基于偏微分方程的图像去噪中差分格式的研究

应 用 数 学M A T H EM AT ICA A P PL ICAT A2005,18(2):219~224*偏微分方程在图像去噪中的应用王正明,谢美华(国防科技大学理学院系统科学与数学系,湖南长沙410073)庆贺陈庆益先生八十寿辰摘要:本文介绍用于图像去噪的偏微分模型、方法的发展历程.从理论上分析了线性模型、简单非线性模型、复杂非线性模型、多步处理模型出现的背景和优缺点,并从空域和频域上对偏微分方程模型的去噪原理进行了分析.最后,指出了偏微分方程去噪与小波去噪结合的途径,据此对偏微分方程未来的发展方向进行了展望.关键词:偏微分方程;模型;扩散;正则化;去噪中图分类号:T P391 AMS(2000)主题分类:35R文献标识码:A 文章编号:1001 9847(2005)02 0219 06光学图像成像过程中的噪声污染通常来自于CCD成像器件、图像传输设备及处理设备的背景光子散粒噪声、暗电流散射噪声、读出噪声、热噪声、放大器噪声等,其中最终起限制作用的是光子散粒噪声,统计上服从高斯或泊松分布.同时图像数字化过程中的量化以及其它人为的因素也会导致噪声的产生,这种CCD传感器噪声和量化噪声可以仿真成 加性的或乘性的 , 信号相关的或信号无关的 以及 有色的或白色的 ,它们的存在极大地影响了图像的质量.这里只考虑加性的与信号无关的白噪声.此时,图像的成像模型可描述为g(x,y)=f(x,y)+ (x,y),(1)其中f(x,y)为不含噪的真实图像,g(x,y)为实际观测到的图像, ~N(0, 2).那么,图像去噪问题就相当于,寻找合适的算子F R R,使得F(g(x,y))=f(x,y).(2)由于噪声是随机性的,事实上我们只能得到f(x,y)的近似估计,而不可能使(2)式完全成立.因此,在评价算法的优劣时,通常以下述峰值信噪比作为评价指标.PSNR=10*lg2552 m ni,j(f(i,j)-f*(i,j))2,(3)其中f*(x,y)为采用某算法去噪后的图像,m,n为图像的尺寸.传统的图像去噪方法,如中*收稿日期:2004 05 08基金项目:全国优秀博士论文作者专项基金(200140),国家自然科学基金资助项目(60272013)作者简介:王正明,男,汉,湖南长沙人,教授,博导,国防科技大学理学院院长,主要研究方向为图像处理中的数学方法、装备试验分析与评估.值滤波、均值滤波,主要将图像的高频成分滤除.由于图像的细节如边缘纹理等也分布在高频区域,所以总是在对噪声进行滤除的同时将图像的边缘部分模糊了.事实上,数字图像在本质上可看成是R 2 R 的以图像的边缘为边界的分片连续的映射.基于这一性质,可以以图像的边缘为边界采用分片连续的函数来逼近图像中的真实信号,抑制其中的随机性噪声,如二元多项式就是一种可选的基函数,由于逼近是在图像的内区域进行的,所以不会造成对边缘的模糊,图像去噪的偏微分方程(PDE)方法就是基于这一性质构建的.令u 0 R 2 R 表示一个含噪的灰值图像.对u 0(x ,y )去噪相当于极小化能量函数[1]E (g)= 2 (u -u 0)2d x d y + |u 2x +u 2y |d x d y ,(4)其中 为正则化参数, 为图像的支撑域, 称为正则化参函数,是梯度的增函数,满足 0.(1)式中的前一项用以约束去噪图像与原图像的逼近程度,而后一项用以约束图像的光滑程度.它的含义是将图像近似为分片连续的零阶多项式.对极值问题(4),应用Eluer 方程,并采样最速下降法引进时间参数t,可转化为求解如下偏微分方程u t=F[u(x ,y ,t)],(5)其中u(x ,y ,t) R 2 [0, ] R 是随时间演化的图像,F R R 表示一个特定算法对应的算子.根据F 定义的不同可分为线性扩散、非线性扩散、各向异性扩散等.其中,最早出现的是如下线性扩散模型 t u = u,u(x ,y ,0)=u 0(x ,y ),(6)它对应于方程(4)中 =0, (s)=s 2/2的情形.(6)式是一个解热传导方程的Cauchy 问题,通过对其进行Fourier 变换,可求得其解为u(x ,y ,t)=u 0(x ,y )(K *u 0)(x ,y) t =0t >0,K (x ,y ,t)=1(4 t )3/2ex p -x 2+y 24t ,(7)显然这就是对应图像的高斯光滑,即利用高斯函数对邻域内的点进行加权平均来实现去噪.(7)式给出的解可从空域上理解(6)式去噪的含义,下面从分离变量法的角度给出方程(6)的解[7],从频域上理解(6)式去噪的含义.设初始图像u 0(x ,y )按正弦函数可以展开成如下级数u 0(x ,y )=M k =1 N l =1Ak,l sin k x M sin l y N ,(8)其中N ,,M 分别为u 0(x ,y )沿x ,y 方向的离散采样点的个数.