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2014-2015学年度高中数学学业水平测试模拟试卷(一)(含解析)

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第1页 共12页 ◎ 第2页 共12页2014-2015学年度高中数学学业水平测试模拟试卷（一）考试范围：必修1-5；考试时间：100分钟第I 卷（选择题）一、选择题（本大题共17个小题，每小题3分，共51分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请在答题卡相应的位置上填涂）。

1．如果33log log 4mn +=，那么n m +的最小值是（）A ．4B ．34C ．9D ．182．若0ab >，则下列四个等式： ①()lg lg lg ab a b =+②lg lg lg a a b b ⎛⎫=-⎪⎝⎭③21lg lg 2aa b b ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭④()1lg log 10ab ab =中正确等式的符号是( )A ．①②③④B ．①②C ．③④D ．③3．如图为()()()πϕωϕω<>>+=,0,0sin A x A x f 的图象的一段，则其解析式为( )A ．3x π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．223x π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ． 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭4．已知集合A ＝{0,1,2,3,4,5}，B ＝{1,3,6,9}，C ＝{3,7,8}，则(A ∩B )∪C 等于 ( ) A ．{0,1,2,6,8} B ．{3,7,8} C ．{1,3,7,8} D ．{1,3,6,7,8}5．数列－1，43，－95，167，…的一个通项公式是( ) A ．2(1)21nn n a n =-⋅- B ．(1)(1)21n n n n a n +=-⋅-C ．2(1)21nn n a n =-⋅+ D ．22(1)21n n n n a n -=-⋅- 6．下列表示中,正确的是 ( )A. }0{=ΦB. }0{∈ΦC. }0{⊆ΦD.Φ∈0 7．函数()sin cos f x x x =最小值是( ) A ．-1 B ．12-C ．12 D ．18．不等式211x ≥-的解集为（ ） A. [)3,+∞ B. (],3-∞ C. [)()3,,1+∞-∞ D. (]1,39．设232555322555a b c ===（）,（，（），则a ，b ，c 的大小关系是( ) （A ）a ＞c ＞b （B ）a ＞b ＞c （C ）c ＞a ＞b （D ）b ＞c ＞a10．函数cos sin y x x =-的图象可由函数y x =的图象（ ） （A ）向左4π平移个长度单位 （B ）向右4π平移个长度单位 （C ）向左34π平移个长度单位 （D ）向右34π平移个长度单位11．已知集合U={x ∈N|0＜x≤8}，A={2，3，4，5}，B={3，5，7}，则如图所示的韦恩图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{7}B ．{2，4}C ．{1，6，8}D ．{2，3，4，5，7}12．设变量x 、y 满足约束条件0220x x y x y ≥-≥--≤， 则32z x y =-的最大值为 ( )第3页 共12页 ◎ 第4页 共12页A ． 0B ．2 C ． 4 D ． 6 13．若直线mx+y -1=0与直线x-2y +3=0平行，则m 的值为 A ．21B ．21-C ．2Ｄ．2-14．掷两枚骰子，出现点数之和为3的概率是（ ） A ．41 B ．91 C ．121 D ．18115．△ABC 中，|AB|＝10，|AC|＝15，∠BAC ＝3π，点D 是边AB 的中点，点E 在直线AC 上，且3AC AE =，直线CD与BE 相交于点P ，则线段AP 的长为（ ） 16．要得到函数cos 2y x =，只需将函数sin(2)3y x π=-的图象A.向右平移512π个单位B.向右平移3π个单位C.向左平移512π个单位D.向左平移3π个单位17．（2分）圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角弧度数为（ ） A. B.C.D.2第II 卷（非选择题）二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分。

