第七讲函数的奇偶性

一、函数的奇偶性的判断
第一种方法：
①、定义域是否关于原点对称；

②、数量关系)()(xfxf哪个成立；
例1：判断下列各函数是否具有奇偶性

⑴、xxxf2)(3 ⑵、2432)(xxxf ⑶、1)(23xxxxf ⑷、2211)(xxxf

二、关于奇偶函数的图像特征
例1：已知偶函数)(xfy在y轴右则时的图像如图（一）试画出函数y轴右则的图像。

三、关于函数奇偶性的简单应用
例1：已知8)(35bxaxxxf且10)2(f，那么)2(f?

例2：已知偶函数)(xf在0,上为减函数，比较)5(f，)1(f，)3(f的大小。
例3：已知)(xf为偶函数时当时当01,1)(,10xxxfx，求)(xf的解析式？
例4：若3)3()2()(2xkxkxf是偶函数，讨论函数)(xf的单调区间？

0
1 2
1
X

Y
例5：已知函数)0()(2acbxaxxf是偶函数，判断cxbxaxxg23)(的奇偶性。
例6：定义在R上的偶函数)(xf在)0,(是单调递减，若)123()12(22aafaaf，
则a的取值范围是如何？

例7（2004.上海理）设奇函数f(x)的定义域为[-5,5].若当x∈[0,5]时, f(x)的图象如右图,
则不等式0xf的解是 .

例8.已知函数1().21xfxa，若fx为奇函数，则a________。
一、函数的奇偶性的判断
判断函数的奇偶性大致有下列两种方法：
第一种方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查)(xf是否与)(xf、)(xf 相等，判断步
骤如下：
③、定义域是否关于原点对称；

④、数量关系)()(xfxf哪个成立；

例1：判断下列各函数是否具有奇偶性
⑴、xxxf2)(3 ⑵、2432)(xxxf

⑶、1)(23xxxxf ⑷、2211)(xxxf
解：⑴为奇函数 ⑵为偶函数 ⑶为非奇非偶函数 ⑷既是奇函数也是偶函数
二、关于奇偶函数的图像特征

例1：已知偶函数)(xfy在y轴右则时的图像如图（一）试画出函数y轴右则的图像。

三、关于函数奇偶性的简单应用
1、利用奇偶性求函数值
例1：已知8)(35bxaxxxf且10)2(f，那么)2(f

2、利用奇偶性比较大小
例2：已知偶函数)(xf在0,上为减函数，比较)5(f，)1(f，)3(f的大小。

0 1 2 1 X
Y
3.利用奇偶性求解析式
例3：已知)(xf为偶函数时当时当01,1)(,10xxxfx，求)(xf的解析式？

4、利用奇偶性讨论函数的单调性
例4：若3)3()2()(2xkxkxf是偶函数，讨论函数)(xf的单调区间？

5、利用奇偶性判断函数的奇偶性
例5：已知函数)0()(2acbxaxxf是偶函数，判断cxbxaxxg23)(的奇偶
性。

6、利用奇偶性求参数的值
例6：定义在R上的偶函数)(xf在)0,(是单调递减，若
)123()12(22aafaaf
，则a的取值范围是如何？

7、利用图像解题
例7（2004.上海理）设奇函数f(x)的定义域为[-5,5].若当x∈[0,5]时, f(x)
的图象如右图,则不等式0xf的解是 .

8.利用定义解题
例8.已知函数1().21xfxa，若fx为奇函数，则a________。