6.2投针试验
主备人：周利敏
一、本课程的目标是什么？
1、经历实验、统计等活动过程，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力。
2、能用实验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率。
3、能力训练要求： 通过活动操作，培养学生解决问题的能力。
4、情感与价值观：经历将一些复杂数学问题，用实验的方法解决。让学生感到从事着一项极具探秘色彩的游戏活动。让数学教育真正走进学生的世界，为他们所关注、喜爱、认同和向往。
二、本课程的教学重、难点是什么？
重点：掌握实验方法估计一些复杂的随机事件发生的概率。
难点：对复杂事件发生的概率的体验教学方法。
三、核心问题是什么？
1、经历实验、统计等活动过程，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力。
2、能用实验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率。
3、让学生通过亲身的试验、统计过程获得用试验方法估计复杂事件发生的概率。
4、让学生参与活动,在合作交流中,发现惊奇的结论,感受数学的魅力。
四、教学设计策略及评价方法是什么？ 活动一：1.提出问题：
平面上画着一些平行线，相邻的两条平行线之间的距离都为2cm，向此平面任投一长度为lcm的针，该针可能与其中某一条平行线相交，也可能与它们都不相交。
相交和不相交的可能性相同吗？你能通过列表或画树状图求出该针与平行线相交的概率吗？
2、活动目的：利用当“试验次数较大时，试验频率稳定于某一试验概率”并据此估计针与平行线相交的概率。
3、活动用具：（1）桌子，（2）铁针若干枚，长度为lcm，粗细一致，﹙3﹚表格。注意：每位同学的针都一样。
4、活动方式：小组合作交流，全班研讨。
5、活动步骤：（1）将学生分成两人一组，
（2）利用一张大白纸，在纸上画出等距离2ｃｍ的8条平行线（线条要细）。
（3）准备若干枚长度为1ｃｍ的针
（4）要求学生从一定高度随意抛针，保证投针的随意性；组内同学分工如下：一位投针，一位记录。 注意问题：在试验中有时针与线是否相交较难判断，采取的方法：（1）忽略这次试验；（2）认为相交、不相交各计半次，等等。（3）每个小组投针100次，而后将各数据填入表格。
ＣＨＵＺＨｏＩ、ｌＧＳＨＥｌ、ｌＧＳＨｌＪＩＥ 不沾边的呀！” 布丰先生似乎猜透了大家的心思，得 意洋洋地解释道：“诸位，这里用的是概率 的原理，如果大家有耐心的话，再增加投 针的次数，还能得到更精确的１ｒ近似值．不 过，要想弄清其间的道理，只好请大家去 看敝人的新作了．”接着布丰先生扬了扬自 己手上的一本《或然算术试验》的书． 在这种纷纭杂乱的场合出现耵，实在 是出乎人们的意料，然而它却是千真万确 的事实．由于投针试验的问题是布丰先生 最先提出的，所以数学史上就称它为布丰 问题．布丰得出的一般结果是：如果纸上两 平行线问相距为ｄ，小针长为ｚ，投针的次数 为ｎ，所投的针与平行线相交的次数为ｍ，那 么当ｎ相当大时有：叮Ｔ ． ｄ，ｎ 在上面故事中，针长ｚ恰等于平行线间 距离ｄ的一半，所以代人上面公式简化得： １Ｔ一 ． ，ｎ 值得一提的是，后来有不少人步布丰 先生的后尘，用同样的方法来计算 值．其 中最为神奇的要算意大利数学家拉兹瑞 尼（Ｌａｚｚｅｒｉｎｉ）．他在１９０１年宣称进行了多 次的投针试验，每次投针数为３ ４０８次，平 均相交数为２ １６９．６次，代入布丰公式求 得盯 ３．１４１ ５９２ ９．这与 的精确值相比， 一直到小数点后第七位才出现不同！用如 此轻巧的办法，求到如此高精度的耵值， 这真是天工造物！倘若祖冲之再世，也会 为之惊讶得瞠目结舌！ 不过，对于拉兹瑞尼的结果，人们一向 非议甚多．究其原因，也不能说都没有道理， 因为在数学中可以证明，最接近订真值的， １一＇ 分母较小的几个分数是：Ｉ． ３．１４（约 ７ 率）；Ⅱ．三 ３．１４１ ５；Ⅲ． 堕 ３．１４１ ５９２ ９ ７０ （密率）；１Ｖ． 三 ３．１４１ ５９２ ６５３． ３３ １０２ 而拉兹瑞尼居然投出了密率，对于万 次之内的投掷，不可能有更好的结果了．难 怪有不少人提出怀疑：“有这么巧吗？”但多 数人鉴于拉兹瑞尼一生勤勉谨慎，认为他 确实是“碰上了好运气”．事实究竟如何，现 在也无从查考了． 我想，喜欢思考的读者，一定还想知道 布丰先生投针试验的原理，其实这也没什 么神秘，下面就是一个简单而巧妙的证明． 找一根铁丝弯成一个圆圈，使其直径 恰恰等于平行线间的距离ｄ．可以想象得 到，对于这样的圆圈来说，不管怎么扔下， 都将和平行线有两个交点．因此，如果圆圈 扔下的次数为ｎ次，那么相交的交点总数必 为２ｎ． 现在设想把圆圈拉直，变成一条长为 ＂ｒｒｄ的铁丝．显然，这样的铁丝扔下时与平行 线相交的情形要比圆圈复杂些，可能有４ 个交点，３个交点，２个交点，１个交点，甚 至于都不相交． 由于圆圈和线段的长度同为７ｒｄ，根据 机会均等的原理，当它们投掷次数较多，且 相等时，两者与平行线组交点的总数期望 也是一样的．这就是说，当长为，ｒｒｄ的铁丝 扔下ｎ次时，与平行线相交的交点总数应大 致为２ｎ． 现在转而讨论铁丝长为ｚ的情形．当投 掷次数栅 大的时候，这种铁丝跟平行线相 交的交点总数ｍ应当与长度ｚ成正比，因而 有：ｍ＝ｋｌ，式中ｋ是比例系数． 为了求出 来，只需注意到，对于ｌ＝＇ｒｒｄ 的特殊情形，有ｍ＝２ｎ．于是求得 ＝ ．代人 ＂ｒｒｄ 前式就有 一＿２１ｎ，从而叮Ｔ ．这就是 ＇ｒｒｄ ｄｍ 著名的布丰公式！ （作者单位：江苏省海安县李堡镇初级中学）
投针试验练习
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1.经历试验、统计等活动过程，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力.