则(6)式的解可表示为u(x 1,x 2,t)= M k=1 N l =1A k,l e -k 2 2t M 2+l 2 2t N 2sin k x 1M sin l x 2N .(9)从(9)式可以看出,经过(6)式去噪后的图像的正弦级数系数等于u 0(x ,y )的正弦级数的展开系数乘以一个与扩散时间相关的压缩因子w (k,l)=e -k 2 2t M 2+l 2 2t N 2,因为随着k,l 的增大w (k ,l)不断减小,因此(9)式对u 0(x ,y )的高频成分保留很少,因而能够实现对噪声的抑制.由于方程(6)采用的正则化参函数 (s)=s 2/2,这就要求图像的梯度在整幅图像上实现最小,当扩散时间T 趋向于无穷时,得到的是用一个常数对图像进行逼近的结果,这无疑会导致对图像如边缘等微细结构的模糊.为了避免这种模糊的产生,人们采用了一种非线性的正则化参函数,利用分片连续的平面对图像进行逼近.此时参函数 的选取可以有很多形式,如 (s)=(k 2/2)log (1+(s/k)2),或220应 用 数 学2005当 (s)=(k 2/2)log (1+(s/k )2)时,(5)式对应典型的非线性扩散方程-P M 扩散[2],此时 t u =div (g(| u |2) u),g(| u |2)=11+| u |2/k 2,u(x ,y ,0)=u 0(x ,y ), 或 t u =div (g(| u |2) u),g(| u |2)=11+| u |2/k 2,u(x ,y ,0)=u 0(x ,y ).(10)本着在边缘处扩散系数g(s)小的准则,一般选取g(s)使之满足如下条件:g(0)=1,g(s)为减函数,且lim sg(s)=0.而且,在参数的选取上一般选取 为严格凸函数,这是因为定理1 当势能函数 (| u |)为严格凸函数时,能量函数E(u)=(| u |)d x 正好有一个最小值.证 令 (| u |)= ( ( u))=g(| u |2) u,由 (| u |)为严格凸函数可知 严格单调递增,又 (0)=0,从而当| u |>0时,有 (| u |)>0,从而 (| u |)是严格单调递增的.对一个常值图像 u 而言,其梯度恒等于零,而 (| u |)是关于| u |的严格单调增函数,因此任给u,| u | 0,必有 (| u |)> (| u |),又因为 (| u |) 0,从而有E(|u |)>E (| u |),因而 u 是E (u)的唯一最小值.定理证毕.当定理1成立时,不必进行非凸优化所涉及的复杂的计算,而可使用标准的有限元近似来获得稳定的解.(10)式所示的非线性方程能根据图像的梯度| u |来判断边缘位置,使边缘处的扩散系数小,降低对边缘的模糊程度.但是,在| u |> 的情况下,其势能函数是非凸的,从而使得边缘等处的处理表现出不稳定性.而且,由于边缘处扩散系数很小,边缘处的噪声得不到有效抑制.由于正则化参函数 选取的不恰当,线性模型与非线性模型都有各自的缺点.为克服这一缺点,在后续的研究中人们将更多的精力投入到了 函数的选取上.其发展主要沿两个方向进行.第一,由简单方程到复杂方程的转变,这种复杂方程的复杂性主要体现在参函数的形式上,如考虑采用高阶方程[3]、逆扩散方程[4],以及增加约束条件[5]等;第二,由偏微分方程的一步实现到多重实现的转变,这种多重实现指的是多次运用简单方程来实现复杂的操作[6,7].目前,偏微分方程去噪研究的重点仍放在这两方面.但是,由于采样复杂的参函数会增加约束参数的个数和模型的复杂性,给处理带来较大的麻烦,所以其前景较偏微分方程的多重实现差.高阶偏微分方程 在能量函数(4)中,考虑对图像的二阶导数的约束有如下能量泛函[3]E(u)=f (| u |)d (11)时它所对应的偏微分方程为u t= [g(| u |) u].(12) 这是一个四阶偏微分方程,它的含义是将图像近似为分片连续的一阶多项式.使用四阶方程较前面的二阶偏微分方程的好处是能克服二阶方程常出现的 块状 (blocky )的效果.前向 后向扩散方程 考虑逆扩散方程t u (x ,t)=-c 2u(x ,t),c >0,(13)这等价于一个高斯去卷积过程,当其作用于边缘附近时具有锐化边缘的作用.这一方程由于其数值不稳定性而被认为是病态的,但是Gilboa,Zeevi,Sochen 认为在局部范围内使用逆扩散过程不会破坏其稳定性,因此,提出了一种前向 后向扩散方程[4].即取扩散系数g(s)满足221第2期王正明等:偏微分方程在图像去噪中的应用g(s)=1-(s/k f )n ,[((s -k b )/w )2m -1],0, 0 s k f ,k b -w s k b +w ,else.(14)前向 后向扩散方程的优点是能在光滑区域内部的同时锐化边缘,缺点是参数选取困难.