云南省曲靖市第一中学等多校2017届高三西部联考理数试

2017年云南省第二次高中毕业生复习统一检测理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤--==031,3,2,1x x xT S ，则=T S （ ）A ．{}2B ．{}2,1C ．{}3,1D ．{}32,1， 2.已知i 为虚数单位，若i z i z -=+=1,2121，则复数221z z 在复平面内对应点位于（ ） A ．第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ．第四象限3.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若63,763==S S ，则数列{}n na 的前n 项和为（ ） A ． nn 2)1(3⨯++- B ．nn 2)1(3⨯++ C ． nn 2)1(1⨯++ D ． nn 2)1(1⨯-+4.已知平面向量、都是单位向量，若)2(-⊥，则与的夹角等于（ ）A ．6π B ．4π C. 3π D ．2π 5.要得到函数x y 2cos 21=的图象，只需将函数x y 2sin 21=的图象（ ）A ．向右平移2π个单位B ．向右平移4π个单位C. 向左平移2π个单位 D ．向左平移4π个单位6.执行如图所示程序框图，如果输入的2017=k ，那么输出的=i a （ ）A ．3B ． 6 C. 3- D ．6-7.如图是由圆柱与两个半球组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积与表面积分别为（ ）A ．ππ8,310 B ．ππ8,316 C. ππ10,310 D ．ππ10,3168.在n x x )2(1--的二项展开式中，若第四项的系数为7-，则=n （ ） A ．9 B ．8 C. 7 D ．6 9.已知2,2>>b a ，直线b x aby +-=与曲线1)1()1(22=-+-y x 只有一个公共点 ，则ab 的取值范围为（ ）A ．)246,4(+B ．]246,4(+ C. ),246[+∞+ D ．),246(+∞+ 10.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，是“算经十书”中最重要的一种，是当时世界上最简练有效的应用数字，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系.其中《方田》章有弧田面积计算问题，计算术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一.其大意是，弧田面积计算公式为：弧田面积=21（弦⨯矢+矢⨯矢），弧田是由圆弧（简称为弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（简称为弧田弧）围成的平面图形，公式中“弦”指的是弧田弦的长，“矢”等于弧田弧所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差.现有一弧田，其弦长AB 等于6米，其弧所在圆为圆O ，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为27平方米，则=∠AOB cos （ ）A ．251 B ．253 C. 51 D ．257 11.若偶函数)(x f 满足⎪⎩⎪⎨⎧>+-+++≤<+-+-=,21,53)12ln()3)(2)(1(,210),12ln(3ln 1)(x x x x x x x x x x f 则曲线)(x f y =在点)0,1(-处的切线方程为（ ）A ．066=+-y xB ．013=+-y x C. 066=++y x D ．013=++y x12.已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x M 的左、右焦点分别为21F F 、，c F F 221=.若双曲线M 的右支上存在点P ，使1221sin 3sin F PF cF PF a ∠=∠，则双曲线M 的离心率的取值范围为（ ） A ．)372,1(+ B ．]372,1(+ C. )2,1( D ．]2,1( 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知实数y x 、满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-≥+,30,2,2y y x y x 则62-+=y x z 的最小值是 ．14.在棱长为6的正方体1111D C B A ABCD -中，Q P 、是直线1DD 上的两个动点.如果2=PQ ，那么三棱锥BCQ P -的体积等于 ．15.已知椭圆E 的中心为原点O ，焦点在x 轴上，E 上的点与E 的两个焦点构成的三角形面积的最大值为12，直线01254=++y x 交椭圆于E 于N M ,两点.设P 为线段MN 的中点，若直线OP 的斜率等于54，则椭圆E 的方程为 ．16.在数列{}n a 中，21=a ，若平面向量)1,2(+=n b n 与),1(1n n n n a a a c -+-=+平行，则{}n a 的通项公式为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知c b a 、、分别是ABC ∆的内角C B A 、、对的边，3=b .（1）若65π=C ，ABC ∆的面积为23，求c ； （2）若3π=B ，求c a -2的取值范围.18. 为吸引顾客，某公司在商场举办电子游戏活动.对于B A ,两种游戏，每种游戏玩一次均会出现两种结果，而且每次游戏的结果相互独立，具体规则如下：玩一次游戏A ，若绿灯闪亮，获得50分，若绿灯不闪亮，则扣除10分（即获得10-分），绿灯闪亮的概率为21；玩一次游戏B ，若出现音乐，获得60分，若没有出现音乐，则扣除20分（即获得20-分），出现音乐的概率为52.玩多次游戏后累计积分达到130分可以兑换奖品.（1）记X 为玩游戏A 和B 各一次所得的总分，求随机变量X 的分布列和数学期望； （2）记某人玩5次游戏B ，求该人能兑换奖品的概率.19. 如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，点F E ,分别为C C B A 11,的中点.（1）求证：∥EF 平面ABCD ；（2）若四棱柱1111D C B A ABCD -是长方体，且12AA AD AB ==，求平面BF A 1与平面ABCD 所成二面角的正弦值.20. 已知抛物线E 的顶点为原点O ，焦点为圆03422=+-+x y x F ：的圆心F .经过点F 的直线l 交抛物线E 于D A ,两点，交圆F 于C B ,两点，B A ,在第一象限，D C ,在第四象限.（1）求抛物线E 的方程；（2）是否存在直线l ，使BC 2是AB 与CD 的等差中项？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由.21. 已知e 是自然对数的底数，x me x f =)(，3)(+=x x g ，)()()(x g x f x +=ϕ，2017)2()()(---=x g x f x h .（1）设1=m ，求)(x h 的极值；（2）设2e m -<，求证：函数)(x ϕ没有零点； （3）若0,0>≠x m ，设1)(44)()(-++=x g x x f m x F ，求证：3)(>x F . 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+-=+-=,4,2t y t x （t 为参数）.以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θθρcos 22=sin.直线l 交曲线C 于B A ,两点.（1）写出直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设点P 的直角坐标为)4,2(--，求点P 到B A ,两点的距离之积. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数1212)(-++=x x x f . （1）求证：)(x f 的最小值等于2； （2）若对任意实数a 和b ，0)(212≥+-++x f b a a b a ，求实数x 的取值范围.2017年云南省第二次高中毕业生复习统一检测理科数学参考答案一、选择题1-5: BBDCD 6-10: AABCD 11、12：CA二、填空题13. 5- 14.12 15. 