矩阵分块法
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§2.4 分块矩阵
17 17
a 1 B= 0 0
线性代数
0 a 0 0
0 0 b 1
0 a B1 = 0 B1 O 1 , 其中 = 0 O B2 b B2 = b 1
第二章 §2.5
A1 A+ B = O
O B1 + A2 O
o
o
线性代数
第二章 §2.5
15 15
例2
a 0 设 A= 0 0
1 a 0 0
0 0 b 1
0 0 , 1 b
a 1 B= 0 0
0 a 0 0
0 0 b 1
0 0 0 b
求 A + B,
线性代数 第二章 §2.5
ABA.
16 16
T T A11 L As1 Ar L 1 M . 则 T M ， A = M AT L AT L Asr sr 1r
三、分块对角阵
设A为n阶矩阵，若 A的分块矩阵只有在主对 角线 阶矩阵， 上有非零子块， 块都为零矩阵， 上有非零子块，其余子 块都为零矩阵，且非零 子 块都是方阵， 块都是方阵，即
线性代数 第二章 §2.5
O B2
A1 + B1 = O
, A2 + B2 O
a 1 a 0 2a 1 A1 + B1 = + = , 0 a 1 a 1 2a b 1 b 0 2b 1 A2 + B2 = + = , 1 b 1 b 2 2b
线性代数 第二章 §2.5
21 21
例3
5 0 0 设 A = 0 3 1 , 求 A −1 . 0 2 1 5 0 0 A1 A = 0 3 1 = 0 2 1 O
a 1 B= 0 0
线性代数
0 a 0 0
0 0 b 1
0 a B1 = 0 B1 O 1 , 其中 = 0 O B2 b B2 = b 1
第二章 §2.5
A1 A+ B = O
O B1 + A2 O
o
o
线性代数
第二章 §2.5
15 15
例2
a 0 设 A= 0 0
1 a 0 0
0 0 b 1
0 0 , 1 b
a 1 B= 0 0
0 a 0 0
0 0 b 1
0 0 0 b
求 A + B,
线性代数 第二章 §2.5
ABA.
16 16
T T A11 L As1 Ar L 1 M . 则 T M ， A = M AT L AT L Asr sr 1r
三、分块对角阵
设A为n阶矩阵，若 A的分块矩阵只有在主对 角线 阶矩阵， 上有非零子块， 块都为零矩阵， 上有非零子块，其余子 块都为零矩阵，且非零 子 块都是方阵， 块都是方阵，即
线性代数 第二章 §2.5
O B2
A1 + B1 = O
, A2 + B2 O
a 1 a 0 2a 1 A1 + B1 = + = , 0 a 1 a 1 2a b 1 b 0 2b 1 A2 + B2 = + = , 1 b 1 b 2 2b
线性代数 第二章 §2.5
21 21
例3
5 0 0 设 A = 0 3 1 , 求 A −1 . 0 2 1 5 0 0 A1 A = 0 3 1 = 0 2 1 O
分块矩阵的概念和运算
-1 3
例4
-2 3 0 0
求A=
1 0 0
-2 0 0
0 1 2
5 02的逆矩 A-阵 1
- 2 3 0 0
解
A
=
1 0 0
-2 0 0
0 1 2
502=
A11 o
o A22
A1-11 =--12 --23
A-1 22
=-52
-12
A-1
=
A1-11 o
Ao2-12=
-2 -1 0 0
10 1 3 01 2 4 0 0 -1 0 0 0 0 -1
， B=1 20 02 600 31
0 0
，
0 -2 0 1
用分块矩阵计算kA，A+B及AB。
解：将矩阵A，B进行分块：A= I C ，B= D O ，
O -I
FI
7 -1 1 3
则
AB=
IC O -I
D O = D +CF C = 14 4 2 4 。
0 8 5
032=A O O1
O A2 O
O A O3=B O1
O B2
分块对角矩阵的性质
A11
设A
=
A22
是为分块对角矩阵
Arr
则
(1)
A1k1
Ak =
A2k2
其中 k是自然数
Arkr
( 2 ) |A |= |A 1 |• 1 |A 2 |• 2 |A r|r
(3) A可逆的充分必对 要任 条i(意 1件 i是 r)，Aii可逆，
,
B=l2B21
B22
Ast
lt Bt1 Bt2
B1r
矩阵的分块乘法
a2 b1 a2 b2 · · · M = . .. . . . . . . an b1 an b2 · · · (1) |A| = |I + αβ | = = 1 0
a1 b1 a1 b2 · · ·
α I + αβ
α I + αβ
−α I
1 + βα −β 0 I
= 1 + βα = 1 + a1 b1 + · · · + an bn .
