变换,可求得其解为u(x ,y ,t)=u 0(x ,y )(K *u 0)(x ,y) t =0t >0,K (x ,y ,t)=1(4 t )3/2ex p -x 2+y 24t ,(7)显然这就是对应图像的高斯光滑,即利用高斯函数对邻域内的点进行加权平均来实现去噪.(7)式给出的解可从空域上理解(6)式去噪的含义,下面从分离变量法的角度给出方程(6)的解[7],从频域上理解(6)式去噪的含义.设初始图像u 0(x ,y )按正弦函数可以展开成如下级数u 0(x ,y )=M k =1 N l =1Ak,l sin k x M sin l y N ,(8)其中N ,,M 分别为u 0(x ,y )沿x ,y 方向的离散采样点的个数.则(6)式的解可表示为u(x 1,x 2,t)= M k=1 N l =1A k,l e -k 2 2t M 2+l 2 2t N 2sin k x 1M sin l x 2N .(9)从(9)式可以看出,经过(6)式去噪后的图像的正弦级数系数等于u 0(x ,y )的正弦级数的展开系数乘以一个与扩散时间相关的压缩因子w (k,l)=e -k 2 2t M 2+l 2 2t N 2,因为随着k,l 的增大w (k ,l)不断减小,因此(9)式对u 0(x ,y )的高频成分保留很少,因而能够实现对噪声的抑制.由于方程(6)采用的正则化参函数 (s)=s 2/2,这就要求图像的梯度在整幅图像上实现最小,当扩散时间T 趋向于无穷时,得到的是用一个常数对图像进行逼近的结果,这无疑会导致对图像如边缘等微细结构的模糊.为了避免这种模糊的产生,人们采用了一种非线性的正则化参函数,利用分片连续的平面对图像进行逼近.此时参函数 的选取可以有很多形式,如 (s)=(k 2/2)log (1+(s/k)2),或220应 用 数 学2005当 (s)=(k 2/2)log (1+(s/k )2)时,(5)式对应典型的非线性扩散方程-P M 扩散[2],此时 t u =div (g(| u |2) u),g(| u |2)=11+| u |2/k 2,u(x ,y ,0)=u 0(x ,y ), 或 t u =div (g(| u |2) u),g(| u |2)=11+| u |2/k 2,u(x ,y ,0)=u 0(x ,y ).(10)本着在边缘处扩散系数g(s)小的准则,一般选取g(s)使之满足如下条件:g(0)=1,g(s)为减函数,且lim sg(s)=0.而且,在参数的选取上一般选取 为严格凸函数,这是因为定理1 当势能函数 (| u |)为严格凸函数时,能量函数E(u)=(| u |)d x 正好有一个最小值.证 令 (| u |)= ( ( u))=g(| u |2) u,由 (| u |)为严格凸函数可知 严格单调递增,又 (0)=0,从而当| u |>0时,有 (| u |)>0,从而 (| u |)是严格单调递增的.对一个常值图像 u 而言,其梯度恒等于零,而 (| u |)是关于| u |的严格单调增函数,因此任给u,| u | 0,必有 (| u |)> (| u |),又因为 (| u |) 0,从而有E(|u |)>E (| u |),因而 u 是E (u)的唯一最小值.定理证毕.当定理1成立时,不必进行非凸优化所涉及的复杂的计算,而可使用标准的有限元近似来获得稳定的解.(10)式所示的非线性方程能根据图像的梯度| u |来判断边缘位置,使边缘处的扩散系数小,降低对边缘的模糊程度.但是,在| u |> 的情况下,其势能函数是非凸的,从而使得边缘等处的处理表现出不稳定性.而且,由于边缘处扩散系数很小,边缘处的噪声得不到有效抑制.由于正则化参函数 选取的不恰当,线性模型与非线性模型都有各自的缺点.为克服这一缺点,在后续的研究中人们将更多的精力投入到了 函数的选取上.其发展主要沿两个方向进行.第一,由简单方程到复杂方程的转变,这种复杂方程的复杂性主要体现在参函数的形式上,如考虑采用高阶方程[3]、逆扩散方程[4],以及增加约束条件[5]等;第二,由偏微分方程的一步实现到多重实现的转变,这种多重实现指的是多次运用简单方程来实现复杂的操作[6,7].目前,偏微分方程去噪研究的重点仍放在这两方面.但是,由于采样复杂的参函数会增加约束参数的个数和模型的复杂性,给处理带来较大的麻烦,所以其前景较偏微分方程的多重实现差.高阶偏微分方程 在能量函数(4)中,考虑对图像的二阶导数的约束有如下能量泛函[3]E(u)=f (| u |)d (11)时它所对应的偏微分方程为u t= [g(| u |) u].(12) 这是一个四阶偏微分方程,它的含义是将图像近似为分片连续的一阶多项式.使用四阶方程较前面的二阶偏微分方程的好处是能克服二阶方程常出现的 块状 (blocky )的效果.前向 后向扩散方程 考虑逆扩散方程t u (x ,t)=-c 2u(x ,t),c >0,(13)这等价于一个高斯去卷积过程,当其作用于边缘附近时具有锐化边缘的作用.这一方程由于其数值不稳定性而被认为是病态的,但是Gilboa,Zeevi,Sochen 认为在局部范围内使用逆扩散过程不会破坏其稳定性,因此,提出了一种前向 后向扩散方程[4].即取扩散系数g(s)满足221第2期王正明等:偏微分方程在图像去噪中的应用g(s)=1-(s/k f )n ,[((s -k b )/w )2m -1],0, 0 s k f ,k b -w s k b +w ,else.(14)前向 后向扩散方程的优点是能在光滑区域内部的同时锐化边缘,缺点是参数选取困难.除了这些形式的方程所对应的参函数以外,还有复扩散方程[5]、基于边缘检测的扩散方程、约束曲面面积扩散方程、拐点增强扩散方程,以及基于特殊边缘增强的藕合模型、稳健扩散、自适应扩散、多重网格等等.偏微分方程多步实现的代表是各向异性扩散方程.