2020年云南省曲靖一中高考数学二模试卷(文科) (含答案解析)

2020届云南省曲靖市上学期第二次月考高三数学（文）试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合{}0)2)(1(>-+=x x x A ，集合{}31<<=x x B ，则=B A Y （ ）A ．)3,1(-B ．)1,1(-C ．)2,1(D ．)3,2(2.下列函数中，与函数122log +=x y 是同一个函数的是（ ） A ．2)1(+=x y B ．133+=x y C ．12+=xx y D ．12+=x y 3.设命题12:,0log 1:21><<-x q x p ，则p 是q 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4.设ο100cos ,5log ,233===-c b a ，则（ ）A ．c b a >>B ．c a b >>C ．b c a >>D ．a b c >>5.已知幂函数n x x f =)(的图象过点)41,8(，且)2()1(f a f <+，则a 的范围是（ ）A ．13<<-aB ．3-<a 或1>a C.1<a D ．1>a6.若21)tan(,31tan =+=βαα，则=βsin （ ）A.71B.71± C.102 D.102± 7.角θ的终边过点)3),3(sin(πα-，且02sin ≤θ，则α的可能取值范围是（ ） A.]3,32[ππ- B.]34,3[ππ C.]32,35[ππ-- D.],0[π 8.函数x x x x x f sin cos 2cos sin )(23--+=的最大值等于（ ） A.274 B.275 C.-275 D.2716 9.函数4127ln 4)(2-+-+-=x x x x x f 的定义域为（ ） A ．)3,4(- B ．]3,4(- C ．]4,3( D ．)4,3(10.定义在R 上的函数)(x f 满足：13)2()(=+⋅x f x f ，若4)3(=f ，则=)2017(f （ ）A.4B.413 C.26 D.52 11.若)(7cos 72cos 7cos *∈+⋅⋅⋅++=N n n S n πππ，则在10021,,,S S S ⋅⋅⋅中，正数的个数是（ ） A ．16 B ．72 C ．37 D ．10012.若函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤+=)0(431),0(3)(3x a x x x x x f x 在定义域上恰有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3160<<a B ．316<a C ．0<a 或316>a D ．316≤a 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知函数)(x f 满足x f x =)5(，则=)2(f _____.15.函数x m x m x x f )1(2)1(2131)(23-++-=在)4,0(上无极值，则=m _____. 16.已知函数)(x f 满足1)0(-=f ，其导函数)(x f '满足1)(>>'k x f ，则下列结论中正确的是 ______.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分） 已知函数)32(log )(221+-=ax x x f .（1）当1-=a 时，求函数的值域；（2）是否存在R a ∈，使)(x f 在)2,(-∞上单调递增，若存在，求出a 的取值范围，不存在，请说明理由.18.（本小题满分12分） 已知函数23cos 3sin )2sin()(2+--=x x x x f π. （1）求)(x f 的最小正周期；（2）讨论)(x f )在]65,6[ππ上的单调性，并求出在此区间上的最小值.19.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若ab b a 321122=+，且B C sin 32sin =.（1）求角B 的大小；（2）若B BC BA tan =⋅，求ABC ∆的面积.20.（本小题满分12分） 已知函数14)(2+=x x x f . （1）求曲线)(x f 上任意一点切线的斜率的取值范围；（2）当m 满足什么条件时，)(x f 在区间),12(m m -为增函数.21.（本小题满分12分）已知函数b x x f a +=log )(，)(x f 恒过点)1,1(，且2)(=e f .（1）求)(x f 的解析式；（2）若kx x f ≤)(对0>∀x 都成立，求实数k 的取值范围；（3）当112>>x x 时，证明：121212ln )1(ln )1(x x x x x x ->-.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴为正半轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为θρcos 6=，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=,233,213t y t x （t 为参数）.（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）求直线l 分圆C 所得的两弧程度之比.23.（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲若关于x 的不等式01252≥--++t x x 的解集为R .（1）求实数t 的最大值s ；（2）若正实数b a ,满足s b a =+54，求ba b a y 33421+++=的最小值.2020届云南省曲靖市上学期第二次月考高三数学（文）试题参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合{}0)2)(1(>-+=x x x A ，集合{}31<<=x x B ，则=B A Y （ ）A ．)3,1(-B ．)1,1(-C ．)2,1(D ．)3,2(【答案】A【解析】 试题分析：因为{}{}(1)(2)0|12A x x x x x =+->=-<<， {}31<<=x x B ，所以，=B A Y {}13x x -<<=)3,1(-，故选A.考点：1、集合的表示方法；2、集合的并集.2.下列函数中，与函数122log +=x y 是同一个函数的是（ ） A ．2)1(+=x y B ．133+=x y C ．12+=xx y D ．12+=x y【答案】B考点：函数的定义及“三要素”.3.设命题12:,0log 1:21><<-x q x p ，则p 是q 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A考点：1、指数函数与对数函数的性质；2、充分条件与必要条件.4.设ο100cos ,5log ,233===-c b a ，则（ ）A ．c b a >>B ．c a b >>C ．b c a >>D ．a b c >>【答案】B【解析】 试题分析：因为()()()33120,1,log 51,,cos100,08a b c -==∈=∈+∞=∈-∞o ，所以c a b >>，故选B. 考点：1、指数函数与对数函数的性质；2、三角函数的基本性质.5.已知幂函数n x x f =)(的图象过点)41,8(，且)2()1(f a f <+，则a 的范围是（ ）A ．13<<-aB ．3-<a 或1>a C.1<a D ．1>a【答案】B【解析】试题分析：因为幂函数n x x f =)(的图象过点)41,8(， 所以321282243n n n -=⇒=⇒=-，23()f x x -=　是偶函数，且在()0,+∞上递减，在(),0-∞上递增，由)2()1(f a f <+得，12,a +>解得3-<a 或1>a ，故选B.考点：1、幂函数的图象与性质；2、绝对值不等式的解法.6.若21)tan(,31tan =+=βαα，则=βsin （ ）A.71B.71± C.102 D.102± 【答案】D考点：1、两角差的正切公式；2、同角三角函数之间的关系.7.角θ的终边过点)3),3(sin(πα-，且02sin ≤θ，则α的可能取值范围是（ ） A.]3,32[ππ- B.]34,3[ππ C.]32,35[ππ-- D.],0[π【答案】A【解析】试题分析：因为θ的终边过点)3),3(sin(πα-，所以223sin()3sin 22sin cos 0sin()3sin()333παθθθππαα-==≤-+-+，sin()0,2233k k ππαππαπ-≤-≤-≤，22233k k πππαπ-≤≤+，0k =时可得233ππα-≤≤，α的可能取值范围是]3,32[ππ-，故选A. 考点：1、三角函数的定义；2、简单的三角不等式.8.函数x x x x x f sin cos 2cos sin )(23--+=的最大值等于（ ）A.274B.275C.-275D.2716 【答案】B【解析】试题分析：因为32322()sin cos 2cos sin sin 2cos 1cos sin f x x x x x x x x x =+--=+---= 32sin sin sin x x x =--，所以可设[]()sin 1,1x t t =∈-，()()322'321g t t t t g t t t =--⇒=--，函数()g t 在11,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭上递增，在1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减，可得()max 13g t g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭275，即的()f x 最大值为527，故选B.考点：1、余弦的二倍角公式及同角三角函数之间的关系；2、利用导数研究函数的单调性进而求最值.9.函数4127ln 4)(2-+-+-=x x x x x f 的定义域为（ ） A ．)3,4(- B ．]3,4(- C ．]4,3( D ．)4,3(【答案】D考点：1、函数的定义域；2、不等式的解法.10.定义在R 上的函数)(x f 满足：13)2()(=+⋅x f x f ，若4)3(=f ，则=)2017(f （ ）A.4B.413C.26D.52 【答案】B 【解析】试题分析：因为13)2()(=+⋅x f x f ，所以(2)(4)13f x f x +⋅+=，两式相等化简得，()()4f x f x =+，函数)(x f 是周期为4的周期函数，()()(2017)504411f f f =⨯+=，由()()1313f f =得，()()1313134f f ==，所以=)2017(f 413，故选B. 考点：函数解析式及周期性的应用.【方法点晴】本题主要考查函数的解析式及函数的周期性，属于难题.对函数周期性的考查主要命题方向由两个，一是三角函数，可以用公式求出周期；二是抽象函数，往往需要根据条件判断出周期，抽象函数给出条件判断周期的常见形式为:(1)()()f x a f x b T a b +=+⇒=-；（2）()()2f x a f x T a +=-⇒=；（3）()()2f x f x a b T a +=⇒=，本题就是根据（3）得到函数的周期后进行解答的.11.若)(7cos 72cos 7cos *∈+⋅⋅⋅++=N n n S n πππ，则在10021,,,S S S ⋅⋅⋅中，正数的个数是（ ） A ．16 B ．72 C ．37 D ．100【答案】C考点：1、余弦在各象限的符号；2、诱导公式及三角函数的周期性及及数学的转化与划归思想.【方法点睛】本题主要考查余弦在各象限的符号、诱导公式及三角函数的周期性及数学的转化与划归思想，属于难题.转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题将10021,,,S S S ⋅⋅⋅中，正数的个数的判定，转化为三角函数及周期性问题是解题的关键.12.若函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤+=)0(431),0(3)(3x a x x x x x f x 在定义域上恰有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3160<<a B ．316<a C ．0<a 或316>a D ．316≤a 【答案】A【解析】考点：1、利用导数研究函数的单调性、分段函数的解析式及图象；2、函数的零点几数形结合思想.【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、分段函数的解析式及图象、函数的零点几数形结合思想，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形相互转化来解决数学问题，这种思想方法在解题中运用的目的是化抽象为直观，通过直观的图像解决抽象问题，尤其在解决选择题、填空题时发挥着奇特的功效，大大提高了解题能力与速度.本题就是将复杂的零点问题转化为直观形象的函数图象问题解答的.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知函数)(x f 满足x f x =)5(，则=)2(f _____.【答案】2log 5【解析】试题分析：因为x f x =)5(，所以()5log 25(5)log 22f f ==，故答案为2log 5.考点：对数的基本性质.14.已知)(x f 为奇函数，当0>x 时，56)(2+-=x x x f ，则当0<x 时，=)(x f ____.【答案】562---x x考点：1、函数的奇偶性；2、分段函数的解析式.15.函数x m x m x x f )1(2)1(2131)(23-++-=在)4,0(上无极值，则=m _____. 【答案】3【解析】 试题分析：因为x m x m x x f )1(2)1(2131)(23-++-=，所以()()2'()(1)2(1)21f x x m x m x x m =-++-=--+，由()'0f x =得2x =或1x m =-，又因为函数x m x m x x f )1(2)1(2131)(23-++-=在)4,0(上无极值，而()20,4∈，所以只有12m -=，3m =时，()f x 在R 上单调，才合题意，故答案为3.考点：1、利用导数研究函数的极值；2、利用导数研究函数的单调性.【方法点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值，属于难题.求函数()f x 极值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数()f x '；(3)解方程()0,f x '=求出函数定义域内的所有根；(4)列表检查()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么()f x 在0x 处取极小值,如果0x 左右()f x '符号相同，则在该处无极值，本题就是利用这种思路解答的．16.已知函数)(x f 满足1)0(-=f ，其导函数)(x f '满足1)(>>'k x f ，则下列结论中正确的是 ______.（1）11)1(->k k f ；（2）11)11(->-k k f ；（3）12)11(--<-k k k f ；（4）)11()1(-<k f k f 【答案】（1）（2）（4）考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、构造函数比较大小.【方法点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分） 已知函数)32(log )(221+-=ax x x f .（1）当1-=a 时，求函数的值域；（2）是否存在R a ∈，使)(x f 在)2,(-∞上单调递增，若存在，求出a 的取值范围，不存在，请说明理由.【答案】（1）]1,(--∞；（2）不存在R a ∈，使)(x f 在)2,(-∞上单调递增.考点：1、二次函数的单调性、对数函数的单调性；2、复合函数的单调性以及对数函数的定义域.18.（本小题满分12分） 已知函数23cos 3sin )2sin()(2+--=x x x x f π. （1）求)(x f 的最小正周期；（2）讨论)(x f )在]65,6[ππ上的单调性，并求出在此区间上的最小值.【答案】（1）π=T ；（2）()f x 在]125,6[ππ上单调递增，在]65,125[ππ上单调递减，3.【解析】试题分析：（1）根据正弦二倍角公式、余弦二倍角公式以及两角和的正弦公式可将)(x f 化为sin(2)3x π-，可得)(x f 的最小正周期为π；（2）令232ππ=-x 得π125=x 进而得)(x f 在]125,6[ππ上单调递增，在]65,125[ππ上单调递减. 试题解析：（1）)32sin(2cos 232sin 212)cos 21(3sin cos )(2π-=-=-+=x x x x x x x f ， ∴π=T .（2）当656ππ≤≤x 时，34320ππ≤-≤x ，令232ππ=-x 得π125=x ， 所以f(x)在]125,6[ππ上单调递增，f(x)在]65,125[ππ上单调递减， 所以2334sin )65()(min -===ππf x f .考点：1、正弦二倍角公式、余弦二倍角公式以及两角和的正弦公式；2、三角函数的周期性及单调性.19.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若ab b a 321122=+，且B C sin 32sin =.（1）求角B 的大小；（2）若B BC BA tan =⋅，求ABC ∆的面积.【答案】（1）3π=B ；（2）32.考点：1、正弦定理和余弦定理的应用；2、平面向量数量积公式及三角形面积公式.20.（本小题满分12分） 已知函数14)(2+=x x x f . （1）求曲线)(x f 上任意一点切线的斜率的取值范围；（2）当m 满足什么条件时，)(x f 在区间),12(m m -为增函数.【答案】（1）421≤≤-k ；（2）01m ≤<.考点：1、导数的几何意义；2、利用导数研究函数的单调性.【思路点睛】本题主要考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调性，属于难题.要解答本题，首先必须掌握在曲线上某点的导函数就是该点处的切线斜率，先对函数求导，进而得导函数的范围，也就是切线斜率的范围，本题（1）就是根据这种思路求得曲线)(x f 上任意一点切线的斜率的取值范围的，本题（2）的解答是将)(x f 在区间),12(m m -为增函数转化为'()0f x ≥恒成立进行的.21.（本小题满分12分）已知函数b x x f a +=log )(，)(x f 恒过点)1,1(，且2)(=e f .（1）求)(x f 的解析式；（2）若kx x f ≤)(对0>∀x 都成立，求实数k 的取值范围；（3）当112>>x x 时，证明：121212ln )1(ln )1(x x x x x x ->-.【答案】（1）1ln )(+=x x f ；（2）1≥k ；（3）证明见解析.考点：1、利用导数函数的单调性及求最值；2、不等式恒成立问题及不等式证明问题.【方法点晴】本题主要考查利用导数函数的单调性及求最值、不等式恒成立问题及不等式证明问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；②数形结合(()y f x =图象在()y g x =上方即可)；③讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④讨论参数.本题（2）是利用方法①求k 的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴为正半轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为θρcos 6=，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=,233,213t y t x （t 为参数）. （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）求直线l 分圆C 所得的两弧程度之比.【答案】（1）9)3(22=+-y x ；（2）2:1. 考点：1、极坐标方程化直角坐标的方程；2、参数方程化普通方程及点到直线距离公式.23.（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲若关于x 的不等式01252≥--++t x x 的解集为R .（1）求实数t 的最大值s ；（2）若正实数b a ,满足s b a =+54，求b a b a y 33421+++=的最小值. 【答案】（1）6=s ；（2）23.考点：1、基本不等式求最值；2、柯西不等式的应用.。

云南省曲靖市2019-2020学年高考第二次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2015年以来，“一带一路”建设成果显著.如图是2015—2019年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误．．的是( )A．这五年，出口总额之和．．．．比进口总额之和．．．．大B．这五年，2015年出口额最少C．这五年，2019年进口增速最快D．这五年，出口增速前四年逐年下降【答案】D【解析】【分析】根据统计图中数据的含义进行判断即可.【详解】对A项，由统计图可得，2015年出口额和进口额基本相等，而2016年到2019年出口额都大于进口额，则A正确；对B项，由统计图可得，2015年出口额最少，则B正确；对C项，由统计图可得，2019年进口增速都超过其余年份，则C正确；对D项，由统计图可得，2015年到2016年出口增速是上升的，则D错误；故选：D【点睛】本题主要考查了根据条形统计图和折线统计图解决实际问题，属于基础题.2．若i为虚数单位，网格纸上小正方形的边长为1，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数2iz的点是（）A ．EB ．FC ．GD ．H【答案】C【解析】【分析】 由于在复平面内点Z 的坐标为(1,1)-，所以1z i =-+，然后将1z i =-+代入2i z 化简后可找到其对应的点. 【详解】由1z i =-+，所以22(1)11i i i i i z i ==--=--+，对应点G . 故选：C【点睛】此题考查的是复数与复平面内点的对就关系，复数的运算，属于基础题. 3．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步．其中正确的个数为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】【分析】利用图形，判断折线图平均分以及线性相关性，成绩的比较，说明正误即可．【详解】 ①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，最高分，平均成绩为低于分，①错误； ②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内，②正确； ③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，③正确；④乙同学在这连续九次测验中第四次、第七次成绩较上一次成绩有退步，故④不正确．故选：C ．【点睛】本题考查折线图的应用，线性相关以及平均分的求解，考查转化思想以及计算能力，属于基础题．4．已知1F ，2F 是双曲线222:1x C y a-=()0a >的两个焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于A ，B 两点，若2AB =△2ABF 的内切圆的半径为（ ）A 2B ．3C ．23D 23【答案】B【解析】【分析】设左焦点1F 的坐标， 由AB 的弦长可得a 的值，进而可得双曲线的方程，及左右焦点的坐标，进而求出三角形ABF 2的面积，再由三角形被内切圆的圆心分割3个三角形的面积之和可得内切圆的半径.【详解】由双曲线的方程可设左焦点1(,0)F c -，由题意可得222b AB a==， 由1b =，可得2a =所以双曲线的方程为: 2212x y -= 所以12(3,0),(3,0)F F -，所以21211223622ABF S AB F F =⋅⋅==V 三角形ABF 2的周长为()()22112242422262C AB AF BF AB a AF a BF a AB =++=++++=+==设内切圆的半径为r ，所以三角形的面积11623222S C r r r =⋅⋅=⋅⋅=， 所以326r =，解得3r =， 故选：B【点睛】 本题考查求双曲线的方程和双曲线的性质及三角形的面积的求法，内切圆的半径与三角形长周长的一半之积等于三角形的面积可得半径的应用，属于中档题.5．为计算23991223242...100(2)S =-⨯+⨯-⨯++⨯-， 设计了如图所示的程序框图，则空白框中应填入（ ）A ．100i <B ．100i >C ．100i ≤D ．100i ≥【答案】A【解析】【分析】 根据程序框图输出的S 的值即可得到空白框中应填入的内容．【详解】由程序框图的运行，可得：S ＝0，i ＝0满足判断框内的条件，执行循环体，a ＝1，S ＝1，i ＝1满足判断框内的条件，执行循环体，a ＝2×（﹣2），S ＝1+2×（﹣2），i ＝2满足判断框内的条件，执行循环体，a ＝3×（﹣2）2，S ＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2，i ＝3…观察规律可知：满足判断框内的条件，执行循环体，a ＝99×（﹣2）99，S ＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2+…+1×（﹣2）99，i ＝1，此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出S 的值，所以判断框中的条件应是i ＜1．