全微分方程

解
∂M 6 x ∂N =− 4 = , ∂y y ∂x
是全微分方程, 是全微分方程
1 2x 3x2 将左端重新组合 2 dy + ( 3 dx − 4 dy ) y y y 1 x2 x 1 = d ( − ) + d ( 3 ) = d ( − + 3 ), y y y y
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解
1 ∂M ∂N 2 1. − =− , N ∂y ∂x x 郁
2.µ ( x) = e ∫
−
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2 dx x
=e
−2ln x
=
无 1
x 关
2
y
;
y y 3.x0 = 1, y0 = 0 : ∫ − 2 dx + ∫ 1dy = C ⇒ = C. x x 1 0
∂µ ∂µ ∂M ∂N N −M =µ （ − ） ∂x ∂y ∂y ∂x
为了求出积分因子，必须求解上式，不容易。 为了求出积分因子，必须求解上式，不容易。但 对于某些特殊情况，上式可求解。 对于某些特殊情况，上式可求解。
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∂µ ∂ µ dµ a . 当µ只与x有关时; = 0, , = ∂y ∂x dx
u( x, y) = ∫0 ( x − 3பைடு நூலகம்y )dx + ∫0 y3dy
3 2
x
y
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x4 3 2 2 y4 = − x y + , 4 2 4
x 3 2 2 y − x y + = C. 原方程的通解为 4 2 4
9
4
4
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y2 − 3x2 2x 例3 求方程 3 dx + dy = 0的通解 . 4 y y
解 将方程左端重新组合,有 将方程左端重新组合 有
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2 （ xy ln ydx + x2dy) + y2 1 + y2dy = 0, 1 易知 µ ( x , y ) = , y2 x 则(2x ln ydx + dy) + y 1 + y2dy = 0, y 3 可积组合法 1 2 2 2 即d( x ln y) + d(1 + y ) = 0. 3 3 1 2 原方程的通解为 x ln y + (1 + y2 )2 = C. 3
其中C为任意常数。 其中 为任意常数。 为任意常数 于是， 于是，求解全微分方程的关键在于求出它 的一个原函数。 的一个原函数。
例如 1 2 1 2 x d x + y d y = 0 的通积分为 x + y = C ; 2 2 x d y + y d x = 0 的通积分为 x y = C ;
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du(x, y) = M(x, y)dx + N(x, y)dy
则称（1）为全微分方程或恰当方程， (x ,y ) 则称（ ）为全微分方程或恰当方程， u 称为（ ）的一个原函数。 称为（1）的一个原函数。 例如
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xdx + ydy = 0,
1 2 ∃ u (x ,y ) = (x + y 2 ), 2
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因子. 因子.
显然， 同解。 显然，若μ(x,y)≠ 0,则（1）与（2）同解。
问题: 如何求方程的积分因子? 问题 如何求方程的积分因子
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我们用反推的办法来求积分因子
∂(µ M ) ∂(µ N ) = , （2）为全微分方程 ⇔ ） ∂y ∂x ∂M ∂µ ∂N ∂µ µ +M =µ +N ∂y ∂y ∂x ∂x
这种方法给我们又提供了一种求解微分方程 的方法---可积（ 的方法 可积（微）组合法，请看下面的例子： 可积 组合法，请看下面的例子：
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例4 求微分方程
2x(1+ x2 − y)dx − x2 − ydy = 0的通解 .
解
2xdx + 2x x2 − ydx − x2 − ydy = 0, d( x2 ) + x2 − yd( x2 ) − x2 − ydy = 0,
3
常见的全微分表达式
x2 + y2 xdx + ydy = d 2
xdy − ydx y = d arctan x x2 + y2
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xdy − ydx y = d 2 x x
xdy + ydx = d(ln xy) xy
ydx − xdy x = 0 的通积分为 arctan =C . 2 2 y x +y
3
例 1 求 解 微 分方 程 2 xydx + ( x 2 − y 2 )dy = 0.
我们通过观察寻找方程的一个原函数。 我们通过观察寻找方程的一个原函数。
左端 = 2xydx + x 2 dy − y 2 dy = ydx 2 + x 2 dy − y 2 dy 1 1 = d ( x 2 y ) − d ( y 3 ) = d ( x 2 y − y 3 ). 3 3
18
例3 求微分方程
(3xy + y2 )dx + ( x2 + xy)dy = 0的通解.
1 1 ∂M ∂N 1 解Q ( − ) = , ∴ µ ( x ) = e ∫ x dx= x . N ∂y ∂x x
则原方程化为
( 3 x 2 y + xy 2 )dx + ( x 3 + x 2 y )dy = 0,
14
1 d µ 1 ∂M ∂N ∴ = ( − ) = f ( x) µ dx N ∂y ∂x
∫ f ( x)dx . ∴µ( x) = e ∂µ ∂µ dµ , = 0, = b. 当µ只与y有关时; ∂x ∂y dy d ln µ 1 ∂N ∂M ∴ = ( − ) = g( y ) dy M ∂x ∂y
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1 3 原方程的通积分为 x y − y = C。 3
2
对于一个一般的方程， 对于一个一般的方程，怎样判断它是否是 全微分方程呢？若是，又怎样求原函数？ 全微分方程呢？若是，又怎样求原函数？
4
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5
二、全微分方程判定定理与不定积分法
将方程左端重新组合,有 将方程左端重新组合 有
d( x2 ) + x2 − yd( x2 − y) = 0,
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2 2 原方程的通解为 x + ( x − y) = C. 3
2
22
3 2
例5 求微分方程
2xy ln ydx + ( x2 + y2 1 + y2 )dy = 0的通解 .