其中具有代表性的有边缘增强扩散和相干增强扩散.边缘增强扩散是为了对边缘处的噪声进行处理,而相干增强扩散是为了凸现图像的线状结构.在引入各向异性扩散模型之前,先介绍如下定理.定理2 设u 0为原始图像,D 为连续的2 2扩散矩阵,p 1,p 2为其规范正交的特征向量分别对应图像的梯度方向和边缘方向, 1, 2为其相应的特征根,考虑如下扩散平滑问题t u =div [D u],u(0,x ,y )=u 0(x ,y),(15)则利用(7)式对u 0进行光滑近似于分别以 1, 2的速度沿p 1,p 2方向光滑.证 设p 1=(p 11,p 12)T ,p 2=(p 21,p 22)T ,由于图像的边缘方向在小范围内基本不变,所以p 1,p 2在一定范围内取常值,此时u t= (p 211u xx +2p 11p 12u xy +p 212u yy )+ 2(p 221u xx +2p 21p 22u xy +p 222u yy )= 1p 11 (p 11u x +p 12u y ) x +p 12 (p 11u x +p 12u y ) y+ 2p 21 (p 21u x +p 22u y ) x +p 22 (p 21u x +p 22u y ) y = 1 (p 11u x +p 12u y ) p 1+ 2 (p 21u x +p 22u y ) p 2= 1 2u p 21+ 2 2u p 22.因此,u 沿p 1,p 2方向扩散的速度分别为 1, 2,定理证毕.各向异性扩散方程采用(7)式所对应的模型,其中扩散张量D 的特征向量p 1平行于梯度矢量,p 2垂直于梯度矢量.边缘增强扩散以 u u = u u T 为边缘定向算子,D 与u u 有相同的特征向量,其中u =u( ,t)*K ,K ( )=12 2 ex p -| |22 2.而D 的特征根为[6] 1=1, 2=l 2/(l 2+| u |2),其中 1对应垂直于梯度方向的特征向量, 2对应平行于梯度方向的特征向量.显然该方程是先利用了一次线性方程对边缘定向,然后再利用非线性扩散方程实现了沿边缘方向的扩散,是分两次利用偏微分方程.边缘增强扩散的优点是考虑到了扩散系数沿边缘方向和垂直边缘方向的不同,缺点是所采样的边缘定向算子 u u 不能正确的对边缘定向.与边缘增强扩散不同,相干增强扩散采用了一个新的边缘定向算子J 来对图像边缘定向,其扩散张量D 的特征向量与J 相同,其中[7]J ( u )=K *( u u ), 0.(16)扩散张量D 的特征值取为1 2,(17)222应 用 数 学20051, 2为 u u 的特征值.C 为大于零的常数, (0,1),常取一个很小的值.对应每一个J ,其中 1对应垂直于梯度方向的特征向量, 2对应平行于梯度方向的特征向量.相干增强扩散的优点是所采样的边缘定向算子能准确的描述边缘方向,缺点是其特征根的选取不适合平坦区域的去噪,会导致虚假边缘的产生.改变结构描述算子(16)的特征值的取值(17)还可以实现许多其他结构的定向增强.为了进一步完善算子,[8]对扩散模型的最优停止时间进行了讨论,采用了一种最小化噪声协方差的去相关准则来实现最优停止.为解决去噪问题(1),人们从不同的角度提出了很多不同的方法,其中主要的有正则化方法、小波系数伸缩法、总变分方法以及偏微分方程方法,文献[10]的研究指出这些不同方法之间存在某种程度的统一,并指出这种统一有利于综合利用这些方法的优点获得更好的去噪效果.前面也说明了偏微分扩散方程可以通过Euler 方程与正则化方法联系在一起.下面对偏微分方程与小波伸缩之间的相互关系进行讨论.在应用最速下降法引入时间参数t 后,偏微分方程去噪每一步迭代的值可以看成空间{u t }的一个元素,可以证明{u t }满足尺度空间性质,于是偏微分方程一步扩散的结果就可以对应小波去噪的一步伸缩.文献[9]证明了H aar 小波的伸缩函数与非线性扩散方程的扩散系数之间存在一对一的关系,这种相互关系可通过下述过程获得(i)给出偏微分方程进一步扩散的离散表达式.为方便记,我们考虑一维处理的情况,设所采用的偏微分方程的扩散系数为g,则离散化后的偏微分方程进一步扩散的表达式为u n +1(i)=u n (i)+ (g |u n (i +1)-u n (i)|)(u n (i+1)-u n (i))-g(|u n (i)-u n (i -1)|)(u n (i)-u n (i -1)).(18) (ii)给出H aar 小波去噪的一步分解与重构的离散表达式.设所采用的H aar 小波的伸缩函数为S ,则在一维情况下,基于H aar 小波一步分解与重构的离散化后地的表达式为u n +1(i)=u n (i -1)+2u n (i)+u n (i +1)4+122S u n (i)-u n (i +1)2-122S u n (i -1)-u n (i)2.(19)(iii)对比(i),(ii),可得到两者之间的相互转换关系.将(18)式重写为u n +1(i)=u n (i -1)+2u n (i)+u n (i +1)4+u n (i)-u n (i +1)4-u n (i -1)-u n (i)4+ (g(|u n (i +1)-u n (i)|)(u n (i +1)-u n(i))-g(|u n (i)-u n (i -1)|)(u n (i)-u n (i -1)))=u n (i -1)+2u n (i)+u n (i +1)4+(u n (i)-u n (i +1))(1/4- (g(|u n (i)-u n (i +1)|)))-(u n (i -1)-u n (i))(1/4- (g(|u n (i -1)-u n (i)|))).(20)对比(19)与(20)有122S (x /2)=x (1/4- g (|x |)).