请把答案写在答题卡相应的位置上。

18．上海世博园中的世博轴是一条1000m 长的直线型通道，中国馆位于世博轴的一侧（如下图所示）.现测得中国馆到世博轴两端的距离相等，并且从中国馆看世博轴两端的视角为120. 据此数据计算，中国馆到世博轴其中一端的距离是m .19．将二进制数10001(2)化为十进制数为 ．20．函数()()log 130,1a y x a a =-+>≠的图像恒过定点A ，过点A 的直线l 与圆()2211x y -+=相切，则直线l 的方程是___________________．21．过点(1,1)且与圆2220x x y -+=相切的直线的方程是 .22．设集合M={（x ，y ）|x+y ＜0，xy ＞0}和P={（x ，y ）|x ＜0，y ＜0}，那么M 与P 的关系为 ． 三、解答题：本大题共4小题，共34分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.23．（6分）在四边形ABCD 中，(6,1),(,),(2,3)AB BC x y CD ===--．（1）若BC ∥DA ，试求x 与y 满足的关系；（2）若满足（1）同时又有AC BD ⊥，求x 、y 的值． 24．（10分）已知函数f(X)＝㏒a (a x－1) (a ＞0且a ≠1) （1）求函数的定义域 （2）讨论函数f(X)的单调性 25.（本小题满分8分）某城市有一条长49km 的地铁新干线，市政府通过多次价格听证，规定地铁运营公司按以下函数关系收费，2,(04)3,(49)4,(916)5,(1625)6,(2536)7,(3649)x x x y x x x ì< ïïïï< ïïï< ïï=íï< ïïï< ïïïï< ïî，其中y 为票价（单位：元），x 为里程数（单位：km ）.(1)某人若乘坐该地铁5km ，该付费多少元？(2)甲乙两人乘坐该线地铁分别为25km 、49km ，谁在各自的行程内每km 的平均价格较低？ 26．（本小题满分10分）已知函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-=12sin 262sin 3)(2ππx x x f (∈x R). （Ⅰ）若21)(-=x f 且⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈4,4ππx ，求x ；（Ⅱ）求函数)(x f 的单调递增区间.第5页 共12页 ◎ 第6页 共12页参考答案1．D【解析】333log loglog ()4m n mn +==，所以4381mn ==。

因为,0m n >，所以18m n +≥==当且仅当m n =时取等号，故选D2．D.【解析】试题分析：0>ab ，0,00,0<<>>∴b ab a 或，所以①②不成立；0>ab ，⎪⎭⎫⎝⎛=⨯=>∴b a b a b a b a lg )lg(221)lg(21,02，所以③正确； 当1=ab 时，0)lg(=ab ，但10log ab 无意义所以④不成立；故选D. 考点：对数式的运算.3．B 【解析】试题分析：观察图象可知，ω=2，将M （,03π）代入),y x ϕ=+ 2)0,2,,333k k k z πππϕϕπϕπ⨯+=⨯+==-∈，所以，取23πϕ=-，故223x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选B 。

