云南省曲靖一中2021届高三高考复习质量监测卷(二)理科数学试题(含答案解析)

云南省高三数学第二次复习统一检测试卷理（含解析）理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的学校、准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码及填涂准考证号。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题求得集合T，再利用交集的定义求得结果.【详解】由题，求得集合，所以故选D【点睛】本题主要考查了交集的概念，属于基础题.2.已知为虚数单位，设，则复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】直接对复数进行化简，求得，得出结果.【详解】复数，在复平面中对应的点为（2，-2）在第四象限故选D【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题.3.已知是角的终边上的点，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角函数的定义可求得cosα，结合诱导公式可得结果.【详解】解：∵角α的终边上一点P（3，4），∴|OP|5，∴cosα，∴故选：C．【点睛】本题考查三角函数的定义，诱导公式，考查计算能力，属于基础题．4.在等比数列中，若，，成等差数列，则数列的公比为（）A. 0或1或-2B. 1或2C. 1或-2D. -2【答案】C【解析】【分析】由题意，可得，再利用等比的通项，可得，解出答案即可. 【详解】由题，，，成等差数列，所以又因为等比数列，即，解得或【点睛】本题考查了等差等比的性质，解题的关键是不要把性质弄混淆了，属于基础题型.5.执行如图所示的程序框图，则输出的的值是（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】【分析】由题，根据程序框图的定义，结合对数的运算，求得满足题意的结果即可.【详解】输入n=1,S=0，可得S=，n=2,S<3，S=，n=3,S=,n=4故输出n=4故选B【点睛】本题主要考查了程序框图的算法以及对数的运算，属于基础题.6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D. 10【答案】A【解析】【分析】由题，得知几何体是三棱锥，再求出表面积即可.【详解】由题，该几何体是一个侧面垂直底面，且底面和侧面都是等腰直角三角形的三棱锥，如图，面SAC垂直面ABC的三棱锥；所以故选A【点睛】本题考查了空间几何体的三视图，还原几何体是解题的关键，属于基础题.7.已知直线：是圆：的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则（）A. 2B. 6C. D.【答案】B【解析】【分析】由题，求得圆的圆心和半径，易知直线：过圆心，求得a=-1，再利用切线的性质求得，得出答案.【详解】由题，可得圆C的标准方程：，直线：是圆：的对称轴，故过圆心，即2+a-1=0，可得a=-1，所以，半径r=2所以故选B【点睛】本题考查了直线与圆的的定义，性质以及位置关系，属于中档题型.8.已知点，，，.若点在轴上，则实数的值为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用坐标表示平面向量的运算，又因为点P在y轴上，即横坐标为0，可得结果.【详解】由题，可得所以点在轴上，即故选A【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示以及运算，属于基础题.9.若、、、、五位同学随机站成一排照相，则站正中间且与相邻的概率为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】基本事件总数n120，站正中间且与相邻包含的基本事件个数m，由此能求出站正中间且与相邻的概率．【详解】解：A，B，C，D，E五位同学站成一排照相，基本事件总数n120，站正中间且与相邻包含的基本事件个数m，∴站正中间且与相邻的概率为p．故选：B．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．10.已知直三棱柱的顶点都在球的球面上，，，若球的表面积为，则这个直三棱柱的体积是（）A. 16B. 15C. D.【答案】A【解析】【分析】由题，棱柱为直棱柱，底面为直角三角形，利用球的表面积求得球半径，再利用外接球求得棱柱的高，最后求得体积即可.【详解】由题，，因为，，易知三角形ABC为等腰直角三角形，故三棱柱的高故体积故选A【点睛】本题考查了棱柱的外接球的问题，解题的关键是找球心的位置，求出棱柱的高，属于中档题型.11.若椭圆：的上、下焦点分别为、，双曲线的一条渐近线与椭圆在第一象限交于点，线段的中点的纵坐标为0，则椭圆的离心率等于（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先由题，得出和渐近线方程，再利用线段的中点的纵坐标为0，求得P点的坐标，再带入椭圆方程求得，得出离心率即可.【详解】由题，易知椭圆E的交点双曲线的一条渐近线方程为：因为的中点纵坐标为0，故点P的纵坐标为点P在双曲线的一条渐近线上，带入可得点再将点P代入椭圆方程：解得所以离心率故选C【点睛】本题主要考查了圆锥曲线综合，性质，渐近线，离心率，本题的计算量较大，这是本题的易错点，属于中档偏上的题型.12.已知，，，则，，的大小关系为（）A. B.C. D.。

2021届云南省曲靖市第一中学高三高考复习质量监测卷（八）数学（理）试题一、单选题1．设集合{}1,0,1,2A =-，{}1,2B =，{},,C x x ab a A b B ==∈∈，则集合C 中元素的个数为（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】B【分析】分别在集合,A B 中取,a b ，由此可求得x 所有可能的取值，进而得到结果. 【详解】当1a =-，1b =时，1ab =-；当1a =-，2b =时，2ab =-； 当0a =，1b =或2时，0ab =；当1a =，1b =时，1ab =；当1a =，2b =或2a =，1b =时，2ab =；当2a =，2b =时，4ab =；{}2,1,0,1,2,4C ∴=--，故C 中元素的个数为6个.故选：B.2．若复数z 满足()113z i i -=+（i 是虚数单位），则z =（ ）A ．BC ．D ．2【答案】A【分析】由题意可得13121iz i i+===-+-，12z i =--，则z =得解.【详解】()113z i i -=+可得13(13)(1)121(1)(1)i i i z i i i i +++===-+--+， 所以12z i =--z ==，故选：A 3．411()a x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为6，则实数a 的值为（ ） A ．34 B ．54C ．74D ．94【答案】B【分析】利用多项式乘法运算法则及排列组合思想即可求解. 【详解】解：由题意，411()a x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为344411C a C ⨯⨯+⨯， 所以3444116C a C ⨯⨯+⨯=，即416a +=， 所以54a =， 故选：B.4．不经过坐标原点的直线:0l x y m ++=被曲线22:2220C x y x y +---=截得的弦的长度等于l 与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是（ ） A ．22440x y x y +--= B ．22440x y x y +++= C ．22330x y x y +++= D ．22220x y x y +--=【答案】A【分析】由曲线C 方程可得到其圆心和半径，利用垂径定理可构造方程求得m 的值，从而得到直线l 方程，进而得到l 与坐标轴的交点坐标；根据直角三角形外心为斜边中点可求得所求的圆心坐标和半径，由此可得所求圆的方程.【详解】曲线C 的方程可整理为：()()22114x y -+-=，则曲线C 为圆心为()1,1，半径为2的圆；∴圆心到直线l 的距离d =∴==解得：0m =或4m =-，又l 不经过坐标原点，4m ∴=-，即:40l x y +-=，l ∴与坐标轴的交点坐标为()4,0A ，()0,4B ，∴直线l 与坐标轴围成的三角形的外接圆圆心为AB 中点()2,2M ，半径r = ∴所求外接圆方程为()()22228x y -+-=，即22440x y x y +--=.故选：A.【点睛】方法点睛：圆的弦长的求法：（1）几何法，设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为L ，则2222L r d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭； （2）代数法，设直线与圆相交于()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与圆的方程()()222y kx mx a y b r=+⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，消去y 得到一个关于x 的一元二次方程，从而可求出12x x +，12x x，根据弦长公式AB =，即可得出结果.5．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3S ，9S ，6S 成等差数列，且86a =，则11a 的为（ ） A ．-1 B ．-3C ．-5D ．-7【答案】B【分析】由396S ,S ,S 成等差数列，可得9362S S S =+，即()96362S S S S -=-，即()()7894562a a a a a a ++=-++，即()()623211211a q q q a q q q ++=-++，可求得312q =-，可求得11a ．【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由396S ,S ,S 成等差数列，可得9362S S S =+，即()96362S S S S -=-，即()()7894562a a a a a a ++=-++，即()()623211211a q q q a q q q ++=-++，因为10a ≠，0q ≠，且210q q ++>，所以312q =-，又86a =，故311816()32a a q ==⨯-=-． 故选： B.6．已知AB AC ⊥，1AB t=，AC t =，若P 点是ABC 所在平面内一点，且9AB AC AP ABAC=+，则PB PC ⋅的最大值等于（ ） A ．16B ．4C ．82D ．76【答案】 D【分析】以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，可得1,0B t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()()0,0C t t >，利用平面向量坐标运算可求得()1,9P ，由数量积的坐标运算可表示出PB PC ⋅，利用基本不等式可求得结果.【详解】以A 为坐标原点，可建立如图所示平面直角坐标系，则1,0B t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()()0,0C t t >，1,0ABt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0,AC t =，()()19,00,1,9AP t t t t ⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭，即()1,9P ，11,9PB t ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭，()1,9PC t =--，111981829t t B t PC t P ⎛⎫∴⋅=--+=-+ ⎪⎝⎭，0t >，119296t t t t∴+≥⋅=（当且仅当19t t =，即13t =时取等号），()82676PB PC ∴⋅≤-=.故选：D.【点睛】方法点睛：求解平面向量数量积问题的常用方法有两种：（1）利用平面向量线性运算将所求数量积进行转化，转化为夹角和模长已知的向量数量积的求解问题；（2）建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算来进行求解. 7．执行如图所示的程序框图，若输入的x 为11，则输出y 的值为（ ）A ．1B ．3C ．5D ．7【答案】A【分析】按照程序框图运行程序，直到满足5x ≤可代入21y x =-，由此确定输出值. 【详解】按照程序框图运行程序，输入11x =，不满足5x ≤，循环；1156x =-=，不满足5x ≤，循环；651x =-=，满足5x ≤，则2111y =⨯-=，输出1y =.故选：A.8．已知a ，b 是空间两条不同的直线，已知α，β是空间两个不同的平面，对于如下四个命题：①若a α⊥，b β⊥，//a b ，则//αβ；②若//a α，//b β，a b ⊥，则//αβ； ③若a α⊥，//b β，//a b ，则αβ⊥；④若a α⊥，b β⊥，αβ⊥，则a b ⊥． 其中正确命题的序号是（ ） A ．①②③④ B ．②③ C ．①②④ D ．①③④【答案】D【分析】由平行关系和垂直关系的相关定理依次判断各个选项可知①③④正确；由反例可知②错误. 【详解】对于①，//a b ，a α⊥，b α∴⊥，又b β⊥，//αβ∴，①正确；对于②，在如图所示的正方体1111ABCD A BC D -中，若11A B a =，1BB b =，平面ABCD α=，平面11ADD A β=， 则满足//a α，//b β，a b ⊥，此时αβ⊥，②错误； 对于③，a α⊥，//ab ，b α∴⊥，又//b β，则在β中必存在直线//c b ，c α∴⊥，又c β⊂，αβ∴⊥，③正确； 对于④，a α⊥，b β⊥，,a b ∴分别为,αβ的法向量，又αβ⊥，a ∴与b 所成角为90，即a b ⊥，④正确. 故选：D.9．定义在实数集R 上的函数()f x ，如果存在函数()g x ax b =+（a ，b 为常数），使得对函数()f x 定义域内任意x 都有()()f x g x ≤成立，那么()g x 为函数()f x 的一个“线性覆盖函数”，若()22ln f x x x x =--，()3g x ax =-+．若()g x 为函数()f x在区间()0,∞+上的一个“线性覆盖函数”，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],0-∞ B ．(],2-∞ C ．(],4-∞ D ．(],6-∞【答案】C【分析】由题意()()f x g x ，即22ln 3x x x ax ---+在区间(0,)+∞上恒成立，也即32ln a x x x++在区间(0,)+∞上恒成立，从而将问题转化为求函数的最值． 【详解】解：由题意()()f x g x ，即22ln 3x x x ax ---+在区间(0,)+∞上恒成立，也即32ln a x x x++在区间(0,)+∞上恒成立，等价于min ()a h x . 