从而S 与g 之间的相互关系可表述为S (x )=x (1-4 g (21)223第2期王正明等:偏微分方程在图像去噪中的应用g(|x|)=14-24 xSx2,(22)由(21),(22)两式可在小波伸缩函数与扩散系数之间进行转换,从而可综合利用二者.参考文献:[1] W eickert J.A R eview o f N onlinear Diffusion F ilter ing in Scale space T heor y in Computer V ision[M].Berlin:Spring er,1997.[2] Per ona P,M alik J.Scale space and edg e detect ion using a niso tro pic diffusion[J].IEEE T r ansactio n onP attern A nalysis and M achine Intellig ence,1990,12(7):629~639.[3] L ysaker M,L under vo ld A,T ai X C.N oise remov al using fo ur th or der partial differential equatio n w ithapplicat ions to medical magnetic resonance imag es in space and time[J].IEEE T ransactions o n Imag e P ro cessing,2003,12(12):1579~1590.[4] G ilbo a G,Zeevi Y Y,So chen N A.F orw ard and backwar d diffusion pro cesses fo r adaptiv e image enhancement denosing[J].IEEE T ransaction on Image P rocessing,2002,11(7):689~703.[5] G ilboa G,Zeev i Y Y,Sochen N plex diffusion pr ocess for imag e filter ing[C].Scale Space,2001,L N CS2106,Ber lin:Spr inger Ver lag,2001.[6] W eicker t J.T heoret ical foundatio ns of naisotr opic diffusio n in imag e pro cessing[J].Co mputing,1996,11:221~236.[7] Weicker t J.Coherence Enhancing diffusio n filter ing[J].Inter national Jo ur nal o f Comput er V ision,1999,31(2/3):111~127.[8] M r azek P,N avara M.Selectio n o f optimal st opping time fo r nonlinear diffusio n filter ing[J].InternationalJour nal of Computer V isio n,2003,52(2/3):189~203.[9] Steidl G,W eicker t J.Br ox T,M razek P,W elk M.O n the equivalence o f so ft wavelet shr inkag e,to tal var iation diffusio n,total var iatio n regularizatio n,and SIDEs[J].SIA M Journal on N umer ical Analysis,2004, 42(2):686~713.A Review of the Application ofPartial Differential Equation in Image DenoisingWAN G Zheng ming,X I E M ei hua(Dep ar tment of Math.,Science College,N ational Univ er sity of Def ense T echnology,H u nan Changsha410073,China)Abstract:This paper g ives an o verview o f the development of partial differential equation models for image deno ising.We sketch basic ideas behind the different filter m odels,such as linear model,simple nonlinear model,complex no nlinear m odel and its m ulti steps realiza tion,and analysis the denoising pr inciple of partial differential equation fro m spatial dom ain and fr equency dom st,w e point out a strateg y of com bining w avelet and partial differ ential equation,and give a pr eview of its development.Key words:Partial differential equation;M odel;Diffusion;Regularizatio n;Denoising224应 用 数 学2005。

