高一数学函数奇偶性练习题及答案解析

高一数学函数的奇偶性试题1.若函数是偶函数，则的递减区间是【答案】【解析】偶函数的图像关于轴对称，故，则，则的递减区间是。

【考点】（1）偶函数图像的性质；（2）二次函数单调区间的求法。

2.设函数和分别是上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是A．是偶函数B．是奇函数C．是偶函数D．是奇函数【答案】A【解析】由设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，我们易得到|f（x）|、|g（x）|也为偶函数，进而根据奇+奇=奇，偶+偶=偶，逐一对四个结论进行判断，即可得到答案．∵函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则|g（x）|也为偶函数，则f（x）+|g（x）|是偶函数，故A满足条件；f（x）-|g（x）|是偶函数，故B不满足条件；|f（x）|也为偶函数，则|f（x）|+g（x）与|f（x）|-g（x）的奇偶性均不能确定故选A【考点】函数奇偶性的判断3.若函数的图像关于原点对称，则。

【答案】【解析】试题分析:由题意知恒成立,即即恒成立，所用【考点】奇函数的应用.4.已知函数为奇函数,且当时,,则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵为奇函数，∴．【考点】函数的性质．5.设函数是定义在上的偶函数，当时，.若，则实数的值为 .【答案】【解析】若，则由，得，，解得成立．若，则由，得，即，，得，即，所以．【考点】函数的奇偶性．6.已知偶函数满足，且当时，，则．【答案】2【解析】由知此函数周期 4，因为为偶函数，所以【考点】函数奇偶性周期性7.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时， .【答案】【解析】解:由题意得:当时,时,设时,则,又是定义在上的奇函数,时,【考点】本题考查了奇偶性的应用.8.函数为定义在Ｒ上的奇函数，当上的解析式为＝．【答案】【解析】设，则，所以；因为函数是奇函数，所以所以，当时，【考点】函数奇偶性的性质.9.函数f(x)＝x5＋x3的图象关于()对称()．A．y轴B．直线y＝x C．坐标原点D．直线y＝－x【答案】C【解析】∵,∴函数是奇函数，它的图象关于原点对称.图象关于y轴对称的函数是偶函数。

高中数学必修1函数单调性和奇偶性专项练习(含答案)高中数学必修1 第二章函数单调性和奇偶性专项练一、函数单调性相关练题1、（1）函数f(x)＝x－2，x∈{1，2，4}的最大值为3.在区间[1，5]上的最大值为9，最小值为-1.2、利用单调性的定义证明函数f(x)＝(2/x)在（-∞，0）上是减函数。

证明：对于x1<x2.由于x1和x2都小于0，所以有x1<x2<0，因此有f(x2)-f(x1)=2/x1-2/x2=2(x2-x1)/x1x2<0.因此，f(x)在（-∞，0）上是减函数.3、函数f(x)＝|x|＋1的图像是一条V型曲线，单调区间为(-∞，0]和[0，∞).4、函数y=-x+2的图像是一条斜率为-1的直线，单调区间为(-∞，+∞).5、已知二次函数y＝f(x)(x∈R)的图像是一条开口向下且对称轴为x＝3的抛物线，比较大小：(1)f(6)与f(4)；(2)f(2)与f(15).1) 因为f(x)是开口向下的抛物线，所以对于x>3，f(x)是减函数，对于x<3，f(x)是增函数。

因此，f(6)<f(4).2) 因为f(x)是开口向下的抛物线，所以对于x3，f(x)是增函数。

因此，f(2)>f(15).6、已知y＝f(x)在定义域(-1，1)上是减函数，且f(1-a)<f(3a-2)，求实数a的取值范围.因为f(x)在(-1，1)上是减函数，所以对于0f(3a-2)。

因此，实数a的取值范围为0<a<1.7、求下列函数的增区间与减区间：1) y=|x^2+2x-3|的图像是一条开口向上的抛物线，单调区间为(-∞，-3]和[1，+∞).2) y=1-|x-1|的图像是一条V型曲线，单调区间为(-∞，1]和[1，+∞).3) y=-x^2-2x+3的图像是一条开口向下的抛物线，单调区间为(-∞，-1]和[1，+∞).4) y=1/(x^2-x-20)的图像是一条双曲线，单调区间为(-∞，-4]和[-1，1]和[5，+∞).8、函数f(x)=ax^2-(3a-1)x+a^2在[1，+∞)上是增函数，求实数a的取值范围.因为f(x)在[1，+∞)上是增函数，所以对于x>1，有f(x)>f(1)。

函数的奇偶性1．函数f （x ）=x(-1﹤x ≦1)的奇偶性是（ ）A ．奇函数非偶函数B ．偶函数非奇函数C ．奇函数且偶函数D ．非奇非偶函数2. 已知函数f （x ）=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）=ax 3＋bx 2＋cx 是( ）A .奇函数B .偶函数C .既奇又偶函数D .非奇非偶函数 3. 若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且f (2)=0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是 ( )A.(-∞,2)B. (2,+∞)C. (-∞,-2)⋃(2,+∞)D. (-2,2) 4．已知函数f (x )是定义在(－∞,+∞)上的偶函数.当x ∈(－∞,0)时，f (x )=x -x 4，则 当x ∈(0.+∞)时，f (x )= . 5. 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝lg (12+x -x ); (2)f (x )＝2-x +x -2(3) f （x ）=⎩⎨⎧>+<-).0()1(),0()1(x x x x x x6.已知g (x )=－x 2－3,f (x )是二次函数，当x ∈[-1,2]时，f (x )的最小值是1，且f (x )+g (x )是奇函数，求f (x )的表达式。

7.定义在（-1，1）上的奇函数f （x ）是减函数，且f(1-a)+f(1-a 2)<0,求a 的取值范围8.已知函数21()(,,)ax f x a b c N bx c+=∈+是奇函数,(1)2,(2)3,f f =<且()[1,)f x +∞在上是增函数,(1)求a,b,c 的值;(2)当x ∈[-1,0)时,讨论函数的单调性.9.定义在R 上的单调函数f (x )满足f (3)=log 23且对任意x ，y ∈R 都有f (x+y )=f (x )+f (y )． (1)求证f (x )为奇函数；(2)若f (k ·3x )+f (3x -9x -2)＜0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．10下列四个命题：（1）f （x ）=1是偶函数；（2）g （x ）=x 3，x ∈（－1，1]是奇函数；（3）若f （x ）是奇函数，g （x ）是偶函数，则H （x ）=f （x ）·g （x ）一定是奇函数； （4）函数y =f （|x |）的图象关于y 轴对称，其中正确的命题个数是 （ ） A ．1B ．2C ．3D ．411下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是( )A.()sin f x x =B.()1f x x =-+C.()1()2x x f x a a -=+ D.2()2xf x lnx-=+ 12若y =f （x ）（x ∈R ）是奇函数，则下列各点中，一定在曲线y =f （x ）上的是（ ） A ．（a ，f （－a ）） B ．（－sin a ，－f （－sin a ））C ．（－lg a ，－f （lg a1）） D ．（－a ，－f （a ））13. 已知f （x ）=x 4+ax 3+bx －8，且f （－2）=10，则f （2）=_____________。

