第13章多元线性回归

目录第一章课程设计的名称、目的、任务及要求 (1)1.1 课程设计的名称 (1)1.2 课程设计的目的 (1)1.3 课程设计的任务 (1)1.4 课程设计的要求 (2)第二章问题分析 (3)2.1 背景资料 (3)2.2 问题重述 (3)2.3 问题分析 (3)第三章假设与符号约定 (5)3.1 模型假设 (5)3.2 模型符号约定 (5)第四章模型的建立与求解 (6)4.1数据分析 (6)4.2模型的建立 (7)4.3模型求解过程 (10)4.3.1问题二的求解过程 (10)4.3.2问题三的求解过程 (10)4.3.3问题四的求解过程 (11)第五章模型结果分析及检验 (14)5.1模型分析及检验 (14)5.2模型评价 (20)结论 (22)参考文献 (23)结束语 (24)第一章 课程设计的名称、目的、任务及要求1.1 课程设计的名称本文研究的课题的名称为：多元线性回归问题。

1.2 课程设计的目的养猪生产的最终目的是为满足消费者对瘦肉的要求，一般瘦肉率越高的猪卖的价格更高一些，而瘦肉率就是指猪含有的瘦肉量，瘦肉在整个中所占的比率。

我们知道猪的瘦肉总产量与许多因素有关，包括猪的眼肌面积、猪的腿瘦肉量及猪的腰瘦肉量。

这三者的多少直接影响猪瘦肉的产量，究竟哪些因素对猪瘦肉的产量影响更大一些，针对上诉问题本文采用多元线性回归方法，分析猪的瘦肉量与哪个因素联系更加密切，且与三个因素之间存在着怎么的线性关系。

1.3 课程设计的任务根据下表1中的某猪场25头育肥猪4个胴体性状的数据资料，试进行瘦肉量y 对眼肌面积（1x ）、腿肉量(2x )、腰肉量(3x )的多元线性回归分析。

1.4 课程设计的要求根据表1的数据完成下面问题的求解：1）画出散点图y 与1x ，y 与2x ，y 与3x 并观察y 与1x ，2x ， 3x 的关系； 2）求y 关于1x ，2x ， 3x 的线性回归方程：0112233ˆˆˆˆˆya a x a x a x =+++ （1） 求出0123,,,a a a a 的值；3）对上述回归模型和回归系数进行检验；4）再分别求y 关于单个变量1x ，2x , 3x 的线性回归方程：10111ˆˆˆy a a x =+ （2） 20222ˆˆˆy a a x =+ （3） 30333ˆˆˆya a x =+ （4） 求出ij a 的值； 分别求y 关于两个变量1x ，2x , 3x 的线性回归方程：10111122ˆˆˆˆy a a x a x =++ (2’) 20222233ˆˆˆˆy a a x a x =++ （3’） 30311333ˆˆˆˆy a a x a x =++ （4’） 求出系数ij a 的值；并说明这六个回归方程对原来问题求解的优劣。

多元线性回归的计算模型多元线性回归模型的数学表示可以表示为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βkXk+ε，其中Y表示因变量，Xi表示第i个自变量，βi表示第i个自变量的回归系数（即自变量对因变量的影响），ε表示误差项。

