2020高考数学刷题首选卷考点测试7函数的奇偶性与周期性(理)(含解析)

1 / 9函数的奇偶性与周期性精选习题一、选择题1．（奇偶性与反函数结合求值）已知函数()()2g x f x x =+是奇函数，当0x >时，函数()f x 的图象与函数2y log x =的图象关于y x =对称，则()()12g g -+-=（ ）. A ．-7B ．-9C ．-11D ．-132．（利用奇偶函数的对称性求值）已知函数2()cos 2121x f x x x π⎛⎫=-++ ⎪+⎝⎭，则()f x 的最大值与最小值的和为 A ．0B ．1C ．2D ．43．（利用函数的奇偶性判断图象）函数()21sin 1xx e f x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图象大致形状为（ ） A ． B ．C ．D ．4．（利用奇偶性单调性比较大小）设函数()f x 是定义在实数集上的奇函数，在区间[1,0)-上是增函数，且(2)()f x f x +=-，则有（ ）A ．13()()(1)32f f f <<B ．31(1)()()23f f f <<C ．13(1)()()32f f f <<D ．31()(1)()23f f f <<5．（利用奇偶性周期性求函数值）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(5)(3)f x f x +=-，如果当[0,4)x ∈时，2()log (2)f x x =+，则(766)f =（ ）A ．3B ．-3C ．2D ．-26．（利用奇偶性周期性判断方程根的个数）函数()f x 对于任意实数x ，都()()f x f x -=与2 / 9(1)(1)f x f x -=+成立，并且当01x ≤≤时，()2f x x =.则方程()02019xf x -=的根的个数是（ ）A ．2020B ．2019C ．1010D ．10097．（利用奇偶性周期性求字母范围）设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有()()22f x f x -=+，且当[]2,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若关于x 的方程()()log 20(1)a f x x a -+=>在区间(]2,6-内恰有三个不同实根，则实数a 的取值范围是（ ） A．B．)2C．2⎤⎦D．2⎤⎦二、填空题8．（利用奇偶性解不等式）已知()f x 是R 上的偶函数，且当0x ≥时，()23f x x x =-，则不等式()22f x -≤的解集为___．9．（奇偶性与导函数结合）已知定义在()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数()f x 的导函数为()f x '，对定义域内的任意x ，都有()()22f x xf x '+<成立，则使得()()22424x f x f x -<-成立的x 的取值范围为_____．10（由函数图象判断周期性求函数值）如图，边长为1的正方形ABCD ，其中边DA 在x 轴上，点D 与坐标原点重合，若正方形沿x 轴正向滚动，先以A 为中心顺时针旋转，当B 落在x 轴上时，再以B 为中心顺时针旋转，如此继续，当正方形ABCD 的某个顶点落在x 轴上时，则以该顶点为中心顺时针旋转．设顶点C （x ，y ）滚动时形成的曲线为y ＝f （x ），则f （2019）＝________．3 / 9函数的奇偶性与周期性精选习题解析一、选择题1．（奇偶性与反函数结合求值）已知函数()()2g x f x x =+是奇函数，当0x >时，函数()f x 的图象与函数2y log x =的图象关于y x =对称，则()()12g g -+-=（ ）. A ．-7 B ．-9C ．-11D ．-13【答案】C【解析】∵x ＞0时，f （x ）的图象与函数y ＝log 2x 的图象关于y ＝x 对称； ∴x ＞0时，f （x ）＝2x ；∴x ＞0时，g （x ）＝2x +x 2，又g （x ）是奇函数；∴g （﹣1）+g （﹣2）＝﹣[g （1）+g （2）]＝﹣（2+1+4+4）＝﹣11． 故选C ．2．（利用奇偶函数的对称性求值）已知函数2()cos 2121x f x x x π⎛⎫=-++ ⎪+⎝⎭，则()f x 的最大值与最小值的和为 A ．0 B ．1C ．2D ．4【答案】C【解析】对()f x 整理得，()22cos 21sin 21211x x f x x x x x π⎛⎫=-++=++ ⎪++⎝⎭ 而易知2sin 2,1xy x y x ==+都是奇函数， 则可设()()21sin 21g x f x x xx =-++=，可得()g x 为奇函数，即()g x 关于点()0,0对称所以可知()()1f x g x =+关于点()0,1对称，所以()f x 的最大值和最小值也关于点()0,1，因此它们的和为2. 故选C 项.3．（利用函数的奇偶性判断图象）函数()21sin 1xx e f x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图象大致形状为（ ）4 / 9A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】()211sin sin 11x x xe xf x x e e -⎛⎫=-=⋅ ⎪++⎝⎭， ()()()()11sin sin sin 1111x x xx x xe e e x x xf x f x e e e----=⋅-=⋅---=++⋅=+， 所以()f x 为偶函数，排除CD ；()221s 202in 1e e f -=⋅<+，排除B ，故选：A4．（利用奇偶性单调性比较大小）设函数()f x 是定义在实数集上的奇函数，在区间[1,0)-上是增函数，且(2)()f x f x +=-，则有（ ）A ．13()()(1)32f f f <<B ．31(1)()()23f f f <<C ．13(1)()()32f f f <<D ．31()(1)()23f f f <<【答案】A【解析】Q ()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-，又Q (2)()f x f x +=-11f f ,f (1)f (1)33⎛⎫⎛⎫∴=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3112222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，5 / 9又1111023--<-<-≤Q …，且函数在区间[1,0)-上是增函数， 11f (1)f f 023⎛⎫⎛⎫∴-<-<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11f (1)f f 23⎛⎫⎛⎫∴-->-->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭31(1)23f f f ⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A.5．（利用奇偶性周期性求函数值）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(5)(3)f x f x +=-，如果当[0,4)x ∈时，2()log (2)f x x =+，则(766)f =（ ）A ．3B ．-3C ．2D ．-2【答案】C【解析】由()()53f x f x +=-，得()()8f x f x +=，所以()f x 是周期为8的周期函数，当[)0,4x ∈时，()()2log 2f x x =+，所以()()()76696822f f f =⨯-=-，又()f x 是定义在R 上的偶函数所以()()222log 42f f -===.故选C 。

高考数学一轮复习函数的奇偶性与周期性专题检测（带答案）验证奇偶性的前提要求函数的定义域必需关于原点对称。

以下是函数的奇偶性与周期性专题检测，请大家细心停止检测。

一、选择题1.设f(x)为定义在R上的奇函数.当x0时，f(x)=2x+2x+b(b 为常数)，那么f(-1)等于().A.3 B.1 C.-1 D.-3解析由f(-0)=-f(0)，即f(0)=0.那么b=-1，f(x)=2x+2x-1，f(-1)=-f(1)=-3.答案 D2.定义在R上的奇函数，f(x)满足f(x+2)=-f(x)，那么f(6)的值为 ().A.-1B.0C.1D.2(结构法)结构函数f(x)=sin x，那么有f(x+2)=sin=-sin x=-f(x)，所以f(x)=sin x是一个满足条件的函数，所以f(6)=sin 3=0，应选B.答案 B3.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(x+2)，当x[3,5]时，f(x)=2-|x-4|，那么以下不等式一定成立的是().A.ffB.f(sin 1)f(sin 2)解析当x[-1,1]时，x+4[3,5]，由f(x)=f(x+2)=f(x+4)=2-|x+4-4|=2-|x|，显然当x[-1,0]时，f(x)为增函数;当x[0,1]时，f(x)为减函数，cos=-，sin =，又f=ff，所以ff.答案 A4.函数f(x)=那么该函数是().A.偶函数，且单调递增B.偶函数，且单调递减C.奇函数，且单调递增D.奇函数，且单调递减解析当x0时，f(-x)=2-x-1=-f(x);当x0时，f(-x)=1-2-(-x)=1-2x=-f(x).当x=0时，f(0)=0，故f(x)为奇函数，且f(x)=1-2-x在[0，+)上为增函数，f(x)=2x-1在(-，0)上为增函数，又x0时1-2-x0，x0时2x-10，故f(x)为R上的增函数.答案 C.f(x)是定义在R上的周期为2的周期函数，当x[0,1)时，f(x)=4x-1，那么f(-5.5)的值为()A.2B.-1C.-D.1解析 f(-5.5)=f(-5.5+6)=f(0.5)=40.5-1=1.答案 .设函数D(x)=那么以下结论错误的选项是().A.D(x)的值域为{0,1}B.D(x)是偶函数C.D(x)不是周期函数D.D(x)不是单调函数解析显然D(x)不单调，且D(x)的值域为{0,1}，因此选项A、D正确.假定x是在理数，-x，x+1是在理数;假定x是有理数，-x，x+1也是有理数.D(-x)=D(x)，D(x+1)=D(x).那么D(x)是偶函数，D(x)为周期函数，B正确，C错误.答案 C二、填空题.假定函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数，那么实数a=________. 解析由题意知，函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数，那么f(1)=f(-1)，1-|1+a|=1-|-1+a|，a=0.答案 0.y=f(x)+x2是奇函数，且f(1)=1.假定g(x)=f(x)+2，那么g(-1)=________.解析由于y=f(x)+x2是奇函数，且x=1时，y=2，所以当x=-1时，y=-2，即f(-1)+(-1)2=-2，得f(-1)=-3，所以g(-1)=f(-1)+2=-1.答案 -1.设奇函数f(x)的定义域为[-5,5]，当x[0,5]时，函数y=f(x)的图象如下图，那么使函数值y0的x的取值集合为________.解析由原函数是奇函数，所以y=f(x)在[-5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y=f(x)在[0,5]上的图象，得它在[-5,0]上的图象，如下图.由图象知，使函数值y0的x的取值集合为(-2,0)(2,5).答案 (-2,0)(2,5) 10. 设f(x)是偶函数，且当x0时是单调函数，那么满足f(2x)=f的一切x之和为________.解析 f(x)是偶函数，f(2x)=f，f(|2x|)=f，又f(x)在(0，+)上为单调函数，|2x|=，即2x=或2x=-，整理得2x2+7x-1=0或2x2+9x+1=0，设方程2x2+7x-1=0的两根为x1，x2，方程2x2+9x+1=0的两根为x3，x4.那么(x1+x2)+(x3+x4)=-+=-8.-8三、解答题.f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对恣意x，y，f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y).(1)求f(1)，f(-1)的值;(2)判别函数f(x)的奇偶性.解 (1)由于对定义域内恣意x，y，f(x)满足f(xy)=yf(x)+xf(y)，所以令x=y=1，得f(1)=0，令x=y=-1，得f(-1)=0.(2)令y=-1，有f(-x)=-f(x)+xf(-1)，代入f(-1)=0得f(-x)=-f(x)，所以f(x)是(-，+)上的奇函数..函数f(x)对恣意x，yR，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且x0时，f(x)0，f(1)=-2.(1)求证f(x)是奇函数;(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.(1)证明令x=y=0，知f(0)=0;再令y=-x，那么f(0)=f(x)+f(-x)=0，所以f(x)为奇函数.(2)解任取x10，所以f(x2-x1)=f[x2+(-x1)]=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1)0，所以f(x)为减函数.而f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=3f(1)=-6，f(-3)=-f(3)=6.所以f(x)max=f(-3)=6，f(x)min=f(3)=-6.函数f(x)是(-，+)上的奇函数，且f(x)的图象关于x=1对称，当x[0,1]时，f(x)=2x-1，(1)求证：f(x)是周期函数;(2)当x[1,2]时，求f(x)的解析式;(3)计算f(0)+f(1)+f(2)++f(2021)的值.(1)证明函数f(x)为奇函数，那么f(-x)=-f(x)，函数f(x)的图象关于x=1对称，那么f(2+x)=f(-x)=-f(x)，所以f(4+x)=f[(2+x)+2]=-f(2+x)=f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数.(2) 当x[1,2]时，2-x[0,1]，又f(x)的图象关于x=1对称，那么f(x)=f(2-x)=22-x-1，x[1,2].(3)f(0)=0，f(1)=1，f(2)=0，f(3)=f(-1)=-f(1)=-1又f(x)是以4为周期的周期函数.f(0)+f(1)+f(2)++f(2021)=f(2 012)+f(2 013)=f(0)+f(1)=1..函数f(x)的定义域为R，且满足f(x+2)=-f(x).(1)求证：f(x)是周期函数;(2)假定f(x)为奇函数，且当01时，f(x)=x，求使f(x)=-在[0,2 014]上的一切x的个数.(1)证明 f(x+2)=-f(x)，f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x)，f(x)是以4为周期的周期函数.(2)解当01时，f(x)=x，设-10，那么01，f(-x)=(-x)=-x.f(x)是奇函数，f(-x)=-f(x)，-f(x)=-x，即f(x)=x.故f(x)=x(-11).函数的奇偶性与周期性专题检测及答案的全部内容就是这些，查字典数学网希望对考生温习函数的知识有协助。

