7.有限元分析建模及若干问题

有限元法的原理求解域概述及解释说明1. 引言1.1 概述有限元法是一种数值分析方法，用于求解物理问题的数学模型。

它在工程领域得到了广泛的应用，能够对复杂的结构和系统进行精确的建模和计算。

有限元法通过将连续域划分为许多小的离散单元，在每个单元上使用适当的近似函数来表示待求解的变量，然后利用这些离散单元之间相互连接关系建立代数方程组，并通过求解该方程组得到所需结果。

1.2 文章结构本文将围绕有限元法展开讨论，并按照以下结构组织内容：引言包含概述、文章结构和目的；有限元法的原理部分将涵盖离散化方法、强弱形式及变分问题以及单元划分和网格生成；求解域部分将介绍求解域的定义与划分、边界条件设定和处理以及网格节点和单元的挑选策略；概述及解释说明部分将探讨有限元法在工程领域中的应用、与其他数值方法之间的对比与优势以及未来发展趋势和挑战；最后，本文将总结主要观点，并展望有限元法在应用领域的发展前景。

1.3 目的本文旨在对有限元法进行全面而清晰的介绍和解释，包括其基本原理、求解域的定义与处理方法以及在工程领域中的应用。

通过深入理解有限元法的原理和应用，读者可以更好地了解该方法的优劣势，并掌握将其应用于实际问题求解的能力。

此外，本文还将通过探讨有限元法未来的发展趋势和挑战，为研究者提供对该方法进行进一步改进和扩展的思路。

2. 有限元法的原理2.1 离散化方法有限元法是一种使用离散化方法来对偏微分方程进行求解的数值方法。

它将求解域划分为许多小单元，每个小单元称为有限元。

在这些有限元内，我们假设待求解的场量是线性或非线性的，并通过适当选择合适的函数空间来进行近似。

2.2 强弱形式及变分问题在有限元法中，我们将偏微分方程转化为一个弱形式或者说变分问题。

这是通过将原始方程乘以一个测试函数并进行积分得到的。

这样可以减小方程中高阶导数项对近似解产生的影响，并提供了更好的数学性质以进行计算。

2.3 单元划分和网格生成为了进行离散化，求解域需要被划分成一系列小单元。

有限元法的分析从百度等搜索到的资料以及老师在课上对有限元法的相关介绍我们可以得知，有限元法是基于近代计算机的快速发展而发展起来的一种近似数值方法，用来解决力学、数学中带有特定边界条件的偏微分方程问题。

而这些偏微分方程是工程实践中常见的固体力学和流体力学问题的基础。

有限元法的核心思想是“数值近似”和“离散化”，所以它在历史上的发展也是围绕着这两个点进行的。

有限元法用于解决工程问题的微分方程的近似解，主要考虑怎么分割单元。

比如，可以分割为长方形单元、三角形单元等形状的单元，不同形状的分割的出来的结果也是不尽相同的，边界条件也会影响有限元法的解。

有限元法是将问题先分解，再进行合并，网格划分是分解，从单刚到总刚是合并，我们将这些复杂的处理量交给计算机处理，把一个困难的问题转化成一个个小的简单的问题交给计算机处理，最终得到问题的解，因此，有限元法可以说是将一个大问题转化为若干个简单问题的叠加的方法。

有限元法再物理原理上的理解可以概括为，“求解使系统能量泛函数极小值的系统状态”。

这个角度是根据划分的网格和网格内部的特定点建立相应函数。

在数学原理上，有限元法是求解满足特定微分方程的数值解。

这个角度上可以看作是加权残值的一种形式，将甲醛积分时的权函数与拟合解函数的试函数取为相同的函数。

有限元法的基本思路可以归结为：将连续系统分割成有限个分区或单元，对每个单元提出一个近似解，再将所有单元按标准方法加以组合，从而形成原有系统的一个数值近似系统，也就是形成相应的数值模型。

有限元法的计算步骤归纳为以下3个基本步骤：网格划分、单元分析、整体分析。

有限元法的基本做法是用有限个单元体的集合来代替原有的连续体。

因此首先要对弹性体进行必要的简化，再将弹性体划分为有限个单元组成的离散体。

单元之间通过节点相连接。

由单元、节点、节点连线构成的集合称为网格。

通常把三维实体划分成四面体或六面体单元的实体网格，平面问题划分成三角形或四边形单元的面网格，如图对于弹性力学问题，单元分析就是建立各个单元的节点位移和节点力之间的关系式。