1.每个自变量与因变量之间是线性关系。

2.自变量之间相互独立，即不存在多重共线性。

3.误差项ε服从正态分布。

4.误差项ε具有同方差性，即方差相等。

5.误差项ε之间相互独立。

为了估计多元线性回归模型的回归系数，常常使用最小二乘法。

最小二乘法的目标是使得由回归方程预测的值与实际值之间的残差平方和最小化。

具体步骤如下：1.收集数据。

需要收集因变量和多个自变量的数据，并确保数据之间的正确对应关系。

2.建立模型。

根据实际问题和理论知识，确定多元线性回归模型的形式。

3.估计回归系数。

利用最小二乘法估计回归系数，使得预测值与实际值之间的残差平方和最小化。

4.假设检验。

对模型的回归系数进行假设检验，判断自变量对因变量是否显著。

5. 模型评价。

使用统计指标如决定系数（R2）、调整决定系数（adjusted R2）、标准误差（standard error）等对模型进行评价。

6.模型应用与预测。

通过多元线性回归模型，可以对新的自变量值进行预测，并进行决策和提出建议。

多元线性回归模型的计算可以利用统计软件进行，例如R、Python中的statsmodels库、scikit-learn库等。

这些软件包提供了多元线性回归模型的函数和方法，可以方便地进行模型的估计和评价。

在计算过程中，需要注意检验模型的假设前提是否满足，如果不满足可能会影响到模型的可靠性和解释性。

总而言之，多元线性回归模型是一种常用的预测模型，可以分析多个自变量对因变量的影响。

通过最小二乘法估计回归系数，并进行假设检验和模型评价，可以得到一个可靠的模型，并进行预测和决策。

多元线性回归模型的估计与解释多元线性回归是一种广泛应用于统计学和机器学习领域的预测模型。

与简单线性回归模型相比，多元线性回归模型允许我们将多个自变量引入到模型中，以更准确地解释因变量的变化。

一、多元线性回归模型的基本原理多元线性回归模型的基本原理是建立一个包含多个自变量的线性方程，通过对样本数据进行参数估计，求解出各个自变量的系数，从而得到一个可以预测因变量的模型。

其数学表达形式为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε其中，Y为因变量，X1、X2、...、Xn为自变量，β0、β1、β2、...、βn为模型的系数，ε为误差项。

