“投针实验 ”求圆周率的方法

布丰用投针法得出圆周率的故事1777年的一天，法国科学家布丰的家里宾客满堂，原来他们是应主人的邀请前来观看一次奇特试验的。

试验开始，但见年已古稀的布丰先生兴致勃勃地拿出一张纸来，纸上预先画好了一条条等距离的平行线。

接着他又抓出一大把原先准备好的小针。

然后布丰先生宣布：“请诸位把这些小针一根一根往纸上扔吧！不过，请大家务必把扔下的针是否与纸上的平行线相交，以及相交的次数告诉我。

客人们不知布丰先生要玩什么把戏，只好客随主意，一个个加入了试验的行列。

一把小针扔完了，把它捡起来再扔。

而布丰先生本人则不停地在一旁数着、记着，如此这般地忙碌了将近一个钟头。

最后，布丰先生高声宣布：“先生们，我这里记录了诸位刚才的投针结果，共投针2212次，其中与平行线相交的有704次。

总次数2212与相交次数704的比值为3.142。

”说到这里，布丰先生故意停了停，并对大家报以神秘的一笑，接着有意提高声调说：“先生们，这就是圆周率π的近似值！”客人们一片哗然，议论纷纷，大家全都感到莫名其妙：“圆周率π？这可跟投针半点也不沾边呀！”布丰先生似乎猜透了大家的心思，得意洋洋地解释道：“诸位，这里用的是概率的原理，如果大家有耐心的话，再增加投针的次数，还能得到π的更精确的近似值呢。

”那么，“布丰投针实验”的依据究竟是什么呢？假设那组平行线的间距等于d。

如果把一个直径为d的铁丝圆圈，因为它的周长等于πd。

所以，不论怎样扔，圆圈落到那组平行线上，都会和平行线有两个交点。

因此，如果圆圈扔下的次数为n，交点的总数为m，必定有m＝2n。

还用那组平行线，不过这回把圆圈剪开，变成长度是πd的直铁丝。

显然，直铁丝与平行线相交的情形要比圆圈复杂，最多可能有4个交点，也可能有3个交点、2个交点、1个交点，也可能不相交，没有交点。

不过，由于圆圈和直铁丝的长度相同，根据概率学的“机会均等原理”，当圆圈和直铁丝投掷的次数较多并且相等时，它们与平行线组的交点总数可望也是一样的。

教材提到了“投针实验”求圆周率的方‎法。

1777年，法国数学家蒲‎丰取一根针，量出它的长度‎，然后在纸上画‎上一组间距相‎等的平行线，这根针的长度‎是这些平行线‎的距离是的一‎半。

把这根针随机‎地往画满了平‎行线的纸面上‎投去。

小针有的与直‎线相交，有的落在两条‎平行直线之间‎，不与直线相交‎。

这次实验共投‎针2212次‎，与直线相交的‎有704次，2212÷704≈3.142。

得数竟然是π‎的近似值。

这就是著名的‎蒲丰投针问题‎。

后来他把这个‎试验写进了他‎的论文《或然性算术尝‎试》中。

蒲丰证明了针‎与任意平行线‎相交的概率为‎p= 2l/πd 。

这个公式中l‎为小针的长，d为平行线的‎间距。

由这个公式，可以用概率方‎法得到圆周率‎的近似值。

当实验中投的‎次数相当多时‎，就可以得到π的更精确的值‎。

蒲丰实验的重‎要性并非仅仅‎是为了求得比‎其它方法更精‎确的π值。

而在于它是第‎一个用几何形‎式表达概率问‎题的例子。

计算π的这一方法，不但因其新颖‎，奇妙而让人叫‎绝，而且它开创了‎使用随机数处‎理确定性数学‎问题的先河，是用偶然性方‎法去解决确定‎性计算的前导‎。

找一根粗细均‎匀，长度为 d 的细针，并在一张白纸‎上画上一组间‎距为l 的平行线（方便起见，常取l = d/2），然后一次又一‎次地将小针任‎意投掷在白纸‎上。