考点：正弦型函数的图象和性质。

点评：简单题，利用函数图象求函数的解析式，一般方法是，观察图象求A ，T ，代入点的坐标求ϕ。

4．C 【解析】{}{}1,3,()1,3,7,8.AB A BC =∴=故选C【答案】A 【解析】试题分析：观察数列特点：正负交替，分母是奇数，分子是平方数，故选A. 考点：数列的通项公式 6．C 【解析】试题分析：空集是不含任何元素的集合，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 考点：本小题主要考查空集的性质和集合中符号的应用.点评：∈表示元素和集合之间的关系，⊆表示集合与集合之间的关系，不要混用符号. 7．B【解析】略 8．D【解析】解：因为(1)(3)022131001011131--+≤⎧-+-≥⇔≥⇔≥⇔⎨-≠---⎩⇔≥>x x x xx x x x x 9．A【解析】函数25y x =是增函数，22553232()();5555>⇒>函数2()5xy =是减函数，23553222()();.5555a cb >⇒>∴>>故选A 10．C【解析】因为函数cos sin sin()4=-=-y x x x π的图象可由函数y x =的图象向左34π平移个长度单位得到，故选C 11．B【解析】由韦恩图中阴影部分表示的集合为A ∩∁U B ， ∵U={x ∈N|0＜x≤8}={1，2，3，4，5，6，7，8}， ∴∁U B={1，2，4，6，8}， 即A ∩∁U B={2，4}， 故选：B ． 12．C【解析】略 13．B 【解析】试题分析：要使两直线平行的条件，两条直线方程中，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，由此求得m 的值．根据题意，由于直线mx+y -1=0与直线x-2y +3=0平行，则利用斜率相等，截距不同可知，满足题意的为-m=1122m ∴=-,故选B. 考点：两直线的位置关系点评：要使两直线平行的条件，两条直线方程中，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，由此求得m 的值． 14．D 【解析】试题分析：因为掷两枚骰子共有36种等可能结果，出现点数之和为3的共有2种不同结果，所以出现点数之和为3的概率为213618=，故答案为D ． 考点：①分步乘法计数原理和分类加法计数原理；②古典概型的概率计算公式． 15．A 【解析】第7页 共12页 ◎ 第8页 共12页试题分析：法一：如图，()1()3(1)3AP AB BPAB BEAB BA AE AB AB AC AB ACλλλλλ=+=+=++=+-+=-+ ()1()2(1)2AP AC CPAC CDAC CA AD AC AC AB AC ABμμμμμ=+=+=++=+-+=-+于是1213μλλμ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩ 解得3545λμ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 即2155AP AB AC =+ ∴2221||(4||22||)25AP AB AB AC AC =⨯+⨯⋅+ ＝11(4100221015225)252⨯+⨯⨯⨯⨯+ ＝37 故||37AP =法二：因为B、P 、E 三点共线，有(1)(1)3x APxAB x AE xAB AC -=+-=+同理，因为C 、P 、D 三点共线，有(1)(1)2yAP y AD y AC AB y AC =+-=+- 根据向量相等的充要条件，有2113y x x y ⎧=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩解得：x ＝25，y ＝45于是，2155AP AB AC =+ （下同解法一）法三：以A 为原点，AC 所在直线为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系由已知可得：C （15，0），E （5，0），P （5，，D （52）于是BE 所在直线方程为x ＝5， CD 所在直线方程为y ＝-x －15）解得P （5，故|AP|考点：解三角形，平面向量 16．C【解析】考点：函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换． 专题：常规题型．分析：先根据诱导公式将函数y=cos2x 化为正弦形式的．然后假设平移φ个单位得到，根据sin[2（x+φ）-3π]=sin （2x+ 2π）解出φ即可． 解答：解：∵y=cos2x=sin （2x+2π）假设只需将函数y=sin （2x-3π）的图象平移φ个单位得到，则sin[2（x+φ）-3π]=sin （2x+2π）AD BECP第9页 共12页 ◎ 第10页 共12页∴2（x+φ）-3π=2x+2π，φ=512π故应向左平移512π个单位故选C ． 17．C 【解析】试题分析：等边三角形ABC 是半径为 r 的圆O 的内接三角形，则线AB 所对的圆心角∠AOB=，求出AB 的长度（用r 表示），就是弧长，再由弧长公式求圆心角弧度数． 解：如图，等边三角形ABC 是半径为r 的圆O 的内接三角形， 则线AB 所对的圆心角∠AOB=，作OM ⊥AB ，垂足为M ，在 rt △AOM 中，AO=r ，∠AOM=，∴AM=r ，AB=r ，∴l=r ，由弧长公式 l=|α|r ，得，α===．故选 C ．点评：本题考查圆心角的弧度数的意义，以及弧长公式的应用，体现了数形结合的数学思想． 18．3【解析】略 19．17【解析】解：因为二进制数10001(2)化为十进制数即为40121217⨯+⨯= 20．．4310x y -+=或2x = 【解析】略 21．10y -= 【解析】试题分析：将点(1,1)代入圆的方程2220x x y -+=成立，所以点(1,1)在圆2220x x y -+=上且点A (1,1)为切点。