2
直接计算可以验证等式(1)成立. 问题是: 要想将方阵 T =
其中的数替换成矩阵块, 你就自己发明出Schur 公式了. 分块运算没有任何公式, 只有一 项功夫: 难得糊涂. 忘掉那些字母是代表矩阵块还是代表数, 将它们当成数来运算, 就适 用于矩阵块了. 有两点不能忘掉: 1. 分块运算只适用于矩阵的加减乘法, 不适用于初等变 换和求行列式. 2. 虽然可以将矩阵块看成数, 但这些“数”做乘法不满足交换律.
−a1 bn −a2 bn . . . 1 + λ − an bn
其中 λ = a1 b1 + · · · + an bn . 点评 例 2 的关键步骤是矩阵分块乘法等式 ( )( )( ) 1 0 1 −β 1 0 α I + αβ 0 I −β I ( ) 1 + βα −β 0 I ( 1 )
x1 . . a1 x1 + · · · + an xi = ( a1 , . . . , an ) . = AX xn 其中 A = ( a1 , . . . , an ) 是 n 个列向量 ai 从左到右排成的一“行”, X 是 n 个数 xi 从上 到下排成的一列, 例 4 将线性方程组 a x + a12 y + a13 z = b1 11 a21 x + a22 y + a23 z = b2 a x + a y + a z = b 31 32 33 3 用矩阵乘法表示. 解法1 数的 3 个等式写成列向量的一个等式 b1 a11 x + a12 y + a13 z a21 x + a22 y + a23 z = b2 a31 x + a32 y + a33 z b3 列向量的3个分量对应相等, 就是原方程组的3个方程. 每个方程左边 ai1 x + ai2 y + ai3 z 看成两个行向量 αi = (ai1 , ai2 , ai3 ) 与 ξ = (x, y, z ) (I)
分块矩阵的运算法则
1 a 1 1
0 0 1 1
B1 0 0 B2 b B 3 B4 b
a 0 A 1 0
1 0 0 a 0 0 C1 0 b 1 C3 1 1 b
C2 , C4
1 0 5 6 A11 例: A 2 8 1 7 A 0 5 4 3 21
A12 A22
1 0 T A 5 6
2 8 1 7
0 5 4 3
A T A T 12 22
A1 ABA O
O B1 A2 O O
O A1 B2 O
O A2
A1 B1 A1 O
, A2 B2 A2
a 3 a 2a 2 1 0 0 2 3 a a 0 0 a . 3 2 0 0 b 2b 2b 1 0 2 3 0 3 b b 2 b
A1r B1r . Asr Bsr
A11 A1r 2 设 A , 为数, 那末 A A s1 sr
A11 A1r A . A A s1 sr
a11 B1 a12 B2 a B a B m2 2 m1 1 a1l Bl aml Bl m1 n
⒉ 设 A (ai j )ml , B (bi j )l n
将A分成1 1块， B分成1 n块，则
AB AB1 , AB2 ,
第五节
分块矩阵
了解简化矩阵计算的这种工具 一、矩阵的分块 二、分块矩阵的运算法则 三、小结
分块矩阵运算法则
分块矩阵运算法则
分块矩阵运算法则是一种将大的矩阵划分成更小块矩阵进行计算的方法。
这种方法可以简化复杂矩阵的运算，并且使得计算更加高效和易于理解。
下面是分块矩阵运算法则的一些基本规则：
1. 矩阵的加法：将大矩阵划分为多个小块矩阵，然后对应位置上的小块矩阵进行加法运算。
2. 矩阵的乘法：将大矩阵划分为多个小块矩阵，然后按照乘法的定义对小块矩阵进行乘法运算。
具体地，对于两个分块矩阵A和B，它们的乘积C的每个小块矩阵C_ij可以通过以下公式计算得到：
C_ij = A_ik * B_kj
3. 矩阵的转置：对于分块矩阵的转置，只需将每个小块矩阵进行转置即可。
4. 矩阵的逆：对于分块矩阵的逆，可以使用分块矩阵求逆的公式进行计算。
具体方法会因矩阵的分块方式而有所不同。