故选：A ．【点睛】本题考查了当型循环结构，当型循环是先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件时算法结束，属于基础题．6．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在线段1CB 上，且12B P PC =，平面α经过点1,,A P C ，则正方体1111ABCD A B C D -被平面α截得的截面面积为（ ）A ．36B ．26C ．5D ．534【答案】B【解析】【分析】 先根据平面的基本性质确定平面，然后利用面面平行的性质定理，得到截面的形状再求解.【详解】如图所示：1,,A P C 确定一个平面α，因为平面11//AA DD 平面11BB CC ，所以1//AQ PC ，同理1//AP QC ，所以四边形1APC Q 是平行四边形.即正方体被平面截的截面.因为12B P PC =，所以112C B PC =，即1PC PB ==所以11AP PC AC === 由余弦定理得：22211111cos 25AP PC AC APC AP PC +-∠==⨯所以1sin 5APC ∠= 所以S 四边形1APQC 1112sin 2AP PC APC =⨯⨯⨯∠=故选：B【点睛】 本题主要考查平面的基本性质，面面平行的性质定理及截面面积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.7．已知集合M ＝{x|﹣1＜x ＜2}，N ＝{x|x （x+3）≤0}，则M∩N ＝（ ）A ．[﹣3，2）B ．（﹣3，2）C ．（﹣1，0]D ．（﹣1，0） 【答案】C【解析】【分析】先化简N ＝{x|x （x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}，再根据M ＝{x|﹣1＜x ＜2}，求两集合的交集.【详解】因为N ＝{x|x （x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}，又因为M ＝{x|﹣1＜x ＜2}，所以M∩N ＝{x|﹣1＜x≤0}.故选：C【点睛】本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.8．已知函数()()f x x R ∈满足(1)1f =，且()1f x '<，则不等式()22lg lg f x x <的解集为（ ） A ．10,10⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()10,10,10骣琪??琪桫C ．1,1010⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()10,+∞ 【答案】B【解析】【分析】 构造函数()()g x f x x =-,利用导数研究函数的单调性，即可得到结论.【详解】设()()g x f x x =-,则函数的导数()()1g x f x ''=-,()1f x Q '<，()0g x '∴<，即函数()g x 为减函数,(1)1f =Q ,(1)(1)1110g f ∴=-=-=，则不等式()0<g x 等价为()(1)g x g <，则不等式的解集为1x >,即()f x x <的解为1x >，22(1)1f g x g x Q <，由211g x >得11gx >或11gx <-，解得10x >或1010x <<, 故不等式的解集为10,(10,)10⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭.故选:B . 【点睛】 本题主要考查利用导数研究函数单调性，根据函数的单调性解不等式，考查学生分析问题解决问题的能力,是难题.9．已知集合A={y|y=|x|﹣1，x ∈R}，B={x|x≥2}，则下列结论正确的是（ ）A ．﹣3∈AB ．3∉BC ．A∩B=BD ．A ∪B=B【答案】C【解析】试题分析：集合{}|1A y y =≥- A B B B A ∴⊆∴⋂=考点：集合间的关系10．在等差数列{}n a 中，若n S 为前n 项和，911212a a =+，则13S 的值是（ ）A ．156B ．124C ．136D ．180【答案】A【解析】【分析】因为711911212a a a a +==+，可得712a =，根据等差数列前n 项和，即可求得答案.【详解】 Q 711911212a a a a +==+，∴712a =，∴()113137131313121562a a S a +===⨯=. 故选：A.【点睛】本题主要考查了求等差数列前n 项和，解题关键是掌握等差中项定义和等差数列前n 项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.11．已知函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()()282x g x f x =+-的定义域为（ ）A ．[]0,1B ．[]0,2 C ．[]1,2D ．[]1,3 【答案】A【解析】 试题分析：由题意，得022{820x x ≤≤-≥，解得01x ≤≤，故选A ． 考点：函数的定义域．12．已知函数，其中04?,?04b c ≤≤≤≤，记函数满足条件：(2)12{(2)4f f ≤-≤为事件A ，则事件A 发生的概率为A ．14B ．58C ．38D ．12 【答案】D【解析】【分析】【详解】由(2)12{(2)4f f ≤-≤得4212424b c b c ++≤⎧⎨-+≤⎩，分别以,b c 为横纵坐标建立如图所示平面直角坐标系，由图可知，()12P A =.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年云南省曲靖市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.设集合，，则A. B. 2，C. 2，3，D. 2，3，4，2.已知复数z满足，则A. 1B.C. 2D. 33.已知，则A. B. C. D.4.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为A. 7B. 9C. 10D. 115.已知向量，，，若，则与夹角是A. B. C. D.6.函数的大致图象是A. B.C. D.7.已知实数a，b满足，，则函数存在极值的概率为A. B. C. D.8.在九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某鳖臑的三视图，则该鳖臑的表面积为A. 6B. 21C. 27D. 549.已知x，y满足，的最大值为2，则直线过定点A. B. C. D.10.设函数，满足，若存在零点，则下列选项中一定错误的是A. B. C. D.11.若双曲线C：的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则C的离心率为A. B. C. D. 212.已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，且，则的面积为A. 或B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.若抛物线的准线经过直线与坐标轴的一个交点，则______．14.将容量为n的样本数据分成5组，绘制频率分布直方图，若第1至第5个矩形的面积之比为2：4：6：2：1，且最后两组数据的频数之和等于20，则n的值等于______．15.关于函数，有下列命题：由可得必是的整数倍；在区间上单调递增；的图象关于点对称；的图象关于直线对称．其中正确的命题的序号是______把你认为正确的命题序号都填上16.在几何体中，是正三角形，平面平面ABC，且，，则外接球的表面积等于______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.某数学教师在甲、乙两个平行班采用“传统教学”和“高效课堂”两种不同的教学模式进行教学实验．为了解教改实效，期中考试后，分别从两个班中各随机抽取20名学生的数学成绩进行统计，得到如图的茎叶图：Ⅰ求甲、乙两班抽取的分数的中位数，并估计甲、乙两班数学的平均水平和分散程度不要求计算出具体值，给出结论即可；Ⅱ若规定分数在的为良好，现已从甲、乙两班成绩为良好的同学中，用分层抽样法抽出4位同学参加座谈会，要再从这4位同学中任意选出2人发言，求这2人来自不同班的概率．18.已知正项数列的前n项和满足．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ记，设数列的前n项和为求证：．19.如图所示，平面平面ABCD，四边形ABCD是边长为4的正方形，，M，N分别是CD，PB的中点．Ⅰ证明：平面PAM；Ⅱ若，求四棱锥的体积．20.已知的两个顶点坐标是，，的周长为，O是坐标原点，点M满足．Ⅰ求点M的轨迹E的方程；Ⅱ若互相平行的两条直线l，分别过定点和，且直线l与曲线E交于P，Q两点，直线与曲线E交于R，S两点，若四边形PQRS的面积为，求直线l的方程．21.已知函数，．Ⅰ求函数在上的最值；Ⅱ若对，总有成立，求实数m的取值范围．22.已知不等式对于任意的恒成立．Ⅰ求实数m的取值范围；Ⅱ若m的最大值为M，且正实数a，b，c满足求证：．23.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，在以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为．Ⅰ若直线l与曲线C交于A，B两点，求线段AB的中点P的直角坐标；Ⅱ设点M是曲线C上任意一点，求面积的最大值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：0，1，；．故选：A．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．2.答案：B解析：解：，故，故选：B．求出z，求出z的模即可．本题考查了复数求模问题，考查复数的运算，是一道基础题．3.答案：A解析：解：，则．故选：A．直接利用诱导公式化简求解即可．本题考查诱导公式的应用，三角函数的化简求值，是基础题．4.答案：B解析：【分析】本题考查程序框图，考查循环语句，是基础题．模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的i，S的值，当时，满足条件，退出循环，输出i的值为9，从而得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得：，否；，否；，否；，否；，是，输出．故选B．5.答案：C解析：解：由题意可得，因为，所以，即，所以，设向量与夹角，所以，因为，所以．故选：C．由已知结合向量数量积的性质及向量的夹角公式即可求解．本题主要考查了向量数量积的性质的简单应用，解题的关键是熟练掌握基本公式．6.答案：A解析：解：，即函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B，当时，，排除D，当，，排除C，故选：A．判断函数的奇偶性，以及函数值的符号，以及极限思想进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性，函数值的符号以及极限思想是解决本题的关键．7.答案：B解析：解：由函数存在极值可得存在变号零点，故即，因为，表示的图形是边长为1的正方形，而所对应的平面区域如图所示的阴影部分的三角形，故函数存在极值的概率．故选：B．由函数存在极值可得存在变号零点，结合二次函数的性质及与面积有关的几何概型即可求解．本题主要考查了函数存在极值条件的应用及与面积有关的几何概型公式的应用，属于中档试题．8.答案：C解析：解：根据几何体的三视图：得知：该几何体是由一个底面以3和4为直角边的直角三角形和高为3的四面体构成，所以：，，故选：C．直接利用三视图的转换的表面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三视图的应用，几何体的表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．9.答案：A解析：解：画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示；由图可知，C为目标函数取得最大值的最优解，联立，解得，所以，即；所以，代入，得，即，由，解得．所以直线必过定点．故选：A．由约束条件作出可行域，得到目标函数取得最大值的最优解；求出最优解的坐标，代入目标函数得到a，b的关系；再代入直线由直线系方程得答案．本题考查了简单的线性规划应用问题，也考查了数形结合的解题思想与数学转化方法，是中档题．10.答案：C解析：解：函数的定义域为，函数是增函数，满足，说明，，，有1个是负数一定是两个正数或3个负数，由函数的零点判断定理可知，函数的零点在，在，在，不可能在．故选：C．利用函数的单调性，结合函数的零点判断定理判断选项的正误即可．本题考查函数的零点判断定理的应用，是基本知识的考查，基础题．11.答案：D解析：解：设双曲线C：的一条渐近线不妨为：，圆的圆心，半径为：2，双曲线C：的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为：，解得：，可得，即．故选：D．通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，圆的方程的应用，考查计算能力．12.答案：D解析：解：，，，，即，或．若，则，，故，与，矛盾．，由余弦定理得，，．故选：D．根据正弦定理和两角和的正弦公式化简条件得出sin A的值，利用余弦定理计算bc，代入面积公式即可求出三角形的面积．本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积计算，属于中档题．13.答案：2解析：解：抛物线的准线：，经过直线与坐标轴的一个交点，可得：，解得．故答案为：2．判断抛物线的准线方程，利用直线与x轴的交点在抛物线的准线上，求解即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．14.答案：100解析：解：将容量为n的样本数据分成5组，绘制频率分布直方图，第1至第5个矩形的面积之比为2：4：6：2：1，且最后两组数据的频数之和等于20，．故答案为：100．利用频率分布直方图的性质能求出n的值．本题考查样本单元数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.答案：解析：解：函数，特例：，，满足，但是不是的整数倍；所以不正确；的周期为，，可得是函数的单调增区间，所以函数在区间上单调递增；所以正确；可知时，，所以函数的图象关于点对称；所以正确；时，，所以函数的图象关于点对称；所以的图象不关于直线对称．所以不正确；故答案为：．利用特殊值判断；函数的单调性判断；函数的对称中心判断；函数的对称轴判断．本题考查命题的真假的判断与应用，三角函数的图象与性质的判断，考查转化思想以及计算能力，是中档题．16.答案：解析：【分析】本题考查平面与平面垂直的判断与性质，几何体的外接球的表面积的求法，考查空间想象能力和计算能力．通过平面与平面垂直，判断外接球的球心的位置，求出外接球的半径，即可求解外接球的表面积．【解答】解：是正三角形，所以三棱锥的外接球的球心一定在三角形PAB的过中心的垂线上，作出的中心G，作平面PAB，因为，取AC的中点为E，外接球的球心也在过E点的垂线上，，O为外接球的球心，由题意可知，，外接球的半径为：．外接球的表面积为：．故答案为：．17.答案：解：Ⅰ根据茎叶图得：甲班抽出同学数学分数的中位数：，乙班抽出同学数学分数的中位数：．乙班学生数学考试分数的平均水平高于甲班学生数学考试分数的平均水平，甲班学生数学考试分数的分散程度高于乙班学生数学考试分数的分散程度．Ⅱ根据茎叶图可知：甲、乙两班数学成绩为良好的人数分别为6、2，若用分层抽样法抽出4人，则应从甲、乙两班各抽出3人、1人．设“4位同学任意选出2人发言，这2人是来自不同班的同学”为事件A．将甲班选出的3人记为：a、b、c，乙班选出的1人记为：d．则共有“ab、ac、ad、bc、bd、cd”6种选法，事件A包含“ad、bd、cd”3种．故，．所以，选出的2人是来自不同班的同学的概率等于．解析：Ⅰ根据茎叶图得甲班抽出同学数学分数的中位数为118，乙班抽出同学数学分数的中位数为乙班学生数学考试分数的平均水平高于甲班学生数学考试分数的平均水平，甲班学生数学考试分数的分散程度高于乙班学生数学考试分数的分散程度．Ⅱ根据茎叶图可知甲、乙两班数学成绩为良好的人数分别为6、2，用分层抽样法抽出4人，则应从甲、乙两班各抽出3人、1人．设“4位同学任意选出2人发言，这2人是来自不同班的同学”为事件将甲班选出的3人记为：a、b、c，乙班选出的1人记为：利用列举法能求出选出的2人是来自不同班的同学的概率．本题考查中位数、平均数、概率的求法，考查茎叶图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.答案：解：Ⅰ，，由得，，即，因为，所以又由解得，故数列为等差数列，公差故；Ⅱ证明：，，所以．解析：Ⅰ由，两式相减得，再由得，然后求出，说明数列为等差数列，进而求得通项公式；Ⅱ由，进而证明结论．本题主要考查等差数列的定义、通项公式、裂项相消法在数列求和中的应用、不等式的放缩等基础知识，属于中档题．19.答案：Ⅰ证明：取线段AP的中点E，连接EN，EM，则且．在正方形ABCD中，是CD的中点，且．，且，则四边形CNEM为平行四边形，．平面PAM，平面PAM，平面PAM；Ⅱ解：过P作，垂足为O．平面平面ABCD，平面平面，平面PAB，平面ABCD．又，，四棱锥的高，故四棱锥的体积为：．解析：Ⅰ取线段AP的中点E，连接EN，EM，由三角形中位线定理结合已知可得四边形CNEM 为平行四边形，得到再由直线与平面平行的判定可得平面PAM；Ⅱ过P作，垂足为由平面与平面垂直的性质得到平面求出PO的值，再由棱锥体积公式求得四棱锥的体积．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．20.答案：解：Ⅰ由已知，得，所以，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆不含左右顶点．因为，，，所以，，，所以，点A的轨迹方程为．设，由得，，又．故，点M的轨迹E的方程为，即．Ⅱ由题意可知，当直线l的斜率不存在时，易求得，，，这时，四边形PQRS的面积为，不符合要求．当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为，则直线的方程为由消去y得，设，，则，．故，，又，两条平行直线l，间的距离．由椭圆的对称性知：四边形PQRS为平行四边形，其面积，解得，或．故，直线l的方程为或．解析：Ⅰ推出，说明点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆不含左右顶点求出方程设，由，转化求解点M的轨迹E的方程．Ⅱ当直线l的斜率不存在时，求出四边形PQRS的面积为，不符合要求．当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为，直线的方程为，联立直线与椭圆方程，设，，利用韦达定理弦长公式，点到直线的距离，表示三角形的面积，然后求解即可．本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，直线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是难题．21.答案：解：Ⅰ因为，单调递增，令得，．当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以，；又，；故，，．Ⅱ因为，，等价于，令，因为，总有成立，所以，在上单调递增．问题转化为对恒成立，即对恒成立．令，则由得，．当时，，递增，当时，，递减，，故m的取值范围是：．解析：Ⅰ先对函数求导，然后结合导数与单调性关系分析函数的单调性及极值，进而可求最值；Ⅱ由等价于，构造函数，结合已知不等式进行分离常量，转化为求解相应函数的最值．本题主要考查了导数研究函数的最值及取得的条件及由不等式的恒成立求解参数范围问题，分离常数是常见的处理方法．22.答案：Ⅰ解：，不等式对于任意的恒成立转化为，解得，的取值范围是；Ⅱ证明：，，又a，b，c均为正实数，配凑使用柯西不等式，得．当且仅当时上式等号成立．．解析：Ⅰ利用绝对值不等式的性质得，把不等式对于任意的恒成立转化为，求解绝对值的不等式得答案；Ⅱ由Ⅰ可得，配凑使用柯西不等式，得，则结论得证．本题考查绝对值不等式的解法，考查恒成立问题的求解方法，训练了利用柯西不等式求最值，是中档题．23.答案：解：Ⅰ曲线C的直角坐标方程为，将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得：，化简得，设A，B的参数分别为，，由韦达定理得：，于是设，则故，点P的直角坐标为．Ⅱ由Ⅰ知：，所以，又直线l的普通方程为，圆心到直线l的距离为，圆半径所以，点M到直线l的距离的最大值为．因此，面积的最大值为：．解析：Ⅰ直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．Ⅱ利用伸缩变换的应用求出函数的关系式，再利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．。

2020年高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．设集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |x 2+2x ﹣15＜0，x ∈Z}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，2}B ．{1，2，3}C ．{1，2，3，4}D ．{1，2，3，4，5}2．已知复数z 满足z •（1+i ）＝2，则|z |＝（ ） A ．1B ．√2C ．2D ．33．已知cos （π4−α）=45，则sin （π4+α）＝（ ） A ．45B ．35C ．−45D ．−354．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A ．7B ．9C ．10D ．115．已知向量a →，b →，|a →|=2，b →=(cosα，sinα)(α∈R)，若|a →+2b →|=2√3，则a →与b →夹角是（ ） A ．5π6B ．2π3C ．π3D ．π66．函数f(x)=ln(x 2+1)x 3的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知实数a ，b 满足0≤a ≤1，0≤b ≤1，则函数f （x ）＝x 3﹣ax 2+b 2x +1存在极值的概率为（ ） A ．16B ．√36C ．13D ．√338．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑（bi ē，n ào ）．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某鳖臑的三视图，则该鳖臑的表面积为（ ）A ．6B ．21C ．27D ．549．已知实数x ，y 满足{x −2≥0y −2≥0x +y −8≤0，z ＝ax +by （a ＞b ＞0）的最大值为2，则直线ax +by﹣1＝0过定点（ ） A ．（3，1）B ．（﹣1，3）C ．（1，3）D ．（﹣3，1）10．设函数f （x ）＝e x +lnx ，满足f （a ）f （b ）f （c ）＜0（a ＜b ＜c ），若f （x ）存在零点x 0，则下列选项中一定错误的是（ ） A ．x 0∈（a ，c ） B ．x 0∈（a ，b ） C ．x 0∈（b ，c ） D ．x 0∈（c ，+∞）11．若双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被圆（x +2）2+y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）A ．2√33B ．√2C ．√3D ．212．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，a +b +c ＝3，且c sin A cos B+a sin B cos C=√32a，则△ABC的面积为（）A．√34或3√34B．3√33C．2√33D．√34二、填空题13．若抛物线y2＝2px（p＞0）的准线经过直线y＝x+1与坐标轴的一个交点，则p＝．14．将容量为n的样本数据分成5组，绘制频率分布直方图，若第1至第5个矩形的面积之比为2：4：6：2：1，且最后两组数据的频数之和等于20，则n的值等于．15．关于函数f(x)=4sin(2x+π3)(x∈R)，有下列命题：①由f（x1）＝f（x2）＝0可得x1﹣x2必是π的整数倍；②y＝f（x）在区间(−5π13，π13)上单调递增；③y＝f（x）的图象关于点(−π6，0)对称；④y＝f（x）的图象关于直线x=−π6对称．其中正确的命题的序号是．（把你认为正确的命题序号都填上）16．在几何体P﹣ABC中，△PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABC，且AB＝BC＝2，AB⊥BC，则P﹣ABC外接球的表面积等于．三、解答题17．某数学教师在甲、乙两个平行班采用“传统教学”和“高效课堂”两种不同的教学模式进行教学实验．为了解教改实效，期中考试后，分别从两个班中各随机抽取20名学生的数学成绩进行统计，得到如图的茎叶图：（Ⅰ）求甲、乙两班抽取的分数的中位数，并估计甲、乙两班数学的平均水平和分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（Ⅱ）若规定分数在[90，110）的为良好，现已从甲、乙两班成绩为良好的同学中，用分层抽样法抽出4位同学参加座谈会，要再从这4位同学中任意选出2人发言，求这2人来自不同班的概率．18．已知正项数列{a n }的前n 项和S n 满足4S n ＝a n 2+2a n ． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）记b n =1(a n +1)2，设数列{b n }的前n 项和为T n ．