偏微分方程的应用——浅谈偏微分方程在图像去噪方面的应用前言：实话来说，对于这么纯粹的数学学科，我实在是没有什么信心学好，当初的常微分方程已经让我头疼不已了，更何况现在变成了偏微分。

它从名字上就已经把我打到了。

对它实在是有些畏惧。

不过看到这个论文题目还是让我很欣喜的，因为把它同现实联系了起来，不再是呆板的解题计算，而是真切的去了解这门学科在我们的生活中，或者是其他学科中的应用。

这样一来，它就不再是有些枯燥的数学了，而是一种赋予生活气息的学科。

摘要：图像去噪一直以来都是图像处理领域一个很受关注的问题，而且也是高层图像处理应用的预处理过程。

传统的图像去噪方法在去除噪声的同时往往会破坏边缘、线条、纹理等图像特征，基于偏微分方程的算法在图像去噪的同时，能够很好的保持图像的细节特征，因此，近年来受到越来越多的关注。

一、偏微分方程的起源及历史微积分方程这门学科产生于十八世纪，欧拉在他的著作中最早提出了弦振动的二阶方程，随后不久，法国数学家达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中提出了特殊的偏微分方程。

这些著作当时没有引起多大注意。

1746年，达朗贝尔在他的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》中，提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式。

这样就由对弦振动的研究开创了偏微分方程这门学科。

和欧拉同时代的瑞士数学家丹尼尔·贝努利也研究了数学物理方面的问题，提出了解弹性系振动问题的一般方法，对偏微分方程的发展起了比较大的影响。

拉格朗日也讨论了一阶偏微分方程，丰富了这门学科的内容。

偏微分方程得到迅速发展是在十九世纪，那时候，数学物理问题的研究繁荣起来了，许多数学家都对数学物理问题的解决做出了贡献。

这里应该提一提法国数学家傅立叶，他年轻的时候就是一个出色的数学学者。

在从事热流动的研究中，写出了《热的解析理论》，在文章中他提出了三维空间的热方程，也就是一种偏微分方程。

他的研究对偏微分方程的发展的影响是很大的。

二、偏微分方程在现代学科中的应用偏微分方程是反映有关的未知变量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间制约关系的等式。

长春师范大学学报Journal of Changchun Normal University 2020年12月Dec.2020第39卷第12期Vol.39No.12•种改进偏微分方程的国像去噪模型朱洪军，伍祥，朱伟杰，吴锦华，刘晴晴，余星星(安徽信息工程学院计算机与软件工程学院，安徽芜湖241000)［摘要］基于偏微分方程(PDE)的图像处理方法在图像去噪和去模糊等方面有着良好的应用效果。

针对R0F模型的梯度效应和YK模型的边缘模糊和图像亮点提岀一种改进偏微分方程的图像去噪模型°根据泛函极值和变分的相关定理推导了模型的Euler-Lagrange方程，利用最速下降法将模型的Euler-Lagrange方程转化为等价的扩散方程，并用中心差分和五点差分推导其数值迭代算法。

实验分别对benchmark和lenna噪声图片应用R0F、YK和改进的模型去噪，结果显示,改进的模型峰值信噪比(PSNR)提升率达到89.51%和37.42%，超过R0F和YK的提升率°改进的模型抑制了二阶偏微分方程模型的梯度效应，有效去除四阶偏微分方程模型的图像噪点并较完整保留图像边缘细节,是一种有效的图像去噪模型°［关键词］图像去噪;偏微分方程;最速下降法;信噪比;峰值信噪比［中图分类号］TP391［文献标志码］A［文章编号］2095-7602(2020)12-0041-06近年来，图像处理已成为数学和计算机交叉领域的研究热点，并广泛应用于科学探索、生物医学、工业生产等领域。

图像恢复作为图像处理中一项基本而关键的内容，主要包括图像去噪和去模糊。

图像恢复可以简单表述为以下模型：z_Ku+8,(1)这里,K为模糊算子,5为高斯白噪声,u为原始图像,z为待恢复图像°当模糊算子K_1时，图像不模糊，式(1)可表示为只带噪声的图像。

本文主要研究图像去噪问题°传统图像去噪分为空间域处理和频率域处理，空域去噪的主要思想是对噪声图像使用平滑滤波进行平滑处理，主要方法包含中值滤波［1］、均值滤波［2］和非局部平均滤波［3］等。