5. 其他运算：其他矩阵的运算，如矩阵的行列式、特征值等，也可以使用分块矩阵的方式进行计算，将大矩阵划分为多个小块矩阵，然后对小块矩阵进行相应的运算。
需要注意的是，分块矩阵运算法则在划分大矩阵为小块矩阵时需要选择合适的划分方式，使得计算过程更加简单和高效。
不
同的划分方式可能会产生不同的结果。
因此，在应用分块矩阵运算法则时，需要根据具体问题和矩阵的特性选择合适的划分方式。
分块矩阵
高等代数
2. 按行分块
对于 m n 矩阵 A 可以进行如下分块：
a11 a12 a1n 1T T a a a 21 22 2n 2 A . a T a a mn m m1 m 2
A1 A A2 , As
其中 Ai ( i = 1, 2, … , s ) 都是方阵,那么称 A 为分块 对角矩阵.
高等代数
分块对角矩阵的性质:
1)
2)
|A| = |A1| |A2| … |As| ;
若 |Ai| 0 ( i = 1, 2, … , s) , 则 |A| 0, 且
(1)
Ax = b .
1T 1T x b1 , b1 T T 2 2 x b2 , b2 x 或 T b T m m m x bm ,
其中 Ai1 , Ai2 , …, Ait 的列数分别等于 B1j , B2j , …, Btj 的行数,那么
高等代数
C11 AB C s1
t
C1r , C sr
其中
Cij Aik Bkj i 1, ,s; j 1, ,r .
k 1
高等代数
例1 设
1 0 A 1 1
求 AB.
0 0 0 0 1 1 0 0 1 2 ,B 2 1 0 1 0 1 1 1 0 1
1 0 0 1 , 4 1 2 0
高等代数
4.分块矩阵的转置
T 1 1 T 2 1
T 1 2 T 2 2
分块矩阵及其应用
分块矩阵及其运用摘要分块矩阵是高等代数中的一个重要内容，是处理阶数较高的矩阵时常采用的技巧，也是数学在多领域的研究工具。
对矩阵进行适当分块，可使高阶矩阵的运算可以转化为低阶矩阵的运算，同时也使原矩阵的结构显得简单而清晰，从而能够大大简化运算步骤，或给矩阵的理论推导带来方便。
有不少数学问题利用分块矩阵来处理或证明，将显得简洁、明快。
本文先介绍了分块矩阵的概念、运算，几类特殊的分块矩阵，讨论了分块矩阵的初等变换，接着介绍了分块初等矩阵及其性质，最后分类举例说明了分块矩阵在高等代数中的一些应用，包括在在行列式计算中的应用，在证明矩阵秩的问题中的应用，在矩阵求逆问题中的应用，在解线性方程组问题中的应用，在线性相关性及矩阵分解中的应用，在特征值问题中的应用，在相似与合同问题中的应用以及在其他问题中的应用等。
大量的例体现了矩阵分块法的基本思想，说明了应用分块矩阵可以使高等代数中的很多计算与证明问题简单化，所以了解分析并掌握分块矩阵的性质与应用及相关的技巧是非常必要的。
关键词矩阵分块矩阵初等变换应用Block Matrix and its ApplicationAbstract:Matrix is an important concept in high algebra，it's often used to deal with high order matrix and it's an instrument of math in many fields.Dividing matrix in a proper way can turn the operation of high order matrix into the operation of a low order matrix.At the same time，it makes the structure of the original matrix look simple and clear，so it can simplify the steps of the operation a lot or bring the convenience for the theory derivation of matrix.A lot of math problems solved or proved by using block matrix appears