2020年高考数学（理）集合与函数突破性讲练07 函数的奇偶性与周期性一、考点传真：1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.二、知识的梳理：1.函数的奇偶性2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x ＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.[微点提醒]1.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.3.函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).(2)若f(x＋a)＝1f（x），则T＝2a(a>0).(3)若f(x＋a)＝－1f（x），则T＝2a(a>0).4.对称性的三个常用结论(1)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称.(2)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )或f (－x )＝f (2a ＋x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称. (3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )的图象关于点(b ，0)中心对称. 三、例题：例1. （2019全国卷Ⅲ）设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则A ．f （log 314）＞f （322-）＞f （232-）B ．f （log 314）＞f （232-）＞f （322-） C ．f （322-）＞f （232-）＞f （log 314）D ．f （232-）＞f （322-）＞f （log 314） 【答案】C【解析】 ()f x 是定义域为R 的偶函数，所以331(log )(log 4)4f f =， 因为33log 4log 31>=，2303202221--<<<=，所以23323022log 4--<<<，又()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以233231(2)(2)(log )4f f f -->>. 故选C ．例2. （2019全国卷Ⅱ）已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e axf x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________.【答案】3【解析】由已知：f (−ln2)=−e aln2=−2a =−8,所以a=3例3.（2019全国卷Ⅰ）函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】D2sin cos ++x xx x【解析】： 因为()2sin cos x x f x x x+=+，π[]πx ∈-，，所以()()()22sin sin cos cos x x x x f x f x x x x x --+-===--++， 所以()f x 为[ππ]-，上的奇函数，因此排除A ； 又()22sin ππππ0cos ππ1πf +==>+-+，因此排除B ，C ； 故选D ．例4. (2018全国卷Ⅱ)已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)-=+f x f x ． 若(1)2=f ，则(1)(2)(3)(50)++++=…f f f f A ．50-B ．0C ．2D ．50【答案】C【解析】解法一 ∵()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，()()-=-f x f x ． 且(0)0=f ．∵(1)(1)-=+f x f x ，∴()(2)=-f x f x ，()(2)-=+f x f x∴(2)()+=-f x f x ，∴(4)(2)()+=-+=f x f x f x ，∴()f x 是周期函数，且一个周期为4，∴(4)(0)0==f f ，(2)(11)(11)(0)0=+=-==f f f f ， (3)(12)(12)(1)2=+=-=-=-f f f f ，∴(1)(2)(3)(50)120(49)(50)(1)(2)2+++⋅⋅⋅+=⨯++=+=f f f f f f f f ， 故选C ．解法二 由题意可设()2sin()2f x x π=，作出()f x 的部分图象如图所示．由图可知，()f x 的一个周期为4，所以(1)(2)(3)(50)+++⋅⋅⋅+f f f f ， 所以(1)(2)(3)(50)120(1)(2)2+++⋅⋅⋅+=⨯++=f f f f f f ，故选C ．例5. （2017全国卷Ⅰ）函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(1)1f =-，则满足1(2)1f x --≤≤ 的x 的取值范围是A ．[−2,2]B ．[−1,1]C ．[0,4]D ．[1,3] 【答案】D【解析】由函数()f x 为奇函数，得(1)(1)1f f -=-=， 不等式1(2)1f x --≤≤即为(1)(2)(1)f f x f --≤≤，又()f x 在(,)-∞+∞单调递减，所以得121x --≥≥，即13x ≤≤，选D ．例6．（2017天津高考）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =．若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】C【解析】由题意()g x 为偶函数，且在(0,)+∞上单调递增， 所以22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=又2222log 4log 5.1log 83=<<=，0.8122<<， 所以0.822log 5.13<<，故b a c <<，选C ．四、巩固练习1.下列函数中，既是偶函数，又在(0，1)上单调递增的函数是( ) A.y ＝|log 3x | B.y ＝x 3C.y ＝e |x |D.y ＝cos |x |【答案】C【解析】 对于A 选项，函数定义域是(0，＋∞)，故是非奇非偶函数，显然B 项中，y ＝x 3是奇函数. 对于C 选项，函数的定义域是R ，是偶函数，且当x ∈(0，＋∞)时，函数是增函数，故在(0，1)上单调递增，正确.对于D 选项，y ＝cos |x |在(0，1)上单调递减.2.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3（x ＋1），x ≥0，g （x ），x <0， 则g (－8)＝( )A.－2B.－3C.2D.3【答案】A【解析】 法一 当x <0时，－x >0，且f (x )为奇函数， 则f (－x )＝log 3(1－x )，所以f (x )＝－log 3(1－x ). 因此g (x )＝－log 3(1－x )，x <0， 故g (－8)＝－log 39＝－2.法二 由题意知，g (－8)＝f (－8)＝－f (8)＝－log 39＝－2.3.已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(－2，0)时，f (x )＝2x 2，则f (2 019)等于( ) A.－2 B.2C.－98D.98【答案】B【解析】由f (x ＋4)＝f (x )知，f (x )是周期为4的函数，f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)，又f (x ＋4)＝f (x )，∴f (3)＝f (－1)， 由－1∈(－2，0)得f (－1)＝2， ∴f (2 019)＝2.4. 已知在R 上是奇函数，且满足，当时，，则（ ）A 、-12B 、-16C 、-20D 、0 【答案】A【解析】因为()()5f x f x +=-，所以()()()105f x f x f x +=-+=，()f x 的周期为10，因此()()()()20164416412f f f =-=-=--=-，故选A ．5. 设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝{log 2(x +1),x ≥0g (x ),x <0则f (－7)＝( )A ．3B ．－3C ．2D ．－2【答案】B【解析】 因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数， 且f (x )＝{log 2(x +1),x ≥0g (x ),x <0所以f (－7)＝－f (7)＝－log 2(7＋1)＝－3.6.已知奇函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝0，若f (x －1)>0，则x 的取值范围为( ) A.{x |0<x <1或x >2} B.{x |x <0或x >2} C.{x |x <0或x >3} D.{x |x <－1或x >1} 【答案】A()x f ()()x f x f -=+5()5,0∈x ()x x x f -=2()=2016f【解析】 由题意知函数f (x )在(－∞，0)上单调递增，且f (－1)＝0， 不等式f (x －1)>0⇔f (x －1)>f (1)或f (x －1)>f (－1). ∴x －1>1或0>x －1>－1， 解之得x >2或0<x <1.7.若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x，则g (x )＝( ) A ．e x －e －xB.12(e x ＋e －x)C.12(e －x －e x )D.12(e x －e －x)【答案】D【解析】因为f (x )＋g (x )＝e x ，所以f (－x )＋g (－x )＝f (x )－g (x )＝e －x， 所以g (x )＝12(e x －e －x)．8. 已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9【答案】B【解析】因为f (x )是最小正周期为2的周期函数，且0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ＝x (x －1)(x ＋1)， 所以当0≤x <2时，f (x )＝0有两个根，即x 1＝0，x 2＝1.由周期函数的性质知，当2≤x <4时，f (x )＝0有两个根，即x 3＝2，x 4＝3；当4≤x ≤6时，f (x )＝0有三个根，即x 5＝4，x 6＝5，x 7＝6，故f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为7. 9.若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 【答案】1【解析】 f (x )为偶函数，则y ＝ln(x ＋a ＋x 2)为奇函数， 所以ln(x ＋a ＋x 2)＋ln(－x ＋a ＋x 2)＝0， 则ln(a ＋x 2－x 2)＝0，∴a ＝1.10.若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝________.【答案】-2【解析】 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (0)＝0，又f (x )在R 上的周期为2，∴f (2)＝f (0)＝0.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝－2. 11. 定义在上的奇函数，对于，都有，且满足，，则实数的取值范围是 . 【答案】或【解析】：由33()()44f x f x +=-，因此函数()f x 图象关于直线34x =对称，又()f x 是奇函数，因此它也是周期函数，且3434T =⨯=，∵(4)2f >-，∴(4)(4)2f f -=-<，∴(2)(232)(4)f f f =-⨯=-，即32m m-<，解得103x x <-<<或. 12.设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0，1]时，f (x )＝2x ，则有①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1，2)上是减函数，在(2，3)上是增函数； ③函数f (x )的最大值是1，最小值是0. 其中所有正确命题的序号是________. 【答案】①②【解析】 在f (x ＋1)＝f (x －1)中，令x －1＝t ， 则有f (t ＋2)＝f (t )，因此2是函数f (x )的周期，故①正确； 当x ∈[0，1]时，f (x )＝2x是增函数，根据函数的奇偶性知，f (x )在[－1，0]上是减函数，根据函数的周期性知，函数f (x )在(1，2)上是减函数，在(2，3)上是增函数，故②正确；由②知，f (x )在[0，2]上的最大值f (x )max ＝f (1)＝2，f (x )的最小值f (x )min ＝f (0)＝f (2)＝20＝1且f (x )是周期为2的周期函数，∴f (x )的最大值是2，最小值是1，故③错误.13.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x 成立. (1)证明y ＝f (x )是周期函数，并指出其周期；R )(x f R x ∈∀)43()43(x f x f -=+2)4(->f mm f 3)2(-=m 1-<m 30<<m(2)若f (1)＝2，求f (2)＋f (3)的值；(3)若g (x )＝x 2＋ax ＋3，且y ＝|f (x )|·g (x )是偶函数，求实数a 的值.【解析】 (1)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ， 且f (－x )＝－f (x )，知f (3＋x )＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32－⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f (－x )＝f (x )，所以y ＝f (x )是周期函数，且T ＝3是其一个周期. (2)因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，且f (－1)＝－f (1)＝－2，又T ＝3是y ＝f (x )的一个周期，所以f (2)＋f (3)＝f (－1)＋f (0)＝－2＋0＝－2.(3)因为y ＝|f (x )|·g (x )是偶函数，且|f (－x )|＝|－f (x )|＝|f (x )|，所以|f (x )|为偶函数. 故g (x )＝x 2＋ax ＋3为偶函数，即g (－x )＝g (x )恒成立， 于是(－x )2＋a (－x )＋3＝x 2＋ax ＋3恒成立. 于是2ax ＝0恒成立，所以a ＝0. 14.已知函数()33x x f x λ-=+⋅()R λ∈（1） 当1λ=时，试判断函数()33x x f x λ-=+⋅的奇偶性，并证明你的结论； （2） 若不等式()6f x ≤在[]0,2x ∈上恒成立，求实数λ的取值范围． 【答案】（1）偶函数；（2）27λ-≤.【解析】（1） 由特殊情形可判定函数奇偶性，证明时先确定函数定义域关于原点对称，再证明()()f x f x -= 成立（2）不等式恒成立问题，一般利用变量分离，将其转化为对应函数最值：3(63)x x λ-≤的最小值，再根据二次函数对称轴与定义区间位置关系确定其最值 试题解析：（1） 函数()33x x f x λ-=+⋅为偶函数15.设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x . (1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积. 【解析】 (1)由f (x ＋2)＝－f (x )得，f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数，所以f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由f (x )是奇函数且f (x ＋2)＝－f (x )， 得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]， 即f (1＋x )＝f (1－x ).故知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称.又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如下图所示.当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4.。

5.已知定义在R上的奇函数 ，满足 ，且在区间[0，2]上是增函数，若方程f(x)=m(m>0)在区间 上有四个不同的根 ，则
6．(多选题)函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数，则()
A.f(x)为奇函数B.f(x)为周期函数
C.f(x＋3)为奇函数D.f(x＋4)为偶函数
专题03函数的奇偶性、对称性、周期性
【方法点拨】
1.常见的与周期函数有关的结论如下：
(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
(2)如果f(x＋a)＝ (a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
对于 ， 是函数 的一条对称轴，且函数 是周期为4的周期函数，则 是函数 的一条对称轴，
又由函数为奇函数，则直线 是函数 图象的一条对称轴， 正确；
对于 ，函数 在 ， 上有7个零点：分别为 ， ， ，0，2，4，6； 错误；
对于 ， 在区间 ， 上为增函数且其周期为4，函数 在 ， 上为增函数，
又由 为函数 图象的一条对称轴，则函数 在 ， 上为减函数， 正确；
2.函数奇偶性、对称性间关系：
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；一般的，若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝ 对称．
(2)若函数y＝f(x＋a)是奇函数，即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝0恒成立，则函数y＝f(x)关于点(a，0)中心对称；一般的，若对于R上的任意x都有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b恒成立，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称.

(4)奇、偶函数的性质：在公共定义域内、奇函数·奇函数＝偶函数、奇函数＋奇函数＝偶函数、偶函数·偶函数＝偶函数、偶函数＋偶函数＝偶函数、奇函数·偶函数＝奇函数．
2．函数周期性的三个常用结论
对函数f(x)定义域内任意一个自变量x都有：(如下a>0)：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)、则T＝2a；
(2)若f(x＋a)＝ 、则T＝2a；
法二：当x<0时、－x>0、f(－x)＝log3(－x)－2、
∴f(x)＝－f(－x)＝－log3(－x)＋2、
即g(x)＝－log3(－x)＋2、∴g(－3)＝－log33＋2＝1、
∴f(g(－3))＝f(1)＝log31－2＝0－2＝－2.故选B.]
[命题角度2]利用奇偶性求参数值
2．若函数f(x)＝xln (x＋ )为偶函数、则a＝________.
C．y＝2cosx＋1D．y＝x2＋2x
解析：A[由函数奇偶性的定义知、B、C中的函数为偶函数、D中的函数为非奇非偶函数、只有A中的函数为奇函数、故选A.]
3．(20xx·××市一模)设偶函数f(x)对任意x∈R、都有f(x＋3)＝－ 、且当x∈[－3、－2]时、f(x)＝4x、则f(107.5)＝( )
2020新课标高考艺术生数学复习：函数的奇偶性与周期性含解析
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第3节 函数的奇偶性与周期性
最新考纲
核心素养
考情聚焦
1.结合具体函数、了解函数奇偶性的概念和几何意义．
2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．
3.结合三角函数、了解函数周期性的概念和几何意义．
1．函数的奇偶性