求证：T n ＜12．19．如图所示，平面PAB ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为4的正方形，∠APB ＝90°，M ，N 分别是CD ，PB 的中点． （Ⅰ）证明：CN ∥平面PAM ；（Ⅱ）若∠PAB ＝60°，求四棱锥P ﹣ABCM 的体积．20．已知△ABC 的两个顶点坐标是B(−2√3，0)，C(2√3，0)，△ABC 的周长为8+4√3，O 是坐标原点，点M 满足OA →=2OM →． （Ⅰ）求点M 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）若互相平行的两条直线l ，l '分别过定点(−√3，0)和(√3，0)，且直线l 与曲线E交于P ，Q 两点，直线l '与曲线E 交于R ，S 两点，若四边形PQRS 的面积为8√65，求直线l 的方程．21．已知函数f （x ）＝xlnx ，g （x ）=12x 2．（Ⅰ）求函数f （x ）在[1e 2，e]上的最值； （Ⅱ）若对b ＞a ＞0，总有m [g （b ）﹣g （a ）]＞f （b ）﹣f （a ）成立，求实数m 的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知不等式|2x+1|+|2x﹣1|≥|m+1|对于任意的x∈R恒成立．（Ⅰ）求实数m的取值范围；（Ⅱ）若m的最大值为M，且正实数a，b，c满足a+b+c＝M．求证：12a+b +3b+2c≥2+√3．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=3+√32ty=12t（t为参数），在以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ．（Ⅰ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求线段AB的中点P的直角坐标；（Ⅱ）设点M是曲线C上任意一点，求△MAB面积的最大值．参考答案一、选择题.1．设集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |x 2+2x ﹣15＜0，x ∈Z}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，2}B ．{1，2，3}C ．{1，2，3，4}D ．{1，2，3，4，5}【分析】可求出集合B ，然后进行交集的运算即可．解：B ＝{x |﹣5＜x ＜3，x ∈Z}＝{﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}； ∴A ∩B ＝{1，2}． 故选：A ．2．已知复数z 满足z •（1+i ）＝2，则|z |＝（ ） A ．1B ．√2C ．2D ．3【分析】求出z ，求出z 的模即可． 解：z =21+i=1﹣i ， 故|z |=√2， 故选：B ．3．已知cos （π4−α）=45，则sin （π4+α）＝（ ）A ．45B ．35C ．−45D ．−35【分析】直接利用诱导公式化简求解即可．解：cos(π4−α)=45，则sin(π4+α)=cos(π2−(π4+α))=cos(π4−α)=45．故选：A ．4．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A．7B．9C．10D．11【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的i，S的值，当S＝﹣lg11时，满足条件，退出循环，输出i的值为9，从而得解．解：模拟程序的运行，可得：i=1，S=lg13=−lg3＞−1，否；i=3，S=lg13+lg35=lg15=−lg5＞−1，否；i=5，S=lg15+lg57=lg17=−lg7＞−1，否；i=7，S=lg17+lg79=lg19=−lg9＞−1，否；i=9，S=lg19+lg911=lg111=−lg11＜−1，是，输出i＝9，故选：B．5．已知向量a→，b→，|a→|=2，b→=(cosα，sinα)(α∈R)，若|a→+2b→|=2√3，则a→与b→夹角是（）A．5π6B．2π3C．π3D．π6【分析】由已知结合向量数量积的性质及向量的夹角公式即可求解．解：由题意可得|b→|＝1，因为|a→+2b→|=2√3，所以a2+4a→⋅b→+4b→2=12，即8+4a→⋅b→=12，所以a →⋅b →=1，设向量a →与b →夹角θ，所以cos θ=a →⋅b→|a →||b →|=12，因为θ∈[0，π]，所以θ=π3． 故选：C ．6．函数f(x)=ln(x 2+1)3的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】判断函数的奇偶性，以及函数值的符号，以及极限思想进行判断即可． 解：f （﹣x ）＝﹣f （x ），即函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B ， 当x ＞0时，f （x ）＞0，排除D ， 当x →+∞，f （x ）→+0，排除C ， 故选：A ．7．已知实数a ，b 满足0≤a ≤1，0≤b ≤1，则函数f （x ）＝x 3﹣ax 2+b 2x +1存在极值的概率为（ ） A ．16B ．√36C ．13D ．√33【分析】由函数f （x ）＝x 3﹣ax 2+b 2x +1存在极值可得f ′（x ）＝3x 2﹣2ax +b 2＝0存在变号零点，结合二次函数的性质及与面积有关的几何概型即可求解．解：由函数f （x ）＝x 3﹣ax 2+b 2x +1存在极值可得f ′（x ）＝3x 2﹣2ax +b 2＝0存在变号零点，故△＝4a 2﹣12b 2＞0即（a −√3b ）（a +√3b ）＞0， 因为0≤a ≤1，0≤b ≤1表示的图形是边长为1的正方形，而（a−√3b）（a+√3b）＞0所对应的平面区域如图所示的阴影部分的三角形，故函数f（x）＝x3﹣ax2+b2x+1存在极值的概率P=12×1×√331×1=√36．故选：B．8．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑（biē，nào）．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某鳖臑的三视图，则该鳖臑的表面积为（）A．6B．21C．27D．54【分析】直接利用三视图的转换的表面积公式的应用求出结果．解：根据几何体的三视图：得知：该几何体是由一个底面以3和4为直角边的直角三角形和高为3的四面体构成，所以：S=12⋅3⋅5+12⋅3⋅4+12⋅3⋅5+12⋅3⋅4，＝27，故选：C．9．已知实数x ，y 满足{x −2≥0y −2≥0x +y −8≤0，z ＝ax +by （a ＞b ＞0）的最大值为2，则直线ax +by﹣1＝0过定点（ ） A ．（3，1）B ．（﹣1，3）C ．（1，3）D ．（﹣3，1）【分析】由约束条件作出可行域，得到目标函数取得最大值的最优解；求出最优解的坐标，代入目标函数得到a ，b 的关系；再代入直线ax +by ﹣1＝0由直线系方程得答案． 解：画出不等式组{x −2≥0y −2≥0x +y −8≤0表示的平面区域，如图阴影部分所示；由图可知，C 为目标函数取得最大值的最优解， 联立{y −2=0x +y −8=0，解得C （6，2），所以6a +2b ＝2，即3a +b ＝1； 所以b ＝1﹣3a ，代入ax +by ﹣1＝0，得ax +y ﹣3ay ﹣1＝0， 即a （x ﹣3y ）+y ﹣1＝0， 由{x −3y =0y −1=0，解得{x =3y =1．所以直线ax +by ﹣1＝0必过定点（3，1）． 故选：A ．10．设函数f （x ）＝e x +lnx ，满足f （a ）f （b ）f （c ）＜0（a ＜b ＜c ），若f （x ）存在零点x 0，则下列选项中一定错误的是（ ） A ．x 0∈（a ，c ）B ．x 0∈（a ，b ）C ．x 0∈（b ，c ）D ．x 0∈（c ，+∞）【分析】利用函数的单调性，结合函数的零点判断定理判断选项的正误即可． 解：函数f （x ）＝e x +lnx 的定义域为{x |x ＞0}，函数是增函数，满足f （a ）f （b ）f （c ）＜0（a ＜b ＜c ），说明f （a ），f （b ），f （c ），有1个是负数一定是f （a ）两个正数或3个负数，由函数的零点判断定理可知，函数的零点在（a ，c ），在（a ，b ），在（c ，+∞）， 不可能在（b ，c ）． 故选：C ． 11．若双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被圆（x +2）2+y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）A ．2√33B ．√2C ．√3D ．2【分析】通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可． 解：设双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线不妨为：bx +ay ＝0，圆（x ﹣2）2+y 2＝4的圆心（2，0），半径为：2， 双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被圆（x ﹣2）2+y 2＝4所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为：√22−12=√a 2+b ，解得：4c 2−4a 2c =3，可得e 2＝4，即e ＝2．故选：D ．12．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，a +b +c ＝3，且c sin A cos B +a sin B cos C =√32a ，则△ABC 的面积为（ ）A ．√34或3√34B ．3√33C ．2√33D ．√34【分析】根据正弦定理和两角和的正弦公式化简条件得出sin A 的值，利用余弦定理计算bc ，代入面积公式即可求出三角形的面积．解：∵c sin A cos B +a sin B cos C =√32a ，∴sin C sin A cos B +sin A sin B cos C =√32sin A ，∵sin A ≠0，∴sin C cos B +sin B cos C =√32，即sin （B +C ）＝sin A =√32，∴A=π3或A=2π3．若A=2π3，则a＞b，a＞c，故2a＞b+c，与a＝1，b+c＝2矛盾．∴A=π3，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝（b+c）2﹣3bc＝1，∴bc＝1，∴S=12bc sin A=12×1×√32=√34．故选：D．二、填空题13．若抛物线y2＝2px（p＞0）的准线经过直线y＝x+1与坐标轴的一个交点，则p＝2．【分析】判断抛物线的准线方程，利用直线与x轴的交点在抛物线的准线上，求解即可．解：抛物线y2＝2px（p＞0）的准线：x=−p2，经过直线y＝x+1与坐标轴的一个交点（﹣1，0），可得：−p2=−1，解得p＝2．故答案为：2．14．将容量为n的样本数据分成5组，绘制频率分布直方图，若第1至第5个矩形的面积之比为2：4：6：2：1，且最后两组数据的频数之和等于20，则n的值等于100．【分析】利用频率分布直方图的性质能求出n的值．解：将容量为n的样本数据分成5组，绘制频率分布直方图，第1至第5个矩形的面积之比为2：4：6：2：1，且最后两组数据的频数之和等于20，∴n=201+22+4+6+2+1=100．故答案为：100．15．关于函数f(x)=4sin(2x+π3)(x∈R)，有下列命题：①由f（x1）＝f（x2）＝0可得x1﹣x2必是π的整数倍；②y＝f（x）在区间(−5π13，π13)上单调递增；③y＝f（x）的图象关于点(−π6，0)对称；④y＝f（x）的图象关于直线x=−π6对称．其中正确的命题的序号是 ②③ ．（把你认为正确的命题序号都填上）【分析】利用特殊值判断①；函数的单调性判断②；函数的对称中心判断③；函数的对称轴判断④．解：函数f(x)=4sin(2x +π3)(x ∈R)，①特例：x 1=−π6，x 2=π3，满足f （x 1）＝f （x 2）＝0，但是x 1﹣x 2不是π的整数倍；所以①不正确；②y ＝f （x ）的周期为π，−π2≤2x +π3≤π2，可得−5π12≤x ≤π12是函数的单调增区间，所以函数在区间(−5π13，π13)上单调递增；所以②正确；③y ＝f （x ）可知x =−π6时，f （x ）＝4sin0＝0，所以函数的图象关于点(−π6，0)对称；所以③正确；④x =−π6时，f （x ）＝4sin0＝0，所以函数的图象关于点(−π6，0)对称；所以y ＝f （x ）的图象不关于直线x =−π6对称．所以④不正确； 故答案为：②③．16．在几何体P ﹣ABC 中，△PAB 是正三角形，平面PAB ⊥平面ABC ，且AB ＝BC ＝2，AB ⊥BC ，则P ﹣ABC 外接球的表面积等于28π3．【分析】通过平面与平面垂直，判断外接球的球心的位置，求出外接球的半径，即可求解外接球的表面积．解：△PAB 是正三角形，所以三棱锥的外接球的球心一定在三角形PAB 的中心的垂线上，因为平面PAB ⊥平面ABC ，所以作GO ⊥平面PAB ，AB ⊥BC ，外接球的球心也在平面ABC 的重心的垂线上，作OE ⊥平面ABC 交AC 于E ，O 为外接球的球心，由题意可知EC =√2，GD =13×√32×2=√33，外接球的半径为：OC =(33)2+(√2)2=√73．外接球的表面积为：4π×(√73)2=28π3．故答案为：28π3．三、解答题17．某数学教师在甲、乙两个平行班采用“传统教学”和“高效课堂”两种不同的教学模式进行教学实验．为了解教改实效，期中考试后，分别从两个班中各随机抽取20名学生的数学成绩进行统计，得到如图的茎叶图：（Ⅰ）求甲、乙两班抽取的分数的中位数，并估计甲、乙两班数学的平均水平和分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（Ⅱ）若规定分数在[90，110）的为良好，现已从甲、乙两班成绩为良好的同学中，用分层抽样法抽出4位同学参加座谈会，要再从这4位同学中任意选出2人发言，求这2人来自不同班的概率．【分析】（Ⅰ）根据茎叶图得甲班抽出同学数学分数的中位数为118，乙班抽出同学数学分数的中位数为128．乙班学生数学考试分数的平均水平高于甲班学生数学考试分数的平均水平，甲班学生数学考试分数的分散程度高于乙班学生数学考试分数的分散程度． （Ⅱ）根据茎叶图可知甲、乙两班数学成绩为良好的人数分别为6、2，用分层抽样法抽出4人，则应从甲、乙两班各抽出3人、1人．设“4位同学任意选出2人发言，这2人是来自不同班的同学”为事件A ．将甲班选出的3人记为：a 、b 、c ，乙班选出的1人记为：d ．利用列举法能求出选出的2人是来自不同班的同学的概率． 解：（Ⅰ）根据茎叶图得： 甲班抽出同学数学分数的中位数：122+1142=118，乙班抽出同学数学分数的中位数：128+1282=128．乙班学生数学考试分数的平均水平高于甲班学生数学考试分数的平均水平， 甲班学生数学考试分数的分散程度高于乙班学生数学考试分数的分散程度． （Ⅱ）根据茎叶图可知：甲、乙两班数学成绩为良好的人数分别为6、2，若用分层抽样法抽出4人，则应从甲、乙两班各抽出3人、1人． 设“4位同学任意选出2人发言，这2人是来自不同班的同学”为事件A ． 将甲班选出的3人记为：a 、b 、c ，乙班选出的1人记为：d ． 则共有“ab 、ac 、ad 、bc 、bd 、cd ”6种选法， 事件A 包含“ad 、bd 、cd ”3种．故，P(A)=36=12． 所以，选出的2人是来自不同班的同学的概率等于12． 18．已知正项数列{a n }的前n 项和S n 满足4S n ＝a n 2+2a n ． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）记b n =1(a n +1)2，设数列{b n }的前n 项和为T n ．求证：T n ＜12．【分析】（Ⅰ）由4S n =a n 2+2a n ⇒4S n+1=a n+12+2a n+1，两式相减得（a n +1+a n ）（a n +1﹣a n ﹣2）＝0，再由a n ＞0得a n +1﹣a n ＝2，然后求出a 1，说明数列{a n }为等差数列，进而求得通项公式； （Ⅱ）由a n ＝2n ⇒b n =1(2n+1)2＜1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，进而证明结论．解：（Ⅰ）∵4S n =a n 2+2a n ①，∴4S n+1=a n+12+2a n+1②，由②﹣①得，4a n+1=a n+12−a n 2+2a n+1−2a n ，即（a n +1+a n ）（a n +1﹣a n ﹣2）＝0，因为a n +1+a n ＞0，所以a n +1﹣a n ＝2．又由4S 1=a 12+2a 1解得a 1＝2，故数列{a n }为等差数列，公差d ＝2．故a n ＝2（n ﹣1）×2＝2n ； （Ⅱ）证明：∵a n ＝2n ，∴b n =1(2n+1)2＜1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，所以T n ＜12(1−13)+12(13−15)+12(15−17)+⋯+12(12n−1−12n+1)=12−14n+2＜12．19．如图所示，平面PAB ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为4的正方形，∠APB ＝90°，M ，N 分别是CD ，PB 的中点．（Ⅰ）证明：CN∥平面PAM；（Ⅱ）若∠PAB＝60°，求四棱锥P﹣ABCM的体积．【分析】（Ⅰ）取线段AP的中点E，连接EN，EM，由三角形中位线定理结合已知可得四边形CNEM为平行四边形，得到CN∥EM．再由直线与平面平行的判定可得CN∥平面PAM；（Ⅱ）过P作PO⊥AB，垂足为O．由平面与平面垂直的性质得到PO⊥平面ABCD．求出PO的值，再由棱锥体积公式求得四棱锥P﹣ABCM的体积．【解答】（Ⅰ）证明：取线段AP的中点E，连接EN，EM，则EN∥AB且EN=12 AB．在正方形ABCD中，∵M是CD的中点，∴CM∥AB且CM=12 AB．∴CM∥EN，且CM＝EN，则四边形CNEM为平行四边形，∴CN∥EM．∵CN⊄平面PAM，EM⊂平面PAM，∴CN∥平面PAM；（Ⅱ）解：过P作PO⊥AB，垂足为O．∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PO⊂平面PAB，∴PO⊥平面ABCD．又∠PAO＝∠PAB＝60°，PA=12AB=2，四棱锥P﹣ABCM的高PO=2sin60°=√3，故四棱锥P﹣ABCM的体积为：V P−ABCM=13×12(2+4)×4×√3=4√3．20．已知△ABC 的两个顶点坐标是B(−2√3，0)，C(2√3，0)，△ABC 的周长为8+4√3，O 是坐标原点，点M 满足OA →=2OM →． （Ⅰ）求点M 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）若互相平行的两条直线l ，l '分别过定点(−√3，0)和(√3，0)，且直线l 与曲线E交于P ，Q 两点，直线l '与曲线E 交于R ，S 两点，若四边形PQRS 的面积为8√65，求直线l 的方程．【分析】（Ⅰ）推出|AB |+|AC |＝8＞|BC |，说明点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆（不含左右顶点）．求出方程设M （x ，y ），A （x 0，y 0）．由OA →=2OM →，转化求解点M 的轨迹E 的方程．（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，求出四边形PQRS 的面积为2√3，不符合要求．当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y =k(x +√3)，直线l '的方程为y =k(x −√3)，联立直线与椭圆方程，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），利用韦达定理弦长公式，点到直线的距离，表示三角形的面积，然后求解即可． 解：（Ⅰ）由已知，得|AB |+|AC |＝8＞|BC |，所以，点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆（不含左右顶点）． 因为，2a ＝8，c =2√3，所以，a ＝4，b ＝2， 所以，点A 的轨迹方程为x 216+y 24=1(y ≠0)．设M （x ，y ），A （x 0，y 0）．由OA →=2OM →得，{x 0=2x y 0=2y ，又x 0216+y 024=1． 故，点M 的轨迹E 的方程为(2x)216+(2y)24=1，即x 24+y 2=1(y ≠0)．（Ⅱ）由题意可知，当直线l 的斜率不存在时，易求得P(−√3，12)，Q(−√3，−12)，R(√3，−12)，S(√3，12)．这时，四边形PQRS 的面积为2√3，不符合要求． 当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y =k(x +√3)，则直线l '的方程为y =k(x −√3)由{y =k(x +√3)，x 24+y 2=1，消去y 得(1+4k 2)x 2+8√3k 2x +12k 2−4=0，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则x 1+x 2=−8√3k 21+4k2，x 1⋅x 2=12k 2−41+4k2． 故，|PQ|=√1+k 2|x1−x 2|=√1+k 2√(x1+x 2)2−4x 1x 2=4(1+k 2)1+4k2，又，两条平行直线l ，l '间的距离d =√3|k|√1+k ．由椭圆的对称性知：四边形PQRS 为平行四边形，其面积S =|PQ|⋅d =8√3|k|√1+k 21+4k2=8√65， 解得，k ＝±1或k =±√147．故，直线l 的方程为y =±(x +√3)或y =±√147(x +√3)．21．已知函数f （x ）＝xlnx ，g （x ）=12x 2．（Ⅰ）求函数f （x ）在[1e 2，e]上的最值； （Ⅱ）若对b ＞a ＞0，总有m [g （b ）﹣g （a ）]＞f （b ）﹣f （a ）成立，求实数m 的取值范围．【分析】（Ⅰ）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系分析函数的单调性及极值，进而可求最值；（Ⅱ）由m [g （b ）﹣g （a ）]＞f （b ）﹣f （a ）等价于mg （b ）﹣f （b ）＞mg （a ）﹣f （a ），构造函数h(x)=mg(x)−f(x)=m2x 2−xlnx ，结合已知不等式进行分离常量，转化为求解相应函数的最值．解：（Ⅰ）因为，f '（x ）＝lnx +1单调递增， 令f '（x ）＝lnx +1＝0得，x =1e． 当x ∈(1e2，1e )时，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减；当x ∈(1e ，e)时，f '（x ）＞0，f （x ）单调递增．所以，f(x)min =f(x)极小值=f(1e )=−1e；又f(1e2)=−2e 2，f （e ）＝e ；故，f(x)min=f(1e)=−1e，f（x）max＝f（e）＝e．（Ⅱ）因为，m[g（b）﹣g（a）]＞f（b）﹣f（a），等价于mg（b）﹣f（b）＞mg（a）﹣f（a），令h(x)=mg(x)−f(x)=m2x2−xlnx，因为b＞a＞0，总有m[g（b）﹣g（a）]＞f（b）﹣f（a）成立，所以，h（x）在（0，+∞）上单调递增．问题转化为h'（x）＝mx﹣lnx﹣1≥0对x∈（0，+∞）恒成立，即m≥lnx+1x对x∈（0，+∞）恒成立．令φ(x)=lnx+1x，则φ′(x)=−lnxx2．由φ′(x)=−lnxx2=0得，x＝1．当x∈（0，1）时，φ'（x）＞0，φ（x）递增，当x∈（1，+∞）时，φ'（x）＜0，φ（x）递减，φ（x）max＝φ（1）＝1，故m的取值范围是：[1，+∞）．一、选择题23．已知不等式|2x+1|+|2x﹣1|≥|m+1|对于任意的x∈R恒成立．（Ⅰ）求实数m的取值范围；（Ⅱ）若m的最大值为M，且正实数a，b，c满足a+b+c＝M．求证：12a+b +3b+2c≥2+√3．【分析】（Ⅰ）利用绝对值不等式的性质得|2x+1|+|2x﹣1|≥2，把不等式|2x+1|+|2x﹣1|≥|m+1|对于任意的x∈R恒成立转化为|m+1|≤2，求解绝对值的不等式得答案；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a+b+c＝1，配凑使用柯西不等式，得12a+b+3b+2c=12[(2a+b)+(b+2c)](12a+b +32b+c)，则结论得证．【解答】（Ⅰ）解：∵|2x+1|+|2x﹣1|≥|（2x+1）﹣（2x﹣1）|＝2，∴不等式|2x+1|+|2x﹣1|≥|m+1|对于任意的x∈R恒成立转化为|m+1|≤2，解得﹣3≤m≤1，∴m的取值范围是[﹣3，1]；（Ⅱ）证明：∵M＝1，∴a+b+c＝1，又a，b，c均为正实数，配凑使用柯西不等式，得12a+b +3b+2c=12[(2a +b)+(b +2c)](12a+b+3b+2c)≥12(√2a +b ⋅√12a+b +√b +2c ⋅√3b+2c)2=12(1+√3)2=2+√3． 当且仅当3(2a+b)b+2c =b+2c 2a+b时上式等号成立．∴12a+b+3b+2c≥2+√3．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =3+√32ty =12t（t 为参数），在以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ． （Ⅰ）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求线段AB 的中点P 的直角坐标； （Ⅱ）设点M 是曲线C 上任意一点，求△MAB 面积的最大值．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用伸缩变换的应用求出函数的关系式，再利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．解：（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为（x ﹣2）2+y 2＝4，将直线l 的参数方程{x =3+√32t y =12t代入曲线C 的直角坐标方程得：(3+√32t −2)2+(12t)2=4，化简得t 2+√3t −3=0，设A ，B 的参数分别为t 1，t 2，由韦达定理得：t 1+t 2=−√3，于是t P =t 1+t 22=−√32．设P （x 0，y 0），则{x 0=3+√32×(−√32)=94y 0=12×(−√32)=−√34故，点P 的直角坐标为P(94，−√34)．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：t 1+t 2=−√3，t 1•t 2＝﹣3 所以，|AB|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√15又直线l 的普通方程为x −√3y −3=0，圆心C （2，0）到直线l 的距离为d =√1+(√3)2=12，圆半径r＝2．所以，点M到直线l的距离的最大值为h max=d+r=52．因此，△MAB面积的最大值为：S=12|AB|⋅h max=12√15×52=5√154．。