二、多元线性回归模型的估计方法1. 最小二乘法估计最小二乘法是最常用的多元线性回归模型估计方法。

它通过使残差平方和最小化来确定模型的系数。

残差即观测值与预测值之间的差异，最小二乘法通过找到使残差平方和最小的系数组合来拟合数据。

2. 矩阵求解方法多元线性回归模型也可以通过矩阵求解方法进行参数估计。

将自变量和因变量分别构成矩阵，利用矩阵运算，可以直接求解出模型的系数。

三、多元线性回归模型的解释多元线性回归模型可以通过系数估计来解释自变量与因变量之间的关系。

系数的符号表示了自变量对因变量的影响方向，而系数的大小则表示了自变量对因变量的影响程度。

此外，多元线性回归模型还可以通过假设检验来验证模型的显著性。

假设检验包括对模型整体的显著性检验和对各个自变量的显著性检验。

对于整体的显著性检验，一般采用F检验或R方检验。

F检验通过比较回归平方和和残差平方和的比值来判断模型是否显著。

对于各个自变量的显著性检验，一般采用t检验，通过检验系数的置信区间与预先设定的显著性水平进行比较，来判断自变量的系数是否显著不为零。

通过解释模型的系数和做假设检验，我们可以对多元线性回归模型进行全面的解释和评估。

四、多元线性回归模型的应用多元线性回归模型在实际应用中具有广泛的应用价值。

人工智能导论知到章节测试答案智慧树2023年最新东北石油大学第一章测试1.人工智能的目的是让机器能够，以实现某些人类脑力劳动的机械化( )。

参考答案:模拟、延伸和扩展人的智能2.盲人看不到一切物体，他们可以通过辨别人的声音识别人，这是智能的（）方面。

参考答案:感知能力3.人工智能是一门综合性的交叉学科，涉及哪些学科( )。

参考答案:神经心理学;计算机科学;控制论;脑科学4.人工智能的主流学派包括( )。

参考答案:行为主义;符号主义;连接主义5.图灵测试是判断机器是否具有人工智能的方法，是人工智能最标准的定义。

( )参考答案:错第二章测试1.“王宏是一名学生”可以用谓词表示为STUDENT(Wang Hong），其中，Wang Hong是（）。

参考答案:个体词2.产生式系统的核心是（）。

参考答案:推理机3.知识的不确定性来源于（）。

参考答案:不完全性引起的不确定性;模糊性引起的不确定性;随机性引起的不确定性;经验引起的不确定性4.产生式表示法可以表示不确定性知识。

（）对5.框架表示法不便于表示过程性知识。

（）参考答案:对第三章测试1.从初始证据出发，按某种策略不断运用知识库中的已知知识，逐步推出结论的过程称为推理。

（）参考答案:对2.任何文字的析取式称为子句。

（）参考答案:对3.谓词公式不可满足的充要条件是其子句集不可满足。

（）参考答案:对4.对于一阶谓词逻辑，若子句集是不可满足的，则必存在一个从该子句集到空子句的归结演绎。

（）对5.对于一阶谓词逻辑，如果没有归结出空子句，则说明原谓词公式是不可满足的。

（）参考答案:错第四章测试1.如果问题存在最优解，则下面几种搜索算法中，（）必然可以得到该最优解。

参考答案:启发式搜索2.如果问题存在最优解，则下面几种搜索算法中，（）可以认为是“智能程度相对比较高”的算法。

参考答案:启发式搜索3.在启发式图搜索策略中，下面描述正确的是（）。

参考答案:closed表用于存放已扩展过的节点。

多元线性回归模型原理Y=β0+β1*X1+β2*X2+...+βn*Xn+ε其中，Y表示因变量，X1、X2、..、Xn表示自变量，β0、β1、β2、..、βn表示模型的参数，ε表示误差项。

通过对数据进行拟合，即最小化误差平方和，可以估计出模型的参数。

多元线性回归模型的原理是基于最小二乘法，即通过最小化残差平方和来估计参数的值。

残差是指模型预测值与真实值之间的差异，最小二乘法的目标是找到一组参数，使得所有数据点的残差平方和最小。

通过求解最小二乘估计，可以得到模型的参数估计值。

为了评估模型的拟合程度，可以使用各种统计指标，例如R方值、调整R方值、标准误差等。

R方值表示模型解释因变量方差的比例，取值范围在0到1之间，值越接近1表示模型对数据的拟合程度越好。

调整R方值考虑了模型中自变量的个数和样本量之间的关系，可以更准确地评估模型的拟合程度。

标准误差表示模型预测值与真实值之间的标准差，可以用于评估模型的预测精度。

在建立多元线性回归模型之前，需要进行一些前提条件的检查，例如线性关系、多重共线性、异方差性和自变量的独立性。

线性关系假设要求自变量与因变量之间存在线性关系，可以通过散点图、相关系数等方法来检验。

多重共线性指的是自变量之间存在高度相关性，会导致参数估计的不稳定性，可以使用方差膨胀因子等指标来检测。

异方差性指的是残差的方差不恒定，可以通过残差图、方差齐性检验等方法来检验。

自变量的独立性要求自变量之间不存在严重的相关性，可以使用相关系数矩阵等方法来检验。

当满足前提条件之后，可以使用最小二乘法来估计模型的参数。

最小二乘法可以通过不同的方法来求解，例如解析解和数值优化方法。

解析解通过最小化误差平方和的一阶导数为零来求解参数的闭式解。

数值优化方法通过迭代来求解参数的数值估计。

除了最小二乘法，还有其他方法可以用于估计多元线性回归模型的参数，例如岭回归和lasso回归等。

岭回归和lasso回归是一种正则化方法，可以对模型进行约束，可以有效地避免过拟合问题。

商务与经济统计学习笔记整理安德森第13版2018/12/11开始阅读，2019/1⽉14⽇完成
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同期开始学习Python（⽬前⾄递归函数）
学习笔记⼤纲：
第20章指数
第19章质量管理的统计⽅法
第18章⾮参数⽅法
第17章时间序列分析及预测
第16章回归分析：建⽴模型
第15章多元回归
第14章简单线性回归
第13章实验设计与⽅差分析
第12章多个⽐率的⽐较、独⽴性及拟合优度检验
第11章总体⽅差的统计推断
第10章两总体均值和⽐例的推断
第9章假设检验
第8章区间估计
第7章抽样和抽样分布
第6章连续型概率分布
第5章离散型概率分布。