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2014-2015学年度第一学期高一数学测试

2014-2015学年度第一学期高一数学测试

2014-2015学年度第一学期高一数学测试一、选择题（本大题共12小题，每小题6分，共60分） 1. 设全集{0,1,2,3,4},{0,3,4},{1,3}U A B ===, 则()ðU A B =A. {2}B. {1,2,3}C. {1,3}D. {0,1,2,3,4}2. 19tan6π的值是A.B.C.D. -3. 函数1()()12xf x =-的定义域、值域分别是 A ．定义域是，值域是B ．定义域是，值域是(0,)+∞C ．定义域是(0,)+∞ ，值域是D ．定义域是，值域是(1,)-+∞4. 函数2sin(3)4y x π=+的最小正周期是A.32πB.23π C.4π D.6π 5. ,,,a c b d M M M M 四个物体沿同一方向同时开始运动，假设其经过的路程与时间的函 数关系式分别是12212324(),(),()log ,()2,xf x x f x x f x x f x ====如果运动的时间足 够长，则运动在最前面的物体一定是 A.d M B. c M C. b M D. a M6. 下列各式中，值为-的是 A. 2sin75cos75︒︒ B. 22cos 15sin 15︒-︒ C. 22sin 151︒-D. 22sin 75cos 75︒+︒7. 要得到函数3sin(2)4y x π=-的图象，可以将函数3sin 2y x =的图象A.沿轴向左平移4π个单位 B.沿向右平移4π个单位C.沿轴向左平移8π个单位 D.沿向右平移8π个单位 8. 某工厂2014年生产某产品4万件，计划从2015年开始每年比上一年增产20%，从哪一年开始这家工厂生产这种产品的年产量超过12万件(已知lg2＝0.301 0， lg 3＝0.477 1) A ．2022年B ．2021年C ．2020年D ．2019年9. 函数cos2cossin2sin55y x x ππ=+的递增区间是A.3[,]()105k k k Z ππππ++∈B. 3[,]()510k k k Z ππππ-+∈ C.3[2,2]()105k k k Z ππππ++∈D. 2[,]()510k k k Z ππππ-+∈ 10. 函数()sin()cos()33f x x a x ππ=+++的一条对称轴方程为2x π=，则实数等于A ．B．C ．2-D11. 下表中与数对应的lg x 值有且只有一个是错误的，则错误的是12. 已知函数()sin()1()4f x x x x R π=+-∈. 则函数()f x 在区间[,]44ππ-上的最大值和最小值分别是A. , 最小值为1-B. , 最小值为C. 最大值为1, 最小值为1--D. 最大值为, 最小值为1-第Ⅱ卷（非选择题，共72分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 13. 函数lg(sin )y x =的定义域是 . 14. 已知tan 2α=，则sin cos 2sin cos αααα+=+__________ .15．已知角终边在直线y kx =上，始边与非负半轴重合，若3sin ,cos 05αα=<， 则实数k 的值是 .16. 已知函数1()()2xf x =的图象与函数()yg x =的图象关于直线y x =对称，令2()(1)h x g x =-，则关于()h x 有下列命题：①()h x 的图象关于原点对称；②()h x 为偶函数；③()h x 的最小值为0；其中正确的命题是(只填序号) .17. 化简：2tan()cos 242cos ()4πααπα+=- .18. 若函数()()y f x x R =∈满足(2)()f x f x +=且[1,1]x ∈-时，()cos2xf x π=，函数lg 0()1x x g x x x>⎧⎪=⎨-<⎪⎩，则函数()()()h x f x g x =-在区间[5,5]-内零点的个数是 .三、解答题（本大题共5小题，共60分） 19．（本题满分12分）已知3cos ,cos 55αβ==， 其中,αβ都是锐角 求:（I ）sin()αβ-的值; （Ⅱ）tan()αβ+的值。