令3()2ln h x x x x =++，则2223(3)(1)()1x x h x x x x'+-=+-=， 由()0h x '<得01x <<，由()0h x '>得1x >， 所以()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 所以当1x =时()h x 取得最小值()h 14=， 所以4a ，即a 的取值范围为(],4-∞． 故选：C ．【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论： （1）a ≥ f (x )恒成立⇔ a ≥ f (x )max ；（2）a ≤ f (x )恒成立⇔a ≤ f (x )min . 10．已知双曲线()2222:104x y C a a a -=>-，点M 是该双曲线右支上的一点．点1F ，2F 分别为左、右焦点，直线1MF 与y 轴交于点P ，2MPF 的内切圆在边2PF 上的切点为Q ，若PQ =C 的离心率为（ ）A ．B ．3C ．D 【答案】D【分析】根据切线长相等可得线段长的等量关系，结合双曲线定义可知1222MF MF PQ a -==，由此求得a ，结合2c =可得所求离心率.【详解】设2MPF 内切圆与12,MF MF 分别切于点,S T ，由切线长相等知：MS MT =，PS PQ =，22QF TF =，由对称性知：12PF PF =， 由双曲线定义得：12122232MF MF PF PS QF PQ PS PQ a -=+-=+===， 3a ∴=2242c a a +-=，C ∴的离心率23c e a ==. 故选：D.【点睛】思路点睛：求解圆锥曲线离心率或离心率取值范围问题的基本思路有两种： （1）根据已知条件，求解得到,a c 的值或取值范围，由ce a=求得结果； （2）根据已知的等量关系或不等关系，构造关于,a c 的齐次方程或齐次不等式，配凑出离心率e ，从而得到结果.11．设曲线() xf x ae b =+和曲线()cos2xg x c π=+在它们的公共点()0,2M 处有相同的切线，则b c a +-的值为（ ） A ．0 B ．π C ．2- D ．3【答案】D【分析】利用导数的几何意义可知()()00f g '='，可求得a ；根据()0,2M 为两曲线公共点可构造方程求得,b c ，代入可得结果. 【详解】()x f x ae '=，()sin22xg x ππ'=-，()0f a '∴=，()00g '=，0a ∴=，又()0,2M 为()f x 与()g x 公共点，()02f b ∴==，()012g c =+=，解得：1c =，2103b c a ∴+-=+-=.故选：D.12．下列五个命题：① ln 72<；②ln p e >>>；③<④33ππ<；⑤33e e <．其中真命题的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【分析】令()ln xf x x=，利用导数可求得()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减；将所比较的式子转化为()f x 的函数值的大小关系的比较，根据函数单调性可确定()f x 函数值的大小关系，化简得到所比较的式子的大小关系. 【详解】令()ln x f x x =，则()()21ln 0xf x x x-'=>， 当()0,x e ∈时，()0f x '>；当(),x e ∈+∞时，()0f x '<；()f x ∴在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减；对于①，02e <<，()2ff ∴>ln 22>，2ln 7<=，①错误；对于②，0e p >>>，ff ∴<<，ln p ==，②正确；对于③，114e <<，()4f f∴<，即ln 42ln2ln 2442==<，2<ln ln11<，11∴<<③正确；对于④，3e π<<，()()3ff π∴<，即ln ln 33ππ<，3ln ln 3ππ∴<， 即3ln ln 3ππ<，33ππ∴<，④错误； 对于⑤，3e <，()()3f e f ∴>，即ln ln 33e e >，3ln ln 3e e ∴>， 即3ln ln3e e >，33e e ∴>，⑤正确. 故选：C.【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够通过构造函数的方式，将问题转化为函数值的大小关系的比较问题，通过函数的单调性确定函数值的大小关系.二、填空题13．若实数,x y 满足约束条件21021010x y x y x -+≥⎧⎪++≥⎨⎪-≤⎩，则()0z ax by a b =+>>取最大值4时，41a b+的最小值为______． 【答案】94【分析】由约束条件可得可行域，当z 取最大值时，直线a zy x b b=-+在y 轴截距最大，利用数形结合的方式可确定当a zy x b b=-+过()1,1A 时z 最大，利用()411414a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭可配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式可求得41a b+的最小值. 【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：当()0z ax by a b =+>>时，直线a zy x b b=-+在y 轴截距最大， 0a b >>，1a b∴-<-，则由图形可知：当a zy x b b =-+过A 时，在y 轴截距最大，由2101x y x -+=⎧⎨=⎩得：11x y =⎧⎨=⎩，即()1,1A ，max 4z a b ∴=+=， ()41141141495524444b a b a a b a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝∴（当且仅当4b a a b =，即823a b ==时取等号），41a b ∴+的最小值为94.故答案为：94. 【点睛】方法点睛：线性规划问题中几种常见形式有： ①截距型：z ax by =+，将问题转化为a z y b b=-+在y轴截距的问题； ②斜率型：y bz x a-=-，将问题转化为(),x y 与(),a b 连线斜率的问题； ③两点间距离型：()()22z x a y b =-+-，将问题转化为(),x y 与(),a b 两点间距离的平方的问题；④点到直线距离型：z Ax By C =++，将问题转化为(),x y 到直线0Ax By C ++=的.14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =，21n n n a a a ++=-，则2019S =______．【答案】4【分析】归纳出数列的周期，求出一个周期的和，即得解. 【详解】由题得321211a a a =-=-=，432121a a a =-=-=-， 543112a a a =-=--=-， 6542(1)1a a a =-=---=-, 7651(2)1a a a =-=---=, 8761(1)2a a a =-=--=,所以数列的周期为6，126+++0a a a =，2019=6336+3⨯，所以22019131214S a a a =++=++=. 故答案为：4【点睛】关键点睛：本题的解题关键是想到求数列的周期，归纳出数列的周期. 15．如图，蹴鞠，又名“鞠球”“鞠圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动．已知各顶点都在某“蹴”的表面上的正四棱柱的底面边长为a ，高为h ，球的体积为36π，则这个正四棱柱的侧面积的最大值为_______．【答案】362【分析】由球的体积可确定其半径，根据正四棱柱外接球半径与底面外接圆半径和高之间关系可构造方程，求得2362h a =-根据侧面积公式可将侧面积S 表示为关于a 的函数，借助于基本不等式可求得结果.【详解】设球的半径为R ，则34363R ππ=，解得：3R =；正四棱柱底面正方形外接圆半径221222r a a a =+=，又2222h R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 2221922h R r a ∴=-=-，解得：2362h a =- ∴正四棱柱侧面积()2224436216362S ah a a a a ==-=-，()22222236223623242a a a a ⎛⎫+--≤= ⎪⎝⎭（当且仅当222362a a =-，即3a =时取等号），8324362S ∴≤⨯= 即正四棱柱侧面积的最大值为362. 故答案为：362.【点睛】思路点睛：本题考查立体几何中的最值问题的求解，求解此类问题的基本思路是将所求内容表示为关于某一变量的函数的形式，进而利用函数值域的求解方法或基本不等式求得最值.16．已知函数()()12cossin 02262xx f x ωωπω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭，x ∈R ，若()f x 在区间(),2ππ内没有零点，则ω的取值范围是_________．【答案】55110,,12612⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【分析】利用两角和差正弦公式、二倍角和辅助角公式可化简得到()sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据()f x 在区间(),2ππ内没有零点可结合周期确定01ω<≤，同时确定6x πω+的范围；可确定,266πππωπω⎛⎫++⎪⎝⎭位于[]2,2k k πππ+或[]2,22k k ππππ++之间，由此构造不等式组求得结果. 【详解】()12cossin cos cos sin 226262x x x f x ωωπωπ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭21coscos 2222xxx ωωω=+-1cos sin 26x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭； ()f x 在(),2ππ内没有零点，2ππππω∴-=≤，可知01ω<≤， 当(),2x ∈ππ时，,2666x πππωπωπω⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭， ()26226k k Z k ππωπππωππ⎧+≥⎪⎪∴∈⎨⎪+≤+⎪⎩或()262226k k Z k ππωππππωππ⎧+≥+⎪⎪∈⎨⎪+≤+⎪⎩，解得：()152612k k k Z ω-≤≤+∈或()5112612k k k Z ω+≤≤+∈； 又01ω<≤，5012ω∴<≤或511612ω≤≤，即ω的取值范围为55110,,12612⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦. 故答案为：55110,,12612⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据正弦型函数在区间内的零点个数求解参数范围的问题，解题关键是能够通过函数在区间内没有零点，得到区间长度小于半个周期，并通过整体对应的方式确定区间端点值所满足的条件.三、解答题17．已知ABC 的内角,,A B C 的对应边分别为,,a b c ，且有()cos cos sin 0A c B b C a A ++=．（1）求A ；（2）设AD 是ABC 的内角平分线，边b ，c 的长度是方程2640x x -+=的两根，求线段AD 的长度． 【答案】（1）23A π=；（2）23AD =.【分析】（1）利用正弦定理边化角可整理已知等式求得tan A ，由此确定A 的取值； （2）由韦达定理可得,b c bc +，利用面积桥的方式可构造方程求得AD . 【详解】（1）由正弦定理得：()23cos sin cos sin cos sin 0A C B B C A ++=，即()23cos sin sin 0A B C A ++=，又()()sin sin sin B C A A π+=-=，23sin cos sin A A A ∴-=，又()0,A π∈，sin 0A ∴≠，sin 3cos A A ∴=-，tan 3A ∴=-，又()0,A π∈，23A π∴=； （2）,b c ∵为方程2640x x -+=的两根，6b c ∴+=，4bc =，由（1）知：23A π=，3BAD CAD π∴∠=∠=， ABCABDADC SSS=+，12sin sin sin sin 23232323c b b c bc AD AD AD ππππ+∴=⋅+⋅=⋅， 333AD =23AD =. 【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理和三角形面积公式的应用，求解内角平分线长的关键是能够利用面积桥的方式构造出关于内角平分线长的方程.18．如图，直四棱柱1111ABCD A BC D -的底面是菱形，12AA =，1AB =，60BAD ∠=，E ，M ，N 分别是BC ，1BB ，1A D 的中点．（1）证明：//MN 平面ABCD ； （2）求二面角1A MA N --的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）105. 【分析】（1）连接1,ME B C ，可证得//ME ND ，即四边形MNDE 为平行四边形，得到//MN DE ，由线面平行的判定定理可证得结论；（2）连接,AC BD 交于点O ，则以O 为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果. 【详解】（1）连接1,ME B C ，,E M 分别为1,BC BB 中点，11//2ME B C ∴； 由直四棱柱特点知：11//A D BC ，11//2ME A D ∴，又N 为1A D 中点，//ME ND ∴， ∴四边形MNDE 为平行四边形，//MN DE ∴，又DE ⊂平面ABCD ，MN ⊄平面ABCD ，//MN ∴平面ABCD ； （2）连接,AC BD 交于点O ，四边形ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥，又四棱柱1111ABCD A BC D -为直四棱柱， 则以O 为坐标原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系，由题意可得：3A ⎫⎪⎪⎝⎭，132A ⎫⎪⎪⎝⎭，10,,12M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,14N ⎫-⎪⎪⎝⎭， ()10,0,2AA ∴=，131,12A M ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，33,044MN ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面1AA M 的法向量为()111,,n x y z =，则1111112031022n AA z n A M x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩，令11x =，则13y =10z =，()1,3,0n ∴=； 设平面1A MN 的法向量为()222,,m x y z =，则1222223102233044m A M x y z m MN x y ⎧⋅=-+-=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩，令21y =，则23x 21z =-，()3,1,1m ∴=-；2315cos ,25m n m n m n⋅∴<>===⨯⋅，设二面角1A MA N --为θ，则210sin 1cos ,5m n θ=-<>=， 即二面角1A MA N --10【点睛】方法点睛：空间向量法求解二面角的基本步骤是： （1）建立空间直角坐标系，利用坐标表示出所需的点和向量；（2）分别求得二面角的两个半平面的法向量，根据向量夹角公式求得法向量的夹角；（3）根据图形或法向量的方向确定所求角为二面角的大小或二面角补角的大小. 