工程力学之动载荷与交变应力

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第12章动载荷与交变应力12.1 动载荷与动应力的概念

静载荷

是指由零缓慢增加到某一定值以后保持不变或

变动很小的载荷。构件受静载荷作用时，体内

各点没有加速度，或加速度很小可忽略不计。动载荷

如果构件内各点有加速度，或载荷随时间有显

著变化，则为动载荷。

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212.1 动载荷与动应力的概念

吊车以匀加速度a提升重物，如图12-1(a)所示。重物的重量为G，

钢索的横截面积为A，其重量可忽略不计。求刚索中的动应力。

图12-1 吊车匀加速提升重物

应用截面法将钢索沿m-m面截开，取下半部分为研究对象，其受力情况如

图12-1(b)所示。N

d为钢索的轴力，G为重物的重力。运用动静法，加上

重物的惯性力

G

maa

g

其方向与加速度a相反。此时重物处于假想的平衡状态。由ΣF

ix=0可得

d1Ga

NGaG

gg



12.1 动载荷与动应力的概念

钢索中的动应力为

d

d1NGa

AAg



(12-1)

或写成

djdK(12-2)

式中，σ

1=G/A，是重物加速度a等于零时钢索中的应力，也就是静载荷

G在钢索中产生的应力，称为静应力；，称为动荷系数。

d1a

K

g

钢索在动应力作用下的强度条件为

(12-3)

或写成

(12-4) 

djdK≤



j

dK



式中，[σ]为静载荷作用下的许用应力。式(12-4)表明，计算动

荷问题时，也可以用静应力建立强度条件，但需将静载荷作用下

的许用应力[σ]除以动荷系数K

d。

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12.3 构件作匀速转动时的动应力计算和

强度条件

当飞轮、大型齿轮和皮带轮等作匀速转动时，如不计轮辐的影响，可以

近似地把轮缘看作定轴转动的圆环，使计算简化，并偏于安全。

2

n2D

a如图12-2所示，设圆环的横截面积为A，它的平均直径为D，单位体

积的重量为γ，以匀角速度ω绕通过圆心且垂直环平面的轴转动。

当环壁较薄时，可以认为环上各点的法向加速度均相同，其值为

圆环上的惯性力沿轴线均匀分布，方向与α

n相反，如图12-2(b)所

示。其集度(环的平均直径上的单位圆弧长度所对应的惯性力)为

2

d2AD

q

g



12.3 构件作匀速转动时的动应力计算和

强度条件

仿照薄壁圆筒求应力的方法，取半个圆环为研究对象，其受力如图

12-2(b)所示。为圆环横截面的内力。根据动静法原理ΣF

ix=0，

得 π

dd 0dsin20

2D

qN

dd1

2NDq

22

2dd

d24NqDD

v

AAqg

(12-5)

圆环的强度条件为

2

dv

g

≤(12-6) 图12-2 匀速转动的圆环

由上式可看出，圆环内的应力仅与材料比重和圆环的转速或线速

度有关，而与横截面面积无关。

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12.4 交变应力和疲劳破坏

机器中有许多构件，工作时承受着随时间作周期性变化的应力。

例如电动机转轴，如图12-3(a)所示，它的外伸端在皮带拉力的

作用下产生弯曲变形。

图12-3 电动机转轴12.4.1 交变应力的概念

12.4 交变应力和疲劳破坏

由于轴在转动，所以任意截面上的弯曲正应力，就随时间作周期性变

化。譬如截面m-m上点A的应力，当点A转至水平位置时，为零；最底位

置时，为最大值σ

max；最高位置时，为最小值σ

max。因此，在轴转一

圈的过程中，点A的应力值总是按照从变化，

如图12-3(b)所示。maxmin000

图12-3 电动机转轴12.4.1 交变应力的概念

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12.4 交变应力和疲劳破坏

又如齿轮在工作时，如图12-4(a)所示，每转一周啮合一次，齿根一侧

的弯曲正应力就由零变到最大值，然后再回到零.齿轮不停地转动，应

力就不断地作周期性变化，如图12-4(b)所示。

图12-4 工作时的齿轮12.4.1 交变应力的概念

12.4 交变应力和疲劳破坏

再如图12-5(a)所示的梁，在电动机的自重G和转子偏心所引的惯性力Q

的共同作用下，将在静力平衡位置作强迫振动。在振动过程中，梁横

截面上任一点(中性轴除外)的应力大小，都随时间作周期性变化，如

图12-5(b)所示。

图12-5 梁的强迫振动12.4.1 交变应力的概念

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12.4 交变应力和疲劳破坏

12.4.1.1 交变应力循环特性及其类型

现以梁的强迫振动为例，如图12-5所示，来说明交变应力的一些概念。

由最小(或最大)应力变化到最大(或最小)应力，又变回到最

小(或最大)应力的过程，应力重复一次，称为一个应力循环。

重复变化的次数称为循环次数。

最大应力与最小应力的平均值，称为平均应力。用符号σ

m表示，即

mmaxmin1

()

