理论力学16动载荷和交变应力21页PPT

Ph
d
1 2
Fd d
Fd
AE l
d
P
h
d
1 2
EA l
2 d
st
Pl AE
P
AE l
st
2 d
2 st d
2 st h
0
d st 1
1
2h st
降低动荷因数的措施：
Kd 1
1
2h st
1、 增大相应的静位移。例如在发生冲击的物体间放置一弹簧（ 缓冲弹簧） 2、 减小冲击物自由下落的高度。当 h → 0 时，即重物骤然加在杆件上，Kd = 2 ，表明骤然荷载引起的动应力是将重物缓慢作用所引起的静应力的 2 倍。
动响应：构件在动载荷作用下产生的各种响应（如应力、应变、位移等）。
11.1.2 动载荷问题的分类及研究方法
动载荷问题的分类： （1）构件作等加速直线运动和等速转动时的动应力计算； （2）构件在受冲击和作强迫振动时的动应力计算； （3）构件在交变应力作用下的疲劳破坏和疲劳强度计算。
动载荷问题的研究方法：
Kd
d st
1
1 2H st
F
b
A
C
H
d
B h
z
L/2
L/2
Fd
y
F
A
C
B
st
L/2
L/2
静位移
st
FL3 48EI
Kd 1
1 2H 1 st
1
96HEI FL3
A
（2）、最大应力
d max
Kd st max
Kd
FL 4Wz
（3）、最大挠度
d max
Kd st max

材料力学动载荷、交变应力
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能，但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根

则 Fd K d Fst
Fd Fst 钢索中的动应力为 d K d K d st A A
st 为静载荷下钢索中的静应力
此时的强度条 件为
Fst m m
A
Fd
m m x
A
A
g a
d K d st [ ]
结论
x
G
G
G a g
只要将静载荷下的应力、变形，乘以动荷 因数Kd即得动载荷下的应力与变形。
例：一重量为 P的重物由高度为 h 的位置自由下落，与 一块和直杆AB 相连的平板发生冲击。杆的横截面面积 为A。求杆中的冲击应力。
解:重物是冲击物， 杆 AB（包括圆盘） 是被冲击物。
冲击物减少的势能：
A
A
P
B
V P(h d )
动能无变化：T 0
B
d
假使Δd为冲击发生后重物与平 板一起下降的最大位移, Pd为 重物与平板之间的相互作用力
惯性力：大小等于质点的质量 m 与加速度 a 的乘积， 方向与 a 的方向相反。
FIR ma
构件上除外加载荷外，再在构件的各点上加上 惯性力，则可按求静载荷应力和变形的方法， 求得构件的动应力和动变形。
例1：一起重机钢索以加速度 a 提升一重为 G 的物体，设钢索的横截面面积为 A ，钢索单位 体积的重量为 ，求距钢索下端为 x 处的 m-m A 截面上的应力。 Fst a g m m 解: 钢索的重力集度为 : A 物体的惯性力为:
（1） 不计冲击物的变形，且冲击物与被冲击物接触 后无反弹，成为一个运动系统。
（2）被冲击物的质量很小可略去不计，材料服 从胡克定律。
（3） 过程中只有势能、动能与应变能的转化， 略去其它能量的损失。

（3）计算AB端轴横截面上最大动应力
AB轴在摩擦力偶矩Mf和惯性力偶矩Md作用下，引起轴的
扭转变形，横截面上的扭矩为：
T Md
0.5 3
kN m
轴横截面上最大扭转切应力： d max
0.5 106 T 3 2.67MPa Wp 1003 16
第二节 一、冲击的概念
Gl EA
与拉（压）刚度EA成反比
梁受横向冲击： δj与弯曲刚度EI成反比 故：减小被冲击物刚度，即增大静变形δj可提高 构件承受冲击载荷的能力。 2.选择E值较小的材料 3.增大等截面杆的体积 如图，采用长螺栓代 替短螺栓紧固，就是利用
增加螺栓的体积，可以提
高螺栓的抗冲击能力。
注意：这一结论不适用于变截面杆的情况。 例如，图（a）的体积大，
【例2】如图所示，以匀加速度a =10m/s2起吊一根22a号工字钢 梁，梁的尺寸如图所示，试求梁内最大弯曲正应力。 a 解：（1）外力分析 A 2m FA 8m B 2m 22a号工字钢单位长度的重量为:
q j 33 9.8 323N / m
单位长度的惯性力为: q I g a 工字钢梁所受的载荷为:
a qd q j q I q j 1 653N / m g
qj
qd = 653N/m FB
M图：
-
3926Nm
+ -
支承反力：FA FB q d 12 3920N
1 2
1036Nm
1036Nm
（2） 内力分析
最大弯矩发生在梁的中间截面上，且 M max 3926N m
3m
3m
a G
3 查28a号工字钢 Wz 508.15cm

d kd st
v2 Kd 1 g st
材料力学
第六章 动载荷 ·交变应力 (II)
§6-4 交变应力下材料的疲劳破坏· 疲劳极限 1. 交变应力的概念
F
d