这样反复地投‎多次，数数针与任意‎平行线相交的‎次数，布丰（Comte de Buffon‎）设计出他的著‎名的投针问题‎（needle‎proble‎m）。

依靠它，可以用概率方‎法得到π的近‎似值。

假定在水平面‎上画上许多距‎离为a的平行‎线，并且，假定把一根长‎为l＜a的同质均匀‎的针随意地掷‎在此平面上。

布丰证明：该针与此平面‎上的平行线之‎一相交的概率‎为：p=2l/(api) 把这一试验重‎复进行多次，并记下成功的‎次数，从而得到P的‎一个经验值，然后用上述公‎式计算出π的‎近似值，用这种方法得‎到的最好结果‎是意大利人拉‎泽里尼（Lazzer‎i ni）于1901年‎给出的。

用C语言计算蒲丰氏投针计算圆周率#include <stdio.h>#include <time.h>main(){int n1=0,n,i;double rand_num1,rand_num2;printf(" input the n：");printf("%d");for(i=0;i<n;i++){rand_num1=(double)time(0)*rand();while(rand_num1>1)rand_num1-=2;rand_num2=(double)time(0)*rand();while(rand_num2>1)rand_num2-=2;if(rand_num1*rand_num1+rand_num2*rand_num2<1)n1++;}printf("π=%f\n",4*n1/n);/* n1/n=π/4 距离小于1就是在圆里，取点范围在（-1，-1）到（1,1）的正方形里*/}MATLAB计算蒲丰氏投针计算圆周率（蒙特卡罗方法）cleara=1; l=0.6;counter=0;n=10000000;% 投掷次数x=unifrnd(0,a/2,1,n);%产生n个(0,a/2)之间均匀分布的随机数，这里a/2是投针的中点到最近的平行线的距离phi=unifrnd(0,pi,1,n);% 产生n个(0,pi)之间均匀分布的随机数，这里pi是投针到最近的平行线的角度for i=1:nif x(i)<l*sin(phi(i))/2 % 只要x小于l*sin(phi(i))/2,则相交counter=counter+1;endendfrequency=counter/n; % 计算相交的频率，即相交次数比总次数Pi=2*l/(a*frequency) % 从相交的频率总求的pi%运行结果>> testPi =3.1416一个蒲峰问题的蒙特卡罗方法实现的C语言程序。

一、问题的提出在人类数学文化史中，对圆周率π精确值的追求吸引了许多学者的研究兴趣。

在众多的圆周率计算方法中，最为奇妙的是法国物理学家布丰（Boffon）在1777年提出的“投针实验”。

与传统的“割圆术”等几何计算方法不同的是，“投针实验”是利用概率统计的方法计算圆周率的值，进而为圆周率计算开辟了新的研究途径，也使其成为概率论中很有影响力的一个实验。

本节我们将借助于MATLAB仿真软件，对“投针实验”进行系统仿真，以此来研究类比的系统建模方法和离散事件系统仿真。

二、系统建模“投针实验”的具体做法是：在一个水平面上画上一些平行线，使它们相邻两条直线之间的距离都为a；然后把一枚长为l(0<l<a)的均匀钢针随意抛到这一平面上。