1、有限元是近似求解一般连续场问题的数值方法2、有限元法将连续的求解域离散为若干个子域,得到有限个单元,单元和单元之间用节点连接3、直梁在外力的作用下,横截面的内力有剪力和弯矩两个.4、平面刚架结构在外力的作用下,横截面上的内力有轴力、剪力、弯矩 .5、进行直梁有限元分析,平面刚架单元上每个节点的节点位移为挠度和转角6、平面刚架有限元分析，节点位移有轴向位移、横向位移、转角。

7、在弹性和小变形下，节点力和节点位移关系是线性关系。

8、弹性力学问题的方程个数有15个，未知量个数有15个。

9、弹性力学平面问题方程个数有8，未知数8个。

10、几何方程是研究应变和位移之间关系的方程11、物理方程是描述应力和应变关系的方程12、平衡方程反映了应力和体力之间关系的13、把经过物体内任意一点各个截面上的应力状况叫做一点的应力状态14、9形函数在单元上节点上的值,具有本点为_1_.它点为零的性质,并且在三角形单元的任一节点上,三个行函数之和为_1_15、形函数是_三角形_单元内部坐标的_线性_函数,他反映了单元的_位移_状态16、在进行节点编号时,同一单元的相邻节点的号码差尽量小.17、三角形单元的位移模式为_线性位移模式_-18、矩形单元的位移模式为__双线性位移模式_19、在选择多项式位移模式的阶次时,要求_所选的位移模式应该与局部坐标系的方位无关的性质为几何_各向同性20、单元刚度矩阵描述了_节点力_和_节点位移之间的关系21、矩形单元边界上位移是连续变化的1. 诉述有限元法的定义答：有限元法是近似求解一般连续场问题的数值方法2. 有限元法的基本思想是什么答：首先，将表示结构的连续离散为若干个子域，单元之间通过其边界上的节点连接成组合体。

其次，用每个单元内所假设的近似函数分片地表示求解域内待求的未知厂变量。

3. 有限元法的分类和基本步骤有哪些答：分类：位移法、力法、混合法；步骤：结构的离散化，单元分析，单元集成，引入约束条件，求解线性方程组，得出节点位移。

1.如何理解模态分析中的“阶”，一个结构有1阶，2阶，3阶......，怎么理解？在理解“阶”之前，要先理解与“阶”紧密相连的名词“自由度”。

自由度是指用于确定结构空间运动位置所需要的最小、独立的坐标个数。

空间上的质点有三个自由度，分别为三个方向的平动自由度；空间上的刚体有六个自由度，分别为三个平动、三个转动自由度。

一个连续体实际上有无穷多个自由度，有限元分析时将连续的无穷多个自由度问题离散成为离散的有限多个自由度的问题，此时，结构的自由度也就有限了。

因此，可以这样理解，一个自由度对应一阶，连续体有无穷多阶。

像弹簧--质量模型为单自由度系统，故对应的频率只有一阶。

两自由度系统有两阶。

一个具体的系统，每一阶对应着特定的频率、阻尼和模态振型。

延伸问题：“同一个结构为什么各阶频率、阻尼和模态振型又不相同？”这是因为虽然结构还是这个结构，但是参考各阶运动的结构上的质量和刚度都不相同，参考每阶响应的并不是结构所有的质量和刚度，而是这一阶“活跃的”有效质量（结构中的部分质量），所以各阶所对应的模态参数不完全相同。

2.如何理解无阻尼固有频率、有阻尼固有频率和固有频率？通常在振动教材中都会定义无阻尼固有频率和有阻尼固有频率，无阻尼固有频率对应的是刚度/质量的平方根，有阻尼固有频率为无阻尼的固有频率乘以（1-阻尼比平方）的平方根。

书本上这么定义完全是出于方便书写公式的目的，当然了也对应的一定的物理意义。

一般说来，无阻尼结构的频率便是无阻尼的固有频率，但现实中所说的固有频率，在没有特殊说明的情况下都是指有阻尼固有频率，因为现实中的结构都是有阻尼的。

人们通常说的固有频率都是指有阻尼固有频率。

另外，在有限元计算中，如果是实模态分析（不考虑阻尼），那么此时的求解出来的频率就是无阻尼的固有频率，如果是复模态分析（考虑非比例阻尼）得出来的固有频率是有阻尼固有频率。