除了这些形式的方程所对应的参函数以外,还有复扩散方程[5]、基于边缘检测的扩散方程、约束曲面面积扩散方程、拐点增强扩散方程,以及基于特殊边缘增强的藕合模型、稳健扩散、自适应扩散、多重网格等等.偏微分方程多步实现的代表是各向异性扩散方程.其中具有代表性的有边缘增强扩散和相干增强扩散.边缘增强扩散是为了对边缘处的噪声进行处理,而相干增强扩散是为了凸现图像的线状结构.在引入各向异性扩散模型之前,先介绍如下定理.定理2 设u 0为原始图像,D 为连续的2 2扩散矩阵,p 1,p 2为其规范正交的特征向量分别对应图像的梯度方向和边缘方向, 1, 2为其相应的特征根,考虑如下扩散平滑问题t u =div [D u],u(0,x ,y )=u 0(x ,y),(15)则利用(7)式对u 0进行光滑近似于分别以 1, 2的速度沿p 1,p 2方向光滑.证 设p 1=(p 11,p 12)T ,p 2=(p 21,p 22)T ,由于图像的边缘方向在小范围内基本不变,所以p 1,p 2在一定范围内取常值,此时u t= (p 211u xx +2p 11p 12u xy +p 212u yy )+ 2(p 221u xx +2p 21p 22u xy +p 222u yy )= 1p 11 (p 11u x +p 12u y ) x +p 12 (p 11u x +p 12u y ) y+ 2p 21 (p 21u x +p 22u y ) x +p 22 (p 21u x +p 22u y ) y = 1 (p 11u x +p 12u y ) p 1+ 2 (p 21u x +p 22u y ) p 2= 1 2u p 21+ 2 2u p 22.因此,u 沿p 1,p 2方向扩散的速度分别为 1, 2,定理证毕.各向异性扩散方程采用(7)式所对应的模型,其中扩散张量D 的特征向量p 1平行于梯度矢量,p 2垂直于梯度矢量.边缘增强扩散以 u u = u u T 为边缘定向算子,D 与u u 有相同的特征向量,其中u =u( ,t)*K ,K ( )=12 2 ex p -| |22 2.而D 的特征根为[6] 1=1, 2=l 2/(l 2+| u |2),其中 1对应垂直于梯度方向的特征向量, 2对应平行于梯度方向的特征向量.显然该方程是先利用了一次线性方程对边缘定向,然后再利用非线性扩散方程实现了沿边缘方向的扩散,是分两次利用偏微分方程.边缘增强扩散的优点是考虑到了扩散系数沿边缘方向和垂直边缘方向的不同,缺点是所采样的边缘定向算子 u u 不能正确的对边缘定向.与边缘增强扩散不同,相干增强扩散采用了一个新的边缘定向算子J 来对图像边缘定向,其扩散张量D 的特征向量与J 相同,其中[7]J ( u )=K *( u u ), 0.(16)扩散张量D 的特征值取为1 2,(17)222应 用 数 学20051, 2为 u u 的特征值.C 为大于零的常数, (0,1),常取一个很小的值.对应每一个J ,其中 1对应垂直于梯度方向的特征向量, 2对应平行于梯度方向的特征向量.相干增强扩散的优点是所采样的边缘定向算子能准确的描述边缘方向,缺点是其特征根的选取不适合平坦区域的去噪,会导致虚假边缘的产生.改变结构描述算子(16)的特征值的取值(17)还可以实现许多其他结构的定向增强.为了进一步完善算子,[8]对扩散模型的最优停止时间进行了讨论,采用了一种最小化噪声协方差的去相关准则来实现最优停止.为解决去噪问题(1),人们从不同的角度提出了很多不同的方法,其中主要的有正则化方法、小波系数伸缩法、总变分方法以及偏微分方程方法,文献[10]的研究指出这些不同方法之间存在某种程度的统一,并指出这种统一有利于综合利用这些方法的优点获得更好的去噪效果.前面也说明了偏微分扩散方程可以通过Euler 方程与正则化方法联系在一起.下面对偏微分方程与小波伸缩之间的相互关系进行讨论.在应用最速下降法引入时间参数t 后,偏微分方程去噪每一步迭代的值可以看成空间{u t }的一个元素,可以证明{u t }满足尺度空间性质,于是偏微分方程一步扩散的结果就可以对应小波去噪的一步伸缩.文献[9]证明了H aar 小波的伸缩函数与非线性扩散方程的扩散系数之间存在一对一的关系,这种相互关系可通过下述过程获得(i)给出偏微分方程进一步扩散的离散表达式.为方便记,我们考虑一维处理的情况,设所采用的偏微分方程的扩散系数为g,则离散化后的偏微分方程进一步扩散的表达式为u n +1(i)=u n (i)+ (g |u n (i +1)-u n (i)|)(u n (i+1)-u n (i))-g(|u n (i)-u n (i -1)|)(u n (i)-u n (i -1)).(18) (ii)给出H aar 小波去噪的一步分解与重构的离散表达式.