19．澳大利亚Argyle 钻石矿石全球最重要的粉钻和红钻出产地，占全球供应的90%．该钻石矿曾发现一颗28.84ct 的宝石级钻石原石——[ArgyleOctavia ]，为该矿区27年来发现最大的钻石原石之一．如图，这颗钻石拥有完整的正八面体晶形，其命名[ArgyleOctavia ]特别强调钻石的正八面体特征——[Octavia ]在拉丁语中是[第八]的意思．如图设ξ为随机变量，从棱长为1的正八面体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，0ζ=；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，2ξ=．（1）求概率()0P ξ=；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望()E ξ． 【答案】（1）611；（2）分布列见解析，()911E ξ=. 【分析】（1）12条棱中任取两条共有212C 对，两条棱相交有246C 对，由古典概型概率计算公式即可求解；（2）由（1）有()0P ξ=，又两条棱平行有6对，可求出()1P ξ=，从而可用间接法求出()2P ξ=，进而可求分布列和数学期望.【详解】解：（1）若两条棱相交，则交点必为正八面体6个顶点中的1个， 又过任意顶点有4条棱，所以共有246C 对相交棱，所以()24212366066116P C C ξ====； （2）由题意，ξ的所有可能取值为0，1，2.若两条棱平行，则它们之间的距离为1，一共有6对，()21261166611P C ξ∴====，()()()61421011111111P P P ξξξ∴==-=-==--=， 所以ξ的分布列为：()4901211111111E ξ=⨯+⨯+⨯=. 20．已知椭圆()2212:104x y C b b+=>的短轴端点与抛物线()22:20C x py p =>的焦点重合，椭圆1C （1）求椭圆1C 及抛物线2C 的方程；（2）设P 是抛物线2C 准线上的一个动点，过P 作抛物线2C 的切线PA 、PB ，A 、B 为切点．①求证：直线AB 经过一个定点；②若直线AB 与椭圆1C 交于M 、N 两点，椭圆的下顶点为D ，求MDN △面积的最大值．【答案】（1）221:14x C y +=，22:4C x y =；（2）①证明见解析；②2. 【分析】（1）分析可知椭圆1C 的焦点在x 轴，利用椭圆1C 的离心率求出b 的值，可得出p 的值，由此可得出椭圆1C 及抛物线2C 的方程；（2）①设点(),1P t -、()11,A x y 、()22,B x y ，利用导数求出直线PA 、PB 的方程，将点P 的坐标代入两直线方程，结合等式的结构可得出直线AB 的方程，进而可得出直线AB 所过定点的坐标；②分析可知直线AB 过椭圆1C 的上顶点()0,1M ，可知当点N 为椭圆1C 的长轴的端点时，MDN △的面积最大，即可得解. 【详解】（1）抛物线2C 的焦点坐标为0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭，所以，椭圆1C 的短轴端点在y 轴上，所以，椭圆1C的离心率为e ==，可得1b =，且有12p b ==，得2p =，因此，椭圆1C 的标准方程为2214x y +=，抛物线2C 的标准方程为24x y =；（2）①设点(),1P t -、()11,A x y 、()22,B x y ，对函数24x y =求导得12x y '=，所以，直线PA 的方程为()1112x y y x x -=-，即112x xy y =-， 同理可知，直线PB 的方程为222x xy y =-， 由于点(),1P t -为直线PA 、PB 的公共点，则1122220220tx y tx y -+=⎧⎨-+=⎩，所以，点A 、B 的坐标满足方程220tx y -+=，由于两点确定一条直线，故直线AB 的方程为220tx y -+=，在直线AB 的方程中，令0x =，可得1y =，故直线AB 恒过定点()0,1； ②由①可知，直线AB 恒过椭圆1C 的上顶点()0,1，不妨设点()0,1M ，易知点()0,1D -，设点()00,N x y ，则02x ≤，则01122222DMN S DM x =⋅≤⨯⨯=△， 当且仅当02x =±时，等号成立，因此，MDN △面积的最大值为2. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 21．已知函数()()ln 1sin f x a x x =+-．（1）若()f x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，求a 的取值范围；（2）证明：当1a =时，()f x 在,2π⎛⎫+∞⎪⎝⎭上有且仅有一个零点．【答案】（1）(],0-∞；（2）证明见解析.【分析】（1）将问题转化为()0f x '≤在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，即()1cos a x x ≤+在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立；令()()1cos g x x x =+，利用导数可求得()min 02g x g π⎛⎫== ⎪⎝⎭，由此可得a 的范围；（2）当1x e >-时，由()ln 1ln sin x e x +>≥可知()0f x >，将问题转化为证明()f x 在,12e π⎛-⎤⎥⎝⎦上有且仅有一个零点，利用导数可说明()f x 在,12e π⎛-⎤⎥⎝⎦上单调递增，结合零点存在定理可说明()f x 在,12e π⎛-⎤⎥⎝⎦上有且仅有一个零点，由此得到结论. 【详解】（1）由题意得：()cos 1af x x x '=-+， 若()f x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则()0f x '≤在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，()1cos a x x ∴≤+在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，令()()1cos g x x x =+，则()()cos 1sin g x x x x '=-+， 当,42x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()()cos 11tan g x x x x '=-+⎡⎤⎣⎦， 当,42x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，cos 0x ≥，11x +>，tan 1x >，()0g x '∴<， 又01sin 102222g ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=-+=-+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0g x '<，()g x ∴在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，()1cos 0222g x g πππ⎛⎫⎛⎫∴≥=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()min 0a g x ∴≤=，即a 的取值范围为(],0-∞；（2）当1a =时，()()ln 1sin f x x x =+-，则()1cos 1f x x x '=-+， 当1x e >-时，()ln 1ln 1sin x e x +>=≥，()0f x ∴>在()1,e -+∞上恒成立，∴只需证()f x 在,12e π⎛-⎤⎥⎝⎦上有且仅有一个零点；1e π-<，∴当,12x e π⎛-⎤∈ ⎥⎝⎦时，cos 0x <，101x >+， ()0f x '∴>在,12e π⎛-⎤ ⎥⎝⎦上恒成立，()f x ∴在,12e π⎛-⎤⎥⎝⎦上单调递增，又ln 1sin ln 1102222f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()11sin 10f e e -=-->， ()f x ∴在,12e π⎛-⎤⎥⎝⎦上有且仅有一个零点，即()f x 在,2π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上有且仅有一个零点.【点睛】思路点睛：本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用函数在区间内的单调性求解参数范围、利用导数研究函数的零点个数；本题证明有且仅有一个零点的基本思路是通过导数求得函数的单调性，从而利用零点存在定理说明函数在区间内有且仅有一个零点.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为,,x y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()cos 0a a ρθ=>，直线l 与曲线C 有且仅有一个公共点：（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）设A ，B 是曲线C 上的两点，且6AOB π∠=，求22O A OB +的取值范围．【答案】（1）直线l的普通方程是30x -=，曲线 C 的直角坐标方程是22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭；（2）44⎡-+⎣． 【分析】（1）分别将直线l 的参数方程、曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）根据直线l 与曲线C 有且仅有一个公共点求得2a =，设()1,A ρθ，2,6B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，分别代入曲线 C 的极坐标方程，得到1ρ和2ρ，计算1222ρρ+的取值范围．【详解】（1）直线l的普通方程是30x -=，曲线 C 的直角坐标方程是22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭； （2）因为直线l 与曲线C 有且仅有一个公共点，所以圆心到直线的距离等于半径，则3222a a -= ，解得2a =， 如图，不妨设()1,A ρθ，2,6B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭则12cos ρθ=，22cos 6πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 所以12222222224cos 4 cos 6OA OA O OB B πρρθθ⎛⎫=+=+=++⎪⎝+ ⎭3322cos 2sin 2423cos 2226πθθθ⎛⎫⎛⎫=+-=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭所以π572,666ππθ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭ 所以当π206θ+=，即12πθ=-，22 O A OB +最大值是423+， 当π2π6θ+=，即1π5π2612πθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 22 O A OB +最小值是423-， 所以22 O A OB +的取值范围为423,423⎡⎤-+⎣⎦【点睛】思路点睛：解决极坐标方程与参数方程的综合问题时，可将方程化为直角坐标方程，然后利用平面解析几何的方法求解，在极坐标系中，设极点为O ，若已知两点的极坐标分别为()11,A ρθ，2,6B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则12222222 O A O O OB B A ρρ=++=+． 23．已知函数()96363x xf x x ++-=+．（1）求函数()f x 的值域．（2）已知函数()f x 的最小值等于m ，正实数a ，b ，c 满足a b c m ++=．证明：．【答案】（1）[)3,+∞；（2）证明见解析.【分析】（1）分别在(),3x ∈-∞-、23,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭、21,32x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭和1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭四种情况下，去掉绝对值符号得到()f x ，分别求得()f x 的范围，综合四种情况可得所求值域；（2）由（1）知3m =，配凑出()()()2229a b c +++++=，利用柯西不等式可证得结论.【详解】（1）由题意知：()f x 定义域为{}3x x ≠-；当(),3x ∈-∞-时，()96361534215333x x x f x x x x --+-+===---++， 30x +<，4203x ∴<+，()15f x ∴>； 当23,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()96361534215333x x x f x x x x --+---===-+++， 7033x <+<，42183x ∴>+，()3f x ∴>； 当21,32x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()963639333x x x f x x x ++-+===++； 当1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，()96631534215333x x x f x x x x ++-+===-+++， 732x +≥，420123x ∴<≤+，()315f x ∴≤<； 综上所述：()f x 的值域为[)3,+∞；（2）由（1）知：3m =，3a b c ∴++=，()()()2229a b c ∴+++++=， 由柯西不等式可得： ()2222222111⎡⎤++++≥⎢⎥⎣⎦，即227≤（当且仅当a b c ==时取等号），≤【点睛】关键点点睛：本题考查含绝对值的函数值域的求解、不等式的证明；证明不等式的关键是能够配凑出符合柯西不等式的形式，进而利用柯西不等式直接证明结论.。