1162522=+y x 16.31322++=n n a n 三、解答题17.解：（1）∵65π=C ，ABC ∆的面积为23，3=b ， ∴2321321sin 21=⨯⨯⨯=a C ab ，∴2=a . 由余弦定理得C ab b a c cos 2222-+=13)23(32234=-⨯⨯⨯-+=. ∴13=c .（2）由正弦定理得CcB b A a sin sin sin ==. ∴C BCb c A B A b a sin 2sin sin ,sin 2sin sin ===. ∴C C C A c a sin 2)32sin(4sin 2sin 42--=-=-πC C C C cos 32sin 2)sin 32cos cos 32(sin 4=--=ππ.∵3π=B ，∴320π<<C ，∴1cos 21<<-C ，∴32cos 323<<-C ，∴c a -2的取值范围为)32,3(-.18.解：（1）随机变量X 的所有可能取值为30,30,50,110-，分别对应以下四种情况： ①玩游戏A ，绿灯闪亮，且玩游戏B ，出现音乐； ②玩游戏A ，绿灯不闪亮，且玩游戏B ，出现音乐； ③玩游戏A ，绿灯闪亮，且玩游戏B ，没有出现音乐； ④玩游戏A ，绿灯不闪亮，且玩游戏B ，没有出现音乐， 所以515221)110(=⨯==X P ，5152)211()50(=⨯-==X P ，103)521(21)30(=-⨯==X P ，103)521()211()30(=-⨯-=-=X P ， 即X 的分布列为32103010305505110=⨯-⨯+⨯+⨯=EX .（2）设某人玩5次游戏B 的过程中，出现音乐n 次，则没出现音乐n -5次，依题意得130)5(2060≥--n n ，解得823≥n ，所以3=n 或4或5. 设“某人玩5次游戏B 能兑换奖品”为事件M ， 则3125992)52(53)52()53()52()(54452335=+⨯⨯+⨯⨯=C C M P . 19.（1）证明：设AB 的中点为M ，连接EM 、MC . ∵E 为B A 1的中点，∴A A EM 1∥，且A A EM 121=. 又∵F 为四棱柱1111D C B A ABCD -的棱C C 1的中点， ∴FC EM ∥，且FC EM =，∴四边形EMCF 是平行四边形.∴MC EF ∥.又∵⊂MC 平面ABCD ，⊄EF 平面ABCD ，∴∥EF 平面ABCD .（2）解：根据四棱柱1111D C B A ABCD -是长方体，建立如图所示的空间直角坐标系xyz D -，设2=AB ，由已知得)21,2,0(),21,1,2(),1,2,0(),1,0,2(),0,2,0(),0,2,2(),0,0,0(11F E C A C B D .)21,0,2(,12,01-==-A ），（，设平面BF A 1的一个法向量为),,(z y x n =，则A ⊥⊥,1.∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-,022,02zx z y 取4=z ，解得⎩⎨⎧==.2,1y x ∴)4,2,1(=是平面BF A 1的一个法向量.由已知容易得到)1,0,0(=是平面ABCD 的一个法向量.设平面BF A 1与平面ABCD 所成二面角的大小为θ，则21214cos ==θ. ∵πθ<<0，∴21105sin =θ. ∴平面BF A 1与平面ABCD 所成二面角的正弦值为21105. 20.解：（1）根据已知设抛物线E 的方程为)0(22>=p px y . ∵圆F 的方程为1)2(22=+-y x ， ∴圆心F 的坐标为)0,2(F ，半径1=r . ∴22=p，解得4=p . ∴抛物线E 的方程为x y 82=.（2）∵BC 2是AB 与CD 的等差中项，∴8244=⨯==+r BC CD AB . ∴10=++=CD BC AB AD .若l 垂直于x 轴，则l 的方程为2=x ，代入x y 82=，得4±=y .此时10821≠=-=y y AD ，即直线2=x 不满足题意.若l 不垂直于x 轴，设l 的斜率为k ，由已知得0≠k ，l 的方程为)2(-=x k y .设),(),,(2211y x B y x A ，由⎩⎨⎧=-=xy x k y 8)2(2得04)84(2222=++-k x k x k . ∴222184kk x x +=+.∵抛物线E 的准线为2-=x ，∴4)2()2(2121++=+++=+=x x x x DF AF AD ，∴1048422=++kk ，解得2±=k . 当2±=k 时，04)84(2222=++-k x k x k 化为0462=+-x x ，∵0414)6(2>⨯⨯--=∆，∴0462=+-x x 有两个不相等实数根. ∴2±=k 满足题意，即直线)2(2-±=x y 满足题意.∴存在满足要求的直线l ，它的方程为042=--y x 或042=-+y x . 21.（1）解：∵xme x f =)(，3)(+=x x g ，1=m ， ∴xe xf =)(，1)2(+=-x xg ，∴20182017)2()()(--=---=x e x g x f x h x. ∴1)(-='xe x h ，由0)(='x h 得0=x .∵e 是自然对数的底数，∴1)(-='xe x h 是增函数. ∴当0<x 时，0)(<'x h ，即)(x h 是减函数； 当0>x 时，0)(>'x h ，即)(x h 是增函数.∴函数)(x h 没有极大值，只有极小值，且当0=x 时，)(x h 取得极小值. ∴)(x h 的极小值为2017)0(-=h .（2）证明：∵xme x f =)(，3)(+=x x g ，∴3)()()(++⋅=+=x e m x g x f x x ϕ，∴1)(+⋅='xe m x ϕ.∵02<-<e m ，∴1)(+⋅='xe m x ϕ是减函数.由01)(=+⋅='xe m x ϕ解得)1ln(mx -=. 当))1ln(,(mx --∞∈时，01)(>+⋅='x e m x ϕ，此时函数)(x ϕ是增函数， 当)),1(ln(+∞-∈mx 时，01)(<+⋅='x e m x ϕ，此时函数)(x ϕ是减函数，∴当)1ln(m x -=时，函数)(x ϕ取得最大值，最大值为)ln(2)]1[ln(m m--=-ϕ. ∵2e m -<，∴0)ln(2<--m ，∴0)(<x ϕ， ∴当2e m -<时，函数)(x ϕ没有零点.（3）证明：∵x me x f =)(，3)(+=x x g ，1)(44)()(-++=x g x x f m x F ， ∴2441)(+++=x x e x F x. ∵0>x ，∴02)2(3)(>++-⇔>x e x x F x . 设2)2()(++-=x e x x u x ，则1)1()(+-='x e x x u . 设1)1()(+-=x e x x v ，则x xe x v =')(. ∵0>x ，∴0)(>'x v .又∵当0=x 时，0)(='x v ，∴函数)(x v 在),0[+∞上是增函数. ∵0>x ，∴)0()(v x v >，即0)(>x v . 又∵0=x ，0)(=x v ，∴当0>x 时，0)(>'x u ；当0=x 时，0)(='x u ， ∴函数)(x u 在),0[+∞上是增函数.∴当0>x 时，)0()(u x u >，即02)2(>++-x e x x . ∴当0>x 时，3)(>x F .22.解：（1）由直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+-=+-=,4,2t y t x （t 为参数）得l 的普通方程为02=--y x .∴直线l 的极坐标方程为02cos =--θρθρsin . 曲线C 的直角坐标方程为x y 22=.（2）∵直线l ：02=--y x 经过点)4,2(--P ，∴直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=,224,222T y T x （T 为参数）. 将直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=,224,222T y T x 代入x y 22=，化简得 0402102=+-T T ，∴4021==⋅T T PB PA .23.（1）证明：∵221)12(21121212=-++≥-++=-++x x x x x x ，∴2)(≥x f . 当且仅当0)21)(12(≥-+x x 时“=”成立，即当且仅当2121≤≤-x 时，2)(=x f . ∴)(x f 的最小值等于2.（2）解：当0=+b a 即b a -=时，0)(212≥+-++x f b a a b a 可转化为0)(02≥⋅-x f b ， 即02≥b 成立，∴R x ∈. 当0≠+b a 时，∵b a a b a a b a a b a +=-+≥-++=++)2(22，当且仅当0))(2(≥-+a b a 时“=”成立，即当且仅当0)2(≤+a b a 时“=”成立，∴12≥+++b a a b a ，且当0)2(≤+a b a 时，12=+++ba ab a ，∴ba ab a +++2的最小值等于1，∵0)(212≥+-++x f b a a b a )(212x f b a a b a ≥+++⇔， ∴1)(21≤x f ，即2)(≤x f . 由（1）知2)(≥x f ，∴2)(=x f .由（1）知当且仅当2121≤≤-x 时，2)(=x f . 综上所述，x 的取值范围是]21,21[-.。

