第十二章-多元线性回归

根据下面的数据用Excel进行回归，并对回归结果进行讨论，计算x
=200，
1
=7时y的预测值。

x
2
解：用Excel进行回归的结果如下：
结果讨论如下：
（1）从复判定系数看，x1和x2可解释y变异的21%，这是一个相当低的程
度。

（2）从方差分析的结果看，F 统计量不是统计上显著的。

（3）从单个回归系数看，也都是不显著的。

（4）该模型是无效的。

当x 1=200，x 2=7时y 的预测值为 - *200+*7 =
根据下面Excel 输出的回归结果，说明模型中涉及多少个自变量、多少个
观察值写出回归方程，并根据F ，s e ，R 2及调整的2
R α的值对模型进行讨论。

SUMMARY OUTPUT
回归统计
Multiple R R Square Adjusted R Square 标准误差 观测值 15 方差分析
df SS MS F Significance F
回归分析 3 残差 11 总计 14 453670
Coefficient
s
标准误差 t Stat P-value
Intercept X Variable 1 X Variable 2 X Variable 3
解：该模型有3个自变量，15个观察值。

估计的回归方程为：
123ˆ657.0534 5.7103110.416917 3.471481y
x x x =+-- 结果讨论。

（1）F 统计量是显著的，表明方程具有整体的线性关系。

（2）在5%的显著性水平下，x2的偏回归系数不是统计上显著的，其它系数均是显著的。

（3）复判定系数为，表明y 的变异可由x 1，x 2和x 3解释%。

根据两个自变量得到的多元回归方程为12ˆ18.4 2.01 4.74y
x x =-++，并且已知n=10，SST=，SSR=，1
ˆs β=，2
ˆs β=。

要求：
（1）在α=的显著性水平下，x 1，x 2与y 的线性关系是否显著 （2）在α=的显著性水平下，β1是否显著 （3）在α=的显著性水平下，β2是否显著 解：
（1）SSE=SST-SSR= – = 。

则F 统计量计算为
6216.3752
12.8504(1)507.757
SSR k F SSE n k =
==--，
而(2,7)=，F > (2,7)，因而x 1，x 2与y 的线性关系是显著的。

（2）对于β1，t = = ，而临界值(7) = ，故β1是显著的。

（3）对于β2，t = = ，而临界值(7) = ，故β2是显著的。

一家电器销售公司的管理人员认为，月销售收入是广告费用的函数，并想通过广告费用对月销售收入作出估计。

下面是近8个月的月销售收入与广告费用数据。

要求：
（1）用电视广告费用作自变量，月销售收入作因变量，建立估计的回归方程。

（2）用电视广告费用和报纸广告费用作自变量，月销售收入作因变量，建立估计的回归方程。

（3）上述（1）和（2）所建立的估计的回归方程，电视广告费用的系数是否相同对其回归系数分别进行解释。

（4）根据问题（2）所建立的估计的回归方程，在销售收入的总变差中，被估计的回归方程所解释的比例是多少
（5）根据问题（2）所建立的估计的回归方程，检验回归系数是否显著（α=）。

解：
（1）作一元回归，建立的估计的回归方程（括号中的数字为标准差）为
1ˆ88.637681.603865(0.477781)y
x =+ （2）作二元回归，建立的估计的回归方程（括号中的数字为标准差）为
12ˆ83.23009 2.290184(0.304065)1.300989(0.320702)y
x x =++ （3）对于（1）中的回归方程，电视广告费用的回归系数的t 统计量等于，根据2倍的t 法则，是显著的，表示电视广告费用每增加1万元，月销售收入增加万元。

对于（2）中的回归方程，电视广告费用的回归系数的t 统计量等于，也是显著的，表示在报纸广告费用不变的情况下，电视广告费用每增加1万元，月销售收入增加万元。

（4）对于（2）中的回归方程，复判断系数R 2等于，表示在销售收入的总变差中，被估计的回归方程所解释的比例是%，这是一个相当高的比例。

（5）对于（2）中的回归方程，F 统计量等于，P 值为，是高度显著的。

某农场通过试验取得早稻收获量与春季降雨量和春季温度的数据如下：
要求：
（1）试确定早稻收获量对春季降雨量和春季温度的二元线性回归方程。

（2）解释回归系数的实际意义。

（3）根据你的判断，模型中是否存在多重共线性 解：
（1）估计的二元线性回归方程为
12ˆ0.59122.38646(9.600544)327.6717(98.79792)y
x x =-++ （2）春季降雨量的回归系数为，表示在春季温度不变的情况下，春季降雨量每增加1mm ，早稻收获量增加 kg/hm 3。

春季温度的回归系数等于，表示在春季降雨量不变的情况下，春季温度每提高1℃，早稻收获量增加 kg/hm 3。

（3）从回归结果看，方差的整体线性相关关系是显著的，但春季降雨量的回归系数不是统计上显著的，意味着x1和x2可能存在一定的线性相关关系。

计算x1和x2的线性相关系数，r=，r 的t 统计量为，是高度显著的，证明自变量之间确实存在严重的多重共线性。

一家房地产评估公司想对某城市的房地产销售价格（y ）与地产估价（x1）、房产估价（x2）和使用面积建立一个模型，以便对销售价格作出合理预测。

为此，收集了20栋住宅的房产处评估数据。

用Excel 进行回归，回答下面的问题： （1）写出估计的多元回归方程。

（2）在销售价格的总变差中，被估计的回归方程所解释的比例是多少 （3）检验回归方程的线性关系是否显著（α=）。

解：
（1）Excel 的回归方程为
123ˆ148.70050.8147380.820980.135041y
x x x =+++ （2）回归中，R 2 = ，在销售价格的总变差中，被估计的回归方程所解释的比例是%。

（3）F 统计量的P 值是，是高度显著的。

单个自变量的回归系数中，只有x 2的回归系数是显著的，x 1和x 3的回归系数不是统计上显著的。

也许自变量之间存在多重共线性。

根据题中的数据，回答下面的问题：
（1）α=的水平下，检验二元回归模型线性关系的显著性。

（2）在α=的水平下，检验回归系数β1的显著性，你认为x1应该从模型中剔除吗
（3）在α=的水平下，检验回归系数β2的显著性你认为x1应该从模型中剔除吗
解：
（1）在α=的水平下，F 统计量的P 值等于，是显著的。

（2）在α=的水平下，回归系数β1是显著的，x1不应该从模型中剔除。

（3）在α=的水平下，回归系数β2是显著的，x2不应该从模型中剔除。