2(12-7)

最大应力与最小应力之差的一半，称为应力幅，用符号σ

a表示，即

(12-8) amaxmin1

()

2

最小应力与最大应力的比值，可以表明应力的变化情况，称为应力循

环特性。用符号γ表示，即

(12-9) min

maxr

12.4.1 交变应力的概念

12.4 交变应力和疲劳破坏

工程中，常见的交变应力有两种。

1．对称循环

应力循环中最大应力和最小应力的数值相等、符号相反的交变应

力，称为对称循环的交变应力，如图12-3(b)所示，电机轴上A点

的交变应力σ

max=-σ

min，便是对称循环，其循环特征为

2．脉动循环

应力循环中最小应力为零的情况，称为脉动循环的交变应力，其

循环特征为12.4.1.1 交变应力循环特性及其类型12.4.1 交变应力的概念

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12.4 交变应力和疲劳破坏

疲劳破坏与静荷破坏有很大不同，其特点是：

(2) 金属疲劳破坏时，其断口处明显地分为两个区域，光滑区域和

粗糙区域，如图12-6所示。(1) 破坏时的最大应力值远小于静荷时的强度极限或屈服极限，即

使静载荷时塑性很好的材料，经过多次的应力循环后，也可能发生

突然的脆性破坏。由于破坏的突然性，可能造成重大事故。

图12-6 光滑区域和粗糙区域12.4.1.1 交变应力循环特性及其类型12.4.1 交变应力的概念

12.4 交变应力和疲劳破坏

12.4.1.2 材料在交变应力下的破坏特点与原因12.4.1 交变应力的概念

金属疲劳破坏的原因，目前一般的解释是：

当构件内交变应力的值超过一定限度后，在应力最大的部位，

材料薄弱处逐渐产生微细裂纹，随着应力循环次数的增加，

一方面裂纹逐渐扩展，另一方面裂纹经过多次的张开和压缩，

就产生类似研磨作用，形成断口处的光滑区域。

由于裂纹的不断扩展，构件的有效面积也逐渐减小，应力随

之增大，并处于三向拉力状态，塑性变形不易发生。当有效

面积被削弱到一定程度时，在偶然的冲击或振动下，构件便

产生突然的脆性断裂，这便是断口处的粗糙区域。

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12.4 交变应力和疲劳破坏

12.4.2 材料的持久极限及其测定

由于构件的疲劳破坏与静荷破坏有本质上的不同，因此，静载荷作用下

的一些强度指标(如屈服极限或强度极限)，已不能作为疲劳计算的依据。

为此，需要通过实验测定材料在交变应力作用下的强度指标。如图12-7

所示为纯弯曲疲劳实验的原理图。

图12-7 纯弯曲疲劳实验的原理图

12.4 交变应力和疲劳破坏

12.4.2 材料的持久极限及其测定

照此，逐次适当减少试件中的应力，对试件进行实验，就可得出一

组最大应力和循环次数N的数值。然后，以最大应力为纵坐标，以应

力的循环次数N为横坐标，将实验结果绘成曲线，称为疲劳曲线。

如图12-8所示为钢类试件的疲劳曲线示意图，由图可以看出，最大应力

越小的试件，应力循环次数越大，当最大应力减低到一定数值时，疲劳

曲线趋向于水平线，大约在横坐标N

0=107次时，曲线开始出现水平部分。

图12-8 钢类试件的疲劳曲线示意图因此可以认为，钢试件如果经

过107次应力循环还不发生破坏，

再继续下去也不会发生疲劳破

坏，所以把作为N

0=107实验基

数。

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912.4 交变应力和疲劳破坏

12.4.2 材料的持久极限及其测定

材料在交变应力作用下，能承受无限多次应力循环还不发生破坏的最大应力，称为材料的疲劳极限。

弯曲疲劳极限常以σ

r表示，下标r为循环特性。

对称循环应力的疲劳极限以σ

-1表示，

脉动循环应力的疲劳极限σ

0为。

实验指出，钢类材料的疲劳极限和静载荷拉伸强度极限之间，

存在下列近似关系：拉压扭转弯曲

1b0.4



1b0.28



1b0.22



12.4 交变应力和疲劳破坏

12.4.3 影响疲劳极限的主要因素

12.4.3.1构件外形的影响

如图12-9所示为一带圆孔的受拉构件，m-m、n-n截面上的应力分布

是不同的，由于构件在应力集中处容易出现微观裂纹，从而引起疲

劳失效，因此，构件的疲劳极限要比材料的疲劳极限低。

图12-9 带圆孔的受拉构件