2.3 数值积分 2.3.1 一元函数的数值积分 函数1 quad 、quadl 、quad8 功能 数值定积分，自适应Simpleson 积分法。 格式 q = quad(fun,a,b) %近似地从a 到b 计算函数fun 的数值积分，误差为10-6。 若给fun 输入向量x ，应返回向量y ，即fun 是一单值函数。 q = quad(fun,a,b,tol) %用指定的绝对误差tol 代替缺省误差。tol 越大，函数计 算的次数越少，速度越快，但结果精度变小。 q = quad(fun,a,b,tol,trace,p1,p2,…) %将可选参数p1,p2,…等传递给函数 fun(x,p1,p2,…)，再作数值积分。若tol=[]或trace=[]，则用缺省值进行计算。 [q,n] = quad(fun,a,b,…) %同时返回函数计算的次数n … = quadl(fun,a,b,…) %用高精度进行计算，效率可能比quad 更好。 … = quad8(fun,a,b,…) %该命令是将废弃的命令，用quadl 代替。 例2-40 >>fun = inline(‘3*x.^2./(x.^3-2*x.^2+3)’); equivalent to: function y=funn(x) y=3*x.^2./(x.^3-2*x.^2+3); >>Q1 = quad(fun,0,2) >>Q2 = quadl(fun,0,2) 计算结果为： Q1 = 3.7224 Q2 = 3.7224 补充：复化simpson 积分法程序 程序名称 Simpson.m 调用格式 I=Simpson('f_name',a,b,n) 程序功能 用复化Simpson 公式求定积分值 输入变量 f_name 为用户自己编写给定函数()y f x 的M 函数而命名的程序文件名 a 为积分下限 b 为积分上限 n 为积分区间[,]a b 划分成小区间的等份数 输出变量 I 为定积分值 程序 function I=simpson(f_name,a,b,n) h=(b-a)/n; x=a+(0:n)*h; f=feval(f_name,x); N=length(f)-1;
常微分方程的积分因子求解法 内容摘要：本文给出了几类特殊形式的积分因子的求解方法，并推广到较一般的形式。 关键词： 全微分方程，积分因子。 一、 基本知识 定义1.1 对于形如 0),(),(=+dy y x N dx y x M （1.1） 的微分方程，如果方程的左端恰是x ，y 的一个可微函数),(y x U 的全微分，即d ),(y x U = dy y x N dx y x M ),(),(+，则称（1.1）为全微分方程. 易知，上述全微分方程的通解为 ),(y x U =C , （C 为任意常数）. 定理1.1 （全微分方程的判别法）设),(y x M ，),(y x N 在x ，y 平面上的单连通区域G 内具有连续的一阶偏导数，则（1.1）是全微分方程的充要条件为 x y x N y y x M ??=??),(),( （1.2） 证明见参考文献[1]. 定义1.2 对于微分方程（1.1），如果存在可微函数),(y x μ，使得方程 ),(y x μ0),(),(),(=+dy y x N y x dx y x M μ （1.3） 是全微分方程，则称),(y x μ为微分方程（1.1）的积分因子. 定理1.2 可微函数),(y x μ为微分方程（1.1）的积分因子的充要条件为 x y x y x N ??),(ln ),(μ-y y x y x M ??),(ln ),(μ=x y x N y y x M ??-??),(),( （1.4） 证明：由定理1.1得，),(y x μ为微分方程（1.1）的积分因子的充要条件为 x y x N y x y y x M y x ??=??)),(),(()),(),((μμ， 展开即得：
全微分方程及积分因子
全微分方程及积分因子 内容：凑微分法，全微分方程的判别式，全微分方程的公式解，积分因子的微分方程，只含一个变量的积分因子和其他特殊形式的积分因子。由于有数学分析多元微积分的基础，本节的定理1可以简化处理。对课本中第三块知识即全微分方程的物理背景可以留到后面处理，对第四块知识增解和失解的情况要分散在本章各小节，每次都要重视这个问题。关于初等积分法的局限性可归到学习近似解法时一起讲解。 重点：全微分方程的公式解和积分因子的计算，难点为凑微分法和积分因子的计算。 习题1(1,3,5)，2，3 思考题：讨论其他特殊形式的积分因子。 方程：0),(),(=+dy y x N dx y x M 判定：全微分?x N y M ??≡?? 解法：C dy y x N dx y x M y y x x =+??00),(),(0 初值问题0=C 积分因子：x N y M y M x N ??-??=? ???????-??μμμ1
