安徽省合肥市2020届高三4月第二次质量检测数学(文)(含答案)

2020届高三上学期期末教学质量检测卷02文科数学·参考答案13．3.1214．315．3-1617．（本小题满分12分）【答案】（1）证明见解析；（2）13．【解析】（1）因为F 是CD 的中点，2CD AB =，所以DF AB =， 又DF AB ∥，所以四边形ABFD 是平行四边形， 因为90DAB ∠=︒，所以四边形ABFD 是矩形，（2分） 所以90DFB ∠=︒，所以CD BF ⊥．因为PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥， 又CD AD ⊥，ADPA A =，所以CD ⊥平面PAD ，（4分）因为PD ⊂平面PAD ，所以CD PD ⊥，因为E ，F 分别为PC ，CD 的中点，所以PD EF ∥，所以CD EF ⊥， 因为EFBF F =，所以CD ⊥平面BEF ．（6分）（2）因为E 为PC 的中点，所以1122P DBE E PBD C PBD P BCD V V V V ----===，（9分） 因为22AD CD PA ===，所以11123323P BCD BCD V S PA CD AD PA -=⋅=⨯⨯⨯=△，（11分）所以11212233P DBE P BCD V V --==⨯=，即三棱锥P DBE -的体积为13．（12分）18．（本小题满分12分）【答案】（1）选学生乙参加物理竞赛比较合适；（2）学生乙选择方案2进入复赛的可能性更大．【解析】（1）学生甲的平均成绩为180********835x ++++==，学生乙的平均成绩为29076759282835x ++++==，（2分）学生甲的成绩方差为22222211[(8380)(8385)(8371)(8392)(8387)]50.85s =⨯-+-+-+-+-=，学生乙的成绩方差为22222221[(8390)(8376)(8375)(8392)(8382)]48.85s =⨯-+-+-+-+-=，因为12x x =，2212s s >，所以学生乙的成绩比较稳定，（4分）所以选学生乙参加物理竞赛比较合适．（6分）（2）记这5道备选题分别为A ，B ，C ，d ，e ，其中学生乙会A ，B ，C 这3道备选题， 方案1：学生乙从5道备选题中任意抽出1道，有A ，B ，C ，d ，e ，共5种情况， 学生乙恰好抽中会的备选题，有A ，B ，C ，共3种情况， 所以学生乙进入复赛的概率135P =．（8分） 方案2：学生乙从5道备选题中任意抽出3道，有ABC ，ABd ，ABe ，ACd ，ACe ，BCd ，BCe ，Ade ，Bde ，Bde ，共10种情况，学生乙至少抽中2道会的备选题，有ABC ，ABd ，ABe ，ACd ，ACe ，BCd ，BCe ，共7种情况，所以学生乙进入复赛的概率2710P =．（10分） 因为12P P <，所以学生乙选择方案2进入复赛的可能性更大．（12分） 19．（本小题满分12分）【答案】（1）证明见解析；（2）1(1)(1)222n n n n T n ++=-⋅++． 【解析】（1）因为2(2)n n S n a -=-，*n ∈N ， 所以当2n ≥时，11(1)2(2)n n S n a ----=-，上述两式相减可得1122n n n a a a --=-，所以121(2)n n a a n -=-≥，（2分） 所以12(1)()12n n a a n -=-≥-，（3分）又当1n =时，1112(2)a a -=-，所以13a =，112a -=，（4分）所以11)1(22n n a n a --=-≥，所以数列{1}n a -是以2为首项，2为公比的等比数列．（6分）（2）由（1）可得11222n n n a --=⨯=，所以21nn a =+， 所以22log (1)(21)log 22n n nn n n b a a n n =-=+⋅=⋅+⋅，（8分）所以23123(1222322)(123)n n n T b b b b n n =++++=⨯+⨯+⨯++⨯+++++，设231222322n n A n =⨯+⨯+⨯++⨯，则23121222(1)22n n n A n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯，上述两式相减可得231121222222)221(n n n n n A n n ++--=++++-⨯=-⨯-，（10分） 所以1(1)22n n A n +=-⋅+，又(1)1232n n n +++++=，所以1(1)(1)222n n n n T n ++=-⋅++．（12分）20．（本小题满分12分）【答案】（1）2214x y +=；（2）04x =． 【解析】（1）设1(,0)F c -，2(,0)F c ，因为12MFF △122c b ⨯⨯=，即bc =（2分） 因为椭圆C，所以c a =c =，（3分） 又222a bc =+，所以12b a =，所以122a a ⨯=2a =，（4分） 所以1b =，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=．（5分） （2）当直线l 与x 轴重合时，可设(2,0)A ，则(2,0)B -，所以||1||3PA PB =，0022A B x d d x -=+，由||||A B d PA d PB =，得002123x x -=+，解得04x =． 