2014-2015学年(人教A版必修一)高中数学模块综合检测卷及答案

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数学·必修1(人教A版)模块综合检测卷(测试时间：120分钟评价分值：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列四个命题中，设U为全集，则错误命题是()A．A∩B＝∅⇒(∁U A)∪∁U B)＝U B．A∩B＝∅⇒A＝B＝∅C．A∪B＝U⇒(∁U A)∩(∁U B)＝∅D．A∪B＝∅⇒A＝B＝∅答案：B2．(2013·陕西卷)设全集为R，函数f(x)＝1－x2的定义域为M，则∁R M为()A．[－1,1] B．(－1,1)C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案：D3．已知函数f(x)的图象如右图所示，则f(x)等于()A.x2－2|x|＋1B．x2－2|x|＋1C．|x2－1|D.x 2－2x ＋1解析：A 中x 2－2|x |＋1＝(|x |－1)2＝||x |－1|，画图知选A.B 、C 、D 均错．答案：A4．函数y ＝x －1x ＋1，x ∈(0,1)的值域是( )A ．[1,0)B ．(－1,0]C ．(－1,0)D ．[－1,0]解析：因y ＝x －1x ＋1，x ∈(0,1)上为单调增函数，故所求其值域为(－1,0)． 答案：C5．在下列各图中，能表示从集合A ＝[0,3]到集合B ＝[0,2]的函数的是( )答案：．B6．已知集合A ＝{y |y ＝log 2x ，x ＞1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ＞1，则A ∩B ＝( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪ 0＜y ＜12 B ．{y |0＜y ＜1} C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪12＜y ＜1 D ．∅答案：A7．若偶函数f (x )在(－∞，－1]上是增函数，则下列关系中成立的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＜f (－1)＜f (2)B ．f (－1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＜f (2) C ．f (2)＜f (－1)＜⎝ ⎛⎭⎪⎫－32 D ．f (2)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＜f (－1)答案：D8．函数f (x )＝1ln (x ＋1)＋4－x 2的定义域为( )A ．[－2,0)∪(0,2]B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2]解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，ln (x ＋1)≠0，4－x 2≥0，得－1＜x ≤2，且x ≠0.答案：B9．(2013·辽宁卷)已知集合A ＝{x |0<log 4x <1}，B ＝{x |x ≤2}，则A ∩B ＝( )A ．(0,1)B ．(0,2]C ．(1,2)D ．(1,2]答案：D10．函数y ＝1－11＋x的图象是( )答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填写在题中的横线上)11．设a ，b ∈R 集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝________.答案：212．若函数f (x )＝x －4mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是________．解析：①当m ＝0时，f (x )＝x －43.显然其定义域为R.②当m ≠0，Δ＝(4m )2－4m ×3<0，解得0<m <34.综合①②知0≤m <34.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，3413．我国2001年底的人口总数为M ，要实现到2011年底我国人口总数不超过N (其中M <N )，则人口的年平均自然增长率p 的最大值是______．答案：10NM －114．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4＜0恒成立，则m 的取值范围是________．解析：x ∈(1,2)时，x 2＋mx ＋4<0恒成立． ∵x 2＋mx ＋4<0，∴m <－x －4x .∵y ＝－x －4x 在x ∈(1,2)上是单调增函数， ∴y >－5，∴m ≤－5. 答案：m ≤－5三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |3≤x ≤7}， B ＝{x |2＜x ＜10}，C ＝{x |x ＜a }． (1)求A ∪B ； (2)求(∁R A )∩B ；(3)若A C ，求a 的取值范围．解析：(1)A ＝{x |3≤x ≤7} B ＝{x |2＜x ＜10}∴A ∪B ＝{x |2＜x ＜10}． (2)∵A ＝{x |3≤x ≤7}， ∴∁R A ＝{x |x ＜3或＞7}(∁R A )∩B ＝{x |x ＜3或x ＞7}∩{x |2＜x ＜10}＝{x |2＜x ＜3或7＜x ＜10}．(3)∵A C ，∴a ＞7.16．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3) (a ＞0且a ≠1)．(1)求函数f (x )的定义域和值域；(2)若函数f (x )有最小值为－2，求a 的值．解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，x ＋3＞0，得－3＜x ＜1，所以函数的定义域{x |－3＜x ＜1}， f (x )＝log a (1－x )(x ＋3)，设t ＝(1－x )(x ＋3)＝4－(x ＋1)2， 所以t ≤4，又t ＞0，则0＜t ≤4.当a ＞1时，y ≤log a 4，值域为{y |y ≤log a 4}． 当0＜a ＜1时，y ≥log a 4，值域为{y |y ≥log a 4}．(2)由(1)知：当0＜a ＜1时，函数有最小值，所以log a 4＝－2，解得a ＝12.17.(本小题满分14分)某自来水厂的蓄水池有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t 小时内供水总量为120 6t 吨，其中0≤t ≤24.(1) 从供水开始到第几小时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？(2) 若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象？解析：设供水t 小时，水池中存水y 吨．(1)y ＝400＋60t －1206t ＝60(t －6)2＋40(1≤t ≤24)． 当t ＝6时，y min ＝40(吨)，故从供水开始到第6小时，蓄水池中的存水量最少，最少水量40吨．(2)依条件知⎩⎪⎨⎪⎧60(t －6)2＋40＜80，1≤t ≤24，解得83＜t ＜323，即323－83＝8.答：一天24小时内有8小时出现供水紧张.18．(本小题满分14分)某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )．当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)；当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x＋10 000x －1 450(万元)．通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂年内生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式．(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解析：(1)当0＜x ＜80，x ∈N *时，L (x )＝500×1 000x 10 000－13x 2－10x －250＝－13x 2＋40x －250.当x ≥80，x ∈N *时，L (x )＝500×1 000x 10 000－51x －10 000x ＋1 450－250＝1 200－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x . ∴L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋40x －250(0＜x ＜80，x ∈N *)，1 200－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x(x ≥80，x ∈N *).(2)当0＜x ＜80，x ∈N *时，L (x )＝－13(x －60)2＋950，∴当x ＝60时，L (x )取得最大值L (60)＝950(万元)． 当x ≥80，x ∈N *时，L (x )＝1 200－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x ＝1 200－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －100x 2－200≤1 000.故当x ＝100x，即x ＝100时，L (x )取得最大值1 000万元，即生产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．19.(本小题满分14分)已知函数f(x)＝x2＋ax(x≠0)，常数a∈R.(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数，求a的取值范围．解析：(1)当a＝0时，f(x)＝x2，对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，∴f(x)为偶函数．当a≠0时，f(x)＝x2＋ax(a≠0，x≠0)，取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a≠0，∴f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)，∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(2)设2≤x1≤x2，f(x1)－f(x2)＝x21＋ax1－x22－ax2＝(x1－x2)x1x2·[x1x2(x1＋x2)－a]，要使函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数，必须f(x1)－f(x2)＜0恒成立．∵x1－x2＜0，x1x2＞4，即a＜x1x2(x1＋x2)恒成立．又∵x1＋x2＞4，∴x1x2(x1＋x2)＞16.∴a的取值范围是(－∞，16]．20．(本小题满分14分)函数f (x )定义在区间(0，＋∞)上，且对任意的x ∈R ＋，y ∈R 都有f (x y )＝yf (x )．(1)求f (1)的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0，求证：f (x )在(0，＋∞)上为增函数．(1)解析：令x ＝1，y ＝2，则有f (12)＝2f (1)， 则f (1)＝0.(2)证明：对任意0＜x 1＜x 2，存在s 、t 使得x 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12s ，x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ，且s ＞t ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0，则f (x 1)－f (x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫12s －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ＝(s －t )f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0， 即f (x 1)＜f (x 2)，故函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数．。