)(x μ： N x N y M dx d ?? -??=μμ1 )(y μ： M x N y M dy d ??- ??-=μμ1 1．解下列方程： 1）0)(222=-+dy y x xydx 解：x N y M ?? ≡??=x 2 ??=-+x y C dy y xydx 002 )0(2既 C y y x =-3/32 2）0)2(=+---dy xe y dx e y y 解：x N y M ??≡??=y e -- ??=-+-y x y C dy y dx e 00)2(既C y xe y =--2 3）0)1(222=---+dy y x dx y x x 解：x N y M ??≡??=y x --221 ??=---+x y C dy y dx y x x 002)1(2 C y y y x x =-+---+23 232322)(32 )(32 )(32 既C y x x =-+23 2 2)(32 4）0)ln (3 =++dy x y dx x y
高中大学数学微分与积分公式（全集） （高中大学数学） 一、001 01101lim 0 n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m --→∞?=??+++? =??? L L （系数不为0的情况） 二、重要公式（1）0sin lim 1x x x →= （2）()1 0lim 1x x x e →+= （3 ）)1n a o >= （4 ）1n = （5）limarctan 2 x x π →∞ = （6）lim tan 2 x arc x π →-∞ =- （7）limarccot 0x x →∞ = （8）lim arccot x x π→-∞ = （9）lim 0x x e →-∞ = （10）lim x x e →+∞ =∞ （11）0 lim 1x x x + →= 三、下列常用等价无穷小关系（0x →） sin x x : tan x x : arcsin x x : arctan x x : 2 11cos 2 x x -: ()ln 1x x +: 1x e x -: 1ln x a x a -: ()11x x ? +-?: 四、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-??= ??? 五、基本导数公式
⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1 ln x x '= ⑿()1 log ln x a x a '= ⒀( )arcsin x '= ⒁( )arccos x '= ⒂()21arctan 1x x '= + ⒃() 2 1arccot 1x x '=-+⒄()1x '= ⒅ '= 六、高阶导数的运算法则 （1）()()() () () ()()n n n u x v x u x v x ±=±???? （2）()() ()()n n cu x cu x =???? （3）()()() ()n n n u ax b a u ax b +=+???? （4）()()() () ()()()0 n n n k k k n k u x v x c u x v x -=?=????∑ 七、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）() () !n n x n = （2）() () n ax b n ax b e a e ++=? (3)() () ln n x x n a a a = (4)()() sin sin 2n n ax b a ax b n π? ?+=++??? ??? ? ? (5) ()() cos cos 2n n ax b a ax b n π? ?+=++??? ??? ? ?
一阶微分方程积分因子的求法探讨 数学与信息科学学院 数学与应用数学专业 指导教师：郑丽丽 职称：教授 摘 要：针对满足某些条件的微分方程，本文将给出几种直接、有效地求积分因子的方法． 关键词：一阶微分方程；积分因子 The Solution of Integral Factor for the First Order Ordinary Differential Equation Abstract ：This paper has made a special effort to study how to quadrate integral factors directly and efficiently ．