曲靖一中高三年级第三次复习检测数 学 试 卷（理）考生注意：所有题目均在答题卡上做答，直接做在试卷上无效．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合{}a A ,2,0=，{}2,1a B =，若{}16,4,2,1,0=B A ，则a 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．42．设a 是实数且211ii a +++是实数，则a 等于（ ） A ．21 B ．1 C ．23D ．23．函数()1sin 3++=x x x f 的图象（ ）A ．关于点（1,0）对称B ．关于点（0,1）对称C ．关于点（－1,0）对称D ．关于点（0,－1）对称4．在等差数列{}n a 中，若80108642=++++a a a a a ，则8721a a -的值为（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．105．从4台甲型电脑和5台乙型电脑中任意以出3台，其中至少有甲型与乙型电脑各1台，不同取法有（ ）A ．140种B ．80种C ．70种D ．35种6．若352lim 222=--++→x x a x x x ，则a 的值是（ ） A ．2 B ．－2 C ．6 D ．－67．已知在一段时间内有200辆汽车经过某一雷达测速区，测得的车速制成的时速频率分布直方图如图所示，则时速超过60km/h 的汽车的数量及频率分别为（ ）A ．65辆，0.325B ．76辆，0.38C ．88辆，0.44D ．95辆，0.4758．设函数()()()()⎩⎨⎧≤>+-=-4241log 43x x x x f x 的反函数为()x f 1-，且a f =⎪⎭⎫⎝⎛1-81，则()7+a f 等于（ ）A ．－2B ．－1C ．1D ．29．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4221=S ，若1392112a a a n b --=，则数列{}n b （ ）A ．是等差数列但不是等比数列B ．是等比数列但不是等差数列C ．既是等差数列又是等比数列D ．既不是等差数列又不是等比数列10．已知函数()x f 满足：当4≥x 时，()xx f ⎪⎭⎫⎝⎛=21，当4<x 时，()x f ()1+=x f ，则()=+3log 22f （ ）A ．241 B ．121C ．81D ．8311．设{}n a 是任意等比数列，它的前n 项和，前n 2项和与前n 3项和分别为X 、Y 、Z ，则下列等式中恒成立的是（ ）A ．Y Z X 2=+B ．()()X Z Z X Y Y -=-C ．XZ Y =2D ．()()X Z X X Y Y -=-12．设函数()()2x x g x f +=，曲线()x g y =在点()()1,1g 处的切线方程为12+=x y ，则曲线()x f y =在点()()1,1f 处的切线斜率为（ ）A ．4B ．41-C ．2D ．21-第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．若()6a x +的展开式中2x 项的系数为60，则实数=a ．14．在4次独立重复试验中，事件A 出现的概率相同，若事件A 至少发生一次的概率为8165，则事件A 在1次试验中出现的概率为 ．15．已知函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧≤->-+--=11111142x a x x x x x x f 在1=x 处连续，则实数a 的值为 ．16．对于数列{}n a①若{}n a 的前n 项和n n S n -=22，则{}n a 是等比数列． ②若11=a ，22=a ，212+++=n n n a a a ，*N n ∈，令n n n a a b -=+1，则{}n b 是等比数列． ③{}n a 是等差数列，且前6项之和为正数，前7项之和为负数，则其前n 项和n S 的最大值为3S ．④若{}n a 满足3221=+a a ，且对任意*N n ∈，点()n a n P ,都有()2,11=+n n P P ，则{}n a 的前n 项和n S 为：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=43n n S n ．上述命题正确的是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题满分10分）已知{}02223>--+=x x x x A ，{}02≤++=b ax x x B ，{}02>+=x x B A ，{}31≤<=x x B A ，求实数a ，b 的值．18．（本题满分12分）()4log log 2x x x f -=()10<<x ，又知数列{}n a 的通项n a 满足()n f n a 22=，*N n ∈．（Ⅰ）试求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）判断此数列{}n a 的增减性．19．（本题满分12分）某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株，设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为32和21，且各株大树是否成活互不影响，求移栽的4株大树中成活的株数ξ的分布列与期望． 20．（本题满分12分）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两个墩相距m 米，余下工程只需建两墩之间的桥面和桥墩，经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为()x +2x 万元，假设桥墩等距离分布，所有桥墩视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元．（Ⅰ）试写出y 关于x 的函数关系式；（Ⅱ）当640=m 米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小． 21．（本题满分12分）在数列{}n a 中，611=a ，n n n a a 3121211⨯+=-（*N n ∈，且2≥n ）．（Ⅰ）证明：⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n a 31是等比数列；（Ⅱ）救数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，求证：21<n S ． 22．（本题满分12分）设函数()xe xf x=．（Ⅰ）求函数()x f 的单调区间；（Ⅱ）若0>k ，求不等式()()()01>-+'x f x k x f 的解集．曲靖一中高三年级第三次复习检测数学试卷参考答案（理）一、1．D ；2．B ；3．B ；4．C ；5．C ；6．D ；7．B ；8．A ；9．C ；10．A ；11．D ；12．A ． 二、 13．2；14．31；15．1；16．②③． 三、17．解：设[]21,x x B =，由()()()()()01121222223>-++=-+=--+x x x x x x x x 知：{}112>-<<-=x x x A 或 ∵{}2->=x x B A ，{}31≤<=x x B A ∴11-=x ，32=x ，∴－1,3是方程：02=++b ax x 的两根．由韦达定理知：⎩⎨⎧-=+-=-331b a ，故2-=a ，3-=b ．18．解：（Ⅰ）∵()xx x f 22log 2log -=，且()n f n a 22=， ∴n n na a 22log 22log 22=-，即n a a nn 22=-．∴0222=--n nna a 得22+±=n n a n ， ∵10<<x ，∴120<<na ，∴0<n a故22+-=n n a n（Ⅱ）∵()()()()12112221122221<++++++=+-++-+=+n n n n n n n n a a n n 即：11<+n n a a ． 而0<n a ，∴n n a a >+1，∴数列{}n a 是单调递增数列．19．解：（Ⅰ）设k A 表示甲种大树成活k 株，2,1,0=k ，l B 表示乙种大树成活l 株，2,1,0=l法一：ξ的可能值为：0，1，2，3，4，且()()()()361419100000=⨯=⋅=⋅==B P A P B A P P ξ ()1=ξP ()()61419421910110=⨯+⨯=⋅=⋅=B A P B A P()()()()36134194219441912021120=⨯+⨯+⨯=⋅+⋅+⋅==B A P B A P B A P P ξ ()()()312194419431221=⨯+⨯=⋅+⋅==B A P B A P P ξ()()914194422=⨯=⋅==B A P P ξ∴ξ的分布列为379143133613236113610=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE （株） 法二：分布列求法同前 令1ξ、2ξ分别表示甲、乙两种树成活的株数．则：⎪⎭⎫ ⎝⎛32,2~1B ξ，⎪⎭⎫⎝⎛21,2~2B ξ故343221=⨯=ξE ，12122=⨯=ξ，从而3713421=+=+=ξξξE E E （株） 20．解：（Ⅰ）设需新建n 个桥墩，则：()m x n =+1，即1-=xmn ．从而：()()()()25622562125621256-++=++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++=m x m x m x x x mx m x x n n x f （Ⅱ）由（Ⅰ）知：()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+-='-512221256232212x xmmx m x x f 令()0='x f 得：51223=x ，所以64=x∵()x f 在()64,0上单调递减，在（64, 640）上单调递增∴()x f 在64=x 处取得最小值，此时91646401=-=-=x m n 故需建9个桥墩才能使y 最小．21．解：（Ⅰ）证明：由已知得：21313131212131311111=++⨯+=++++++nn n n n nn n n a a a a∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n a 31是等比数列．（Ⅱ）设n n n a A 31+=则2131613111=+=+=a A 且21=q∴n n n A 2121211=⋅=-，∴n n n a 2131=+，故n n n a 3121-=．（Ⅲ）证明：⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n S 3121 (312131212211)216223221312121213121212113113113121121121<⨯-⨯-=⋅+-=⋅+--=-⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n n n n n n n 21622322131212121312121211<⨯-⨯-=⋅+-=⋅+--=n n n n n n n21622322*********<⨯-⨯-=⋅+-=n n n n n 216223221<⨯-⨯-=nn n ． 22．解：（Ⅰ）()xx x e xx x e x e x f 221-=+-='，由()0='x f 得1=x ∵当0<x 时，()0<'x f ，当10<<x 时，()0<'x f ，当1>x 时，()0>'x f ∴()x f 的单调递增区间是[)+∞,1，单调递减区间是()(]1,0,0,∞-．（Ⅱ）由()()()xe xkx kx x x f x k x f 2211-+-=-+' ()()0112>+--=x e x kx x ．得：()()011<--kx x ，故当10<<k 时，解集是：⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<k x x 11，当1>k 时，解集是：⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<11x k x ．。

云南省曲靖市第一中学2019届高三高考复习质量监测三数学（理科）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．已知集合{}210,2x A x B N x -=<=-，则A B ＝ A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1D ．{}1,0-2．设复数z 满是()123z i i -=+（其中i 为虚数单位），则iz 在复平面上对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知命题p ：若x ∈N ，则x ∈Z ，命题q ：x R ∃∈，21()03x -=，则下列命题为真命题的是( ) A ．()()p q ⌝∨⌝B ．()()p q ⌝∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．p q ∧4．函数()33f x log x x 9=+-的零点所在区间是( )A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,45．为了得到2sin(3)14y x π=++的图象，只需把函数2sin(3)1y x =+的图象上所有的点 A ．向左平移4π个单位长度 B ．向右平移4π个单位长度 C ．向左平移12π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度6．命题“对[1,2]x ∀∈，20ax x a -+>”为真命题的一个充分不必要条件可以是（ ） A ．12a ≥B ．12a >C ．1a ≥D ．25a ≥7．已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可以是A ．()211f x x =-B ．()xe f x x=C ．()ln x f x x=D ．()1f x x x=-8．曲线ln 2(0)y a x a =->在1x =处的切线与两坐标轴成的三角形的面积为4，则a 的值为( ) AB ．2C ．4D ．89．已知sin 3cos 22cos sin αααα+=-，则2sin sin cos 1ααα++等于A ．115 B ．25C ．85D ．7510．知奇函数()f x 满足()()2f x f x =-，若当()1,1x ∈-时，())2log f x x =，且()20181f a -=，则实数a 的值可以是A ．34 B ．34-C ．54-D ．4511．已知函数()sin cos f x x x =⋅，则下列说法正确的是 A ．()f x 的图象关于直线4x π=对称B ．()f x 的周期为πC ．(2,0)π是()f x 的一个对称中心D ．()f x 在区间3[,]44ππ上单调递减12．已知函数()()(),xf x ex m m R =-∈，若对()2,3x ∀∈，使得()()0f x xf x '+>，则实数m 的取值范围为（ ） A ．15,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．