云南省曲靖市第一中学2017届高三上学期第二次月考理数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合{}0)2)(1(>-+=x x x A ，集合{}31≤≤=x x B ，则=B A （ ）A ．]3,1(-B ．]1,1(-C ．)2,1(D ．)3,1(- 【答案】A【解析】试题分析：因为{}{}(1)(2)0|12A x x x x x =+->=-<<， {}13B x x =<≤，所以，=B A {}13x x -<≤=(]1,3-，故选A.考点：1、集合的表示方法；2、集合的并集.2.下列函数中，与函数122log +=x y 是同一个函数的是（ ）A ．2)1(+=x y B ．133+=x y C ．12+=xx y D ．12+=x y 【答案】B考点：函数的定义及“三要素”.3.设命题12:,0log 1:21><<-x q x p ，则p 是q 成立的是（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：因为()()12:1log 01,2,:210,x p x x q x -<<⇔∈>⇔∈+∞，而()()1,20,⊆+∞，所以p 是q 成立的充分不必要条件，故选A.考点：1、指数函数与对数函数的性质；2、充分条件与必要条件.4.设100cos ,5log ,2331===-c b a ，则（ ）A ．c b a >>B ．c a b >>C ．b c a >>D ．a b c >> 【答案】B【解析】试题分析：因为()()()13320,1,log 51,,cos100,0a b c -===∈+∞=∈-∞，所以，c a b >>，故选B.考点：1、指数函数与对数函数的性质；2、三角函数的基本性质.5.下列函数中，是偶函数且在区间),0(+∞上单调递增的是（ ）A ．xy 3-= B ．31x y = C ．23log x y = D ．2x x y -= 【答案】C考点：1、函数的奇偶性；2、函数的单调性.6.已知幂函数nx x f =)(的图象过点)41,8(，且)2()1(f a f <+，则a 的范围是（ ）A ．13<<-aB ．3-<a 或1>a C.1<a D ．1>a 【答案】B【解析】试题分析：因为幂函数nx x f =)(的图象过点)41,8(， 所以321282243n n n -=⇒=⇒=-，23()f x x -=　是偶函数，且在()0,+∞递减，在(),0-∞上递增，由)2()1(f a f <+得，12,a +>解得，3-<a 或1>a ，故选B.考点：1、幂函数的图象与性质；2、绝对值不等式的解法.7.若12log 3-≥x ，则函数324)(1--=+x x x f 的最小值为（ ） A ．4- B ．3- C ．932- D ．0 【答案】A考点：1、指数的运算与性质；2、配方法求最值.8.已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，若对任意R x ∈，都有)()4(x f x f -=+，且当]2,0[∈x 时，12)(-=xx f ，则下列结论不正确的是（ ）A ．函数)(x f 的最小正周期为4B ．)3()1(f f <C ．0)2016(=fD ．函数)(x f 在区间]4,6[--上单调递减 【答案】B【解析】试题分析：因为函数)(x f 是定义在R 上的偶函数， 所以)()4(x f x f -=+()f x =，可得函数)(x f 的最小正周期为4，A 正确；()()0(2016)50440210f f f =⨯==-=，C 正确；而()()()311f f f =-=，B 错；故选B.考点：1、函数的周期性及函数的奇偶性；2、函数的解析式及单调性.9.函数4127ln 4)(2-+-+-=x x x x x f 的定义域为（ ）A ．)3,4(-B ．]3,4(-C ．]4,3(D ．)4,3( 【答案】D考点：1、函数的定义域；2、不等式的解法.10.已知函数m x x g xx x f +=+=22log )(,1)(，若对]4,1[],2,1[21∈∃∈∀x x ，使得)()(21x g x f ≥， 则m 的取值范围是（ ） A ．45-≤m B ．2≤m C ．43≤m D ．0≤m 【答案】C【解析】试题分析：因为]4,1[],2,1[21∈∃∈∀x x ，使得)()(21x g x f ≥等价于()()min min f x g x ≥，又因为21()x f x x +=22111113244x x x ⎛⎫=+=+-≥ ⎪⎝⎭，（2x =时等号成立），22()log log 1g x x m m m =+≥+=，所以34m ≥，即43≤m ，故选C.考点：1、全称量词与存在量词的应用；2、对数函数的性质及配方法求最值.【方法点睛】本题主要考查函数的最值、全称量词与存在量词的应用，属于难题.解决这类问题的关键是理解题意、正确把问题转化为最值和解不等式问题，全称量词与存在量词的应用共分四种情况：（1）12,,x D x E ∀∈∀∈()()12f x g x ≥只需()()min max f x g x ≥；（2）1,x D ∀∈2x E ∃∈()()12f x g x ≥，只需()min f x ≥()min g x ；（3）1x D ∃∈，2,x E ∀∈()()12f x g x ≥只需()max ,f x ≥()max g x ；（4）12,x D x E ∃∈∃∈，()()12f x g x ≥，()max f x ≥()min g x .11.已知b a ,为正实数，直线a x y -=与曲线)ln(b x y +=相切，则22a b+的取值范围是（ ）A ．),0(+∞B ．(0,1)C ．)21,0( D ．),1[+∞ 【答案】C考点：1、导数的几何意义；2、利用导数研究函数的单调性.【方法点睛】本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性进而求范围，属于难题.求范围问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图象法、函数单调性法求解，利用函数的单调性求范围，首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间 ，最后再根据其单调性求凼数的取值范围即可.12.若函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤+=)0(431),0(3)(3x a x x x x x f x 在定义域上恰有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3160<<a B ．316<a C ．0<a 或316>a D ．316≤a 【答案】A考点：1、利用导数研究函数的单调性、分段函数的解析式及图象；2、函数的零点几数形结合思想.【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、分段函数的解析式及图象、函数的零点及数形结合思想，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形相互转化来解决数学问题，这种思想方法在解题中运用的目的是化抽象为直观，通过直观的图象解决抽象问题，尤其在解决选择题、填空题时发挥着奇特的功效，大大提高了解题能力与速度. 本题就是将复杂的零点问题转化为形象函数图象问题解答的.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.若命题“02,0200<+-∈∃ax x R x ”为假命题，则实数a 的取值范围是______.【答案】]22,22[- 【解析】试题分析：因为命题“02,0200<+-∈∃ax x R x ”为假命题等价于命题“2,20x R x ax ∀∈-+≥”为真命题，可得280a a =-≤⇒-≤≤a 的取值范围是]22,22[-，故答案为]22,22[-.