矩阵分块法问题回答

第八讲矩阵的分块法第八讲矩阵的分块法一、矩阵的分块法用处：（1）将高阶矩阵用低阶矩阵表示（2）把每一小块看成元素一样按矩阵的运算来进行运算（3）分块之后使得矩阵的一些运算简化分块的标准：（1）能分出一些零子块（2）能分出一些单位矩阵（3）分成数量矩阵二、分块矩阵的运算简单解释一下即可，不做要求三、分块对角矩阵1、定义2、对应的行列式的求法3、逆矩阵的求法例题1、设--=320210002A ，求A ，1-A 四、线性方程组的矩阵表示1、一般表示=++=++m n mn m n n b x a x a b x a x a1111111 系数矩阵nm m m n a a a a A ?????? ??=11111未知量矩阵=n x x X 1常数项矩阵=m b b b 12、线性方程组的矩阵表示将上面的方程组用矩阵表示：=????? ??????? ??m n m m n b b x x a a a a 1111111b AX =例题：设=--=-+-=+-02212321321321x x x x x x x x x ，写出矩阵表达式。

对角矩阵的行列式值和逆矩阵的求法要求必须会。

练习题1、求逆矩阵101210002A ?? ?= ?2、求逆矩阵1200250000620032A ?? ? ?= ? ???3、求x 和y ，使2180341x y -+= ??? ?-. 4、求x ，y 和z ，使110101************x y z --?????? ??? ?-= ??? ? ??? ?-??????。

分块矩阵的方法、技巧与应用内容摘要有时候，我们把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成的一样。

特别在运算中，把这些小矩阵当作数一样处理。

这就是矩阵的分块。

设A 是一个m*n 矩阵111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦用若干横线将它分成s 块，若干竖线将它分成r 块,于是有*r s 的分块矩阵111212121212s s r r rs A A A A A A A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中ij A 表示一个矩阵。

关键词矩阵，分块矩阵，逆矩阵，准对角矩阵1. 导言在理论研究及一些实际问题中，经常遇到阶数很高或结构特殊的矩阵。

对于这些矩阵，在运算时常常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算。

分块矩阵可以用来降低较高级数的矩阵级数，使矩阵的结构更清晰明朗，从而使矩阵的相关计算简单化，而且还可以用于证明一些与矩阵有关的问题。

本文将主要介绍分块矩阵的一些初等变换的方法技巧，就分块矩阵的加法与数量乘法、乘法、转置、初等变换等运算性质，以及分块矩阵在矩阵求逆、行列式展开等方面进行一些基本研究。

2.1.分块矩阵的简介矩阵分块为矩阵运算带来便利，最常用的矩阵分块是2*2块A B C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 其中A 为*m m 矩阵块，D 为*n n 矩阵块。

例:在矩阵21210000010012101101E A A E ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭中,2E 代表2级单位矩阵,而11211A -⎛⎫= ⎪⎝⎭,0000O ⎛⎫= ⎪⎝⎭在矩阵111221221032120124111153B B B B B ⎛⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪-⎝⎭中,111012B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭,123201B ⎛⎫= ⎪⎝⎭,211011B ⎛⎫= ⎪--⎝⎭ ,224120B ⎛⎫= ⎪⎝⎭.在计算AB 时,把A ,B 都看成事由这些小矩阵组成的,即按2阶矩阵来运算,于是21112111212212211121112220E B B B B AB A E B B A B B A B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪⎪⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中11121121010111211341024021111A B B -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11222123241110120304111332053A B B -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭把上述计算结果作为小块的元素代入,得到1032120124011153AB ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭通常,矩阵分块可以简化矩阵的运算，实现运算的优化。

矩阵分块知识点总结一、矩阵分块的基本概念1.1 矩阵分块的定义矩阵分块是一种对矩阵进行分割的方法，将一个大的矩阵分割成若干个较小的子矩阵，这些子矩阵可以是行向量、列向量或者更小的矩阵。

矩阵分块的表示形式可以是方括号、圆括号或者其他符号，不同的表示形式能够提供更加清晰和易于理解的矩阵分块结构。

1.2 矩阵分块的表示形式矩阵分块可以采用不同的表示形式，其中包括方括号表示、圆括号表示和其他符号表示。

以方括号表示为例，一个矩阵可以分割成四个子矩阵，如下所示：A = [ A11, A12A21, A22 ]其中A11、A12、A21、A22为子矩阵，分别表示矩阵A的四个子块。