高考数学二模试卷（文科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={1，3，5，7，9，11}，B={5，9}，则∁A B=（ ）A. {5，9}B. {1，3，7，11}C. {1，3，7，9，11}D. {1，3，5，7，9，11}2.已知复数z满足（2-i）Z=|3+4i|，则Z=（ ）A. -2-iB. 2-iC. -2+iD. 2+i3.已知命题p：∀x＞0，x3≤0，那么￢p是（ ）A. ∀x＞0，x3＞0B. ∀x＜0，x3＞0C.D.4.图1是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号的同学的成绩依次为A1，A2，…，A16，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生情况的程序框图，那么该程序框图输出的结果是（ ）A. 6B. 10C. 7D. 165.已知α∈（，π），且sinα+cosα=-，则cos2α=（ ）A. B. C. D.6.设a=20.5，b=0.52，c=log20.5，则a，b，c的大小关系为（ ）A. c＞a＞bB. c＞b＞aC. a＞b＞cD. b＞a＞c7.设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）的最小正周期为π，且f（-x）=f（x），则（ ）A. f（x）在单调递减B. f（x）在（，）单调递减C. f（x）在（0，）单调递增D. f（x）在（，）单调递增8.已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左右焦点为F1，F2，过左焦点F1作垂直于x轴的直线交双曲线的两条渐近线于M，N两点，若∠MF2N是直角，则双曲线的离心率是（ ）A. B. C.3 D. 49.已知正方体的棱长为1，是棱的中点，点在正方体内部或正方体的表面上，且平面，则动点的轨迹所形成的区域面积是（）A. B. C. D.10.已知三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.11.已知点A（3，0），过抛物线y2=8x上一点P的直线与直线x=-2垂直相交于点B，若|PB|=|PA|，则P的横坐标为（ ）A. B. 2 C. D. 112.已知关于x的方程e x-2x-k=0有2个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）A. （-∞，2-2ln2]B. （-∞，2-2ln2）C. [2-2ln2，+∞）D. （2-2ln2，+∞）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知平面向量，，若，则实数m等于______．14.如图，点D是△ABC的边BC上一点，AB=，AD=2，BD=1，∠ACB=45°，那么∠ADB=______，AC=______15.若点M（x，y）（其中x，y∈Z）为平面区域内的一个动点，已知点A（3，4），O为坐标原点，则的最小值为______．16.已知函数在区间（-∞，a]上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}的前n项和S n满足4a n-3S n=2，其中n∈N*．（Ⅰ）求证：数列{a n}为等比数列；（Ⅱ）设b n=a n-4n，求数列{b n}的前n项和T n．18.某中学有初中学生1800人，高中学生1200人．为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）写出a的值；（Ⅱ）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；（Ⅲ）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，求至少抽到1名高中生的概率．19.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，AB=2，∠BAD=60°，M是PD的中点．（Ⅰ）求证：OM∥平面PAB；（Ⅱ）求证：平面PBD⊥平面PAC；（Ⅲ）当三棱锥C-PBD的体积等于时，求PA的长．20.已知椭圆C的离心率为，点在椭圆C上．直线l过点（1，1），且与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点O为坐标原点，延长线段OM与椭圆C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求出此时直线l的方程，若不能，说明理由．21.已知函数f（x）=+x．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线经过点（0，1），求实数a的值；（Ⅱ）求证：当a＜0时，函数f（x）至多有一个极值点；22.在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为（，），直线l的极坐标方程为ρcos（θ-）=a，且点A在直线l上（Ⅰ）求a的值和直线l的直角坐标方程及l的参数方程；（Ⅱ）已知曲线C的参数方程为，（α为参数），直线l与C交于M ，N两点，求的值23.设函数f（x）=|x-a|+|2x-a|（a＜0）．（1）证明：f（x）+f（-）≥6；（2）若不等式f（x）＜的解集为非空集，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：集合A={1，3，5，7，9，11}，B={5，9}，由集合补集的定义则∁A B={1，3，7，11}；故选：B．利用补集的定义求解即可．本题考查集合的基本运算，基本知识的考查．2.【答案】D【解析】解：由（2-i）Z=|3+4i|=5，得Z=．故选：D．把已知等式变形再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】D【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，若命题p：∀x＞0，x3≤0，则￢p是：．故选：D．直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定．特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．4.【答案】B【解析】解：由算法流程图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数，所以由茎叶图知：数学成绩大于等于90的人数为10，因此输出结果为10．故选：B．模拟执行算法流程图可知其统计的是数学成绩大于等于90的人数，由茎叶图知：数学成绩大于等于90的人数为10，从而得解．本题考查学生对茎叶图的认识，通过统计学知识考查程序流程图的认识，是一道综合题．5.【答案】A【解析】解：∵α∈（，π），且sinα+cosα=-，∴1+2sinαcosα=，2sinαcosα=-＜0，…（4分）∴sinα＞0，cosα＜0．cosα-sinα＜0．…（6分）又∵（cosα-sinα）2=1-2sinαcosα=，从而有：cosα-sinα=-，…（9分）∴cos2α=cos2α-sin2α=（cosα-sinα）（cosα+sinα）=（-）×（-）=．…（12分）故选：A．首先将所给式子平方求出2cosαsinα，进而结合α的范围得出cosα-sinα＜0，然后求出cosα-sinα，再利用二倍角的余弦公式求出结果．本题考查了二倍角的余弦，解题过程中要注意根据角的范围判断角的符号，属于中档题．6.【答案】C【解析】解：∵0＜0.52＜1，20.5＞1，log20.5＜0，∴a＞b＞c，故选：C．利用指数函数y=2x、y=0.5x及对数函数y=log2x的单调性，即可比较出三个数的大小．本题考查了指数函数和对数函数类型数的大小比较，充分理解指数函数和对数函数的单调性是解决问题的关键．7.【答案】A【解析】【分析】本题考查三角函数解析式的确定问题，考查辅助角公式的运用，考查三角恒等变换公式的逆用等问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的整体思想和余弦曲线的认识和把握．属于三角中的基本题型．利用辅助角公式将函数表达式进行化简，根据周期与ω的关系确定出ω的值，根据函数的偶函数性质确定出φ的值，再对各个选项进行考查筛选．【解答】解：由于f（x）=sin（ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ）=，由于该函数的最小正周期为T=，得出ω=2，又根据f（-x）=f（x），得φ+=+kπ（k∈Z），以及|φ|＜，得出φ=．因此，f（x）=cos2x，若x∈，则2x∈（0，π），从而f（x）在单调递减，若x∈（，），则2x∈（，），该区间不为余弦函数的单调区间，故B，C，D都错，A正确．故选A．8.【答案】B【解析】解：如图：∵双曲线-=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F2，过其左焦点F1作x轴的垂线交双曲线渐近线于M，N两点，∴|MF1|=|NF1|=，|F1F2|=2c，∵∠MF2N是钝角，∴∠MAF2=45°，∴2c=，∴2ac=bc，4a2=c2-a2，解得e=，或e=-舍去故选：B．由已知条件，结合双曲线性质推导出|MF|=|NF|=，|F1F2|=a+c，∠MF2F1=45°，所以2c=，由此能求出双曲线的离心率的取值范围．本题考查双曲线的离心率的取值范围的求法，是中档题，解题时要注意数形结合思想的合理运用．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查动点F的轨迹所形成的区域面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．分别取棱CC1、BC、AB、AA1、A1D1的中点M、N、G、Q、P，推导出平面EMNGQP∥平面A1BC1，从而动点F的轨迹所形成的区域是平面EMNGQP，由此能求出动点F的轨迹所形成的区域面积．【解答】解：如图，分别取棱CC1、BC、AB、AA1、A1D1的中点M、N、G、Q、P，则PE∥A1C1∥GN，EM∥A1B∥GQ，PQ∥BC1∥MN，易得：平面EMNGQP∥平面A1BC1，∵点F在正方体内部或正方体的表面上，若EF∥平面A1BC1，∴动点F的轨迹所形成的区域是平面EMNGQP，∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，∴PE=EM=MN=NG=GQ=PQ=，PN=，∴E到PN的距离d==，∴动点F的轨迹所形成的区域面积：S=2S梯形PNME=2×=．故选C．10.【答案】B【解析】【分析】本题考查三视图求几何体外接球的表面积，由三视图正确复原几何体、确定外接球球心的位置是解题的关键，考查空间想象能力，为中档题．由三视图知该几何体是一个三棱锥，由三视图求出几何元素的长度，并判断出位置关系，判断出几何体的外接球的球心位置，从而求出外接球的半径，代入求的表面积公式求解即可．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个三棱锥，如图：底面是一个直角三角形，AC⊥BC，D是AB的中点，PD⊥平面ABC，且AC=2、BC=2，PD=2，∴AB==4，AD=BD=CD=2，∴几何体的外接球的球心是D，则球的半径r=2，即几何体的外接球表面积S=4πr2=16π，故选：B．11.【答案】A【解析】解：由题意，可知F（2，0），∵过抛物线y2=8x上一点P的直线与直线x=-1垂直相交于点B，∴|PB|=|PF|∵|PB|=|PA|，∴|PF|=|PA|，∴P的横坐标为，故选：A．利用抛物线的定义，结合|PB|=|PA|，即可求出点P的横坐标．本题考查抛物线的定义与性质，考查学生的计算能力，比较基础．12.【答案】D【解析】解：令f（x）=e x-2x，则f′（x）=e x-2，可得f（x）在（-∞，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增，当x→-∞时，f（x）→+∞，当x→+∞时，f（x）→+∞，∴关于x的方程e x-2x-k=0有2个不相等的实数根，则k的取值范围是（2-2ln2，+∞）．故选：D．令f（x）=e x-2x，求得f（x）的值域，即可得k的取值范围．本题考查了函数与方程思想，属于中档题．13.【答案】【解析】解：∵∴∴-1+2m=0解得故答案为利用向量垂直的充要条件数量积为0；利用向量的数量积公式列出方程求出m的值．本题考查向量的数量积运算与向量垂直的充要条件，属容易题14.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．由已知及余弦定理可求cos∠ADB=-，结合范围∠ADB∈（0，π），即可求得∠ADB=，求得∠ADC，利用正弦定理即可得解AC的值．【解答】解：∵AB=，AD=2，BD=1，∠ACB=45°，∴由余弦定理可得：cos∠ADB===-，∵∠ADB∈（0，π），∴∠ADB=，∴∠ADC=π-∠ADB=，∴由正弦定理可得：AC===．故答案为，．15.【答案】13【解析】解：∵点A坐标为（3，4），点M坐标为（x，y）∴z==3x+4y，作出不等式组表示的平面区域，得到如图的区域，其中，可得A（3，1），将直线l：z=3x+4y进行平移，可得当l经过点A时，目标函数z达到最小值，z最小值=3×3+4×1=13．故答案为：13．作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部．根据题意z==3x+4y，将目标函数z=3x+4y对应的直线进行平移，由此可得本题的答案．本题给出二元一次不等式组，求目标函数的取值范围，着重考查了向量的数量积、二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于中档题．16.【答案】[-2，0]【解析】解：二次函数在（-∞，0]上为单调递减函数；y=log3（x+2）在（-2，+∞）上为增函数，所以-2≤a≤0，故答案为[-2，0]．根据二次函数和对数函数的单调性进行求解．本题考查分段函数的单调性，属于基础题目．17.【答案】解：（Ⅰ）证明：因为4a n-3S n=2，①所以当n=1时，4a1-3S1=2，解得a1=2；当n≥2时，4a n-1-3S n-1=2，②由①-②，得4a n-4a n-1-3（S n-S n-1）=0，所以a n=4a n-1，由a1=2，得a n≠0，故{a n}是首项为2，公比为4的等比数列；（Ⅱ）由（Ⅰ），得a n=2×4n-1，所以b n=a n-4n=4n-1-4n，则{b n}的前n项和:T n=（40+41+…+4n-1）-4（1+2+3+…+n）=-4× =-2n2-2n-．【解析】本题主要考查数列的通项公式的应用，等比数列的证明，a n与S n的关系，以及等比数列和等差数列的前n项和公式，属于中档题．（Ⅰ）根据数列的递推关系利用作差法即可证明数列{a n}成等比数列；（Ⅱ）求出数列{a n}的通项公式，即可求出{b n}的通项公式．再分组求和.18.【答案】解：（Ⅰ）由频率分布直方图得（0.005+0.020+a+0.040）×10=1，∴a=0.03．…（3分）（Ⅱ）由分层抽样，知抽取的初中生有60名，高中生有40名．…（4分）∵初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为（0.02+0.005）×10=0.25，∴所有的初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生约有0.25×1800=450人， (6)）同理，高中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为（0.03+0.005）×10=0.35，学生人数约有0.35×1200=420人．∴该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数约有450+420=870人．…（8分）（Ⅲ）记“从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，至少抽到1名高中生”为事件A，…（9分）初中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为0.005×10=0.05，样本人数为0.05×60=3人．高中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为0.005×10=0.05，样本人数为0.05×40=2人．…（10分）记这3名初中生为A1，A2，A3，这2名高中生为B1，B2，则从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，所有可能结果有10种，即：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），而事件A的结果有7种，它们是：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），∴至少抽到1名高中生的概率P（A）=．…（13分）【解析】（Ⅰ）由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，能求出a的值．（Ⅱ）由分层抽样，知抽取的初中生有60名，高中生有40名，从而求出所有的初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生约有450人，高中生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数约有420人．由此能求出该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数约有多少人．（Ⅲ）记“从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，至少抽到1名高中生”为事件A，利用列举法能求出至少抽到1名高中生的概率．本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．19.【答案】证明:(Ⅰ)在△PBD中，因为O,M分别是BD,PD的中点，所以OM∥PB，又OM⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，所以OM∥平面PAB．(Ⅱ)因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC，因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD，又AC∩PA=A，AC,PA平面PAC，所以BD⊥平面PAC．又BD⊂平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAC．解:(Ⅲ)因为底面ABCD是菱形，且AB=2，∠BAD=60°，所以S△BCD=．又V C-PBD=V P-BCD，三棱锥P-BCD的高为PA，所以，解得．【解析】本题考查线面平行，面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．(Ⅰ)由中位线定理可知OM∥PB，故而OM∥平面PAB；(Ⅱ)由菱形的性质得BD⊥AC，由PA⊥平面ABCD得BD⊥PA，故BD⊥平面PAC，于是平面PBD⊥平面PAC；(Ⅲ)根据V C-PBD=V P-BCD，计算出S△BCD代入体积公式得出棱锥的高PA．20.【答案】解：（I）由题意得，解得a2=4，b2=1．所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）四边形OAPB能为平行四边形，分2种情况讨论：（1）当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x=1满足题意；（2）当直线l与x轴不垂直时，设直线l：y=kx+m，显然k≠0，m≠0，A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M）．将y=kx+m代入．得（4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0，．故，．四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即．则．由直线l：y=kx+m（k≠0，m≠0），过点（1，1），得m=1-k．则，则（4k2+1）（8k-3）=0．则．满足△＞0．所以直线l的方程为时，四边形OAPB为平行四边形．综上所述：直线l的方程为或x=1．【解析】（Ⅰ）根据题意，可得，解得a2与b2的值，代入椭圆的标准方程即可得答案；（Ⅱ）根据题意，分2种情况讨论，（1）当直线l与x轴垂直时，分析可得直线l的方程为x=1满足题意；（2）当直线l与x轴不垂直时，设直线l为y=kx+m，分析A、B、M的坐标，将y=kx+m代入．得（4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0，由根与系数的关系可得M的坐标，进而由四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分可得P的坐标，代入椭圆的标准方程可得，进而分析可得，解可得k、m的值，即可得答案．本题考查椭圆与直线的位置关系与方程的综合运用，涉及直线与椭圆的位置关系时，需要考虑直线斜率不存在的情况．21.【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=+x，∴f′（x）=，∴f′（1）=1，f（1）=ae+1，∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线经过点（0，1），∴f′（1）=，∴a=．证明：（Ⅱ）a＜0时，x＜0，f′（x）＞0，函数在（-∞，0）上单调递增，无极值；x＞0，令g（x）=ae x（x-1）+x2，g′（x）=x（ae x+2）=0，x=ln（-）．①ln（-）≤0，a≤-2，g′（x）≤0，g（x）在（0，+∞）上单调递减，∴g（x）在（0，+∞）上至多有一个零点，即f′（x）在（0，+∞）上至多有一个零点，∴f（x）在（0，+∞）上至多有一个极值点；②ln（-）＞0，-2＜a＜0，x∈（0，ln（-）），g′（x）＞0，g（x）在（0，ln（-））上单调递增，x∈（ln（-），+∞），g′（x）＜0，g（x）在（ln（-），+∞），上单调递减，∵g（ln（-））＞g（0）=-a＞0∴g（x）在（0，+∞）上至多有一个零点，即f′（x）在（0，+∞）上至多有一个零点，∴f（x）在（0，+∞）上至多有一个极值点；综上，当a＜0时，函数f（x）在定义域上至多有一个极值点．【解析】（Ⅰ）求导数，求出切线的斜率，切点的坐标，利用曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线经过点（0，1），求实数a的值．（Ⅱ）a＜0时，x＜0，f′（x）＞0，函数在（-∞，0）上单调递增，无极值；x＞0，令g（x）=ae x（x-1）+x2，g′（x）=x（ae x+2）=0，x=ln（-）．由此证明当a＜0时，函数f（x）至多有一个极值点．本题考查导数知识的综合运用，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于难题．22.【答案】解：（Ⅰ）∵点A∈l，∴；由，得．于是l的直角坐标方程为l：x+y-2=0，l的参数方程为：；（Ⅱ）由C：，消去参数α，得（x-4）2+（y-3）2=25，将l的参数方程代入（x-4）2+（y-3）2=25，得，设该方程的两根为t1，t2，由直线l的参数t的几何意义及曲线C知，|AM|•|AN|=|t1|•|t2|=|t1t2|=12，∴，∴．【解析】（Ⅰ）把点A的坐标代入直线l求得a值，代入直线l的极坐标方程，展开两角差的余弦，再由极坐标与直角坐标的互化公式得直线l的直角坐标方程，进一步化为参数方程；（Ⅱ）求出曲线C的直角坐标方程，把直线l的参数方程代入，化为关于t的一元二次方程，再由根与系数的关系及此时t的几何意义求解．本题考查解得曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，关键是直线参数方程中参数t的几何意义的应用，是中档题．23.【答案】解：（1）f（x）+f（-）=（|x-a|+|2x-a|）+（|--a|+|--a|）=（|x-a|+|--a|）+（|2x-a|+|--a|）≥|（x-a）-（--a）|+|（2x-a）-（--a）|=|x+|+|2x+|=|x|++|2x|+≥6（当且仅当x=±1时取等号）（2）函数f（x）=（x-a）+（2x-a）=，图象如图所示：当x=时，y min=-，依题意：-＜，解得：a＞-1，∴a的取值范围是（-1，0）．【解析】（1）根据绝对值的性质证明即可；（2）求出f（x）的解析式，画出图象，求出a的范围即可．本题考查了绝对值不等式的性质，考查函数最值问题，是一道中档题．。