concise.At the beginning，this paper introduces the concepts and operations of block matrix and some special kinds of block matrix，then，it discusses the elementary transformation of block matrix and introduces the elementary block matrix and it's natures.At last，it explains the use of block matrix in high algebra by making examples in several kinds，including the use in the calculation of determinant，the testify of the problem of the rank of matrix，the answer of the inverse of matrix，the answer of system of linear equations，the linear correlation and the dividing of matrix，the problem of the eigenvalue，the similar matrix and Contract matrix and so on.A lot of example shows the basic theory of block matrix，It shows that using block matrix can make the calculation and the testify in high algebra easier.It is necessary that we must learn and analyse and grasp the skill of block matrix which is an important concept in high algebra.Key words: matrix block matrix elementary transformation application目录1前言 (1)2分块矩阵 (1)2.1分块矩阵的定义 (1)2.2分块矩阵的运算 (2)2.2.1加法 (2)2.2.2数乘 (2)2.2.3乘法 (2)2.2.4转置 (4)2.3两种特殊的分块矩阵 (4)2.3.1分块对角矩阵 (4)2.3.2分块上（下）三角形矩阵 (5)2.4两种常见的分块方法 (6)2.5分块矩阵的初等变换 (7)2.6分块初等矩阵及其性质 (7)3分块矩阵的应用 (8)3.1在行列式计算中的应用 (9)3.2在证明矩阵秩的问题中的应用 (17)3.3在逆矩阵问题中的应用 (25)3.3.1解线性方程组法 (26)3.3.2初等变换法 (27)3.3.3三角分解法 (29)3.4在解线性方程组问题中的应用 (30)3.4.1齐次线性方程组 (30)3.4.2非齐次线性方程组 (31)3.5在线性相关性及矩阵分解中的应用 (34)3.5.1关于矩阵列（行）向量的线性相关性 (34)3.5.2矩阵的分解 (34)3.6在特征值问题中的应用 (35)3.7分块矩阵在相似问题中的应用 (37)3.8分块矩阵在合同问题中的应用 (38)3.9分块矩阵在矩阵分解中的应用 (40)3.10分块矩阵的其他应用 (41)4结束语 (42)参考文献 (43)致谢 (44)1 前言矩阵作为重要的数学工具之一，有极其实用的价值。
分块对角矩阵法
分块对角矩阵法分块对角矩阵（BD）法是一种矩阵算法，用于进行高效的矩阵运算。
分块对角矩阵法利用对角矩阵和其它矩阵的相乘性质，将矩阵拆分成多个矩阵块，并对每个块矩阵进行单独的计算。
这种方法不仅可以显著减少计算量，还可以提高计算效率，从而大大加快矩阵运算的速度。