图像处理中的图像去噪技术综述图像去噪是图像处理中的一个重要环节，其目的是消除图像中的噪声，使得图像更加清晰、细节更加丰富。

图像的噪声来源于各种因素，如图像传感器的不完美响应、传输过程中引入的干扰以及图像采集设备本身的缺陷等。

去噪技术在图像处理、计算机视觉和计算机图形学等领域中得到广泛应用，能够显著提高图像质量和后续处理算法的准确性。

本文将对几种常见的图像去噪技术进行综述。

1. 统计滤波统计滤波是最常见的图像去噪方法之一，其基本思想是利用滤波窗口内像素的统计信息来估计图像中的噪声，并进行滤波处理。

代表性的方法有均值滤波、中值滤波和高斯滤波。

均值滤波将窗口内的像素取平均值作为滤波结果，适用于噪声服从均匀分布的情况。

中值滤波则将窗口内的像素按大小排序，取中值作为滤波结果，适用于椒盐噪声等噪声类型。

高斯滤波则利用高斯函数对窗口内像素进行加权平均，适用于高斯噪声的去除。

2. 图像域方法图像域方法是一种基于图像像素级别信息的去噪技术，其思想是通过像素之间的相关性来去除噪声。

经典的图像域方法有基于邻域像素的方法、基于全局信息的方法和基于偏微分方程的方法。

基于邻域像素的方法将每一个像素的值根据其周围像素的加权平均进行估计，并用此估计值替换原始像素值。

基于全局信息的方法则利用图像整体的统计特性进行去噪，如总变差去噪算法。

基于偏微分方程的方法则引入偏微分方程来进行去噪处理，如Anisotropic Diffusion和Total Variation等方法。

3. 频域方法频域方法是基于图像在频域上的特性进行去噪的技术。

其基本思想是将图像从空域变换到频域，对频域的噪声进行滤波处理后再进行逆变换得到去噪后的图像。

常见的频域方法有傅里叶变换、小波变换和稀疏表示等。

傅里叶变换将图像分解为一系列的正弦和余弦函数，通过滤除噪声对应的频率分量来实现去噪。

小波变换则将图像分解为不同尺度和方向上的小波系数，通过滤波来去除噪声。

稀疏表示方法则假设图像的稀疏表示能够更好地描述图像的结构，通过稀疏表示来去除噪声。

文章编号:100025889(2002)0420119203用于图像去噪的一个四阶偏微分方程耿修瑞1,黎锁平2(1.北京航空航天大学应用数学系,北京　100083;2.甘肃工业大学理学院,甘肃兰州　730050)摘要:用偏微分方程给图像去噪,传统上方程都是二阶的,Y u2Li和M.K aveh提出的一个四阶偏微分方程,在去噪的同时,更好地保持并近似了图像的边界,但Y u2Li和M.K aveh所提出的偏微分方程对椒盐噪声却无能为力,并且容易造成光滑区域不平整的现象.针对这个现象,作者修改Y u2Li 和M.K aveh方程中的一个扩散项的系数,得到了一个去噪效果更好的方程,并且可以消去椒盐噪声.关键词:变分;偏微分方程;图像去噪;椒盐噪声中图分类号:O29;TP391.41 文献标识码:AA forth2order partial differential equation used for image denoisingGE NG X iu2rui1,LI Suo2ping2(1.Dept.of Applied Mathematics,Beijing University of Aeronautics and Astronautics,Beijing　100083,China;2.School of Sciences,G ansu Univ.of T ech.,Lanzhou　730050,China)Abstract:PDE used for image denoising is traditionally a second2ordered one.Y u2Li and M.K aveh proposed a fourth2 order partial differential equation for noise rem oval last year.Their m odel can rem ove G aussion noise and keep image’s approximate boundary,but can not get rid of salt2pepper noise and,therefore,may cause unsm oothing phenomenon due to noise rem oval.S o,we m odify the coefficient of diffusion term in their PDEs,obtaining a partial differential equation which can denoise very well and rem ove salt2pepper noise,als o.K ey w ords:variation;partial differential equation;image denoising;salt2pepper noise 基于变分问题:E(u)=∫f(| 2u|)dΩ(1)Y u2Li和M.K aveh于2000年在文[1]中提出了如下的四阶偏微分方程:5u5t=- 2[c(| 2u|) 2u](2)式中,c(・)是正的非增函数,f(・)满足c(s)=f′(s)/s,且f(・)是非负非减函数.在这个方程中,Y u2Li和M.K aveh取c(s)=11+(s/k)2,从而f(s) 收稿日期:2002203225 基金项目:国家自然科学基金(69831040) 作者简介:耿修瑞(19762),男,河南新乡人,硕士生.=k22ln1+s2k2,其中k为一常数.(2),其最大的优点在于用分段斜面(对于平面曲线是分段斜线)来近似边界,从而消除了二阶非线性扩散方程所造成的集块现象,可以得到效果更好的图像.此方程的缺点是在滤去本来是平滑区域的噪声时,会造成不平整的现象,同时对于椒盐噪声,此方程没有任何去除的能力.若要除去椒盐噪声还需要对处理过的图像进行中值滤波.因此,需要对式(2)改进.1　改进的模型在变分问题式(1)中,E(u)实际上代表了图像的某种能量,但这种能量的物理意义却并不十分清第28卷第4期2002年12月甘　肃　工　业　大　学　学　报Journal of G ansu University of T echnologyV ol.28N o.4Dec.2002楚[2].但注意到当给图像加了噪声,对于平面曲线来说是增加了曲线的长度,而对于空间曲面来说是增加了曲面的面积.这样就可以在图像的能量极值问题中以图像的体积代替式(1)中的E (u )[3].从而有:E (u )=∫d Ω(3)式中,d Ω代表积分曲面的面积元素.对于平面曲线,式(3)即为E (u )=∫1+u 2x d x(4) 对于空间曲面,式(3)即为E (u )=∫1+u 2x +u 2y d x d y(5) 用梯度下降法[4],可以得到式(4)所对应的偏微分方程为u t =K(6) 而式(5)所对应的偏微分方程为u t =H(7)这里,K 代表平面曲线的曲率,H 代表空间曲面的平均曲率[5].