2020届理科高考数学专题练习含解析（函数的奇偶性与周期性）1、已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,且()f x 在R 上单调递增,若,,a b c 成等差数列,且0b >,下列结论正确的是( )A.()0f b >,且()()0f a f c +> B.()0f b >,且()()0f a f c +< C.()0f b <,且()()0f a f c +> D.()0f b <,且()()0f a f c +<2、已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()20f x f x +=+，且当1[]0,x ∈时，()21=log ()f x x +，则下列不等式正确的是() A.()()2log 756()f f f -<< B.()()2log 7()65f f f -<< C.()()25log (76)f f f <<- D.()()256o )l g 7(f f f -<<3、下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( ) A.13y x = B.3x y = C.tan y x = D.lg y x =4、已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)()f x f x +=-,当(0,1)x ∈时，()1f x x =-，则函数4()log y f x x =-的零点个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.55、奇函数()f x 在区间[3,6]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为-1，则(6)(3)f f +-的值为( )A.10B.-10C.9D.156、下列函数中，既是偶函数，又在(,0)-∞内单调递增的为（ ）A.42y x x =+B.||2x y =C.22x x y -=-D.12log ||1y x =- 7、已知()f x 是定义在[2,1]b b -+上的偶函数,且在[2,0]b -上为增函数,则(1)(2)f x f x -≤的解集为( )A. 2[1,]3- B. 1[1,]3- C. [1,1]- D. 1[,1]38、定义在R 上的函数()f x 在()6,+∞上为增函数，且函数()6f x +为偶函数，则（ ） A.()()58f f > B. ()()47f f > C.()()57f f > D.()()45f f <9、下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞上单调递减的是( )A ．()e x f x =B ．1()f x x x =+C ．()lg f x x = D. 2()f x x =-10、偶函数()y f x =在(,0]-∞上为增函数，且(3)(210)0f a f a --<,则实数a 的取值范围是（ ）A. (,10)-∞-B.(,10)(2,)-∞-⋃+∞C. (2,)+∞D. (10,2)-11、已知函数()y f x =是奇函数，当0x ≥时，2()f x x =，则(2)f -=_______.12、已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当[0,)x ∈+∞时，2()2f x x x =+，则(,0)x ∈-∞时，()f x =____________13、若函数()f x 是偶函数0x ≥时,()1(1)f x g x =+,则满足(21)1f x +<的实数x 取值范围是________．14、已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =.若()10f x ->，则x 的取值范围__________.15、已知函数2()1ax b f x x +=+为定义在R 上的奇函数，且12()25f =． 1.求函数()f x 的解析式； 2.若不等式()f x m ≤对任意实数1[,2]2x ∈恒成立，求实数m 的取值范围。

2020届高考数学专题复习-3.3 函数的奇偶性一、选择题1．设f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x≤0时，f （x ）=2x 2-x ，则f （1）=（ ） A ．1 B ．3 C ．3- D ．0【答案】C 【解析】∵f（x ）是定义在R 上的奇函数，∴f（-x ）=-f （x ）， 又当x≤0时，f （x ）=2x 2-x ，∴f（-1）=3， ∴f（1）=-f （-1）=-3， 故选：C ．2．若3f x ax x c =++（）在[]a b ，上是奇函数，则2a b c +++的值为（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2【答案】D 【解析】∵奇函数的定义域关于原点对称，所以0a b += ∵奇函数的图象关于原点对称，∴f x f x -=-（）（）即33ax x c ax x c --+=--- ∴0c =∴22a b c +++=． 故选：D ．3．在定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A ．1()f x x=B ．1()f x x x=-+C ．()||f x x x =-D ．1,(0,)()1,(,0]x x f x x x -+∈+∞⎧=⎨--∈-∞⎩【答案】C 【解析】()1f x x=在定义域(,0)-∞ (0,)+∞内是奇函数,但不是减函数，在区间(,0)-∞和(0,)+∞上都是减函数()1f x x x=-+在定义域(,0)-∞ (0,)+∞内是奇函数,但不是减函数，在区间(,0)-∞和(0,)+∞上都是减函数()()(]22,0,,,,0x x f x x x x x ⎧-∈+∞⎪=-=⎨∈-∞⎪⎩在定义域(,)-∞+∞内既是奇函数又是减函数()()(]1,0,,1,,0x x f x x x ⎧-+∈+∞⎪=⎨--∈-∞⎪⎩在定义域(,)-∞+∞内不是奇函数（因为()010f =-≠），综上选C.4．已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x ，则（ ） A ．()()f x g x +是奇函数 B ．()()f x g x ⋅是奇函数 C ．()()f x g x ⋅是偶函数 D ．()()f x g x ⋅是偶函数【答案】D 【解析】A ．若f （x ）=x ，g （x ）=2，满足条件，则f （x ）+g （x ）不是奇函数，故A 错误，B ．|f （-x ）|g （-x ）=|-f （x ）|g （x ）=|f （x ）|g （x ）是偶函数，故B 错误，C ．f （-x ）•g（-x ）=-f （x ）•g（x ），则函数是奇函数，故C 错误，D ．f （|-x|）•g（-x ）=f （|x|）•g（x ），则f （|x|）•g（x ）是偶函数，故D 正确 故选：D ．5．若偶函数f （x ）在（﹣∞，﹣1]上是减函数，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】根据题意，f （x ）为偶函数，则f （2）＝f （﹣2），又由函数f （x ）在（﹣∞，﹣1]上是减函数，则f （﹣1）＜f （）＜f （﹣2），即f （﹣1）＜f（）＜f（2），故选：B．6．已知函数，且，那么（）A．2 B．18 C．－10 D．6【答案】D【解析】令g（x）＝x5+ax3+bx，易得其为奇函数，则f（x）＝g（x）+8，所以f（﹣2）＝g（﹣2）+8＝10，得g（﹣2）＝2，因为g（x）是奇函数，即g（2）＝﹣g（﹣2），所以g（2）＝﹣2，则f（2）＝g（2）+8＝﹣2+8＝6，故选：D．7．已知函数f（x）对任意实数x，y恒有f（x+y）=f（x）+f（y）且当x＞0，f（x）＜0．给出下列四个结论：①f（0）=0；②f（x）为偶函数；③f（x）为R上减函数；④f（x）为R上增函数．其中正确的结论是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：对于①，令x=y=0，则f（0）=f（0）+f（0）=2f（0），∴f（0）=0，①正确；对于②，令y=-x，则f（x-x）=f（x）+f（-x）=0，∴f（-x）=-f（x），f（x）是奇函数，②错误；对于③，）f（x）是R上的减函数，证明如下：任取x1，x2∈R，x1＜x2，则x2﹣x1＞0∴f（x2）﹣f（x1）＝f（x2﹣x1+x1）﹣f（x1）＝f（x2﹣x1）+f（x1）﹣f（x1）＝f（x2﹣x1）<0 ∴f（x1）>f（x2）故f（x）是R上的减函数．③正确，④错误．综上，其中正确的结论是①③． 故选：A ．8．已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，则满足()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 取值范围（ ）A ．12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】因为偶函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，且满足()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，所以1213x -<，解得：1233x <<故选：A9．已知偶函数在区间单调递减，则满足的x 取值范围是A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】根据题意，偶函数在区间单调递减，则在上为增函数，则，解可得：，即x 的取值范围是； 故选：D ． 10．设为奇函数且在内是减函数，，则的解集为A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】由函数是奇函数可知函数在内是减函数，所以在内为减函数，不等式变形为或可知解集故选A.11．若函数是定义在上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】∵偶函数f（x）在上是减函数,∴在[0，+∞）上单调递增，∵f（3）＝0，∴f（x）＞0可化为f（x）＞f（3），函数为偶函数，故f（x）=＞f（3）∴|x|>3，∴x＜-3或x>3，故选：D．12．定义在上的偶函数满足：对任意的，，，有，且，则不等式的解集为A． B．C． D．【答案】A【解析】因为对任意的，，当，有 ,所以,当函数为减函数，又因为是偶函数，所以当时，为增函数，，，作出函数的图象如图：等价为或，由图可知，或，即不等式的解集为，故选A ．二、填空题13．已知()f x 是偶函数，当0x <时，()()1f x x x =+，则()2f =____． 【答案】2 【解析】由偶函数的定义可得：()()()222212f f =-=-⨯-+=. 故答案为：2．14．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()223f x x x =-+，则当0x <时，函数()f x 的解析式是______．【答案】()223f x x x =---【解析】设0x <，则0x ->，又因为函数()f x 是奇函数，所以()()f x f x =--= ()()223x x ⎡⎤----+⎣⎦223x x =---． 故答案为()223f x x x =---．15．函数是奇函数，当时，，且，则______．【答案】8 【解析】 根据题意，函数是奇函数，且，则，又由当时，，则，解可得；故答案为：8． 16．设是定义在R 上的奇函数，且当时，，若对于任意的，不等式恒成立，则实数t 的取值范围是______．【答案】【解析】当时，，函数是奇函数当时，，在R 上是单调递增函数， 且满足，不等式在恒成立，在恒成立，即：在恒成立，，解得：，故答案为：．三、解答题17．判别并证明函数()f x =的奇偶性．【答案】见解析 【解析】()f x 是奇函数，证明如下：()f x 的定义域为{|22x x -≤≤，且0}x ≠；()()f x f x -==-； ()f x ∴是奇函数． 18．已知函数()21x af x x +=+为奇函数． （1）求a 的值；（2）判断函数()f x 在()11-，上的单调性，并证明． 【答案】(1) 0a = (2)见解析 【解析】（1）根据题意，()2+1x af x x +=为奇函数，则()()0f x f x -+=， 即22011x a x a x x -++⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，解可得0a =； （2）由（1）的结论，()21xf x x =+，在()1,1-上为增函数； 证明：任取1x ，()211x ，∈-，且12x x <， 则()()1212221211x x f x f x x x -=-++ ()()()()2212212212+111+1x x x x x x -+=+= ()()2212121222121+1x x x x x x x x +--+ ()()()()12212122121+1x x x x x x xx ---=+ ()()()()1221221211+1x x x x xx --=+，又由1x ，()211x ，∈-，且12x x <，则1210x x -<，210x x ->，2110x +>，2210x +> 则有()()120f x f x -<，所以函数()f x 在()1,1-上单调递增． 19．已知函数()2mf x x x=-的图象过点(1,1)P . （1）求实数m 的值，并证明函数()f x 为奇函数；（2）判断函数()f x 在(0,)+∞上的单调性，并用定义证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】（1）根据题意，函数()2mf x x x=-的图象过点()1,1P 则有12m =-，解可得1m =，则()12f x x x =-其定义域为{}|0x x ≠，且()()()()1122f x x x f x x x ⎛⎫-=--=--=- ⎪-⎝⎭则函数()f x 为奇函数（2）根据题意，由（1）的结论，()12f x x x=-，则()0,∞+上为增函数 证明：设120x x <<则()()()121212121212111222x x f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=---=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 又由120x x <<，则120x x -<，则()()120f x f x -< 则函数()f x 在()0,∞+上为增函数 20.已知定义在上的函数是增函数.（1）若，求的取值范围；（2）若函数是奇函数，且，解不等式.【答案】(1) (2)【解析】（1）由题意可得，，求得，即的范围是. （2）∵函数是奇函数，且，∴， ∵， ∴，∴，∴，∴.∴不等式的解集为.21．已知函数()()f x x R ∈是奇函数，且当0x >时，()21f x x =-， （1）求函数()f x 的表达式（2）求不等式1(2)f x >-的解集【答案】（1）21,0()0,021,0x x f x x x x ->⎧⎪==⎨⎪+<⎩（2）3{|40x x -<≤或1}4x >【解析】（1）根据题意，函数()()f x x R ∈是奇函数，则()00f =， 当0x <时，0x ->，则()()2121f x x x -=⨯--=--， 又由函数()f x 为奇函数，则()()21f x f x x =--=+，则()21,00,021,0x x f x x x x ->⎧⎪==⎨⎪+<⎩，（2）根据题意，()21,00,021,0x x f x x x x ->⎧⎪==⎨⎪+<⎩，当0x >时，()21f x x =-，此时()12f x >-即1212x ->-，解可得14x >，此时不等式的解集为14x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭， 当0x =时，()00f =，()12f x >-成立；此时不等式的解集为{}0， 当0x <时，()21f x x =+，此时()12f x >-即1212x +>-，解可得34x >-，此时不等式的解集为3{|0}4x x -<<， 综合可得：不等式()12f x >-的解集3{|04x x -<≤或1}4x >． 22．定义在00-∞⋃+∞（，）（，）上的函数y f x （）=满足x f f x f y y=-（）（）（），且函数f x （）在∞（0，+）上是增函数．（1）求1f -（），并证明函数y f x （）=是偶函数；（2）若42f =（），解不等式351f x f x--≤（）（）． 【答案】（1）10f （）-=，证明见解析；（2）{0|x x x ≤＜或02x ≤＜或35x ≤＜或5}6x ≤＜.【解析】（1）令0x y =≠，则10f f x f x =-=（）（）（）， 再令11x y ，==-可得1111f f f f -=--=--（）（）（）（），∴10f （）-=． 令1y =-可得1f x f x f f x -=--=（）（）（）（），∴f x （）是偶函数．（2）∵242f f f =-（）（）（），∴12412f f （）（）==， 又23553x x f x f f x ---=（）（）（）， ∴()2523x x f f -≤（）， ∵f x （）是偶函数，在0（，）+∞上单调递增， ∴25223x x --≤≤且2503x x -≠，解得10x -≤＜或02x ≤＜或35x ≤＜或56x ＜≤．所以不等式的解集为{|0x x x ≤＜或02x ≤＜或35x ≤＜或56}x ＜≤。

1 x2 x 1
( 1 x2 1)2 x2
（D）a2-2M
13．偶函数 y=f(x)在 x∈〔0,+ ∞)时,f(x)=x-1,则 f (x-1)＜0 的解集是( )
（A）{x|-1＜x＜0}
(B){x|x＜o 或 1＜x＜2}
（C){x|0＜x＜2}
(D){x|1＜x＜2}
14．若函数 f(x)=(x+a)3,对任意 t∈R,总有 f(1+t)=-f(1-t)，则 f(2)+f(-2)的值是（ ）
（A）9
（B）-7
（C）-5
（D）-11
4．已知函数 y=f(x)是偶函数，又 y=f(x-2)在[0，2]上是单调减函数，则（ ）
（A）f(0)<f(-1)<f(2)
（B）f(-1)<f(0)<f(2)
（C）f(-1)<f(2)<f(0)
（D）f(2)<f(-1)<f(0)
5．已知 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时，f(x)=x2-2x，则在 R 上 f(x)的表达式
.
x
7、设
f
(x)

lg(1
2
x

a)
是奇函数，则使
f
(x)