2020年云南省曲靖二中高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项符合要求.）1．（5分）若复数z＝（i是虚数单位），则|z|＝（）A．B．C．1D．2．（5分）已知集合A＝{0，1，2}，集合，则A∩B＝（）A．{0，1}B．{1，2}C．{1}D．{2}3．（5分）已知平面α∩β＝l，m是α内不同于l的直线，那么下列命题中错误的是（）A．若m∥β，则m∥l B．若m∥l，则m∥βC．若m⊥β，则m⊥l D．若m⊥l，则m⊥β4．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n+1＝a n+a（n∈N*，a为常数），若平面内的三个不共线的非零向量，，满足＝，A，B，C三点共线且该直线不过O点，则S2010等于（）A．1005B．1006C．2010D．20125．（5分）已知向量＝（1，cosθ），＝（sinθ，﹣2），且⊥，则sin2θ+6cos2θ的值为（）A．B．2C．2D．﹣26．（5分）执行如图所示的程序框图，令y＝f（x），若f（a）＞1，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2）∪（2，5]B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣∞，2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，5]7．（5分）已知m∈R，“函数y＝2x+m﹣1有零点”是“函数y＝log m x在（0，+∞）上为减函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知某班学生的数学成绩x（单位：分）与物理成绩y（单位：分）具有线性相关关系，在一次考试中，从该班随机抽取5名学生的成绩，经计算：，设其线性回归方程为：＝0.4x+．若该班某学生的数学成绩为105，据此估计其物理成绩为（）A．66B．68C．70D．729．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2＝2，S3＝﹣6，则S5＝（）A．18B．10C．﹣14D．﹣2210．（5分）函数f（x）＝2x﹣4sin x，x∈[﹣，]的图象大致是（）A．B．C．D．11．（5分）已知F1，F2是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，设双曲线的离心率为e．若在双曲线的右支上存在点M，满足|MF2|＝|F1F2|，且e sin∠MF1F2＝1，则该双曲线的离心率e等于（）A．B．C．D．12．（5分）定义在R上的可导函数f（x）满足f（1）＝1，且2f'（x）＞1，当x∈[﹣，]时，不等式的解集为（）A．（，）B．（﹣，）C．（0，）D．（﹣，）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.）13．（5分）已知实数x，y满足，则目标函数z＝x+2y的最小值为．14．（5分）已知x＞0，y＞0，且x+2y＝xy，若x+2y＞m2+2m恒成立，则xy的最小值为，实数m的取值范围为．15．（5分）已知圆M：x2+y2＝4，在圆M上随机取一点P，则P到直线x+y＝2的距离大于2的概率为．16．（5分）平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′﹣BCD顶点在同一个球面上，则该球的表面积．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：共60分.。

2020届云南省曲靖市第一中学高三二模数学（文）试题一、单选题1．已知集合()A {|lg 2}x y x ==-，集合{}22B x x =-≤≤，则A B ⋂=（ ）. A ．{|2}x x ≥- B ．{|22}x x -≤<C ．{}22x x -<<D ．{}2x x <【答案】B【解析】集合{}A |2x x =< , {}B |22x x =-≤≤ 所以A B {|22}x x ⋂=-≤< ，故选B. 2．若复数221a ii++（a R ∈）是纯虚数，则复数22a i +在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】化简复数221a ii++，由它是纯虚数，求得a ，从而确定22a i +对应的点的坐标．【详解】221a i i ++2()(1)1(1)(1)(1)a i i a a i i i +-==++-+-是纯虚数，则1010a a +=⎧⎨-≠⎩，1a =-， 2222a i i +=-+，对应点为(2,2)-，在第二象限．故选：B ． 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查复数的概念与几何意义．本题属于基础题． 3．在平行四边形ABCD 中，2,1AB AD ==，则AC BD ⋅uuu r uu u r的值为（ ） A ．3- B ．2-C ．2D ．3【答案】A【解析】根据ABCD 是平行四边形得AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r ，BD BA AD =+u u u r u u u r u u u r，然后代入数量积结合2,1AB AD ==即可求出结论. 【详解】解：∵2,1AB AD ==， ∴222()()()()1AC BD AB AD BA AD AB AD AB AD AD AB ⋅=+⋅+=+⋅-+=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r223-=-.故选：A .【点睛】本题考查向量的数量积，解题时利用向量的加减法法则用,AB AD u u u r u u u r 表示出,AC BD u u u r u u u r，再由数量积的运算律计算．4．定义运算()()a a b a b b a b ≤⎧⊕=⎨>⎩，则函数()12xf x =⊕的图象是（ ）． A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】【详解】由已知新运算a b ⊕的意义就是取得,a b 中的最小值，因此函数()1,0122,0xxx f x x >⎧=⊕=⎨≤⎩， 只有选项A 中的图象符合要求，故选A.5．在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（ ）A ．2550100,,777B ．252550,,1477C ．100200400,,777 D ．50100200,,777【答案】D【解析】设羊户赔粮1a 升,马户赔粮2a 升,牛户赔粮3a 升,易知123,,a a a 成等比数列,1232,50q a a a =++=,结合等比数列的性质可求出答案. 【详解】设羊户赔粮1a 升,马户赔粮2a 升,牛户赔粮3a 升,则123,,a a a 成等比数列,且公比1232,50q a a a =++=,则1(1a q +)250q +=,故1250501227a ==++,2110027a a ==,23120027a a ==. 故选:D. 【点睛】本题考查数列与数学文化,考查了等比数列的性质,考查了学生的运算求解能力,属于基础题.6．若P 是q ⌝的充分不必要条件，则⌝p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】【详解】试题分析：通过逆否命题的同真同假，结合充要条件的判断方法判定即可．由p 是q ⌝的充分不必要条件知“若p 则q ⌝”为真，“若q ⌝则p”为假，根据互为逆否命题的等价性知，“若q 则p ⌝”为真，“若p ⌝则q”为假，故选B ． 【考点】逻辑命题7．阅读下侧程序框图，为使输出的数据为，则①处应填的数字为A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【考点】程序框图．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环求S的值，我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况，不难给出答案．解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：S i 是否继续循环循环前 1 1/第一圈3 2 是第二圈7 3 是第三圈15 4 是第四圈31 5 否故最后当i＜5时退出，故选B．8．已知,x y满足1x yx yx-⎧⎪+⎨⎪⎩………，则32yx--的取值范围为（）A．3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．(1,2]C．(,0][2,)-∞+∞UD．(,1)[2,)-∞⋃+∞【答案】C【解析】设32ykx-=-，则k的几何意义为点(,)x y到点(2,3)的斜率，利用数形结合即可得到结论.【详解】解：设32ykx-=-，则k的几何意义为点(,)P x y到点(2,3)D的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：由图可知当过点D的直线平行于x轴时，此时32ykx-==-成立；32ykx-=-取所有负值都成立；当过点A时，32ykx-=-取正值中的最小值，1(1,1)xAx y=⎧⇒⎨-=⎩，此时3132212ykx--===--；故32yx--的取值范围为(,0][2,)-∞+∞U；故选：C.【点睛】本题考查简单线性规划的非线性目标函数函数问题，解题时作出可行域，利用目标函数的几何意义求解是解题关键．对于直线斜率要注意斜率不存在的直线是否存在．9．抛物线方程为24y x=，一直线与抛物线交于A B、两点，其弦AB的中点坐标为(1,1)，则直线的方程为（）A．210x y--=B．210x y+-=C．210x y-+=D．210x y---=【答案】A【解析】设()11,A x y，()22,B x y，利用点差法得到1212422y yx x-==-，所以直线AB的斜率为2，又过点(1,1)，再利用点斜式即可得到直线AB 的方程. 【详解】解：设()()1122,,,A x y B x y ，∴122y y +=，又21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减得：()2212124y y x x -=-， ∴()()()1212124y y y y x x +-=-，∴1212422y y x x -==-， ∴直线AB 的斜率为2，又∴过点(1,1)，∴直线AB 的方程为：12(1)y x -=-，即2 10x y --=， 故选：A . 【点睛】本题考查直线与抛物线相交的中点弦问题，解题方法是“点差法”，即设出弦的两端点坐标，代入抛物线方程相减后可把弦所在直线斜率与中点坐标建立关系．10．已知变量x 与变量y 的取值如下表所示，且2.5 6.5m n <<<，则由该数据算得的线性回归方程可能是（ ）A ．ˆ0.8 2.3yx =+ B ．ˆ20.4yx =+ C ．ˆ 1.58yx =-+D ．ˆ 1.610yx =-+ 【答案】A【解析】由回归方程必过样本中心(),x y ，且()()13.5 6.5 2.5 3.55.54x y m n ==⨯+++∈，，，以及正负相关性，代入选项即可得到结果． 【详解】由回归方程必过样本中心(),x y ，()13.5 6.5 2.54x y m n ==⨯+++，，又2.5 6.5m n <<<，所以 3.55.5y ∈（，），由表格，可得为正相关，排除C ，D ；代入选项A ，B ，可知A 满足． 故选：A ． 【点睛】本题考查回归直线方程的求法，回归直线方程的特征，属于基础题．11．已知点(3,0),(0,3)A B -，若点P 在曲线21y x =--上运动，则PAB △面积的最小值为（ ） A ．6 B ．3C ．93222- D ．93222+ 【答案】B【解析】求得直线AB 的方程，画出曲线表示的下半圆，结合图象可得P 位于(1,0)-，结合点到直线的距离公式和两点的距离公式，以及三角形的面积公式，可得所求最小值. 【详解】解：曲线21y x =--表示以原点O 为圆心，1为半径的下半圆(包括两个端点)，如图， 直线AB 的方程为30x y -+=，可得||32AB =，由圆与直线的位置关系知P 在(1,0)-时，P 到直线AB 距离最短，即为22=， 则PAB △的面积的最小值为132232⨯⨯=. 故选：B .【点睛】本题考查三角形面积最值，解题关键是掌握直线与圆的位置关系，确定半圆上的点到直线距离的最小值，这由数形结合思想易得．12．f(x)是R 上的偶函数，f(x ＋2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x 2，则函数y ＝f(x)－|log 5x|的零点个数为( )A ．4B ．5C ．8D ．10【答案】B【解析】由题意得函数()f x 的周期为2，再结合函数为偶函数可画出函数()f x 的图象，然后根据函数()f x 的图象和函数5y log x =的图象的公共点的个数进行判断即可． 【详解】 ∵f(x ＋2)＝f(x)，∴函数()f x 的周期为2． 由题意可得()5f x log x =，在同一坐标系内画出函数()y f x =和5y log x =的图象，如下图，由图象得，两函数图象有5个交点， 所以函数y ＝f(x)－|log 5x|共有5个零点． 故选B ． 【点睛】本题考查函数的性质和函数零点的综合，解题的关键是将问题转化为函数图象公共点的个数问题出处理，画图时要结合函数的性质求解，不要忘了函数的奇偶性和周期性的应用．二、填空题13．函数2log (5)1a y x =-+(0a >，且1a ≠)恒过点_____. 【答案】(4,1)或(6,1).【解析】令对数的真数等于1，求得x y 、的值，即为定点P 的坐标. 【详解】解：令2(5)1x -=得，4x =或6， 此时1y =，所以函数过定点(4,1)或(6,1)， 故答案为：(4,1)或(6,1). 【点睛】本题考查对数函数的图象与性质，掌握对数函数的性质是解题关键．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－6,0)和C (6,0)，若顶点B 在双曲线2212511x y -=的左支上，则sin sin sin A C B -=________. 【答案】56【解析】由定义得到10BC BA -=，12AC =结合正弦定理角化边即可得出结论. 【详解】由条件知10BC BA -=，且12AC =.又在△ABC 中，有2sin sin sin BC AB ACR A C B===(R 为△ABC 外接圆的半径)，从而sin sin 5sin 6BC AB A C B AC --==.故答案为：56【点睛】本题主要考查了利用双曲线的定义以及正弦定理的角化边的应用，属于中档题. 15．在直三棱柱111ABC A B C -内有一个与其各面都相切的球1O ，若,3AB BC AB ⊥=，4BC =，则球1O 的表面积为______.【答案】4π【解析】三棱柱的内切球的半径等于底面三角形的内切圆的半径，由题意求出三角形的内切圆的半径即可求解结论. 【详解】解：由题意知内切球的半径为R 与底面三角形的内切圆的半径相等， 而三角形ABC 为直角三角形，,3,4AB BC AB BC ⊥==，所以5AC =， 设三角形内切圆的半径为r ，由面积相等可得：11(345)3422R ++=⨯⨯，所以1R =， 所以内切球的表面积244S R ππ==，故答案为：4π.【点睛】本题考查三棱柱内切球问题，确定内切球的半径为R 与底面三角形的内切圆的半径相等是解题关键．16．在数列{}n a 中，111,2n n a a n a +==-，则数列{}n a 的通项公式n a =_____. 【答案】,1,n n n n ⎧⎨-⎩为奇数为偶数【解析】由题意可得112(2)n n a a n +--=…，又11a =，数列{}n a 的奇数项为首项为1，公差为2的等差数列，对n 分奇数和偶数两种情况，分别求出n a ，从而得到数列{}n a 的通项公式,1,n n n a n n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数.【详解】解：∵12n n a n a +=-，∴12n n a a n ++=①，12(1)(2)n n a a n n -+=-…②， ①﹣②得：112(2)n n a a n +--=…，又∵11a =， ∴数列{}n a 的奇数项为首项为1，公差为2的等差数列， ∴当n 为奇数时，n a n =，当n 为偶数时，则1n -为奇数，∴12(1)2(1)(1)1n n a n a n n n -=--=---=-，∴数列{}n a 的通项公式,1,n n n a n n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，故答案为：,1,n n n n ⎧⎨-⎩为奇数为偶数.【点睛】本题考查求数列的通项公式，解题关键是由已知递推关系得出112(2)n n a a n +--=…，从而确定数列的奇数项成等差数列，求出通项公式后再由已知求出偶数项，要注意结果是分段函数形式．三、解答题17．从某高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160cm 和184cm 之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[160,164)，第2组[164,168)，…，第6组[180,184]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.（1）由频率分布直方图估计该校高三年级男生身高的中位数；（2）在这50名男生身高不低于176cm 的人中任意抽取2人，则恰有一人身高在[180,184]内的概率.【答案】（1）168.25.（2）815【解析】（1）由频率分布直方图得[160,168)频率为0.48，[168,172)的频率为0.32，由此能求出中位数.（2）在这50名男生身高不低于176cm 的人中任意抽取2人，[176,180)中的学生人数为4人，[180,184)中的学生人数为2人，可用列举法求出基本事件总数，恰有一人身高在[180,184]内包含的基本事件个数，再由概率公式计算出概率. 【详解】解：（1）由频率分布直方图得[160,168)频率为：(0.050.07)40.48+⨯=，[168,172)的频率为：0.0840.32⨯=，∴中位数为：0.50.481684168.250.32-+⨯=.（2）在这50名男生身高不低于176cm 的人中任意抽取2人，[176,180)中的学生人数为0.024504⨯⨯=人，编号为,,,A B C D ， [180,184)中的学生人数为0.014502⨯⨯=人，编号为,a b ，任意抽取2人的所有基本事件为,,,,AB AC AD Aa Ab ，,,,BC BD Ba Bb ，,,CD Ca Cb ，,,Da Db ab 共15个，恰有一人身高在[180,184]内包含的基本事件有,Aa Ab ，,Ba Bb ，,Ca Cb ，,Da Db 共8个，∴恰有一人身高在[180,184]内的概率815P =. 【点睛】本题考查频率分布直方图，考查中位数的概念，及古典概型，古典概型问题的关键是求出所求概率事件含有的基本事件的个数．可用列举法写出所有基本事件，然后计数．18．已知函数21()cos ,()22x f x x x R =+-∈. （1）当[0,]x π∈时，求函数的值域；（2）ABC V 的角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且c =()1f C =，求AB 边上的高h 的最大值.【答案】（1）1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.（2）32【解析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，得出结论.（2）由题意利用余弦定理､三角形的面积公式､基本不等式求得ab 的最大值，可得AB 边上的高h 的最大值. 【详解】 解：（1）∵函数211cos 1()sin cos sin sin 2222226x x f x x x x π+⎛⎫=+-=+-=+ ⎪⎝⎭， 当[0,]x π∈时，7,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1sin ,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.（2）ABC V 中，c =()1sin 6f C C π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∴3c π=.由余弦定理可得2222232cos c a b ab C a b ab ab ==+-⋅=+-…，当且仅当a b =时，取等号，即ab 的最大值为3. 再根据113sin 223ABC S h ab π=⋅⋅=⋅V ，故当ab 取得最大值3时，h 取得最大值为32.【点睛】本题考查降幂公式、两角和的正弦公式，考查正弦函数的性质，余弦定理，三角形面积公式，所用公式较多，选用恰当的公式是解题关键，本题属于中档题．19．如图1，等腰梯形ABCD 中，//,,60AD BC AB AD ABC ︒=∠=，E 是BC 的中点.将ABE △沿AE 折起后如图2，使二面角B AE C --成直二面角，设F 是CD 的中点，P 是棱BC 的中 点.（1）求证：AE BD ⊥；（2）求证：平面PEF ⊥平面AECD ；（3）判断DE 能否垂直于平面ABC ，并说明理由.【答案】（1）答案见解析.（2）答案见解析（3）DE 与平面ABC 不垂直，理由见解析 【解析】（1）证明AE BD ⊥，只需证明AE ⊥平面BDM ，利用ABE △与ADE V E 是等边三角形，即可证明；（2）证明平面PEF ⊥平面AECD ，只需证明PN ^平面AECD ，只需证明BM ⊥平面AECD 即可；（3）DE 与平面ABC 不垂直.假设DE ⊥平面ABC ，则DE AB ⊥，从而可证明DE ⊥平面ABE ，可得DE AE ⊥，这与60AED ︒∠=矛盾. 【详解】（1）证明：设AE 中点为M ，连接BM ，∵在等腰梯形ABCD 中， // AD BC ，AB AD =，60ABC ︒∠=，E 是BC 的中点，∴ABE △与ADE V 都是等边三角形.∴BM AE ⊥， DM AE ⊥.∵ BM DM M ⋂=，BM ､DM ⊂平面BDM ， ∴AE ⊥平面BDM .∵BD ⊂平面BDM ，∴AE BD ⊥.（2）证明：连接CM 交EF 于点N ，∵ // ME FC ， ME FC =，∴四边形MECF 是平行四边形，∴N 是线段CM 的中点. ∵P 是BC 的中点，∴//PN BM .∵BM ⊥平面AECD ，∴PN ^平面AECD . 又∵PN ⊂平面PEF ， ∴平面PEF ⊥平面AECD . （3）解：DE 与平面ABC 不垂直.证明：假设DE ⊥平面ABC ，则DE AB ⊥，∵BM ⊥平面AECD ，∴BM DE ⊥. ∵=I AB BM B ，AB ､BM ⊂平面ABE ，∴DE ⊥平面ABE . ∵AE ⊂平面ABE ，∴DE AE ⊥，这与60AED ︒∠=矛盾. ∴DE 与平面ABC 不垂直.【点睛】本题考查线面垂直的判定定理与性质定理，考查证明面面垂直，掌握面线面、面面垂直的判定定理与性质定理是解题关键，解题时注意定理的灵活运用，即线线垂直与线面垂直、面面垂直的相互转化. 20．设椭圆()22221,0x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率2e =，右准线为l ，,M N 是l 上的两个动点，120FM F N ⋅=u u u u r u u u u r ．（Ⅰ）若1225F M F N ==u u u u r u u u u r，求,a b 的值；（Ⅱ）证明：当MN 取最小值时，12FM F N +u u u u r u u u u r 与12F F u u u u r共线．【答案】（Ⅰ）2,2a b ==（Ⅱ）证明见解析．【解析】由222a b c -=与22a e c ==，得222a b =， 12220022F a F a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，l 的方程为2x a =． 设)()1222Ma y Na y ，，，，则112232222F M y F N a y ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u u r ，，，，由120FM F N ⋅=u u u u r u u u u r 得 212302y y a =-＜． ①（Ⅰ）由1225F M F N ==u u u u r u u u u r22132252a y ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭， ② 2222252a y ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭③ 由①、②、③三式，消去12,y y ，并求得24a =， 故2,22a b === （Ⅱ）()2222212121212121222246MNy y y y y y y y y y y y a =-=+-≥--=-=，当且仅当1262y y a =-=或2162y y a =-=时，MN 取最小值62a ，此时，()()12121212,,0222F M F N a y a y y y F F ⎛⎫⎛⎫+=+=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u u r u u u u r ，，，故12FM F N +u u u u r u u u u r 与12F F u u u u r 共线．