考点：1、全称命题与特称命题；2、不等式恒成立问题及一元二次不等式的解法. 14.=++-⎰dx x x x )1(312______.【答案】43+π考点：1、定积分的应用；2、定积分的几何意义.15.已知曲线x x y ln 2-=在点)1,1(处的切线与曲线1)2(2+++=x a ax y 也相切，则=a _____. 【答案】1【解析】试题分析：因为x x y ln 2-=()f x =，所以()()1'2,'11f x x f x=-=得()f x 点)1,1(处的切线斜率为1，方程为11,y x -=-即为y x =，又因为y x =与抛物线1)2(2+++=x a ax y 相切，所以方程2(2)1ax a x x +++=只有一个根，即2(2)1ax a x x +++=有唯一解，()2140a a =+-=，得1a =，故答案为1.考点：1、利用导数求切线方程；2、直线与抛物线的位置关系.【方法点晴】本题主要考查利用导数求切线方程以及直线与抛物线的位置关系，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出()y f x =在0x x =处的导数，即()y f x =在点P 00(,())x f x 出的切线斜率（当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴平行时，在0x x =处导数不存在，切线方程为0x x =）；（2）由点斜式求得切线方程.本题就是根据这种方法求出曲线x x y ln 2-=在点)1,1(处的切线方程后，再根据其与抛物线相切，求解a 的值的.16.若曲线x x x f ln 21)(2+-=在其定义域内的一个子区间)2,2(+-k k 内不是单调函数，则实数 k 的取值范围是______.【答案】32<<k考点：1、函数的定义域及子集的应用及转化与划归思想；2、利用导数研究函数的单调性以及函数的极值. 【方法点睛】本题主要考查函数的定义域及子集的应用及转化与划归思想、利用导数研究函数的单调性以及函数的极值，属于难题.转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题将函数区间)2,2(+-k k 内不是单调函数转化为函数在)2,2(+-k k 必有极值点，然后利用导数这一工具解答是解题的关键.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知0)12(:,0132:222≤++-≤+-a x a x q x x p . （1）若2=a 且q p ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1=x ；（2）2210+≤≤a .试题解析：121:≤≤x p . （1）若2=a ，则41:≤≤x q ，∵q p ∧为真，∴q p ,都为真，∴1=x .（2）设22)12()(a x a x x f ++-=需满足⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤⇒≤+≤≤-⇒≤->⇒>∆,200)1(,2212210)21(,410a f a f a 解得2210+≤≤a . 考点：1、充分条件与必要条件；2、数形结合思想及子集的应用. 18.（本小题满分12分）已知函数)32(log )(221+-=ax x x f .（1）当1-=a 时，求函数的值域；（2）是否存在R a ∈，使)(x f 在)2,(-∞上单调递增，若存在，求出a 的取值范围，不存在，请说明理由.【答案】（1）]1,(--∞；（2）不存在R a ∈，使)(x f 在)2,(-∞上单调递增. 【解析】试题分析：（1）先求得2223(1)22x x x ++=++≥，再根据对数函数的性质可得函数的值域；（2）根据二次函数的单调新、对数函数的单调性、复合函数的单调性以及对数函数的定义域列不等式组可得结论. 试题解析：（1）当1-=a 时，)32(log )(221++=x x x f ，设22)1(32)(22≥++=++=x x x x h ，∴1)(-≤x f ，∴)(x f 的值域为]1,(--∞.（2）要使)(x f 在)2,(-∞上单调递增，只需32)(2+-=ax x x h 在)2,(-∞上单调递减且0322>+-ax x 在)2,(-∞上恒成立，所以⎩⎨⎧>>,0)2(,2h a 此不等式无解， 故不存在R a ∈，使)(x f 在)2,(-∞上单调递增.考点：1、二次函数的单调性、对数函数的单调性；2、复合函数的单调性以及对数函数的定义域. 19.（本小题满分12分）某工厂经过市场调查，甲产品的日销售量P （单位：吨）与销售价格x （单位：万元/吨）满足关系式⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤<+-=,96,784,63,172x xx x ax P （其中a 为常数），已知销售价格为4万元/吨时，每天可售出该产品9吨. （1）求a 的值；（2）若该产品的成本价格为3万元/吨，当销售价格为多少时，该产品每天的利润最大？并求出最大值. 【答案】（1）2=a ；（2）该产品每天的利润最大且为15万元.试题解析：（1）由题意可得9,4==p x ,由⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤<+-=,96,784,63,172x xx x ax P （其中a 为常数），可得9417=-a ，解得2=a .（2）由（1）可得⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤<-=,96,784,63,2172x xx x x P 设商品所获得的利润为⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+≤<--=-=,96),3)(784(,63),3)(217()3(2x x x xx x x P x y 当63≤<x 时，)3)(217(--=x x y ，当且仅当6=x 时，取得最大值15；当96≤<x 时，16175)811(252252637)784)(3(222+--=-+=+-=x x x x x x y ， 当8=x 时，取得最大值1516175<. 综上可得6=x 时，取得最大值15，即当销售价格为6万元/吨时，该产品每天的利润最大且为15万元. 考点：1、阅读能力及建模能力；2、分段函数的解析式及利用导数研究函数的单调性.20.（本小题满分12分）已知函数13)(3-+=ax x x f 的导函数为)(x f '，3)()(--'=ax x f x g .（1）当2-=a 时，求函数)(x f 的单调区间；（2）若对满足11≤≤-a 的一切a 的值，都有0)(<x g ，求实数x 的取值范围；（3）若0ln )(>+'x x g x 对一切2≥x 恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）函数)(x f 的单调递增区间为),2[],2,(+∞--∞，单调递减区间为)2,2(-；（2）310<<x ；（3）ln 2122a <+.试题解析：（1）当2-=a 时，63)(2-='x x f ，令0)(='x f 得2±=x ， 故当2-<x 或2>x 时，0)(>'x f ，)(x f 单调递增，当22<<-x 时，0)(<'x f ，)(x f 单调递减，所以函数)(x f 的单调递增区间为),2[],2,(+∞--∞，单调递减区间为)2,2(-.（2）因为a x x f 33)(2+='，故333)(2-+-=a ax x x g ，令33)3()()(2-+-==x x a a h x g ，要使0)(<a h 对满足11≤≤-a 的一切a 成立，则⎩⎨⎧<-=<-+=-,03)1(,03)1(22x x h a x x h 解得310<<x .考点：1、利用导数研究函数的单调性进而求最值；2、不等式恒成立问题.【方法点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性进而求最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；②数形结合(()y f x =图象在()y g x =上方即可)；③讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④讨论参数.本题(2)是利用方法①求得a 的取值范围.21.（本小题满分12分）已知函数b x x f a +=log )(，)(x f 恒过点)1,1(，且2)(=e f .