贾俊平《统计学》(第7版)考点归纳和课后习题详解(含考研真题)(第12章 多元线性回归)【圣才出品】

第12章多元线性回归
12.1 考点归纳
【知识框架】
【考点提示】
（1）多元线性回归模型，包括回归模型的基本假定（简答题考点），最小二乘估计（选择题、计算题考点）；
（2）回归模型的拟合优度评价（简答题、计算题考点）；
（3）显著性检验（计算题考点）；
（4）多重共线性的含义、产生的问题、判别及处理方式（简答题考点）。

【核心考点】
考点一：多元线性回归模型
1．回归模型假定
（1）E （ε）＝0；
（2）D （ε）＝σ2；
（3）()2
cov ,0
i j i j i j σεε⎧==⎨≠⎩
2．参数的最小二乘估计
使残差平方和
Q ＝∑（y i －y ∧i ）2＝∑（y ∧i ＝β∧0－β∧1x 1－β∧2x 2－…－β∧k x k ）2达到最小的β∧0，β∧1，β∧2，…，β∧k 。

由此可以得到求解β∧0，β∧1，β∧2，…，β∧k 的标准方程组为：
00ˆ0ˆ00,1,2,,i i ββi ββQ βQ i k β==⎧∂=⎪∂⎪⎨∂⎪==⎪∂⎩
多元线性回归的最小二乘估计是最优线性无偏估计。

考点二：回归方程的拟合优度
表12-1 多元线性回归方程的评价
【提示】实际应用中，采用调整的判定系数来评价多元回归方程的拟合优度。

【真题精选】
多元线性回归模型的调整的多重判定系数取值范围在0至1之间。

[对外经济贸易大学2018研]
【答案】√
【解析】多重判定系数R2＝SSR/SST是多元回归中的回归平方和占总平方和的比例，它是度量多元回归方程拟合程度的一个统计量，反映了在因变量y的变差中被估计的回归方程所解释的比例，取值为0～1。

调整的多重判定系数R a2与多重判定系数R2不同之处在于：R a2同时考虑了样本量n和模型中自变量的个数k的影响，这就使得R a2的值永远小于R2，而且R a2的值不会由于模型中自变量个数的增加而越来越接近1，因此R a2的取值也为0～1。

考点三：显著性检验
1．线性关系检验
检验统计量： ()
(),11SSR k F F k n
k SSE n k =----
2．回归系数检验和推断
检验统计量t 式中，ˆi s s β=
若|t|＞t α/2，则拒绝原假设；若|t|＜t α/2，则不拒绝原假设。

考点四：多重共线性
1．多重共线性产生的问题
（1）可能会使回归结果产生混乱，方程和参数的显著性检验失效。

（2）可能对参数估计值的正负号产生影响。

（3）模型的预测功能失效。

ˆˆ~(1)i i t t n k s ββ=
--
2．多重共线性的判别
（1）对自变量之间的相关系数进行显著性检验，发现自变量之间显著相关；
（2）模型F检验显著，而几乎所有回归系数βi的检验不显著；
（3）回归系数的正负号与预期的相反；
（4）容忍度（1－R i2）小于0.1或方差扩大因子VIF＝1/（1－R i2）大于10；（5）当增加或删减一个自变量，或者改变一个观测值时，回归系数发生较大变化；（6）一些重要自变量的回归系数标准误差较大。

3．多重共线性问题的处理
（1）将一个或多个相关的自变量从模型中剔除，使保留的自变量尽可能不相关。

（2）差分法。

对于时间序列数据、线性模型，常将原模型变换为差分模型。

（3）减小参数估计量的方差，如使用岭回归法。

【真题精选】
如果回归模型中存在多重共线性，则（）。

[中国海洋大学2018研]
A．整个回归模型的线性关系不显著
B．肯定有一个回归系数通不过显著性检验
C．肯定导致某个回归系数的符号与预期的相反
D．肯定导致某些回归系数通不过显著性检验
【答案】D
【解析】当回归模型中两个或两个以上的自变量彼此相关时，则称回归模型中存在多重
共线性。

如果出现下列情况，暗示存在多重共线性：①模型中各对自变量之间显著相关；②当模型的线性关系检验（F检验）显著时，几乎所有回归系数βi的t检验却不显著；③回归系数的正负号与预期的相反。

12.2 课后习题详解
一、思考题
1．解释多元回归模型、多元回归方程、估计的多元回归方程的含义。

答：（1）多元回归模型：设因变量为y，k个自变量分别为x1，x2，…，x k，描述因变量y如何依赖于自变量x1，x2，…，x k和误差项ε的方程称为多元回归模型。

其一般形式可表示为：
y＝β0＋β1x1＋β2x2＋…＋βk x k＋ε
式中，β0，β1，β2，…，βk是模型的参数，ε为误差项。

（2）多元回归方程：根据回归模型的假定有E（y）＝β0＋β1x1＋β2x2＋…＋βk x k，称为多元回归方程，它描述了因变量y的期望值与自变量x1，x2，…，x k之间的关系。

（3）估计的多元回归方程：回归方程中的参数β0，β1，β2，…，βk是未知的，需要利用样本数据去估计它们。

当用样本统计量β∧0，β∧1，β∧2，…，β∧k去估计回归方程中的未知参数β0，β1，β2，…，βk时，就得到了估计的多元回归方程，其一般形式为：
y∧＝β∧0＋β∧1x1＋β∧2x2＋…＋β∧k x k
式中，β∧0，β∧1，β∧2，…，β∧k是参数β0，β1，β2，…，βk的估计值，y∧是因变量y的估计值。

其中β1，β2，…，βk称为偏回归系数。