21．设函数()1ln f x x x x =--，()2()1xg x e e-=+.（1）求函数()f x 最大值； （2）求证：()()f x g x <恒成立. 【答案】（1）21e -+.（2）答案见解析【解析】（1）先求导函数，通过导数判断单调区间，进而求最值，（2）由（1）知函数()f x 的最大值，通过单调性求不等式另一边()g x 的最小值，进而得证. 【详解】解：（1）()1ln 22ln ,(0)f x x x x '=---=-->， 令()0f x '=，解之得2x e -=， 当()20,,()0x ef x -'∈>，函数单调递增； 当()2,,()0x e f x -'∈+∞<，函数单调递减；∴2x e -=时，()f x 取最大值()222221ln 1f e e e e e -----=--=+， （2）由（1）知2()1f x e -+…，而且函数()2()1xg x e e-=+在(0,)+∞上单调递增，∴()()222111xee e ee ---+>+=+，∴()()f x g x <恒成立. 【点睛】本题考查用导数求函数的单调区间，考查用导数求函数的最值．掌握导数怀单调性的关系是解题关键．在证明不等式()()f x g x <时，证明max min ()()f x g x <也是一种方法，实际上这种不等式一般是证明()()0f x g x -<．22．已知直线l 的参数方程：12x ty t=⎧⎨=+⎩（t 为参数）和圆C 的极坐标方程：2sin ρθ=（1）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）已知点()1,3M ，直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，求MA MB +的值. 【答案】（1）l ： 21y x =+， C ：()2211x y +-=；（2）【解析】（1）消去参数t 求得直线l 的普通方程，将2sin ρθ=两边同乘以ρ，化简求得圆C 的直角坐标方程.（2）求得直线l 的标准参数方程，代入圆的直角坐标方程，化简后写出韦达定理，根据直线参数的几何意义，求得MA MB +的值. 【详解】（1）消去参数t ，得直线l 的普通方程为21y x =+，将2sin ρθ=两边同乘以ρ得22sin ρρθ=，()2211x y +-=，∴圆C 的直角坐标方程为()2211x y +-=；（2）经检验点()1,3M 在直线l 上，12x t y t =⎧⎨=+⎩可转化为135x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩①， 将①式代入圆C 的直角坐标方程为()2211x y +-=得2212155t ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得240t ++=，设12,t t是方程240t ++=的两根，则12t t +=-124t t =， ∵1240t t =>，∴1t 与2t 同号，由t的几何意义得1212MA MB t t t t +=+=+=【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程，考查利用直线参数的几何意义求解距离问题，属于中档题.23．已知函数()||||f x x a x b =++-，(其中0a >，0b >). （1）求函数()f x 的最小值M .（2）若2c M >，求证：c a c < 【答案】（1）+a b .（2）答案见解析【解析】（1）利用绝对值不等式的性质即可求得最小值M ；（2）利用分析法，只需证明||a c -<，两边平方后结合2 , 0c a b a >+>即可得证. 【详解】（1）()|||||()()|||f x x a x b x a x b a b a b =++-+--=+=+…，当且仅当()()0x a x b +-„时取等号，∴()f x 的最小值M a b =+； （2）证明：依题意，20c a b >+>，要证c a c <<||a c -<，即证2222a ac c c ab -+<-，即证220a ac ab -+<，即证(2)0a a c b -+<，又2 , 0c a b a >+>可知，(2)0a a c b -+<成立，故原不等式成立.【点睛】本题考查用绝对值三角不等式求最值，考查用分析法证明不等式，在不等式不易证明时，可通过执果索因的方法寻找结论成立的充分条件，完成证明，这就是分析法．。

2020年高考数学二模试卷（文科）一、选择题1．已知集合A{x|y＝lg（2﹣x）}，集合B＝{x|﹣2≤x≤2}，则A∩B＝（）A．{x|x≥﹣2}B．{x|﹣2＜x＜2}C．{x|﹣2≤x＜2}D．{x|x＜2}2．若复数（α∈R）是纯虚数，则复数2a+2i在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，则•的值为（）A．﹣3B．﹣2C．2D．34．定义运算：，则函数f（x）＝1⊗2x的图象是（）A．B．C．D．5．在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗＝10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（）A．，，B．，，C．，，D．，，6．若p是￢q的充分不必要条件，则￢p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．阅读程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的数字为（）A．4B．5C．6D．78．已知x，y满足，则的取值范围为（）A．[，4]B．（1，2]C．（﹣∞，0]∪[2，+∞）D．（﹣∞，1）∪[2，+∞）9．抛物线方程为y2＝4x，一直线与抛物线交于A、B两点，其弦AB的中点坐标为（1，1），则直线的方程为（）A．2x﹣y﹣1＝0B．2x+y﹣1＝0C．2x﹣y+1＝0D．﹣2x﹣y﹣1＝0 10．已知变量x与变量y的取值如表所示，且2.5＜m＜n＜6.5，则由该数据算得的线性回归方程可能是（）x2345y 2.5m n 6.5A．＝0.8x+2.3B．＝2x+0.4C．＝﹣1.5x+8D．＝﹣1.6x+10 11．已知点A（﹣3，0），B（0，3），若点P在曲线y＝﹣上运动，则△PAB面积的最小值为（）A．6B．3C．D．12．f（x）是R上的偶函数，f（x+2）＝f（x），0≤x≤1时f（x）＝x2，则函数y＝f（x）﹣|log5x|的零点个数为（）A．4B．5C．8D．10二、填空题（共4小题）13．函数y＝log a（x﹣5）2+1（a＞0，且a≠1）恒过点．14．在平面直线坐标系xOy中，△ABC的顶点A（﹣6，0）和C（6，0），顶点B在双曲线的左支上，则＝．15．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个与其各面都相切的球O1，若AB⊥BC，AB＝3，BC ＝4，则球O1的表面积为．16．在数列{a n}中，a1＝1，a n+1＝2n﹣a n，则数列{a n}的通项公式a n＝．三、解答题17．从某高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160cm 和184cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[160，164），第2组[164，168），…，第6组[180，184]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）由频率分布直方图估计该校高三年级男生身高的中位数；（2）在这50名男生身高不低于176cm的人中任意抽取2人，则恰有一人身高在[180，184]内的概率．18．已知函数．（1）当x∈[0，π]时，求函数的值域；（2）△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c且，求AB边上的高h的最大值．19．如图1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中点．将△ABE沿AE折起后如图2，使二面角B﹣AE﹣C成直二面角，设F是CD的中点，P 是棱BC的中点．（1）求证：AE⊥BD；（2）求证：平面PEF⊥平面AECD；（3）判断DE能否垂直于平面ABC，并说明理由．20．设椭圆，（{a＞b＞0}）的左右焦点分别为F1，F2，离心率，右准线为l，M，N是l上的两个动点，（Ⅰ）若，求a，b的值；（Ⅱ）证明：当|MN|取最小值时，与共线．21．设函数f（x）＝1﹣x﹣xlnx，g（x）＝（1+e﹣2）e x．（1）求函数f（x）最大值；（2）求证：f（x）＜g（x）恒成立．请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的参数方程：（t为参数）和圆C的极坐标方程：ρ＝2sinθ．（1）将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）已知点M（1，3），直线l与圆C相交于A、B两点，求|MA|+|MB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a|+|x﹣b|，（其中a＞0，b＞0）．（1）求函数f（x）的最小值M．（2）若2c＞M，求证：．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项符合要求.）1．已知集合A{x|y＝lg（2﹣x）}，集合B＝{x|﹣2≤x≤2}，则A∩B＝（）A．{x|x≥﹣2}B．{x|﹣2＜x＜2}C．{x|﹣2≤x＜2}D．{x|x＜2}【分析】利用交集定义和对数函数性质求解．解：∵集合A{x|y＝lg（2﹣x）}＝{x|2﹣x＞0}＝{x|x＜2}，集合B＝{x|﹣2≤x≤2}，∴A∩B＝{x|﹣2≤x＜2}．故选：C．2．若复数（α∈R）是纯虚数，则复数2a+2i在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】化简复数，根据纯虚数的定义求出a的值，写出复数2a+2i对应复平面内点的坐标，即可得出结论．解：复数＝＝（a+1）+（﹣a+1）i，该复数是纯虚数，∴a+1＝0，解得a＝﹣1；所以复数2a+2i＝﹣2+2i，它在复平面内对应的点是（﹣2，2），它在第二象限．故选：B．3．在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，则•的值为（）A．﹣3B．﹣2C．2D．3【分析】根据ABCD是平行四边形可得＝+；＝+，然后代入数量积结合AB＝2，AD＝1即可求出结论．解：∵AB＝2，AD＝1，∴•＝（+）•（+）＝（+）•（﹣+）＝﹣＝12﹣22＝﹣3．故答案为：﹣3．故选：A．4．定义运算：，则函数f（x）＝1⊗2x的图象是（）A．B．C．D．【分析】本题需要明了新定义运算a⊗b的意义，即取两数中的最小值运算．之后对函数f（x）＝1⊗2x就可以利用这种运算得到解析式再来求画图解．解：由已知新运算a⊗b的意义就是取得a，b中的最小值，因此函数f（x）＝1⊗2x＝，因此选项A中的图象符合要求．故选：A．5．在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗＝10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（）A．，，B．，，C．，，D．，，【分析】设羊、马、牛吃的青苗分别为a1，a2，a3，则{a n}是公比为2的等比数列，由此利用等比数列的性质能求出羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食．解：设羊、马、牛吃的青苗分别为a1，a2，a3，则{a n}是公比为2的等比数列，∴a1+a2+a3＝a1+2a1+4a1＝7a1＝50，解得，∴羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿升，升，升粮食．故选：D．6．若p是￢q的充分不必要条件，则￢p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】通过逆否命题的同真同假，结合充要条件的判断方法判定即可．解：由p是¬q的充分不必要条件知“若p则¬q”为真，“若¬q则p”为假，根据互为逆否命题的等价性知，“若q则¬p”为真，“若¬p则q”为假，故选：B．7．阅读程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的数字为（）A．4B．5C．6D．7【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环求S的值，我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况，不难给出答案．解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：S i是否继续循环循环前 1 1/第一圈3 2 是第二圈7 3 是第三圈15 4 是第四圈31 5 否故最后当i＜5时退出，故选：B．8．已知x，y满足，则的取值范围为（）A．[，4]B．（1，2]C．（﹣∞，0]∪[2，+∞）D．（﹣∞，1）∪[2，+∞）【分析】设k＝，则k的几何意义为点（x，y）到点（2，3）的斜率，利用数形结合即可得到结论．解：设k＝，则k的几何意义为点P（x，y）到点D（2，3）的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：；由图可知当过点D的直线平行于X轴时，此时k＝＝0成立；k＝取所有负值都成立；当过点A时，k＝取正值中的最小值，⇒A（1，1），此时k＝＝＝2；故的取值范围为（﹣∞，0]∪[2，+∞）；故选：C．9．抛物线方程为y2＝4x，一直线与抛物线交于A、B两点，其弦AB的中点坐标为（1，1），则直线的方程为（）A．2x﹣y﹣1＝0B．2x+y﹣1＝0C．2x﹣y+1＝0D．﹣2x﹣y﹣1＝0【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法得到，所以直线AB 的斜率为2，又过点（1，1），再利用点斜式即可得到直线AB的方程．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），∴y1+y2＝2，又，两式相减得：，∴（y1+y2）（y1﹣y2）＝4（x1﹣x2），∴，∴直线AB的斜率为2，又∴过点（1，1），∴直线AB的方程为：y﹣1＝2（x﹣1），即2x﹣y﹣1＝0，故选：A．10．已知变量x与变量y的取值如表所示，且2.5＜m＜n＜6.5，则由该数据算得的线性回归方程可能是（）x2345y 2.5m n 6.5A．＝0.8x+2.3B．＝2x+0.4C．＝﹣1.5x+8D．＝﹣1.6x+10【分析】先根据两个变量的相关关系是正还是负，对选项进行排除，再把样本中心点代入选项进行检验．解：由表格中的数据可知，两个变量是正相关关系，所以排除C、D选项．，，把分别代入A、B选项，对于A，有，符合题意；对于B，有∉（3.5，5.5），不符合题意；故选：A．11．已知点A（﹣3，0），B（0，3），若点P在曲线y＝﹣上运动，则△PAB面积的最小值为（）A．6B．3C．D．【分析】求得直线AB的方程，画出曲线表示的下半圆，结合图象可得P位于（﹣1，0），结合点到直线的距离公式和两点的距离公式，以及三角形的面积公式，可得所求最小值．解：曲线y＝﹣表示以O为原点，1为半径的下半圆（包括两个端点），直线AB的方程为x﹣y+3＝0，可得|AB|＝3，P在（﹣1，0）时，P到直线AB的距离最短，即为＝，则△PAB的面积的最小值为×3×＝3．故选：B．12．f（x）是R上的偶函数，f（x+2）＝f（x），0≤x≤1时f（x）＝x2，则函数y＝f（x）﹣|log5x|的零点个数为（）A．4B．5C．8D．10【分析】将求函数的零点问题转化为求两个函数f（x）和g（x）的交点问题，画出图象，容易解决．解：∵0≤x≤1时f（x）＝x2，f（x）是R上的偶函数，∴﹣1≤x≤1时，f（x）＝x2，令g（x）＝||，画出函数f（x）和g（x）的图象，如图示：，由图象得：函数f（x）和g（x）的交点有5个，∴函数y＝f（x）﹣|log5x|的零点个数为5个，故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.）13．函数y＝log a（x﹣5）2+1（a＞0，且a≠1）恒过点（4，1）或（6，1）．【分析】令对数的真数等于1，求得x、y的值，即为定点P的坐标．解：令（x﹣5）2＝1得，x＝4或6，此时y＝1，所以函数过定点（4，1）或（6，1），故答案为：（4，1）或（6，1）．14．在平面直线坐标系xOy中，△ABC的顶点A（﹣6，0）和C（6，0），顶点B在双曲线的左支上，则＝．【分析】由题意可知双曲线的焦点坐标就是A，B，利用正弦定理以及双曲线的定义化简即可得到答案．解：由题意可知双曲线的焦点坐标就是A，B，由双曲线的定义可知BC﹣AB＝2a＝10，c＝6，＝＝＝；故答案为：．15．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个与其各面都相切的球O1，若AB⊥BC，AB＝3，BC ＝4，则球O1的表面积为4π．【分析】三棱柱的内切圆的半径等于底面三角形的内切圆的半径，由题意求出三角形的内切圆的半径即可求解结论．解：由题意知内切球的半径为R与底面三角形的内切圆的半径相等，而三角形ABC为直角三角形，AB⊥BC，AB＝3，BC＝4，所以AC＝5，设三角形内切圆的半径为r，由面积相等可得：R（3+4+5）＝3×4，所以R＝1，所以内切球的表面积S＝4πR2＝4π，故答案为：4π．16．在数列{a n}中，a1＝1，a n+1＝2n﹣a n，则数列{a n}的通项公式a n＝．【分析】由题意可得a n+1﹣a n﹣1＝2 （n≥2），又a1＝1，数列{a n}的奇数项为首项为1，公差为2的等差数列，对n分奇数和偶数两种情况，分别求出a n，从而得到数列{a n}的通项公式．解：∵a n+1＝2n﹣a n，∴a n+1+a n＝2n①，a n+a n﹣1＝2（n﹣1）（n≥2）②，①﹣②得：a n+1﹣a n﹣1＝2 （n≥2），又∵a1＝1，∴数列{a n}的奇数项为首项为1，公差为2的等差数列，∴当n为奇数时，a n＝n，当n为偶数时，则n﹣1为奇数，∴a n＝2（n﹣1）﹣a n﹣1＝2（n﹣1）﹣（n﹣1）＝n﹣1，∴数列{a n}的通项公式，故答案为：．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17．从某高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160cm 和184cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[160，164），第2组[164，168），…，第6组[180，184]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）由频率分布直方图估计该校高三年级男生身高的中位数；（2）在这50名男生身高不低于176cm的人中任意抽取2人，则恰有一人身高在[180，184]内的概率．【分析】（1）由频率分布直方图得[160，168）频率为0.48，[168，172）的频率为0.32，由此能求出中位数．（2）在这50名男生身高不低于176cm的人中任意抽取2人，[176，180）中的学生人数为4人，[180，184）中的学生人数为2人，由此能求出基本事件总数n＝＝15，恰有一人身高在[180，184]内包含的基本事件个数m＝＝8，由此能求出恰有一人身高在[180，184]内的概率．解：（1）由频率分布直方图得[160，168）频率为：（0.05+0.07）×4＝0.48，[168，172）的频率为：0.08×4＝0.32，∴中位数为：168+×4＝168.25．（2）在这50名男生身高不低于176cm的人中任意抽取2人，[176，180）中的学生人数为0.02×4×50＝4人，[180，184）中的学生人数为0.01×4×50＝2人，∴在这50名男生身高不低于176cm的人中任意抽取2人，基本事件总数n＝＝15，恰有一人身高在[180，184]内包含的基本事件个数m＝＝8，∴恰有一人身高在[180，184]内的概率p＝．18．已知函数．（1）当x∈[0，π]时，求函数的值域；（2）△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c且，求AB边上的高h的最大值．【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，得出结论．（2）由题意利用余弦定理、三角形的面积公式、基本不等式求得ab的最大值，可得AB 边上的高h的最大值．解：（1）∵函数f（x）＝sin x+﹣＝sin x+﹣＝sin（x+），当x∈[0，π]时，x+∈[，]，sin（x+）∈[﹣，1]．（2）△ABC中，＝sin（C+），∴C＝．由余弦定理可得c2＝3＝a2+b2﹣2ab•cos C＝a2+b2﹣ab≥ab，当且仅当a＝b时，取等号，即ab的最大值为3．再根据S△ABC＝••h＝ab•sin，故当ab取得最大值3时，h取得最大值为．19．如图1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中点．将△ABE沿AE折起后如图2，使二面角B﹣AE﹣C成直二面角，设F是CD的中点，P 是棱BC的中点．（1）求证：AE⊥BD；（2）求证：平面PEF⊥平面AECD；（3）判断DE能否垂直于平面ABC，并说明理由．【分析】（1）证明AE⊥BD，只需证明AE⊥平面BDM，利用△ABE与△ADE是等边三角形，即可证明；（2）证明平面PEF⊥平面AECD，只需证明PN⊥平面AECD，只需证明BM⊥平面AECD 即可；（3）DE与平面ABC不垂直．假设DE⊥平面ABC，则DE⊥AB，从而可证明DE⊥平面ABE，可得DE⊥AE，这与∠AED＝60°矛盾．【解答】（1）证明：设AE中点为M，连接BM，∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中点，∴△ABE 与△ADE都是等边三角形．∴BM⊥AE，DM⊥AE．∵BM∩DM＝M，BM、DM⊂平面BDM，∴AE⊥平面BDM．∵BD⊂平面BDM，∴AE⊥BD．（2）证明：连接CM交EF于点N，∵ME∥FC，ME＝FC，∴四边形MECF是平行四边形，∴N是线段CM的中点．∵P是BC的中点，∴PN∥BM．∵BM⊥平面AECD，∴PN⊥平面AECD．又∵PN⊂平面PEF，∴平面PEF⊥平面AECD．（3）解：DE与平面ABC不垂直．证明：假设DE⊥平面ABC，则DE⊥AB，∵BM⊥平面AECD，∴BM⊥DE．∵AB∩BM＝B，AB、BM⊂平面ABE，∴DE⊥平面ABE．∵AE⊂平面ABE，∴DE⊥AE，这与∠AED＝60°矛盾．∴DE与平面ABC不垂直．20．设椭圆，（{a＞b＞0}）的左右焦点分别为F1，F2，离心率，右准线为l，M，N是l上的两个动点，（Ⅰ）若，求a，b的值；（Ⅱ）证明：当|MN|取最小值时，与共线．【分析】（Ⅰ）设，根据题意由得，由，得，，由此可以求出a，b的值．（Ⅱ）|MN|2＝（y1﹣y2）2＝y12+y22﹣2y1y2≥﹣2y1y2﹣2y1y2＝﹣4y1y2＝6a2．当且仅当或时，|MN|取最小值，由能够推导出与共线．解：由a2﹣b2＝c2与，得a2＝2b2，，l的方程为设则由得①（Ⅰ）由，得②③由①、②、③三式，消去y1，y2，并求得a2＝4故（Ⅱ）证明：|MN|2＝（y1﹣y2）2＝y12+y22﹣2y1y2≥﹣2y1y2﹣2y1y2＝﹣4y1y2＝6a2当且仅当或时，|MN|取最小值此时，故与共线．21．设函数f（x）＝1﹣x﹣xlnx，g（x）＝（1+e﹣2）e x．（1）求函数f（x）最大值；（2）求证：f（x）＜g（x）恒成立．【分析】（1）先求导函数，通过导数判断单调区间，进而求最值，（2）有（1）知函数f（x）的最大值，通过单调性求不等式另一边的最小值，进而求证．解：（1）f'（x）＝﹣1﹣lnx﹣2＝﹣2﹣lnx，（x＞0），令f'（x）＝0，解之得x＝e﹣2，当x∈（0，e﹣2），f'（x）＞0，函数单调递增；当x∈（e﹣2，+∞），f'（x）＜0，函数单调递减；∴x＝e﹣2时，f（x）取最大值f（e﹣2）＝1﹣e﹣2﹣e﹣2lne﹣2＝1+e﹣2，（2）有（1）知f（x）≤1+e﹣2，而且函数（1+e﹣2）e x在（0，+∞）上单调递增，∴（1+e﹣2）e x＞（1+e﹣2）e0＝1+e﹣2，∴f（x）＜g（x）恒成立．请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的参数方程：（t为参数）和圆C的极坐标方程：ρ＝2sinθ．（1）将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）已知点M（1，3），直线l与圆C相交于A、B两点，求|MA|+|MB|的值．【分析】（1）把直线参数方程中的参数t消去，可得直线的普通方程；把ρ＝2sinθ两边同乘以ρ，得ρ2＝2ρsinθ，代入ρ2＝x2+y2，y＝ρsinθ，可得圆C的直角坐标方程；（2）化直线方程为参数方程的标准形式，代入圆的方程，化为关于t的一元二次方程，再由此时t的几何意义即根与系数的关系求解|MA|+|MB|的值．解：（1）把直线l的参数方程（t为参数）消去参数t，得直线l的普通方程为y＝2x+1；将ρ＝2sinθ两边同乘以ρ，得ρ2＝2ρsinθ，将ρ2＝x2+y2，y＝ρsinθ代入，得x2+（y﹣1）2＝1，∴圆C的直角坐标方程为x2+（y﹣1）2＝1；（2）经检验点M（1，3）在直线l上，化直线方程为，代入圆C的直角坐标方程x2+（y﹣1）2＝1，得，即．设t1，t2是方程的两根，则．∵t1t2＝4＞0，∴t1与t2同号，由t的几何意义得|MA|+|MB|＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a|+|x﹣b|，（其中a＞0，b＞0）．（1）求函数f（x）的最小值M．（2）若2c＞M，求证：．【分析】（1）利用绝对值不等式的性质即可求得最小值M；（2）利用分析法，只需证明，两边平方后结合2c＞a+b，a＞0即可得证．解：（1）f（x）＝|x+a|+|x﹣b|≥|（x+a）﹣（x﹣b）|＝|a+b|＝a+b，当且仅当（x+a）（x ﹣b）≤0时取等号，∴f（x）的最小值M＝a+b；（2）证明：依题意，2c＞a+b＞0，要证，即证，即证a2﹣2ac+c2＜c2﹣ab，即证a2﹣2ac+ab＜0，即证a（a﹣2c+b）＜0，又2c＞a+b，a＞0可知，a（a﹣2c+b）＜0成立，故原不等式成立．。