（1）求)(x f 的解析式；（2）若kx x f ≤)(对0>∀x 都成立，求实数k 的取值范围；（3）当112>>x x 时，证明：121212ln )1(ln )1(x x x x x x ->-.【答案】（1）1ln )(+=x x f ；（2）1≥k ；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）由)(x f 恒过点)1,1(，∴1=b ，由2)(=e f 得e a =，进而1ln )(+=x x f ；（2）kx x f ≤)(对0>∀x 都成立等价于k x x ≤+1ln ，只需利用导数求出ln 1x x +最大值即可；（3）设1ln )(-=x x x x h ，则可得21ln ()0(1)x x h x x --'=>-∴)(x h 在),0(+∞上单调递增，1ln 1ln 111222->-x x x x x x 成立，即可证原式. 试题解析：（1）由题意得)(x f 恒过点)1,1(，∴1=b ,又∵1log 2)(+==e e f a ，∴e a =，∴1ln )(+=x x f .(2)kx x f ≤)(，即kx x ≤+1ln ，即k xx ≤+1ln ， 设2ln )(,1ln )(x x x g x x x g -='+=，令0ln )(2>-='x x x g ，得10<<x ， ∴)(x g 在)1,0(上单调递增，在),1(+∞上单调递减，1)1()(max ==g x g ，∴1≥k .考点：1、利用导数函数的单调性及求最值；2、不等式恒成立问题及不等式证明问题.【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、不等式恒成立及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合，导数部分一旦出该类型题往往难度较大，要准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简，或者构造新函数进一步利用导数证明.本题（3）就是构造函数后利用单调性证明的.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知AB 是圆O 的直径，直线CD 与圆O 相切于点C ，弦AE 的延长线交CD 于点D ，若 CAB DAC ∠=∠.（1）求证：CD AD ⊥；（2）若16,9==AB AD ，求AC 的长.【答案】（1）证明见解析；（2）12=AC .试题解析：（1）证明：因为AB 是直径，所以连接BC ，则 90=∠ACB ，又因为直线CD 与圆O 相切，所以CBA DCA ∠=∠.又因为CAB DAC ∠=∠，所以 90=∠+∠=∠+∠CBA CAB DCA DAC ,所以 90=∠ADC ，所以CD AD ⊥.（2）解：由（1）得ADC ∆与ACB ∆相似，所以AB AD AC ⋅=2，所以12=AC .考点：1、弦切角定理；2、三角形相识的性质.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴为正半轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为θρcos 6=，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=,233,213t y t x （t 为参数）. （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）求直线l 分圆C 所得的两弧程度之比.【答案】（1）9)3(22=+-y x ；（2）2:1.试题解析：（1）圆C 的极坐标方程θρcos 6=可化为θρρcos 62=，利用极坐标公式，化为普通方程是x y x 622=+，即9)3(22=+-y x .（2）圆C 的方程为9)3(22=+-y x ，圆心C 为)0,3(，半径3=r ，直线l 的方程为)3(33-=+x y ，即03333=---y x ，圆心C 到直线l 的距离233133333=+--=d ， ∴直线l 被圆截得的弦所对的圆心角为 120，直线l 将圆C 分成弧长之比为2:1的两段圆弧.考点：1、极坐标方程化直角坐标的方程；2、参数方程化普通方程及点到直线距离公式.24.（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲若关于x 的不等式01252≥--++t x x 的解集为R .（1）求实数t 的最大值s ；（2）若正实数b a ,满足s b a =+54，求b a b a y 33421+++=的最小值. 【答案】（1）6=s ；（2）23. 【解析】试题分析：（1）不等式01252≥--++t x x 的解集为R 等价于t x x ≥-++1252恒成立，而621521252=-++≥-++x x x x ，所以6≤t ；（2）b a b a y 33421+++=14()[(2)(33)]233a b a b a b a b =++++++16⨯，利用柯西不等式可得结果. 试题解析：（1）因为01252≥--++t x x ，所以t x x ≥-++1252，又因为621521252=-++≥-++x x x x ，所以6≤t ， 所以实数t 的最大值6=s .考点：1、基本不等式求最值；2、柯西不等式的应用.：。

2017-2018学年一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.设集合2102x xx ⎧+⎫A =≤⎨⎬-⎩⎭，{}1x x B =<，则()RA B =ð（ ）A ．112x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭B ．{}12x x ≤<C ．{}12x x -<≤D ．{}12x x << 【答案】B考点：不等式的解法与集合运算. 2.复数321iz i +=-（i 为虚数单位）的共轭复数z 为（ ） A ．1522i -+ B ．1522i -- C ．1522i + D ．1522i -【答案】D 【解析】 试题分析：()()()()32132151112i i i iz i i i ++++===--+，所以z 的共轭复数为1522z i =-，故选D.考点：复数的运算.3.阅读如图1的程序框图，若输入6n =，则输出k 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B4.某几何体的三视图如图2所示，当xy最大时，该几何体的体积为（）A B CD图2【答案】A【解析】试题分析：由三视图可知该几何体为底面为直角三角形，一条侧棱垂直于底面的三棱锥，如下图所示，SC ⊥平面,ABC 90,CAB ∠=根据三视图的规则可知5,SA AB AC y ===,所以222S C A C S A+=即222225SC SA AC y =-=-，222530SC y x +=-=，所以22302x y xy +=≥，当且仅当x y ==时，xy 有最大值，所以三棱锥的体积1132V =⨯=A.考点：三视图与棱锥的体积.5.已知m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列正确的是（ ） A ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥ B ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α C ．若//m n ，m α⊂，n β⊂，则//αβ D ．若//m n ，m α⊥，n β⊥，则//αβ 【答案】D考点：空间直线与平面的平行、垂直关系的判断.6.已知{}n a 为等差数列，{}n b 为正项等比数列，公比1q ≠，若11a b =，99a b =，则（ ）A ．55a b =B ．55a b >C ．55a b <D ．以上都有可能 【答案】B 【解析】试题分析：由等差、等比中项可知1955,2a a ab +==，又11a b =，99a b =，所以192a a +≥=55ab >，故选B. 考点：等差中项和等比中项.7.五个人坐成一排，甲和乙坐在一起，乙不和丙坐一起，则不同的坐法种数为（ ） A ．12 B ．24 C ．36 D ．48 【答案】C考点：排列与组合.8.