24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.2 直线和圆的位置关系
（第2课时）
一、教学目标
【知识与技能】
能判定一条直线是否为一条切线,会过圆上一点作圆的切线.会运用切线的判定定理和性质定理解决问题。
【过程与方法】
经历切线的判定定理及性质定理的探究过程,养成学生既能自主探究,又能合作探究的良好学习习惯.
【情感态度与价值观】
体验切线在实际生活中的应用,感受数学就在我们身边,感受证明过程的严谨性及结论的正确性.
二、课型
新授课
三、课时
第2课时,共3课时。
四、教学重难点
【教学重点】
切线的判定定理及性质定理的探究和运用.
【教学难点】
切线的判定定理和性质的应用. 五、课前准备
课件、图片、圆规、直尺等.
六、教学过程
（一）导入新课
教师问：转动雨伞时飞出的雨滴,用砂轮磨刀时擦出的火花,都是沿着什么方向飞出的？（出示课件2）
学生问：都是沿着圆的切线的方向飞出的．
（二）探索新知
探究一 切线的判定方法
教师问：如图,在⊙O中经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA,则圆心O到直线l的距离是多少？直线l和⊙O有什么位置关系?（出示课件4）
学生答：这时圆心O到直线l的距离就是⊙O的半径．
由d=r得到直线l是⊙O的切线．
教师问：已知圆O上一点A,怎样根据圆的切线定义过点A作圆O的切线？（出示课件5）
教师作图,学生观察并思考：
（1）圆心O到直线AB的距离和圆的半径有什么数量关系?
（2）二者位置有什么关系？为什么？
出示课件6：教师归纳:
切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
应用格式:
∵OA为⊙O的半径,BC⊥OA于A,
∴BC为⊙O的切线.
教师问：下列各直线是不是圆的切线？如果不是,请说明为什么？（出示课件7）
学生观察交流后口答：(1)不是,因为没有垂直.
(2),(3)不是,因为没有经过半径的外端点A.
教师强调：在切线的判定定理中,“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”,两个条件缺一不可,否则就不是圆的切线.
34. 与圆有关的位置关系
➢ 知识过关
1. 点和圆的位置关系
设圆的关系为r，点到圆心的距离为d
位置关系 点在圆内 点在圆上 点在圆外
d与r的大小关系 dr
2. 直线与圆的位置关系
设圆的关系为r，圆心到直线的距离为d
位置关系 相离 相切 相交
公共点个数 0 1 2
公共点名称 —— 切点 交点
数量关系 d>r d=r d
3. 切线的判定与性质
切线的定义：直线与圆有_____公共点时，这条直线是圆的切线.
切线的性质：圆的切线垂直于过切点的______
切线的判定：经过半径的外端并且______这条半径的直线是圆的切线.
到圆心距离等于______的直线是圆的切线.
➢ 考点分类
考点1直线与圆的位置关系的判定
例1如图所示，在Rt△ABC中，△C=90°，AC=3cm，BC=3cm，若OA=xcm,△O的半径为1cm，请问当x在什么范围内取值时，AC与△O相交、相切、相离？D
考点2切线的判定
例2 如图所示，AB是△O的直径，C是O上一点，直线MN经过点C，过点A作直线MN的垂线，垂足为点D，且△BAC=△CAD.
(1)求证：直线MN是△O的切线；
(2)若CD=3，△CAD=30°，求△O的半径.
考点3 切线的性质
例3 如图所示，在△O中，点C是直径AB延长线上一点，过点C作△O的切线，切点为D，连接BD.
(1)求证：△A=△BDC
(2)若CM平分△ACD，且分别交AD、BD于点M、N，当DM=1时，求MN的长.
➢ 真题演练
1.如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC＝∠BPC＝60°，PA＝2，PC＝4，则△ABC的面积为（ ）
A．43√3 B．32√3 C．2√3 D．3√3
2．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝90°，∠BCD＝120°，AB＝4，BC＝2，则AD的长为（ ）
A．2√3 B．4−√3 C．√3+1 D．2+√3
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【考点图解】
【技法透析】
1．判定直线与圆的位置关系的方法有两种：一是从直线与圆的公共交点的个数来进行判断，另一种是根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的大小关系来判断．
2．切线的判定方法有三种：一是根据定义，直线与圆只有一个公共点；二是圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线；三是切线的判定定理，当已知条件中明确指出圆与直线有公共点时，常用“连半径证垂直”的方法，当已知条件中没有指出圆与直线有公共点时，常用“作垂直证半径”的方法．
3．切线的性质定理有：①切线与圆只有唯一的公共点；②切线和圆心的距离等于圆的半径；③切线垂直于过切点的半径；④经过圆心垂直于切线的直线必过切点；⑤经过切点垂直于切线的直线必过圆心．
4．涉及切线的重要性质还有切线长定理和弦切角定理，其中切线长定理及其对应的基本图形、以及圆的外切三角形、外切四边形所存在的线段之间的关系也是解决问题常用的依据租方法，弦切角定理更是转化圆中相关角的重要定理．
5．和圆有关的比例线段定理包括相交弦定理、切割线定理及其推论，统称圆幂定理，它揭示了直线与圆相交后所存在的线段间的比例关系．利用这些定理，可直接进行线段的等积式的变换，或比例线段的转化．
【名题精讲】
考点1 直线与圆的位置关系
例1 如图10－1，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，O为AB上一点，OB＝m，⊙O的半径为r＝12，当m在什么范围内取值时，BC与⊙O相离、相切、相交？
【切题技巧】 要判断OB＝m在什么范围内取值时，BC与⊙O相离、相切、相交，就是要判断圆心O到BC的距离d与⊙O的半径r之间的大小关系．
【切题技巧】 作OD⊥BC于点Ｄ WORD完整版----可编辑----教育资料分享
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直线和圆的位置关系知识点归纳整理
直线和圆的位置知识点
直线和圆有三种位置关系
1.交点:当一条直线和一个圆有两个公共点时，称为直线和圆的交点。此时直线称为圆的割线，公共点称为交点。
2.相切:当直线与圆有唯一的公共点时，称为直线与圆相切，然后直线称为圆相切。
3.分离:当一条直线和一个圆没有共同点时，称为直线和圆分离。
直线与圆的三种位置关系的判定与性质
（1）数量法：通过比较圆心O到直线距离d与圆半径的大小关系来判定。
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有：
直线l与⊙O相交d
直线l与⊙O相切d=r；
直线l与⊙O相离d>r；
(2)共点法:通过确定一条直线和一个圆的共点数来确定。
直线l与⊙O相交d
直线l与⊙O相切d=r有唯一公共点； 直线l与⊙O相离d>r无公共点 。
切线知识点
切线的定义:在平面中，与圆只有一个公共交点的直线称为圆的切线。
切线的判定定理:通过半径外端并垂直于该半径的直线为圆的切线。
切线的性质定理:圆的切线垂直于通过切点的半径。
切线长度:圆的切线上的点与切点之间的线段通过圆外一点的长度，称为该点到圆的切线长度。
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.如图，PA，PB是⊙O的两条切线，B切点分别为A，B，则PA=PB，∠OPA=∠OPB.
判断直线与圆位置关系的方法
1、代数法:
联立线性方程和圆方程，解方程，方程无解，直线与圆分离，方程有一组解，直线与圆相切，方程有两组解，直线与圆相交。
2、几何法:
求出圆心到直线的距离d，半径为r。d>r，则直线与圆相离，d=r，则直线与圆相切，d
如何判断直线和圆的位置关系 平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：
1、由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，(其中B不等于0)，代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的方程