1.3 矩阵分块的基本性质矩阵分块具有很多基本的性质，其中包括可交换性、可加性、可乘性等。

具体而言，如果矩阵A和B可以进行相应的分块操作，则有以下性质：可交换性：A和B的分块顺序可以交换，即A*B = B*A。

可加性：矩阵A和B的分块和形式，若A和B可以相应分块，则有(A + B) = A + B。

可乘性：矩阵A和B的分块和形式，若A和B可以相应分块，则有(A * B) = A * B。

1.4 矩阵分块的应用矩阵分块在实际中有着广泛的应用，其中包括矩阵的运算、方程组的求解、特征值与特征向量的计算等方面。

矩阵分块能够简化问题的处理过程，提高计算的效率，使得矩阵的性质更加清晰和易于理解，因此在很多领域中得到了广泛的应用。

二、矩阵分块的基本类型2.1 行分块矩阵行分块矩阵是将一个大的矩阵按照行进行分块，将每一行的元素划分成若干个较小的行向量，从而形成一个行分块矩阵。

行分块矩阵的表示形式可以是方括号、圆括号或者其他符号，不同的表示形式能够提供更加清晰和易于理解的矩阵分块结构。

2.2 列分块矩阵列分块矩阵是将一个大的矩阵按照列进行分块，将每一列的元素划分成若干个较小的列向量，从而形成一个列分块矩阵。

列分块矩阵的表示形式可以是方括号、圆括号或者其他符号，不同的表示形式能够提供更加清晰和易于理解的矩阵分块结构。

引言为了研究行数、列数较高的矩阵，常常对矩阵采用分块的方法。

类似于集合的划分，是把矩阵完全地分成一些互不相交的子矩阵，使得原矩阵的每一个元落到一个分快的子矩阵中。

以这些子块为元素的矩阵就称为分块矩阵。

线形代数以其独特的理论体系和解题技巧而引人入胜。

在线性代数中,分块矩阵是一个十分重要的概念,它可以使矩阵的表示简单明了,使矩阵的运算得以简化.而且还可以利用分块矩阵解决某些行列式的计算问题.而事实上,利用分块矩阵方法计算行列式,时常会使行列式的计算变得简单,并能收到意想不到的效果.而且利用分快矩阵还可以求出某些矩阵的逆矩阵，证明矩阵的秩等。

第一章 矩阵的分块和分块矩阵的定义设A 是数域K 上的m n ⨯矩阵，B 是K 上n k ⨯矩阵，将A 的行分割r 段，每段分别包含12r m m m 个行，又将A 的列分割为s 段，每段包含12s n n n 个列。

A=111212122212s s r r rs A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭于是A 可用小块矩阵表示如下：，其中ij A 是i j m n ⨯矩阵。

对B 做类似的分割，只是要求它的行的分割法和A 的列的分割法一样。

于是B 可以表示为B= 111212122212s s r r rs B B B B B B B B B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭其中ij B 是i j n k ⨯的矩阵。

这种分割法称为矩阵的分块。

二．分块矩阵加法和乘法运算设()ij m n A a ⨯=()ij m n B b ⨯=为同型矩阵（行和列数分别相等）。

若采用相同的分块法。

A=111212122212s s r r rs A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B= 111212122212s s r r rs B B B B B B B B B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭则可以直接相加 乘法:设，则C 有如下分块形式：C=111212122212s s r r rs C C C C C C C C C ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，其中ij C 是i j m k ⨯矩阵，且 1nij ij ij i C A B ==∑定义 称数域K 上的分块形式的n 阶方阵A=12S A A A ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭为准对角矩阵，其中为阶方阵（），其余位置全是小块零矩阵。