定理： 定理：设函数 M(x,y)、N(x,y) 在 xoy 平面上 、 内连续可微，那么方程(1)是全 的单连通区域 D 内连续可微，那么方程 是全 微分方程的充要条件是在 D 内恒成立 ∂M ∂N = . ∂y ∂x 演示证明。
例如： 于方程 2 x(1 + x 2 - y )dx - x 2 - ydy = 0, ： 对
)
∂u = M = 2 x(1 + x 2 - y ), (*) ∂x ∂u = N = − x 2 - y . (**) ∂y 先就（*）两端对x积分（视y为常数）有
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u ( x, y ) = ∫ 2 x(1 + x 2 - y )dx + ϕ ( y )
3 2 2 = x 2 + ( x − y ) 2 + ϕ ( y ). 3
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3 x 2 ydx + x 3 dy + xy( ydx + xdy ) 1 3 = d ( yx + ( xy ) 2 ) = 0, 2 可积组合法
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1 原方程的通解为 yx + ( xy )2 = C . (公式法 公式法) 公式法 2 观察法: 观察法: 凭观察凑微分得到 µ ( x , y )
xdx + ydy 1 = d ln( x2 + y2 ) x2 + y2 2
xdy − ydx 1 x + y = d ln 2 2 x −y 2 x − y
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受上述结论的启发通常我们经常可 以选用的积分因子有： 以选用的积分因子有：
1 1 1 1 x y , 2, 2 2, 2 2, 2, 2 等. x+ y x x y x + y y x
使得d u (x ,y ) = xd x + yd y , 是全微分方程， 是全微分方程，
u (x ,y ) 是方程的一个原函数。 是方程的一个原函数。
2
容易证明， 容易证明，如果 u (x ,y )是微分方程 （1）的一个原函数，则（1）的通积分为 ）的一个原函数， ）
u ( x, y ) = C ,
1 ∂N ∂M )只与y有关（设为g(y)）, − g(y)） 类似地，若 ( M ∂x ∂y
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∫ g ( y ) dy。 则 方 程 （ 1 ） 有 积 分 因 子µ ( y ) = e
以上求积分因子的方法称为公式法。 以上求积分因子的方法称为公式法。
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− 求解微分方程： 例1: 求解微分方程： ydx + xdy = 0
第五讲 全微分方程与积分因子
一、全微分方程与原函数 二、全微分方程判定定理与不定积分法 三、积分因子法 四、小结
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一、全微分方程与原函数
定义: 定义: 若 M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 (1)
全微分方程 或恰当方程
的左端恰好是某个二元函数的全微分， 的左端恰好是某个二元函数的全微分， 即
x
17
求解微分方程： 例1: 求解微分方程：
(3x y + 2xy + y )dx + (x + y )dy = 0.
2 3 2 2
求解微分方程： 例2: 求解微分方程：
2xy dx + (x y −1)dy = 0.
3 2 2
思考与练习： 思考与练习：
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试求一阶线性方程和Bernoulli方程的积分因子
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再利用（* *）（视x为常数）有 − ( x 2 − y ) + ϕ '( y ) = − x 2 − y , 即 ϕ '( y ) = 0， 于是 ϕ ( y ) = C.
1 2
从而求得一个原函数
3 2 2 u ( x, y ) = x 2 + ( x − y ) 2 . 3
一般地， 一般地，若 M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 为全 微分方程， 微分方程，则它的通积分为
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∫ g( y)dy . ∴µ( y) = e
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注： 事实上，我们有 1 ∂M ∂N µ 只与x有关 ⇔ ( − )只是x的函数。 N ∂y ∂x 因此 ，对于方程 （1）虽不 是全微分方程 ， 1 ∂M ∂N 但 ( − )只是x的函数（设为f ( x)），则方程 N ∂y ∂x ∫ f ( x ) dx。 （1）有积分 因子µ ( x ) = e
2
1 x 原方程的通解为 − + 3 = C . y y
11
2
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前面我们讨论了全微分方程的求解问题， 前面我们讨论了全微分方程的求解问题，而对 于给定微分方程（ 未必都是全微分方程， 于给定微分方程（１）未必都是全微分方程，但其 中有些则可利用积分因子化为全微分方程。 中有些则可利用积分因子化为全微分方程。
3、积分因子法
定义: 定义:
µ ( x , y ) ≠ 0 连续可微函数，使方程 连续可微函数，
µ ( x , y ) M ( x , y ) dx + µ ( x , y ) N ( x , y ) dy = 0 (2)
成为全微分方程, (1)的 成为全微分方程,则称 µ ( x , y ) 为(1)的积分
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M = 2 x(1 + x 2 - y ), N = - x 2 - y . ∂M x ∂N == , 从而 2 ∂y x - y ∂x
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即方程为全微分方程。现在， 即方程为全微分方程。现在，我们来求方程的 一个原函数。 一个原函数。
设u ( x, y )是方程的一个原函数，则有 (
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u(x, y) = ∫ P(x, y)dx + ∫ Q(x0 , y)dy
x0 y0
x
y
= ∫ Q(x, y)dy + ∫ P(x, y0 )dx.
y0 x0
y
x
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例2
求方程( x3 − 3xy2 )dx + ( y3 − 3x2 y)dy = 0 的通解.
∂M ∂N 解 = −6 xy = , 是全微分方程 是全微分方程, ∂y ∂x