专题7 抽象函数的单调性和奇偶性-高一数学必修一专题复习训练含答案一、选择题1．设()f x 是定义在(),-∞+∞上的单调递减函数，且()f x 为奇函数.若()11f =-，则不等式()121f x -≤-≤的解集为A . []1,1-B ． []0,4C ． []2,2-D ． []1,3【答案】D2．若函数()f x 的定义域为()32,1a a -+，且函数()1f x -为奇函数，则实数a 的值为（ ）A . 2B . 4C . 6D . 8【答案】C【解析】函数()f x 的定义域为()32,1a a -+，且函数()1f x -为奇函数，则函数()f x 的图象关于点()1,0对称，故有()132{3212a a a a +>--++＝，求得2a =，故选A .3．已知()f x 是偶函数，它在[)0,+∞上是减函数，若()()lg 1f x f > ，则x 的取值范围是（ ） A . 1,110⎛⎫⎪⎝⎭ B . 1,1010⎛⎫ ⎪⎝⎭ C . ()10,1,10⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭D . ()()0,110,⋃+∞ 【答案】B【解析】试题分析：偶函数()f x 在[)0,+∞上是减函数，则在(],0-∞上为增函数，由()()lg 1f x f >可知，得，故选项B 正确．考点：偶函数的单调性及其运用．【易错点睛】解答本题时考生容易错误的理解为：偶函数在整个定义域上的单调性是一致的，而列出不等式，解得，没有正确的选项可选．偶函数的图象关于y 轴对称，则其在原点两侧对称区间的单调性也是不同的，即一侧为单调增函数，则对称的另一侧为单调减函数．只有清楚了函数的单调性，才能正确的列出不等式，进而求出正确的解．4．已知函数()y f x =是R 上的偶函数，且在[)0+∞，上单调递增，则下列各式成立的是（ ）A . ()()()201f f f ->>B . ()()()102f f f >>-C . ()()()210f f f ->>D . ()()()120f f f >->【答案】A【解析】因为函数()y f x =是R 上的偶函数，所以()()22f f -= ，又因为()f x 在[)0+∞，上单调递增，所以()()()201f f f >>，故()()()201f f f ->>. 本题选择A 选项. 5．已知定义域为R 的偶函数在上是减函数，且，则不等式的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】6．已知偶函数f （x ）在[0，+∞）单调递增，若f （2）=﹣2，则满足f （x ﹣1）≥﹣2的x 的取值范围是 （ ） A ． （﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） B ． （﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） C ． [﹣1，﹣3] D ． （﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） 【答案】B 【解析】根据题意，偶函数在单调递增，且，可得，若，即有， 可得，解可得： 即的取值范围是；故选：B ．7．若偶函数()f x 在(],0-∞上单调递减, ()()3224log 3,log 5,2a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,则满足( )A . a b c <<B . b a c <<C . c a b <<D . c b a <<【答案】B8．已知函数()f x 为定义在[]2,1b b -上的偶函数，且在[]0,1b -上单调递增，则()()1f x f ≤的解集为（ ）A . []1,2B . []3,5C . []1,1-D . 13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】由函数奇偶性的定义可知2101b b b +-=⇒=-，所以函数()f x 在[]0,2单调递增，则不等式可化为1{1102x x x ≤⇒-≤≤≤≤，应选答案C .9．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(],0-∞上有单调性，且()()21f f -<，则下列不等式成立的是 （ ）A . ()()()123f f f -<<B . ()()()234f f f <<-C . ()()1202f f f ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭D . ()()()531f f f <-<-【答案】D【解析】根据函数为偶函数，有()()()221f f f -=<，故函数在[)0,+∞上递减，所以()()()()()()10123452f f f f f f f ⎛⎫>>>>>> ⎪⎝⎭，故选D .10.若是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】11.定义在的函数，已知是奇函数，当时，单调递增，若且，且值（ ）．A ． 恒大于B ． 恒小于C ． 可正可负D ． 可能为【答案】A【解析】由是奇函数，所以图像关于点对称，当时，单调递增，所以当时单调递增，由，可得，，由可知，结合函数对称性可知12.已知是定义在上的奇函数，对任意的，均有.当时，，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】f（）=f（）=14，∵＜＜，二、填空题13．设f（x）是R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，则f（–2），f（–π），f（3）的大小顺序是__________．【答案】f（–π）>f（3）>（–2）【解析】由已知是上的偶函数，所以有，，又由在上单调增，且，所以有，所以π），故答案为：.14.已知偶函数在区间上单调增加，则满足的的取值范围是__________．【答案】【解析】∵是偶函数，15.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数, 在区间(),0-∞上单调递减，且()10f =. 若实数a 满足()515log log f a f a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭, 则实数a 的取值范围是____________．【答案】][10,1,55⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数, 在区间(),0-∞上单调递减， 根据对称性，所以函数()f x 在区间()0,+∞上也单调递减．又易推出()()()1100f f f -===．从而根据函数()f x 的性质作出图象, 即可求得()0f x ≥的解集为][(,10,1⎤-∞-⋃⎦．()515log log f a f a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭等价于()5log 0f a ≥，故5log 1a ≤-或50log 1a ≤≤，解得105a <≤或15a ≤≤． 16.定义在区间[]2,2-上的偶函数()g x ,当0x ≥时()g x 单调递减,若()()1g m g m -<，则实数m 的取值范围是____________．【答案】1 1,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】不等式等价于：212 {221mmm m-≤-≤-≤≤->，求解关于实数m的不等式组可得实数m的取值范围是1 1,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.17．设偶函数在上为减函数，且，则不等式的解集为_________；【答案】【解析】18．已知函数是定义在区间上的偶函数，它在区间上的图像是如图所示的一条线段，则不等式的解集为__________.【答案】【解析】 由题意，函数过点，，∴，又因为是偶函数，关于轴对称，所以，即，又作出函数在上的图像，当的时候，的图像恒在的上方，当的时候，令，，即当的时候，满足，即.故答案为：. 19．定义在上的奇函数是增函数，且，则的取值范围为__________．【答案】【解析】20.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且对于任意1x ， [)20,x ∈+∞， 12x x ≠，均有()()21120f x f x x x ->-.若1132f ⎛⎫-=⎪⎝⎭， 182log 1f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，则x 的取值范围为__________． 【答案】()10,2,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且对于任意1x ， [)20,x ∈+∞， 12x x ≠，均有()()21120f x f x x x ->-， ()f x ∴ 在()0,+∞ 上递减，在(),0-∞ 上递增，12811112log ,log 2333f x f f x f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=--<- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，因为()f x 是偶函数，所以2211log ,log 133x x ->->或2log 1x <- ，可得2x >或102x << ，故答案为()10,2,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭.三、解答题21.已知函数()y f x =是定义在()0,+∞上的增函数，对于任意的0,0x y >>，都有()()()f xy f x f y =+，且满足()21f =.（1）求()()14f f 、的值；（2）求满足()()32f x f x +->的x 的取值范围. 【答案】（1）()10f =， ()42f =；（2）4x >. 【解析】22.定义在R 上的函数()y f x =对任意的,x y R ∈，满足条件： ()()()1f x y f x f y +=+-，且当0x >时， ()1f x >. （1）求()0f 的值；（2）证明：函数()f x 是R 上的单调增函数；（3）解关于t 的不等式()221f t t -<.【答案】(Ⅰ) ()01f =；(Ⅱ)见解析；（Ⅲ） 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】23.若()f x 是定义在()0,+∞上的增函数，且对一切x ， 0y >，满足()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． （1）求()1f 的值；（2）若()61f =，解不等式()1323f x f ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭． 【答案】（1）0；（2）()3,9- 【解析】24.已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，且()11f =，若m ， []1,1n ∈-， 0m n +≠时，有()()0f m f n m n+>+.（1）证明()f x 在[]1,1-上是增函数； （2）解不等式1121f x f x ⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭； （3）若()221f x t at ≤-+对任意[]1,1x ∈-， []1,1a ∈-恒成立，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）增函数；（2）3,12⎡⎫--⎪⎢⎣⎭；（3）0t =或2t ≥或2t ≤-． 【解析】∵()f x 在[]1,1-上是增函数∴()()max 11f x f == ∴2221120t at t at -+≥⇒-≥对任意[]1,1a ∈-恒成立． 令()22g a at t =-+，则0{00t =≥恒成立或()20{120t g t t >=-+≥或()20{120t g t t <-=+≥，∴0t =或2t ≥或2t ≤-∴实数t 的取值范围为0t =或2t ≥或2t ≤-．25.函数()f x 的定义域为{|0}D x x =≠，且满足对任意12,x x D ∈，有()()1212f x x f x x ⋅=+）（. （1）求()1f 的值；（2）判断()f x 的奇偶性并证明你的结论；（3）如果()41f =， ()12f x -<，且()f x 在()0,+∞上是增函数，求x 的取值范围. 【答案】（1）()10f =；（2）见解析：（3）()()15,11,17-⋃. 【解析】点睛：本题给出抽象函数，求特殊的函数值、讨论函数的奇偶性，并依此解关于x 的不等式．着重考查了函数的单调性、奇偶性和绝对值不等式的解法等知识，属于中档题．运用“赋值法”进行求值和化简，是解决抽象函数问题的一般方法.26.设函数()y f x =是定义在R 上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数,x y ，都有()()()f xy f x f y =+；②当1x >时， ()0f x <；③()31f =-.（1）求()1f ， 19f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）证明()f x 在()0,+∞上是减函数；（3）如果不等式()()22f x f x +-<成立，求x 的取值范围.【答案】（Ⅰ）2;（Ⅱ）见解析; （Ⅲ）(1,133-+）. 【解析】点晴：本题属于对函数单调性的证明和单调性应用的考察，若函数()f x 在区间上单调递增，则()()1212,,x x D f x f x ∈>且时，有12x x >，事实上，若12x x ≤,则()()12f x f x ≤，这与()()12f x f x >矛盾，类似地，若()f x 在区间上单调递减，则当()()1212,,x x D f x f x ∈>且时有12x x <；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系. 27.已知函数的定义域为，若对于任意的实数，都有，且时，有.（1）判断并证明函数的奇偶性； （2）判断并证明函数的单调性；（3）设，若对所有，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）奇函数，（2）单调递增函数，（3）或.【解析】（1）奇函数，证明如下：由题意知，令，得，所以；点睛：抽象函数单调性的证明绝大多数情况下都是用“定义法”去证，其步骤是：（1）取值：在给定区间上任取，且；（2）作差：将变形整理为其结果为因式乘积的形式或能够判断的符号的形式；（3）判断的符号；（4）根据定义得出结论.28．已知函数是定义在上的不恒为零的函数，对于任意非零实数满足，且当时，有.（Ⅰ）判断并证明的奇偶性；（Ⅱ）求证：函数在上为增函数，并求不等式的解集.【答案】(1)见解析;(2).【解析】分析：⑴先求出，继而，令代入得⑵构造，然后利用已知代入证明详解：（Ⅰ）是偶函数。