分块对角矩阵法是一种适用于各种不同类型的矩阵的通用方法，可以用于求解线性方程组、计算特征值和特征向量、求解最小二乘问题等。
该算法的优点是非常明显的：它提高了计算速度，同时不会降低精度。
下面我们来了解一下这个算法的原理和具体实现方法。
1. 原理分块对角矩阵法的基本思想是将矩阵分成对角块和非对角块两种类型，并对这些块进行分块处理。
其中对角块是由矩阵的主对角线上的元素组成的子矩阵；非对角块则是由其它元素组成的子矩阵。
对角块可以直接进行矩阵的乘法运算，而非对角块可以采用一些优化技巧，如基于矩阵的分解和重组的方法，来加速计算。
分块对角矩阵法的优点在于它可以显著减少计算量。
这是因为对角块之间的乘积是一个对角矩阵，因此我们只需要计算对角块之间的乘积即可；而非对角块之间的乘积可以用一些更快的方法来计算。
这个方法的核心就是将大矩阵的计算问题分解成若干个小问题，从而使得计算速度变得更快。
2. 实现方法为了实现分块对角矩阵法，我们需要先将大矩阵分成若干个小矩阵块。
一般而言，对角块的大小是 $n_b\times n_b$，非对角块的大小是 $n_b \times m$ 或 $m \times n_b$，其中 $n_b$ 是块矩阵的大小， $m$ 是非对角块的长度。
接下来，我们需要将矩阵分解成块矩阵的形式，并用一个分块矩阵来表示它们。
分块矩阵 $A$ 的形式为：$$A = \begin{bmatrix}A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1k} \\A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2k} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\A_{k1} & A_{k2} & \cdots & A_{kk}\end{bmatrix},$$接下来，我们需要将块矩阵乘到一起，得到大矩阵的乘积。
第二章§4 分块矩阵
把大矩阵的运算化为小矩阵的运算. 把大矩阵的运算化为小矩阵的运算. 矩阵分块后，能突出该矩阵的结构， 矩阵分块后，能突出该矩阵的结构，从而可利用 它的特殊结构，使运算简化. 它的特殊结构，使运算简化. 可为某些命题的证明提供方法. 可为某些命题的证明提供方法.
4.1 分块矩阵的概念
例如
a1 1 A a1 = 2 a 31 得到4个子块 个子块： 得到 个子块：
1 0 A = 1 − 1
A B 、 分块成
1 −1 B= 1 −1 0 1 0 2 0 1 , 0 4 1 1 − 2 0
0 0 0 1 0 0 , 2 1 0 1 0 1
E 0 2 = A E 1 2
4.2 分块矩阵的运算
4. 分块矩阵的转置
分块后， 设对矩阵 A 分块后，得分块矩阵为
A1 A2 L At 1 1 1 A A L A 2 2 2 t A 21 = , M M M A A L A s2 s t s1
则
T T T A1 A1 L A 2 s 1 1 T T T T A2 A2 L A2 s . A = 1 2 M M M T T T 1 2 s t At At L A
4.2 分块矩阵的运算
分块对角阵的性质(教材 页 分块对角阵的性质 教材58页) 教材
分块对角阵的行列式
A 1 A 2 A = O A s
A= A A L s . A 1 2
分块对角阵的逆： 当 分块对角阵的逆： A≠0 即 A ≠0时，有 ， i
− A1 1 1 − A 1 2 − A = . O 1 − A s
4.1 分块矩阵的概念
例如
a1 1 A a1 = 2 a 31 得到4个子块 个子块： 得到 个子块：
1 0 A = 1 − 1
A B 、 分块成
1 −1 B= 1 −1 0 1 0 2 0 1 , 0 4 1 1 − 2 0
0 0 0 1 0 0 , 2 1 0 1 0 1
E 0 2 = A E 1 2
4.2 分块矩阵的运算
4. 分块矩阵的转置
分块后， 设对矩阵 A 分块后，得分块矩阵为
A1 A2 L At 1 1 1 A A L A 2 2 2 t A 21 = , M M M A A L A s2 s t s1