解题技巧与方法JIET I JIQ I AO YU F ANGFA68 2011 1将矩阵按列分块之技巧及应用梁 敏 (北京师范大学珠海分校国际商学部 519085)摘要!矩阵分块就是把一个大矩阵按照一定规则分成小矩阵,它是矩阵运算的一种常用技巧与方法.分块矩阵的理论在线性代数中求矩阵乘积、行列式的值、逆矩阵、矩阵的秩和矩阵的特征根的过程中起到重要作用.而常用的分块方法是按列分块,它在线性代数中有非常广泛的应用.本文讨论了分块矩阵的运算,提出了按列分块矩阵的一些应用.关键词!分块矩阵;按列分块;秩;逆矩阵分块矩阵是矩阵的一种推广,一般矩阵的元素是数量,而分块矩阵的元素可以是数量,也可以是矩阵.分块矩阵的引进使得矩阵这一工具的使用更加便利,解决问题的作用更强有力,其应用也就更广泛,而常用的分块方法是按列分块.应用举例例1 A 是一个n 阶方阵,若A ∀E,A 2=A,证明|A |=0.证明 #A 2=A,∃A (A -E )=0.令B =A -E =(B 1,%,B n )∀0,则有AB =(AB 1,%,AB n )=0.∃AB i =0,即B i 是齐次方程组AX =0的解.而B =(B 1,%,B n )∀0,不失一般性,设B k ∀0,即齐次方程组AX =0有非零解.因此|A |=0.例2 A 是一个n 阶方阵,若对于任何n &1矩阵X,都有AX =0,证明A =0.证法1 任取一n 阶可逆矩阵B,将其按列分块为B =(B 1,%,B n ).由题设有AB i =0(i =1,%,n ).∃AB =(AB 1,%,AB n )=0,∃A =A BB -1=0B -1=0.证法2 将单位矩阵E 按列分块为E =(E 1,%,E n ).由题设有AE i =0(i =1,%,n ).∃A =A E =(AE 1,%,AE n )=0.例3 设A 是一个二阶方阵,且A 2=E,A ∀∋E.证明:r(A +E )=r (A -E )=1.证明 #A ∀∋E,∃r (A ∋E )>0.∃r(A ∋E )=1或2,只需证r (A ∋E )∀2,即|A ∋E |=0.#A 2=E,∃(A +E )(A -E )=0.令A -E =(B 1,B 2),其中B 1,B 2不全为0,于是有(A +E )(B 1,B 2)=((A +E )B 1,(A +E )B 2)=0.∃(A +E )B i =0,i =1,2.∃齐次方程组(A +E )X =0有非零解.∃|A +E |=0,即r (A +E )=1.同理,由(A -E )(A +E )=0,可得r(A -E )=1.例4 A 是一个n 阶方阵,且 是A 的特征值,( E -A )*=(B 1,%,B n )∀0.证明:非零的B i (i =1,%,n )必是A 属于 的特征向量.证明 ( E -A )( E -A )*=| E -A |E =0,( E -A )(B 1,%,B n )=0,∃( E -A )B i =0,(i =1,%,n),∃AB i = B i (i =1,%,n).∃非零的B i (i =1,%,n)必是A 属于 的特征向量.例5 A 是一个m 行n 列矩阵,且r (A )=n ,B 是一个n 阶方阵.证明:如果AB =0,那么B =0.证明 将矩阵B 按列分块为B =(B 1,%,B n ),于是有AB =(AB 1,%,AB n )=0.∃AB i =0(i =1,%,n),即B i (i =1,%,n )是齐次方程组AX =0的解.而r(A )=n ,∃齐次方程组AX =0只有唯一零解.∃B i =0(i =1,%,n),∃B =0.例6 A 是一个n 阶方阵, 1,%, n 为线性无关的n 维列向量.试确定A 1,%,A n 的线性相关性.解 设B =( 1,%, n ),则C =AB =A ( 1,%, n )=(A 1,%,A n ).B 是一个n 阶方阵且由 1,%, n 线性无关可知|B |∀0.∃r (C )=r(A ).当r(A )=n 时,r(C )=n ,从而A 1,%,A n 线性无关;当r(A )<n 时,r(C )<n ,从而A 1,%,A n 线性相关. 参考文献!天津大学数学系代数教研组.线性代数及其应用.北京:科学出版社,2007.。

分块求逆矩阵的方法在矩阵算法中，求逆矩阵是一个非常重要的问题。

逆矩阵求解算法的效率影响着很多其他算法的运行时间。

分块求逆矩阵方法是一种有效的求解逆矩阵的方法。

它通过将一个大的矩阵拆分为多个小块，然后对每个小块求逆矩阵，最终合并成整个矩阵的逆矩阵。

下面我们将详细介绍分块求逆矩阵方法。

一、问题描述假设我们要求解一个n×n 矩阵 A 的逆矩阵 A-1，即 A-1A=IA，其中 I 是n×n 的单位矩阵。

那么我们可以通过解方程组 Ax=I，即找到满足条件的n×n 矩阵 x。

二、分块求解过程分块求逆矩阵方法的基本思路是将原矩阵 A 分成若干个块，并按照一定的顺序进行计算，最终合并成整个矩阵的逆矩阵。

具体步骤如下所示：1. 将矩阵 A 横向和纵向分成若干个大小相等的块，即将 A 分解成下面这样的形式：A = [A11 A12 ... A1m;A21 A22 ... A2m;...An1 An2 ... Anm];每个块的大小为k×k，其中 k 是满足 k|n 的最小正整数。