2020届云南省曲靖市高三第二次教学质量监测数学（文）试题一、单选题1．设集合{}0A x x =>，{}22150,B x x x x Z =+-<∈，则A B =I （ ） A ．{}1,2B ．{}1,2,3C ．{}1,2,3,4D ．{}1,2,3,4,5 【答案】A【解析】本题先计算集合B,然后结合集合交集运算性质,即可.【详解】 ()(){}{}=3504,3,2,1,0,1,2B x x x x Z x -+<∈=----，,所以 {}1,2A B =I ,故选A.【点睛】本道题考查了集合交集运算性质,难度较小.2．若复数z 满足：(1)2z i ⋅+=，则||z =（ ）A ．1B C D ．2 【答案】B【解析】根据复数满足的等式化简变形，结合复数除法运算即可化简得z ，根据复数模的定义及运算即可求解.【详解】复数z 满足(1)2z i ⋅+=， 则21iz =+， 由复数除法运算化简可得()()()2121111i z i i i i -===-++-，由复数模的定义及运算可得z ==故选：B.【点睛】 本题考查了复数模的定义，复数的除法运算，属于基础题.3．已知4cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．45- B ．15- C ．15 D ．45【答案】D 【解析】利用诱导公式可求得sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 【详解】由诱导公式可得4sin sin cos 42445ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故选：D.【点睛】本题考查利用诱导公式求值，考查计算能力，属于基础题.4．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A ．7B ．9C ．10D ．11【答案】B 【解析】列出循环的每一步，根据条件1S ≤-成立，循环结束，可得出输出结论.【详解】运行该程序，输入1i =，0S =，则110lg lg 33S =+=； 11lg lg 1310S =>=-，不满足判断框，则1313,lg lg lg 355i S ==+=；11lg lg 1510S =>=-，不满足判断框，则1515,lg lg lg 577i S ==+=； 11lg lg 1710S =>=-，不满足判断框，则1717,lg lg lg 799i S ==+=； 11lg lg 1910S =>=-，不满足判断框，则1919,lg lg lg 91111i S ==+=； 11lg lg 11110S =<=-，满足判断框，输出9i =. 故选：B.【点睛】本题考查程序框图，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于基础题.5．已知向量,a b r r ，2a =r ，()()cos ,sin b R ααα=∈r ，若2a b +=r r a r 与br 夹角是（ ）A ．56πB ．23πC ．3πD ．6π 【答案】C【解析】首先根据b r 的坐标计算b r ，根据2a b +=r r 1a b =r r g ，再代入夹角公式计算即可.【详解】1b ==r ，222(2)4412a b a a b b +=++=r r r r r r g ，即44412a b ++=r r g ，解得1a b =r r g .设a r 与b r 夹角为θ，则1cos 2a b a b θ==r r g r r ， 又因为0θπ<<，所以3πθ=. 【点睛】本题主要考查平面向量的夹角的计算，同时考查了平面向量的模长，属于中档题. 6．函数()()23ln 1x f x x +=的大致图象是A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】利用函数的对称性及函数值的符号即可作出判断.【详解】由题意可知函数()f x 为奇函数，可排除B 选项；当x 0<时，()0f x ＜，可排除D 选项；当x 1=时，()12f ln =，当x 3=时，ln10ln10(3),ln 22727f =>， 即()()1?3f f ＞，可排除C 选项， 故选：A【点睛】本题考查了函数图象的判断，函数对称性的应用，属于中档题．7．已知实数,a b 满足01a ≤≤，01b ≤≤，则函数()3221f x x ax b x =-++存在极值的概率为（ ）A ．16B ．36C ．13D 3【答案】B【解析】求函数的导数，导函数为二次函数，导函数只需有两个不同的零点即可，利用判别式求出,a b 范围，根据几何概型求概率即可.【详解】()2232f x x ax b '=-+,因为函数()3221f x x ax b x =-++存在极值， 所以()2232f x x ax b '=-+有两个不同零点， 即22320x ax b -+=有两个不等的实根，所以224120a b ∆=->，因为01a ≤≤，01b ≤≤解得33a b <， 因为满足01a ≤≤，01b ≤≤的点(,)a b 的区域为边长为1的正方形，面积为1S = 满足01a ≤≤，01b ≤≤且3b a <的点(,)a b 的区域为正方形内直线3b a =下方的三角形区域，面积为13312S '=⨯⨯=, 由几何概型可知函数()3221f x x ax b x =-++存在极值的概率为36S P S '==, 故选：B【点睛】 本题主要考查了几何概型，利用导数研究函数极值，二次方程根的判定，转化思想，属于中档题.8．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖膳（biē nào）.如图，网格纸上小正方形的边长1，粗实线画出的是某鳖臑的三视图，则该鳖臑表面积为（ ）A ．6B ．21C ．27D ．54【答案】C 【解析】结合三视图,还原直观图,计算表面积,即可.【详解】结合三视图,还原直观图为已知3,4,3AB BC CD ===,则该四面体1111272222S AB BC AC CD AB BD BC CD =⋅+⋅+⋅+⋅=,故选C. 【点睛】本道题考查了三视图还原直观图,难度中等.9．已知,x y 满足202080x y x y -≥⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩，()0z ax by a b =+>>的最大值为2，则直线10ax by +-=过定点（ ）A ．()3,1B ．()1,3-C ．()1,3D ．()3,1-【答案】A 【解析】由约束条件作出可行域，得到使目标函数取得最大值的最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得到,a b 的关系式，再代入直线10ax by +-=由直线系方程得出答案.【详解】由,x y 满足202080x y x y -≥⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩，作出可行域如图：由图可知，C 为目标函数取得最大值的最优解，联立280y x y =⎧⎨+-=⎩，解得()6,2C ， 622a b ∴+=，即31a b +=，所以13b a =-，代入10ax by +-=，得310ax y ay +--=，即()310a x y y -+-=，由3010x y y -=⎧⎨-=⎩，解得31x y =⎧⎨=⎩， ∴直线10ax by +-=过定点()3,1，故选：A【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，属于中档题.10．设函数()ln xf x e x =+，满足()()()()0f a f b f c a b c <<<，若()f x 存在零点0x ，则下列选项中一定错误的是（ ）A ．()0,x a c ∈B ．()0,x a b ∈C ．()0,x b c ∈D ．()0,x c ∈+∞【答案】C【解析】根据函数解析式可得函数的单调性，由单调性及()()()()0f a f b f c a b c <<<确定(),(),()f a f b f c 的大小及正负，利用零点存在性定理即可求解.【详解】因为()ln xf x e x =+在(0,)+∞上为增函数，且a b c <<， 所以()()()f a f b f c <<，()()()0f a f b f c <Q ，()0,()0,()0f a f b f c ∴<>>或()0,()0,()0f a f b f c <<<，若()0,()0,()0f a f b f c <>>时，由()f x 存在零点0x ，可知0(,)x a b ∈，此时A,B 选项正确，C,D 选项错误.若()0,()0,()0f a f b f c <<<时，由()f x 存在零点0x ，可知0(,)x c ∈+∞，此时选项A 、B 、C 错误，D 选项正确，综上可知，选项中一定错误的是C 选项，故选：C【点睛】本题主要考查了函数的零点的存在性定理，函数的单调性，考查了推理能力，运算能力，属于中档题.11．若双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线被圆()2224x y ++=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）A ．BCD ．2【答案】D【解析】由双曲线的方程可得一条渐近线方程，根据圆的方程得圆心和半径，运用点到直线的距离公式和弦长公式，可得a, b 的关系，即可求解.【详解】 不妨设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线为0bx ay -=， 圆()2224x y ++=的圆心为(2,0)-，半径2r =，则圆心到渐近线的距离为2b d c==所以弦长2==， 化简得：2243b c =，即2224()3c a c -=，解得2c a = 所以2c e a==. 故选：D【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的简单几何性质，圆的标准方程，考查方程思想和运算能力，属于中档题.12．已知ABC V 的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若1a =，3a b c ++=，且sin cos sin cos 2c A B a B C a +=，则ABC V 的面积为（ ）A ．BCD 【答案】D【解析】根据正弦定理和两角和的正弦公式化简条件得出sinA 的值，利用余弦定理计算bc ，代入面积公式即可求出三角形的面积.【详解】sin cos sin cos 2c A B a B C a +=Q ，sin sin cos sin sin cos C A B A B C A ∴+=sin 0A ≠Qsin Ccos sin cos B B C ∴+=即sin()sin B C A +==3A π∴=或23A π=， 若23A π=，则,a b a c >>， 故2a b c >+，与1,2a b c =+=矛盾，3A π∴=由余弦定理得22222cos ()31a b c bc A b c bc =+-=+-=1bc =∴11sin 122S bc A ∴==⨯= 故选：D【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，属于中档题.二、填空题13．若抛物线()220y px p =>的准线经过直线1y x =+与坐标轴的一个交点，则p =______.【答案】2【解析】首先得出抛物线的准线方程，然后即可分析出其经过直线1y x =+与坐标轴的交点，解出即可.【详解】抛物线()220y px p =>的准线为2p x =- 所以其经过直线1y x =+与坐标轴的交点为()1,0- 所以12p -=-，即2p = 故答案为：2【点睛】本题考查的是由抛物线的方程得准线方程，较简单.14．将容量为n 的样本数据分成5组，绘制频率分布直方图，若第1至第5个矩形的面积之比为2:4:6:2:1，且最后两组数据的频数之和等于20，则n 的值等于______.【答案】100【解析】由频率分布直方图可得第1至第5组的频数之比为2:4:6:2:1，然后再结合题意求解即可. 【详解】解：由题意可知第1至第5组的频数之比为2:4:6:2:1， 不妨设第1至第5组的频数为2,4,6,2,t t t t t ， 则220t t +=，即320t =则n 246215100t t t t t t =++++==， 故答案为：100. 【点睛】本题考查了频率分布直方图，属基础题.15．关于函数()()4sin 23f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，有下列命题：①由()()120f x f x ==可得12x x -必是π的整数倍； ②()y f x =在区间5,1313ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增； ③()y f x =的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称； ④()y f x =的图象关于直线6x π=-对称.其中正确的命题的序号是______.（把你认为正确的命题序号都填上） 【答案】②③【解析】由三角函数解析式，结合三角函数图像的性质逐一判断即可得解. 【详解】解：对于①，令()0f x =，即23x k ππ+=，则126x k ππ=-，则1212,22k k mx x m Z ππ--==∈，即12x x -必是2π的整数倍，即①错误；对于②，令222232k x k πππππ-≤+≤+，得5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈，又5,1313ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭Ü5,1212k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，即()y f x =在区间5,1313ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，即②正确； 对于③，令23x k ππ+=，解得26k x ππ=-，当0k =时，6x π=-，即()y f x =的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，即③正确；对于④，令232x k πππ+=+，解得212k x ππ=+，解2126k πππ+=-，k 无整数解，即④错误，综上可得正确的命题的序号是②③， 故答案为：②③. 【点睛】本题考查了三角函数图像的性质，重点考查了运算能力，属基础题.16．在几何体P ABC -中，PAB ∆是正三角形，平面PAB ⊥平面ABC ，且2AB BC ==，AB BC ⊥，则P ABC -的外接球的表面积等于__________．【答案】28π3【解析】由题意，取,AB PB 的中点E F ，，连接,AF PE ，且AF PE M ⋂=，则点M为正三角形PAB 的中点，1333ME PE ==，易证PE ⊥平面ABC ，取AC 中点D ，连接ED ，作OD ∥PE ，OM ∥ED ，连接OA ，则OA 为外接球的半径，又33OD ME ==，122AD AC ==，则22213OA OD AD =+=， 所以外接球的表面积为22128433S ππ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，从而问题可得解.点睛：此题主要考查简单组合体的表面积的计算，以及三棱锥外接球半径的求问题，属于中高档题型，也是常考题型.在解决此类问题的过程中，常以三棱锥为基础，构造出长方体（或是正方体），则该长方体的体对角线即为此三棱锥的外接球的直径，再根据球的表面积公式进行运算即可.三、解答题17．某数学教师在甲、乙两个平行班采用“传统教学”和“高效课堂”两种不同的教学模式进行教学实验.为了解教改实效，期中考试后，分别从两个班中各随机抽取20名学生的数学成绩进行统计，得到如下的茎叶图：（1）求甲、乙两班抽取的分数的中位数，并估计甲、乙两班数学的平均水平和分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（2）若规定分数在[)90,110的为良好，现已从甲、乙两班成绩为良好的同学中，用分层抽样法抽出4位同学参加座谈会，要再从这4位同学中任意选出2人发言，求这2人来自不同班的概率.【答案】（1）甲班抽出同学数学分数的中位数：118；乙班抽出同学数学分数的中位数：128；乙班学生数学考试分数的平均水平高于甲班学生数学考试分数的平均水平；甲班学生数学考试分数的分散程度高于乙班学生数学考试分数的分散程度（2）1 2【解析】（1）由茎叶图求出中位数，再观察数据估计甲、乙两班数学的平均水平和分散程度即可；（2）用分层抽样法抽出4人，则应从甲、乙两班各抽出3人、1人，然后列举出其基本事件，然后利用古典概型概率公式求解即可.【详解】解：（1）根据茎叶图得：甲班抽出同学数学分数的中位数：1221141182+=，乙班抽出同学数学分数的中位数：1281281282+=.乙班学生数学考试分数的平均水平高于甲班学生数学考试分数的平均水平；甲班学生数学考试分数的分散程度高于乙班学生数学考试分数的分散程度. （2）根据茎叶图可知：甲、乙两班数学成绩为良好的人数分别为6、2，若用分层抽样法抽出4人，则应从甲、乙两班各抽出3人、1人.设“4位同学任意选出2人发言，这2人是来自不同班的同学”为事件A .将甲班选出的3人记为：a 、b 、c ，乙班选出的1人记为：d .则共有“ab 、ac 、ad 、bc 、bd 、cd ”6种选法，事件A 包含“ad 、bd 、cd ”3种.故()3162P A ==. 故选出的2人是来自不同班的同学的概率等于12. 【点睛】本题考查了茎叶图,重点考查了古典概型概率公式,属基础题.18．已知正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足242n n n S a a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记()211n n b a =+，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：12n T <. 【答案】（1）2n a n =（2）证明见解析；【解析】（1）根据所给条件式，利用递推法可得211142n n n S a a +++=+，两式相减即可证明数列{}n a 为等差数列，结合首项与公差即可得数列{}n a 的通项公式；（2）将（1）中所得数列{}n a 的通项公式代入，可得数列{}n b ，利用放缩法及裂项求和，即可证明不等式成立. 【详解】（1）已知242n n n S a a =+，①所以211142n n n S a a +++=+，②②－①得，22111422n n n n n a a a a a +++=-+-，即()()1120n n n n a a a a +++--=；因为10n n a a ++>，所以，12n n a a +-=.由211142S a a =+及10a >得12a =，故{}n a 为等差数列，公差2d =. 所以()2122n a n n =+-⨯=. （2）证明：因为()()()21111121212212121n b n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪-+-+⎝⎭+所以111111111111...2323525722121n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1112422n =-<+. 不等式得证. 【点睛】本题考查了利用递推关系式证明等差数列的方法，等差数列通项公式的求法，裂项求和及应用放缩法证明数列不等式，属于中档题.19．如图所示，平面PAB ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为4的正方形，90APB ∠=︒，,M N 分别是,CD PB 的中点.（1）证明：//CN 平面PAM ；（2）若60PAB ∠=︒，求四棱锥P ABCM -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）43【解析】（1）首先取线段AP 的中点E ，连接EN ，EM ，根据三角形中位线的性质得到四边形CNEM 为平行四边形，从而得到CN ∥EM ，再利用线面平行的判定即可证明.（2）首先过P 作PO AB ⊥，垂足为O ，利用面面垂直的性质得到PO ⊥平面ABCD ，即PO 为四棱锥的高，再计算四棱锥的体积即可. 【详解】（1）取线段AP 的中点E ，连接EN ，EM .Q E ，N 分别为AP ，PB 的中点，则EN ∥AB 且12EN AB =. 在正方形ABCD 中，∵M 是CD 的中点， ∴CM ∥AB 且12CM AB =. ∴CM ∥EN ，且CM EN =，则四边形CNEM 为平行四边形， ∴CN ∥EM .∵CN ⊄平面PAM ，EM ⊂平面PAM ， ∴CN ∥平面PAM .（2）过P 作PO AB ⊥，垂足为O .∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，PO ⊂平面PAB ，∴PO ⊥平面ABCD .又60PAO PAB ∠=∠=︒，122PA AB ==， 所以，四棱锥P ABCM -的高2sin 603PO =︒= 故，四棱锥P ABCM -的体积为：()1124434332P ABCM V -=⨯⨯+⨯=【点睛】本题第一问考查直线与平面平行的证明，第二问考查四棱锥的体积，同时考查面面垂直的性质，属于中档题.20．已知ABC V 的两个顶点坐标是()23,0B -，()23,0C ，ABC V 的周长为843+O 是坐标原点，点M 满足2OA OM =u u u r u u u u r.（1）求点M 的轨迹E 的方程；（2）若互相平行的两条直线l ，l '分别过定点()和)，且直线l 与曲线E交于,P Q 两点，直线l '与曲线E 交于,R S 两点，若四边形PQRS的面积为5，求直线l 的方程.【答案】（1）()2210164x y y +=≠（2）(y x =±+或(7y x =±【解析】（1）由8AB AC BC +=>，所以，可得点A 的轨迹是以,B C 为焦点的椭圆（不含左右顶点）.再由2OA OM =u u u r u u u u r得得出点A 的坐标与点M 的坐标的关系，可求得点M 的轨迹E 的方程；（2）分直线l 的斜率不存在时和直线l 的斜率存在时两种情况分别求解，当直线的斜率存在时，可设直线l的方程为(y k x =+，直线l '的方程为(y k x =与曲线E 的方程联立求得边()11,P x y ，()22,Q x y ，()224114k PQ k+=+，再由平行线间的距离可得平行四边形的面积，可得解. 【详解】（1）由已知，得8AB AC BC +=>，所以，点A 的轨迹是以,B C 为焦点的椭圆（不含左右顶点）.因为，28a =，c =，所以，4a =，2b =，所以，点A 的轨迹方程为()2210164x y y +=≠.设(),M x y ，()00,A x y .由2OA OM =u u u r u u u u r 得，0022x x y y =⎧⎨=⎩，又22001164x y +=.故，点M 的轨迹E 的方程为()()22221164x y +=，即()22104x y y +=≠.（2）由题意可知，当直线l的斜率不存在时，易求得12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，12Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，12R ⎫-⎪⎭，12S ⎫⎪⎭.这时，四边形PQRS的面积为.当直线l 的斜率存在时，可设直线l的方程为(y k x =+，则直线l '的方程为(y k x =由(22,1,4y k x xy ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩消去y 得()2222141240k x x k +++-=，设()11,P x y ，()22,Q x y，则12x x +=，212212414k x x k -⋅=+.故，()21224114k PQ x k+=-==+，又，两条平行直线l ，l '间的距离d =.由椭圆的对称性知：四边形PQRS为平行四边形，其面积5S PQ d =⋅==， 解得，1k =±或k =故，直线l 的方程为(y x =±+或y x =. 【点睛】本题考查点的轨迹方程的求解，直线与椭圆的位置关系，求解时注意直线的斜率是否存在，分情况分别求解，属于难度题. 21．已知函数()ln f x x x =，()212g x x =. （1）求函数()f x 在21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值； （2）若对0b a >>，总有()()()()m g b g a f b f a ->-⎡⎤⎣⎦成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()min 1f x e=-，()max f x e =；（2）[)1,+∞.