则
T T T A1 A1 L A 2 s 1 1 T T T T A2 A2 L A2 s . A = 1 2 M M M T T T 1 2 s t At At L A
4.2 分块矩阵的运算
分块对角阵的性质(教材 页 分块对角阵的性质 教材58页) 教材
分块对角阵的行列式
A 1 A 2 A = O A s
A= A A L s . A 1 2
分块对角阵的逆： 当 分块对角阵的逆： A≠0 即 A ≠0时，有 ， i
− A1 1 1 − A 1 2 − A = . O 1 − A s
分块矩阵的13个公式
分块矩阵的13个公式分块矩阵是线性代数中的一个重要概念，它可以让我们更简洁、高效地处理复杂的矩阵运算。
下面就来给大家讲讲分块矩阵的13 个公式。
咱们先来说说分块矩阵的加法公式。
假设我们有两个分块矩阵 A 和B ，它们的分块方式相同，那么对应块相加就得到了A + B 。
比如说，A 中有个块是[1 2; 3 4]，B 中对应的块是[5 6; 7 8]，那相加之后这个块就变成了[6 8; 10 12]。
再来看分块矩阵的数乘公式。
如果有一个数 k ，乘以分块矩阵 A ，那么就是每个块都乘以这个数 k 。
就像你有一堆水果，每个水果的价格都乘以一个倍数，总价也就相应地变化啦。
接着说分块矩阵的乘法公式。
这可有点复杂，但别怕，咱们慢慢捋。
分块矩阵相乘时，要保证左边矩阵的列的分块方式和右边矩阵行的分块方式一致。
比如说 A 是 m×n 的矩阵，分块成 A11、A12 等，B 是n×p 的矩阵，分块成 B11、B12 等。
那么 A 乘以 B 时，就是 A11B11 +A12B21 等等这样的运算。
给大家讲个我曾经遇到的事儿吧。
有一次我给学生们讲分块矩阵的乘法，有个学生怎么都理解不了。
我就拿教室座位打比方，把每个座位看成矩阵的元素，不同的排和列看成分块。
经过这样形象的解释，他终于恍然大悟，那种成就感真的很棒！分块矩阵的转置公式也很重要。
就是把每个块都转置，然后调整一下位置。
这个就像是把书架上的书换个方向摆放，位置也变一变。
还有分块对角矩阵的乘法公式。
如果是分块对角矩阵相乘，那就简单多了，对应对角线上的块相乘就行。
分块矩阵的逆公式也有讲究。
如果一个分块矩阵可逆，那么它的逆矩阵也是分块矩阵，而且每个块的逆也有特定的规律。
分块矩阵求行列式的公式也不能忘。
这需要根据具体的分块情况来计算，有时候可以通过分块简化行列式的计算。
再说说分块矩阵的秩的公式。
通过分块，可以更方便地判断矩阵的秩。
分块矩阵的伴随矩阵公式也有它的特点。
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矩阵分块法
矩阵分块法是一种将大型矩阵分解成较小矩阵的方法，以便更高效地进行计算。
这种方法在高性能计算和科学计算中得到了广泛应用。
矩阵分块法是将一个大的矩阵分成若干个块，每个块都是一个小的矩阵。
这些小的矩阵可以更容易地进行计算，而且可以更好地利用计算机的并行处理能力。
在矩阵分块法中，矩阵被分成若干行和列的块。
例如，一个n×n的矩阵可以被分成四个n/2×n/2的块，每个块都是一个n/2×n/2的矩阵。
这种分块方法可以继续递归地应用，直到矩阵被分成足够小的块。
矩阵分块法可以用于各种各样的计算，例如矩阵乘法、矩阵求逆、矩阵特征值等。
在矩阵乘法中，矩阵分块法可以将一个大的矩阵乘法变成许多小的矩阵乘法，从而提高计算效率。
在矩阵求逆和矩阵特征值中，矩阵分块法可以将一个大的矩阵分解成多个小的矩阵，从而简化计算。
矩阵分块法的实现需要考虑许多因素，例如矩阵块的大小、矩阵块之间的通信、矩阵块的分配等。
这些因素可以影响矩阵分块法的性能和可扩展性。
因此，在实现矩阵分块法时需要仔细考虑这些因素，并进行优化。
矩阵分块法是一种非常重要的技术，在高性能计算和科学计算中得到了广泛应用。
矩阵分块法可以将一个大的矩阵分解成多个小的矩阵，从而更高效地进行计算。
在实现矩阵分块法时需要考虑许多因素，并进行优化，以提高性能和可扩展性。