有限元建模与分析技巧.

电磁场的数学建模与解答技巧电磁场是电荷和电流所产生的相互作用效应，它在工程学、物理学以及计算机模拟中都扮演着重要角色。

为了更好地理解和分析电磁场，数学建模和解答技巧是必不可少的。

本文将从电磁场的数学建模入手，介绍几种常用的数学建模方法，并给出解答技巧的实例。

一、电磁场的数学建模方法之一：微分方程微分方程是描述电磁场的一种常用数学工具。

通常，通过麦克斯韦方程组可以得到电磁场满足的偏微分方程。

对于静电场，可以使用拉普拉斯方程描述，表示为：∇²ϕ = -ρ/ε₀其中ϕ是电势，ρ是电荷密度，ε₀是真空介电常数。

对于静磁场，则可以使用斯托克斯方程描述，表示为：∇×B = μ₀J其中B是磁感应强度，J是电流密度，μ₀是真空磁导率。

通过求解这些微分方程，可以得到电磁场的分布情况。

二、电磁场的数学建模方法之二：有限元法有限元法是一种常用的数值解法，可用于求解任意形状的电磁场问题。

该方法将电磁场区域划分为有限个小单元，并在每个小单元内以多项式函数逼近电磁场的分布。

通过建立离散的代数方程组，并求解该方程组，可以得到电磁场的近似解。

三、电磁场的数学建模方法之三：有限差分法有限差分法是一种离散方法，通过将连续的电磁场问题转化为离散的代数问题进行求解。

该方法将连续的电磁场区域划分为网格，并在每个网格节点上进行逼近。

通过近似微分算子，将偏微分方程转化为差分方程，并通过迭代求解差分方程得到电磁场的解。

四、电磁场解答技巧实例为了更好地展示电磁场解答技巧，以下给出一个实例。

考虑一个带有一根无限长直导线的无限大平面问题。

已知导线的电流密度为I，求解该情况下的磁场分布。

根据安培环路定理，可以得到这个问题的微分方程为：∇×B = μ₀Iδ(x)δ(y)ez其中δ表示狄拉克δ函数，ez表示z轴方向上的单位向量。

通过对微分方程进行求解，可以得到在导线周围的磁场强度为：B = μ₀I/2πr其中r表示距导线的径向距离。

CAE软件操作小百科（47）CAE软件是计算机辅助工程软件的缩写，是一种在工程设计和分析中广泛应用的软件工具。

它可以帮助工程师们进行数字化设计、模拟分析和优化，并且在产品开发的各个阶段都有着重要的作用。

本文将介绍一些关于CAE软件操作的小百科，旨在帮助初学者更好地了解CAE软件的使用方法和技巧。

一、CAE软件的基本概念1. CAE软件是什么？CAE软件是计算机辅助工程软件的缩写，是一种用于工程设计和分析的软件工具。

它通常包括了CAD（计算机辅助设计）、CAE（计算机辅助工程）和CAM（计算机辅助制造）等多个功能模块，可以帮助工程师们进行数字化设计、模拟分析和优化。

2. CAE软件的应用领域CAE软件广泛应用于机械、航空航天、汽车、船舶、电子、建筑和生物医学等各个领域。

它可以帮助工程师们在产品设计和制造的各个阶段进行数字化仿真，快速验证设计方案，提高产品的质量和效率。

CAE软件可以帮助工程师们在设计过程中快速验证方案，节省成本和时间。

它还可以对产品的性能和可靠性进行预测，优化产品设计，并且可以帮助工程团队进行协同设计和模拟分析。

1. ANSYSANSYS是国际上最著名的有限元分析软件之一，被广泛应用于工程领域。

它提供了强大的有限元分析和计算流体力学等仿真功能，可以帮助工程师们进行结构强度、热分析、动力学等多个领域的仿真分析。

2. SIMULIASIMULIA是达索系统公司（Dassault Systemes）旗下的CAE软件品牌，提供了结构仿真、多物理场仿真、多尺度仿真等多个功能模块，可以帮助工程师们进行复杂的仿真分析。

3. MSC SoftwareMSC Software是美国MSC软件公司的产品品牌，提供了Adams、Nastran、Patran等多个仿真软件，广泛应用于汽车、航空航天、船舶等领域。

西门子PLM软件是德国西门子公司的产品品牌，提供了NX、Femap、LMS等多个仿真软件，涵盖了整个产品开发的各个阶段。

1、有限元的定义有限单元法最初作为结构力学位移法的拓展，它的基本思路就是将复杂的结构看成由有限个单元仅在节点处连接的整体，首先对每一个单元分析其特性，建立县官的物理量之间的相关联系。