When the differential equations meet some conditions ， therefore ， the common method we can get from it ． Key Words ：the first order ordinary differential equation ；integral factor ０前 言 一阶微分方程的求解是整个微分方程求解的基础，一般的有两种处理方式：一是 以变量可分离的方程为基础，通过适当的变量代换把一阶微分方程化为可积型方程；另外就是以全微分方程为基础，采取积分因子法把一个一阶微分方程化为全微分方程求．这里我们讨论了积分因子存在的充要条件，给出了确定若干特殊类型的积分因子的求法． 1 积分因子的定义 若对于一阶微分方程 ()(),,0M x y dx N x y dy += （1） 其中(),M x y ，(),N x y 在矩形域内是,x y 的连续函数，且有连续的一阶偏导数．若存在连续可微的函数(),0x y μ≠，使得 ()()()(),,,,0x y M x y dx x y N x y dy μμ+≡， 为一恰当方程，即存在函数V ，使
微分方程积分因子的求法 何佳 【摘要】 利用积分因子，可以对一个一阶微分方程的求解进行统一处理。因此，如何求解积分因子就成为解一阶微分方程的一个重点了。但对于一个具体的方程，如何求出它的积分因子呢，一般的方法是解一个一阶偏微分方程，不过那是比较不容易的。但是，对于某些特殊的情况，却可以简单地得出积分因子。通过查找我们发现，在大多数《常微分方程》的教材中都只给出了只与x 或y 有关的积分因子的求法，但这是不够的。所以我们在这里来讨论一下关于求解()x y αβμ和 ()m n ax by μ+这两类积分因子的充要条件及部分例题，由此我们就可以得到形式 相近的积分因子。如：通过x y μ=+，可以得到x y μ=-的积分因子。如此举一反三，力求使得求积分因子的问题变的简便易行。同时，还对积分因子的求法进行了推广，总结出几类方程积分因子的求法。 【关键字】 微分方程 ， 积分因子 ， 求解方法
【目录】 引言 (1) 目录 (2) 一、()x y αβμ和()m n ax by μ+两类积分因子 § 1、 与()x y αβμ有关的积分因子 …………………………………………… 3 § 2、 与()m n ax by μ+有关的积分因子 …………………………………………… 4 二、微分方程积分因子求法的推广 § 1、 满足条件 ()P Q P Qf x y x y ??-=-??的积分因子求法 (7) § 2、 方程1123422(3)36330m m m m x mx y xy dx y x y x y dy +-????++++++=????积 分因子 (10) § 3、 方程13()30m m m x m x y x dx x dy -??+++=?? 积分因子 (12) § 4、 方程1(4)4450m m m m x mx y y dx x x y dy -????++++++=????积分因子 …………………………………………… 13 参考文献 (15)
西南交通大学数值分析题库 用复化梯形公式计算积分 1 ()f x dx ?,要把区间[0,1]一般要等分 41 份才能保 证满足误差小于0.00005的要求（这里(2) () 1f x ∞ ≤） ；如果知道(2) ()0f x >，则 用复化梯形公式计算积分1 ()f x dx ? 此实际值 大 (大，小)。 在以1 0((),())()(),(),()[0,1]g x f x xf x g x dx f x g x C = ∈?为内积的空间C[0,1] 中，与非零常数正交的最高项系数为1的一次多项式是 2 3 x 3. (15分)导出用Euler 法求解 (0)1y y y λ'=??=? 的公式, 并证明它收敛于初值问题的精确 解 解 Euler 公式 1 1,1, ,,k k k x y y h y k n h n λ -----------(5分) 1 011k k k y h y h y λλ ------------------- (10分) () 11(0)n n x n x y h e h n λλλ??=+=+→→ ?? ? 若用复化梯形求积公式计算积分1 x I e dx = ? 区间[0,1]应分 2129 等分，即要 计算个 2130 点的函数值才能使截断误差不超过 71 102 -?；若改用复化Simpson 公式，要达到同样精度区间[0,1]应分12 等分，即要计算个 25 点的函数值 1．用Romberg 法计算积分 2 3 2 x e dx -? 解 []02()()2b a T f a f b -= += 9.219524346410430E-003 10221()222 b a a b T T f -+=+= 5.574989241319070E-003 10 022243 T T S -= = 4.360144206288616E-003 22T = 4.499817148069681E-003 21 122243 T T S -= = 4.141426*********E-003