设所采用的H aar 小波的伸缩函数为S ,则在一维情况下,基于H aar 小波一步分解与重构的离散化后地的表达式为u n +1(i)=u n (i -1)+2u n (i)+u n (i +1)4+122S u n (i)-u n (i +1)2-122S u n (i -1)-u n (i)2.(19)(iii)对比(i),(ii),可得到两者之间的相互转换关系.将(18)式重写为u n +1(i)=u n (i -1)+2u n (i)+u n (i +1)4+u n (i)-u n (i +1)4-u n (i -1)-u n (i)4+ (g(|u n (i +1)-u n (i)|)(u n (i +1)-u n(i))-g(|u n (i)-u n (i -1)|)(u n (i)-u n (i -1)))=u n (i -1)+2u n (i)+u n (i +1)4+(u n (i)-u n (i +1))(1/4- (g(|u n (i)-u n (i +1)|)))-(u n (i -1)-u n (i))(1/4- (g(|u n (i -1)-u n (i)|))).(20)对比(19)与(20)有122S (x /2)=x (1/4- g (|x |)).从而S 与g 之间的相互关系可表述为S (x )=x (1-4 g (21)223第2期王正明等:偏微分方程在图像去噪中的应用g(|x|)=14-24 xSx2,(22)由(21),(22)两式可在小波伸缩函数与扩散系数之间进行转换,从而可综合利用二者.参考文献:[1] W eickert J.A R eview o f N onlinear Diffusion F ilter ing in Scale space T heor y in Computer V ision[M].Berlin:Spring er,1997.[2] Per ona P,M alik J.Scale space and edg e detect ion using a niso tro pic diffusion[J].IEEE T r ansactio n onP attern A nalysis and M achine Intellig ence,1990,12(7):629~639.[3] L ysaker M,L under vo ld A,T ai X C.N oise remov al using fo ur th or der partial differential equatio n w ithapplicat ions to medical magnetic resonance imag es in space and time[J].IEEE T ransactions o n Imag e P ro cessing,2003,12(12):1579~1590.[4] G ilbo a G,Zeevi Y Y,So chen N A.F orw ard and backwar d diffusion pro cesses fo r adaptiv e image enhancement denosing[J].IEEE T ransaction on Image P rocessing,2002,11(7):689~703.[5] G ilboa G,Zeev i Y Y,Sochen N plex diffusion pr ocess for imag e filter ing[C].Scale Space,2001,L N CS2106,Ber lin:Spr inger Ver lag,2001.[6] W eicker t J.T heoret ical foundatio ns of naisotr 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odels,such as linear model,simple nonlinear model,complex no nlinear m odel and its m ulti steps realiza tion,and analysis the denoising pr inciple of partial differential equation fro m spatial dom ain and fr equency dom st,w e point out a strateg y of com bining w avelet and partial differ ential equation,and give a pr eview of its development.Key words:Partial differential equation;M odel;Diffusion;Regularizatio n;Denoising224应 用 数 学2005。