广东省佛山市普通高中2014-2015学年高一第一学期期末教学质量检测数学试题(含答案)

广东省佛山市普通高中2014-2015学年高一第一学期期末教学质量检测数学试题(含答案)

为原来的 2 倍，则所得的函数的解析式是（ ） C． y 2sin x D． y 2sin 4 x
3 A． y 2sin x 8
B． y 2sin x 8
8．函数 f x log 1 cos x （
2
x ）的图象大致是（ 2 2
=
2 2 2 2 cos 2 x + 2 sin 2 x
π 2 sin 2 x + .………………………………………………………………………4 分 4
=
由−
3π π π π π ，所以 + 2k π ≤ 2 x + ≤ + 2k π （ k ∈ Z ）可得 − + k π ≤ x ≤ + k π （ k ∈ Z ） 2 4 2 8 8
π 所以当函数 f ( x ) 取得最大值 1 时，自变量 x 的集合为 x x = k π + , k ∈ Z .……12 分 6
17.（本小题满分 14 分）
m= a + b a= n − m 解： （Ⅰ）由 ，解得 .…………………………………………4 分 n 2a + b = b 2m − n =
17.（本小题满分 14 分） 设平面内有四个向量 a 、b 、m 、n ，满足 a n m ，b 2m n ，a b ， a b 1 ． (Ⅰ)用 a 、 b 表示 m 、 n ； (Ⅱ)若 m 与 n 的夹角为 ，求 cos 的值．
2014～2015 年高中教学质量检测高一数学试卷
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1 A 2 B 3 A 4 D 5 B 6 B 7 C 8 C 9 C 10 A
2014-2015学年高中数学 模块综合测评(一)新人教A版选修4-5

