第12章-多重线性回归分析

统计学第十二章 多元线性回归一． 选择题1. 在多元线性回归分析中，t 检验是用来检验（ ） A 总体线性关系的显著性 B.各回归系数的显著性 C.样本线性关系的显著性 D ．H 0：β1=β2=…βk =02.在多元线性回归模型中，若自变量x i 对因变量y 的影响不显著，那么它的回归系数 βi 的取值（ ）A.可能为0B.可能为1C.可能小于0 D 可能大于13.在多元线性回归方程 y i ˆ=βˆ0+x 11ˆβ+x 22ˆβ+…+xkkβˆ中，回归系数βˆi表示（ ） A.自变量x i 变动1个单位时，因变量y 的平均变动额为βˆiB.其他变量不变的条件下，自变量x i 变动1个单位时，因变量y的平均变动额为βˆiC.其他变量不变的条件下，自变量x i 变动1个单位时，因变量y的变动总额为βˆiD.因变量y 变动1个单位时，因变量x i 的变动总额为βˆi4.设自变量的个数为5个，样本容量为20。

在多元回归分析中，估计标准误差的自由度为（ ）A.20B.15C.14D.18 5.在多元回归分析中，通常需要计算调整的多重判定系数R a2，这样可以避免的值（）A. 由于模型中自变量个数的增加而越来越接近1B. 由于模型中自变量个数的增加而越来越接近0C. 由于模型中样本容量的增加而越来越接近0D. 由于模型中样本容量的增加而越来越接近16.在多元线性回归分析中，如果F检验表明线性关系显著，则意味着（）A.在多个变量中至少有一个自变量与因变量之间的线性关系显著B.所有的自变量与因变量之间的线性关系都显著C.在多个变量中至少有一个自变量与因变量之间的线性关系不显著D.所有的自变量与因变量之间的线性关系都不显著7.在多元线性回归分析中，如果t检验表明回归系数βi不显著，则意味着（）A.整个回归方程的线性关系不显著B.整个回归方程的线性关系显著C.自变量x i与因变量之间的线性关系不显著D.自变量x i与因变量之间的线性关系显著8.设多元线性回归方程为Yˆ=βˆ0+x11ˆβ+x22ˆβ+…+xkkβˆ，若自变量x i的回归系数βˆi的取值接近0，这表明（）A.因变量y对自变量ix的影响不显著B.因变量y对自变量ix的影响显著C.自变量ix对因变量y的影响不显著D.自变量x对因变量y的影响显著i9.一家出租汽车公司为确定合理的管理费用，需要研究出租车司机每天的收入（元）与他的行驶时间（小时）、行驶的里程（公里）之间的关系，为此随机调查了20位出租车司机，根据每天的收入（y）、行驶时间（x1）和行驶的里程（x2）的有关数据进行回归，得到下面的有关结果（a=0.05）根据上表计算的判定系数为（）A. 0.9229B. 1.1483C. 0.3852D. 0.851610. 一家出租汽车公司为确定合理的管理费用，需要研究出租车四级每天的收入（元）与他的行驶时间（小时）、行驶的里程（公里）之间的关系，为此随机调查了20位出租车司机，根据每天的收入（y）、行驶时间（x1）和行驶的里程（x2）的有关数据进行回归，得到下面的有关结果（α=0.05）根据上表计算的估计标准误差为（）A. 306.18B. 17.50C. 16.13D. 41.9311. 一家出租汽车公司为确定合理的管理费用，需要研究出租车司机每天的收入（元）与他的行驶时间（小时）、行驶的里程（公里）之间的关系，为此随机调查了20位出租车司机，根据每天的收入（y）、行驶时间（x1）和行驶的里程（x2）的有关数据进行回归，得到下面的有关结果（α=0.05）根据上表计算的用于检验线性关系的统计量F=（）A. 306.18B. 48.80C. 5.74D. 41.9312.一家产品销售公司在30个地区设有销售分公司。

多因素线性回归分析
在多因素线性回归中，有一个因变量（也称为响应变量）和两个或更多的自变量（也称为解释变量），它们是独立的变量。

回归模型基于以下公式：
Y=β0+β1X1+β2X2+.......+βnXn+ε
其中，Y是因变量，X1，X2......Xn是自变量，β0，β1，
β2......βn是回归系数，ε是误差项。