基于偏激分方程(PDE)的图像去噪的方法综述摘要:偏微分方程(pde)方法,是图像处理中的一种较新的方法,有着很强的数学基础,在图像处理中的应用发展非常快。

本文将近几年应用较多的几种图像去噪方法进行了系统的概括总结,指出了该领域的学者是如何一步步进行改进得到新方法的,并对该领域的发展做了新的展望。

关键词:图像去噪偏微分方程平滑滤波总变差中图分类号:tp3 文献标识码:a 文章编号:1674-098x(2011)07(b)-0110-021 引言图像去噪是数字图像处理中的一个经典问题。

随着数字图像处理技术的发展,大量数字图像经由信道传输或通过介质保存。

图像在传输或存储过程中受到外界物理条件的限制,所产生的噪声会影响图像的视觉效果。

而在众多的应用领域中,又需要清晰的、高质量的图像,因此,图像去噪是一类重要的图像处理问题,同时也是其它图像处理的重要预处理过程,对后继处理带来很大的影响。

基于偏微分方程(pde)的方法进行图像处理因具有各向异性的特性,自适应性强,能够在平滑噪声的同时更好的保持边缘与纹理等细节性息,故在过去的二十几年中获得了巨大的发展。

这个领域的实质性的创始工作归功于和各自独立的研究。

他们严格地介绍了尺度空间理论并指出图像与具有递增方差的高斯函数做卷积实现低通滤波和求解以原图像为初值的热传导方程等价。

然而由于高斯滤波是各向同性扩散,在去除噪音的同时模糊了边界。

改进滤波技术,在去噪的同时能完好的保存边缘等重要信息,一直是这一领域的目标。

本文详细介绍了现存的基于pde的图像去噪的主要方法,并指出了它们之间的联系。

2 图像去噪模型偏微分方程与图像去噪的结合产生了许多模型,大体上可以分为两大类:一种是基本的迭代格式,随着时间的变化更新,使得图像向所要得到的效果逐步逼近,这种算法的代表为的方程以及对其改进的后续工作。

该方法在前向扩散的同时具有向后扩散的功能,所以具有平滑图像和边缘锐化的能力,并且扩散系数有很大的选择空间。

偏微分方程的应用——浅谈偏微分方程在图像去噪方面的应用前言：实话来说，对于这么纯粹的数学学科，我实在是没有什么信心学好，当初的常微分方程已经让我头疼不已了，更何况现在变成了偏微分。

它从名字上就已经把我打到了。

对它实在是有些畏惧。

不过看到这个论文题目还是让我很欣喜的，因为把它同现实联系了起来，不再是呆板的解题计算，而是真切的去了解这门学科在我们的生活中，或者是其他学科中的应用。

这样一来，它就不再是有些枯燥的数学了，而是一种赋予生活气息的学科。

摘要：图像去噪一直以来都是图像处理领域一个很受关注的问题，而且也是高层图像处理应用的预处理过程。

传统的图像去噪方法在去除噪声的同时往往会破坏边缘、线条、纹理等图像特征，基于偏微分方程的算法在图像去噪的同时，能够很好的保持图像的细节特征，因此，近年来受到越来越多的关注。