投针的结果将会有两种，一种是针与这组平行线中的一条直线相交，一种是不相交。

设n为投针总次数，k为相交次数，如果投针次数足够多，就会发现公式2lnak计算出来的值就是圆周率π。

当然计算精度与投针次数有关，一般情况下投针次数要到成千上万次，才能有较好的计算精度。

有兴趣的读者可以耐心地做一下这个实验。

90)相交为了能够快速的得到实验结果，我们可以通过编写计算机程序来模拟这个实验，即进行系统仿真。

所谓的系统仿真是指以计算机为工具，对具有不确定性因素的、可模型化的系统的一种研究方法。

建立能够反映实验情况的数学模型是系统仿真的基础。

系统建模中需解决两个问题，一个是如何模拟钢针的投掷结果，另一个是如何判断钢针与平行线的位置关系。

这里，设O 为钢针中点，y 为O 点与最近平行线之间的距离，θ为钢针与平行线之间的夹角（0180θ≤<）。

首先，由于人的投掷动作是随机的，钢针落下后的具体位置也是随机的，因此可用按照均匀分布的两个随机变量y 和θ来模拟钢针投掷结果。

其次，人工实验时可以用眼睛直接判断出钢针是否与平行线相交，而计算机仿真实验则需要用数学的方法来判别。

如下图所示，如果y 、l 和θ满足关系式1sin 2y l θ≤，那么钢针就与平行线相交，否则反之，进而可以判断钢针与平行线的位置关系。

蒲丰投针最简单的代码
蒲丰投针是一种概率统计实验，可以用来求圆周率。

这里介绍一下最简单的蒲丰投针代码。

首先，需要导入Python中的random模块来生成随机数。

然后，定义需要用到的变量和常数，如针长（L）和两根地板板缝之间的距离（d）。

接下来，生成两个随机数，分别表示针的中心点距离地板板缝的距离（x）和针与竖直方向的夹角（theta）。

利用这两个随机数可以计算出针与地板板缝相交的情况。

再用一个计数器变量count来记录针与地板板缝相交的次数，重复这个实验若干次后，圆周率的近似值就可以通过下面的公式计算出来：
pi = 2 * L / (d * p)
其中，p为相交次数与总次数之比。

代码如下：
import random
L = 1 # 针长
d = 2 # 地板板缝间距
n = 10000000 # 实验次数
count = 0 # 相交次数
for i in range(n):
x = random.uniform(0, d) # 针中心距地板板缝距离
theta = random.uniform(0, 180) # 针与竖直方向的夹角
if x <= L * 0.5 * math.sin(theta / 180 * math.pi): # 判断是否相交
count += 1
p = count / n # 相交次数与总次数之比
pi = 2 * L / (d * p) # 计算圆周率
print(pi)
需要注意的是，模拟次数越多，计算出的圆周率越接近真实值。

但是过多的模拟次数会导致程序运行时间增长，因此需要根据实际情况来选择合适的实验次数。

投针问题概率计算
投针问题是一个著名的概率问题，其本质是求解一个针落在两个平行线之间的概率。

在这个问题中，我们假设有一根长度为L的针，在两个平行线之间随机投掷，求解针与线相交的概率。

假设这两条平行线的距离为D，那么可以通过几何分析，推导出针与线相交的概率为：
P=2L/πD
其中，π是圆周率。

通过这个公式，我们可以计算出针与线相交的概率。

不过需要注意的是，这个公式只适用于针的长度小于等于两条平行线之间的距离，否则会出现无法相交的情况。

投针问题是一个典型的几何概率问题，它不仅具有理论研究的价值，还有很多实际应用。

例如在统计物理中，可以通过投针问题来推导出理想气体状态方程，或者用于模拟随机游走等过程。

- 1 -。

小学趣味数学：比丰投针问题
比丰投针问题（Buffon'sneedleproblem）是第一个用几何形式表达概率问题的例子。

这问题是十八世纪法国数学家比丰和勒克莱尔提出的，并记载于比丰1777年出版的著作中──“在一平面上画有一组间距为d的并行线，将一根长度为L（L<d）的针任意投掷这个平面上，求此针与任一并行线相交的概率。

”。

比丰证明了该针与任意并行线相交的概率为p=2L/（dπ）。

利用这公式，将这一试验重复进行多次，并记下相交的次数，便得到p的经验值，即可算出圆周率π的近似值。

1850年沃尔夫在投掷五千多次后，得到π的近似值为3.1596.1855年英国人史密斯投了3200次，得到π的值为3.1533.
另一英国人福克斯只投了1100次，却得到了精确的三位小数的π值3.1419.直到目前，用这方法得到最好π值的是意大利人拉泽里尼，他在1901年投了3408次，得到的圆周率近似值精确到6位小数。

比丰投针问题开创了使用随机数处理确定性数学问题的先河，对概率论的发展有一定贡献。

——来源网络，仅供个人学习参考1 / 1。

Buffon投针实验一、实验目的：在计算机上用试验方法求圆周率的近似值。

二、实验原理：假设平面上有无数条距离为1的等距平行线，现向该平面随机投掷长度为L(L≤1)的针，则针与平行线相交的概率 P=。

设针的中心M与最近一条平行线的距离为x，则x~U(0,1);针与平行线的夹角为(不管相交与否)，则~U(0,)如图：()在矩阵上均匀分布，且针与平行线相交的充要条件为x≤=；P=P{ x=}。