【解析】（1）利用导数分析函数()y f x =在区间21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性，利用极值与最值之间的关系可求得函数()y f x =在区间21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；（2）由()()()()m g b g a f b f a ->-⎡⎤⎣⎦变形得出()()()()mg b f b mg a f a ->-，构造函数()()()h x mg x f x =-，可知函数()y h x =在()0,∞+上为增函数，可得出()0h x '≥对任意的0x >恒成立，结合参变量分离法得出ln 1x m x+≥，构造函数()ln 1x x xϕ+=，利用导数求得函数()y x ϕ=的最大值，进而可求得实数m 的取值范围.【详解】（1）()ln f x x x =Q ，则()ln 1f x x '=+，令()0f x '=，解得1x e=. 当211x e e <<时，()0f x '<；当1x e e<<时，()0f x '>. 所以，函数()y f x =在区间211,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在区间1,e e ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增. 所以，函数()y f x =在1x e =处取得极小值，亦即最小值，即()min 11f x f e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭. 又2212f e e ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()f e e =，所以，()()max f x f e e ==. 因此，()min 11f x f e e⎛⎫==-⎪⎝⎭，()()max f x f e e ==； （2）因为，()()()()m g b g a f b f a ->-⎡⎤⎣⎦，等价于()()()()mg b f b mg a f a ->-，令()()()2ln 2m h x mg x f x x x x =-=-， 因为0b a >>，总有()()()()m g b g a f b f a ->-⎡⎤⎣⎦成立， 所以，函数()y h x =在()0,∞+上单调递增.问题化为()ln 10h x mx x '=--≥对()0,x ∈+∞恒成立，即ln 1x m x+≥对()0,x ∈+∞恒成立. 令()ln 1x x x ϕ+=，则()2ln xx xϕ-'=.由()2ln 0xx xϕ-'==得，1x =. 当()0,1x ∈时，()0x ϕ'>，函数()y x ϕ=递增，当()1,x ∈+∞时，()0x ϕ'<，函数()y x ϕ=递减.所以，()()max 11x ϕϕ==，1m ∴≥. 因此，实数m 的取值范围是：[)1,+∞. 【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，同时也考查了利用导数研究不等式恒成立问题，将问题转化为新函数的单调性是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为312x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），在以坐标原点O 为极点、以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点.（1）求线段AB 的中点P 的直角坐标；（2）设点M 是曲线C 上任意一点，求MAB △面积的最大值. 【答案】（1）9,44P ⎛⎫-⎪⎪⎝⎭（2）4 【解析】（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，再将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，设A 、B 的参数分别为1t 、2t ，利用韦达定理求出线段AB 中点P 对应的参数，代入直线l 的参数方程可求得点P 的直角坐标；（2）利用弦长公式求得AB ，求出圆心到直线l 的距离，由此可求得圆C 上的点M 到直线l 距离的最大值，利用三角形的面积公式可求得MAB △面积的最大值. 【详解】（1）将曲线C 的极坐标方程可化为24cos ρρθ=，化为直角坐标方程得()2224x y -+=，将直线l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得：2213242t ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得230t -=，设A 、B 的参数分别为1t 、2t ，由韦达定理得：12t t +=于是1222P t t t +==-. 设()00,P x y，则009322412x y ⎧⎛=+-=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎛⎪=⨯= ⎪ ⎝⎭⎩，故点P的直角坐标为9,4P ⎛ ⎝⎭；（2）由（1）知：12t t +=123t t ⋅=-， 所以，12AB t t =-==，又直线l 的普通方程为30x --=，圆心()2,0C 到直线l 的距离为12d ==，圆的半径2r =.所以，点M 到直线l 的距离的最大值为max 52h d r =+=. 因此，MAB △面积的最大值为：max 15224S AB h =⋅==. 【点睛】 本题弦的中点坐标的求解，同时也考查了三角形面积最值的求解，涉及直线参数方程几何意义的应用，考查计算能力，属于中等题. 23．已知不等式21211x x m ++-≥+对于任意的x ∈R 恒成立.（1）求实数m 的取值范围；（2）若m 的最大值为M ，且正实数a 、b 、c 满足a b c M ++=，求证：13222a b b c+≥+++ 【答案】（1）[]3,1-；（2）证明见解析. 【解析】（1）利用绝对值三角不等式求出2121x x ++-的最小值，由此可得出关于m 的不等式，进而可解得实数m 的取值范围；（2）由题意可得1a b c ++=，可得出()()222a b b c +++=，可得出()()131132222222a b b c a b b c a b b c ⎛⎫+=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭，利用基本不等式可证得结论.【详解】（1）由绝对值三角不等式可得()()212121212x x x x ++-≥+--=， 所以，12m +≤，解得31m -≤≤，因此，实数m 的取值范围是[]3,1-；（2）因为，1M =，所以，1a b c ++=，()()222a b b c ∴+++=， 所以，()()131132222222a b b c a b b c a b b c ⎛⎫+=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭()321214422222a b b c b c a b ⎡+⎡⎤+=++≥⨯+=+⎢⎢⎥++⎢⎣⎦⎣即13222a b b c+≥++【点睛】本题考查绝对值不等式恒成立问题的求解，同时也考查了利用基本不等式证明不等式，涉及了绝对值三角不等式的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题.。

云南省曲靖市第一中学2020年高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若复数是纯虚数（是虚数单位，是实数），则（）A. B. C.D.参考答案：A2. 三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明．下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用勾股朱实黄实弦实，化简得：勾股弦．设勾股形中勾股比为，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（）A．866 B．500 C．300 D．134参考答案：D设勾为，则股为，∴弦为，小正方形的边长为．所以图中大正方形的面积为，小正方形面积为，所以小正方形与大正方形的面积比为∴落在黄色图形(小正方形)内的图钉数大约为．3. 函数f（x）＝x3+ax﹣2在区间[1，+∞）内是增函数，则实数a的取值范围是（）A．[3，+∞）B．[﹣3，+∞）C．（﹣3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）参考答案：B由题：，求导得；，函数在区间内是增函数，则：4. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数的值是A．B． C． D．参考答案：A由于Ｍ到其焦点的距离为５，所以,所以Ｍ（１，４），，由题意知，5. 函数的图象大致是（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】对数函数的图象与性质．【分析】先由奇偶性来确定是A、B还是C、D选项中的一个，再通过对数函数，当x=1时，函数值为0，可进一步确定选项．【解答】解：∵f（﹣x）=﹣f（x）是奇函数，所以排除A，B当x=1时，f（x）=0排除C故选D【点评】本题主要考查将函数的性质与图象，将两者有机地结合起来，并灵活地运用图象及其分布是数形结合解题的关键．6. 已知正方体，过顶点作平面，使得直线和与平面所成的角都为，这样的平面可以有（）A.4个B.3个C.2个D.1个参考答案：B7. 设离散型随机变量X可能的取值为1，2，3，4，，又X的数学期望为，则a+b=A．B．0 C. D．参考答案：A依题意可的的分布列为依题意得，解得，故.所以选A.8. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等腰直角三角形，网格纸上的小正方形边长为1，则该几何体的外接球的表面积为（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】还有出原几何体，找到外接球球心，求出半径可得表面积．【详解】由三视图知原几何体是三棱锥，其中平面与底面垂直，如图，是等腰直角三角形，记是斜边中点，则是外心，，则，由面面垂直的性质知平面，外接球球心在上，设，则同三视图提供的尺寸得，．∴．故选：B．【点睛】本题考查球的表面积，解题关键是确定三棱锥外接球球心．三棱锥外接球球心一定在过各面外心用与此面垂直的直线上．9. 设i是虚数单位，若，则复数z=A． B．l+i C．3+i D．3-i参考答案：C10. 下列说法正确的个数是①“在中，若，则”的逆命题是真命题；②“”是“直线和直线垂直”的充要条件；③“三个数成等比数列”是“”的既不充分也不必要条件；④命题“”的否定是“，”．A． B． C． D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，点,,… ,分别是四面体的顶点或其棱的中点，则在同一平面内的四点组（）共有个.参考答案：3312. 设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7= ．参考答案：49【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质．【分析】由等差数列的性质求得a1+a7，再用前n项和公式求得．【解答】解：∵a2+a6=a1+a7∴故答案是49【点评】本题考查等差数列的性质和等差数列前n项和公式．13. 若x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为．参考答案：2【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数以及可行域，判断最值点的位置，然后求解最小值即可．【解答】解：因为线性约束条件所决定的可行域为非封闭区域且目标函数为线性的，最值一定在边界点处取得．分别将点代入目标函数，求得：，所以最小值为2．故答案为：2．14. 设直线，与圆交于A，B，且，则a的值是______．参考答案：10或－30因为，圆心为，半径为，，由垂径定理得，所以圆心到直线的距离为4．，，故填10或－30．15. 已知x＞﹣3，则x+的最小值为．参考答案：4﹣3考点：基本不等式．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得x+3＞0，可得x+=x+3+﹣3，由基本不等式可得．解答：解：∵x＞﹣3，∴x+3＞0，∴x+=x+3+﹣3≥2﹣3=4﹣3，当且仅当x+3=即x=2﹣3时取等号，故答案为：4﹣3．点评：本题考查基本不等式求最值，凑出可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属基础题．16. 已知函数f(x)＝则不等式x＋1＞(x2＋1)f(x)的解集是________．参考答案：略17. 若函数在区间上为单调函数，则的取值范围是．参考答案：考点：导数与函数的单调性．【名师点睛】本题考查导数与函数的单调性．求函数的单调区间，一般是求出导数，然后解不等式得增区间，解不等式得减区间，因此本题函数在区间上为单调函数，不管是增函数，还是减函数，说明此时的符号是确定的，不可能有正有负，从而的解不在此区间内．由此得解题方法．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

曲靖市第一中学2020届高三第二次模拟考试数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项符合要求.） 1. 已知集合{})2lg(x y x A -==，集合{}22B x x =-≤≤，则B A ⋂=（ ） A ．{}2-≥x x B ．{}22<<-x x C ．{}22<≤-x x D ．{}2<x x2. 若复数)(122R a iia ∈++是纯虚数，则i a 22+在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3. 在平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =,则AC BD ⋅u u u v u u u v的值为（ ） A ．3- B ．2- C ．2 D ．3 4. 定义运算⎩⎨⎧>≤=⊗）（）（b a b b a a b a ，则函数xx f 21)(⊗=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5.在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（ ）A ．2550100,,777 B ．252550,,1477 C ．100200400,,777 D ．50100200,,7776. 若p 是q ⌝的充分不必要条件，则p ⌝是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 7. 阅读右边程序框图，为使输出的数据为31， 则①处应填的数字为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．68. 已知y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥-100x y x y x ，则32y x --的取值范围为（ ）A ．3[,4]2B ．(1]，2 C ．(,0][2)-∞⋃+∞，D ．(,1)[2)-∞⋃+∞， 9. 抛物线方程为x y 42=，一直线与抛物线交于B A 、两点，其弦AB 的中点坐标为（1,1），则直线的方程为（ ）A ．012=--y xB ．012=-+y xC ．012=+-y xD ．012=---y x 10. 已知变量x 与变量y 的取值如下表所示，且2.5 6.5m n <<<，则由该数据算得的线性回归方程可能是（ ）x2 3 4 5 y2.5m n6.5A ．ˆ0.8 2.3y x =+B ．ˆ20.4yx =+ C ．ˆ 1.58y x =-+ D ．ˆ 1.610y x =-+ 11. 已知点)30(),03(，，B A -，若点P 在曲线21x y --=上运动，则PAB △面积的最小值为（ ）A ．6B ．3C ．22329- D ．22329+12. 函数)(x f y =是R 上的偶函数，)()2(x f x f =+,当10≤≤x 时，2)(x x f =,则函数x x f y 5log )(-=的零点个数为（ ）A ．10B ．8C ．5D ．3第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.） 13. 函数2log (5)1(0,1)a y x a a =-+>≠且恒过点______.14. 在平面直角坐标系xoy 中，已知ABC ∆的顶点)06(，-A 和)06(，C ，若顶点B 在双曲线1112522=-y x 的左支上，则BCA sin sin sin -＝______. 15. 在直三棱柱111ABC ABC -内有一个与其各面都相切的球1O ，若AB BC ⊥,3AB =，4BC =,则球1O 的表面积为______.16. 在数列}{n a 中，11=a ，n n a n a -=+21，则数列}{n a 的通项公式=n a ______.三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17.（本小题满分12分）从某高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160 cm 和184 cm 之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[160，164)，第2组[164，168)，…，第6组[180，184]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图． (1) 由频率分布直方图估计该校高三年级男生身高的中位数；(2) 在这50名男生身高不低于176 cm 的人中任意抽取2人，则恰有一人身高在[180，184]内的概率. 18.（本小题满分12分）已知函数)(,212cos sin 23)(2R x x x x f ∈-+=(1) 当],0[π∈x 时，求函数的值域；(2) ABC △的角C B A ,,的对边分别为c b a ,,且 ,1)(,3==C f c 求AB 边上的高h 的最大值.19. （本小题满分12分）等腰梯形ABCD 中，ο60,,//=∠=ABC AD AB BC AD ,E 是BC 的中点．将ABE △沿AE 折起后，使二面角C AE B --成直二面角，设F 是CD 的中点，P 是棱BC 的中点．(1) 求证：BD AE ⊥；(2) 求证：平面⊥PEF 平面AECD ；(3) 判断DE 能否垂直于平面ABC ，并说明理由．20.（本小题满分12分）如图所示，设椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，离心率N M e ,,22=是直线ca x l 2:=上的两个动点，且满足021=⋅N F M F . (1) 若5221==N F M F ，求b a ,的值；(2) 证明：当MN 取最小值时，N F M F 21+与21F F 共线．21. （本小题满分12分）设函数x x x x f ln 1)(--=，xe e x g )1()(2-+=. (1) 求函数)(x f 最大值； (2) 求证：)()(x g x f <恒成立.请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】已知直线l 的参数方程：12x t y t=⎧⎨=+⎩（t 为参数）和圆C 的极坐标方程：2sin ρθ=（1）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）已知点()1,3M ，直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，求MA MB +的值.23.（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】 已知函数b x a x x f -++=)(，（其中0,0>>b a ） （1）求函数)(x f 的最小值M ；（2）若M c >2，求证：ab c c a ab c c -+<<--22.曲靖市第一中学2020届高三第二次模拟考试数学（文科）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.（4，1），（6,1） 14. 6515. 4π 16.⎩⎨⎧-)(1)(为偶数为奇数n n n n 三、解答题（本大题共6个小题，共70分） 17.（本小题满分12分）6解：(1)由频率分布直方图，经过计算该校高三年级男生身高的中位数为168.25 (4分) (2)由频率分布直方图知，后2组频率为(0.02＋0.01)×4＝0.12，人数为0.12×50＝6，即这50名男生身高在172 cm 以上(含172 cm)的人数为6.（8分）身高介于[176，180]的有4人,用1,2,3,4表示, 身高介于[180，184]的有2人,用a,b 表示,从中任取2人的基本事件有（1,2）（1,3）（1,4）（1,a ）（1,b ）（2,3）（2,4）（2,a ）（2,b ）（3,4）（3,a ）（3,b ）（4,a ）（4,b ）（a,b ）. 恰有一人身高在[180，184]内的基本事件有（1,a ）（1,b ）（2,a ）（2,b ）（3,a ）（3,b ）（4,a ）（4,b ）.所以,恰有一人身高在[180，184]内的概率为158（12分） 18.（本小题满分12分）解：(1)21cos 2121sin 23)(-++=x x x f =)6sin(π+x π≤≤x 0Θ ππ676≤≤∴x 1)6sin(21≤+≤-∴πx ∴函数的值域为]1,21[-∴(6分)(2) 1)6sin()(=+=πC C f26ππ=+∴C 3π=∴C2123cos 22-=-+=ab b a C Θ ab ab b a 2322≥-=+∴ 3≤∴ab≤==C ab h S sin 2132134323323=⨯⨯ 23≤∴h h ∴的最大值为23(12分)19.（本小题满分12分）(1)证明：设AE 中点为M ，∵在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝AD ，∠ABC ＝60°，E 是BC 的中点， ∴△ABE 与△ADE 都是等边三角形． ∴BM ⊥AE ，DM ⊥AE .∵BM ∩DM ＝M ，BM 、DM ⊂平面BDM ，∴AE ⊥平面BDM . ∵BD ⊂平面BDM ，∴AE ⊥BD .(4分)(2)证明：连结CM 交EF 于点N ，∵ME //=FC ， ∴四边形MECF 是平行四边形．∴N 是线段CM 的中点． ∵P 是BC 的中点，∴PN ∥BM .∵BM ⊥平面AECD ，∴PN ⊥平面AECD .又∵PN ⊂平面PEF ，∴平面PEF ⊥平面AECD .（8分） (3)DE 与平面ABC 不垂直．证明：假设DE ⊥平面ABC ，则DE ⊥AB ，∵BM ⊥平面AECD .∴BM ⊥DE .∵AB ∩BM ＝B ，AB 、BM ⊂平面ABE ，∴DE ⊥平面ABE . ∴DE ⊥AE ，这与∠AED ＝60°矛盾． ∴DE 与平面ABC 不垂直．（12分）20.（本小题满分12分）解：由e ＝22，得b ＝c ＝22a ，所以焦点F 1(－22a,0)，F 2(22a,0)，直线l 的方程为x ＝2a ，设M (2a ，y 1)，N (2a ，y 2)，(1)∵|F 1M →|＝|F 2N →|＝25，∴12a 2＋y 22＝20，92a 2＋y 21＝20，消去y 1，y 2，得a 2＝4，故a ＝2，b ＝ 2.（6分）(2)|MN |2＝(y 1－y 2)2＝y 21＋y 22－2y 1y 2≥－2y 1y 2－2y 1y 2＝－4y 1y 2＝6a 2.当且仅当y 1＝－y 2＝62a 或y 2＝－y 1＝62a 时，|MN |取最小值6a ， 此时，F 1M →＋F 2N →＝(322a ，y 1)＋(22a ，y 2)＝(22a ，y 1＋y 2)＝(22a,0)＝2F 1F 2→，故F 1M →＋F 2M→与F 1F 2→共线.（12分）21.（本小题满分12分）解：(1)x x f ln 2)(--='令0ln 2=--x 解得2-=e x当),0(2-∈e x 时0)(>'x h ，),(2+∞∈-e x 时0)(<'x h .∴函数)(x h 在),0(2-e 上单调递增，在),(2+∞-e 上单调递减 ∴221)()(--+=≤e e f x f21)(-+∴e x f 的最大值为（6分）(2)而函数xe e x g )1()(2-+=在区间),0(+∞上单调递增∴)1()0()(2-+=>e g x g ∴)()1()0()(2x f e g x g ≥+=>-∴)()(x g x f <恒成立（12分）22．（本小题满分10分）解：（1）消去参数t ，得直线l 的普通方程为21y x =+， 将2sin ρθ=两边同乘以ρ得22sin ρρθ=，()2211x y +-=，∴圆C 的直角坐标方程为()2211x y +-=；（2）经检验点()1,3M 在直线l 上，12x t y t =⎧⎨=+⎩可转化为13x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①，将①式代入圆C 的直角坐标方程为()2211x y +-=得22121⎛⎫⎫++= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，化简得240t ++=，设12,t t是方程240t ++=的两根，则12t t +=-124t t =， ∵1240t t =>，∴1t 与2t 同号，由t的几何意义得1212MA MB t t t t +=+=+=23.（本小题满分10分）解: (1)b a b a b x a x b x a x +=+=--+≥-++)()(b a M +=∴（5分）(2)证明：为要证c a c <<+只需证a c <-< 即证a c -<也就是22()a c c ab -<-，即证22a ac ab -<-，即证2()ac a a b >+， ∵0,2,0a c a b b >>+>，∴2a b c +>≥2c ab >即有20c ab ->， 又 由2c a b >+可得2()ac a a b >+成立，∴ 所求不等式c a c <<（10分）。