一、偏微分方程的起源及历史微积分方程这门学科产生于十八世纪，欧拉在他的著作中最早提出了弦振动的二阶方程，随后不久，法国数学家达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中提出了特殊的偏微分方程。

这些著作当时没有引起多大注意。

1746年，达朗贝尔在他的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》中，提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式。

这样就由对弦振动的研究开创了偏微分方程这门学科。

和欧拉同时代的瑞士数学家丹尼尔·贝努利也研究了数学物理方面的问题，提出了解弹性系振动问题的一般方法，对偏微分方程的发展起了比较大的影响。

拉格朗日也讨论了一阶偏微分方程，丰富了这门学科的内容。

偏微分方程得到迅速发展是在十九世纪，那时候，数学物理问题的研究繁荣起来了，许多数学家都对数学物理问题的解决做出了贡献。

这里应该提一提法国数学家傅立叶，他年轻的时候就是一个出色的数学学者。

在从事热流动的研究中，写出了《热的解析理论》，在文章中他提出了三维空间的热方程，也就是一种偏微分方程。

他的研究对偏微分方程的发展的影响是很大的。

二、偏微分方程在现代学科中的应用偏微分方程是反映有关的未知变量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间制约关系的等式。

基于双曲型偏微分方程的图像抵抗噪声算法优化研究图像处理的重要性在日益凸显，随着科技的不断发展，人们越来越需要高质量的图像来支持生活、工作和娱乐。

然而，图像在传输和处理过程中容易受到噪声的影响，使得图像质量下降，进而影响了图像的应用效果。

为了解决这一问题，图像抵抗噪声算法被提出，基于双曲型偏微分方程的图像抵抗噪声算法优化研究也成为当前研究的热点。

一、双曲型偏微分方程在图像处理中的应用双曲型偏微分方程在图像处理中广泛应用，主要是基于它所具有的平滑处理和边缘保留的特性。

双曲型偏微分方程能够利用图像的局部差异，改善图像的质量，使之更接近于原始图像。

其中，曲率流方程是双曲型偏微分方程的一种。

二、基于双曲型偏微分方程的图像抵抗噪声算法基于双曲型偏微分方程的图像抵抗噪声算法是一种有效的图像去噪方法。

该算法以双曲型偏微分方程为基础，利用它对图像进行去噪修复，达到提高图像质量的效果。

该算法的核心是双曲型偏微分方程。

其中，曲率流方程是一种常用的形式，通过计算图像的曲率，对图像进行处理。

双曲型偏微分方程的处理过程中，通过控制算法的参数，可以在滤除图像噪声的同时，保留图像的边缘信息，并且使得图像的细节更加突出。

三、基于双曲型偏微分方程的图像抵抗噪声算法的优化研究基于双曲型偏微分方程的图像抵抗噪声算法虽然已经达到了较好的效果，但是仍然存在着一些问题，例如运算速度较慢、图像还原效果不佳等。

因此，目前的研究中主要针对算法的优化进行了大量的探索。

其中，主要的研究方向包括优化算法的数值计算方法、提高算法的鲁棒性、优化算法的参数选择等。

优化算法的数值计算方法可以通过采用更加高效的数值计算方法来提高算法的运行速度。

例如，采用基于FFT算法的快速卷积技术来替代传统的卷积计算方法，可以大大提高算法的运行速度。

提高算法的鲁棒性则可以通过加强对噪声类型的适应性来实现。

例如，在算法中加入对椒盐噪声、高斯噪声等多种噪声类型的识别和处理，可以提高算法的鲁棒性，使得算法可以适应更加广泛的噪声类型。

图像去模糊中基于变分的偏微分方程模型的改进及应用的开题报告一、题目简介本文基于图像去模糊问题，探讨了基于变分的偏微分方程模型在图像去模糊中的应用，提出了一些改进方案，并测试了其在实际应用中的效果。