1.5 全微分方程及积分因子
一、全微分方程的定义及条件 则它的全微分为 是一个连续可微的函数设,),(y x U U =dy y U dx x U dU ??+??=如果我们恰好碰见了方程 0),(),(=??+??dy y y x U dx x y x U 就可以马上写出它的通积分 . ),(c y x U =
定义1使得 若有函数),,(y x U dy y x N dx y x M y x dU ),(),(),(+=则称微分方程) 1(,0),(),(=+dy y x N dx y x M 是全微分方程..),()1(c y x U =的通积分为此时如0 =+ydx xdy 0 )2()3(322=+++dy xy x dx y y x 0 )()(=+dy y g dx x f 是全微分方程.=)(xy d =+)(23xy y x d =+òò))()((y d y g x d x f d 1.全微分方程的定义
需考虑的问题(1) 方程(1)是否为全微分方程? (2) 若(1)是全微分方程,怎样求解? (3) 若(1)不是全微分方程,有无可能转化为全微分方程求解?2 方程为全微分方程的充要条件 定理1则方程 偏导数中连续且有连续的一阶域在一个矩形区和设函数,),(),(R y x N y x M ) 1(,0),(),(=+dy y x N dx y x M 为全微分方程的充要条件是 ). 2(,),(),(x y x N y y x M ??=??)1(, 0),(),(=+dy y x N dx y x M
证明“必要性”设(1)是全微分方程,使得 则有函数),,(y x U dy y U dx x U y x dU ??+??=),(dy y x N dx y x M ),(),(+=故有),,(y x M x U =??),(y x N y U =??从而从而有都是连续的和由于,22y x U x y U ??????,22y x U x y U ???=???故.),(),(x y x N y y x M ??=??y x U y N x y U y M ???=?????=??22 ,
积分因子与全微分方程 1 微分方程的用途 镭是一种放射性物质，它的原子不停地向外放射出氦原子和其它的射线．从而自身的原子量减少，这样就变成了其它的物质（如常见的铅）．一定质量的镭随着时间的变化，它的质量就会减少．现在已经发现镭的裂变速度（即单位时间裂变的质量）与它的剩余量成正比，设一块镭在时刻0t t =时，其质量0R R =，请确定这块镭在时刻t 的质量R ． 分析：时刻t 时镭的剩余量R 是t 的函数，由于R 将随时间t 的流逝而减少．故镭的裂变速度dR dt 应该是负值，于是按照镭的裂变规律可列出方程 dR kR dt =-，其中k 为一正的比例常数． 1.1 微分方程 定义1 []() 1P 1 联系着自变量、未知函数以及它的导数的方程叫做微分方程． 上式是一个关于未知函数R 的微分方程，上述的问题就是要从这个式子中求出未知函数 ()R R t =来． 不仅镭的质量满足这样的规律，其它的放射性物质也都满足这一规律，不同的只是各种放射性物质具有各自不同的系数k ．从这个关系式出发，可以利用放射性物资来测定某种物体的绝对年龄，实际上，火箭的升空，弹道的计算，自动控制，化学反应过程中稳定性的研究等都要用到微分方程． 微分方程其实就是联系着自变量，未知函数以及它的导数的关系式，它的本质也是一个方程．像上面这些例子都可以建立成微分方程的的模型． 我们了解了什么是微分方程，和微分方程在现实中的应用．那么解这样的方程就是理所应当该首先考虑的问题了． 2 全微分方程的定义 我们可以将一阶方程 (),dy f x y dx =写成微分的形式(),0f x y dx dy -=， 写成具有对称形式的一阶微分方程 ()(),,0M x y dx N x y dy +=． 其中(),M x y ，(),N x y 在某矩形域内是x ， y 的连续且具有连续的一阶偏导数． 2.1 全微分方程 定义2 []() 139P 如果微分方程()(),,0M x y dx N x y dy +=的左边恰好是某个二元函数