15,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．8,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题13．若函数()()()21142xf x a x log =++++为偶函数，则a ＝_______.14．若1sin()64πα+=，则cos(2)3πα+＝__________. 15．已知函数()f x 对12,x x R ∀∈，且12x x ≠，满足2112()()0f x f x x x -<-，并且()f x 的图象经过A (3,7)，B (1,1)-，则不等式()43f x -<的解集是_________.16．已知定义在R 上的函数()f x 满足：223,[0,1)()3,[1,0)x x f x x x ⎧+∈=⎨-∈-⎩，且(2)()f x f x +=，37()2x g x x +=+，则方程()()f x g x =在区间[5,1]-上的所有实根之和为______．三、解答题17．已知函数1010()1010x xx xm f x --+⋅=+为奇函数 （1）求m 的值（2）求使不等式(1)(12)0f a f a -+->成立的a 的取值范围 18．已知11sin(),cos()453πβαβ-=+=-，其中0,022ππαβ<<<<（1）求sin 2β的值 （2）求cos()4πα+的值19．已知函数2()sin cos f x x x x =-+（1）求函数()f x 的最小值以及取得最小值时x 的取值集合（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，且()0,6,2A f a b c ==+=△ABC 的面积20．已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：在定义域内存在0x 使得()()()0011f x f x f +=+成立．（1）函数()21f x x=+是否属于集合M ？请说明理由； （2）函数()2ln 1af x x =∈+M ，求a 的取值范围； （3）设函数()23xf x x =+，证明：函数()f x ∈M ．21．已知函数()1ln 1xf x x+=+ （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若()()g x xf x mx =+在区间（0，e ］上的最大值为－3，求m 的值； （3）若x ≥1时，不等式()11kf x x ≥++恒成立，求实数k 的取值范围． 22．在平面直角坐标系x O y 中，曲线C 的参数方程为42(4x cos y sin ααα=+⎧⎨=⎩为参数），在以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()6R πθρ=∈．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，P 为曲C 上的一动点，求△P AB 面积的最大值.23．设函数()2f x x a x =-+，其中a ＞0（1）当3a =时，求不等式()24f x x ≥+的解集； （2）若不等式()0f x ≤的解集为{}2x x ≤-，求a 的值。

云南省第二次高中毕业生复习统一检测数 学 试 题〔理〕本试卷分第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两局部.考试结束后，将本试卷第答题卡一并交回.总分值150分，考试用时120分钟.第一卷〔选择题，共60分〕本卷须知：1．答题前，考生务心用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2．每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.答在试卷上的答案无效.参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 P (A +B )=P (A )+P (B ) 如果事件A 、B 相互独立，那么 P (A ·B )=P (A )·P (B ) 球的外表积公式 24R S π= 其中R 表示球的半径球的体积公式 334R V π=球 其中R 表示球的半径如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n k k n n P P C k P --=)1()( 〔 k=0，1，2，…，n 〕本卷共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的. 一、选择题1．数列}{n a 是等差数列，如果==+231,12a a a 那么〔 〕A ．4B ．6C ．8D ．102．随机变量ξ满足条件那么n 与p 的值分别为〔 〕A ．16与54 B ．20与52 C ．15与54 D ．12与53 3．实数r 是常数，如果),(00y x M 是圆222r y x =+内异于圆心的一点，那么直线200r y y x x =+与圆222r y x =+的位置关系是〔 〕A ．相交但不经过圆心B ．相交且经过圆心C ．相切D ．相离4．i 是虚数单位，复数=-ii 2)1(〔 〕A ．-2B ．2C ．-2iD ．2i5．设21,e e 是相互垂直的单位向量，并且向量21213,23e e x b e e a +=+=，如果b a ⊥，那么实数x 等于〔 〕A ．29-B ．29 C ．-2 D ．26．二面角βα--l 的大小为︒60，b 和c 是两条异面直线.在以下给出的四个结论中，是“b和c 所成的角为︒60〞成立的充分条件是〔 〕A ．βα//,//c bB ．βα⊥c b ,//C ．βα⊥⊥c b ,D ．βα//,c b ⊥7．⎩⎨⎧>+-≤+=0,1)1(0,23)(x x f x x x f ，那么)34(f 的值为〔 〕A ．2B ．4C ．6D ．88．如果A 是抛物线y x 42=的顶点，过点D 〔0，4〕的直线l 交抛物线y x 42=于B 、C 两点，那么AC AB ⋅等于〔 〕A ．43B ．0C ．-3D ．43-9．)(x f 的反函数),(1x f -如果)3(log )(31+=-x x f ，那么关于x 的方程0)12(=+x f 的实数根〔 〕A ．29-B ．211-C ．-9D ．-1110．为了得到)62sin(π-=x y 的图象，只需要将)2sin(x y =的图象〔 〕A ．向左平行移动6π个单位 B ．向右平行移动6π个单位C ．向左平行移动12π个单位D ．向右平行移动12π个单位11．在ABC ∆所在的平面内有一点P ，如果AB PC PB PA =++，那么PBC ∆和面积与ABC ∆的面积之比是〔 〕A ．43B ．32C ．21D ．31 12．现将5名学生分成两个小组，其中甲、乙两人必须在同一个小组里，那么不同的分配方法有〔 〕 A ．7种 B ．6种 C ．5种 D ．4种第二卷〔非选择题，共90分〕本卷须知：本卷共10小题，用黑色碳素笔将答案答在答题卡上.答在试卷上的答案无效. 二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分 .把答案填在答题卡上. 13．中心在原点，准线方程为4±=x ，离心率等于21的椭圆方程是 . 14．6)1(xax +的展开式中常数项为-160，那么常数a= . 15．把一个半径为r 的实心铁球O 熔化铸成两个实心小球O 1与O 2，假设没有任何损耗.设铁球O 的外表积为S ，小球O 1的半径为r 1，外表积为S 1，小球O 2的半径为r 2，两个小球的半径之比2:1:21=r r ，那么球O 1的外表积与球O 的外表积之比S S :1= .16．实数a 、b 是常数，n 是正整数，如果,33lim 233b x x ax x x =-+--→那么n n n n n ba b a -+-+∞→11lim = .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．〔本小题总分值10分〕 ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的三边分别是a 、b 、c ，平面向量))sin(,1(A B m -=，平面向量).1),2sin((sin A C n -= 〔I 〕如果,3,3,2=∆==S ABC C c 的面积且π求a 的值；〔II 〕假设,n m ⊥请判断ABC ∆的形状.18．〔本小题总分值12分〕某单位组织职工参加了旨在调查职工健康状况的测试.该测试包括心理健康测试和身体健康两个工程，每个工程的测试结果为A、B、C、D、E五个等级.假设该单位50位职工全部参加了测试，测试结果如下：x表示心理健康测试结果，y表示身体健康测试结果.y人数身体健康A B C D E心理健康A 1 3 1 0 1B 1 0 7 5 1C 2 1 0 9 3D 1 b 6 0 aE 0 0 1 1 3〔I〕求a+b的值；〔II〕如果在该单位随机找一位职工谈话，求找到的职工在这次测试中心理健康为D等且身体健康为C等的概率；〔III〕假设“职工的心理健康为D等〞与“职工的身体健康为B等〞是相互独立事件，求a、b的值.19．〔本小题总分值12分〕如图，在底面是正方形的四棱锥P—ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，PC=PD=CD=2.〔I〕求证：PD⊥BC；〔II〕求二面角B—PD—C的大小.20．〔本小题总分值12分〕实轴长为2a ，虚轴长为2b 的双曲线S 的焦点在x 轴上，直线x y 3-=是双曲线S的一条渐近线，而且原点O ，点A 〔a ，0〕和点B 〔0，-b 〕使等式222||34||||OA OB OA =+·2||OB 成立. 〔I 〕求双曲线S 的方程；〔II 〕假设双曲线S 上存在两个点关于直线4:+=kx y l 对称，求实数k 的取值范围. 21．〔本小题总分值12分〕 函数).21ln()(2x x x f ++-= 〔I 〕求)(x f 的最大值； 〔II 〕设).1)((11ln :,0++->++>>b a b a b a a b 证明22．〔本小题总分值12分〕 函数7232)(-+-=x x x f ，假设存在实数,)(,000x x f x =使那么称0x 是函数)(x f y =的一个不动点.〔I 〕证明：函数)(x f y =有两个不动点；〔II 〕a 、b 是)(x f y =的两个不动点，且b a >.当2721≠-≠x x 且时，比较bx a x b x f a x f ----)(8)()(与的大小； 〔III 〕在数列}{n a 中，1,27211=≠-≠a a a n n 且，等式)(1n n a f a =+对任何正整数n 都成立，求数列}{n a 的通项公式.参考答案一、选择题：本大题共12小题，每题5分，总分值60分. 1—6 BCDACC 7—12 ABDDBA二、填空题：本大题共4小题，每题5分，总分值20分. 17．〔本小题总分值10分〕解：〔I 〕由余弦定理及条件得,422=-+ab b a.4.3sin 21,3=∴=∴∆ab C ab ABC 的面积等于 联立方程组得.2,2,4,422==⎩⎨⎧==-+b a ab ab b a 解得.2=∴a…………5分〔II 〕.0)sin(2sin sin ,=--∴⊥A B A C n m化简得.0)sin (sin cos =-A B A…………7分.0sin sin 0=-=∴A B csoA 或当,2,0cos π==A A 时此时ABC ∆是直角三角形；当A B A B sin sin ,0sin sin ==-即时， 由正弦定理得,a b =此时ABC ∆为等腰三角形.ABC ∆∴是直角三角形或等腰三角形. …………10分 18．〔本小题总分值12分〕解：〔I 〕∵该单位50位职工全部参另了测试， ∴表中标出的总人数也应是50人， .34750=-=+∴b a …………4分〔II 〕从表中可以看出，职工在这次测试中心理健康为D 等且身体健康为C 等的人数为6人， ∴所求概率为.12.0506= …………8分〔III 〕∵“职工的心理健康为D 等〞与“职工的身体健康为B 等〞是相互独立事件， ).()()(B y P D x P B y D x P =⋅====∴且…………10分即.50450750+⨯++=b b a b 又,3=+b a.1,504501050=+⨯=∴b b b 解得 .2=∴a .1,2==∴b a…………12分19．〔本小题总分值12分〕方法一：〔I 〕证明：∵平面PCD ⊥平面ABCD ，又∵平面PCD ∩平面ABCD=CD ， BC 在平面ABCD 内 ，BC ⊥CD ， ∴BC ⊥平面PCD. ∴PD ⊥BC. …………6分 〔II 〕解：取PD 的中点E ，连接CE 、BE ，PDC ∆ 为正三角形， .DP CE ⊥∴由〔I 〕知BC ⊥平面PCD ，∴CE 是BE 在平面PCD 内的射影， ∴BE ⊥PD.∴∠CEB 为二面角B —PD —C 的平面角. …………9分在,3,2,90,==︒=∠∆CE BC BCE ABC 中,332tan ==∠CE BC CEB ∴二面角B —PD —C 的大小为.332arctan…………12分方法二：〔I 〕证明：取CD 的中点为O ，连接PO ， ∵PD=PC ，∴PO ⊥CD ， ∵平面PCD ⊥平面ABCD ， 平面PCD ∩平面ABCD=CD ， ∴PO ⊥平面ABCD ，如图，在平面ABCD 内，过O 作OM ⊥CD 交AB 于M ， 以O 为原点，OM 、OC 、OP 分别为x 、y 、z 轴， 建立空间直角坐标系O —xyz ，由B 〔2，1，0〕，C 〔0，1，0〕，D 〔0，-1，0〕，)3,0,0(P …………4分.,0).0,0,2(),3,1,0(BC PD BC PD BC PD ⊥∴=⋅-=--=∴;BC PD ⊥∴…………6分〔II 〕解：取PD 的中点E ，连接CE 、BE ，那么),23,21,0(-E PCD ∆ 为正三角形，..22||||),3,1,2(),0,2,2(.PD BE BP BD BP BD PD CE ⊥∴==∴--=-=⊥∴CEB ∠∴为二面角B —PD —C 的平面角. …………9分.721||||cos ),23,23,0(),23,23,2(==∠∴-=-=EC EB ECEB BEC EC EB∴二面角B —PD —C 的大小为.721arccos …………12分20．〔本小题总分值12分〕解：〔I 〕根据题意设双曲线S 的方程为,12222=-by a x…………2分且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=2222343b a b a a b解方程组得.3,1==b a∴所求双曲线的方程为.1322=-y x …………6分〔II 〕当k=0时，双曲线S 上显然不存在两个点关于直线4:+=kx y l 对称；…………7分当0≠k 时，设又曲线S 上的两点M 、N 关于直线l 对称，由,MN l ⊥直线MN 的方程为,1m x ky +-= 那么M 、N 两点的坐标满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=.33,122y x m x k y 消去y 得.0)3(2)13(2222=+-+-k m kmx x k 显然,0132≠-k.0])3()[13(4)2(2222>+---=∆∴k m k km即.013222>-k m k 设线段MN 中点为),,(00y x D那么⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=.133,1322020k m k y k km x ),(00y x D 在直线,4:上+=kx y l.4131332222+--=-∴k m k k m k …………10分即.1322-=k m k.0131322222⎪⎩⎪⎨⎧>-+-=∴k m k k m k.10,0222-<>>+∴m m mk m k 或解得.1130132222-<->-∴k k k k 或 .413122<>∴k k 或即.0,21||33||≠<>k k k 且或 k ∴的取值范围是),33()21,0()0,21()33,(+∞---∞ …………12分21．