回归系数表示自变量在因变量上的影响。

误差项是不可解释的随机变量，表示未被模型解释的部分。

进行多因素线性回归分析需要注意以下几个步骤：
1.数据收集：收集包括因变量和自变量的数据。

2.数据准备：对数据进行清洗和处理，处理缺失值、异常值等。

3.模型构建：选择合适的自变量，并进行变量转换（如对数变换、归一化等）。

4.模型拟合：使用统计软件进行模型拟合，得到回归系数的估计值。

5.模型诊断：检查模型的拟合程度，判断残差是否符合正态分布，是否存在异方差等。

6.假设检验：对回归系数进行显著性检验，判断自变量对因变量的影响是否统计显著。

7.解释模型：对回归系数进行解释，判断自变量对因变量的影响方向和程度。

然而，多因素线性回归分析也存在一些局限性。

比如，它基于线性关系的假设，无法捕捉非线性的影响关系；另外，如果所选择的自变量存在多重共线性，模型的解释效果可能会受到影响。

因此，在进行多因素线性回归分析时，需要谨慎选择自变量、处理数据，并进行适当的模型诊断和假设检验。

只有在满足前提条件和假设的情况下，才能对回归系数和因变量之间的关系进行合理解释和预测。

多重线性回归分析方法多重线性回归分析是一种常用的统计方法，用于揭示自变量对因变量的影响。

它可以帮助我们理解多个自变量如何共同影响因变量，并通过建立一个数学模型来预测因变量的值。

本文将介绍多重线性回归分析的基本原理、步骤以及常见的模型评估方法。

一、基本原理多重线性回归分析是建立在线性回归模型的基础上的。

在简单线性回归模型中，只有一个自变量可以解释因变量的变化；而在多重线性回归模型中，有多个自变量同时对因变量产生影响。

其模型可表示为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε其中，Y代表因变量，X1, X2, ..., Xn代表自变量，β0, β1, β2, ..., βn代表回归系数，ε代表误差项。

二、分析步骤进行多重线性回归分析时，通常可以遵循以下步骤：1. 收集数据：首先，需要收集相关的自变量和因变量的数据，并确保数据的准确性和完整性。

2. 建立模型：根据收集到的数据，可以利用统计软件或编程工具建立多重线性回归模型。

确保选择合适的自变量，并对数据进行预处理，如去除异常值、处理缺失值等。

3. 模型拟合：利用最小二乘法或其他拟合方法，对模型进行拟合，找到最优的回归系数。

4. 模型评估：通过各种统计指标来评估模型的拟合效果，比如决定系数（R^2）、调整决定系数、F统计量等。

这些指标可以帮助我们判断模型的可靠性和解释力。

5. 解释结果：根据回归系数的正负和大小，以及显著性水平，解释不同自变量对因变量的影响。

同时，可以进行预测分析，根据模型的结果预测未来的因变量值。

三、模型评估方法在多重线性回归分析中，有多种方法可评估模型的拟合效果。

以下是几种常见的模型评估方法：1. 决定系数（R^2）：决定系数是用来衡量模型拟合数据的程度，取值范围为0到1。

其值越接近1，表示模型能够较好地解释数据的变异。

2. 调整决定系数：调整决定系数是在决定系数的基础上，考虑自变量的数量和样本量后进行修正。

第十二章相关与回归分析一、填空1. 如果两变量的相关系数为0，说明这两变量之间__ 。

2.相关关系按方向不同，可分为_____ 和________ 。

3. 相关关系按相关变量的多少，分为和复相关。

4．在数量上表现为现象依存关系的两个变量，通常称为自变量和因变量。

自变量是作为（变化根据）的变量，因变量是随（自变量）的变化而发生相应变化的变量。

5．对于表现为因果关系的相关关系来说，自变量一般都是确定性变量，因变量则一般是（随机性）变量。

6．变量间的相关程度，可以用不知Y与 X有关系时预测 Y的全部误差 E1，减去知道 Y与 X有关系时预测Y的联系误差E2，再将其化为比例来度量，这就是（削减误差比例）。

7．依据数理统计原理，在样本容量较大的情况下，可以作出以下两个1）实际观察值 Y 围绕每个估计值 Y c是服假定：从（）；（2）分布中围绕每个可能的 Y c 值的（）是相同的。

7. 已知：工资（元）倚劳动生产率（千元）的回归方程为yc 10 80x，因此，当劳动生产率每增长 1 千元，工资就平均增加 80 元。

8．根据资料，分析现象之间是否存在相关关系，其表现形式或类型如何，并对具有相关关系的现象之间数量变化的议案关系进行测定，即建立一个相关的数学表达式，称为（回归方程），并据以进行估计和预测。