二、研究背景及意义图像模糊是指由于成像光线经过物体传播经过时间、空间等各种因素的影响，从而影响了成像的清晰度和精度。

在进行图像处理和分析时，模糊度较大的图像会影响图像的利用价值和准确度。

解决图像模糊问题的方法有很多种，其中基于变分的偏微分方程模型是一种较为有效的方法，其思路是在最小化总能量的同时，尽量保留图像的细节和边缘。

近年来，该方法已经被广泛应用于医学影像、计算机视觉、人脸识别等领域，并且取得了很好的效果。

三、研究内容及方案本文针对现有偏微分方程模型的一些不足提出了一些改进方案，包括：1. 对图像的边缘和细节信息进行更好的保留，从而提高去模糊效果。

2. 降低计算复杂度，提高计算效率和速度，方便实际应用。

3. 测试算法的鲁棒性和稳定性，确保算法的稳定性和可靠性。

四、研究方法1. 基于现有的偏微分方程模型，提出改进方案，并编写相应的程序实现改进算法。

2. 使用真实的图像数据进行测试，对比不同算法的去模糊效果。

3. 对比计算时间和效率，评估算法的实用性和可行性。

4. 分析算法的鲁棒性和稳定性，并提出相关改进建议。

五、预期结果及意义通过本文的研究，预期可以得到以下结果和意义：1. 提出的改进方案可以提高现有偏微分方程模型的去模糊效果，在实际应用中具有一定的优势。

2. 对算法的计算复杂度进行一定优化，提高了算法的计算速度和效率。

3. 针对算法的鲁棒性和稳定性进行测试，提出了进一步改进的建议，保证算法的可靠性和稳定性。

4. 为图像处理和分析领域的从业人员提供了一种可靠的解决方案，具有一定的实际应用价值。

六、总结本文旨在探讨基于变分的偏微分方程模型在图像去模糊中的应用及其改进方案，并通过实际数据进行测试和分析。

预期可以得到一种性能优越、鲁棒、稳定的图像去模糊算法，具有一定的实际应用价值。

基于偏微分方程的图像去噪研究的开题报告
标题：基于偏微分方程的图像去噪研究
研究目的：随着数字图像处理技术的不断发展，图像去噪成为图像处理领域中的一个重要问题。

本研究旨在通过研究基于偏微分方程的图像去噪方法，提高图像去噪的效果和速度。

研究内容：
1. 偏微分方程在图像去噪中的应用原理
2. 偏微分方程的求解方法及其在图像去噪中的应用
3. 常用的基于偏微分方程的图像去噪方法的综述和比较
4. 实验验证和分析
研究方法：
1. 文献回顾和资料收集：收集和研究基于偏微分方程的图像去噪方法的相关文献和资料，了解现有的主流方法和其优缺点。

2. 理论分析：对不同的基于偏微分方程的图像去噪方法进行理论分析，探讨其优劣和适用范围。

3. 实验验证：通过对比实验验证不同方法的去噪效果和计算速度，分析不同方法的适用性，并探索适合不同场景的图像去噪算法。

预期成果：通过本研究，提高基于偏微分方程的图像去噪方法的实用性和可靠性，为数字图像处理提供更优质的技术支持。

最终的成果将为图像去噪领域的技术发展和应用提供有益启示。

关键词：基于偏微分方程；图像去噪；计算速度；实验验证；数学模型。

基于双曲偏微分方程的数字图像处理研究数字图像处理是目前计算机视觉领域的重要分支之一，它研究如何处理数字图像并从中提取有效信息。

双曲偏微分方程作为一种重要的数学工具，在数字图像处理中起着举足轻重的作用。

一、双曲偏微分方程概述双曲偏微分方程是一类二阶偏微分方程，常用于描述波动现象和传播过程。

其一般形式为：a(x,y)u_xx+b(x,y)u_xy+c(x,y)u_yy=F(x,y,u,u_x,u_y)其中，a(x,y),b(x,y),c(x,y)均为定义在平面上的实函数，F为一般右侧非线性项。