0的
x
值的取值范围是
A．（－1，0）
B．（0，1）
（）
C．（－∞,0）
D．（－∞，0）∪（1，+∞）
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8、 f (x), g(x) 是定义在 R 上的函数， h(x) f (x) g(x), 则“ f (x), g(x) 均为偶函数” 是“ h(x) 为偶函数”的

课时跟踪检测(七) 函数的奇偶性与周期性一、题点全面练1．(2018·天水一模)下列函数中，既是奇函数，又是增函数的为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 2C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |解析：选D 对于A ，y ＝x ＋1为非奇非偶函数，不满足条件．对于B ，y ＝－x 2是偶函数，不满足条件．对于C ，y ＝1x是奇函数，但在定义域上不是增函数，不满足条件．对于D ，设f (x )＝x |x |，则f (－x )＝－x |x |＝－f (x )，则函数为奇函数，当x >0时，y ＝x |x |＝x 2，此时为增函数，当x ≤0时，y ＝x |x |＝－x 2，此时为增函数，综上，y ＝x |x |在R 上为增函数．故选D.2．设函数f (x )为偶函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f (－2)＝( ) A ．－12B.12 C ．2D ．－2解析：选B 由已知得f (－2)＝f (2)＝log 22＝12.故选B.3．函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52的值为( ) A.12 B.14 C ．－14D ．－12解析：选A ∵f (x ＋1)＝－f (x )，∴f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，即函数f (x )的周期为2.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝12. 4．(2018·佛山一模)已知f (x )＝2x＋a2x 为奇函数，g (x )＝bx －log 2(4x＋1)为偶函数，则f (ab )＝( )A.174B.52 C ．－154D ．－32解析：选D 根据题意，f (x )＝2x＋a 2x 为奇函数，则f (－x )＋f (x )＝0，即⎝⎛⎭⎪⎫2－x＋a2－x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋a2x ＝0，解得a ＝－1.g (x )＝bx －log 2(4x ＋1)为偶函数，则g (x )＝g (－x )，即bx －log 2(4x ＋1)＝b (－x )－log 2(4－x＋1)， 解得b ＝1，则ab ＝－1， 所以f (ab )＝f (－1)＝2－1－12－1＝－32. 5．定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f x 2－f x 1x 2－x 1<0，则( )A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)解析：选 A ∵f (x )是偶函数，∴f (－2)＝f (2)．又∵任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f x 2－f x 1x 2－x 1<0，∴f (x )在[0，＋∞)上是减函数．又∵1<2<3，∴f (1)>f (2)＝f (－2)>f (3)，故选A.6．(2019·荆州模拟)已知f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当x ∈(0,1)时，f (x )＝3x－1，则f ⎝⎛⎭⎪⎫2 0192＝( )A.3＋1B.3－1 C ．－3－1D ．－3＋1解析：选D 因为f (x )是周期为2的奇函数，所以f (x ＋2)＝f (x )＝－f (－x )，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫2 0192＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 008＋32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12.又当x ∈(0,1)时，f (x )＝3x －1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0192＝－3＋1.7．已知函数f (x )＝a sin x ＋b ln 1－x 1＋x ＋t ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝6，则实数t ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．3解析：选D 令g (x )＝a sin x ＋b ln 1－x 1＋x ，易知g (x )为奇函数，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，则由f (x )＝g (x )＋t ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2t ＝2t ＝6，解得t ＝3.故选D.8．已知f (x )是定义域为(－1,1)的奇函数，而且f (x )是减函数，如果f (m －2)＋f (2m －3)>0，那么实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，53C ．(1,3)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫53，＋∞ 解析：选A ∵f (x )是定义域为(－1,1)的奇函数，∴－1<x <1，f (－x )＝－f (x )，∴f (m －2)＋f (2m －3)>0可转化为f (m －2)>－f (2m －3)，即f (m －2)>f (－2m ＋3)．∵f (x )是减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<m －2<1，－1<2m －3<1，m －2<－2m ＋3，∴1<m <53.9．(2019·洛阳第一次统考)若函数f (x )＝ln(e x＋1)＋ax 为偶函数，则实数a ＝________. 解析：法一：(定义法)∵函数f (x )＝ln(e x ＋1)＋ax 为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即ln(e －x＋1)－ax ＝ln(e x＋1)＋ax ，∴2ax ＝ln(e －x＋1)－ln(e x＋1)＝ln e －x＋1e x ＋1＝ln 1ex ＝－x ，∴2a ＝－1，解得a ＝－12. 法二：(取特殊值)由题意知函数f (x )的定义域为R ，由f (x )为偶函数得f (－1)＝f (1)，∴ln(e －1＋1)－a ＝ln(e 1＋1)＋a ，∴2a ＝ln(e －1＋1)－ln(e 1＋1)＝ln e －1＋1e ＋1＝ln 1e ＝－1，∴a ＝－12.答案：－1210．设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x <1时，f (x )＝2x－1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝________.解析：依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2， 则f (1)＋f (－1)＝0，f (－1)＝f (1)，即f (1)＝0.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋0＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (0) ＝212－1＋20－1 ＝2－1. 答案：2－1二、专项培优练(一)技法专练——活用快得分1．[巧用性质]已知函数f (x )＝2|x |＋1＋x 3＋22|x |＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m 等于( ) A ．0 B ．2 C ．4D ．8解析：选C f (x )＝|x |＋＋x 32|x |＋1＝2＋x32|x |＋1， 设g (x )＝x 32|x |＋1，则g (－x )＝－g (x )(x ∈R)，∴g (x )为奇函数，∴g (x )max ＋g (x )min ＝0.∵M ＝f (x )max ＝2＋g (x )max ，m ＝f (x )min ＝2＋g (x )min ， ∴M ＋m ＝2＋g (x )max ＋2＋g (x )min ＝4. 2．[巧用性质]设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围为________．解析：由已知得函数f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (|x |)， 由f (x )>f (2x －1)，可得f (|x |)>f (|2x －1|)． 当x >0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2，因为y ＝ln(1＋x )与y ＝－11＋x2在(0，＋∞)上都单调递增，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．由f (|x |)>f (|2x －1|)，可得|x |>|2x －1|，两边平方可得x 2>(2x －1)2，整理得3x 2－4x ＋1<0，解得13<x <1.所以x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 3．[数形结合]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解：(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ， 所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，作出f (x )的图象如图所示，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．(二)素养专练——学会更学通4．[逻辑推理]奇函数f (x )的定义域为R.若f (x ＋2)为偶函数，且f (1)＝1，则f (8)＋f (9)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．0D ．1解析：选D 由函数f (x ＋2)为偶函数可得，f (2＋x )＝f (2－x )． 又f (－x )＝－f (x )，故f (2－x )＝－f (x －2)， 所以f (2＋x )＝－f (x －2)，即f (x ＋4)＝－f (x )． 所以f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )， 故该函数是周期为8的周期函数． 又函数f (x )为奇函数，故f (0)＝0. 所以f (8)＋f (9)＝f (0)＋f (1)＝0＋1＝1.5．[逻辑推理]已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)<f (11)解析：选D ∵f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，∴f (x －8)＝f (x )，∴函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)． ∵f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数， ∴f (x )在区间[－2,2]上是增函数， ∴f (－1)＜f (0)＜f (1)， 即f (－25)＜f (80)＜f (11)．6．[数学运算]定义在R 上的函数f (x )，满足f (x ＋5)＝f (x )，当x ∈(－3,0]时，f (x )＝－x －1，当x ∈(0,2]时，f (x )＝log 2x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019)的值等于( )A ．403B ．405C ．806D ．809解析：选B 定义在R 上的函数f (x )，满足f (x ＋5)＝f (x )，即函数f (x )的周期为5.当x ∈(0,2]时，f (x )＝log 2x ，所以f (1)＝log 21＝0，f (2)＝log 22＝1.当x ∈(－3,0]时，f (x )＝－x －1，所以f (3)＝f (－2)＝1，f (4)＝f (－1)＝0，f (5)＝f (0)＝－1.所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝403×[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)]＋f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)＋f (2 019)＝403×1＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝403＋0＋1＋1＋0＝405.7．[数学运算]设函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求函数f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积． 解：(1)由f (x ＋2)＝－f (x )得，f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数，所以f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由f (x )是奇函数且f (x ＋2)＝－f (x )， 得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]， 即f (1＋x )＝f (1－x )．故知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示．当－4≤x ≤4时，设f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4.。