在实际应用中，通常选择 k 的大小为 32 或 64。

2. 对角块求逆首先对 A 的对角块进行求逆操作，即对 Aii 求逆矩阵。

这个操作可以使用高斯-约旦消元法，将 Aii 元素变为单位元，同时在 Aij 中使用 Aii 的逆元素将除 Aii 以外的元素都变为零。

3. 计算 Schur 补矩阵根据 Schur 补定理，我们把 A 分解成下面这样的形式：A = [A11 A12;A21 A22]其中A11是上文提到的对角块，A12 和 A21 分别是 A 的非对角块。

那么根据 Schur 补矩阵的定义我们可以得到：我们只需求解 S 的逆矩阵即可，即 S-1。

4. 使用逆矩阵计算非对角块接下来我们需要利用 S-1，计算非对角块的逆矩阵。

我们可以得到下面这个方程：我们先解出 X 矩阵。

根据公式我们有：X = I - A11-1A12S-1Z接下来我们就可以计算出非对角元素的逆矩阵：A22-1 = S-1 + S-1A21A11-1(I - A11-1A12S-1A21)A11-1A12S-15. 合并逆矩阵我们将所有小块的逆矩阵合并成整个矩阵的逆矩阵。

分块矩阵是指将一个矩阵按照一定的规则分成若干个小块，每个小块都是一个矩阵。

分块矩阵在矩阵运算中具有重要的作用，可以简化计算过程。

下面通过例题来详解分块矩阵的运算方法。

例题1：设A = ⌈⌉，B = ⌉⌋，其中a、b、c、d均为常数，求AB和BA。

解：根据分块矩阵的定义，有A = ⎡⎡ a b c d ⎡⎡⎡⎡ e f g h ⎡⎡B = ⎡⎡ i j k l ⎡⎡⎡⎡ m n o p ⎡⎡则AB = ⎡⎡ ai+ej bi+fj ci+gj di+hj ⎡⎡⎡⎡ mi+nj ni+oj pi+qj ri+sj ⎡⎡BA = ⎡⎡ ai+ej bi+fj ci+gj di+hj ⎡⎡⎡⎡ mi+nj ni+oj pi+qj ri+sj ⎡⎡可以看出，AB和BA的每个元素都是原矩阵对应位置元素的乘积之和，因此可以直接计算得到结果。

例题2：设A = ⌈⌉，B = ⌉⌋，其中a、b、c、d均为常数，求A^2和(AB)^2。

解：根据分块矩阵的定义，有A = ⎡⎡ a b c d ⎡⎡⎡⎡ e f g h ⎡⎡B = ⎡⎡ i j k l ⎡⎡⎡⎡ m n o p ⎡⎡则A^2 = AB * BA = ⎡⎡ ai+ej bi+fj ci+gj di+hj ⎡⎡⎡⎡ mi+nj ni+oj pi+qj ri+sj ⎡⎡×⎡⎡ ai+ej bi+fj ci+gj di+hj ⎡⎡⎡⎡ mi+nj ni+oj pi+qj ri+sj ⎡⎡＝ (ai*mi + ai*ni + bi*mi + bi*ni + ...) * (mi*ai + mi*ai + ni*bi + ni*bi + ...)＝ (a^2 + b^2) * (a^2 + b^2) = a^4 + b^4 + 2a^2b^2.同理可得，(AB)^2 = (a^2 + b^2)(m^2 + n^2) = a^4 + b^4 + a^2m^2 + b^2n^2.。

矩阵的行列分块法推导
矩阵的行列分块法是一种将矩阵按照一定的规则进行划分的方法，目的是为了简化矩阵的分析和计算。

假设我们有一个m行n列的矩阵A，我们可以将其按照行分
块或者按照列分块。

1. 行分块：
对于行分块，我们通常将矩阵A划分成k个小块，每个小块
的行数可以不相等。

假设我们将矩阵A按照行分成k个小块，即A = [A1 A2 ... Ak]，其中A1、A2、...、Ak分别表示第1个
小块、第2个小块、...、第k个小块。

2. 列分块：
对于列分块，我们通常将矩阵A划分成k个小块，每个小块
的列数可以不相等。

假设我们将矩阵A按照列分成k个小块，即A = [A1 A2 ... Ak]，其中A1、A2、...、Ak分别表示第1个
小块、第2个小块、...、第k个小块。

在矩阵的分析和计算中，我们可以利用这种行列分块的方法进行简化。

例如，我们可以利用行分块来简化矩阵的运算，比如矩阵的加减、乘法等，通过对小块的运算来得到整个矩阵的结果。

具体的推导过程涉及到矩阵的运算性质和规则，因此还需要具体分析具体问题，根据矩阵的性质和规则进行推导。

因此，具体的矩阵的行列分块法推导步骤会有所不同。