2014-2015学年高中数学 模块综合测评(一)新人教A版选修4-5

模块综合测评(一) 选修4－5(A 版)(时间：90分钟 满分：120分)第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分．1．不等式|3x －2|＞4的解集是( )A ．{x|x ＞2}B ．{x|x ＜－23} C ．{x|x ＜－23或x ＞2} D ．{x|－23＜x ＜2} 解析：因为|3x －2|＞4，所以3x －2＞4或3x －2＜－4，整理得x ＞2或x ＜－23. 答案：C2．设a 、b 、c ∈R ，给出下列命题：①a ＞b ⇒ac2＞bc2；②a ＞b ⇒a2＞b2；③a ＞|b|⇒a2＞b2；④a ＜b ＜c ，a ＞0⇒c a ＞c b其中正确命题的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：若c ＝0，则ac2＝bc2，故①不正确；若a ＝0，b ＝－1，则a2＜b2，故②不正确；若a ＞|b|≥0，则a2＞b2，故③正确；若c ＞b ＞a ＞0，则1a ＞1b ，从而c a ＞c b，故④正确． 答案：B3．若a 、b 、c 、d ∈R ，且ab ＞0，－c a ＜－d b，则下列各式恒成立的是( ) A ．bc ＜ad B ．bc ＞ab C.a c ＞b d D.a c ＜b d解析：对－c a ＜－d b两边同乘以－ab ，由－ab ＜0，得bc ＞ad. 答案：B4．若P ＝2，Q ＝7－3，R ＝6－2，则P 、Q 、R 的大小顺序是( )A ．P ＞Q ＞RB ．P ＞R ＞QC ．Q ＞P ＞RD ．Q ＞R ＞P解析：P ＝2＝422，Q ＝7－3＝47＋3， R ＝6－2＝46＋2. ∵22＜6＋2＜7＋3，∴422＞46＋2＞47＋3， ∴P ＞R ＞Q.答案：B5．若a 、b ∈R ，则不等式|a|＋|b|≥|a ＋b|中等号成立的充要条件是( )A ．ab ＞0B ．ab≥0C ．ab ＜0D ．ab≤0解析：若ab ＝0，则|a|＋|b|＝|a ＋b|；若ab ＞0，则|a|＋|b|＝|a ＋b|；若ab ＜0，则|a|＋|b|＞|a ＋b|.故选B.答案：B6．已知a ＞b ＞0，且ab ＝1，若c ＝2a ＋b，P ＝logca ，N ＝logcb ，M ＝logc(ab)，则( ) A ．P ＜M ＜N B ．M ＜P ＜NC ．N ＜P ＜MD ．P ＜N ＜M解析：方法一：因为a ＞b ＞0，且ab ＝1，所以a ＞1,0＜b ＜1，a ＋b ＞2ab ＝2，c ＝2a ＋b∈(0,1)， 所以logca ＜logc(ab)＜logcb ，即P ＜M ＜N.故选A.方法二(特值法)：令a ＝2，b ＝12， 于是c ＝22＋12＝45. 从而logca ＝log 45 2＜0，logcb ＝log 45 12＞0，logc(ab)＝log 451＝0. 故P ＜M ＜N.答案：A7．设a ＞1，方程|x ＋logax|＝|x|＋|logax|的解是( )A ．0≤x≤1B ．x≥1C ．x≥aD ．0＜x≤a解析：∵|x ＋logax|＝|x|＋|logax|，∴x·logax≥0.又∵a ＞1，x ＞0，∴logax≥0，∴x≥1.答案：B8．若a 1－a＞0，且x ＞1，则下列不等式成立的是( ) A ．ax ＜x 1a ＜logax B ．logax ＜ax ＜x 1aC ．log 1ax ＜x 1a ＜ax D ．ax ＜logax ＜x 1a解析：由a 1－a＞0，x ＞1，得0＜a ＜1，且logax ＜0＜ax ＜1＜x 1a . 答案：B9．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1＞n 2(n ∈N*)，假设n ＝k 时成立，当n ＝k ＋1时，左端增加的项数是( )A ．1项B ．k －1项C ．k 项D ．2k 项解析：当n ＝k 时，不等式左端为1＋12＋13＋…＋12k －1；当n ＝k ＋1时，不等式左端为1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋…＋12k ＋1－1，增加了12k ＋…＋12k ＋1－1，共(2k ＋1－1)－2k ＋1＝2k 项． 答案：D10．记满足下列条件的函数f(x)的集合为M ，当|x1|≤1，|x2|≤1时，|f(x1)－f(x2)|≤4|x1－x2|，若令g(x)＝x2＋2x －1(|x|≤1)，则g(x)与M 的关系是( ) A ．g(x)M B ．g(x)∈MC ．g(x)∉MD ．不能确定解析：g(x1)－g(x2)＝x21＋2x1－x22－2x2＝(x1－x2)(x1＋x2＋2)，|g(x1)－g(x2)|＝|x1－x2|·|x1＋x2＋2|≤|x1－x2|·(|x1|＋|x2|＋2) ≤4|x1－x2|，所以g(x)∈M. 答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．若|x ＋y|＝4，则xy 的最大值是__________．解析：xy≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝⎝⎛⎭⎫422＝4. 答案：412．若x ＜0，则函数f(x)＝x2＋1x2－x －1x的最小值是__________． 解析：令t ＝x ＋1x.∵x ＜0，∴t≤－2. ∴f(x)≥2＋2＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ x2＝1x2，x ＝1x ，x ＜0，即x ＝－1时等号成立．答案：413．