F
2
k
a
F Fa
F
a d
3
ωt
1
d sin t 2 z
O M
x
y
4
(a)
(b)
材料力学
第六章 动载荷 ·交变应力 (II)
qd D sin d 0 2
A 2 D 2 2
FNd 2 D 2 d A 4
材料力学
第六章 动载荷 ·交变应力 (II)
§6-3 构件受冲击荷载作用时的动应力计算
冲击：当运动着的物体（冲击物）作用到静止的物体（被冲击
物）时，在相互接触的极短时间内，冲击物速度急剧下降，使 被冲击物受到很大作用力（冲击力）。
动荷因数
2 20 Kd 1 1 5.7 1.881
梁的最大动应力
d,max 5.7 6 34.2 MPa
材料力学
二 、水平冲击
第六章 动载荷 ·交变应力 (II)
等截面杆AB在C处受一重量为P，速度为v的物体 沿水平方向冲击 。杆在危险点处的动应力=？ 。
解： 冲击前的能量（动能）：
力。
惯性力 大小
Fd ma
惯性力的方向与加速度的方向相反
方向
材料力学
例6-2-2
第六章 动载荷 ·交变应力 (II)
平均直径为D的薄壁圆环作等速转动。已知
圆环的角速度 ，环向截面面积 和材料的密度 。
试求圆环环向截面上的正应力。

1、动应力
基本思想 —— 将动力学问题转化为静力学 问题，建立方程求解。
方法： 基于达朗伯原理的动静法 工程上通过动荷因素描述
例11-1. 杆OA长为L，横截面积为A，重量为P1，弹性模
量为E，A端固结物重为P，杆与物以角速度ω在水平面 内转动。试求杆的最大动应力与伸长。
ω
O
A
解： 动力学问题（静时无水平力）
d,max
FN,m ax A
L 2
2gA (P1 2P)
由 d,max [ ]得
(3) 杆伸长
2gA[ ]
L(P1 2P)
——许可角速度
L
L 0
FN dx EA
1 EA (FAL
1 3
qAL2 )
L2 2
3EAg
(P1
3P)
例11-2. 圆杆直径为d，长AB＝l，质量密度为，于C、D处
(1) 确定等效静力学问题的荷载——惯性力
按质点→微段dx： 质量 dx P1 , 加速度 a x 2
惯性力 P1 2 xdx L g
q
FA x
gL
O
——线性分布
A
物A的惯性力
FA
P g
L 2
P1 2 g
(2) 杆拉伸
轴力
FN
FA
1 2
qA(L
x2 L
)
O端
FN,m ax
L 2
2g
(P1
2P)
最大动应力
max r 1 ——对称循环交变应力
r 1 ——非对称循环交变应力 r 0 ——脉动循环交变应力
(2) 疲劳寿命——交变应力 ( ma下x )疲劳破坏所
经历的应力循环次数N S－N曲线 max

FL3 48EI
F 2
C
Kd 1
1
2H FL3 F
48EI 2C
最大应力
1 FL
d max
K d j max
Kd
4 W
Z
最大挠度
d max
Kd st max
Kd
FL3 48EI
例 已知：d1=0.3m, l = 6m, P=5kN, E1 = 10GPa, 求两种情况 的动应力。（1）H = 1m自由下落；（2）H =1m, 橡皮垫d2 = 0.15m, h= 20 mm,E2 = 8 MPa.
a) g
FNd
2、动应力的计算
lm
Ax(1 a )
d
FNd A
g x(1 a )
A
g
m
a
x
Ax
Ax a
g
Ax(1 a )
d
FNd A
g x(1 a )
A
g
最大动应力
x
L
d max
L(1
a g
)
a
应力分布
a = 0时 d x st
l(1 a )
d
st (1
a) g
令K d
d
Kd
j
Kd
Q; A
(Ld
Kd Lst
Kd
QL ) EA
例：图示矩形截面梁，抗弯刚度为 EI，一重为 F 的重物 从距梁顶面 h 处自由落下，冲击到梁的跨中截面上。求：梁受 冲击时的最大应力和最大挠度。
A
F
C
H
B
b b
解（1）、动荷系数
h
Z
L/2
L/2
F
A