常微分方程的积分因子求解法 内容摘要:本文给出了几类特殊形式的积分因子的求解方法,并推广到较一般的形式。 关键词: 全微分方程,积分因子。 一、 基本知识 定义1、1 对于形如 0),(),(=+dy y x N dx y x M (1、1) 的微分方程,如果方程的左端恰就是x ,y 的一个可微函数),(y x U 的全微分,即d ),(y x U = dy y x N dx y x M ),(),(+,则称(1、1)为全微分方程、 易知,上述全微分方程的通解为 ),(y x U =C , (C 为任意常数)、 定理1、1 (全微分方程的判别法)设),(y x M ,),(y x N 在x ,y 平面上的单连通区域G 内具有连续的一阶偏导数,则(1、1)就是全微分方程的充要条件为 x y x N y y x M ??=??),(),( (1、2) 证明见参考文献[1]、 定义1、2 对于微分方程(1、1),如果存在可微函数),(y x μ,使得方程 ),(y x μ0),(),(),(=+dy y x N y x dx y x M μ (1、3) 就是全微分方程,则称),(y x μ为微分方程(1、1)的积分因子、 定理1、2 可微函数),(y x μ为微分方程(1、1)的积分因子的充要条件为 x y x y x N ??),(ln ),(μ-y y x y x M ??),(ln ),(μ=x y x N y y x M ??-??),(),( (1、4) 证明:由定理1、1得,),(y x μ为微分方程(1、1)的积分因子的充要条件为 x y x N y x y y x M y x ??=??)),(),(()),(),((μμ, 展开即得:
全微分方程及积分因子 内容：凑微分法，全微分方程的判别式，全微分方程的公式解，积分因子的微分方程，只含一个变量的积分因子和其他特殊形式的积分因子。由于有数学分析多元微积分的基础，本节的定理1可以简化处理。对课本中第三块知识即全微分方程的物理背景可以留到后面处理，对第四块知识增解和失解的情况要分散在本章各小节，每次都要重视这个问题。关于初等积分法的局限性可归到学习近似解法时一起讲解。 重点：全微分方程的公式解和积分因子的计算，难点为凑微分法和积分因子的计算。 习题1(1,3,5)，2，3 思考题：讨论其他特殊形式的积分因子。 方程：0),(),(=+dy y x N dx y x M 判定：全微分? x N y M ??≡?? 解法：C dy y x N dx y x M y y x x =+??00),(),(0 初值问题0=C 积分因子： x N y M y M x N ??-??=????????-??μμμ1 )(x μ： N x N y M dx d ??-??=μμ1 )(y μ： M x N y M dy d ??-??-=μμ1 1．解下列方程： 1）0)(222=-+dy y x xydx 解： x N y M ??≡??=x 2 ??=-+x y C dy y xydx 002)0(2既 C y y x =-3/32 2）0)2(=+---dy xe y dx e y y
解： x N y M ??≡??=y e -- ??=-+-y x y C dy y dx e 00)2(既C y xe y =--2 3）0)1(222=---+dy y x dx y x x 解： x N y M ??≡??=y x --221 ??=---+x y C dy y dx y x x 002)1(2 C y y y x x =-+---+23232322 )(32)(32)(32 既C y x x =-+2322 )(32 4）0)ln (3=++dy x y dx x y 解： x N y M ??≡??=x 1 C dy y dx x y y x =+??030既C y x y =+4/||ln 4 5）05233 3222=+-+dy y y x dx y y x 解： x N y M ??≡??=326--y x ??=-+-x y C dy y dx y y x 00222253 C y x y x =++-/523 6）02cos )2sin 1(2=-+xdy y dx x y 解： x N y M ??≡??=x y 2sin 2 C ydy dx x y x y =-+??002)2sin 1(
万方数据
万方数据
万方数据
全微分方程与积分因子法 作者：段志霞， 卫艳荣 作者单位：济源职业技术学院,河南·济源,454650 刊名： 宿州教育学院学报 英文刊名：JOURNAL OF SUZHOU EDUCATION INSTITUTE 年，卷(期)：2009，12(1) 被引用次数：0次 参考文献(4条) 1.同济大学数学教研室高等数学 2002 2.王高雄.周之铭常微分方程 1983 3.潘鼎坤高等数学习题详解 2000 4.陈小柱.陈敬佳高等数学习题全解 2002 相似文献(5条) 1.期刊论文徐安农.段复建全微分方程与积分因子法-桂林电子工业学院学报2002,22(2) 在常微分方程理论的形成过程中,求解一阶微分方程曾出现过许多方法,如分离变量法、变量替换法、常数变易法以及积分因子法等等.其中尤以积分因子法出现的最晚,而作用也最大.在教学中注意积分因子法在求解一阶微分方程中的重要作用是必要的. 2.