关于循环矩阵的讨论

晋中学院数学学院2008届本科生毕业论文

关于循环矩阵的讨论 学生姓名：赵志梅（0405班） 指导教师：张东艳

摘 要：本文给出了一种特殊的矩阵——循环矩阵，主要利用多项式生成矩阵的思想，初步研究了循环矩阵的性质以及它在各个方面的应用． 关键词：循环矩阵；行列式；逆矩阵；对角化 晋中学院数学学院2008届本科生毕业论文

Discussion on Cyclical Matrix Student:Zhao Zhimei

Instructor:Zhang Dongyan

Abstract：This essay gives a special matrix which is called cyclical matrix ,and primarily studies the characters of cyclical matrix and its applications in different aspects according to the idea of forming matrix through multinomial． Key words：cyclical matrix；determint；inverse matrix；diagonalization 晋中学院数学学院2008届本科生毕业论文

目 录 1.预备知识……………………………………………………………1

2.循环矩阵的性质……………………………………………………1

2.1 性质1………………………………………………………………1 2.2 性质2………………………………………………………………1 2.3 性质3………………………………………………………………2 3.循环矩阵的应用……………………………………………………3

3.1 循环矩阵的行列式的计算…………………………………………4 3.2 循环矩阵的逆矩阵…………………………………………………6 3.3 循环矩阵对角化……………………………………………………8 参考文献………………………………………………………………11

致谢…………………………………………………………………12 晋中学院数学学院2008届本科生毕业论文

1 1.预备知识 定义1 复数域C上的n阶矩阵012110121230nnnaaaaaaaaAaaaa称为n阶循环矩阵． 定义2 设1n次多项式210121()nnfxaaxaxax，A为n阶矩阵，则称()fA为多项式()fx关于矩阵A的生成矩阵，()fx为矩阵()fA的1n次生成多项式．

命题 令00001100000010000010易知011,,n,n都是n阶循环矩阵，称为基本循环矩阵,且nI．I是n阶单位矩阵，并记In0. 任意一个n阶循环矩阵A都可用011,,n线性表示；反之，如果A可用011,,n线性表示，那么A也一定是n阶循环矩阵．事实上)(fA,此处，1110)(nnxaxaaxf.

2.循环矩阵的性质 2.1 性质1 若A ，B都是n阶循环矩阵，那么AB也是n阶循环矩阵，且ABBA． 证明 设01011nnAaaa;1110nnbbbB

又因为nkk（k为非负整数） 因而有BAhfggfAB)()()()()( 这里)(h是一个不高于1n次的多项式．得证． 2.2 性质2 若A是n阶循环矩阵，且A可逆，那么A的逆矩阵也是n阶循环矩阵． 证明 由性质1，只要能找到n阶循环矩阵1011nnBbbb（ib为待定常数，1,2,,1in）使得ABI即可，其中1110nnaaaA为可逆循环矩阵． AB))((11101110nnnnbbbaaIa 晋中学院数学学院2008届本科生毕业论文 2 Ibabababannn)(11221100 )(12211001nnbabababa

110231201)(nnnnnbabababa

要使ABI，就要且只要001102312011221100111221100nnnnnnnnnbabababababababababababa 上述方程组是以ib 1,2,,1in为未知数，A的转置矩阵A为系数矩阵的线性方程组，由于A可逆，故AAdetdet0． 从而方程组有唯一的011nbbb，，，，而111100nnbbbB就是A的逆矩阵，且B是循环矩阵. 推论 设A为n阶循环矩阵，且A可逆，则A的伴随矩阵A也是循环矩阵. 证明 1detAAA，由性质2，1111001nnbbbA是循环矩阵， 因此，AAdet011011nnbbb，（det0A且是常数）也是循环矩阵. 2.3 性质3 任何一个n阶循环矩阵A在复数域上都可以对角化，更进一步，必然存在 一个复n阶可逆矩阵，它使所有n阶循环矩阵同时对角化. 证明 基本循环矩阵的特征多项式为1)det(nI，特征根为n次单位根

nkin2kcosk2sin，1,,1,0nk. 由于1k（1k），所以可以对角化.

的特征根为011,,,n

的特征向量依次为

21011111111,(1,,)nXX

),,1(,),,,1(112111122222nnnnnnXX 晋中学院数学学院2008届本科生毕业论文

3 故作矩阵 1112112122211211111111nnnnnn 令 )(032121011210faaaaaaaaaaaaAnnn 则 1110)(nnxaxaaxf





)()()()()()()()()()()()(111212111010112211001210nnnnnnnnnffffffffffffA













)(0)(0)(110nf

f

f





由于det为范德蒙行列式，当1k时1k．从而可逆， 得





)(0)(0)(1101nfffA





又A是任意的，从而证明了性质3的全部理论． 由性质3的证明可知，A的全部特征根是011(),(),()nfff， 且 )()()(det110nfffA． 推论 n阶循环矩阵A可逆的充分必要条件为 0)(kf)1,1,0(nk 晋中学院数学学院2008届本科生毕业论文 4 证明 )()()(det110nfffA

若A可逆，则0A即0)(kf)1,1,0(nk．反之亦成立． 如果记的n个列向量为12,,,nXXX，则),,,(11211101nkkkkkX ),,3,2,1(nk，那么12,,,nXXX是所有的n阶循环矩阵共同的n个线性无关的特征向量．

3.循环矩阵的应用 3.1 循环矩阵行列式的计算 由循环矩阵的性质3我们可知，基本循环矩阵右乘循环矩阵A得





)()()()()()()()()()()()(111212111010112211001210nnnnnnnnnffffffffffffA













)(0)(0)(110nf

f

f





即 )()()(110nfffA．

又由于det为范得蒙行列式，故)()()(det110nfffA 下面我们用另一种方法来证明对于任意一循环矩阵A的行列式为 )()()(det110nfffA．

引理 设n阶方阵的特征根为n,,21，)(xg为任意多项式，则)(Ag的特征根为 )(,),(),(21nggg 证明 根据题设有)())(()(21nAEf 设 )())(()(210mcxcxcxaxg