3
3
2m
2 q st
12m
2m
2 q st
梁的最大静应力
st, max
M max 1 206.6 Wz 21.2 106
56.9 MPa
石家庄铁道大学
＋
6 q st
梁的最大动应力 d,max K d st,max 2.02 56.9 114.9 MPa
材料力学 Mechanics of Materials
二、构件作等速转动 例题: 平均直径为D，壁厚为t，截面面积为A薄壁圆 环绕通过其圆心且垂直于圆环平面的轴作等角速度 转动。已知材料密度为ρ, 求圆环横截面上的应力。

t D
qd
石家庄铁道大学
D
解：薄壁圆环可认为沿厚度方向各质点的惯性力相 同，且沿周长均匀分布。
材料力学 Mechanics of Materials
例题：梁为16号工字钢，吊索横截面面积 A＝108 mm2，加速度a =10 m/s2 ，不计吊索质量。求： 1、吊索的动应力d ；2、梁的最大动应力d, max 。
T FN qst FN
石家庄铁道大学
2m
12m
2m
2m
12m
2m
梁单位长度的重量 qst20.5×9.81=201.1 N/m
材料力学 Mechanics of Materials
求解该类问题的一般步骤 ①计算构件的加速度； ②将相应的惯性力F=-ma作为外力虚加于各质点； ③按静载问题进行处理。
材料力学 Mechanics of Materials
一、构件作等加速直线运动 例题： 一吊车以匀加速度a起吊重物P，若吊索的横 截面积为A，材料比重为，试计算吊索中的应力。

第13章
动载荷与交变应力
三、等角速度转动构件内的动应力分析 例13-2 如图13.2中一平均直径为D，壁厚为t的薄壁 圆环，绕通过其圆心且垂直于环平面的轴做匀速转动。 已知环的角速度ω，环的横截面积A和材料的容重γ，求 此环横截面上的正应力。
图13.2
第13章
动载荷与交变应力
分析：(1) 求加速度： 因圆环等速转动，故环内各点只有向心加速度。又因 为 t ≪ D，故可认为环内各点的向心加速度大小相等， 即：
(4) 材料服从胡克定律；
(5) 冲击过程中，声、热等能量损耗很小，可略去不 计。
第13章
动载荷与交变应力
三、杆件受冲击时的应力和变形分析计算
下面以自由落体冲击为例研究冲击问题的一般解决方
法(如图13.3所示)。冲击过程中，设重量为W的冲击物一 经与弹簧接触就互相附着共同运动。如省略弹簧的质量，
只考虑其弹性，可简化成单自由度的运动体系。
图13.3
第13章
动载荷与交变应力
如图 13.3 所示的梁代表一受冲击的弹性构件， 设有重 量为 W 的重物自高度 h 处自由下落作用于梁上 1 点。 不考 虑梁的质量，根据能量守恒定律：在冲击过程中重物失去 的动能 E k 和位能 E p 应等于梁获得的弹性应变能 V ε，即： (a) Ek +Ep =Vε 在冲击物自由下落的情况下，冲击物的初速度和末速 度都为零，所以动能没有变化，即 E k =0 (b) 当重物落到最低点 1 时，重物所失去的位能为 Ep =W (h d ) (c)
第13章
动载荷与交变应力
式中， st 力；
kd 1
Fp A
是 FP 作为静载荷作用时钢索横截面上的应
a ，是动荷系数。对于有动载荷作用的构件， g

第九章
动荷载和交变应力
§9-1 概
述
静荷载－－是指由零缓慢增加到F以后不变的荷载。
动荷载——是指随时间作急剧变化的荷载，及作加 速运动或转动系统中构件的惯性力。 F
如：轮船靠泊时的冲击力
起吊重物时的惯性力
t
构件由动荷载引起的应力和变形称为动应力和动变形。 构件在动荷载作用下，同样有强度、刚度和稳定性的问题。 构件内的应力随时间作交替变化，则称为交变应力。
（c）
例3
如图所示。已知P=150N，h=75mm，l =2m，
截面为边长a =50mm正方形，E = 2×105 MPa。求
σdmax和梁跨中C点的动位移△Cd(不计梁的自重)。
解：1°计算静态的△st、Mmax和σstmax
P
2l 3 l 3
st
1 EI z

0
Px x 1 dx 3 3 EI z
1.19 103 m
由 (1 )式
kd 17.2
由 (2 )式
H 0.16m
例6：图示结构，已知:P＝4kN,h=20mm,d1=32mm,d2=24mm;两 杆材料相同， σs=235MPa 、 σp=200MPa 、 E=2×105MPa ；强度 安全因数 n=1.1 ，稳定安全因数 nst=1.45 。试校核结构的安全性。 （中长杆 ） ) cr 304 1.12 ( MPa