高一函数奇偶性练习题高一函数奇偶性练习题函数是高中数学中的一个重要概念，而函数的奇偶性则是函数性质中的一个重要方面。

在高一阶段，我们需要掌握函数的奇偶性质，并能够灵活运用到各种题目中。

本文将通过一些练习题来帮助我们更好地理解和掌握高一函数奇偶性。

1. 给定函数 f(x) = x^3 + 2x，判断该函数的奇偶性。

要判断一个函数的奇偶性，我们需要观察函数的表达式中的变量的次数。

对于这个函数，我们可以看到 x 的次数为奇数，而常数项 2x 的次数为偶数。

根据奇数次幂和偶数次幂的性质，我们知道奇数次幂的函数关于原点对称，而偶数次幂的函数关于 y 轴对称。

因此，该函数既不是奇函数也不是偶函数。

2. 对于函数 f(x) = x^4 - 3x^2，判断该函数的奇偶性。

同样地，我们观察函数表达式中的变量的次数。

对于这个函数，我们可以看到x 的次数为偶数，而常数项为 0。

根据偶数次幂的函数关于 y 轴对称的性质，我们可以得出该函数是一个偶函数。

3. 给定函数 f(x) = x^5 + x^3 - x，判断该函数的奇偶性。

观察函数表达式中的变量的次数，我们可以看到 x 的次数为奇数，而常数项为0。

根据奇数次幂的函数关于原点对称的性质，我们可以得出该函数是一个奇函数。

通过以上的练习题，我们可以总结出一些判断函数奇偶性的规律。

当函数表达式中的变量次数为偶数时，函数是一个偶函数；当函数表达式中的变量次数为奇数时，函数是一个奇函数。

当函数表达式中的变量次数为 0 时，函数既不是奇函数也不是偶函数。

除了通过观察函数表达式中的变量次数来判断函数的奇偶性外，我们还可以通过函数图像来进行判断。

对于奇函数，它的图像关于原点对称，即在第一象限的部分图像与第三象限的部分图像关于原点对称；对于偶函数，它的图像关于y 轴对称，即在第一象限的部分图像与第二象限的部分图像关于 y 轴对称。

通过练习题和图像的观察，我们可以更加深入地理解函数的奇偶性。

函数的奇偶性练习1．奇函数f (x )在区间［3,7］上为单调增函数，最小值为5，那么函数f (x )在区间［－7，－3］上为单调__________函数，且最__________值为__________．2．函数f (x )是R 上的偶函数，且在［0，＋∞)上单调递增，则下列各式成立的是__________．①f (－2)＞f (0)＞f (1)；②f (－2)＞f (1)＞f (0)；③f (1)＞f (0)＞f (－2)；④f (1)＞f (－2)＞f (0)．3．下列函数中是奇函数且在(0,1)上单调递增的函数是__________．①f (x )＝x ＋1x ；②f (x )＝x 2－1x；③(f x ；④f (x )＝x |x |．4．下列函数是奇函数的是__________． ①(1)1x x y x -=-；②y ＝－3x 2；③y ＝－|x |；④y ＝πx 3－35x ；⑤y ＝x 3·|x |． 5．若φ(x )，g (x )都是奇函数，f (x )＝aφ(x )＋bg (x )在(0，＋∞)上有最大值5，则f (x )在(－∞，0)上有__________．(填最值情况) 6．设函数()(1)()x x a f x x++=为奇函数，则a ＝__________． 7．若f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，则在R 上f (x )的表达式为__________．8．已知f (x )＝x 3＋1x，且f (a )＝1，则f (－a )＝____． 9．判断函数()(][)22(5)4,6,1,(5)4,1,6x x f x x x ⎧+-∈--⎪⎨--∈⎪⎩＝的奇偶性． 10．已知函数f (x )＝x 2＋a x(x ≠0)，常数a ∈R ，讨论函数f (x )的奇偶性并说明理由． 11．若函数()22,0,,0,x x x f x ax x x ⎧-+>=⎨+≤⎩当a 为何值时，f (x )是奇函数？ 12．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ＋3．(1)求f ［f (－1)］的值；(2)求函数f (x )的解析式；(3)求函数f (x )在区间［t ，t ＋1］(t ＞0)上的最小值．参考答案1．解析：根据题意作出如图所示的草图即可知．答案：增 大 －52．解析：由条件得f (－2)＝f (2)，因为f (x )在［0，＋∞)上单调递增，所以f (0)＜f (1)＜f (2)，即f (－2)＞f (1)＞f (0)．答案：②3．解析：由定义可知①④是奇函数，但对于函数f (x )＝x ＋1x 来说， 当x ＝12时，1()2f ＝52， 当x ＝13时，1()3f ＝103， 所以①不是递增函数．答案：④4．解析：先判断定义域关于原点是否对称，再确定f (－x )与－f (x )的关系．①中定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)关于原点不对称，所以排除①；②③均是偶函数；④⑤中函数的定义域是R ，可得f (－x )＝－f (x )，则它们是奇函数．答案：④⑤5．解析：由条件得f (－x )＝aφ(－x )＋bg (－x )＝－aφ(x )－bg (x )＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数，它的图象关于原点对称．答案：最小值－56．解析：由f (－x )＋f (x )＝0得(1)()(1)()x x a x a x x x++--+-＝0，解得a ＝－1． 答案：－17．解析：当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝(－x )2－2(－x )＝x 2＋2x ，∵f (x )为奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－x 2－2x ．综上所述，()222,0,2,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩ 答案：()222,0,2,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩8．解析：f (x )＝x 3＋1x的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f (－x )＝(－x )3＋1x -＝31x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝－f (x )，所以f (x )为奇函数． 因此f (－a )＝－f (a )＝－1．答案：－19．解：f (x )的定义域为(－6，－1］∪［1,6)，关于原点对称．当x ∈(－6，－1］时，－x ∈［1,6)，f (－x )＝(－x －5)2－4＝(x ＋5)2－4＝f (x )；当x ∈［1,6)时，－x ∈(－6，－1］，f (－x )＝(－x ＋5)2－4＝(x －5)2－4＝f (x )．综上可知，对于x ∈(－6，－1］∪［1,6)，都有f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数．10．解：当a ＝0时，f (x )＝x 2对任意的x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (－x )＝(－x )2＝f (x )，所以f (x )为偶函数．当a ≠0时，f (x )＝x 2＋a x(x ≠0)，不妨取x ＝±1， f (－1)＋f (1)＝2≠0，f (－1)－f (1)＝－2a ≠0，所以f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)．所以函数既不是奇函数又不是偶函数．11．解：假设f (x )是奇函数，则有f (－x )＝－f (x )．当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝a (－x )2＋(－x )＝ax 2－x ．又∵x ＞0时，f (x )＝－x 2＋x ，∴－f (x )＝x 2－x ．∵f (－x )＝－f (x )，即ax 2－x ＝x 2－x ，∴a ＝1．下面证明()22,0,,0x x x f x x x x ⎧-+>=⎨+≤⎩是奇函数． 证明：当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝(－x )2＋(－x )＝x 2－x ＝－(－x 2＋x )＝－f (x )；当x ≤0时，－x ≥0，则f (－x )＝－(－x )2＋(－x )＝－x 2－x ＝－(x 2＋x )＝－f (x )，于是22(),0,()(),0.x x x f x x x x ⎧--+>=⎨-+≤⎩－ ∴f (－x )＝－f (x )．∴假设成立，a ＝1．12．解：(1)因为f (－1)＝－f (1)＝0，故f ［f (－1)］＝f (0)，由奇函数的性质知f (0)＝0，从而有f ［f (－1)］＝0．(2)当x ＝0时，由奇函数的性质知f (0)＝0；当x ＜0时，－x ＞0，故f (x )＝－f (－x )＝－［(－x )2－4(－x )＋3］＝－x 2－4x －3． 综上所述，2243,0,()=0,0,43,0.x x x f x x x x x ⎧-+>⎪=⎨⎪---<⎩(3)当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，对称轴为x ＝2．当0＜t ≤1时，区间［t ，t ＋1］(t ＞0)在对称轴的左侧，此时f (x )min ＝f (t ＋1)＝t2－2t ；当1＜t ≤2时，对称轴在区间［t ，t ＋1］(t ＞0)内部，此时f (x )min ＝f (2)＝－1；当t ＞2时，区间［t ，t ＋1］(t ＞0)在对称轴的右侧，此时f (x )min ＝f (t )＝t 2－4t ＋3． 综上所述，()2min 22,01,1,12,43, 2.t t t f x t t t t ⎧-<≤⎪-<≤⎨⎪-+>⎩＝。