同理，当(2,0)A -，(2,0)B 时，可得04x =．（7分）当直线l 不与x 轴重合时，设直线l 的方程为1x my =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，将1x my =+代入2214x y +=，消去x 并整理可得22(4)230m y my ++-=，则12224m y y m +=-+，12234y y m =-+．（9分） 因为||||A B d PA d PB =，所以011022x x y x x y -=--，即01102211x my y x my y --=---，整理得212012232()2411424m my y m x m y y m ⨯-+=+=+=+-+．（11分）综上，当||||A B d PA d PB =时，04x =．（12分） 21．（本小题满分12分）【答案】（1）见解析；（2）21e 2e 4[,]24-+．【解析】（1）由题可得2()x af x x-'=，1e x ≤≤，当1a ≤时，()0f x '≥恒成立，所以函数()f x 在[1,e]上单调递增， 所以min 1()(1)2f x f a ==-；（2分） 当21e a <<时，令()0f x '<，可得1x ≤<()0f x '>e x <≤，所以函数()f x在上单调递减，在e]上单调递增，所以min ()ln 22a af x f a ==--；（4分） 当2e a ≥时，()0f x '≤恒成立，所以函数()f x 在[1,e]上单调递减， 所以2mine ()(e)22f x f a ==-．综上，2min221,12()ln ,1e 22e 2,e 2a a a af x a a a a ⎧-≤⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩．（6分） （2）由题可得()e 1xg x '=-，所以当[0,1]x ∈时，()0g x '≥恒成立，所以函数()g x 在[0,1]上单调递增，所以1(0)()(1)g g x g ≤≤，即10()e 2g x ≤≤-．（8分） 当1a ≤时，由（1）可知函数()f x 在[1,e]上单调递增，所以由题意可得(1)0(e)e 2f f ≤⎧⎨≥-⎩，即2102e 2e 22a a ⎧-≤⎪⎪⎨⎪-≥-⎪⎩，解得112a ≤≤；当21e a <<时，由（1）可知函数()f x在上单调递减，在e]上单调递增，因为1(1)02f a =-<，0f <，所以(e)e 2f ≥-，解得2e e1142a <≤-+；（10分） 当2e a ≥时，由（1）可知函数()f x 在[1,e]上单调递减， 所以1()(1)02f x f a ≤=-<，不符合题意． 综上，21e e 1242a ≤≤-+，故实数a 的取值范围为21e 2e 4[,]24-+．（12分） 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程【答案】（1）曲线1C 的普通方程为4320x y +-=，曲线2C 的直角坐标方程为2y x =；（2）815． 【解析】（1）因为曲线1C 的参数方程为2324x ty t =-⎧⎨=-+⎩，所以消去参数t 可得4320x y +-=，故曲线1C 的普通方程为4320x y +-=；（2分）因为cos tan ρθθ=，所以22cos sin ρθρθ=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式可得2y x =，故曲线2C 的直角坐标方程为2y x =．（5分）（2）因为点P的极坐标为)4π-，所以点P 的直角坐标为(2,2)-，将曲线1C 的参数方程化为标准形式为325425x t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），（7分）代入2y x =可得29801500t t -+=， 设1t ，2t 是点A ，B 对应的参数，则12809t t +=，12503t t =． 所以1212||||||8||11|||||15|||t t PA PB PA PB t P PB t A ++===+⋅．（10分） 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲【答案】（1）(1,3)；（2）[2,)+∞．【解析】（1）()()f x g x <即|23||5|5x x -+-<，当32x <时，3255x x -+-<，解得312x <<；（2分） 当352x ≤<时，2355x x -+-<，解得332x ≤<； 当5x ≥时，2355x x -+-<，无解．（4分）综上，13x <<，故不等式()()f x g x <的解集为(1,3)．（5分）（2）因为关于x 的不等式2()()f x g x a -≤有解，所以min [2()()]f x g x a -≤．（7分） 因为2()()|210||23|5|(210)(23)|52f x g x x x x x -=-+--≥----=， 当且仅当3[,5]2x ∈时取等号，所以2a ≥， 故实数a 的取值范围为[2,)+∞．（10分）。