〔本小题总分值12分〕〔I 〕解：),21ln()(2x x x f ++-=.021>+∴x,21->∴x 即函数)(x f 的定义域为}.21,|{->∈x R x x 又xx x f 2122)('++-= ,212242xx x ++--= …………2分 由.0224210)('2>+--->>x x x x f 得 又.2121,21<<-∴->x x )(,2121x f x 函数时当<<-∴是增函数. …………4分 由.0224210)('2<+---><x x x x f 得且 又.21,21>∴->x x )(,21x f x 函数时当>∴是减函数. …………6分 )(,21x f x 函数时当=∴取得最大值. .2ln 41)21(+-=f )(x f ∴的最大值等于.2ln 41+- …………7分〔II 〕证明：,0>>a b .212121>+>+∴a b 根据〔I 〕知：当)(,21x f x 函数时>是减函数. ).21()21(+<+∴a f b f …………9分 )].21(21ln[)21()]21(21ln[)21(22++++-<++++-∴a a b b 化简得).1)((11ln ++->++b a b a b a ).1)((11ln ++->++∴b a b a b a …………12分 22．〔本小题总分值12分〕〔I 〕证明：.0352,72322=--∴=-+-x x x x x.3,2121=-=∴x x 经过检验，x x x x x =-+-=-=72323,2121是方程的解.)(x f y =∴函数有两上不动点，它们是.3,2121=-=x x…………3分 〔II 〕解：由〔I 〕可知,21,3-==b a.21382124821723237232+-⋅=--+-=+-+---+-x x x x x x x x b x a x b x f ax f ----∴)(8)()(与相等.…………6分 〔III 〕解：,2721≠-≠n n a a 且由〔II 〕知,21)3(821)(3)(+-=+-n n n n a a a f a f.)21()3(821311+-=+-∴++n n n n a a a a…………8分 213}213{11+-+-∴a a a a n n 是以数列为首项，8为公比的等比数列. 即以34-为首项，8为公比的等比数列. …………10分 .8342131-⋅-=+-∴n n n a a.84382983418342131111----⋅+⋅-=⋅+⋅⋅-=∴n n n n n a …………12分。

云南省2021届高三二模数学（理）试题一、单选题1．满足{}{}0,10,1,2T =的集合T 的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．已知i 是虚数单位，(2)325i z i i +-+=+，则复数z 的共轭复数等于（ ） A ．32i +B ．32i -C ．32i -+D ．32i --3．在82x x ⎛+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，x 的系数是（ ）A ．3B ．5C ．7D ．94．tan 87tan 273tan 27tan 87︒-︒-︒︒=（ ） A ．2B ．3C ．2-D ．5-5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）A ．45B ．34C ．23D ．126．执行如图的程序框图，则输出的结果是（ ）A ．5360B ．4760C ．1621D ．37607．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的中心是坐标原点O ，F 是椭圆E 的焦点.若椭圆E上存在点P ，使OFP △是等边三角形，则椭圆E 的离心率为（ ） A ．12B ．423-C 31D ．328．已知数列{}n a 、{}n b 都是等差数列，设{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 的前n 项和为n T .若2132n n S n T n +=+，则55a b =（ ） A ．1929B ．1125C ．1117D ．239．已知边长为3的正ABC 的顶点和点D 都在球O 的球面上.若6AD =，且AD ⊥平面ABC ，则球O 的表面积为（ ）A ．323πB ．48πC ．24πD ．12π10．从1，2，3，4，5这组数据中，随机取出三个不同的数，用X 表示取出的数字的最小数，则随机变量X 的数学期望()E X =（ ）A ．32B ．53C ．74D ．9511．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，1n n S a +=.若255256m S =，则m =（ ） A ．2B ．4C ．6D ．812．已知函数()3sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><，(4)(2)6f f =-，且()f x 在[2,4]上单调.设函数()()1g x f x =-，且()g x 的定义域为[5,8]-，则()g x 的所有零点之和等于（ ） A ．0 B ．4C ．12D ．16二、填空题13．已知a ，b 都是平面向量.若(1,1)a =-，(3,2)a b -=-，则a b ⋅=________.14．圆2210x y +-+=的圆心到双曲线221916x y -=的渐近线的距离为________.15．若x ，y 满足约束条件323010x y x y x -≥-⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩，则21z x y =+-的最大值为________.16．已知函数231,1()1,1x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，若n m >，且()()f n f m =，设t n m =-，则t 的取值范围为________.三、解答题17．ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，cos cos 2cos 0a C c A b B ++=. （1）求B ；（2）若6b =，求ABC 面积S 的最大值.18．某公司为一所山区小学安装了价值2万元的一台饮用水净化设备，每年都要为这台设备支出保养维修费用，我们称之为设备年度保养维修费.下表是该公司第x 年为这台设备支出的年度保养维修费y （单位：千元）的部分数据：画出散点图如下：通过计算得y 与x 的相关系数0.96r ≈.由散点图和相关系数r 的值可知，y 与x 的线性相关程度很高.（1）建立y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （2）若设备年度保养维修费不超过1.93万元就称该设备当年状态正常，根据（1）得到的线性回归方程，估计这台设备有多少年状态正常？附：()()()121ˆniii ni i x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-. 19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11B BCC 是菱形，160B BC ∠=︒，AB BC ⊥，1AB BB ⊥，D 为棱BC 的中点.（1）求证：平面1AB D ⊥平面ABC ；（2）若AB BC =，求二面角1D AB C --的正弦值.20．已知e 是自然对数的底数，()1x f x xe =-，()()(ln )F x f x a x x =-+. （1）当0a ≤时，求证：()F x 在(0,)+∞上单调递增；（2）是否存在实数a ，对任何(0,)x ∈+∞，都有()0F x ≥？若存在，求出a 的所有值；若不存在，请说明理由.21．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在y 轴的正半轴上，直线3:02l mx y +-=经过抛物线C 的焦点.（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，过A 、B 两点分别作抛物线C 的切线，两条切线相交于点P ，求ABP △面积的最小值.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2x T T y m ⎧=-⎪⎨=⎪⎩（T 为参数）.以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为4π⎫⎪⎭，直线1l 的极坐标方程为cos 2sin 30ρθρθ-+=，直线2l 过点P 且与直线1l 平行. （1）直接写出曲线C 的普通方程和直线2l 的参数方程；（2）设直线2l 与曲线C 交于A 、B 两点.若AB 是PA 与PB 的等比中项，求实数m 的值. 23．已知函数()21f x x =+.（1）若()()115f x f x ++-≤，求实数x 的取值范围；（2）若(),a ∈-∞+∞，且0a ≠，求证：(),x ∀∈-∞+∞，()14f x a f x a ⎛⎫++-≥ ⎪⎝⎭。

云南省曲靖市第一中学2018届高三上学期高考复习质量监测卷（四）数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}1,1A =-，{}20B x ax =-=，且B A ⊆，则a ∈（ ）A ．{}2-B ．{2}C ．{2,2}-D ．{2,0,2}-2．在复平面内，复数z 满足5(1)1z i +=，则z 的共轭复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．下列命题为假命题的是（ ）A ．x R ∃∈，使得sin 2x x +=B ．“22a b >”是“ln ln a b >”的必要不充分条件C ．若向量()1,1a =，0b =，则//a bD ．函数sin y x =，2,63x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的值域为1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭4．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，有下列四个命题： ①若m α⊂，αβ⊥，则m β⊥； ②若//αβ，m β⊂，则//m α；③若m α⊥，//m n ，//αβ，则n β⊥； ④若//m α，//n β，//m n ，则//αβ 其中正确命题的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．③④ 5．在等比数列{}n a 中，37,a a 是函数321()4913f x x x x =++-的极值点，则5a =（ ）A ．4-B ．3-C ．3D ．46．已知函数331x y a +=+（0a >且1a ≠）图象恒过的定点A 在角α的终边上，则tan2α=（ ）A ．247-B ．724-C ．247D ．7247．在ABC ∆中，若3122AD AB AC =-，且BD DC λ=，则λ=（ ）A ．12-B ．12C ．13- D ．138．一个四棱锥的三视图如图所示，关于这个四棱锥，下列说法正确的是（ ）ABC ．侧面四个三角形都是直角三角形D ．侧面三角形中有且仅有一个等腰三角形9．已知单位向量1e 与2e 的夹角为3π，则向量122e e +在向量12e e -方向上的投影为（ ）A ．12-B ．12C ．714-D ．1410．已知定义在非零实数集上的函数()f x 满足：()()0xf x f x -<'，且(sin 4)sin 4f a =，(ln 2)ln 2f b =，0.20.2(2)2f c =，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．b a c >> 11．设1m ，1n >，若4mn e =，则ln m t n =的最大值为（ ）A ．eB ．2eC ．3eD ．4e12．已知函数()sin f x x x =，[1,1]x ∈-，则不等式(1)()f x f x +>的解集为（ ） A ．1(,)2-+∞B ．1(,0]2-C ．1(,)2-∞D ．1[0,)2二、填空题13．若函数20lg 1,0()3,0a x x f x x t dt x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰，且((10))8f f =，则a 的值为__________． 14．则其外接球的表面积为__________． 15．将全体正整数排成如图的一个三角形数阵，按照此排列规律，第13行从左向右的第7个数为__________．16．点(,)P x y 的坐标满足约束条件20400x y x y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，若(1,1)m =，(1,1)n =-，且OP m n λμ=+（O 为坐标原点），则2λμλ+的最大值为__________．三、解答题17．已知等差数列{}n a 满足：1n n a a +>（*n N ∈），12a =，该数列的前三项分别加上0,0,2后成等比数列，且22log n n a b =.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若1n n n c a b =+-，求数列{}n c 的前n 项和n T .18．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，面积为S ，已知222sin 2sin 322A B B C a c b +++=. （1）求证：,,a b c 成等差数列；（2）若3B π=，4b =，求S .19．如图，正方形ABED ，直角梯形EFGD ，直角梯形ADGC 所在平面两两垂直，////AC DG EF ，且2AD DE DG ===，1AC EF ==.（1）求证：,,,B C G F 四点共面；（2）求二面角E BC F --的余弦值.20．定义行列式运算：13x x 24x x 1423x x x x =-，若函数sin()()0x f x ωϕ+= cos 1x ω（0>ω，2πϕ<）的最小正周期是π，将其图象向右平移3π个单位后得到的图象关于原点对称.（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）数列{}n a 的前n 项和2n S An =，且5()12A f π=，求证：数列12n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和1n T <.21．