函数的性质(奇偶性)题组训练【奇偶性的判断】1．(2020·全国高一专题练习)判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 3＋x ；(2)()f x =(3)222()1x xf x x +=+；(4)1,0()0,0,1,0x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩2．(2019·全国高一课时练习)判断下列函数的奇偶性：(1)()21x xf x x +=+；(2)()f x =3．(2018·上海市上南中学高一期中)已知函数()f x =，求(1)函数()f x 的定义域； (2)判断函数()f x 的奇偶性.【利用奇偶性求解析式】1．(2016·徐汇。

上海中学高一期末)已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()f x x x =+，则函数()f x 的解析式为()f x =______.2．(2020·浙江高一课时练习)函数()f x 在(,)-∞+∞上为奇函数，且当0x 时，()(1)f x x x =+，则当(0,)x ∈+∞时，()f x =________．3．(2020·吉林宁江.松原市实验高级中学高三其他(文))已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x <时，()23f x x =-，则当0x >时，()f x =______．4．(2020·呼和浩特开来中学高二期末(文))已知定义在R 上的奇函数()f x ,当0x >时, ()21f x x x =+-,那么当0x <时, ()f x 的解析式为( ). A ．()21f x x x =++B ．()21f x x x =--+C ．()21f x x x =-+-D ．()21f x x x =-++【利用奇偶性求参数】1．(2020·林芝市第二高级中学高二期末(文))已知函数()33f x x x =+，若()2f a -=，则()f a 的值为( )A ．2B ．2-C ．1D ．1-2．(2020·上海高一开学考试)函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数.若(1)1f =-，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 取值范围是( )A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]3．(2019·浙江南湖。

高一数学函数的奇偶性试题答案及解析1.若函数是偶函数，则的递减区间是【答案】【解析】偶函数的图像关于轴对称，故，则，则的递减区间是。

【考点】（1）偶函数图像的性质；（2）二次函数单调区间的求法。

2.设函数和分别是上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是A．是偶函数B．是奇函数C．是偶函数D．是奇函数【答案】A【解析】由设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，我们易得到|f（x）|、|g（x）|也为偶函数，进而根据奇+奇=奇，偶+偶=偶，逐一对四个结论进行判断，即可得到答案．∵函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则|g（x）|也为偶函数，则f（x）+|g（x）|是偶函数，故A满足条件；f（x）-|g（x）|是偶函数，故B不满足条件；|f（x）|也为偶函数，则|f（x）|+g（x）与|f（x）|-g（x）的奇偶性均不能确定故选A【考点】函数奇偶性的判断3.设函数为奇函数，,，则=（）A．0B．C．D．-【答案】C．【解析】由题意知，，又因为函数为奇函数，所以，且，再令中得，，即，所以，故选C．【考点】函数的奇偶性；抽象函数．4.已知为偶函数，当时，，则满足的实数的个数为（）．A．2B．4C．6D．8【答案】D【解析】令，则，解得；又因为为偶函数，所以当时，，则或；当时，，方程无解；，方程有两解；，方程有一解；，方程有一解；即当时，有四解，由偶函数的性质，得当时，也有四解；综上，有8解.【考点】函数的性质、方程的解.5.偶函数满足，且在时，，若直线与函数的图像有且仅有三个交点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以函数的图像关于直线对称，又是偶函数，所以，即有，所以是周期为2的函数，由，得，即，画出函数和直线的示意图因为直线与函数的图像有且仅有三个交点，所以根据示意图易知：由直线与半圆相切，可计算得到，由直线与半圆相切可计算得到，所以，选B.【考点】1.函数的对称性、奇偶性、周期性；2.函数图像；3.直线与圆的位置关系；4.点到直线的距离公式.6.若函数在其定义域上为奇函数，则实数 .【答案】【解析】小题可采用带特殊值法求得，检验此时在处有定义.【考点】奇函数定义及特殊值法.7.已知函数是偶函数（1）求k的值；（2）若函数的图象与直线没有交点，求b的取值范围；（3）设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）；(3)【解析】（1）因为函数是偶函数，所以根据偶函数的定义，得到一个关于x,k的等式.由于对于任意的x都成立，相当于恒过定点的问题，所以求得k的值.（2）因为函数的图象与直线没有交点，所以对应的方程没有解，利用分离变量的思维可得到一个等式，该方程无解.所以等价两个函数与没有交点，所以求出函数的最值.即可得到b的取值范围.(3)因为，若函数与的图象有且只有一个公共点，所以等价于方程有且只有一个实数根.通过换元将原方程化为含参的二次方程的形式，即等价于该二次方程仅有一个大于零的实根，通过讨论即可得到结论.试题解析：（1）因为为偶函数，所以，即对于任意恒成立.于是恒成立,而不恒为零，所以. 4分（2）由题意知方程即方程无解.令，则函数的图象与直线无交点.因为，由，则，所以的取值范围是 . 8分（3）由题意知方程有且只有一个实数根．令，则关于的方程 (记为(*))有且只有一个正根.若，则，不合题意, 舍去；若，则方程(*)的两根异号或有两相等正根.由或；但，不合题意，舍去；而；若方程(*)的两根异号综上所述，实数的取值范围是． 12分【考点】1.函数的奇偶性.2.函数的与方程的思想的转化.3.换元法的应用.4.含参数的方程的根的讨论.8.设函数是定义在上的偶函数，当时，.若，则实数的值为 .【答案】【解析】若，则由，得，，解得成立．若，则由，得，即，，得，即，所以．【考点】函数的奇偶性．9.定义在上的函数,对任意都有,当时,,则________.【答案】【解析】由可知函数是周期函数且周期为；所以，而当时，，故.【考点】1.函数的周期性；2.抽象函数；3.函数的解析式.10.已知是定义在上的奇函数，当时，,那么的值是( ) A．B．C．D．【答案】A【解析】因为是定义在上的奇函数，所以.【考点】奇函数的定义.11.已知函数的定义域为,且为偶函数,则实数的值可以是( ) A．B．C．D．【答案】A【解析】因为函数的定义域为，所以在函数中，，则函数的定义域为，又因为为偶函数，所以，故选A．【考点】本题主要考查了抽象函数的定义域，以及偶函数的性质．12.已知定义在R上的单调递增函数满足,且。

高一数学函数的奇偶性试题答案及解析1.设函数和分别是上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是A．是偶函数B．是奇函数C．是偶函数D．是奇函数【答案】A【解析】由设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，我们易得到|f（x）|、|g（x）|也为偶函数，进而根据奇+奇=奇，偶+偶=偶，逐一对四个结论进行判断，即可得到答案．∵函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则|g（x）|也为偶函数，则f（x）+|g（x）|是偶函数，故A满足条件；f（x）-|g（x）|是偶函数，故B不满足条件；|f（x）|也为偶函数，则|f（x）|+g（x）与|f（x）|-g（x）的奇偶性均不能确定故选A【考点】函数奇偶性的判断2.若定义在上的奇函数和偶函数满足，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】为奇函数和为偶函数，由可得，即，，可解得.故选A.【考点】函数的奇偶性.3.已知f(x)是定义在(-3,3)上的奇函数，当0＜x＜3时，如图所示，那么不等式f(x)cosx＜0的解集是( ).A．B．C．D．【解析】图1图2如图1为f(x)在（-3，3）的图象，图2为y=cosx图象，要求得的解集，只需转化为在寻找满足如下两个关系的区间即可：，结合图象易知当时，，当时，，当时，，故选B.【考点】奇函数的性质，余弦函数的图象，数形结合思想.4.已知函数为偶函数，且若函数，则= ．【答案】2014【解析】由函数为偶函数，且得从而，故应填入2014．【考点】函数的奇偶性．5.若函数在其定义域上为奇函数，则实数 .【答案】【解析】小题可采用带特殊值法求得，检验此时在处有定义.【考点】奇函数定义及特殊值法.6.函数的图像大致是（）【答案】A【解析】因为的定义域为且，所以为上的偶函数，该函数的图像关于轴对称，只能是图像A、C选项之一，而，故选A.【考点】1.函数的图像；2.函数的奇偶性.7.已知，，则_ ____．【答案】5【解析】函数，，又为奇函数，所以.【考点】函数奇偶性.8.已知是奇函数，且，则．【解析】令，因为此函数是奇函数，所以。