目　录第一部分　考研真题精选一、单项选择题二、多项选择题三、简答题四、综合题第二部分　章节题库第1章　绪　论第2章　统计图表第3章　集中量数第4章　差异量数第5章　相关关系第6章　概率分布第7章　参数估计第8章　假设检验第9章　方差分析第10章　χ2检验第11章　非参数检验第12章　线性回归第13章　多变量统计分析简介第14章　抽样原理及方法第一部分　考研真题精选一、单项选择题1已知某小学一年级学生的体重平均数21kg，标准差3.2kg，身高平均数120cm，标准差6.0cm，则下列关于体重和身高离散程度的说法正确的是（ ）。

[统考2019研]A．体重离散程度更大B．身高离散程度更大C．两者离散程度一样D．两者无法比较【答案】A【解析】计算体重和身高的变异系数，CV体重＝（3.2/21）×100%＝15.2%，CV身高＝（6/120）×100%＝5%。

由此可知体重离散程度更大。

2已知某正态总体的标准差为16，现从中随机抽取一个n＝100的样本，样本标准差为16，则样本平均数分布的标准误为（ ）。

[统考2019研]A．0.16B．1.6C．4D．25【答案】B【解析】总体正态，且方差已知，则样本平均数的分布为正态分布，标准误SE＝σ/sqr（n）＝16/10＝1.6。

3如果学生参加压力量表测试的分数服从正态分布，平均数为5，标准差为2，那么分数处在5和9之间的学生百分比约为（ ）。

[统考2019研]A．34%B．48%C．50%D．68%【答案】B【解析】计算原始分数为5的标准分数Z1＝0，原始分数为9的标准分数Z2＝2，已知±1.96包含95%的个体，则可估计p（0＜Z＜2）＝0.48。

4对样本平均数进行双尾假设检验，在α＝0.10水平上拒绝了虚无假设。

如果用相同数据计算总体均值的置信区间，下列描述正确的是（ ）。

[统考2019研]A．置信区间不能覆盖总体均值B．置信区间覆盖总体均值为10%C．置信区间覆盖总体均值为90%D．置信区间覆盖总体均值为0.9%【答案】C【解析】置信度即置信区间覆盖总体均值的概率，题干说明置信度为1－α＝0.90。