例2：已知:A, l,ρ,ω.求:σmax,
x

O
l
an 2 x
qd Aan A 2 x
max
1 1 1 2 qd ( x)dx A xdx 2l 2 A0 A0 2
l

应变能
Ve
＝
1 2
Fd d
Fd
＝
EA l
d
应变能
Ve
＝
1 2
Fd d
令 C＝ EA l
被冲击构件的 刚度系数
Fd ＝ C d
W
vh
d
EA l
将 W 以静荷载的方式作用于冲击点处
被冲击构件沿冲击方向的静变形为 st
W ＝ C st
C
＝
W st
Fd ＝
W st
d
能量守恒方程
d2 － 2 st d － 2 st h ＝ 0
对疲劳破坏的解释与构件的疲劳破坏断口是吻合的
光滑区 —— 裂纹扩展区 粗糙区 —— 最后突然
断裂形成的
构件的疲劳破坏，是在没有明显预兆的情况下 突然发生的，往往会造成严重的事故。
§13-5 交变应力的特性与疲劳极限
应力循环
应力每重复变化一次
一个应力循环
s
重复的次数 —— 循环次数
r s ＝ min
构件中各质点以变速运动时，构件就承受动荷载 的作用。
构件由动荷载引起的应力和变形 动应力 动变形
静荷载作用下服从虎克定律的材料，在动荷载作用下， 只要动应力不超过材料的比例极限，虎克定律仍然成立。
构件内的应力随时间作周期性交替变化
交变应力
在交变应力的长期作用下： 即使是塑性很好的材料、最大工作应力远低于
仍服从虎克定律。
冲击过程中不考虑波动效应，不计声、热能损失。
一、竖向冲击问题
重为 W 的物体，从高度 h 处自由下落 到杆的顶端。
变形最大时：Fd 、d 、sd
冲击物在冲击前后动能和势能的改变 等于被冲击构件所获得的应变能。

而各点的切向加速度均为零。在圆环上任取一微段ds，
则该微段上的惯性力大小为
dFg
AdsD2
2
qgds
所以圆环上惯性力载荷集度为
qg
=
AD2
2
圆环的受力图如图10-3（c）所示。为求圆环内周向应
力，可将圆环沿直径截开，取一部分研究，其受力分析如图
10-3（d）所示。其中，FNd为圆环的周向内力。
10.2 构件做等速转动时的应力计算
材料力学
LOGO
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工程结构或构件上所承受的载荷可分 成静载荷和动载荷两大类。前面各章讨论的 内容都是在 静载荷 （从零开始平缓地增 加到最终值而不再变化的载荷）的作用下杆 件的强度、刚度和稳定性问题。由静载荷产 生的应力称为 静应力 。
10.1 构件做匀加速直线运动时的动应力计算
图10-1（a）所示为一根吊有重物的起重机吊杆，设其为均质直
10.2 构件做等速转动时的应力计算
【例10-3】
v2
D22
4
D2 4
260n2
d D 4 2 3 0 n 2 8 1 0 3 1 4 3 2 0 3 0 0 0 2 8 7 .8 4 1 0 6 P a 8 7 .8 4 M P a
10.3 冲击载荷作用时构件的应力计算
M N d l q l2 7 .8 1 0 3 5 2 7 3 .4 2 5 2 1 0 .6 1 0 3 N m 1 0 .6 k N m

重物
一．几个基本概念
１．自由振动—在铅垂外力作用下， 使梁离开静平衡位置振动 若 mL mP 时，梁视为无质量的弹性体 若计 m L 时，为无限自由度体系
静平衡位置 最大位移位置
图例及符号
２．受迫振动—在重物处（或自由端） 作用一沿铅垂方向且随时间作周期 变化的干扰力而使梁发生振动 最大位移位置 静平衡位置 重物，质量 m L 梁，质量
3
P

2001.07
P
st
东南大学远程教育
1 n 2 c 2 n 2 1 4
d max
第三节
构件在受迫振动时的应力计算
n
干扰力的频率
n 2f
振动系统的固有频率，
c
k 1 g g m m W st
阻尼系数
2001.07
东南大学远程教育
第四节
构件在受冲击时应力和变形的计算
由于在冲击过程中，冲击物的 速度在短时间内发生变化，不 易确定，另外，从理论上对被 A 冲击物的冲击应力、变形作精 确分析也是复杂的。本处，仅 一种介绍偏于安全的简化方法。
方向与加速度方向相反
沿杆轴加上惯性力 qd x 后，即可按分布静荷载作用下的拉杆来计算 杆AB内的动应力 d 。
2001.07 东南大学远程教育

第二节 构件作等加速直线运动 或等速转动时的动应力计算
显然，杆AB内的最大动应力发生在B端的横截面上，其值 为 1 1 D 2 A2 d max xdx D 2 A g
2001.07 东南大学远程教育
第四节
构件在受冲击时应力和变形的计算
2 st
2h d st 2h st 1 1 st st