高一数学函数的奇偶性试题1.已知函数为偶函数，且若函数，则= ．【答案】2014【解析】由函数为偶函数，且得从而，故应填入2014．【考点】函数的奇偶性．2.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的函数是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】A为偶函数，在上单调递减；B为奇函数，单调递增；C为偶函数，上不单调；D为偶函数，在上单调递增.【考点】函数的奇偶性、单调性.3.设函数是定义在上的偶函数，当时，.若，则实数的值为 .【答案】【解析】若，则由，得，，解得成立．若，则由，得，即，，得，即，所以．【考点】函数的奇偶性．(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数．4.已知函数f(x)＝log4(1)求k的值；(2)探究函数f(x)＝ax＋(a、b是正常数)在区间和上的单调性（只需写出结论，m＝0有解的m的取值范围．不要求证明）.并利用所得结论，求使方程f(x)－log4【答案】(1);(2)函数f(x)＝ax＋ (a、b是正常数)在区间上为减函数，在区间上为增函数;.【解析】(1)由已知函数的定义域为关于原点对称,又是偶函数,则可根据偶函数的定义(或者利用特殊值代入计算亦可,如),得到一个关于的方程,从而求出的值;(2)由函数在区间上为减函数,在区间上为增函数,结合是可知函数在区间上为单调递减函数,在区间上为单调递增函数.由题意知方程,即为方程,若使方程有解,则对数式的值要在函数的值域范围内,所以首先要求出函数的值域,对函数进行化归得,故原方程可化为,令,,则在区间上为减函数,在区间上为增函数,故函数的最小值为,即当,时函数的值,所以函数的值域为,从而可求出. 试题解析：(1)由函数f(x)是偶函数，可知．∴.即， 2分， 4分∴对一切恒成立．∴. 5分（注：利用解出，亦可得满分)(2)结论：函数 (a、b是正常数)在区间上为减函数，在区间上为增函数. 6分由题意知，可先求的值域，． 8分设，又设，则，由定理，知在单调递减，在单调递增，所以， 11分∵为增函数，由题意，只须，即故要使方程有解，的取值范围为. 13分【考点】1.偶函数;2.对数函数;3.函数;4.复合函数值域.5.已知定义在上的偶函数，当时，，那么时，_____.【答案】【解析】先由函数是偶函数得，然后将所求区间利用运算转化到已知区间上，代入到时，，即可的时，函数的解析式．这类题一般是求那一部设那一部分.当时则因为是偶函数,所以所以时，【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数奇偶性的性质．6.若函数为偶函数，则实数的值为__________．【解析】根据偶函数的定义，对定义域中的任意，有，即，故.【考点】函数的奇偶性.7.已知定义在R上的单调递增函数满足,且。

第13课时函数的奇偶性课时目标1.掌握利用函数的奇偶性定义判断函数奇偶性的方法和步骤．2．掌握奇偶函数的图象的对称性，并能利用其正确作出奇偶函数的草图．识记强化1．奇(偶)函数的概念．(1)一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．(2)一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．(3)如果函数f(x)是奇函数或偶函数，就说f(x)具有奇偶性．2．奇(偶)函数的图象特点．(1)奇函数的图象关于原点对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数．(2)偶函数的图象关于y轴对称；反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．(3)若当x＝0时奇函数f(x)有意义，则f(0)＝0.课时作业(时间：45分钟，满分：90分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．函数f(x)＝(x－1)·1＋x1－x，x∈(－1,1)()A．是奇函数B．是偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．是非奇非偶函数答案：B解析：∵x∈(－1,1)，∴x－1＜0.∴f(x)＝(x－1)·1＋x1－x＝－1－x2.g (x )是偶函数得g (－x )＝g (x )， H (－x )＝f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x ) ＝－H (x )所以H (x )＝f (x )·g (x )在区间D 上为奇函数．6．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋2a －b 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，则a ＋b ＝( ) A ．－13 B.13C ．0D ．1 答案：B解析：由偶函数的定义，知[a －1,2a ]关于原点对称，所以2a ＝1－a ，解得a ＝13.又f (x )为偶函数，则b＝0. 所以a ＋b ＝13.二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)7．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3x ＋b 是偶函数，且其定义域为[a －1,2a ]，则2a ＋3b ＝________. 答案：－253解析：因为偶函数的定义域关于原点对称， 所以(a －1)＋2a ＝0，所以a ＝13.因为偶函数的图象关于y 轴对称， 所以－b ＋32a ＝0，所以b ＝－3.故2a ＋3b ＝－253.8．设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图所示，则不等式f (x )＜0的解集为________．答案：(－2,0)∪(2,5]解析：由奇函数的图象关于原点对称，作出函数f (x )在[－5,0)的图象，由图象可以看出，不等式f (x )＜0的解集是(－2，0)∪(2,5]，如图所示．9．已知f (x )、g (x )是R 上的奇函数，若F (x )＝af (x )＋bg (x )＋2在区间(0，＋∞)上的最大值为5，则F (x )在(－∞，0)上的最小值为________．答案：－1∴f(－7)＝g(－7)＋7＝－17，得g(－7)＝－24.∴f(7)＝g(7)＋7＝24＋7＝31.13．(15分)函数f(x)的图象关于y轴对称，且x≥0时f(x)＝x2－2x.求满足f(x－1)<3的x取值范围．解：∵f(x)图象关于y轴对称，所以函数f(x)为偶函数x≥0时，x2－2x＝3，x＝3或x＝－1(舍去)即f(3)＝3.∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(|x|)结合图象f(x－1)<3，f(|x－1|)<f(3)∴|x－1|<3，－2<x<4.。

高一数学函数的奇偶性试题答案及解析1.已知是定义在上的奇函数，当时，则当时___________.【答案】【解析】设，则，又是定义在上的奇函数，则，故填.【考点】函数的奇偶性.2.设是定义在R上的奇函数，且的图象关于直线对称，则=________【解析】因为是定义在R上的奇函数，所以f(-x)=-f(x).又因为的图象关于直线对称.所以f(x)=f(1-x).所以由上两式可得f(1-x)=-f(-x)即f(-x)="-" f(1-x)=f(2-x).所以函数是一个周期为2的函数.所以.又因为函数是R上的奇函数所以，.所以填0.【考点】1.函数的周期性.2.函数的对称性.3.函数的奇偶性.3.已知偶函数满足，且当时，，则．【答案】2【解析】由知此函数周期 4，因为为偶函数，所以【考点】函数奇偶性周期性4.已知函数，下列叙述（1）是奇函数；（2）是奇函数；（3）的解为（4）的解为；其中正确的是________（填序号）．【答案】（1）（3）【解析】这类问题，必须对每个命题都判断其真假，根据的解析式，显然对任意的都有，即是奇函数，（1）正确；当然此时函数是偶函数，（2）错误；对（3）按照分类讨论，可解得不等式的解是，（3）正确；而对不等式来讲，时，不等式就不成立，故（4）错误．填（1）（3）．【考点】分段函数，函数的奇偶性，分类讨论.5.已知是定义在上的偶函数，那么=【答案】【解析】是定义在上的偶函数，因为偶函数定义域关于原点对称，，又由偶函数关于轴对称得：，所以【考点】偶函数的性质应用6.已知函数是定义在上的偶函数.当时，，则当时，.【答案】【解析】把转化为，利用偶函数的定义即可得所求.试题解析：时，.所以，.因为是是定义在上的偶函数，所以.【考点】偶函数，转化与化归思想7.定义在上的奇函数,当时,,则方程的所有解之和为．【答案】【解析】利用奇函数的图象关于原点对称的性质，通过观察图象可知方程的解是及的解的相反数.试题解析：作出时的图象，如下所示：方程的解等价于的图象与直线的交点的横坐标，因为奇函数的图象关于原点对称，所以等价于（）的图象与直线的交点的横坐标和（）的图象与直线的交点的横坐标的相反数，.由得.所以方程的所有解之和为.【考点】奇函数，方程与函数思想8.函数f(x)＝x5＋x3的图象关于()对称()．A．y轴B．直线y＝x C．坐标原点D．直线y＝－x【答案】C【解析】∵,∴函数是奇函数，它的图象关于原点对称.图象关于y轴对称的函数是偶函数。

高一数学函数练习题一、求函数的定义域1、 求下列函数的定义域：⑴y =⑵y =⑶01(21)111y x x =+-+-2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________；3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是二、求函数的值域4、求下列函数的值域：⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈31y x x =-++y =三、求函数的解析式系已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。

已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。

已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。

设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且1()()1f xg x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式四、求函数的单调区间6、求下列函数的单调区间： ⑴ 223y x x =++ ⑵y = ⑶ 261y x x =--7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2(1)f x -的单调递增区间是五、综合题9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ）⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(， 2)(x x g =； ⑷x x f =)(， ()g x = ⑸21)52()(-=x x f ， 52)(2-=x x f 。

A 、⑴、⑵B 、 ⑵、⑶C 、 ⑷D 、 ⑶、⑸10、若函数()f x = 3442++-mx mx x 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是 （ ）A 、(－∞,+∞)B 、(0,43]C 、(43,+∞)D 、[0,43)11、若函数()f x =R ，则实数m 的取值范围是（ ）(A)04m << (B) 04m ≤≤ (C) 4m ≥ (D) 04m <≤ 12、对于11a -≤≤，不等式2(2)10x a x a +-+->恒成立的x 的取值范围是（ ）(A) 02x << (B) 0x <或2x > (C) 1x <或3x > (D) 11x -<<13、函数()f x = ）A.[2,2]- B.(2,2)- C.(,2)(2,)-∞-+∞ D.{2,2}-14、函数1()(0)f x x x x=+≠是（ ） A 、奇函数，且在(0，1)上是增函数 B 、奇函数，且在(0，1)上是减函数C 、偶函数，且在(0，1)上是增函数D 、偶函数，且在(0，1)上是减函数15、函数22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f x =，则x =16、已知函数f x ()的定义域是(]01，，则g x fxafxa a ()()()()=+⋅--<≤120的定义域为 。