2.能用试验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率.
基础过关
1.抛掷一枚质量分布均匀的骰子后，出现点数3的概率是（ ）
A.12 B.14 C.16 D.18
2.抛图钉时，图钉落地有两种情况，一种是针尖向下（如图一所示）一种是钉帽向下（如图二所示），你能通过列表分别算出它们的概率吗？
3.小明做“击鼓传花”的游戏，两手交替不停地在鼓上拍打，当喊停时，请你估计小明右手落在鼓上的概率是多少？
4.如图，有一轮盘，它的指针一头粗一头细.
（1）若将指针固定，转动转盘，指针细的一头指向蓝色区域的概率是多少？
.
（2）若将转盘固定，转动指针，则细的一头指向蓝色区域的概率和（1）中的概率一样吗？不妨亲自试验一下.
5.频数和频率都能反映一个对象在实验总次数中出现的频繁程度，我认为：
（1）频数和频率间的关系是_________；
（2）每个实验结果出现的频数之和等于_________； （3）每个实验结果出现的频率之和等于_________；
6.有三个大小、形状完全相同的骰子，将它们同时抛到地面上，如果把这三个骰子看成一个三角形的顶点，那么构成三角形的概率是多少？构成直角三角形的概率是多少？请组成合作小组进行试验，并讨论其原因.
能力提升
7.如图，口袋中有5张完全相同的卡片，分别写有1cm、2cm、3cm、4cm和5cm，口袋外有2张卡片，分别写有4cm和5cm.现随机从袋内取出一张卡片，与口袋外两张卡片放在一起，以卡片上的数量分别为三条线段的长度，回答下列问题：
（1）求这三条线段能构成三角形的概率；
（2）求这三条线段能构成直角三角形的概率；
（3）求这三条线段能构成等腰三角形的概率；
8.如图，数轴上两点A、B，在线段AB上任取一点，同点C到表示1的点的距离不大于2的概率是 .
一、蒲丰投针问题
在平面上画有等距离的一些平行线，平行线间的距离为
a(a>0) ，向平面上随机投一长为 l(l
交的概率 p，结果发现π =2*l/(a*p).
二、试验方法
能够采纳 MATLAB软件进行模拟实验，即用 MATLAB编写程
序来进行“蒲丰投针实验” 。
1、 基来源理
因为针投到纸上的时候，有各样不一样方向和地点，但
是，每一次投针时， 其地点和方向都能够由两个量独一确立，
那就是针的中点和偏离水平的角度。
以 x 表示针的中点到近来的一条平行线的距离，β表
示针与平行线的交角。明显有 0<=x<=a/2 ，0<=β <=Pi 。用边
长为 a/2 及 Pi 的长方形表示样本空间。为使针与平行线相
交，一定
x<=l*sin
β * ，知足这个关系的地区面积是从
0 到
Pi
的
l*sin
β 对 β 的 积 分 ， 可 计 算 出 这 个 概 率 值 是
(2l)/(Pi*a)
。只需随机生成
n 对这样的
x 和β，就能够模
拟 n 次的投针实验， 而后统计知足 x<=l*sin β * 的 x 的个数，就能够以为这是订交的次数。而后利用公式求得π值。
2、 MATLAB编程
clear ('n')
clear('a')
clear('x')
clear('f')
clear ('y')
clear ('m')
disp(' 本程序用来进行投针实验的演示， a 代表两线间的宽度，针的长度 l=a/2 ，n 代表实验次数 '); a=input(' 请输入 a：');
n=input(' 请输入 n：');
x=unifrnd(0,a/2,[n,1]);
f=unifrnd(0,pi,[n,1]);
y=x<*a*sin(f);
m=sum(y);
PI=vpa(a*n/(a*m))