记录≤成立的次数，记为由-大数定理：≈,则=2。

在计算机上产生则=~U(0,),i=1,2,…,n;再产生，则, i=1,2,…,n三、实验方法及代码：在计算机上进行模拟实验，求出的实验值。

给定L，在计算机上利用MFC独立随机产生x和，然后判断≤是否成立.代码如下：#include "stdafx.h"#include "buffon.h"#include "ChildView.h"#include "ChoiceDlg.h"#include <ctime>#include <cmath>#ifdef _DEBUG#define new DEBUG_NEW#undef THIS_FILEstatic char THIS_FILE[] = __FILE__;#endif// CChildViewCChildView::CChildView(){Trynum=1000;}CChildView::~CChildView(){}BEGIN_MESSAGE_MAP(CChildView,CWnd )//{{AFX_MSG_MAP(CChildView)ON_WM_PAINT()ON_COMMAND(ID_TOOL_NUM, OnToolNum)ON_COMMAND(ID_TOOL_RETRY, OnToolRetry)//}}AFX_MSG_MAPEND_MESSAGE_MAP()// CChildView message handlersBOOL CChildView::PreCreateWindow(CREATESTRUCT& cs){if (!CWnd::PreCreateWindow(cs))return FALSE;cs.dwExStyle |= WS_EX_CLIENTEDGE;cs.style &= ~WS_BORDER;cs.lpszClass = AfxRegisterWndClass(CS_HREDRAW|CS_VREDRAW|CS_DBLCLKS,::LoadCursor(NULL, IDC_ARROW), HBRUSH(COLOR_WINDOW+1), NULL);return TRUE;}void CChildView::OnPaint(){CPaintDC dc(this),*pDC;pDC=&dc;CFont font, *pOldFont;font.CreatePointFont(200,"宋体");pOldFont=pDC->SelectObject(&font);pDC->SetTextColor(RGB(255,0,0));pDC->TextOut(100,5,"蒲丰投针试验");pDC->SelectObject(pOldFont);CPen myPen1,myPen2, *pOldPen1,*pOldPen2;CRect rect1(30,30,920,620);pDC->Rectangle(rect1);myPen1.CreatePen(PS_SOLID, 1, RGB(0,0,255));pOldPen1=pDC->SelectObject(&myPen1);for(int i=100;i<600;i+=50){pDC->MoveTo(50,i);pDC->LineTo(900, i);}pDC->SelectObject(pOldPen1);myPen2.CreatePen(PS_SOLID, 1, RGB(0,255,0));pOldPen2=pDC->SelectObject(&myPen2);srand(time(0));int a,b,q,a1,b1,su,flag;np=0;for(int j=0;j<Trynum;j++){a=rand()%850+50;b=rand()%450+100;q=rand()%180;a1=25*cos(q);b1=25*sin(q);su=pow(-1,rand()%2);pDC->MoveTo((a-su*a1),(b-su*b1));pDC->LineTo((a+su*a1),(b+su*b1));if( (b%50) >= 25 )flag =50-b%50;elseflag = b%50;if( 25*sin(q) >= flag )np++;}pDC->SelectObject(pOldPen2);CString str;int c=Trynum/(np*1.0);int d=(int)((Trynum/(np*1.0)*100000))%100000;str.Format("投针次数:%d;\n相交次数:%d;\nπ的估算值:%d.%d",Trynum,np,c,d);MessageBox(str,"实验数据信息");}void CChildView::OnToolNum(){CChoiceDlg mydlg;if(mydlg.DoModal()==IDOK){this->Trynum = mydlg.m_Trynum ;this->RedrawWindow();}}void CChildView::OnToolRetry(){// TODO: Add your command handler code herethis->RedrawWindow();}四、实验数据处理与分析：根据实验数据，得到近似值为3.2313，可得相对误差为δ=（3.2313-π）/π≈0.02856；运行截图：五、实验小结：本次实验，通过MFC进行模拟投针，模拟效果较好，随着投针次数模拟的增多，实验结果逼近于π的真实值，但是实验程序有待优化，在较多投针次数的模拟中，实验程序运行速度较慢，可以改进相关算法来做适当调节。