在数学和物理学领域中，双曲型方程经常用于描述一维或二维的波动现象和传播过程，例如声波、电磁波、水波等。

二、双曲偏微分方程在数字图像处理中的应用双曲偏微分方程在数字图像处理中的应用有很多。

其中最常见的是图像去噪和图像增强。

图像去噪是指对于一副含有噪声的图像，通过双曲偏微分方程去除图像中的噪声。

图像增强则是指通过双曲偏微分方程提取出图像中的有效信息，以改善图像的质量和清晰度。

三、双曲偏微分方程在图像去噪中的应用对于含有噪声的图像，我们通常使用双曲偏微分方程去除噪声。

其一般思路是将图像中每个像素看作一个点，通过双曲偏微分方程获得每个点周围的梯度信息，并根据梯度信息调整该点的像素值，以减少噪声的影响。

常用的双曲型方程有热传导方程和非线性扩散方程。

其中，热传导方程适用于简单的噪声去除；而非线性扩散方程适用于较复杂的噪声去除。

非线性扩散方程的优点在于能够自适应地对不同的噪声类型进行处理，从而达到更好的去噪效果。

四、双曲偏微分方程在图像增强中的应用在数字图像处理中，双曲偏微分方程还可以用于图像增强。

其一般思路是将图像看作一个平滑的曲面，通过双曲偏微分方程调整曲面的形状以提取出图像中的有效信息。

常用的双曲型方程有扩散方程和曲线方程。

扩散方程适用于简单的图像增强，曲线方程适用于更复杂的图像增强。

曲线方程的优点在于能够自适应地对图像进行处理，从而获得更好的图像增强效果。

(19)中华人民共和国国家知识产权局(12)发明专利申请(10)申请公布号 (43)申请公布日 (21)申请号 201710456403.0(22)申请日 2017.06.16(71)申请人 南京信息工程大学地址 210044 江苏省南京市浦口区宁六路219号(72)发明人 李远禄　丁亚庆　孟霄　(74)专利代理机构 南京纵横知识产权代理有限公司 32224代理人 金方玮　董建林(51)Int.Cl.G06T 5/00(2006.01)(54)发明名称基于分数阶偏微分方程的图像去噪方法(57)摘要本发明公开了一种基于分数阶偏微分方程的图像去噪方法，本发明根据分数阶导数的非局部性质，在检测边缘时能够减弱噪声的干扰，结合偏微分方程得到一种基于分数阶偏微分方程的图像去噪方法，能够在去噪的同时尽可能地保留原图像的纹理细节；在求解的过程中采用了快速傅立叶变换的方法，避免了复杂的分数阶导数展开运算的同时加快了求解速度；本发明将扩散函数的变量单独设定了分数阶导数，对于不同的图像变化微分阶数可以获得较好的去噪效果，并且收敛速度也较快，所需的迭代次数较少。

权利要求书3页 说明书9页 附图2页CN 107085840 A 2017.08.22C N 107085840A1.基于分数阶偏微分方程的图像去噪方法，其特征在于，包括如下步骤：步骤一，输入一幅被噪声污染的图像u0(x,y)，图像大小为M×N，设定时间间隔；步骤二，将图像进行对称处理，处理后图像的大小为原图像的4倍，计算公式如下：步骤三，利用MATLAB商业数学软件自带的快速傅立叶变换函数对图像进行傅立叶变换，公式如下：步骤四，获得图像的分数阶微分；计算图像的分数阶微分的计算过程如下：其中p(m1)＝(1-exp(-j2πm1/N))α，p(m2)＝(1-exp(-j2πm2/N))α，p(m i)表示在频域上对图像的第i行或者第i列的微分算子；步骤五，获得图像分数阶梯度的模，计算过程如下：将步骤四中频域上分数阶微分进行傅立叶反变换，得到空间域上的图像的分数阶微分，并将参数α换为扩散函数的参数β根据梯度的模的计算公式得到分数阶梯度的模：步骤六，根据步骤五中求得的分数阶梯度的模计算扩散函数：g(x)＝1/(1+x2)，步骤七，计算微分算子的共轭算子，计算过程如下：p*(m1)＝conj((1-exp(-j2πm1/N))α)，输出一次迭代求解的结果：其中：步骤九，将步骤八中所得结果进行傅立叶反变换，步骤十，将u n+1还原到原图像大小，计算过程如下：步骤十一，利用下式计算所得结果与原图像进行峰值信噪比计算，判断是否满足终止条件；其中f为无噪声图像，u为一次迭代还原后的图像，若符合终止条件：ΔPSNR≤ε，其中，ΔPSNR表示两次迭代结果的峰值信噪比的变化绝对值，ε取0.01，则执行步骤十三；若ΔPSNR＞ε，则执行步骤十二；步骤十二，重新迭代求解，将上一次的迭代结果作为下一次迭代的输入，继续执行步骤四至步骤十一；步骤十三，输出还原后的结果则为最优的去噪图像。