已知函数22()22ln 2f x x ax a x a =--+，2()ln (1)g x x g '=+，其中0x >，a R ∈.（1）当0a =时，求()y f x =在点(1,(1))f 处切线l 的方程；（2）若函数()f x 在区间(1,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（3）记()()()F x f x g x =+，求证：1()2F x ≥. 22．选修4-4：坐标系与参数方程直角坐标系xOy 的原点O 和极坐标系的极点重合，x 轴正半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数） （1）在极坐标系下，曲线C 与射线4πθ=和射线4πθ=-分别交于,A B 两点，求AOB∆的面积；（2）在直角坐标系下，直线l的参数方程为12x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C相交于,A B 两点，求AB 的值.23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()26f x x x =+-的最小值为a .（1）求a 的值；（2）求函数y =的最大值.参考答案1．D【解析】因为B A ⊆，所以{}{},1,1B =∅-，当0a =时，B =∅，符合题意，当{}1B =时，2a =，当{}1B =-时，2a =-，故选D.2．A【解析】∵()511z i +=-∴ 2111z i i i====-++ ∴1z i =+，故在第一象限，选A.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数，共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化，转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分．3．D【解析】对于A，sin 2sin 3x x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，当sin 13x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，x R ∃∈，使得sin 2x x =，正确；对于B ，22ln ln a b a b a b >⇔>⇐>，但a b >推不出ln ln a b >（真数大于零），故正确；对于C ，零向量与任意向量平行，正确；对于D ，显然函数的最大值为1，故值域不正确，错误，选D.4．C【详解】①两个面垂直，推不出面中任意直线和另一个面垂直，错误；故排除A 、B 选项，对于②，两个平行平面，其中一个平面内的任意直线都和另一个平面平行，故正确，所以选C. 5．B【解析】∵()3214913f x x x x =++-， ∴由()2890f x x x =++='可知379a a ⋅=，378a a +=-∵ 等比数列中2537a a a =⋅且30a <∴53a =-，故选B.6．C【解析】∵ 331x y a +=+恒过点()3,4-∴ 44tan 33α==-- ∴ 22tan 24tan 21tan 7ααα==-，故选C. 7．C【解析】 ∵ ()11AD AB BD AB BC AB AC AB λλλλ=+=+=+-++ ∴112λλ=-+ 解得：13λ=-，故选C. 8．B【解析】还原四棱锥，如图所示，由主视图可知，PA ⊥底面ABCD AB AD AD DC ⊥⊥，，，212PA AB BC CD AD =====，，，计算可知B 正确，故选B ．点睛: 思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.9．A【分析】直接利用向量的数量积，向量的模和向量的夹角运算求出结果.【详解】解：∵单位向量1e 与2e 的夹角为3π， ∴121cos 32e e π⋅==，∴()212121e e e e -=-=，∴向量122e e +在向量12e e -方向上的投影为：()()()()221212121221211221222e e e e e e e e e e e e e e +⋅=---+⋅=+⋅-=-， 故选: A .【点睛】本题考查的知识要点：向量的数量积和向量的模及向量的夹角运算的应用.10．A【解析】令()()f x g x x =，则2()()()0xf x f x g x x -='<'，所以函数是定义域上的减函数， ∵ 0.2sin 40ln 212<<<<∴0.2(sin 4)(ln 2)(2)g g g >>，即a b c >>，故选A.11．D【解析】两边取对数，得：ln ln ln t m =⋅ ∴ 2422ln ln (ln )(ln )ln ln ln ()4244m n mn e t m +=⋅≤===， 当且仅当2m n e ==时，取等号，∴ 4t e ≤，故选D.12．B【解析】∵ ()sin()()f x x x f x -=--=∴ ()sin f x x x =是偶函数∵()sin sin cos f x x x x x x =+'=，∴ 当10x ≥>时，()0f x '>，故()f x 在(0,1]上是增函数，又()f x 是偶函数，故在[1,0-）上是减函数，由()()1f x f x +>知|x+1|>||x ，解得12x >-，又由111-11x x -≤+≤⎧⎨≤≤⎩得10x -≤≤，所以102x -<≤，故选B. 13．2【解析】∵()()2330010(lg101)(0)3|8a a f f f f t dt t a =-=====⎰∴ 2a =，故填2.14．4π【详解】设正三棱锥的外接球半径为R ，，高为1 所以2221(1)R R =+-，解得1R =，∴ 外接球的表面积4S π=，故填4π.15．85【解析】由排列的规律可得，第1n -行结束的时候排了11231(1)2n n n ++++-=-个数.所以第13行从左向右的第7个数是113(131)7852⨯⨯-+=，故填85. 16．5【解析】∵(11)(11)m n ==-，，，，由()()OP m n x y ，，λμλμλμ=+⇒=+-，∴将x λμ=+，y λ=μ-，代入20400x y x y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，，，得10400λλμλμ-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩，，，画出其对应的可行域，则可用斜率的几何意义求得μλ的最大值为3，∴22λμμλλ+=+的最大值为5． 17．（1）2n a n =，2nn b =；（2）2122n n ++-.【解析】试题分析：（1）设其公差为d ，前三项分别加上002，，后成等比数列，利用等比中项可求出d ，写出{}n a 通项公式，再根据22log n n a b =.写出{}n b 的通项公式；（2）221nn c n =+-，利用分组求和，即可解决.试题解析：（1）设d 为等差数列{}n a 的公差，由题意0d >，由12a =，22a d =+，322a d =+，分别加上002，，后成等比数列， ∴()()22242d d +=+，∵0d >，∴2d =， ∴()2122n a n n =+-⨯=，又22log n n a b =，∴2log n b n =，即2nn b =． （2）由（1）得221nn c n =+-，∴()()()()123221421621221nn T n =+-++-++-+⋯++-()()2324622222n n n =+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+-()()21222212n n n n -+=+--2122n n +=+-．18．（1）证明见解析；（2）【解析】试题分析：（1）利用二倍角的余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式变形，整理后再利用正弦定理化简，利用等差数列的性质判断即可得证；（2）利用余弦定理求出ac ，再根据三角形面积公式即可求解. 试题解析：（1）证明：由题意：22ππ2sin 2sin 322C Aa cb --+=， ∴222cos2cos 322C Aa cb +=， 由正弦定理得222sin cos2sin cos 3sin 22C A A C B +=， 即()()sin 1cos sin 1cos 3sin A C C A B +++=， ∴sin sin sin cos cos sin 3sin A C A C A C B +++=， 即()sin sin sin 3sin A C A C B +++=， ∵()sin sin A C B +=，∴sin sin 2sin A C B +=，即2a c b +=，∴a b c ，，成等差数列． （2）由余弦定理得22π2cos 163a c ac +-=， ∴()2316a c ac +-=， 又由（1）得8a c +=， ∴16ac =，则1sin 2S ac B == 点睛：解决三角形中的角边问题时，要根据条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问题或角的问题，利用三角中两角和差等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及三角形面积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求角的时候，要注意分析角的范围，才能写出角的大小.19．（1）证明见解析；（2）6. 【解析】试题分析：（1）取DG 的中点M ，连接FM AM ，，利用平行四边形可证明BF AM ，AM CG ，根据平行的传递性，可得BF CG BF CG ，=，从而四边形BFGC 是平行四边形，问题得证；（2）建立空间直角坐标系，利用坐标求平面的法向量，根据向量的夹角公式即可求出. 试题解析：（1）证明：方法1：如图，取DG 的中点M ，连接FM AM ，， ∵在正方形ABED 中，AB DE ，AB DE =， 在直角梯形EFGD 中，FMDE ，FM DE =，∴AB FM ，AB FM =，即四边形ABFM 是平行四边形， ∴BFAM BF AM =，，∵在直角梯形ADGC 中，AC MG AC MG ，=，即四边形AMGC 是平行四边形， ∴AMCG AM CG =，，由上得BF CG BF CG ，=，即四边形BFGC 是平行四边形， ∴B C G F ，，，四点共面． 方法2：由正方形ABED ，直角梯形EFGD ，直角梯形ADGC 所在平面两两垂直，易证：AD DE DG ，，两两垂直，建立如图所示的坐标系，则()()()()()002202012200210(020A B C E F G ，，，，，，，，，，，，，，，，，）∵()()012012BF CG ，，，，，=-=-，∴BF CG =，即四边形BCGF 是平行四边形，故G B C F ，，，四点共面． （2）解：设平面BFGC 的法向量为()111m x y z ，，=， ∵()210FG =-，，，则11112020BF m y z FG m x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，，令12y =，则()121m =，，， 设平面BCE 的法向量为()222n x y z =，，，且()()210002BC EB =-=，，，，，， 则2222020BC n x y EB n z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，， 令21x =，则()120n ，，=， ∴设二面角E BC F --的平面角的大小为θ，则11cos m n m n θ⋅⨯+===． 点睛：本题考查线线平行，线面垂直，线线垂直的判定及性质以及二面角的余弦，属于中档题.对于第一问，要注意结合图形，特别是中点，寻求平行关系，一般证明四点共面，需要证明平行四边形，对于第二问关键是建系写点的坐标，利用求得的法向量来求二面角的余弦，注意对角是锐角钝角的分析. 20．（1）π5πππ1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，，；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）由行列式得到()f x 解析式，根据周期计算ω，根据平移后是奇函数计算ϕ，根据解析式求单调区间即可；（2）根据2n S n =求数列的通项公式，再利用裂项相消法求数列的前n 项和，即可证出结论. 试题解析：（1）解：由题意：()()()sin 1cos 0sin f x x x x ωϕωωϕ=+⨯-⨯=+，∵2ππ02ωωω=>⇒=，，∴()()sin 2f x x ϕ=+，∴()f x 的图象向右平移π3个单位后得π2πsin 2sin 233y x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 此函数为奇函数，则2ππ3k k Z ϕ-+=∈，，∵π2ϕ<，∴π3ϕ=-， ∴()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 由πππ2π22π232k x k k Z -≤-≤+∈，可得π5πππ1212k x k k Z -≤≤+∈，， ∴()f x 的单调增区间为π5πππ1212k k k Z ，，⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦． （2）证明：由（Ⅰ）得5π5πππsin 2sin 1121232A f ⎛⎫⎛⎫==⨯-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴2n S n =，①当1n =时，111a S ==； ②当()2n n N+≥∈时，()221121nn n aS S n n n -=-=--=-，而12111a =⨯-=， ∴21n a n =-，则()()1221121212121n n a a n n n n +==--+-+， ∴111111111335212121n T n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-<-++． 点睛：数列问题是高考中的重要问题，主要考查等差等比数列的通项公式和前n 项和，主要利用解方程得思想处理通项公式问题，利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的和．在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误． 21．（1）210x y --=；（2）12a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦，；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义，求出切线斜率，即可写出切线；（2）根据单调递增可知函数导数在()1,+∞上大于等于零恒成立，分离参数即可求出a 的取值范围；（3）写出()()()F x f x g x =+，求导数，利用导数求其最小值即可证明.试题解析：（1）解：当0a =时，()2f x x =，∴()()212f x x f =⇒'='，此时切点为()11，， ∴l 的方程为()121210y x x y -=-⇒--=．