期刊论文马来焕.MA Lai-huan一类新复合型积分因子的存在定理及应用-科学技术与工程2010,10(7) 给出M(x,y)dx+N(x,y)dy=0复合类型积分因子的定义,得到了复合类型积分因子存在的充要条件和计算公式,为解决某些非全微分方程求解问题提供了更加快捷的工具,避免了传统求解方法的繁琐及盲目. 3.期刊论文赵冠华.陈海俊.ZHAO Guan-hua.CHEN Hai-jun乘积型积分因子的存在定理-聊城大学学报（自然科学版）2004,17(4) 积分因子法是求解一阶常微分方程的一个极其重要的方法.但是在通常情况下,积分因子的寻求比较困难.通过定义常微分方程的乘积型积分因子,得到了乘积型积分因子存在的充要条件和计算公式. 4.期刊论文李刚升浅谈积分因子与偏微分方程-科技信息(学术版)2008,""(2) 采用积分因子法将一阶微分方程转化成全微分方程是求解常微分方程的一个重要手段.为了得到方程的积分因子,需要求解积分因子所满足的偏微分方程.写出偏微分方程所对应的特征方程,从而将求解积分因子转化成为求解常微分方程的首次积分.为了简化首次积分的计算,本文给出了一些特征方程有关条件的限制,并利用比例性质对特征方程变形,得到一些特殊的积分因子,从而使常微分方程转化为全微分方程. 5.期刊论文姚红梅.YAO Hong-mei新复合型积分因子的存在定理及应用-科学技术与工程2010,10(15) 给出了微分方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0的复合积分因子定义,并讨论了一类复合积分因子存在的充要条件及计算公式.介绍一种通过积分因子法求解一阶线性微分方程的新解法. 本文链接：https://www.doczj.com/doc/bf16130058.html,/Periodical_szjyxyxb200901064.aspx 授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：e1b0d643-c81b-4324-9ea1-9dcc0105e959 下载时间：2010年8月8日
第七章数值积分与数值微分 积分问题最早来自于几何形体的面积、体积计算，也是经典力学中的重要问题（例如计算物体的重心位置）. 在现实应用中，很多积分的结果并不能写成解析表达式，因此需要通过数值方法来计算. 数值微分是利用一些离散点上的函数值近似计算某一点处的函数导数，它针对表达式未知的函数. 本章介绍一元函数积分（一重积分）和微分的各种数值算法，它们也是数值求解积分方程、微分方程的基础. 7.1数值积分概论 7.1.1基本思想 考虑如下定积分的计算： I(f)≡∫f(x)dx b a ,(7.1) 其中函数f: ?→?，首先应想到的是微积分中学习过的牛顿-莱布尼兹（Newton-Leibniz）公式： ∫f(x)dx b a =F(b)?F(a) , 其中F′(x)=f(x),即F(x)为f(x)的原函数. 但是，诸如e x2,sinx x ,sinx2等表达式很简单的函数却找不到用初等函数表示的原函数，因此必须研究数值方法来近似计算积分. 另一方面，某些函数的原函数虽然可以解析表示，但其推导、计算非常复杂，此时也需要使用数值积分方法. 一般考虑连续的、或在区间[a,b]上可积①的函数f(x)，则根据积分的定义有： lim n→∞,?→0∑(x i+1?x i)f(ξi) n i=0 =I(f) , (7.2) 其中a=x0 高中大学数学微分与积分公式（全集） （高中大学数学） 一、0 101101 lim 0n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m --→∞?=??++ +? =?? ? （系数不为 的情况） 二、重要公式（ ）0sin lim 1x x x →= （ ）()1 0lim 1x x x e →+= （ ）)1n a o >= （ ）1n = （ ）limarctan 2 x x π →∞ = （ ）lim tan 2 x arc x π →-∞ =- （ ）limarccot 0x x →∞ = （ ）lim arccot x x π→-∞ = （ ）lim 0x x e →-∞ = （ ）lim x x e →+∞ =∞ （ ）0lim 1x x x + →= 三、下列常用等价无穷小关系（0x →） sin x x tan x x arcsin x x arctan x x 2 11cos 2 x x - () ln 1x x + 1x e x - 1ln x a x a - ()11x x ? +-? 四、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-??= ??? 