下列结论正确的个数是（ ） ①cos 0α≠是22k παπ≠+（k ∈Z ）的充分必要条件；②若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数，则样本的方差不变；③先后抛两枚硬币，用事件A 表示“第一次抛硬币出现正面向上”，用事件B 表示“第二次抛硬币出现反面向上”，则事件A 和B 相互独立且()()()111224P AB =P A P B =⨯=； ④在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布()21,σN （0σ>），若ξ位于区域()0,1内的概率为0.4，则ξ位于区域()1,+∞内的概率为0.6．A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】C 【解析】试题分析：①中给出的逆否是“22k παπ=+（k ∈Z ）是cos 0α=的充分必要条件”，显然当cos 0α=时，2k παπ=+（k ∈Z ），所以必要性不成立，所以①错误；②方差表达了样本数据的波动大小，当一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数，则样本的方差不变，所以②正确；③先后抛两枚硬币，显然事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，所以事件A 和B 相互独立，由相互独立事件概率公式可知它们同时发生的概率()()()111224P AB =P A P B =⨯=，所以③正确；④因为ξ服从正态分布()21,σN ，其对称轴为1x =，ξ位于区域()1,+∞内的概率为0.5，所以④错误，综上所述正确的只有②③两个，故选C.考点：充要条件、方差的数学意义、相互独立事件同时发生的概率及正态曲线的性质. 9.()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()33f x f x -=+，当03x <<时，()()22log 2f x x =-+，则当06x <<时，不等式()()30x f x ->的解集是（ ） A ．()()0,23,4 B ．()()0,24,5 C ．()()2,34,5D ．()()2,33,4【答案】D考点：函数性质的综合应用及对数函数的性质.10. 已知函数()sin f x x x ωω=（0ω>），062f f ππ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，则ω等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】A 【解析】试题分析：函数()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫==+⎪⎝⎭，由062f f ππ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可知()f x 的图象关于点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，所以2sin 0333f πππω⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此,31,33k k k z ππωπω+==-∈，排除B,C ，当5ω=时()2sin 53f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，排除D ，故选A. 考点：三角恒等变换与正弦函数的性质.【方法点晴】本题主要考查了三角恒等变换与正弦型函数的图象与性质，属于中档题.本题首先通过和角公式把()f x 化成正弦型函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，解题的突破口在对条件062f f ππ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的应用，变形即得62f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，实质上是给出了函数图象的一个对称中心，由此求得ω的一系列值，最后通过区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性进行验证、排除. 11.已知()1F ,0c -，()2F ,0c 为椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的两个焦点，若椭圆上存在点P 满足212F F 2c P ⋅P =，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎦B ．⎫⎪⎪⎣⎭C ．12⎡⎢⎣⎦D ．35⎣⎦【答案】C考点：椭圆的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了椭圆的方程及几何性质，属于中档题.椭圆的离心率是椭圆几何性质中考查最频繁的知识点，解题的基本思路是根据题目给出的条件，建立基本量,c a 或,a b或,b c 的关系，再结合222a b c =+求出离心率的范围.本题中通过设出椭圆上一点P 的坐标，利用椭圆方程和已知条件求出椭圆上一点P 横坐标关于,,a b c 的表达式，再利用已知条件和椭圆的范围求出离心率的范围.12.设函数()()()22ln 22f x x a x a =-+-，其中0x >，R a ∈，存在0x 使得()015f x ≤成立，则实数a 的值为（ ） A ．110 B ．25 C ．15D ．1 【答案】A考点：导数的几何意义及函数的最值问题.【方法点晴】本题主要考查了利用导数求曲线上过某点的切线的斜率问题，考查了数学转化与化归及数形结合的思想方法，用到了点到直线的距离公式，属于中档题.本题解答的关键是对函数()f x 进行转化，看成动点(),ln 2M x x 与点(),2N a a 距离的平方，利用导数求出曲线()ln2g x x =上平行于直线2y x =的切点，得到曲线上点到直线距离的最小值，结合题意可得只有切点到直线的距离的平方等于15，然后利用斜率公式求出实数a 的值. 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知向量()2,2a =，()1,1b =-，且()a b b λ+⊥，则2a b λ-的值为 ．【答案】【解析】试题分析：由题意可知22,2,0a b a b ===，因为()a b b λ+⊥，所以()a b b λ+220a b b λλ=+==，0λ∴=， 2242a b a λ-==.考点：向量的数量积运算.14.若4m x dx π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则二项式6展开式中含x 项的系数是 ． 【答案】60考点：定积分与二项式定理.15. 设:p 2203600x y x y x k +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩（x ，y ，R k ∈，且0k >）；:q ()2215x y -+≤（x ，R y ∈）．若p 是q 的充分不必要条件，则k 的取值范围是 ．【答案】02k <≤ 【解析】试题分析：作出不等式组2203600x y x y x k +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，如下图，因为p 是q 的充分不必要条件，所以p 不等式组表示的平面区域内的点都在q 表示的圆及其内部，因为()0,2C 恰好在()2215x y -+=上，所以只需要,A B 两点在圆()2215x y -+=上或者其内部即可，因此有()()()222212251253k k k k ⎧-+-≤⎪⎨⎛⎫-+-≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，解不等式组可得02k <≤.考点：简单的线性规划、充分条件与必要条件.【方法点晴】本题主要考查了简单的线性规划及充分条件与必要条件，考查了数学结合、转化与化归的数学思想和方法，属于中档题.本题首先把“p 是q 的充分不必要条件”转化为两个中,p q 所表示的平面区域之间的真子集关系，然后通过作图，可以发现只需要三角形区域的三个顶点在圆或其内部即可，从而列出不等式组求得参数的取值范围. 16.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足12n n nS a S ++=（2n ≥），123a =-，则n S 为 ． 【答案】12n n +-+立，由此可得12n n S n +=+. 考点：数列的递推公式.【方法点睛】本题主要考查了数列的递推公式在求数列前n 项和公式中的应用，属于中档题.