（2）解：∵()2222ln 2f x x ax a x a =--+，函数()f x 在区间()1+∞，上单调递增， ∴()22222220a x ax af x x a x x--=--=≥'在区间()1+∞，上恒成立， ∴21x a x ≤+在()1x ∈+∞，上恒成立，则()2min11x a x x ⎛⎫≤∈+∞ ⎪+⎝⎭，，， 令()21x M x x =+，则()()()()222221211x x x x x M x x x +-+==++'，当()1x ∈+∞，时，()0M x '>， ∴()()21112x M x M x =>=+，∴12a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦，． （3）证明：∵()2ln x g x x ='，∴()2ln1101g ='=，则()2ln g x x =， ∴()()222222ln 22ln ln 22ln 2x x F x x ax a x x a a x x a ⎡⎤+=--++=-++⎢⎥⎣⎦，令()()222ln ln 2x xP a a x x a +=-++， 则()()()2222222ln ln ln ln ln ln 222244x x x x x x x x x x x x P a a a --++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=-+≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令()ln Q x x x =-，则()111x Q x x x'-=-=， 显然()Q x 在区间()01，上单调递减，在区间[)1+∞，上单调递增，则()()min 11Q x Q ==，∴()14P a ≥，则()11242F x ≥⨯=． 点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.22．(1)45;(2) 【解析】试题分析:(1)先消去参数写出曲线C 在直角坐标系下的普通方程,再根据极坐标与普通方程互化公式写出极坐标方程, 分别代入π4θ=和π4θ=-，求出228||5OA OB ==，又π2AOB ∠=，可求出AOB ∆的面积；(2) 将l 的参数方程代入曲线C 的普通方程,可得关于t 的一元二次方程,写出韦达定理,由弦长12AB t t =-代入即可. 试题解析:（Ⅰ）曲线C 在直角坐标系下的普通方程为2214x y +=，将其化为极坐标方程为2222cos sin 14ρθρθ+=，分别代入π4θ=和π4θ=-，得228||5OA OB ==， ∵π2AOB ∠=，∴AOB 的面积14·25S OA OB ==．（Ⅱ）将l 的参数方程代入曲线C 的普通方程得2560t +-=，即1212655t t t t +=-=-，∴12AB t t =-===． 23．(1) 3a =;(2)5. 【解析】试题分析:(1) 方法1：将函数()f x 按零点分段去掉绝对值,写成分段函数的形式,可得函数的单调性,进而得出最小值,即a 的值; 方法2：根据绝对值三角不等式放缩,再由绝对值恒大于等于0求出函数的最值以及取等条件,进而得到a 值;(2)先求出函数的定义,根据柯西不等式放缩求出最值并验证取等条件. 试题解析:（Ⅰ）方法1：∵()36026603363x x f x x x x x x x -+≤⎧⎪=+-=-+<≤⎨⎪->⎩，，，，，， ∴()f x 在(]0-∞，上是减函数，在(]03，上是减函数，在()3+∞，上是增函数， 则()()min 33f x f ==， ∴3a =．方法2：∵()2633x x x x x +-=+-+- ()3333303x x x x ≥--+-=+-≥+=，当且仅当()30330x x x x ⎧-≤⇒=⎨-=⎩，时取等号， ∴3a =．（Ⅱ）由（Ⅰ）得y =[]34，，且0y >， 由柯西不等式可得：y ==5≤=，当且仅当=[]843425x =∈，时，函数取最大值5．。

2021年云南省高考数学第二次统一检测试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）满足{0，1}{0T =，1，2}的集合T 的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．42．（5分）已知i 是虚数单位，(2)325i z i i +-+=+，则复数z 的共轭复数等于( ) A ．32i + B ．32i - C ．32i -+ D ．32i --3．（5分）在8()2x x+的二项展开式中，x 的系数是( )A ．3B ．5C ．7D ．94．（5分）tan87tan 273tan 27tan87(︒-︒-︒︒= ) A ．2B ．3C ．2-D ．5-5．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是( )A ．45B ．34C ．23D ．126．（5分）执行如图的程序框图，则输出的结果是( )A ．5360B ．4760C ．1621D ．37607．（5分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的中心是坐标原点O ，F 是椭圆E 的焦点．若椭圆E 上存在点P ，使OFP ∆是等边三角形，则椭圆E 的离心率为( ) A ．12B ．423-C 31D 3 8．（5分）已知数列{}n a 、{}n b 都是等差数列，设{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 的前n 项和为.n T 若2132n n S n T n +=+，则55(ab = ) A ．1929B ．1125C ．1117D ．239．（5分）已知边长为3的正ABC ∆的顶点和点D 都在球O 的球面上．若6AD =，且AD ⊥平面ABC ，则球O 的表面积为( ) A ．323πB ．48πC ．24πD ．12π10．（5分）从1，2，3，4，5这组数据中，随机取出三个不同的数，用X 表示取出的数字的最小数，则随机变量X 的数学期望()(E X = ) A ．32B ．53C ．74 D ．9511．（5分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，1n n S a +=．若255256m S =，则(m = ) A ．2B ．4C ．6D ．812．（5分）已知函数f （x ）＝3sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π），f （4）＝f （2）﹣6，且f （x ）在[2，4]上单调．设函数g （x ）＝f （x ）﹣1，且g （x ）的定义域为[﹣5，8]，则g （x ）的所有零点之和等于（ ） A ．0B ．4C ．12D ．16二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

曲靖一中高考复习质量监测卷七 理科数学参考答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B B B A A B D C B A A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号13 14 15 16 答案 12-或 5 28π3 (0]-∞，三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，令1n =，得12113a a =，所以123a a =； 令2n =，得12231125a a a a +=，所以2315a a =， 解得11a =，2d =，所以21n a n =-．…………………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）由题意知22(1)(1)(21)n n n n b a n =-=--，所以2220[(1)17][(1)1731][(1)4971][(1)(2191)(2201)]T =-++-++-++⋅⋅⋅+--+- 10961422781068420.2=+++⋅⋅⋅+=⨯+⨯= ……………………………………（12分） 18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ） m ，n 的所有取值情况有：(23，25)，(23，30)，(23，26)，(23，16)，(25，30)，(25，26)，(25，16)，(30，26)，(30，16)，(26，16)，即基本事件总数为10，设“m ，n 均不小于25”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为(25，30)，(25，26)，(30，26)， 所以3()10P A =，故事件A 的概率为310．……………………………………………（4分） （Ⅱ）由数据，求得1(101114128)115x =++++=，1(2325302616)245y =++++=，51()()45i i i i i x x y y =--=∑，521()20i i i x x =-=∑， 由公式求得459ˆ204b ==，93ˆˆ241144a y bx =-=-⨯=-， 所以y 关于x 的线性回归方程为9344y x =-．…………………………………………（8分） （Ⅲ）(325)X H ~，，， ∴326.55EX ⨯==………………………………………………………………………（12分） 19．（本小题满分12分） （Ⅰ）证明：因为2BC =，112CC BB ==，1π4BCC =∠， 在△1BCC 中，由余弦定理，得124222cos452C B =+-⨯⨯⨯︒=， 所以22211C B BC CC +=，即C 1B ⊥BC ．又AB ⊥侧面BCC 1B 1，BC 1⊂侧面BCC 1B 1，故AB ⊥BC 1，又CBAB B =，所以C 1B ⊥平面ABC ．……………（6分）以B 为空间坐标系的原点，建立如图所示的坐标系，则B (0，0，0)，A (0，2，0)，C (2，0，0)，C 1(0，0，2)，B 1(2-，0，2)， 1(022)C A =-，，，11111(2022)C E C B BB C B CC λλλλ=+=+=--，，， 设平面1AC E 的一个法向量为()n x y z =，，，则112202(22)0n C A y z n C E x z λλ⎧=-=⎪⎨=+-=⎪⎩，，令2z =，得2(1)12n λλ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，，，又1(202)C C =-，，， 1222(1)2||4||52(1)12C C n d n λλλλ--===-++，解得12λ=或310λ=， ∴当12λ=或310λ=时，C 到平面1AC E 的距离为455．……………………………（12分） 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设()T x y ，，则(33)A x y ，， 又6AB AC BC +=>，所以A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆，从而有22331992x y +=（）（），（Ⅱ）设1122()()P x y Q x y ，，，，而显然直线PQ 不与x 轴重合，故设其方程为x ky m =+， 代入椭圆方程得222(2)210k y kmy m +++-=，M E ∵在椭圆内，212122221022km m y y y y k k --∆>+==++∴，且，， ()0||||MP MR PR MP MR +==又，∴，11()R x y -∴，，12122112()()NR QN y y k k y ky m n y ky m n x n x n-=⇔=⇔-+-=+---从而 212122()()02(1)2()0 1.ky y y y m n k m km m n mn ⇔++-=⇔---=⇒= …………（12分）21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）22ln 1ln 1(01)(1)()(1)()(01)ln ln x x x f x x f x x x x--''∈+∞=>=-<<，，，，， ∴()(01)[e )(1e).f x +∞的单调区间：增区间为，，，；减区间为，…………………（4分） 22()(21)()0[()][()(1)]0f x m f x m m f x m f x m -+++=⇔--+=（Ⅱ）方程， ∴()() 1.f x m f x m ==+或()()(e)e f x f x f ==极小又由（Ⅰ）知的单调性及，22()(21)()04f x m f x m m -+++=而方程有个不同实数根，∴1e 0e (e 1e).m m m +><<⇔∈-，，…………………………………………………（8分） 11e sin e sin 2|ln ln |2ln xx y x y y x y x yαα⎛⎫⎛⎫>+>⇔+> ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭（Ⅲ）存在正实数，， min 11(1)e sin ()((1))e sin ()22x t f t t f t y αα⎛⎫⎛⎫=∈+∞+>∈+∞⇔+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设，，则，11π5πe sin e sin 2π2π().2266k k k ααα⎛⎫⎛⎫⇔+>⇔>⇔∈++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Z ，………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）设l 上动点()M l ρθ，，与x 轴交于B ，则1OB =， 又在△OMB 中，1π3sin .2ππ32sin sin 33ρρθθ⎛⎫=⇒-= ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭………………………（5分） （Ⅱ）C 的普通方程是24y x =与l 的直角坐标方程33y x =-联立， 得234430y y --=，2=8∆，1816||1.333AB =+=∴………………………………………………………………（10分） 23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】解：（Ⅰ）4()5|21|5521563f x x x x x x x ⇒+-⇒-+-⇔-≤≤≤≤≤≤， ∴其解集为46.3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，……………………………………………………………………（5分） （Ⅱ）∵0a >，1(2)211()|21||1|(2)21(2)22a x x a g x x ax a x x a a x x ⎧-+⎪⎪⎪=+--=+-<⎨⎪⎪--<-⎪⎩，≥，，≤，，， 221a a ⎛⎤>-∞+ ⎥⎝⎦∴①当时，其值域是，； 0212a a ⎡⎫<<--+∞⎪⎢⎣⎭②当时，其值域是，； 2[22]a =-③当时，其值域是，.………………………………………………………（10分）。