由于有显著的物理背景,用式(7)给有噪声的图像去噪有显著的优点,即能迅速地滤去噪声,使有噪声的平滑区域迅速恢复平整.当然它也有明显的缺点,即它在保持边界的能力上是极差的.注意到式(5)中f (s )=1+s 2,其中s =| u|.结合Y u 2Li 和M.K aveh 的思想,现构造如下函数代替式(1)中的f (・),即取f ( 2u )=1+( 2u )2(8)这样就可以将Y u 2Li 和M.K aveh 的模型(2)改进为5u 5t =- 211+( 2u )2 2u (9) 改进后的模型(9)相当于取式(1)中的c (s )=11+s 2,于是相应能量泛函中的函数就变为f (s )=1+s 2.模型(9)兼具有方程(2)和方程(7)的优点,其性能远优于模型(2).随后的实验证明:新的四阶偏微分方程(9)不但可以很好地去除高斯噪声保持边界,还可以去除Y u 2Li 和M.K aveh 方程无能为力的椒盐噪声,具有非常好的去噪性能比.对新方程(9)的优越性能,从分析学的角度也可做进一步的解释:由式(1)可以证明E (u )与f (s )有相同的凹凸性,于是f (s )是凹函数,即满足对所有的s ≥0,f ″(s )≥0时,平面图像是式(1)的唯一一个全局最小值解,因为能量泛函E (u )在此条件下也是凹函数,因此方程(2)的演化是一个图像变得越来越平滑的过程直至变为平面图像.而f (・)不是凹函数时,即存在或对于所有的s 有f ″(s )<0,这时能量泛函E (u )就可能不是凹的.这样就有可能存在别的局部或全局最小解.当f (s )=k22ln 1+s 2k 2时,f ′(s )=s1+s 2/k 2,f ″(s )=1-s 2/k 21+s 2/k 22,显然f (s )非凹函数.由于在椒盐噪声处,s =| 2u |是一个非常大甚至是无穷大的数,而f ′(s )s →∞0,于是函数f (s )在椒盐噪声处可以认为是不变的,从而式(1)中E (u )在椒盐噪声处可以认为是不变的.这正是理论上Y u 2Li 和M.K aveh 方程对椒盐噪声无能为力的原因所在.当f (s )=1+s 2时,f ′(s )=s1+s2,f ″(s )=1(1+s 2)3/2.显然f (s )是凹函数,此时式(2)中的能量泛函E (u )有唯一的全局最小解,这正是方程(9)可以去除椒盐噪声的根本原因,又由于能量泛函中用拉普拉斯算子代替梯度算子,方程(9)又可以很好地保持边界.2　模型的数值处理方程(9)可以用下面迭代方法求出数值解.假定时间间隔为τ,空间网格的尺寸为h ,先量化时间、空间坐标如下:t =nτ　(n =0,1,2,…)x =ih (i =0,1,2,…,I )y =jh (j =0,1,2,…,J )这里,Ih ×Jh 是图像的支集的大小.下面用3个步骤计算微分方程(9)的右边项.1)计算Δu 的值Δu = 2u n i ,j =u n i +1,j +u n i -1,j +u n i ,j +1+u n i ,j -1-4u n i ,jh2以及相应的对称边界条件u n -1,j =u n 0,j ,u n I +1,j =u nI ,j (j =0,1,2,…,J )u n i ,-1=u n i ,0,u n i ,J +1=u n i ,J (i =0,1,2,…,I ) 2)计算下面函数的值:g ( 2u )=c ( 2u ) 2ug n i ,j =g ( 2u n i ,j ) 3)计算Δg (Δu ):2g n i ,j=g n i +1,j +g n i -1,j +g n i ,j +1+g n i ,j -1-4g n i ,jh2・021・ 甘肃工业大学学报 第28卷边界条件为g n -1,j =g n 0,j ,g n I +1,j =g nI ,j (j =0,1,2,…,J )g n i ,-1=g n i ,0,g n i ,J +1=g ni ,J (i =0,1,2,…,I ) 最后得到微分方程(9)的差分格式为u n +1i ,j -u ni ,jτ=- 2g ni ,j(10)3　实验结果由于方程(9)严格的非线性,理论上得到确保差分格式(10)收敛的τ是非常困难的,经过实验,在τ=0.2,h =1.2时,得到很好的效果,实验结果如下.3.1　曲线的情况由图1可以看到,方程(2)与(9)在去除高斯噪声时效果接近,但对于椒盐噪声,方程(9)明显优于方程(2).另外,虽然理论上方程(2)对椒盐噪声无能为力,但在数值计算时仍不免对其产生影响(如图1d ,图1f ),因此对方程(2)处理后的图像再实施中值滤波,将不会得到好的效果.3.2　图像的情况由图2可以看到方程(9)和方程(2)都可以比较快地去除噪声,方程(2)保持边界的能力稍强,但容易造成原本平整区域的麻点现象. (a )原始曲线 (b )加噪声的情况 (c )方程(9)在n =200时的情况 (d )方程(2)在n =200时的情况 (e )方程(9)在n =1000时的情况 (f )方程(9)在n =2000时的情况图1　曲线实验结果　(a )原始图像 (b )加了噪声　的图像　(c )方程(9)在n =30时的图像(d )方程(9)在n =50时的图像(e )方程(2)在n =30时的图像(f )方程(2)在n =50时的图像图2　图像实验结果 本文通过修改Y u 2Li 和M.K aveh 方程中的扩散项的系数,得到了一个改进的四阶偏微分方程模型.用此模型给图像去噪,克服了Y u 2Li 和M.K aveh 方程不能消去椒盐噪声的缺点,同时可以使原本光滑的区域基本恢复平整.数学分析和实验结果都证明本模型是一个去噪、保持边界俱佳的偏微分方程模型.参考文献:[1]　Y u 2Li Y ou ,K aveh M.F ourth 2Order partial differential equa 2tions for noise rem oval [J ].IEEE T rans Image Processing ,2000,(9):172321730.[2]　Peronaand P ,Malik J.Scale 2space and edge detection usinganis otropic diffusion [J ].IEEE T rans Pattern Anal Machine Intell ,1990,(12):6292639.[3]　K enneth R C.Digital image processing [M ].Englew oodCliffs :Prentice 2Hall International ,Inc.,1988.[4]　李哲岩,张永曙.变分法及其应用[M].西安:西北工业大学出版社,1989.[5]　梅向明,黄敬之.微分几何[M].北京:高等教育出版社,1995.・121・第4期 耿修瑞等:用于图像去噪的一个四阶偏微分方程 。