本题解答的关键是把“和项混合式” 12n n nS a S ++=，利用()12n n n S S a n --=≥消去n a 得到n S 与1n S -之间的递推关系112n n S S -=+，由1123S a ==-逐步求出23,S S 的值，进行归纳，最后利用数学归纳法进行证明，当然作为填空题可以不用证明.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）在C ∆AB 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边长，且()222cos a bc b c -A =+．（I ）求角A 的大小；（II ）若sin sin C 1B +=，2b =，试求C ∆AB 的面积．【答案】（I ）23πA =；（II试题解析：（I ）()222cos a bc b c -A =+，又2222cos a b c bc =+-A ，∴22222cos 2cos 2b c bc bc b bc c +-A -A =++．∴4cos 2bc bc -A =．∴1cos 2A =-． 0π<A <，∴23πA =．…………………（5分） （II ）sin sin C 1B +=，∴sin sin 13π⎛⎫B +-B = ⎪⎝⎭．sin sincos cossin sincos cossin 3333ππππB +B -B =B +B sin 13π⎛⎫=B += ⎪⎝⎭．…………………（8分）又B 为三角形内角，∴32ππB +=，6πB =，∴C 6π=，∴2b c ==，∴C ∆AB 的面积C 1sin 2S bc ∆AB =A =12分）考点：利用正、余弦定理解三角形. 18.（本小题满分12分）新课程改革后，我校开设了甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响．已知学生小张只选修甲的概率为0.06，只选修甲和乙的概率是0.09，至少选修一门课程的概率是0.82，用ξ表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积． （I ）求学生小张选修甲的概率；（II ）记“函数()2f x x x ξ=+为R 上的偶函数”为事件A ，求事件A 的概率；（III ）求ξ的分布列和数学期望．【答案】（I ）0.25；（II ）0.24；（III ）分布列见解析， 1.52ξE =．试题解析：（I ）设学生小张选修甲、乙、丙的概率分别为x 、y 、z ，依题意得()()()()()()110.0610.0911110.82x y z xy z x y z --=⎧⎪-=⎨⎪----=⎩，解得0.250.60.4x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以学生小张选修甲的概率为0.25．…………………（4分） （II ）若函数()2f x x x ξ=+为R 上的偶函数，则0ξ=，若0ξ=时，表示小张选修三门功课或三门功课都没选，∴()()()()()()()()01110.250.60.410.2510.610.40.24xyz x y z ξP A =P ==+---=⨯⨯+---=，∴事件A 的概率为0.24．…………………（8分）（III ）依题意知0ξ=，2， 则ξ的分布列为∴ξ的数学期望为00.2420.76 1.52ξE =⨯+⨯=．…………………（12分）考点：相互独立事件的概率公式及离散型随机变量的分布列. 19.（本小题满分12分）在等腰梯形CD AB 中，D//C A B ，1D C 2A =B ，C 60∠BA =，N 是C B 的中点，将梯形CD AB 绕AB旋转90，得到C D ''AB （如图3）． （I ）求证：C C 'A ⊥B ；（II ）求二面角C C 'A -N -的余弦值．【答案】(1)证明见解析；（2）5-.试题解析：（I ）证明：1D C 2A =B ，N 是C B 的中点，∴D C A =N ．又D//C A B ，∴四边形CD AN 是平行四边形，∴DC AN =．又CD AB 为等腰梯形，C 60∠BA =，∴D AB =BN =A ，∴四边形CD AN 是菱形，∴1C DC 302∠A B =∠B =，∴C 90∠BA =，即C A ⊥AB ．平面C 'AB ⊥平面C AB ，平面C 'AB 平面C AB =AB ，∴C A ⊥平面C 'AB ．又C 'B ⊂平面C 'AB ，∴C C 'A ⊥B ．…………………（6分）（II ）解：C A ⊥平面C 'AB ，同理C 'A ⊥平面C AB ．如图1建立空间直角坐标系xyz A -，设1AB =，则()1,0,0B，()C，(C '，12⎛⎫N ⎪⎪⎝⎭，则(C 1,0,'B =-，(CC 0,'=．设平面C C 'N 的法向量为()111,,n x y z =，C 0CC 0n n ⎧'B ⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩⇒()3,1,1n =．设平面C 'AN 的法向量为()222,,m x y z =，0C 0n n ⎧AN ⋅=⎪⎨'A ⋅=⎪⎩()3,1,0m ⇒=-， 设二面角C C 'A -N -的平面角为θ，∴5cos 5n m n m θ⋅==-∴二面角C C 'A -N -的余弦值为12分） 考点：空间中垂直关系的证明及空间向量的应用. 20.（本小题满分12分）已知椭圆C :22221xy a b +=（0a b >>）经过点⎛M ⎝⎭，1F 、2F 分别为椭圆C 的左、右焦点．设直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．（I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）当2m =-时，求∆OAB 的面积的最大值；（III ）以线段OA ，OB 为邻边作平行四边形OAPB ，若点Q 在椭圆C 上，且满足Q λOP =O ，求实数λ的取值范围．【答案】（I ）2212x y +=；（II （III ）22λ-<<且0λ≠．试题解析：（I ）由题意得：c a =，222a b c -=，∴b c =．又椭圆经过点⎛M ⎝⎭，则2213124a b+=，解得1c =，所以22a =，∴椭圆C 的标准方程为2212x y +=．…………………（3分） （II ）当2m =-时，即直线:l 2y kx =-，依题意知若l x ⊥轴时，不存在∆OAB ，所以不合题意．设点A ，B 的坐标分别为()11,x y A ，()22,x y B ，由22222y kx x y =-⎧⎨+=⎩得()2212860k xkx +-+=，216240k ∆=->，得232k >，122812k x x k +=+，122612x x k =+，所以AB =． 又点O 到直线l 的距离为h =，∴∆OAB的面积1122S h ∆OAB=⋅AB ⋅==令t =0t >），得2223k t =+，则2S t t∆O A B=+ 当且仅当4t t =，即2t =时等号成立，此时272k =且满足0∆>，所以S ∆OAB的最大值为2．…………………（6分） 考点：椭圆方程及直线与椭圆位置关系的综合应用.【方法点睛】本题主要考查了椭圆的方程、直线与椭圆位置关系的综合应用，属于难题.求椭圆方程最常用的方法是待定系数法，根据题目条件建立待定系数的方程组，解方程组即可；最值问题通常是设而不解，根据韦达定理和判别式表示出要求最值的量，利用基本不等式或函数的知识来求出最值；本题解答的难点是第三问，根据向量加法的坐标运算和韦达定理求出Q 的坐标，代入椭圆方程构造参数间的关系式，利用方程有解求出参数λ的范围. 21.（本小题满分12分）设函数()322f x x x a =-+，()()2ln 1g x x m x =++．（I ）若()f x 在1,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的最大值为0，求实数a 的值； （II ）若()g x 是定义域上的单调函数，求实数m 的取值范围；（III ）在（I ）的条件下，当1m =时，令()()()F x f x g x =+，试证明311ln n n n n+->（n *∈N ）恒成 立．【答案】（I ）0a =；（II ）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（III ）证明见解析.试题解析：（I ）解：因为()322f x x x a =-+，所以()234f x x x '=-．令()0f x '=，得0x =或43x =． 又()f x 在1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上递增，在(]0,1上递减，所以()()max 00f x f a ===．