函数的奇偶性1．奇偶性：① 定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有 ，则称f (x )为奇函数；若 ，则称f (x )为偶函数. 如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有 . 如果函数同时具有上述两条性质，则f (x ) . ② 简单性质：1） 图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于 对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 对称.2） 函数f (x )具有奇偶性的必要条件是其定义域关于 对称. 2．与函数周期有关的结论：①已知条件中如果出现)()(x f a x f -=+、或m x f a x f =+)()(（a 、m 均为非零常数，0>a ），都可以得出)(x f 的周期为 ；②)(x f y =的图象关于点)0,(),0,(b a 中心对称或)(x f y =的图象关于直线b x a x ==,轴对称，均可以得到)(x f 周期例1. 判断下列函数的奇偶性.（1）f(x)=2211x x -⋅-; (2)f(x)=log 2(x+12+x ) (x ∈R); (3)f(x)=lg|x-2|.变式训练1：判断下列各函数的奇偶性：（1）f （x ）=（x-2）x x -+22； （2）f （x ）=2|2|)1lg(22---x x ； （3）f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-<+.1(2),1|(|0),1(2）x x x x x例2 已知函数f(x),当x,y ∈R 时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y). （1）求证：f(x)是奇函数；（2）如果x ∈R +，f （x ）＜0,并且f(1)=-21,试求f(x)在区间［-2，6］上的最值.变式训练2：已知f(x)是R 上的奇函数，且当x ∈(-∞,0)时，f(x)=-xlg(2-x),求f(x)的解析式.例3 已知函数f(x)的定义域为R ，且满足f(x+2)=-f(x) . （1）求证：f(x)是周期函数；（2）若f(x)为奇函数，且当0≤x ≤1时，f(x)=21x,求使f(x)=-21在［0，2 009］上的所有x 的个数.变式训练3：已知函数f(x)=x 2+|x-a|+1,a ∈R. （1）试判断f(x)的奇偶性； （2）若-21≤a ≤21，求f(x)的最小值.1．奇偶性是某些函数具有的一种重要性质，对一个函数首先应判断它是否具有这种性质. 判断函数的奇偶性应首先检验函数的定义域是否关于原点对称，然后根据奇偶性的定义判断（或证明）函数是否具有奇偶性. 如果要证明一个函数不具有奇偶性，可以在定义域内找到一对非零实数a 与－a ，验证f (a )±f (－a )≠0.2．对于具有奇偶性的函数的性质的研究，我们可以重点研究y 轴一侧的性质，再根据其对称性得到整个定义域上的性质.3．函数的周期性：第一应从定义入手，第二应结合图象理解.函数的奇偶性练习题1．函数f （x ）=x(-1﹤x ≦1)的奇偶性是（ ）A ．奇函数非偶函数B ．偶函数非奇函数C ．奇函数且偶函数D ．非奇非偶函数2. 已知函数f （x ）=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）=ax 3＋bx 2＋cx 是( ）A .奇函数B .偶函数C .既奇又偶函数D .非奇非偶函数 3. 若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且f (2)=0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是 ( )A.(-∞,2)B. (2,+∞)C. (-∞,-2)⋃(2,+∞)D. (-2,2)4．已知函数f (x )是定义在(－∞,+∞)上的偶函数. 当x ∈(－∞,0)时，f (x )=x -x 4，则 当x ∈(0.+∞)时，f (x )= . 5. 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝lg (12+x -x );(2)f (x )＝2-x +x -2(3) f （x ）=⎩⎨⎧>+<-).0()1(),0()1(x x x x x x6.已知g (x )=－x 2－3,f (x )是二次函数，当x ∈[-1,2]时，f (x )的最小值是1，且f (x )+g (x )是奇函数，求f (x )的表达式。

函数的基本性质1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。

如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。

注意：○1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；○2由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。

（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；○2确定f(－x)与f(x)的关系；○3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数。

（3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；②设()g x的定义域分别是12,D D，那么在它们的公共定义域上：f x，()奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶2．单调性（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)（f(x1)>f(x2)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数）；注意：○1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；○2必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2) （2）如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。

高一数学第二单元函数奇偶性练习题★★函数奇偶性知识点：1．定义一般地，对于函数f(x)（1）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。

1．定义一般地，对于函数f(x)（1）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。

（2）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。

（3）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。

（4）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。

说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇（或偶）函数。

（分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论）③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义2．奇偶函数图像的特征：定理奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图象关于y轴或轴对称图形。

f(x)为奇函数《＝＝》f(x)的图像关于原点对称点（x,y）→（-x,-y）奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。

偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。

3.奇偶函数运算(1) . 两个偶函数相加所得的和为偶函数。

(2) . 两个奇函数相加所得的和为奇函数。

(3) . 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数。

(4) . 两个偶函数相乘所得的积为偶函数。

(5) . 两个奇函数相乘所得的积为偶函数。

(6) . 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.★★典型例题分析：例1：已知y=f(x)是奇函数，它在(0，+∞)上是增函数，且f(x)<0，试问：F(x)= 在(－∞，0)上是增函数还是减函数？证明你的结论思维分析：根据函数单调性的定义，可以设x1<x2<0，进而判断：F(x1) －F(x2)= － = 符号解：任取x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2，则－x1>－x2>0 因为y=f(x)在(0，+∞]上是增函数，且f(x)<0， 所以f(－x2)<f(－x1)<0，①又因为f(x)是奇函数 所以f(－x2)= －f(x2)，f(－x1)=f(x1)② 由①②得f(x2)>f(x1)>0 于是F(x1) －F(x2)= －例2：已知 是定义域为 的奇函数，当x>0时，f(x)=x|x －2|，求x<0时，f(x)的解析式． 解：设x<0，则－x>0且满足表达式f(x)=x|x －2| 所以f(－x)= －x|－x －2|=－x|x+2|又f(x)是奇函数，有f(－x)= －f(x) 所以－f(x)= －x|x+2| 所以f(x)=x|x+2| 故当x<0时F(x)表达式为f(x)=x|x+2|.x)= 在(－∞，0)上是减函数。

高一数学函数的奇偶性练习题1、判断奇偶性：$f(x)=x^2-1+1-x^2$2、已知$f(x)=x^5+ax^3+bx-8$且$f(-2)=10$，求$f(2)$。

3、判断函数$f(x)=\begin{cases}x^2(x\geq0)\\-x^2(x<0)\end{cases}$的奇偶性。

4、若$f(x)=(k-2)x+(k-3)x+3$是偶函数，讨论函数$f(x)$的单调区间。

5、定义在$\mathbb{R}$上的偶函数$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$是单调递减，若$f(a-6)<f(2a)$，则$a$的取值范围是多少？6、设奇函数$f(x)$的定义域为$[-5,5]$。

若当$x\in[0,5]$时，$f(x)$的图象如右图，则不等式$f(x)<0$的解是什么？7、函数$f(x)$在区间$(-2,3)$上是增函数，则$y=f(x+5)$的递增区间是什么？8、已知定义域为$\mathbb{R}$的函数$f(x)$在区间$(-\infty,5)$上单调递减，对任意实数$t$，都有$f(5+t)=f(5-t)$，那么下列式子一定成立的是$f(9)<f(-1)<f(13)$。

9、已知函数$f(x)=x^2+2(a-1)x+2$在区间$(-\infty,4]$上是减函数，则实数$a$的取值范围是$a\leq3$。

10、定义在$\mathbb{R}$上的函数$y=f(x)$在$(-\infty,2)$上是增函数，且$y=f(x+2)$图象的对称轴是$x=0$，则$f(-1)<f(3)$。