收稿日期:2004-05-24;修订日期:2004-12-30基金项目:国家自然科学基金(No.60272013)和全国优秀博士论文作者专项基金(No.200140)。

作者简介:谢美华(1976-),女,博士研究生,研究方向为图像数据处理与试验数据处理。

图像去噪的偏微分方程模型的最优参数选取谢美华,王正明,谢华英(国防科技大学五院系统工程研究所,湖南长沙　410073)摘要:偏微分方程去噪已公认为具有显著效果的图像去噪技术,但其中存在一个重要的最优参数的选取问题,包括扩散系数的选取和最优停止时间的选取,参数选取的正确与否直接关系到去噪的效果和方程的稳定性。

通过分析线性偏微分方程去噪模型的解析解,获得了线性去噪模型的最优停止时间的准确取值。

并从公式推导与工程应用相结合的角度考虑,得到了非线性去噪模型中扩散系数与最优停止时间的确定方法。

仿真计算结果表明所选择的参数确实是最优的。

关　键　词:去噪;偏微分扩散方程;参数选取;分离变量中图分类号:TP 391 文献标识码:A 文章编号:1004-0323(2005)02-0261-051　引　言偏微分方程(PDE)方法是图像去噪中的一种主要方法,其高质量的处理结果已引起了人们广泛的关注〔1～10〕。

其发展过程包括由均匀线性扩散过程到线性非均匀扩散过程,再到非线性扩散过程〔3〕以及各向异性扩散过程〔4〕,近年来,还出现了向前向后扩散过程〔5〕,复数域扩散过程〔6〕,高阶微分方程〔7〕等。