考点06 函数的奇偶性与周期性1．下列函数为奇函数的是( ) A ．f (x )＝x B ．f (x )＝e x C ．f (x )＝cos x D ．f (x )＝e x －e －x【答案】D【解析】对于A ，定义域不关于原点对称，故不是；对于B, f (－x )＝e －x ＝1e x ≠－f (x )，故不是；对于C ，f (－x )＝cos(－x )＝cos x ≠－f (x )，故不是；对于D ，f (－x )＝e －x －e x ＝－(e x －e －x )＝－f (x )，是奇函数，故选D.2．设函数f (x )＝x ＋sin x (x ∈R)，则下列说法错误的是( ) A ．f (x )是奇函数 B ．f (x )在R 上单调递增 C ．f (x )的值域为R D ．f (x )是周期函数【答案】D【解析】因为f (－x )＝－x ＋sin(－x )＝－(x ＋sin x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，故A 正确；因为f ′(x )＝1＋cos x ≥0，所以函数f (x )在R 上单调递增，故B 正确；f (x )的值域为R ，故C 正确；f (x )不是周期函数，故D 错误．3．对于函数f (x )＝a sin x ＋bx 3＋cx ＋1(a ，b ，c ∈R)，选取a ，b ，c 的一组值计算f (1)，f (－1)，所得出的正确结果可能是( ) A ．2和1 B ．2和0 C ．2和－1 D ．2和－2【答案】B【解析】设g (x )＝a sin x ＋bx 3＋cx ，显然g (x )为定义域上的奇函数，所以g (1)＋g (－1)＝0，所以f (1)＋f (－1)＝g (1)＋g (－1)＋2＝2，只有B 选项中两个值的和为2.4．已知函数f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13B ．13C ．－12D ．12【答案】B【解析】∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴b ＝0.又a －1＝－2a ，∴a ＝13，∴a ＋b ＝13.故选B.5．已知y ＝f (x )是偶函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝sin x ，而y ＝f (x ＋1)是奇函数，则a ＝f (－3.5)，b ＝f (7)，c ＝f (12)的大小关系是( ) A ．c ＜b ＜a B ．c ＜a ＜b C ．a ＜c ＜b D ．a ＜b ＜c【答案】B【解析】因为y ＝f (x )是偶函数，所以f (x )＝f (－x )， 因为y ＝f (x ＋1)是奇函数，所以f (x )＝－f (2－x )， 所以f (－x )＝－f (2－x )，即f (x )＝f (x ＋4)． 所以函数f (x )的周期为4，又因为当0≤x ≤1时，f (x )＝sin x ，所以函数在[0，1]上单调递增， 因为a ＝f (－3.5)＝f (－3.5＋4)＝f (0.5)； b ＝f (7)＝f (7－8)＝f (－1)＝f (1)， c ＝f (12)＝f (12－12)＝f (0)， 又因为f (x )在[0，1]上为增函数， 所以f (0)＜f (0.5)＜f (1)，即c ＜a ＜b .6．已知函数f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(－2,0)时，f (x )＝2x 2，则f (2 019)＝( ) A ．－2 B ．2 C ．－98 D ．98【答案】B【解析】由f (x ＋4)＝f (x )知，函数f (x )的周期为4，则f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)， 又f (3)＝f (－1)，且f (－1)＝2，∴f (2 019)＝2.7．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B ．(－1，2)C ．(－2，1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)【答案】C【解析】∵f (x )是奇函数，∴当x ＜0时，－x ＞0，∴f (－x )＝(－x )2－2x ，∴－f (x )＝x 2－2x ，∴f (x )＝－x 2＋2x .作出函数f (x )的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f (x )是R 上的增函数，由f (2－a 2)＞f (a )，得2－a 2＞a ，解得－2＜a ＜1.8．设e 是自然对数的底数，函数f (x )是周期为4的奇函数，且当0<x <2时，f (x )＝－ln x ，则e f (73)的值为( )A.35 B ．34C ．43D ．53【答案】D【解析】因为函数以4为周期，所以f ⎝⎛⎭⎫73＝f ⎝⎛⎭⎫73－4＝f ⎝⎛⎭⎫－53＝－f ⎝⎛⎭⎫53＝ln 53，所以e f (73)＝eln 53＝53.故选D. 9．对任意的实数x 都有f (x ＋2)－f (x )＝2f (1)，若y ＝f (x －1)的图象关于x ＝1对称，且f (0)＝2，则f (2 019)＋f (2 020)＝( ) A ．0 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】∵y ＝f (x －1)的图象关于x ＝1对称，则函数y ＝f (x )的图象关于x ＝0对称，即函数f (x )是偶函数． 令x ＝－1，则f (－1＋2)－f (－1)＝2f (1)， 即f (1)－f (1)＝2f (1)＝0，即f (1)＝0.则f (x ＋2)－f (x )＝2f (1)＝0，即f (x ＋2)＝f (x )，即函数的周期是2，又f (0)＝2，则f (2 019)＋f (2 020)＝f (1)＋f (0)＝0＋2＝2，故选B.10．已知偶函数f (x )的定义域为R ，若f (x －1)为奇函数，且f (2)＝3，则f (5)＋f (6)的值为( ) A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3【答案】C【解析】依题意f (x )在(0，＋∞)上单调递减，且在R 上是奇函数，所以f (x )在(－∞，0)上单调递减，所以f (－2)＝－f (2)＝0，结合图象可知f (x )>0的解集为(－∞，－2)∪(0,2)．故选C.11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，－3x ，x <0，若a [f (a )－f (－a )]>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 【答案】B【解析】由题意，偶函数f (x )在[0，＋∞)上是减函数，即不等式f (a )≥f (x )对任意x ∈[1,2]恒成立，即不等式f (|a |)≥f (|x |)对任意x ∈[1,2]恒成立，所以|a |≤|x |对任意x ∈[1,2]恒成立，所以|a |≤1，则－1≤a ≤1.故选B. 12．已知函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＋f (x )＝0，y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，且f (2)＝4，则f (2 014)＝( ) A ．0 B ．－4 C ．－8 D ．－16【答案】B【解析】由题意可知，函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＝－f (x )，∴f (x ＋12)＝f [(x ＋6)＋6]＝－f (x ＋6)＝f (x )，∴函数f (x )的周期T ＝12.把y ＝f (x －1)的图象向左平移1个单位得y ＝f (x －1＋1)＝f (x )的图象，关于点(0,0)对称，因此函数f (x )为奇函数，∴f (2 014)＝f (167×12＋10)＝f (10)＝f (10－12)＝f (－2)＝－f (2)＝－4.故选B. 13．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x －3)＝－f (x )，在区间⎣⎡⎦⎤0，32上是增函数，且函数y ＝f (x －3)为奇函数，则( )A ．f (－31)＜f (84)＜f (13)B ．f (84)＜f (13)＜f (－31)C ．f (13)＜f (84)＜f (－31)D ．f (－31)＜f (13)＜f (84) 【答案】A.【解析】根据题意，函数f (x )满足f (x －3)＝－f (x )，则有f (x －6)＝－f (x －3)＝f (x )，则函数f (x )为周期为6的周期函数．若函数y ＝f (x －3)为奇函数，则f (x )的图象关于点(－3，0)成中心对称，则有f (x )＝－f (－6－x )，又由函数的周期为6，则有f (x )＝－f (－x )，函数f (x )为奇函数．又由函数在区间⎣⎡⎦⎤0，32上是增函数，则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－32，32上为增函数，f (84)＝f (14×6＋0)＝f (0)，f (－31)＝f (－1－5×6)＝f (－1)，f (13)＝f (1＋2×6)＝f (1)，则有f (－1)＜f (0)＜f (1)，即f (－31)＜f (84)＜f (13)，故选A.14．已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，且当0<x <1时，f (x )＝9x ，则f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (2)＝________. 【答案】－3【解析】∵函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－12－2＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12. 又当0<x <1时，f (x )＝9x ，∴f ⎝⎛⎭⎫－52＝－912＝－3. 又f (2)＝f (0)＝0，∴f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (2)＝－3. 15．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在[0，2]上为增函数，若方程f (x )＝m (m ＞0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4的值为________． 【答案】－8【解析】因为f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，由f (x －4)＝－f (x )可得f (x ＋2)＝－f (x ＋6)＝－f (x －2)，因为f (x )是奇函数，所以f (x ＋2)＝－f (x －2)＝f (2－x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝2对称，结合f (x )在[0，2]上为增函数，可得函数f (x )的大致图象如图，由图看出，四个交点中的左边两个交点的横坐标之和为2×(－6)，另两个交点的横坐标之和为2×2，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－8.16．若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1是定义在[－1－a,2a ]上的偶函数，则f (2a －b )＝________. 【答案】5【解析】∵函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1是定义在[－1－a,2a ]上的偶函数，∴－1－a ＋2a ＝0，即a ＝1. ∵f (x )＝f (－x )，∴ax 2＋bx ＋1＝ax 2－bx ＋1，∴b ＝0，即f (x )＝x 2＋1. 则f (2a －b )＝f (2)＝5.17．已知函数f (x )在R 上为奇函数，且x >0时， f (x )＝x ＋1，则当x <0时， f (x )＝________. 【答案】－－x －1【解析】∵f (x )为奇函数，且x >0时， f (x )＝x ＋1，∴当x <0时，即－x >0，有 f (x )＝－f (－x )＝－(－x ＋1)，即x <0时， f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1.18．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x .若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是________．【答案】(－2,1)【解析】∵f (x )是奇函数，∴当x ＜0时， f (x )＝－x 2＋2x .做出函数f (x )的大致图象如图所示，结合图象可知f (x )是R 上的增函数．由f (2－a 2)＞f (a )，得2－a 2＞a ，解得－2＜a ＜1. 19．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．【答案】【解析】(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时， f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2. (2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示)知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．20．已知函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)． (1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2, 且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围． 【答案】(1) 0 (2) f (x )为偶函数 (3) (－15,1)∪(1,17)【解析】(1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0. (2)f (x )为偶函数．证明：令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)， ∴f (－1)＝12f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x ，有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， ∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数． (3)依题意有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，又由(2)知， f (x )是偶函数，∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16)． ∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴0<|x －1|<16，解得－15<x <17且x ≠1. ∴x 的取值范围是(－15,1)∪(1,17)．21．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，f (x ＋2)＝－f (x )且f (x )在[－1，0]上是增函数，给出下列几个命题：①f (x )是周期函数；②f (x )的图象关于x ＝1对称；③f (x )在[1，2]上是减函数；④f (2)＝f (0)，其中正确命题的序号是________(请把正确命题的序号全部写出来)． 【答案】①②③④【解析】f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )对任意x ，y ∈R 恒成立． 令x ＝y ＝0，所以f (0)＝0.令x ＋y ＝0，所以y ＝－x ， 所以f (0)＝f (x )＋f (－x )．所以f (－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．因为f (x )在x ∈[－1，0]上为增函数，又f (x )为奇函数，所以f (x )在[0，1]上为增函数． 由f (x ＋2)＝－f (x )⇒f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， 所以周期T ＝4， 即f (x )为周期函数．f (x ＋2)＝－f (x )⇒f (－x ＋2)＝－f (－x )． 又因为f (x )为奇函数，所以f (2－x )＝f (x )， 所以函数关于x ＝1对称．由f (x )在[0，1]上为增函数，又关于x ＝1对称，所以f(x)在[1，2]上为减函数．由f(x＋2)＝－f(x)，令x＝0得f(2)＝－f(0)＝f(0)．。

新高考数学复习考点知识与题型专项训练专题3.3 函数的奇偶性与周期性1．（2020·首都师范大学附属中学高三其他）已知函数()2966x f x x -=--，则函数的奇偶性为（ ）A ．既是奇函数也是偶函数B ．既不是奇函数也不是偶函数C ．是奇函数不是偶函数D ．是偶函数不是奇函数【答案】C 【解析】由2903360x x x -≥⇒-≤≤⇒->，所以()22299966x x x f x x ---===--，可得函数定义域为33x -≤≤且0x ≠，关于原点对称，又因为()()()2299x x f x f x ----===-，所以函数是奇函数不是偶函数， 故选：C.2.（2020·全国高一）函数()y f x =是R 上的偶函数，且在[)0,+∞上是减函数，若()()2f a f ≤，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2a ≤B ．2a ≥-C ．22a -≤≤D ．2a ≤-或2a ≥【答案】D 【解析】因为()f x 是R 上的偶函数且在[)0,+∞上递减，所以()f x 在(),0-∞递增； 又因为()()f x f x =-，所以()()22f f =-；因为()()2f a f ≤，所以2a ≥，解得：2a ≤-或2a ≥. 故选：D3.（2020·广西壮族自治区高三月考（文））已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时，()f x 单调递增，则（ ）.A ．()()93log 4(1)log 4f f f >>B ．()()93log 4(1)log 4f f f <<C ．()()93(1)log 4log 4f f f >>D ．()()93(1)log 4log 4f f f <<【答案】B 【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时，()f x 单调递增， 所以()f x 在R 上单调递增，因为99log 4log 91<=，331log 3log 4=<，所以93log 41log 4<<，所以()()93log 4(1)log 4f f f <<. 故选：B.4.（2020·绥德中学高三其他（文））定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=，且在[－1，0]上单调递减，设()2.8a f =-，()1.6b f =-，()0.5c f =，则a 、b ，c 大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b c a >>D ．a c b >>【答案】D 【解析】∵偶函数()f x 满足()()2f x f x +=，∴函数的周期为2. 由于()()2.80.8a f f =-=-，()()()1.60.40.4b f f f =-==-， ()()0.50.5c f f ==-，0.80.50.4-<-<-.且函数()f x 在[－1，0]上单调递减，∴a c b >>. 5．（2019·山东高考模拟（文））已知是定义在上的周期为4的奇函数，当时，，则（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．2【解析】 由题意可得：.故选：A.6．（2019·贵州高考模拟（文））已知，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 由题意可得：， 且.故选：D .7.（2020·全国高一）设奇函数上是增函数，且(1)0f =，则不等式[()()]0x f x f x --<的解集为（ ）A ．{|101}x x x -<<>或B ．{1,01}x|x <x -<<或C ．{|11}x x x <->或D ．{|10,01}x x x -<<<<或【解析】：∵函数f （x ）是奇函数，函数f （x ）在（0，+∞）上是增函数， ∴它在（-∞，0）上也是增函数．∵f （-x ）=-f （x ）， ∴f （-1）=-f （1）=0．不等式x[f （x ）-f （-x ）]＜0可化为2xf （x ）＜0， 即xf （x ）＜0， ∴当x ＜0时，可得f （x ）＞0=f （-1），∴x ＞-1， ∴-1＜x ＜0；当x ＞0时，可得f （x ）＜0=f （1）， ∴x ＜1，∴0＜x ＜1．综上，不等式x[f （x ）-f （-x ）]＜0的解集为{x|-1＜x ＜0，或0＜x ＜1}． 故选D ．8. （2019·广东高考模拟（文））己知()f x 是定义在R 上的偶函数，在区间(]0-∞，为增函数，且()30f =，则不等式(12)0f x ->的解集为（ ）A ．()10-，B ．()12-，C ．()02，D ．()2，+∞ 【答案】B 【解析】根据题意，因为f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间（一∞，0]为增函数，所以函数f （x ）在[0，+∞）上为减函数，由f （3）＝0，则不等式f （1﹣2x ）＞0⇒f （1﹣2x ）＞f （3）⇒|1﹣2x|＜3， 解可得：﹣1＜x ＜2，即不等式的解集为（﹣1，2）. 故选：B ．9. （2019·天津高考模拟（文））设奇函数()f x 在R 上是增函数，若21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2( 4.1)b f log =，0.8(2)c f =，则,,a b c 大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】D 【解析】由()f x 为奇函数，且在R 上是增函数，可得()()f x f x -=-，可得2211log log 55a f f ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22log 5log 5f f =--=⎡⎤⎣⎦， 且2( 4.1)b f log =，0.8(2)c f =，由0.822log 5log 4.122>>>，可得()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，故a b c >>，故选D.10．（2019·天津天津实验中学高考模拟（文））设函数()f x 是定义在实数集上的奇函数，在区间[1,0)-上是增函数，且(2)()f x f x +=-，则有（ ）A ．13()()(1)32f f f <<B ．31(1)()()23f f f <<C ．13(1)()()32f f f <<D ．31()(1)()23f f f <<【答案】A 【解析】()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-，又(2)()f x f x +=-11f f ,f (1)f (1)33⎛⎫⎛⎫∴=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3112222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又1111023--<-<-≤，且函数在区间[1,0)-上是增函数，11f (1)f f 023⎛⎫⎛⎫∴-<-<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11f (1)f f 23⎛⎫⎛⎫∴-->-->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭31(1)23f f f ⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A.8．（2020·甘肃省兰州一中高三其他（文））已知函数()x x f x e e -=-（e 为自然对数的底数），若0.50.7a -=，0.5log 0.7b =，0.7log 5c =，则（ ）A ．()()()f b f a f c <<B ．()()()f c f b f a <<C ．()()()f c f a f b <<D ．()()()f a f b f c <<【答案】D【解析】因为0.50.71a -=>，01b <<，0c <，∴a b c >> 又()f x 在R 上是单调递减函数，故()()()f a f b f c <<. 故选:D .9．（2020·四川省仁寿第一中学校北校区高三二模（文））已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=（ ）A ．50-B ．0C ．2D ．50【答案】C 【解析】因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+， 所以(1)(1)(3)(1)(1)4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=, 因此(1)(2)(3)(50)12[(1)(2)(3)(4)](1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++，因为(3)(1)(4)(2)f f f f =-=-，，所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，(2)(2)(2)(2)0f f f f =-=-∴=，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++==，选C.10．（2020·上海高三新高考数学复习考点知识与题型专项训练 专题练习）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()4f x x x =-，则不等式()f x x >的解集用区间表示为__________．【答案】{|5x x >或50}x -<< 【解析】当x>0时，不等式f （x ）>x 转化为245x x x x ->∴>，由函数是奇函数，图像关于原点对称，因此当0x <时不等式f （x ）>x 的解集为50x -<<，综上不等式的解为（－5，0）∪（5，＋∞）1．（2020·浙江省高三其他）已知()f x 为偶函数，()(13)f x f x +=-.当20x -≤≤时，()3xf x =，若*n N ∈，()n a f n =，则2021a =（ ）A ．13-B ．3C ．3-D ．13【答案】D 【解析】()f x 为偶函数，(1)(3)f x f x +=-，所以函数的周期为：4，*n N ∈，()n a f n =，则()()()2021202111a f f f ===-，当20x -时，()3x f x =， 所以12021133a -==． 故选：D ．2．（2020·山东省实验中学高三月考）己知()f x 是定义域为R 的奇函数，若()5f x +为偶函数，()11f =，则()()20192020f f +=（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．1【答案】B 【解析】()5f x +为偶函数，且()5f x +可由()f x 向左平移5个单位得到，()f x ∴关于5x =轴对称，即()()55f x f x +=-，又()f x 为R 上的奇函数，()()55f x f x ∴+=--，且()00f =，()()()()2010f x f x f x f x ∴+=-+=--=⎡⎤⎣⎦，()f x ∴是一个周期为20的周期函数，()()()()2019201011111f f f f ∴=⨯-=-=-=-，()()()20202010100f f f =⨯==，()()201920201f f ∴+=-.故选：B .3．【多选题】（2020·山东省高三一模）已知奇函数()f x 是定义在R 上的减函数，且()21f =-，若()()1g x f x =-，则下列结论一定成立的是( )A ．()10g =B ．()122g =-C ．()()0g x g x -+>D ．()()110g x g x -+++<【答案】AC【解析】因为()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()00f =，因为()()1g x f x =-， 所以()()100g f ==，故A 正确；因为()f x 为定义在R 上的减函数，且()21f =-，()()()210f f f <<， 即()110f -<<.所以()120g -<<，故B 不一定成立； 因为()()1g x f x =-，所以()()()11g x f x f x -=--=-+，所以()()()()11g x g x f x f x -+=--+，因为()f x 是定义在R 上的减函数， 所以()()11f x f x ->+，所以()()110f x f x +-->，即()()0g x g x -+>，故C 正确；因为()()1g x f x =-，所以()()()1g x f x f x -+=-=-，()()1g x f x +=， 所以()()()()110g x g x f x f x -+++=-+=，选项D 错误.4．（2020·重庆市育才中学高三开学考试（文））已知函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若()10f x -<，则x 的取值范围是_________．【答案】()1,+∞ 【解析】由函数()f x 在(),-∞+∞单调递减，且为奇函数，得()00f =， 因为()10f x -<，即()()10f x f -<，所以10x ->，即1x >， 所以x 的取值范围为()1,+∞. 故答案为：()1,+∞5．（2020·辽宁省高三三模（理））已知()1f x x x =+，若()2log 52f b =，则2log 1b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭_____．【答案】52-【解析】 ∵()1f x x x=+， ∴()()1f x x f x x-=-+=--，即f （x ）为奇函数， ∵()2222log log log log 2l 5og 12b f b b b b =+==+， 则()()1log 2log 22log b b b f f f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭1log 2log 2b b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()2log 2log b b =-+52=- 故答案为：52-6．（2020·四川省泸县第四中学高三二模（文））已知()||f x x x =，则满足(21)()0f x f x -+≥的x 的取值范围为_______．【答案】1[,)3+∞【解析】根据题意，f （x ）＝x |x |＝22,0,0x x x x ⎧≥⎨-<⎩，则f （x ）为奇函数且在R 上为增函数，则f （2x ﹣1）+f （x ）≥0⇒f （2x ﹣1）≥﹣f （x ）⇒f （2x ﹣1）≥f （﹣x ）⇒2x ﹣1≥﹣x ，解可得x ≥13，即x 的取值范围为[13，+∞）；故答案为：[13，+∞）．7．（2020·首都师范大学附属中学高三其他）若奇函数()f x 定义域为R ,()()2f x f x +=-且()16f -=,则()2017f =______【答案】6- 【解析】因为()()2f x f x +=-,故()()()42f x f x f x +=-+=,故()f x 周期为4.又奇函数()f x ,故()()()()201750441116f f f f =⨯+==--=-.故答案为：6-8．（2020·江西省高三其他（理））已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，且()f x 在[0,)+∞上单调递增，则不等式(21)(2)f x f x ->-的解集为____．【答案】()(),11,-∞-+∞【解析】函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，∴(21)(2)f x f x ->-可转化为(21)(2)f x f x ->-，又()f x 在[0,)+∞上单调递增，∴ (21)(2)212f x f x x x ->-⇔->-，两边平方解得：(,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞ ，故(21)(2)f x f x ->-的解集为(,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞．9．（2020·西昌市第二中学高三二模（理））函数()f x 在定义域R 内满足()()f x f x =-，当0x ≥时，()22f x x x =-，则不等式()13f x +<的解集是________.【答案】()4,2- 【解析】0x ≥时，2()2f x x x =-， ()13f x +<，令1t x =+，当0t ≥时，由()3f t <，可得223t t -<，解得03t ≤<，()()f x f x =-，∴函数()f x 为偶函数，∴()f x 的图象关于y 轴对称，∴当0t <时，由()3f t <，可得30t -<<，综上，33t -<<，即313x -<+<，解得42x -<<. 所以，不等式()13f x +<的解集是()4,2-.故答案为：()4,2-.10. （2019·四川高考模拟（文））已知是定义在上的奇函数，若的图象向左平移2个单位后关于轴对称，且，则_____．【答案】-1 【解析】∵f （x ）是定义在R 上的奇函数，∴f （0）＝0， 将的图象向左平移2个单位后，得到g （x ）＝f （x +2）为偶函数，则g （﹣x ）＝g （x ），即f （﹣x +2）＝f （x +2） 又是定义在上的奇函数，∴-f （x ﹣2）＝f （x +2） 即f （x ）＝﹣f （x +4），，故答案为：1.（2020·全国高考真题（理））设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ）A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增 B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增 D ．是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减【答案】D 【解析】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--，()ln 21y x =+在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x ∴在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭，2121x μ=+-在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，D 正确.故选：D.2.（2020·全国高考真题（文））设函数331()f x x x=-,则()f x （ ） A ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减 【答案】A 【解析】因为函数()331f x x x=-定义域为{}0x x ≠，其关于原点对称，而()()f x f x -=-， 所以函数()f x 为奇函数． 又因为函数3y x =在0,上单调递增，在,0上单调递增， 而331y x x-==在0,上单调递减，在,0上单调递减，所以函数()331f x x x =-在0,上单调递增，在,0上单调递增．故选：A ．3．（2020·海南省高考真题）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（ ）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃【答案】D 【解析】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =， 所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x <， 所以由(10)xf x -≥可得：021012x x x <⎧⎨-≤-≤-≥⎩或或001212x x x >⎧⎨≤-≤-≤-⎩或或0x = 解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃， 故选：D.4.（2018年理全国卷II ）已知是定义域为的奇函数，满足．若，则( )A.B. 0C. 2D. 50【答案】C 【解析】 因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，，从而，选C.5.（2019·全国高考真题（文））设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递减，则（ ）A ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．23332122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】C 【解析】()f x 是R 的偶函数，()331log log 44f f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭．223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>，又()f x 在(0，+∞)单调递减，∴()23323log 422f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C ．6.（2019·全国高考真题（理））已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________.【答案】-3【解析】因为()f x 是奇函数，且当0x >时0x ->，()()ax f x f x e -=--=． 又因为ln 2(0,1)∈，(ln 2)8f =，所以ln 28a e -=，两边取以e 为底的对数得ln 23ln 2a -=，所以3a -=，即3a =-．。