现实中的结构，除了含有阻尼机制的结构外，一般阻尼比都小于10%，因此，阻尼对结构的固有频率的影响是非常小的。

有限元考试复习资料（含习题答案）1试说明用有限元法解题的主要步骤。

（1）离散化：将一个受外力作用的连续弹性体离散成一定数量的有限小的单元集合体，单元之间只在结点上互相联系，即只有结点才能传递力。

（2）单元分析：根据弹性力学的基本方程和变分原理建立单元结点力和结点位移之间的关系。

（3）整体分析：根据结点力的平衡条件建立有限元方程，引入边界条件，解线性方程组以及计算单元应力。

（4）求解方程，得出结点位移（5）结果分析，计算单元的应变和应力。

2.单元分析中,假设的位移模式应满足哪些条件,为什么?要使有限元解收敛于真解，关键在于位移模式的选择，选择位移模式需满足准则：（1）完备性准则：（2）连续性要求。

P210面简单地说，当选取的单元既完备又协调时，有限元解是收敛的，即当单元尺寸趋于0时，有限元解趋于真正解，称此单元为协调单元；当单元选取的位移模式满足完备性准则但不完全满足单元之间的位移及其导数连续条件时，称为非协调单元。

3.什么样的问题可以用轴对称单元求解？在工程问题中经常会遇到一些实际结构，它们的几何形状、约束条件和外载荷均对称某一固定轴，我们把该固定轴称为对称轴。

则在载荷作用下产生的应力、应变和位移也都对称此轴。

这种问题就称为轴对称问题。

可以用轴对称单元求解。

4.什么是比例阻尼?它有什么特点?其本质反映了阻尼与什么有关?答:比例阻尼:由于多自由度体系主振型关于质量矩阵与刚度矩阵具有正交性关系，若主振型关于阻尼矩阵亦具有正交性,这样可对多自由度地震响应方程进行解耦分析。

比例阻尼的特点为具有正交性。

其本质上反应了阻尼与结构物理特性的关系。

5.何谓等参单元?等参单元具有哪些优越性?①等参数单元(简称等参元)就是对坐标变换和单元内的参变量函数(通常是位移函数)采用相同数目的节点参数和相同的插值函数进行变换而设计出的一种单元。

①优点:可以很方便地用来离散具有复杂形体的结构。

由于等参变换的采用使等参单元特性矩阵的计算仍在单元的规则域内进行，因此不管各个积分形式的矩阵表示的被积函数如何复杂，仍然可以方便地采用标准化的数值积分方法计算。

重力坝溢流坝段有限元建模分析发表时间：2020-09-17T15:55:01.373Z 来源：《建筑实践》2020年第14期作者：张宇1，周波2，唐德秀2[导读] 结合四川某重力坝坝址区地形地质条件，对其溢流坝段进行有限元建模张宇1，周波2，唐德秀21.四川大学工程设计研究院有限公司，四川成都 610065；2.四川蜀禹水利水电工程设计有限公司，四川成都 610072摘要：结合四川某重力坝坝址区地形地质条件，对其溢流坝段进行有限元建模，进行以下分析：（1）材料参数的选取；（2）计算工况及荷载组合。

关键字：有限元；计算工况；荷载组合；重力坝溢流坝段1 工程概况重力坝是由砼或浆砌石修筑的大体积挡水建筑物，其基本剖面是直角三角形，整体是由若干坝段组成。

重力坝在水压力及其他荷载作用下，主要依靠坝体自重产生的抗滑力来满足稳定要求；同时依靠坝体自重产生的压力来抵消由于水压力所引起的拉应力以满足强度要求。

该工程位于德跃镇—古蔺县城间古蔺河上，是以防洪和县城应急供水为主，兼顾生态环境供水的混凝土重力坝。

坝顶高程650.00m，最大坝高56.00 m，水库正常蓄水位647.50 m，设计洪水位645.56 m，死水位639.50 m。

该碾压砼重力坝位于弱风化基岩上，基岩体为侏罗系中统上沙溪庙组（J2S2）地层之泥质粉砂岩、粉砂质泥岩、砂岩，局部夹泥质粉砂岩和砂岩薄层或透镜体，但基岩岩性软弱，强度较低，可能存在地基承载能力问题；碾压砼重力坝溢流坝段闸室采用弧形钢闸门挡水，闸门支绞牛腿及相邻闸墩部位的受力较复杂；灌浆廊道局部应力情况复杂等问题。

因此重力坝底板、灌浆廊道、闸墩、牛腿的受力配筋能否满足运行要求，对工程的安全性具有重要的意义，有必要对重力坝溢流坝段闸室结构、灌浆廊道的安全性进行相应的计算。

固针对工程区域的地形地貌和闸室的结构参数，建立三维有限元计算模型。

2 计算模型与方法结合工程溢流坝段的设计资料（地层岩性、地质构造、基岩岩体力学参数、地基处理方案、灌浆廊道结构型式、荷载组合等），分析工程区域的地质环境和基岩工程特性，对地质原型进行合理概化，为计算模型的建立提供依据。