五、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1ln x x '= ⑿()1 log ln x a x a '= ⒀( )arcsin x '= ⒁( )arccos x '= ⒂()21arctan 1x x '= + ⒃() 2 1arccot 1x x '=-+⒄()1x '= ⒅ ' = 六、高阶导数的运算法则 （ ）()()()()()()()n n n u x v x u x v x ±=±???? （ ）()() () ()n n cu x cu x =???? （ ）()() () ()n n n u ax b a u ax b +=+???? （ ）()()() ()()()() n n n k k k n k u x v x c u x v x -=?=????∑ 七、基本初等函数的 阶导数公式 （ ）()()!n n x n = （ ）()()n ax b n ax b e a e ++=? ()() ln n x x n a a a = ()()sin sin 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ??? ? ? ()()cos cos 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ??? ? ? () () () 1 1! 1n n n n a n ax b ax b +???=- ? +?? + ()() () ()() 1 1! ln 1n n n n a n ax b ax b -?-+=-????+ 积分因子法在常微分方程中的应用开题报告 开题报告 积分因子法在常微分方程中的应用 一、选题的背景、意义 在许多科学领域中,常常需要研究常微分方程的理论和其解是否存在.常微分方程的理论包括解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等.其中解的讨论也尤为重要,求解方法有很多种,例如,常数变易法、叠加法、积分因子法.求得常微分方程的解能使常微分方程在其他的科学领域有更好的应用. 常微分方程在微积分概念出现后即已出现,对常微分方程的研究可分为以下几个阶段. 发展初期是针对具体的常微分方程,希望能用初等函数或超越函数表示其解,属于“求通解”的时代. 刘维尔在1841年证明了里卡蒂方程不存在一般的初等解,同时柯西又提出了初值问题.因此,早期的常微分方程的求解热潮中断了,而常微分方程从“求通解”时代转向“求定解”时代. 19世纪末,常微分方程的研究从“求定解”时代转向“求所有解”的新时代.那是由天体力学中的太阳系稳定性问题需要研究常微分方程解的大范围性态引起的. 20世纪末六七十年代以后,常微分方程在计算机技术发展的促进下,从“求所有解”时代转入“求特殊解”时代. 求常微分方程的通解在历史上曾作为微分方程的主要目标,一旦求出通解的表达式,就能容易地求出问题所需要的特解;根据通解的表达式可以了解其对某些参数的依赖情况,便于参数取值,使它对应的解具有所需要的性能,也有助于解的其他研究.虽然通过求通解的方法可以求出方程的解,但是有些时候会比较复杂.因此,我们要寻找更为简便的求解方法.对常微分方程的求解.积分因子法是一种很好的求解方法,它能将复杂的计算简单化. 二、研究的基本内容与拟解决的主要问题 本课题主要对积分因子法进行归纳总结,旨在应用积分因子法来求解常微分方程. 本课题的主要目的是通过查阅各种相关文献,寻找各种相关信息,来得到并了解用积分因子法求解常微分方程的一些计算技巧,达到化难为易的目的. 先从定义出发,介绍相关的一些基本概念,如微分方程、常微分方程、全微分方程、解、积分因子等以及一些相关的定理和充要条件. 接着归纳总结积分因子法: 积分因子的求法 在求积分因子之前,要对常用的一些简单函数的全微分形式比较熟悉,这样能更快地求出积分因子. (1)观察法求积分因子 对于一些形式比较简单的微分方程,可以直接观察出方程的积分因子. 如:方程,根据,可以直接观察出它的积分因子为. (2)分组凑微分法对于一些相对复杂的微分方程,可以对其进行分组,然后根据一些简单函数的全微分形式对其进行凑微分,得到其积分因子. 毕业论文开题报告 数学与应用数学 积分因子法在常微分方程中的应用 一、选题的背景、意义 在许多科学领域中,常常需要研究常微分方程的理论和其解是否存在.常微分方程的理论包括解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等.其中解的讨论也尤为重要，求解方法有很多种，例如，常数变易法、叠加法、积分因子法.求得常微分方程的解能使常微分方程在其他的科学领域有更好的应用. 常微分方程在微积分概念出现后即已出现,对常微分方程的研究可分为以下几个阶段. 发展初期是针对具体的常微分方程,希望能用初等函数或超越函数表示其解,属于“求通解”的时代. 刘维尔在1841年证明了里卡蒂方程不存在一般的初等解,同时柯西又提出了初值问题.