概念方法微思考．．．．强化训练，则 (2)m c f =()A ．B ．C ．D ．a b c <<c a b <<a c b <<c b a<<【答案】B【解析】是偶函数，关于轴对称，()f x ()f x ∴y 则，0m =即，则当时，为增函数，||()x f x e =0x …()f x ，，，132ln << 22log 53<<0221m ==则，223log 5m ln <<则，2(2)(3)(log 5)m f f ln f <<即，2(2)(3)(log 5)m f f ln f <-<即，c a b <<故选．B 19．（2020春•泉州期末）已知奇函数满足，当时，()()f x x R ∈(2)()f x f x +=-(2,0)x ∈-，则 2()()f x x ln x =+-(2021)(f =)A ．B ．0C ．1D ．21-【答案】A【解析】，(2)()f x f x +=- ，即的周期为4，且是奇函数，时，，(4)()f x f x ∴+=()f x ()f x (2,0)x ∈-2()()f x x ln x =+-（1）．(2021)(15054)f f f ∴=+⨯=(1)(10)1f =--=-+=-故选．A 20．（2020春•宁波期末）若函数，的定义域均为，且都不恒为零，则 ()y f x =()y g x =R ()A ．若为偶函数，则为偶函数(())y f g x =()y g x =B ．若为周期函数，则为周期函数(())y f g x =()y g x =C ．若，均为单调递减函数，则为单调递减函数()y f x =()y g x =()()y f x g x =D ．若，均为奇函数，则为奇函数()y f x =()y g x =(())y f g x =【答案】D【解析】根据题意，依次分析选项：对于，若为偶函数，则可能为奇函数，而为偶函数，如，A (())y f g x =()g x ()f x ()cos f x x =，错误；()sin g x x =A 对于，若为周期函数，可能为周期函数，如．，错B (())y f g x =()f x ()sin f x x =()2g x x =B 误；对于，当，，均为单调递减函数，而，不是减函数，C ()2f x x =-()3g x x =-2()()6y f x g x x == 错误；C 对于，若，均为奇函数，对于，有D ()y f x =()y g x =(())y f g x =，为奇函数，正确；(())(())(())f g x f g x f g x -=-=-D 故选．D 21．（2020•包头二模）已知函数，则 ()(2)(4)f x ln x ln x =++-()A ．在单调递增()f x (2,4)-B ．在单调递减()f x (2,4)-C ．的图象关于直线对称()y f x =1x =D ．的图象关于点对称()y f x =(1,0)【答案】C【解析】根据题意，函数，有，解可得，即函数()(2)(4)f x ln x ln x =++-2040x x +>⎧⎨->⎩24x -<<的定义域为；(2,4)-，2()(2)(4)[(2)(4)](28)f x ln x ln x ln x x ln x x =++-=+-=-++设，则，228t x x =-++y lnt =在区间上，为增函数，为增函数，故在(2,1)-228t x x =-++y lnt =()(2)(4)f x ln x ln x =++-上为增函数，(2,1)-36．（2019秋•大理市校级期末）函数，若（5），则()sin 1f x ax b x =++f 7=__________．(5)f -=【答案】5-【解析】令()()1sin g x f x ax b x=-=+则为一个奇函数()g x 又（5），f 7=（5），g ∴6=，(5)6g ∴-=-(5)5f ∴-=-故答案为：．5-37．（2019•西湖区校级模拟）为奇函数，当时，则当时，()y f x =0x >()(1)f x x x =-0x <__________．()f x =【答案】2x x+【解析】为奇函数，时，，当时，，()f x 0x >()(1)f x x x =-∴0x <0x ->，()()((1))(1)f x f x x x x x =--=--+=+即时，，0x <()(1)f x x x =+故答案为：．2x x +38．（2018•绵阳模拟）偶函数的图象关于点对称，（4），则（2）()f x (1,0)f 2=f __________．=。