…………………（II ）解：因为()222211m x x mg x x x x ++'=+=++，又函数()g x 在定义域上是单调函数，所以()0g x '≥或()0g x '≤在()1,-+∞上恒成立．若()0g x '≥在()1,-+∞上恒成立，即函数()g x 是定义域上的单调递增函数，则221122222m x x x ⎛⎫≥--=-++ ⎪⎝⎭在()1,-+∞上恒成立，由此可得12m ≥．…………………（4分）若()0g x '≤在()1,-+∞上恒成立，即函数()g x 是定义域上的单调递减函数，则221122222m x x x ⎛⎫≤--=-++ ⎪⎝⎭在()1,-+∞上恒成立，因为211222x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭在()1,-+∞上没有最小值，所以不存在实数m 使()0g x '≤在()1,-+∞上恒成立．…………………（6分） 综上所述，实数m 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．…………………（7分）（III ）证明：在（I ）的条件下，当1m =时，()()()()32F ln 1x f x g x x x x =+=-++，则()()232311F 3211x x x x x x x +-'=-+=++，显然当()0,x ∈+∞时，()F 0x '>，所以()F x 在()0,+∞上单调递增，所以()()F F 00x >=，即()23ln 1x x x +>-在()0,+∞上恒成立．令()10,x n=∈+∞（n *∈N ），．…………………（10分） 则有23111ln 1n n n⎛⎫+>-⎪⎝⎭，即311ln n n n n +->（n *∈N ）恒成立．…………………（12分） 考点：利用导数研究函数的单调性、在闭区间上的最值及函数的恒成立等.【方法点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、在闭区间上的最值及函数的恒成立及不等式的证明，考查了函数与方程的思想及转化的数学思想，属于难题.当明确函数在某个区间上单调时，通常转化为导数的符号非正或非负恒成立，进一步转化为求函数的最值问题，如果能分离参数，通过分离参数求最值得到参数的范围，如果不能分离参数可直接求最值来解决；证明不等式也是函数、导数中的常见题型，通常根据前面的解答和要证明不等式的形式构造合理的函数，通过研究其单调性、最值，利用赋值法或放缩等技巧得到要证明的请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图7，EP 交圆于E ，C 两点，D P 切圆于D ，G 为C E 上一点且G D P =P ，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F ． （I ）求证：AB 为圆的直径；（II ）若C D A =B ，求证：D AB =E ．【答案】（I ）证明见解析；（II ）证明见解析.试题解析：（I ）D G P =P ，∴DG GD ∠P =∠P ．D P 为切线，∴D D ∠P A =∠BA ．GD G ∠P =∠E A ，∴D G ∠BA =∠E A ．∴D D G D ∠BA +∠BA =∠E A +∠BA ，由三角形内角和，得D F ∠B A =∠P A ．∴F A ⊥EP ，∴F 90∠P A =，D 90∠B A =，∴AB 为圆的直径．…………………（5分）（II ）如图2，连接C B ，DC ．AB 是直径，∴D C 90∠B A =∠A B =．在Rt D ∆B A 与Rt C ∆A B 中，AB =BA ，C D A =B ， 从而Rt D Rt C ∆B A ≅∆A B ，于是D C ∠AB =∠BA ．DC D ∠B =∠AB ，∴DC C ∠B =∠BA ，∴DC//AB ． AB ⊥EP ，∴DC ⊥EP ，DC ∠E 为直角，∴D E 为直径．由（I ）知AB 为圆的直径，∴D E =AB ．…………………（10分）考点：圆的切线、割线的性质及三角形全等的应用. 23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线1C 的参数方程为431x ty t =⎧⎨=-⎩（t 为参数），当0t =时，曲线1C 上对应的点为P ．以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为8cos 1cos 2θρθ=-．（I ）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程； （II ）设曲线1C 与2C 的公共点为A ，B ，求PA ⋅PB 的值．【答案】（I ）1C 的普通方程为3440x y --=，2C 的直角坐标方程为24y x =；（II ）259.试题解析：（I ）因为曲线1C 的参数方程为431x t y t =⎧⎨=-⎩（t 为参数）， 所以曲线1C 的普通方程为3440x y --=．又曲线2C 的极坐标方程为8cos 1cos 2θρθ=-， 所以曲线2C 的直角坐标方程为24y x =．…………………（4分）（II ）当0t =时，0x =，1y =-，所以点()0,1P -．由（I ）知曲线1C 是经过点P 的直线，设它的倾斜角为α，则3tan 4α=， 所以3sin 5α=，4cos 5α=， 所以曲线1C 的参数方程为45315x y ⎧=T ⎪⎪⎨⎪=-+T ⎪⎩（T 为参数），将上式代入24y x =，得29110250T -T +=， 所以12259PA ⋅PB =T T =．…………………（10分） 考点：直线的参数方程与普通方程的互化、抛物线极坐标方程与直角坐标方程的互化及其应用.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()1f x x =-，()3g x x a =-++，R a ∈．（I ）解关于x 的不等式()6g x >；（II ）若函数()2y f x =的图象恒在函数()y g x =的图象的上方，求实数a 的取值范围．【答案】（I ）()()3,96a a a -->；（II ）4a <.试题解析：（I ）关于x 的不等式即36x a -++>，即36x a +<-，当6a ≤时无解；当6a >时，由()636a x a --<+<-，即39a x a -<<-，求得不等式解集为()3,9a a --（6a >）．…………………（4分）考点：绝对值不等式的解法及分段函数的应用.。

理科数学第Ⅰ卷(共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{}2|540A x N x x =∈-+≤，{}2|40B x x =-=，下列结论成立的是()A ．B A ⊆ B ．A B A =C ．A B A =D ．{}2AB =2.若复数z 满足20171zi i=-，其中i 为虚数单位，则z =（ )A ．1i -B ．1i +C ．1i --D ．1i -+3。

已知p ：1a =±，q ：函数2()ln(f x x a x =+为奇函数，则p 是q 成立的( ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4.已知51cos()123πθ-=,则sin()12πθ+的值是()A ．13-B ．223C ．13D 2235。

在△ABC 中,点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且2BD DC =,3CE EA =，若AB a =,AC b =,则DE =(）A ．15312a b +B ．113312a b - C ．15312a b -- D ．113312a b -+6。

下列命题中正确的是( ) A ．“1x <-”是“220x x -->”的必要不充分条件B ．对于命题p ：0xR ∃∈,使得20010x x +-<，则p ⌝：x R ∀∈，均有210x x +-> C ．命题“2230axax -+>恒成立”是假命题，则实数a 的取值范围是0a <或3a ≥D ．命题“若2320xx -+=，则2x =”的否命题为“若2320x x -+=，则2x ≠”7。

设函数|1|1lg(2),2,()10,2,x x x f x x -+->⎧=⎨≤⎩若()0f x b -=有三个不等实数根，则b 的取值范围是（ ） A ．(0,10]B ．1(,10]10C ．1(,10)10D ．(1,10]8。