这些基于偏微分方程的去噪方法能通过扩散系数的作用,使模型自动的在光滑处有较大的光滑作用,而在边缘处有较小的光滑作用,并尽量保证在边缘处沿边缘方向进行扩散,因此能较好的解决去噪中的边缘保留与去噪的矛盾。

但是应用偏微分方程去噪涉及到一个很重要的参数取问题,包括扩散系数的选取和最优停止时间的选取。

这主要是因为理论结果显示当扩散无限进行下去时,将得到一个极度光滑的图像,这显然不符合实际情况,因此选择在什么时候终止扩散非常重要。

基于四阶偏微分方程的并行图像去噪研究【摘要】在图像处理领域中,不可避免的是大量的待处理数据和各类复杂的数据计算。

如今,数字图像的处理速度已难以满足实时性的要求。

而并行计算是提高图像处理速度最为有效的技术。

并行图像处理技术就是为了加快图像处理的速度,扩大图像处理的规模,以此来解决单处理器串行计算无法满足大规模计算的需求。

图像去噪是图像处理中的基本问题,四阶偏微分方程图像去噪方法具有良好的去噪效果,但其计算量大,影响其实时性。

因此,对四阶偏微分方程去噪算法进行并行化研究是当前非常重要和有价值的方向。

本文主要研究基于四阶偏微分方程的并行图像去噪算法。

首先,给出了一个改进的四阶偏微分方程去噪模型。

该改进模型利用四方向导数信息和对数图像处理(LIP)数学模型,构造了四方向LIP度量算子来全面客观地度量图像信息,能够有效地去除噪声和保护边缘细节信息,同时减少了误差,更符合人类视觉;根据人类视觉系统的结构化特性,利用噪声可见度函数构造保真项系数,进一步保持了图像的边缘细节并避免了人为的估计噪声水平。

实验结果表明:该改进模型能够更好地去除噪声,保护边缘、细节等特征,在视觉效果和客观评价指标上都明显优于原方法。

其次,对改进模型设计并行算法。

通过分... 更多还原【Abstract】 Massive processing data and complicatedcalculation is inevitable in image processing area. At present, the digital image processing speed is difficult to satisfy therequirements of real-time. The parallel computing is the most effective technology in terms of improving image processing speed. Image denoising is a basic problem in image processing. Fourth-order partial differential equation denoising method has a good noise reduction effect, but its massive calculation affects real-time. Image ... 更多还原【关键词】图像去噪；偏微分方程；扩散系数；保真项；并行算法；【Key words】Image denoising；PDE；Diffusion coefficient；Fidelity term；Parallel algorithm；【索购全文】Q联系Q：138113721 Q联系Q: 139938848付费即发摘要3-4ABSTRACT 4-5第一章绪论8-121.1 研究背景与意义81.2 国内外研究现状8-111.2.1 偏微分方程图像去噪的研究现状8-91.2.2 并行计算技术的研究现状9-101.2.3 并行图像处理技术10-111.3 论文内容与结构11-12第二章并行图像去噪理论基础12-242.1 引言122.2 传统的图像去噪方法12-142.2.1 均值滤波去噪12-132.2.2 中值滤波去噪13-142.3 偏微分方程图像去噪方法14-162.3.1 热方程扩散模型14-152.3.2 P-M 非线性扩散15-162.4 并行计算基本理论16-232.4.1 并行计算机分类16-192.4.2 并行算法分类19-202.4.3 并行算法的基本设计技术及实现20-222.4.4 并行算法的性能评估22-232.5 本章小结23-24第三章改进的四阶偏微分方程图像去噪模型24-363.1 引言243.2 对称四阶偏微分方程去噪模型24-253.3 存在的问题253.4 本文提出的改进模型25-313.4.1 改进的图像信息度量算子26-283.4.2 改进的保真项系数λ28-293.4.3 模型的数值计算29-303.4.4 串行算法的流程描述30-313.5 实验结果与分析31-353.6 本章小结35-36第四章改进模型的并行算法设计36-634.1 引言364.2 改进模型的并行性分析36-374.3 改进模型的并行算法37-474.3.1 分治策略374.3.2 数据划分37-394.3.3 超级步的划分39-404.3.4 并行算法的流程描述40-414.3.5 实验结果与分析41-474.4 并行算法的优化47-594.4.1 多粒度并行优化策略47-494.4.2 混合并行时间模型49-524.4.3 优化并行算法的流程描述52-534.4.4 优化并行算法的实验结果与分析53-594.5 优化并行去噪算法在天气预报领域的应用59-624.6 本章小结62-63第五章结论与未来的工作63-655.1 结论63-645.2 未来的工作64-65致谢65-66攻硕期间从事的科研工作及取得的研究成果66-67参考文献。