2020届高考数学专题复习-3.3 函数的奇偶性一、选择题1．设f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x≤0时，f （x ）=2x 2-x ，则f （1）=（ ） A ．1 B ．3 C ．3- D ．0【答案】C 【解析】∵f（x ）是定义在R 上的奇函数，∴f（-x ）=-f （x ）， 又当x≤0时，f （x ）=2x 2-x ，∴f（-1）=3， ∴f（1）=-f （-1）=-3， 故选：C ．2．若3f x ax x c =++（）在[]a b ，上是奇函数，则2a b c +++的值为（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2【答案】D 【解析】∵奇函数的定义域关于原点对称，所以0a b += ∵奇函数的图象关于原点对称，∴f x f x -=-（）（）即33ax x c ax x c --+=--- ∴0c =∴22a b c +++=． 故选：D ．3．在定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A ．1()f x x=B ．1()f x x x=-+C ．()||f x x x =-D ．1,(0,)()1,(,0]x x f x x x -+∈+∞⎧=⎨--∈-∞⎩【答案】C 【解析】()1f x x=在定义域(,0)-∞ (0,)+∞内是奇函数,但不是减函数，在区间(,0)-∞和(0,)+∞上都是减函数()1f x x x=-+在定义域(,0)-∞ (0,)+∞内是奇函数,但不是减函数，在区间(,0)-∞和(0,)+∞上都是减函数()()(]22,0,,,,0x x f x x x x x ⎧-∈+∞⎪=-=⎨∈-∞⎪⎩在定义域(,)-∞+∞内既是奇函数又是减函数()()(]1,0,,1,,0x x f x x x ⎧-+∈+∞⎪=⎨--∈-∞⎪⎩在定义域(,)-∞+∞内不是奇函数（因为()010f =-≠），综上选C.4．已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x ，则（ ） A ．()()f x g x +是奇函数 B ．()()f x g x ⋅是奇函数 C ．()()f x g x ⋅是偶函数 D ．()()f x g x ⋅是偶函数【答案】D 【解析】A ．若f （x ）=x ，g （x ）=2，满足条件，则f （x ）+g （x ）不是奇函数，故A 错误，B ．|f （-x ）|g （-x ）=|-f （x ）|g （x ）=|f （x ）|g （x ）是偶函数，故B 错误，C ．f （-x ）•g（-x ）=-f （x ）•g（x ），则函数是奇函数，故C 错误，D ．f （|-x|）•g（-x ）=f （|x|）•g（x ），则f （|x|）•g（x ）是偶函数，故D 正确 故选：D ．5．若偶函数f （x ）在（﹣∞，﹣1]上是减函数，则（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】B 【解析】根据题意，f （x ）为偶函数，则f （2）＝f （﹣2），又由函数f （x ）在（﹣∞，﹣1]上是减函数，则f （﹣1）＜f （）＜f （﹣2），即f （﹣1）＜f（）＜f（2），故选：B．6．已知函数，且，那么（）A．2 B．18 C．－10 D．6【答案】D【解析】令g（x）＝x5+ax3+bx，易得其为奇函数，则f（x）＝g（x）+8，所以f（﹣2）＝g（﹣2）+8＝10，得g（﹣2）＝2，因为g（x）是奇函数，即g（2）＝﹣g（﹣2），所以g（2）＝﹣2，则f（2）＝g（2）+8＝﹣2+8＝6，故选：D．7．已知函数f（x）对任意实数x，y恒有f（x+y）=f（x）+f（y）且当x＞0，f（x）＜0．给出下列四个结论：①f（0）=0；②f（x）为偶函数；③f（x）为R上减函数；④f（x）为R上增函数．其中正确的结论是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：对于①，令x=y=0，则f（0）=f（0）+f（0）=2f（0），∴f（0）=0，①正确；对于②，令y=-x，则f（x-x）=f（x）+f（-x）=0，∴f（-x）=-f（x），f（x）是奇函数，②错误；对于③，）f（x）是R上的减函数，证明如下：任取x1，x2∈R，x1＜x2，则x2﹣x1＞0∴f（x2）﹣f（x1）＝f（x2﹣x1+x1）﹣f（x1）＝f（x2﹣x1）+f（x1）﹣f（x1）＝f（x2﹣x1）<0 ∴f（x1）>f（x2）故f（x）是R上的减函数．③正确，④错误．综上，其中正确的结论是①③． 故选：A ．8．已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，则满足()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 取值范围（ ）A ．12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】因为偶函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，且满足()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，所以1213x -<，解得：1233x <<故选：A 9．已知偶函数在区间单调递减，则满足的x 取值范围是A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 根据题意，偶函数在区间单调递减，则在上为增函数， 则，解可得：，即x 的取值范围是； 故选：D ． 10．设为奇函数且在内是减函数，，则的解集为 A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】由函数是奇函数可知函数在内是减函数，所以在内为减函数，不等式变形为或可知解集故选A.11．若函数是定义在上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】∵偶函数f（x）在上是减函数,∴在[0，+∞）上单调递增，∵f（3）＝0，∴f（x）＞0可化为f（x）＞f（3），函数为偶函数，故f（x）=＞f（3）∴|x|>3，∴x＜-3或x>3，故选：D．12．定义在上的偶函数满足：对任意的，，，有，且，则不等式的解集为A． B．C． D．【答案】A【解析】因为对任意的，，当，有 ,所以,当函数为减函数，又因为是偶函数，所以当时，为增函数，，，作出函数的图象如图：等价为或，由图可知，或，即不等式的解集为，故选A ．二、填空题13．已知()f x 是偶函数，当0x <时，()()1f x x x =+，则()2f =____． 【答案】2 【解析】由偶函数的定义可得：()()()222212f f =-=-⨯-+=. 故答案为：2．14．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()223f x x x =-+，则当0x <时，函数()f x 的解析式是______．【答案】()223f x x x =---【解析】设0x <，则0x ->，又因为函数()f x 是奇函数，所以()()f x f x =--= ()()223x x ⎡⎤----+⎣⎦223x x =---． 故答案为()223f x x x =---．15．函数是奇函数，当时，，且，则______．【答案】8 【解析】 根据题意，函数是奇函数，且，则，又由当时，，则，解可得；故答案为：8． 16．设是定义在R 上的奇函数，且当时，，若对于任意的，不等式恒成立，则实数t 的取值范围是______．【答案】【解析】 当时，， 函数是奇函数 当时，，在R 上是单调递增函数， 且满足，不等式在恒成立，在恒成立， 即：在恒成立， ，解得：，故答案为：．三、解答题17．判别并证明函数24()x f x -=的奇偶性．【答案】见解析 【解析】()f x 是奇函数，证明如下：()f x 的定义域为{|22x x -≤≤，且0}x ≠；()()24x f x f x --==-； ()f x ∴是奇函数． 18．已知函数()21x af x x +=+为奇函数． （1）求a 的值；（2）判断函数()f x 在()11-，上的单调性，并证明． 【答案】(1) 0a = (2)见解析 【解析】（1）根据题意，()2+1x af x x +=为奇函数，则()()0f x f x -+=， 即22011x a x a x x -++⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，解可得0a =； （2）由（1）的结论，()21xf x x =+，在()1,1-上为增函数； 证明：任取1x ，()211x ，∈-，且12x x <， 则()()1212221211x x f x f x x x -=-++ ()()()()2212212212+111+1x x x x x x -+=+= ()()2212121222121+1x x x x x x x x +--+ ()()()()12212122121+1x x x x x x xx ---=+ ()()()()1221221211+1x x x x xx --=+，又由1x ，()211x ，∈-，且12x x <，则1210x x -<，210x x ->，2110x +>，2210x +> 则有()()120f x f x -<，所以函数()f x 在()1,1-上单调递增． 19．已知函数()2mf x x x=-的图象过点(1,1)P . （1）求实数m 的值，并证明函数()f x 为奇函数；（2）判断函数()f x 在(0,)+∞上的单调性，并用定义证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】（1）根据题意，函数()2mf x x x=-的图象过点()1,1P 则有12m =-，解可得1m =，则()12f x x x =-其定义域为{}|0x x ≠，且()()()()1122f x x x f x x x ⎛⎫-=--=--=- ⎪-⎝⎭则函数()f x 为奇函数（2）根据题意，由（1）的结论，()12f x x x=-，则()0,∞+上为增函数 证明：设120x x <<则()()()121212121212111222x x f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=---=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 又由120x x <<，则120x x -<，则()()120f x f x -< 则函数()f x 在()0,∞+上为增函数 20.已知定义在上的函数是增函数.（1）若，求的取值范围；（2）若函数是奇函数，且，解不等式.【答案】(1) (2)【解析】（1）由题意可得，，求得，即的范围是. （2）∵函数是奇函数，且，∴， ∵， ∴，∴， ∴，∴.∴不等式的解集为.21．已知函数()()f x x R ∈是奇函数，且当0x >时，()21f x x =-， （1）求函数()f x 的表达式（2）求不等式1(2)f x >-的解集【答案】（1）21,0()0,021,0x x f x x x x ->⎧⎪==⎨⎪+<⎩（2）3{|40x x -<≤或1}4x >【解析】（1）根据题意，函数()()f x x R ∈是奇函数，则()00f =， 当0x <时，0x ->，则()()2121f x x x -=⨯--=--， 又由函数()f x 为奇函数，则()()21f x f x x =--=+，则()21,00,021,0x x f x x x x ->⎧⎪==⎨⎪+<⎩，（2）根据题意，()21,00,021,0x x f x x x x ->⎧⎪==⎨⎪+<⎩，当0x >时，()21f x x =-，此时()12f x >-即1212x ->-，解可得14x >，此时不等式的解集为14x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭， 当0x =时，()00f =，()12f x >-成立；此时不等式的解集为{}0， 当0x <时，()21f x x =+，此时()12f x >-即1212x +>-，解可得34x >-，此时不等式的解集为3{|0}4x x -<<， 综合可得：不等式()12f x >-的解集3{|04x x -<≤或1}4x >． 22．定义在00-∞⋃+∞（，）（，）上的函数y f x （）=满足x f f x f y y=-（）（）（），且函数f x （）在∞（0，+）上是增函数．（1）求1f -（），并证明函数y f x （）=是偶函数；（2）若42f =（），解不等式351f x f x--≤（）（）． 【答案】（1）10f （）-=，证明见解析；（2）{0|x x x ≤＜或02x ≤＜或35x ≤＜或5}6x ≤＜.【解析】（1）令0x y =≠，则10f f x f x =-=（）（）（）， 再令11x y ，==-可得1111f f f f -=--=--（）（）（）（），∴10f （）-=． 令1y =-可得1f x f x f f x -=--=（）（）（）（），∴f x （）是偶函数．（2）∵242f f f =-（）（）（），∴12412f f （）（）==， 又23553x x f x f f x ---=（）（）（）， ∴()2523x x f f -≤（）， ∵f x （）是偶函数，在0（，）+∞上单调递增， ∴25223x x --≤≤且2503x x -≠，解得10x -≤＜或02x ≤＜或35x ≤＜或56x ＜≤．所以不等式的解集为{|0x x x ≤＜或02x ≤＜或35x ≤＜或56}x ＜≤。

高三数学函数的奇偶性试题答案及解析1.已知函数是定义在R上的奇函数，，当时，有成立，则不等式的解集是A．B．C．D．【答案】A【解析】由当时，有成立,知函数的导函数在上恒成立,所以函数在上是增函数,又因为函数是定义在R上的奇函数,所以函数是定义域上的偶函数,且由得,由此可得函数的大致图象为:由图可知不等式的解集是.故选A.【考点】1.函数导数的求导法则;2.函数的奇偶性;3. 利用函数的单调性解不等式.2.若为偶函数,则实数 .【答案】.【解析】∵为偶函数，∴，.【考点】偶函数的性质.3.已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f（x）＝3x，则f（log94）的值为（）A．－2B．C．D．2【答案】B【解析】根据对数性质，f（log94）＝f（log32）因为f（x）是奇函数，于是f（log32）＝－f（－log32）＝－f（log3），且log3<0故f（log94）＝－f（log3）＝－【考点】函数的奇偶性，分段函数4.对于函数，若存在常数，使得取定义域内的每一个值，都有，则称为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由为准偶函数的定义可知，若的图象关于对称，则为准偶函数.在D 中，的图象关于对称，故选D.【考点】新定义，函数的图象和性质.5.下列函数为奇函数的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】对于A选项中的函数，函数定义域为，，故A选项中的函数为奇函数；对于B选项中的函数，由于函数与函数均为奇函数，则函数为偶函数；对于C选项中的函数，定义域为，，故函数为偶函数；对于D选项中的函数，，，则，因此函数为非奇非偶函数，故选A.【考点】本题考查函数的奇偶性的判定，着重考查利用定义来进行判断，属于中等题.6.已知是定义在上的奇函数，当时，，则函数的零点的集合为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为是定义在上的奇函数，当时，，所以，所以，由解得或；由解得，所以函数的零点的集合为，故选D.【考点】函数的奇偶性的运用，分段函数，函数的零点，一元二次方程的解法，难度中等.7.设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.(1)求f(π)的值；(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围图形的面积．【答案】（1）π－4. （2）4【解析】解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，从而得f(π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，即f(1＋x)＝f(1－x)．故知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．又0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，＝4×(×2×1)＝4.则S＝4S△OAB8. x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f(x)＝x－[x]的最小正周期是________．【答案】1【解析】如图，当x∈[0,1)时，画出函数图像，再左右扩展知f(x)为周期函数．9.已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于________．【答案】3【解析】由已知可得，－f(1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(1)＝4，两式相加解得，g(1)＝3.10.已知函数f(x)＝为奇函数，则a＋b＝________.【解析】当x>0时，－x<0，由题意得f(－x)＝－f(x)，所以x2－x＝－ax2－bx，从而a＝－1，b＝1，a＋b＝0.11.已知函数f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝( )A．－2B．0C．1D．2【答案】A【解析】当x＞0时，f(x)＝x2＋，∴f(1)＝12＋＝2.∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2.12.函数的图象大致是()A．B．C．D．【答案】A【解析】易知函数是偶函数，当x=0时，. 所以选A.13.设为定义在R上的奇函数，当时，(b为常数)，则（）A．3B．1C．D．【答案】D【解析】因为为定义在R上的奇函数，所以有，解得，所以当时，，即．14.设是上的奇函数，且，下面关于的判定：其中正确命题的序号为_______．①;②是以4为周期的函数；③的图象关于对称；④的图象关于对称．【答案】①②③【解析】∵，∴，即的周期为4，②正确．∴(∵为奇函数)，即①正确．又∵，∴的图象关于对称，∴③正确，又∵，当时，显然的图象不关于对称，∴④错误．15.将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数，则函数（）A．是奇函数B．是偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数，也不是偶函数【答案】B【解析】，由题意知，因此函数为偶函数，故选B.【考点】1.三角函数图像变换；2.辅助角公式；3.三角函数的奇偶性16.已知f(x)是定义在R上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________．【答案】(－5，0)∪(5，＋∞)【解析】作出f(x)＝x2－4x(x>0)的图象，如图所示．由于f(x)是定义在R上的奇函数，利用奇函数图象关于原点对称，作出x<0的图象．不等式f(x)>x表示函数y＝f(x)的图象在y＝x的上方，观察图象易得，原不等式的解集为(－5，0)∪(5，＋∞)17.函数y=f(x-1)为奇函数,y=f(x+1)为偶函数(定义域均为R).若0≤x<1时,f(x)=2x,则f(10)=.【答案】1【解析】依题意得f(-x-1)=-f(x-1),f(-x+1)=f(x+1),所以f(x+4)=-f(x),f(x+8)=f(x),故函数周期为8.f(10)=f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=1.18.设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是()A．f(x)+|g(x)|是偶函数B．f(x)-|g(x)|是奇函数C．|f(x)|+g(x)是偶函数D．|f(x)|-g(x)是奇函数【答案】A【解析】∵g(x)是R上的奇函数,∴|g(x)|是R上的偶函数,从而f(x)+|g(x)|是偶函数,故选A.19.若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.【解析】由题意知，函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则f(1)＝f(－1)，故1－|1＋a|＝1－|－1＋a|，所以a＝0.20.函数是上的奇函数，是上的周期为4的周期函数，已知,且,则的值为___________．【答案】2【解析】本题就是要待计算式中的每个式子计算化简，由已知，，因此，，，，，从而已知式为，∴.【考点】奇函数与周期函数的定义.21.已知,函数且，且.(1) 如果实数满足且，函数是否具有奇偶性? 如果有,求出相应的值;如果没有,说明原因；(2) 如果，讨论函数的单调性。