然后，依据单元之间的联系，再将各单元组装成整体，从而获得整体性方程，再应用方程相应的解法，即可完成整个问题的分析。

这种先“化整为零”，然后再“集零为整”和“化未知为已知”的研究方法，是有普遍意义的。

有限单元法作为一种近似的（除杆件体系结构静力分析外）数值分析方法，它借助于矩阵等数学工具，尽管计算工作量很大，但是整体分析是一致的，有限强的规律性和统一模式，因此特别适合于编制计算机程序来处理。

一般来说，一定前提条件下的分析近似值，随着离散化网络的不断细化，计算精度也随之得到改善。

所以，随着计算机硬件、软件技术的飞速发展，有限单元分析技术得到了越来越多的应用，40多年来的发展几乎涉及了各类科学、工程领域中的问题。

从应用的深度和广度来看，有限单元法的研究和应用正继续不断地向前探索和推进。

有限元法是随电子计算机应用的日益普及和数值分析技术日益发展而迅速发展的一种新颖有效的数值方法。

它在50年代起源于飞机结构的矩阵分析，60年代开始被推广用来分析弹性力学平面问题。

由于它所依据的理论的普遍性，很快就广泛应用与求解热传导、电磁场、流体力学等连续问题。

目前已再各个工程技术领域中得到了十分广泛的应用2、有限元的发展【1】【2】【3】有限元”这个名词第一次出现，到今天有限元在工程上得到广泛应用，经历了三十多年的发展历史，理论和算法都已经日趋完善。

有限元的核心思想是结构的离散化，就是将实际结构假想地离散为有限数目的规则单元组合体，实际结构的物理性能可以通过对离散体进行分析，得出满足工程精度的近似结果来替代对实际结构的分析，这样可以解决很多实际工程需要解决而理论分析又无法解决的复杂问题。

近年来随着计算机技术的普及和计算速度的不断提高，有限元分析在工程设计和分析中得到了越来越广泛的重视，已经成为解决复杂的工程分析计算问题的有效途径，现在从汽车到航天飞机几乎所有的设计制造都已离不开有限元分析计算，其在机械制造、材料加工、航空航天、汽车、土木建筑、电子电器，国防军工，船舶，铁道，石化，能源，科学研究等各个领域的广泛使用已使设计水平发生了质的飞跃，主要表现在以下几个方面：<1> 增加产品和工程的可靠性；<2> 在产品的设计阶段发现潜在的问题<3> 经过分析计算，采用优化设计方案，降低原材料成本<4> 缩短产品投向市场的时间<5> 模拟试验方案，减少试验次数，从而减少试验经费国际上早在60年代初就开始投入大量的人力和物力开发有限元分析程序，但真正的CAE软件是诞生于70年代初期，而近15年则是CAE软件商品化的发展阶段，CAE开发商为满足市场需求和适应计算机硬、软件技术的迅速发展，在大力推销其软件产品的同时，对软件的功能、性能，用户界面和前、后处理能力，都进行了大幅度的改进与扩充。

有限元分析纵观现在国际上CAE软件的发展情况，可以看出有限元分析方法的一些发展趋势：1、与CAD软件的无缝集成现在有限元分析软件的一个发展趋势是与通用CAD软件的集成使用，即在用CAD软件完成部件和零件的造型设计后，能直接将模型传送到CAE软件中进行有限元网格划分并进行分析计算，如果分析的结果不满足设计要求则重新进行设计和分析，直到满意为止，从而极大地提高了设计水平和效率。

为了满足工程师快捷地解决复杂工程问题的要求，许多商业化有限元分析软件都开发了和著名的CAD软件（例如Pro/ENGINEER、Unigraphics、SolidEdge、SolidWorks、IDEAS、Bentley和AutoCAD等）的接口。

有些CAE软件为了实现和CAD软件的无缝集成而采用了CAD的建模技术，如ADINA软件由于采用了基于Parasolid内核的实体建模技术，能和以Parasolid为核心的CAD软件（如 Unigraphics、SolidEdge、SolidWorks）实现真正无缝的双向数据交换。

2、更为强大的网格处理能力有限元法求解问题的基本过程主要包括：分析对象的离散化、有限元求解、计算结果的后处理三部分。

由于结构离散后的网格质量直接影响到求解时间及求解结果的正确性与否，各软件开发商都加大了其在网格处理方面的投入，使网格生成的质量和效率都有了很大的提高，但在有些方面却一直没有得到改进，如对三维实体模型进行自动六面体网格划分和根据求解结果对模型进行自适应网格划分，除了个别商业软件做得较好外，大多数分析软件仍然没有此功能。

自动六面体网格划分是指对三维实体模型程序能自动的划分出六面体网格单元，大多数软件都能采用映射、拖拉、扫略等功能生成六面体单元，但这些功能都只能对简单规则模型适用，对于复杂的三维模型则只能采用自动四面体网格划分技术生成四面体单元。

对于四面体单元，如果不使用中间节点，在很多问题中将会产生不正确的结果，如果使用中间节点将会引起求解时间、收敛速度等方面的一系列问题，因此人们迫切的希望自动六面体网格功能的出现。