第六章 回归分析第一节 一元线性回归一、模型建立 1、问题提出：(1)设x y 为小麦的亩产量,它与肥料x 有关,这种关系可以表示为 x x x y εμ+=)(.(2) 由于观察(或试验)中总存在随机因素的影响,即使x 固定，小麦的亩产量x y 也不完全相同,因而x y 是一个随机变量，从而x ε也是一个随机变量. 可以认为),0(~2σεN x .(3) )(x μ常常可以近似表示为b ax +,因此可以认为 x x b ax y ε++=.2、回归的概念(1) 回归：设x 为一般的实变量, R ∈∀x ,都对应着一个随机变量x y ,若x Ey 总存在,称x Ey 为y 关于x 的回归,记作)(x μ.即 x Ey x =)(μ.(2)一元线性回归：若b ax x +=)(μ,称)(x μ为y 关于x 的一元线性回归.(3) 一元线性回归方程：通过样本得到b ax x +=)(μ中未知参数b a ,的估计值b aˆ,ˆ, 称方程b x a yˆˆˆ+=为y 关于x 的一元线性回归方程.二、一元线性回归方程 1、xx S 、yy S 与xy S2112212121)(⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-=∑∑∑∑====n i i ni i n i i n i i xx x n x x n x x x S .证明：21221121222)2(x n x x n x x x x xS ni i n i i n i ini i ixx -=+-=+-=∑∑∑∑====.(2) 2112212121)(⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-=∑∑∑∑====n i i ni i n i i n i i yy y n y y n y y y S .(3) ∑∑∑∑∑=====-=⋅-=--=ni i ni i ni i i ni i i ni i i xy y x n y x y x n y x y y x x S 111111))((.证明： ∑∑∑∑∑=====+--=--=ni n i n i iin i ii n i iixy y x y x x y y x y y x x S 11111))((y x n y x y x n y n x x n y y x ni ii ni ii ⋅-=⋅+⋅-⋅-=∑∑==11)(.2、b a ,的估计设x x b ax y ε++=,),0(~2σεN x .样本为:),(,),,(),,(2211n n y x y x y x ,n x x x ,,,21 不全为零.则有xxxy S S a=ˆ, x a y bˆˆ-=. 证明：(1)已知),(~2σb ax N y x +.(2)作∏=---∑⎪⎭⎫ ⎝⎛===ni b ax y ni ni i i eb a y L 1)(2112221),;(σσπϕ,欲使L 达到最大,只需∑=--=ni iib ax y R 12)(取得最小.(3)令 0)(21=---=∂∂∑=ni i i i b ax y x a M ，∑==---=∂∂ni i i b ax y b M10)(2. 即0121=--∑∑==x bn xa y x ni in i ii ， 或 ∑∑===+ni i i n i i y x x bn x a 112，0=--nb x an y n . y x n x bn x an ⋅=+2.于是：xxxy ni ini ii S S x n xyx n yx a =-⋅-=∑∑==2121ˆ， x a y bˆˆ-=.3、一元线性回归方程:b x a yˆˆˆ+=, 其中：xxxy S S a =ˆ, x a y b ˆˆ-=.例1 以家庭为单位,某种商品年需求量y 与该商品价格x 之间的一组调查数据如表如下价格i x5222.32.5 2.6 2.8 33.3 3.5 需求量i y 13.5 3 2.72.42.521.51.21.2求y 关于x 的一元线性回归方程.解：(1)已知10=n ,列表计算12345678910Σ522 2.3 2.5 2.62.833.33.5291 3.53 2.7 2.4 2.52 1.5 1.2 1.2212544 5.29 6.25 6.767.84910.912.391.28112.397.29 5.76 6.254 2.25 1.44 1.4450.685766.2166.55.64.5 3.96 4.254.97ix iy ii y x 2ixixx S xy S y 2i y yyS(2) 9.229101=⨯=x , 1.221101=⨯=y ,18.72910128.91122112=⨯-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑==n i i ni i xx x n x S ,93.5212910197.541111-=⨯⨯-=-=∑∑∑===ni i n i i n i i i xy y x n y x S .(3) 8259.018.793.5ˆ-=-==xx xy S S a ,4951.49.2)8259.0(1.2ˆˆ=⨯--=-=x a y b .于是y 关于x 的一元线性回归方程为 4951.48259.0ˆ+-=x y .4、2σ的估计 (1) 残差平方和：∑∑==--=-=ni ii i ni i ib x a y y yQ 1212)ˆˆ()ˆ((2) Q 的分解式：xy yy S aS Q ˆ-=. 证明: 因 xxxy S S a=ˆ,x a y bˆˆ-=.所以 ∑∑==+--=--=ni i i ni i i x a y x a y b x a y Q 1212)ˆˆ()ˆˆ( xx xy yy ni i i S a S a S x x ay y 212ˆˆ2)](ˆ)[(+-=---=∑= xy yy xx xxxy xy yy S aS S S S a S aS ˆˆˆ2-=+-=. (3) )2(~22-n Qχσ. (证明略)(4) 2σ的无偏估计：)ˆ(212ˆ2xy yy S aS n n Q --=-=σ. 证明：因 )2(~22-n Q χσ,所以22-=⎪⎭⎫⎝⎛n Q E σ，22222)2(222)ˆ(σσσσσ=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n Q E n n Q E E .例2 同例1,求2σ的无偏估计2ˆσ. 解：(1)由例1列表知58.62110168.50122112=⨯-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑==n i i ni i yy y n y S .(2)6824.1)93.5()8259.0(58.6ˆ=-⨯--=-=xy yy S a S Q . (3)于是 2103.06824.1812ˆ2=⨯=-=n Q σ.第二节 线性回归假设检验与系数估计一、线性假设检验1、一元线性回归显著性检验的思路若b ax x +=)(μ,那么0≠a .否则,若0=a ,有x x b y ε+=,可见y 基本上不依赖与x .2、检验统计量：)2(~ˆˆ--=n t S a aU xx σ(证明略)3、线性假设检验的步骤(1)假设 0H ：0=a , 1H ：0≠a . (2)检验统计量：)2(~ˆˆ-=n t S a U xx σ(3)检验值：xx s au σˆˆ0=(4)临界值：)2(2-=n t b α(5)拒绝域B ：b U >|| (6)检验：检查是否有b u >||0判断：拒绝0H 、接受0H 或其他(8)结论：据检验结果认为一元线性回归是否显著.例1 检验第一节例1中的一元线性回归是否显著？)05.0(=α解：已知10=n ,8259.0ˆ-=a,2103.0ˆ2=σ,18.7=xx S . (1)假设 0H ：0=a , 1H ：0≠a . (2)检验统计量：)2(~ˆˆ-=n t S aU xx σ(3)检验值：8258.418.72103.08259.0ˆˆ0=⨯-==xx S a u σ (4)临界值：306.2)8()2(025.02==-=t n t b α(5)拒绝域B ：b U >||(6)检验：由于 b u =>=306.28258.4||0 (7)判断：拒绝0H(8)结论：可以认为一元线性回归效果显著.二、系数a 的α-1置信区间⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±)2(ˆˆ2n t S a xx ασ证明：取)2(~ˆˆ/ˆˆ--=-=-=n t S a aS a a V a T Z xx xx σσ即证.例2 求第一节例1中a 的95.0置信区间.解：已知8259.0ˆ-=a,2103.0ˆ2=σ,18.7=xx S ,306.2)2(2=-=n t b α. 于是,a 的95.0置信区间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±)2(ˆˆ2n t S a xx ασ )4312.0 ,2206.1(306.218.72103.08259.0--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯±-=.预祝同学们取得优异成绩！联系电话：7912E_mail: q58@。