天津市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷函数的奇偶性与周期性1.已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x，则f (－1)＝( ) A. －2 B. 0C. 1D. 2解析：∵函数f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (－1)＝－f (1)，又x >0时，f (x )＝x 2＋1x，∴f (－1)＝－f (1)＝－2.故答案为A.答案：A2.已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f (13)的x 的取值范围是( ) A. ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23 C. ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23D. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 解析：由f (2x －1)<f (13)，得f (|2x －1|)<f (13)， ∵f (x )在[0，＋∞)上单调递增，∴|2x －1|<13，即－13<2x －1<13，解得13<x <23，故选A. 答案：A3.已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则f (lg(lg2))＝( )A. －5B. －1C. 3D. 4解析：∵f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4， ①∴f (－x )＝a (－x )3＋b sin(－x )＋4，即f (－x )＝－ax 3－b sin x ＋4， ②①＋②得f (x )＋f (－x )＝8， ③又∵lg(log 210)＝lg(1lg2)＝lg(lg2)－1＝－lg(lg2)， ∴f (lg(log 210))＝f (－lg(lg2))＝5，又由③式知f (－lg(lg2))＋f (lg(lg2))＝8，∴5＋f (lg(lg2))＝8，∴f (lg(lg2))＝3.故选C.答案：C4.设f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f (2)>1，f ( )＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围是________．解析：∵f ( )＝f (1)＝f (－2)＝－f (2)<－1，∴2a －3a ＋1<－1，解得－1<a <23. 答案：(－1，23) 5.已知函数f (x ＋1)是定义在R 上的奇函数，若对于任意给定的不相等的实数x 1、x 2，不等式(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0恒成立，则不等式f (1－x )<0的解集为________．解析：∵f (x ＋1)是定义在R 上的奇函数，关于(0,0)对称，向右平移1个单位得到f (x )的图象，关于(1,0)对称，即f (1)＝0，又∵任取x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0，∴f (x )在R 上单调递减．∵f (1－x )<0＝f (1)，∴1－x >1，∴x <0，∴不等式f (1－x )<0的解集为(－∞，0)．答案：(－∞，0)。

课时规范练7函数的奇偶性与周期性基础巩固组1.函数f(x)= -x的图像关于()A.y轴对称B.直线y=-x对称C.坐标原点对称D.直线y=x对称2.(2018河北衡水中学月考,6)下列函数中,与函数y=-2x的定义域、单调性与奇偶性均一致的函数是()A.y=sin xB.y=x2C.y=D.y=3.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)内递增,则满足f(2x-1)<f的x的取值范围是()A. B.C. D.4.(2018湖南长郡中学三模,6)已知f(x)为奇函数,函数f(x)与g(x)的图像关于直线y=x+1对称,若g(1)=4,则f(-3)=()A.-2B.2C.-1D.45.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x+2)=f(x).若当x∈[0,1)时,f(x)=2x-,则f(lo)的值为()A.0B.1C.D.-6.定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈(-∞,0)(x1≠x2),都有<0,则下列结论正确的是()A.f(0.32)<f(20.3)<f(log25)B.f(log25) <f(20.3)<f(0.32)C.f(log25)<f(0.32)<f(20.3)D.f(0.32)<f(log25)<f(20.3)7.已知函数f(x)为奇函数,当x>0时,f(x)=x2-x,则当x<0时,函数f(x)的最大值为()A.-B.C. D.-8.已知定义域为R的函数f(x)在(8,+∞)内为减函数,且函数y=f(x+8)为偶函数,则()A.f(6) >f(7)B.f(6)>f(9)C.f(7)>f(9)D.f(7)>f(10)9.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,则f(919)=.10.已知f(x)是奇函数,g(x)=,若g(2)=3,则g(-2)=.11.已知定义在R上的函数f(x),对任意实数x有f(x+4)=-f(x)+2,若函数f(x-1)的图像关于直线x=1对称,f(-1)=2,则f(2 017)=.综合提升组12.(2018湖南长郡中学四模,9)下列函数既是奇函数又在(-1,1)上是减函数的是()A.y=tan xB.y=x-1C.y=lnD.y= (3x-3-x)13.已知偶函数f(x)满足f(x)=x3-8(x≥0),则{x|f(x-2)>0}=()A.{x|x<-2或x>4}B.{x|x<0或x>4}C.{x|x<0或x>6}D.{x|x<-2或x>2}14.已知奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)为偶函数,且f(1)=2,则f(4)+f(5)的值为()A.2B.1C.-1D.-215.已知定义在R上的奇函数f(x)满足:f(x+1)=f(x-1),且当-1<x<0时,f(x)=2x-1,则f(log220)等于()A.B.-C.-D.创新应用组16.(2018安徽宿州三模,8)已知函数y=f(x)为R上的偶函数,且满足f(x+2)=-f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=1-x2.下列四个命题:p1:f(1)=0;p2:2是函数y=f的一个周期;p3:函数y=f(x-1)在(1,2)上递增;p4:函数y=f(2x-1)的递增区间为,k∈Z.其中真命题为()A.p1,p2B.p2,p3C.p1,p4D.p2,p417.(2018河南六市联考一,12)已知定义在R上的奇函数f(x)满足:f(x+2e)=-f(x)(其中e=2.718),且在区间[e,2e]上是减函数,令a=,b=,c=,则f(a),f(b),f(c)的大小关系为()A.f(b)>f(a)>f(c)B.f(b)>f(c)>f(a)C.f(a)>f(b)>f(c)D.f(a)>f(c)>f(b)参考答案课时规范练7函数的奇偶性与周期性1.C∵f(-x)=- +x=-=-f (x),且定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),∴f(x)为奇函数.∴f(x)的图像关于坐标原点对称.2.D函数y=-2x的定义域为R,但在R上递减.函数y=sin x和y=x2的定义域都为R,且在R上不单调,故不合题意;函数y=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),不合题意;函数y=的定义域为R,且在R上递减,且奇偶性一致,故符合题意.故选D.3.A由于函数f(x)在区间[0,+∞)内递增,且f(x)为偶函数,则由f(2x-1)<f,得-<2x-1<,解得<x<.故x 的取值范围是.4.A由题意设P(1,4)关于y=x+1的对称点为P'(a,b),则解得则P'(3,2)在函数y=f(x)的图像上,故f(3)=2,则f(-3)=-2.故选A.5.A因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(lo4)=f(-log2)=f=-f.又因为f(x+2)=f(x),所以f=f=-=0.所以f(lo4)=0.6.A∵对任意x1,x2∈(-∞,0),且x1≠x2,都有<0,∴f(x)在(-∞,0)内是减少的,又f(x)是R上的偶函数,∴f(x)在(0,+∞)内是增函数.∵0<0.32<20.3<log25,∴f(0.32)<f(20.3)<f(log25).故选A.7.B法一设x<0,则-x>0,所以f(-x)=x2+x,又函数f(x)为奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-x2-x=-+,所以当x<0时,函数f(x)的最大值为.故选B.法二当x>0时,f(x)=x2-x=-,最小值为-,因为函数f(x)为奇函数,所以当x<0时,函数f(x)的最大值为.故选B.8.D由y=f(x+8)为偶函数,知函数f(x)的图像关于直线x=8对称.又因为f(x)在(8,+∞)内是减少的,所以f(x)在(-∞,8)内是增加的.可画出f(x)的草图(图略),知f(7)>f(10).9.6由f(x+4)=f(x-2)知,f(x)为周期函数,且周期T=6.因为f(x)为偶函数,所以f(919)=f(153×6+1)=f(1)=f(-1)=61=6.10.-1∵g(2)==3,∴f(2)=1.又f(-x)=-f(x),∴f(-2)=-1,∴g(-2)===-1.11.2由函数y=f(x-1)的图像关于直线x=1对称可知,函数f(x)的图像关于y轴对称,故f(x)为偶函数.由f(x+4)=-f(x)+2,得f(x+4+4)=-f(x+4)+2=f(x),∴f(x)是周期T=8的偶函数,∴f(2017)=f(1+252×8)=f(1)=f(-1)=2.12.C y=tan x是奇函数,在(-1,1)上是增加的;y=x-1是奇函数,在(-1,0)上是减少的,在(0,1)上是减少的,y=ln=ln是奇函数且在(-1,1)上是减少的;y= (3x-3-x)是奇函数,在(-1,1)上是增加的;故选C.13.B∵f(x)是偶函数,∴f(x-2)>0等价于f(|x-2|)>0=f(2).∵f(x)=x3-8在[0,+∞)内是增加的,∴|x-2|>2,解得x<0或x>4.14.A∵f(x+1)为偶函数,f(x)是奇函数,∴f(-x+1)=f(x+1),f(x)=-f(-x),f(0)=0,∴f(x+1)=f(-x+1)=-f(x-1),∴f(x+2)=-f(x),f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x),则f(4)=f(0)=0,f(5)=f(1)=2, ∴f(4)+f(5)=0+2=2.故选A.15.D由f(x+1)=f(x-1),得f(x+2)=f[(x+1)+1]=f(x),∴f(x)是周期为2的周期函数.∵log232>log220>log216,∴4<log220<5,∴f(log220)=f(log220-4)=f=-f.∵当x∈(-1,0)时,f(x)=2x-1,∴f=-,故f(log220)=.16.C∵f(x+2)=-f(x),当x=-1时,f(1)=-f(-1)=-f(1),∴f(1)=0,故p1正确;∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),∴y=f(x)的周期为4,y=f的周期为=8,故p2错;∵当x∈[0,1]时,f(x)=1-x2,∴f(x)在区间[0,1]上递减,∴函数y=f(x-1)在(1,2)上递减,故p3错;∵当x∈[0,1]时,f(x)=1-x2,当x∈[-2,-1]时,x+2∈[0,1],∴f(x)=-f(x+2)=-[1-(x+2)2]=(x+2)2-1,∴f(x)在[-2,-1]递增,从而f(x)在[-2,0]递增,在[0,2]上递减,又f(x)是周期为4的函数,∴f(x)的增区间为[4k-2,4k],即4k-2≤2x-1≤4k,∴2k-≤x≤2k+,∴y=f(2x-1)的递增区间为,k∈Z,故p4正确,故选C.17.A∵f(x)是R上的奇函数,满足f(x+2e)=-f(x),∴f(x+2e)=f(-x),∴f(x)的图像关于直线x=e对称,∵f(x)在区间[e,2e]上是减少的,∴f(x)在区间[0,e]上是增加的, 令y=,则y'=,∴y=在(0,e]上递增,在(e,+∞)递减.∴b=>=c>0,a-b=-==<0,a-c=-==>0,∴a>c.∴0<c<a<b<e,∴f(b)>f(a)>f(c).。

函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性10大题型命题趋势函数的性质是函数学习中非常重要的内容，对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性，利用性质判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小，属于基础题；对于解答题部分，一般与导数结合，考查难度较大。

满分技巧一、单调性定义的等价形式: 1、函数()x f 在区间[]b a ,上是增函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021<−x f x f ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>−−x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121>−−x f x f x x ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>−−x f x f x x .2、函数()x f 在区间[]b a ,上是减函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021>−x f x f ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<−−x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121<−−x f x f x x ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<−−x f x f x x .二、判断函数奇偶性的常用方法1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断()f x −与()f x ±之一是否相等.2、验证法：在判断()f x −与()f x 的关系时，只需验证()f x −()f x ±=0及()1()f x f x −=±是否成立. 3、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y 轴）对称.4、性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.5、分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断()f x −与()f x 的关系.首先要特别注意x 与x −的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，()f x 与()f x −对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较. 三、常见奇、偶函数的类型1、()x x f x a a −=+（00a a >≠且）为偶函数；2、()x x f x a a −=−（00a a >≠且）为奇函数；3、()2211x x x x x xa a a f x a a a −−−−==++（00a a >≠且）为奇函数； 4、()log ab xf x b x−=+（00,0a a b >≠≠且）为奇函数；5、())log a f x x =±（00a a >≠且）为奇函数；6、()f x ax b ax b ++−为偶函数；7、()f x ax b ax b +−−为奇函数； 四、函数的周期性与对称性常用结论1、函数的周期性的常用结论（a 是不为0的常数）（1）若()()+=f x a f x ，则=T a ； （2）若()()+=−f x a f x a ，则2=T a ； （3）若()()+=−f x a f x ，则2=T a ； （4）若()()1+=f x a f x ，则2=T a ； （5）若()()1+=−f x a f x ，则2=T a ； （6）若()()+=+f x a f x b ，则=−T a b （≠a b ）； 2、函数对称性的常用结论（1）若()()+=−f a x f a x ，则函数图象关于=x a 对称；（2）若()()2=−f x f a x ，则函数图象关于=x a 对称； （3）若()()+=−f a x f b x ，则函数图象关于2+=a bx 对称； （4）若()()22−=−f a x b f x ，则函数图象关于(),a b 对称； 3、函数的奇偶性与函数的对称性的关系（1）若函数()f x 满足()()+=−f a x f a x ，则其函数图象关于直线=x a 对称，当0=a 时可以得出()()=−f x f x ，函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数； （2）若函数()f x 满足()()22−=−f a x b f x ，则其函数图象关于点(),a b 对称，当0=a ,0=b 时可以得出()()−=−f x f x ，函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数； 4、函数对称性与周期性的关系（1）若函数()f x 关于直线=x a 与直线=x b 对称，那么函数的周期是2−b a ； （2）若函数()f x 关于点(),0a 对称，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是2−b a ； （3）若函数()f x 关于直线=x a ，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是4−b a . 5、函数的奇偶性、周期性、对称性的关系（1）①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为2a . （2）①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为2a . （3）①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为4a . （4）①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为4a .其中0≠a ，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个。