11、已知$f(x)$是定义在$(-2,2)$上的减函数，且$f(m-1)-f(1-2m)>0$，求实数$m$的取值范围。

高一数学函数奇偶性练习题及答案解析读书是一门人生的艺术，因为读书，人生才更精彩！数学函数奇偶性练习题及答案解析1.下列命题中，真命题是（）A.函数y=1x是奇函数，且在定义域内为减函数B.函数y=x3（x-1）0是奇函数，且在定义域内为增函数C.函数y=x2是偶函数，且在（-3，0）上为减函数D.函数y=ax2+c（ac ne;0）是偶函数，且在（0，2）上为增函数解析：选C.选项A中，y=1x在定义域内不具有单调性；B 中，函数的定义域不关于原点对称；D中，当a<0时，y=ax2+c（ac ne;0）在（0，2）上为减函数，故选C.2.奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数，在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为-1，则2f（-6）+f（-3）的值为（）A.10B.-10C.-15D.15解析：选C.f（x）在[3，6]上为增函数，f（x）max=f （6）=8，f（x）min=f（3）=-1. there4;2f（-6）+f（-3）=-2f（6）-f（3）=-2x8+1=-15.3.f（x）=x3+1x的图象关于（）A.原点对称B.y轴对称C.y=x对称D.y=-x对称解析：选A.x ne;0，f（-x）=（-x）3+1-x=-f（x），f （x）为奇函数，关于原点对称.4.如果定义在区间[3-a，5]上的函数f（x）为奇函数，那么a=________.解析：∵f（x）是[3-a，5]上的奇函数，there4;区间[3-a，5]关于原点对称，there4;3-a=-5，a=8.答案：81.函数f（x）=x的奇偶性为（）A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数解析：选D.定义域为{x|x ge;0}，不关于原点对称.2.下列函数为偶函数的是（）A.f（x）=|x|+xB.f（x）=x2+1xC.f（x）=x2+xD.f（x）=|x|x2解析：选D.只有D符合偶函数定义.3.设f（x）是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（）A.f（x）f（-x）是奇函数B.f（x）|f（-x）|是奇函数C.f（x）-f（-x）是偶函数D.f（x）+f（-x）是偶函数解析：选D.设F（x）=f（x）f（-x）则F（-x）=F（x）为偶函数.设G（x）=f（x）|f（-x）|，则G（-x）=f（-x）|f（x）|.there4;G（x）与G（-x）关系不定.设M（x）=f（x）-f（-x），there4;M（-x）=f（-x）-f（x）=-M（x）为奇函数.设N（x）=f（x）+f（-x），则N（-x）=f（-x）+f（x）. N（x）为偶函数.4.已知函数f（x）=ax2+bx+c（a ne;0）是偶函数，那么g（x）=ax3+bx2+cx（）A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.是非奇非偶函数解析：选A.g（x）=x（ax2+bx+c）=xf（x），g（-x）=-x bull;f（-x）=-x bull;f（x）=-g（x），所以g（x）=ax3+bx2+cx是奇函数；因为g（x）-g（-x）=2ax3+2cx不恒等于0，所以g（-x）=g（x）不恒成立.故g（x）不是偶函数.5.奇函数y=f（x）（x isin;R）的图象必过点（）A.（a，f（-a））B.（-a，f（a））C.（-a，-f（a））D.（a，f（1a））解析：选C.∵f（x）是奇函数，there4;f（-a）=-f（a），即自变量取-a时，函数值为-f（a），故图象必过点（-a，-f（a））.6.f（x）为偶函数，且当x ge;0时，f（x） ge;2，则当x le;0时（）A.f（x） le;2B.f（x） ge;2C.f（x） le;-2D.f（x） isin;R解析：选B.可画f（x）的大致图象易知当x le;0时，有f（x） ge;2.故选B.7.若函数f（x）=（x+1）（x-a）为偶函数，则a=________.解析：f（x）=x2+（1-a）x-a为偶函数，there4;1-a=0，a=1.答案：18.下列四个结论：①偶函数的图象一定与纵轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③f（x）=0（x isin;R）既是奇函数，又是偶函数；④偶函数的图象关于y轴对称.其中正确的命题是________.解析：偶函数的图象关于y轴对称，不一定与y轴相交，①错，④对；奇函数当x=0无意义时，其图象不过原点，②错，③对.答案：③④9.①f（x）=x2（x2+2）；②f（x）=x|x|；③f（x）=3x+x；④f（x）=1-x2x.以上函数中的奇函数是________.解析：（1）∵x isin;R， there4;-x isin;R，又∵f（-x）=（-x）2[（-x）2+2]=x2（x2+2）=f（x），there4;f（x）为偶函数.（2）∵x isin;R， there4;-x isin;R，又∵f（-x）=-x|-x|=-x|x|=-f（x），there4;f（x）为奇函数.（3）∵定义域为[0，+ infin;），不关于原点对称，there4;f（x）为非奇非偶函数.（4）f（x）的定义域为[-1，0） cup;（0，1]即有-1 le;x le;1且x ne;0，则-1 le;-x le;1且-x ne;0，又∵f（-x）=1--x2-x=-1-x2x=-f（x）.there4;f（x）为奇函数.答案：②④10.判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）=（x-1） 1+x1-x；（2）f（x）=x2+x x<0-x2+x x>0.解：（1）由1+x1-x ge;0，得定义域为[-1，1），关于原点不对称， there4;f（x）为非奇非偶函数.（2）当x<0时，-x>0，则f（-x）=-（-x）2-x=-（-x2+x）=-f（x），当x>0时，-x<0，则f（-x）=（-x）2-x=-（-x2+x）=-f （x），综上所述，对任意的x isin;（- infin;，0） cup;（0，+ infin;），都有f（-x）=-f（x），there4;f（x）为奇函数.11.判断函数f（x）=1-x2|x+2|-2的奇偶性.解：由1-x2 ge;0得-1 le;x le;1.由|x+2|-2 ne;0得x ne;0且x ne;-4.there4;定义域为[-1，0） cup;（0，1]，关于原点对称.∵x isin;[-1，0） cup;（0，1]时，x+2>0，there4;f（x）=1-x2|x+2|-2=1-x2x，there4;f（-x）=1--x2-x=-1-x2x=-f（x），there4;f（x）=1-x2|x+2|-2是奇函数.12.若函数f（x）的定义域是R，且对任意x，yisin;R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立.试判断f（x）的奇偶性.解：在f（x+y）=f（x）+f（y）中，令x=y=0，得f（0+0）=f（0）+f（0），there4;f（0）=0.再令y=-x，则f（x-x）=f（x）+f（-x），即f（x）+f（-x）=0，there4;f（-x）=-f（x），故f（x）为奇函数.。