这种分析方法，通常又称为（回归分析）。

9．积差系数 r 是（协方差）与 X 和 Y 的标准差的乘积之比。

二、单项选择1．欲以图形显示两变量 X 和 Y 的关系，最好创建（ D ）。

A 直方图 B 圆形图 C 柱形图 D 散点图2．在相关分析中，对两个变量的要求是（A ）。

A 都是随机变量B 都不是随机变量C 其中一个是随机变量，一个是常数D 都是常数3.相关关系的种类按其涉及变量多少可分为（）。

A. 正相关和负相关B. 单相关和复相关C. 线性相关和非线性相关D. 不相关、不完全相关、完全相关4．关于相关系数，下面不正确的描述是（B ）。

第11章 一元线性回归分析欧阳光明（2021.03.07）11.1（1）散点图（略），产量与生产费用之间正的线性相关关系。

（2）920232.0=r（3） 检验统计量2281.24222.142=>=αt t ，拒绝原假设，相关系数显著。

11.2（1）散点图（略）。

11.3 （1）0ˆβ表示当0=x 时y 的期望值。

（2）1ˆβ表示x 每变动一个单位y 平均下降0.5个单位。

11.4 （1）%902=R（2）1=e s11.5 一家物流公司的管理人员想研究货物的运输距离和运输时间的关系，为此，他抽出了公司最近10个卡车运货记录的随机样本，得到运送距离要求：(1)绘制运送距离和运送时间的散点图，判断二者之间的关系形态： (2)计算线性相关系数，说明两个变量之间的关系强度。

(3)利用最小二乘法求出估计的回归方程，并解释回归系数的实际意义。

解：（1）可能存在线性关系。

（2）x 运送距离（km ）y 运送时间（天） x 运送距离（km ）Pearson 相关性 1.949(**) 显著性（双侧）0.000 N10 10 y 运送时间（天）Pearson 相关性 .949(**) 1显著性（双侧） 0.000 N**. 在 .01 水平（双侧）上显著相关。

有很强的线性关系。

（3）模型非标准化系数标准化系数t 显著性B标准误Beta1（常量） 0.118 0.355 0.333 0.748 x 运送距离（km ）a. 因变量: y 运送时间（天）回归系数的含义：每公里增加0.004天。

11.6 下面是7个地区2000年的人均国内生产总值（GDP ）和人均消费水要求：(1)人均GDP 作自变量，人均消费水平作因变量，绘制散点图，并说明二者之间的关系形态。

(2)计算两个变量之间的线性相关系数，说明两个变量之间的关系强度。

(3)利用最小二乘法求出估计的回归方程，并解释回归系数的实际意义。

(4)计算判定系数，并解释其意义。

练习题12.1 为研究我国民航客运量的变化趋势及其成因，试以民航客运量（万人）作因变量（y），以国民收入(x1，亿元)、消费额（x2，亿元）、铁路客运量（x3，万人）、民航航线里程（x4，万公里）、来华旅游入境人数（x5，万人）为自变量，根据1978-1993年统计数据采用不同方法进行多重线性回归分析，并比较其不同点。

数据文件civil.sav。

12.2 某医院研究31例正常人的肺活量与一些锻炼测试的数据，目的是为了在锻炼测试数据基础上求出拟合回归方程，从而对人体肺活量作适应性预测。

试建立多重线性回归方程并进行逐步回归分析，数据文件vc.sav：x1-年龄（岁）、x2-体重（kg）、x3-跑2km路程所用的时间（min）、x4-静止时脉搏跳动次数、x5-跑步时脉搏跳动次数、x6-跑步时最大脉搏跳动次数、y-每公斤体重每分钟氧气吸入率（%）。

12.3 某研究所为研究儿童的智力状况，调查16所小学六年级学生的平均言语测验得分(Y)，与家庭社会经济状况综合指标(x1)、教师言语测验得分(x2)及母亲教育水平(x3)，试进行多元回归分析。

数据文件speech.sav。

12.4 测定某氟作业工人三名，观察工前(0时)、上工后4小时、上工后8小时、下班后4小时（12小时）、次日上班前（24小时）尿中氟的浓度(mg/L)，以观察氟作业工人尿氟的排泄规律。

试分别拟合直线回归方程、二次抛物线、三次抛物线、四次抛物线，并选择一种最适合的回归模型。

尿氟浓度时间第一名工人第二名工人第三名工人0 1.62 1.92 1.424 2.23 2.62 2.238 2.42 2.76 2.6212 2.29 2.52 2.3224 1.69 2.00 1.6312.5 若干城市9～17岁女子的平均体重资料如下，试分别拟合直线回归方程、二次抛物线、三次抛物线、四次抛物线，并选择一种最适合的回归模型。

年龄（岁）9 10 11 12 13 14 15 16 17 体重（kg）24.6 27.1 30.5 34.1 38.5 42.3 45.4 47.4 48.612.6 观察某地破伤风预防接种率与发病率数据如下表所示，试问：何种回归模型最能综合表达该地破伤风发病率（y）与预防接种率（x）的关系。