因此,早期的常微分方程的求解热潮中断了,而常微分方程从“求通解”时代转向“求定解”时代. 19世纪末,常微分方程的研究从“求定解”时代转向“求所有解”的新时代.那是由天体力学中的太阳系稳定性问题需要研究常微分方程解的大范围性态引起的. 20世纪末六七十年代以后,常微分方程在计算机技术发展的促进下,从“求所有解”时代转入“求特殊解”时代. 求常微分方程的通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就能容易地求出问题所需要的特解；根据通解的表达式可以了解其对某些参数的依赖情况，便于参数取值，使它对应的解具有所需要的性能，也有助于解的其他研究.虽然通过求通解的方法可以求出方程的解，但是有些时候会比较复杂.因此，我们要寻找更为简便的求解方法.对常微分方程的求解.积分因子法是一种很好的求解方法，它能将复杂的计算简单化. 二、研究的基本内容与拟解决的主要问题 本课题主要对积分因子法进行归纳总结，旨在应用积分因子法来求解常微分方程. 本课题的主要目的是通过查阅各种相关文献，寻找各种相关信息，来得到并了解用积分因子法求解常微分方程的一些计算技巧，达到化难为易的目的. i.常微分方程初值问题数值解法 i.1 常微分方程差分法 考虑常微分方程初值问题：求函数()u t 满足 (,), 0du f t u t T dt =<≤ （i.1a ） 0(0)u u = (i.1b) 其中(,)f t u 是定义在区域G : 0t T ≤≤, u <∞上的函数，0u 和T 是给定的常数。我们假设(,)f t u 对u 满足Lipschitz 条件，即存在常数L 使得 121212(,)(,), [0,]; ,(,)f t u f t u L u u t T u u -≤-?∈∈-∞∞ （i.2） 这一条件保证了（i.1）的解是适定的，即存在，唯一，而且连续依赖于初值0u 。 通常情况下，（i.1）的精确解不可能用简单的解析表达式给出，只能求近似解。本章讨论常微分方程最常用的近似数值解法--差分方法。先来讨论最简单的Euler 法。为此，首先将求解区域[0,]T 离散化为若干个离散点： 0110N N t t t t T -=<<<<=L （i.3） 其中n t hn =，0h >称为步长。 在微积分课程中我们熟知，微商（即导数）是差商的极限。反过来，差商就是微商的近似。在0t t =处，在（i.1a ）中用向前差商 10()()u t u t h -代替微商du dt ，便得 10000()()(,())u t u t hf t u t ε=++ 如果忽略误差项0ε，再换个记号，用i u 代替()i u t 便得到 1000(,)u u hf t u -= 一般地，我们有 1Euler (,), 0,1,,1n n n n u u hf t u n N +=+=-L 方法： （i.4） 从(i.1b) 给出的初始值0u 出发，由上式可以依次算出1,,N t t L 上的差分解1,,N u u L 。 第三讲 积分和简单的微分方程 1 对于保守力有p dE F dx =- ，势能极值点就是受力平衡点 2 小量展开能将复杂的表达式简化，用多项式逼近任意函数。重要的公式： 当1x <<时 2 (1)(1)1 (2) n n n x nx x -+=++ + 3 常见的求导公式 1[]'n n x nx -=；[]'x x e e =；[sin ]'cos x x =；[cos ]'sin x x -=；1[ln ]'x x = 积分是变量累计的基本方法。掌握积分之后一方面可以用更为简明的办法处理部分竞赛题，另一方面为同学们自学各种高级课程扫平了障碍。 物理方程常常同时包括某个物理量和这个物理量的导数，这样的方程就叫微分方程。掌握微分方程之后，对于许多问题便可以跳出具体的已知量、未知量的限制，从物理本质的角度，讨论问题的可解性，归纳多题一解的方法。 第一部分 单元函数积分 知识点睛 引入：物理公式分类 物理公式分成：状态方程（初中常见，例如牛二，万有引力）和过程方程（例如动能定理，动量定理）。判定以下方程是状态方程还是过程方程：m V ρ=；F ma =；x vt = 看下面两组方程 U I R =；U IR = q I t = ；q It = 前一组是状态的方程。后一组是过程的方程。当电流是常数的时候，两个式子都是对的。然后电流是变化的时候，前一组方程还成立，后一组得到的就不是电流了，而是电流的平均值。如果还要求结果是瞬时的电流，必须把第二组第一个变成求导数，后一个方程就把乘积变成了对瞬时的电流*时间再求和，也就是我们今天要学的积分。 先看两个例子： 上讲回顾 本讲目标 知识模块微分积分公式(全集)
积分因子法在常微分方程中的应用 开题报告
积分因子法在常微分方程中的应用-[开题报告]
(整理)常微分方程数值解法
积分和简单的微分方程
相关主题
文本预览