奇偶性易错分层重点练必备知识基础练1．下列函数中是偶函数的是()A．y＝x4(x<0)B．y＝2x2＋1C．y＝3x－1D．y＝|x＋1|2．下列函数是奇函数的是()A．f(x)＝x－1B．f(x)＝x2＋1xC．f(x)＝x＋1D．f(x)＝x，x∈(－1，1]3．已知函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)·g(x)的图象可能是()4．函数f(x)＝x2－1的图象关于()A．x轴对称B．y轴对称C．坐标原点对称D．直线y＝x对称5．下列函数中，既是奇函数又在定义域内是增函数的为()A．y＝x＋1B．y＝－x3C．y＝－1D．y＝x|x|x6．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是() A．|f(x)|－g(x)是奇函数B．f(x)－|g(x)|是奇函数C．|f(x)|＋g(x)是偶函数D．f(x)＋|g(x)|是偶函数7．已知f(x)为奇函数，f(2)＝3，则f(－2)＝________．8．已知函数f(x)为偶函数，且f(x)的定义域为[a＋1，3]，则a的值为________．关键能力综合练1．若函数y＝(3x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝()A．1B．－1C．13D．22．若函数f(x)＝x（2x＋1）（x－a）为奇函数，则a＝()A．12B．23C．34D．13．函数f(x)＝11－x2的图象大致为()4．已知f(x)是R上的偶函数，在(－∞，0]上单调递增，且f(2)＝0，则下列不等式成立的是()A．0<f(1)<f(5)<f(－3)B．f(5)<f(－3)<0<f(1)C．f(－3)<f(－1)<0<f(1)D．f(－3)<0<f(1)<f(5)5．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(3)＝0，则f(x－2)>0的解集是() A．{x|－3<x<3}B．{x|x<－1或x>5}C．{x|x<－3或x>3}D．{x|x<－5或x>1}6．(多选)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋x＋5，则()A．f(0)＝0B．函数g(x)＝xf(x)为奇函数C．f(－1)＝－7D．当x<0时，f(x)＝－x2＋x－57．定义在R上的偶函数f(x)满足：当x≥0时，f(x)＝x3＋x2，则f(－2)＝________．8．已知函数f(x)（4＋x），x≥0（4－x），x<0，则f(－1)·f(1)＝________；f(x)是________(填奇、偶或非奇非偶函数).9．已知定义在R 上的函数f (x )＝ax ＋1x 2＋1为偶函数．(1)求a 的值；(2)判断f (x )在[0，＋∞)上的单调性，并用定义法证明．10．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－2x －3(1)求f (f (1))的值；(2)求函数f (x )的解析式；(3)把函数图象补充完整，并写出函数f (x )的单调递增区间．核心素养升级练1．符号函数sgn (x )是一个很有用的函数，符号函数能够把函数的符号析离出来，其表达式为sgn (x )，x >0，，x ＝0，1，x <0，若定义在R 上的奇函数f (x )，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－x 2＋2x ，则y ＝sgn (f (x ))的图象是()2．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)＋g(x)＝x3－2x2，则f(2)－g(2)＝________．3．已知函数f(x)＝ax＋bx2＋1是定义在(－1，1)上的奇函数，且f(12)＝25.(1)求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在(－1，1)上的单调性，并用定义证明；(3)解关于t的不等式：f(t＋12)＋f(t－12)<0.参考答案必备知识基础练1．答案：B解析：对于A ，因为函数y ＝x 4(x <0)的定义域不关于原点对称，所以函数不具有奇偶性，故A 不符合题意；对于B ，函数y ＝f (x )＝2x 2＋1的定义域为R ，f (－x )＝2x 2＋1＝f (x )，所以函数为偶函数，故B 符合题意；对于C ，函数y ＝f (x )＝3x －1的定义域为R ，f (－x )＝－3x －1≠f (x )，所以函数不是偶函数，故C 不符合题意；对于D ，函数y ＝f (x )＝|x ＋1|的定义域为R ，因为f (－1)＝0≠f (1)＝2，所以函数不是偶函数，故D 不符合题意．2．答案：A 解析：对于A ：f (x )＝x －1x 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).因为f (－x )＝(－x )－1－x＝－(x －1x )＝－f (x )，所以f (x )＝x －1x为奇函数，故A 正确；对于B:f (x )＝x 2＋1定义域为R ，因为f (1)＝12＋1＝2，f (－1)＝(－1)2＋1＝2，所以f (－1)≠－f (1)，所以f (x )＝x 2＋1不是奇函数，故B 错误．对于C ：f (x )＝x ＋1定义域为R ，因为f (1)＝1＋1＝2，f (－1)＝(－1)＋1＝0，所以f (－1)≠－f (1)，所以f (x )＝x ＋1不是奇函数，故C 错误．对于D ：f (x )＝x 定义域为(－1，1]，不关于原点对称，所以f (x )＝x ，x ∈(－1，1]不是奇函数，故D 错误．3．答案：A解析：根据函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象，可得函数y ＝f (x )·g (x )在x ＝0处无意义，故排除CD ；由图象可知y ＝f (x )的图象关于y 轴对称为偶函数，y ＝g (x )的图象关于原点对称为奇函数，所以y ＝f (x )·g (x )为奇函数，故排除B.4．答案：B解析：函数f (x )的定义域是实数集R ，关于原点对称，f (－x )＝(－x )2－1＝x 2－1＝f (x )，是偶函数，∴函数f (x )图象关于y 轴对称．5．答案：D解析：选项A ：y ＝x ＋1不是奇函数，不正确；选项B ：y ＝－x 3在R 是减函数，不正确；选项C ：y ＝－1x定义域上没有单调性，不正确；选项D ：设f (x )＝x |x |，f (－x )＝－x |x |＝－f (x )，f (x )是奇函数，f (x )＝x |x |2，x ≥0x 2，x <0，f (x )在(－∞，0)，(0，＋且在x ＝0处是连续的，f (x )在R 上单调递增，所以正确．6．答案：D解析：∵函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x ).对于选项A ，|f (－x )|－g (－x )＝|f (x )|＋g (x )≠±(|f (x )|－g (x ))，故其不具有奇偶性；对于选项B ，f (－x )－|g (－x )|＝f (x )－|g (x )|，故函数为偶函数；对于选项C ，|f (－x )|＋g (－x )＝|f (x )|－g (x )≠±(|f (x )|＋g (x ))，故其不具有奇偶性；对于选项D ，f (－x )＋|g (－x )|＝f (x )＋|g (x )|，故函数为偶函数．综上，选D.7．答案：－3解析：因为f (x )为奇函数，f (2)＝3，所以f (－2)＝－f (2)＝－3.8．答案：－4解析：因为函数f (x )为偶函数，且f (x )的定义域为[a ＋1，3]，则a ＋1＋3＝0，解得a ＝－4.关键能力综合练1．答案：C解析：若y ＝f (x )，则f (x )＝3x 2＋(1－3a )x －a 为偶函数，∴f (x )＝f (－x )，即3x 2＋(1－3a )x －a ＝3(－x )2＋(1－3a )(－x )－a ，∴2(1－3a )x ＝0恒成立，可得a ＝13.2．答案：A 解析：∵f (x )＝x （2x ＋1）（x －a ）为奇函数，∴f (－1)＋f (1)＝0，得a ＝12.3．答案：A解析：函数定义域为{x |x ≠±1}，f (－x )＝11－x 2＝f (x )，则f (x )为偶函数，排除选项CD ；又f (2)＝11－22＝－13<0，排除B.4．答案：B解析：因为f (x )是R 上的偶函数，在(－∞，0]上单调递增，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减，f (－3)＝f (3).又因为f (2)＝0，1<2<3<5，f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以f (1)>f (2)>f (3)>f (5)，即f (5)<f (－3)<0<f (1).5．答案：B解析：因为f (3)＝0，则f (x －2)>0，所以f (x －2)>f (3)，因为f (x )为偶函数，所以f (|x －2|)>f (3)，因为f (x )在[0，＋∞)上单调递增，所以|x －2|>3，解得x <－1或x >5，所以不等式的解集为{x |x <－1或x >5}．6．答案：ACD解析：对于A ，f (x )是定义在R 上的奇函数，故f (0)＝0，A 正确．对于B ，由g (－x )＝－xf (－x )＝xf (x )＝g (x )，得g (x )为偶函数，B 错误．对于C ，f (－1)＝－f (1)＝－7，C 正确，对于D ，当x <0时，－x >0，f (x )＝－f (－x )＝－x 2＋x －5，D 正确．7．答案：12解析：因为f (x )是定义在R 上的偶函数，故可得f (－2)＝f (2)，又当x ≥0时，f (x )＝x 3＋x 2，故可得f (2)＝12，综上所述：f (－2)＝12.8．答案：－25奇函数解析：f (1)＝1×(4＋1)＝5，f (－1)＝－1×(4＋1)＝－5，所以f (－1)·f (1)＝－25.当x ＝0时，f (0)＝0；当x >0时，f (x )＝x (4＋x )，则－x <0，则f (－x )＝－x (4＋x )＝－f (x )，当x <0时，f (x )＝x (4－x )，则－x >0，则f (－x )＝－x (4－x )＝－f (x )，综上可得，对任意x ∈R ，均有f (－x )＝－f (x )成立，故f (x )为奇函数．9．解析：(1)由题意可得f (x )＝f (－x )，则ax ＋1x 2＋1＝－ax ＋1x 2＋1，解得a ＝0.(2)f (x )在[0，＋∞)上单调递减．证明如下：由(1)可得f (x )＝1x 2＋1，令0≤x 1<x 2，则x 22－x 21>0，又f (x 1)－f (x 2)＝1x 21＋1－1x 22＋1＝x 22－x 21（x 21＋1）（x 22＋1）>0，即f (x 1)>f (x 2)，故f (x )在[0，＋∞)上单调递减．10．解析：(1)∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∵f (1)＝1－2－3＝－4，∴f (f (1))＝f (－4)＝－f (4)＝－(16－8－3)＝－5.(2)当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝(－x )2－2(－x )－3＝x 2＋2x －3，∴f (x )＝－f (－x )＝－x 2－2x ＋3；又f (0)＝0，∴f (x )2－2x －3，x >0，x ＝0x 2－2x ＋3，x <0.(3)f (x )图象如下图所示：结合图象可知：f (x )的单调递增区间为(－∞，－1]和[1，＋∞).核心素养升级练1．答案：C解析：依题意，f (x )是定义在R 上的奇函数，图象关于原点对称．当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－x 2＋2x ，结合f (x )的奇偶性，作出f (x )的大致图象如图所示，根据sgn (x )的定义可知，选项C 符合题意．2．答案：16解析：由题意，f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，∴f (－x )＋g (－x )＝－f (x )＋g (x )＝－x 3－2x 2，即f (x )－g (x )＝x 3＋2x 2，∴f (2)－g (2)＝8＋8＝16.3．解析：(1)因为函数f (x )＝ax ＋b x 2＋1是定义在(－1，1)上的奇函数，则f (－x )＝－f (x )，即－ax ＋b x 2＋1＝－ax ＋b x 2＋1，可得b ＝0，则f (x )＝ax x 2＋1，所以，f (12)＝12a （12）2＋1＝25a ＝25，则a ＝1，因此，f (x )＝x x 2＋1.(2)证明：函数f (x )在(－1，1)上是增函数，证明如下：任取x 1、x 2∈(－1，1)且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 21＋1－x 2x 22＋1＝x 1x 22＋x 1－x 21x 2－x 2（x 21＋1）（x 22＋1）＝x 1x 2（x 2－x 1）＋（x 1－x 2）（x 21＋1）（x 22＋1）＝（x 1－x 2）（1－x 1x 2）（x 21＋1）（x 22＋1），因为－1<x 1<x 2<1，则x 1－x 2<0，－1<x 1x 2<1，故f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2).因此，函数f (x )在(－1，1)上是增函数．(3)因为函数f (x )是(－1，1)上的奇函数且为增函数，由f (t ＋12)＋f (t －12)<0得f (t ＋12)<－f (t －12)＝f (12－t )，＋12<12－t 1<t ＋12<11<t －12<1，解得－12<t <0.因此，不等式f (t ＋12)＋f (t －12)<0的解集为(－12，0).。