若关于x 的不等式|x －2|＋|x ＋4|＜a 的解集是空集，则实数a 的取值X 围是__________． 解析：∵|x －2|＋|x ＋4|≥|2－x ＋x ＋4|＝6，∴a≤6.答案：(－∞，6]14．下列四个命题中：①a ＋b≥2ab ；②sin2x ＋4sin2x ≥4；③设x 、y 都是正数，若1x ＋9y＝1，则x ＋y 的最小值是12；④若|x －2|＜ε，|y －2|＜ε，则|x －y|＜2ε.其中所有真命题的序号是__________．解析：①不正确，a 、b 符号不定；②不正确，sin2x ∈(0,1]，利用函数y ＝x ＋4x单调性可求得sin2x ＋4sin2x ≥5；③不正确，(x ＋y)⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ＝10＋y x ＋9x y≥10＋6＝16；④正确，|x －y|＝|x －2＋2－y|≤|x －2|＋|2－y|＜ε＋ε＝2ε.答案：④三、解答题：本大题共4小题，满分50分．15．(12分)已知函数f(x)是R 上的增函数，a 、b ∈R.(1)若a ＋b≥0，求证：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；(2)判断(1)中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论．证明：(1)∵a ＋b≥0，∴a≥－b.由已知f(x)是R 上的增函数，于是f(a)≥f(－b)．又a ＋b≥0⇒b≥－a.同理f(b)≥f(－a)．两式相加，可得f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．(6分)(2)逆命题：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)⇒a ＋b≥0.下面用反证法证明，设a ＋b ＜0，则⎭⎪⎬⎪⎫a ＋b ＜0⇒a ＜－b ⇒f a ＜f －b ，a ＋b ＜0⇒b ＜－a ⇒f b ＜f －a ⇒f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，这与已知矛盾，故有a ＋b≥0成立．从而逆命题成立．(12分)16．(12分)设函数f(x)＝|2x ＋1|－|x －4|.(1)解不等式f(x)＞2；(2)求函数y ＝f(x)的最小值．解：(1)令y ＝|2x ＋1|－|x －4|，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x －5， x≤－12，3x －3，－12＜x ＜4，x ＋5， x≥4.作出函数y ＝|2x ＋1|－|x －4|的图像，它与直线y ＝2的交点为(－7,2)和⎝⎛⎭⎫53，2.于是|2x ＋1|－|x －4|＞2的解集为(－∞，－7)∪⎝⎛⎭⎫53，＋∞.(6分)(2)由函数y ＝|2x ＋1|－|x －4|的图像可知，当x ＝－12时，y ＝|2x ＋1|－|x －4|取得最小值－92.(12分) 17．(12分)已知f(n)＝(2n ＋7)·3n ＋9，是否存在自然数m ，使得对任意的n ∈N*，都能使m 整除f(n)，如果存在，求出最大的m 值，并证明你的结论；如果不存在，请说明理由．解：先找出最大的m 值，由f(n)＝(2n ＋7)·3n ＋9可知，f(1)＝36，f(2)＝108，f(3)＝360，f(4)＝1 224，猜想能整除f(n)的最大整数为36.(4分)下面用数学归纳法证明f(n)能被36整除．①当n ＝1时，f(1)＝36，能被36整除．②假设n ＝k(k ∈N*)时，f(k)能被36整除．那么n ＝k ＋1时，f(k ＋1)＝[2(k ＋1)＋7]·3k ＋1＋9＝3[(2k ＋7)·3k ＋9]＋18(3k －1－1)．由归纳假设可知3[(2k ＋7)·3k ＋9]能被36整除，而(3k －1－1)为偶数，所以18(3k －1－1)能被36整除．故f(k ＋1)能被 36整除．由①与②知，f(n)能被36整除．由于f(1)＝36，从而能整除f(n)的最大整数是36.(12分)18．(14分)已知数列{an}是由非负整数组成的数列，满足a1＝0，a2＝3，an ＋1an ＝(an －1＋2)(an －2＋2)，n ＝3,4,5，….(1)求a3；(2)求证：an ＝an －2＋2，n ＝3,4,5，…；(3)求{an}的通项公式及前n 项和Sn.解：(1)由题设，当n ＝3时，得a3a4＝10.因为a3、a4均为非负整数，所以a3的可能值为1、2、5、10.若a3＝1，则a4＝10，a5＝32，与题设矛盾；若a3＝5，则a4＝2，a5＝352，与题设矛盾； 若a3＝10，则a4＝1，a5＝60，a6＝35，与题设矛盾； 故a3＝2.(4分)(2)当n ＝3时，a3＝a1＋2，等式成立．假设当n ＝k(k≥3)时，等式成立，即ak ＝ak －2＋2，则ak ＋1ak ＝(ak －1＋2)(ak －2＋2)． 因为ak ＝ak －2＋2≠0，所以ak ＋1＝ak －1＋2.这就是说，当n ＝k ＋1时，等式ak ＋1＝ak －1＋2也成立．综上，可知对于所有n≥3，有an ＝an －2＋2.(8分)(3)由a2k －1＝a2k －3＋2＝a2(k －1)－1＋2，且a1＝0，可得a2k －1＝2(k －1)＝(2k －1)－1. 再由a2k ＝a2k －2＋2，且a2＝3，得a2k ＝3＋(k －1)·2＝2k ＋1，以上k ＝1,2,3…因此an ＝n ＋(－1)n ，n ＝1,2,3，…故Sn ＝⎩⎨⎧ 12n n ＋1， 当n 为偶数时，12nn ＋1－1，当n 为奇数时.(14分)。