多元线性回归的名词解释多元线性回归是一种经济学和统计学中常用的方法，用于分析多个自变量与一个连续因变量之间的关系。

在这种回归分析中，解释变量（自变量）可以是连续或分类变量，而被解释变量（因变量）通常是连续变量。

本文将对多元线性回归的关键名词进行解释，以帮助读者更好地理解和应用该方法。

一、回归分析回归分析是研究两个或多个变量之间关系的统计方法。

在多元线性回归中，我们可以使用多个自变量来预测一个连续的因变量。

回归分析可以帮助我们了解各个自变量对因变量的贡献程度，以及它们之间的相互作用。

二、线性回归线性回归是一种回归分析的方法，假设自变量和因变量之间存在线性关系。

这意味着在多元线性回归中，我们假设因变量是自变量的线性组合，具体表现为一个多元线性方程。

通过最小化预测值和实际观测值之间的误差平方和，我们可以估计出各个自变量的系数，并对因变量进行预测。

三、自变量和因变量在多元线性回归中，自变量是我们用来解释或预测因变量的变量。

自变量可以是连续变量，如年龄、收入等，也可以是分类变量，如性别、教育程度等。

因变量是我们希望预测或解释的变量，通常是一个连续变量，如房屋价格、销售额等。

四、最小二乘法最小二乘法是多元线性回归中参数估计的常用方法。

该方法通过最小化预测值与实际观测值之间的误差平方和来确定各个自变量的系数。

通过求解估计方程，我们可以得到最佳的系数估计，从而建立起自变量与因变量之间的线性关系。

五、多重共线性多重共线性是多元线性回归中一个重要的问题。

当自变量之间存在高度相关性时，可能会导致估计的系数不稳定或不精确。

为了检测和解决多重共线性问题，我们可以计算自变量之间的相关系数矩阵，并使用方差膨胀因子（VIF）来评估自变量之间的共线性程度。

六、拟合优度拟合优度是衡量多元线性回归模型拟合优良程度的指标。

拟合优度可以用于评估模型对观测值的解释能力。

常见的拟合优度指标包括决定系数（R²），它可以解释因变量的变异程度中可归因于自变量的比例。