合肥2024届高三最后一卷数学试题（答案在最后）（考试时间：150分钟满分：120分）注意事项：1.答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名､准考证号和座位号后两位.2.答题时､每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整､笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上答题无效.4.考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交.第I 卷（选择题）一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量()()2,3,1,3a b ==-，则2a b -=（）A.2 B.3C.4D.5【答案】D 【解析】【分析】根据向量坐标进行线性运算，再由模长公式即可求解.【详解】()()()22,32,64,3,25a b a b -=--=--== ，故选：D.2.已知复数z 满足()1i 2i z ⋅+=-，则z =（）A.13i 22+B.13i 22-C.13i22-- D.13i22-+【答案】A 【解析】【分析】根据题设求出z ，从而求出z 的值.【详解】由题知，()()()()2i 1i 2i 13i 13i 1i 1i 1i 222z ----====-++-，所以13i 22z =+.故选：A.3.已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为23，焦距为，则该椭圆的方程为（）A.2213x y += B.2219x y +=C.22197x y += D.2213628x y +=【答案】C 【解析】【分析】根据离心率和焦距可得3a c =⎧⎪⎨=⎪⎩，进而可得2b ，即可得方程.【详解】由题意可知：232c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，可得3a c =⎧⎪⎨=⎪⎩，则2927b =-=，所以该椭圆的方程为22197x y +=.故选：C.4.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3314,2S a ==，则4a =（）A.1B.23或-1 C.23-D.23-或1【答案】D 【解析】【分析】根据等比数列基本量的计算即可求解公比，进而可求解.【详解】依题意，10a ≠，因为314,S =2312a a q ==，12112(1),a a a q ∴+==+故2610q q --=，故12q =或1,3q =-当12q =时，431a a q ==；当1,3q =-4323a a q ==-；423a ∴=-或1.故选：D5.已知α为三角形的内角，且15cos 4α-=，则sin 2α=（）A.14-+ B.14 C.38- D.354-【答案】B 【解析】【分析】利用降幂公式得到答案.【详解】因为α为三角形的内角，1cos 4α=，所以sin 2α==14+===.故选：B6.甲乙丙丁戊5名同学坐成一排参加高考调研，若甲不在两端且甲乙不相邻的不同排列方式的个数为（）A.36种B.48种C.54种D.64种【答案】A 【解析】【分析】利用间接法，先考虑甲乙不相邻的不同排列方式数，再减去甲站在一端且甲乙不相邻的排列方式数，结合排列数运算求解.【详解】先考虑甲乙不相邻的不同排列方式数，再减去甲站在一端且甲乙不相邻的排列方式数，所以总数为3211334233A A A A A 36-=种，故选：A.7.已知四棱锥P ABCD -的各顶点在同一球面上，若2224AD AB BC CD ====，PAB 为正三角形，且面PAB ⊥面ABCD ，则该球的表面积为（）A.13π3B.16πC.52π3D.20π【答案】C 【解析】【分析】作辅助线，找到球心的位置，证明O 到四棱锥所有顶点距离相等；根据勾股定理，求出球的半径，进而求出球的表面积.【详解】如图，取AD 的中点E ，取AB 的中点G ，连接EG 、PG ，在线段PG 上取一点F ，使13FG PG =，过点E 作平面ABCD 的垂线OE ，使OE FG =，连接OF ，易知四边形ABCD 是等腰梯形，ABE 、BCE 、CDE 均为等边三角形，所以2AE BE CE DE ====，因为OE ⊥平面ABCD ，所以90OEA OEB OEC OED ∠=∠=∠=∠=︒，所以OA OB OC OD ===，因为PAB 为正三角形，G 为AB 的中点，所以PG AB ⊥，又因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，PG ⊂平面PAB ，所以PG ⊥平面ABCD ，因为OE ⊥平面ABCD ，所以//PG OE ，即//FG OE又因为OE FG =，所以四边形OEGF 为平行四边形，所以//OF EG ，因为ABE 为正三角形，G 为AB 的中点，所以EG AB ⊥，又因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，EG ⊂平面ABCD ，所以EG ⊥平面PAB ，所以OF ⊥平面PAB ，又因为F 是ABP 的外心，所以FA FB FP ==，所以OA OB OP ==，所以O 即为四棱锥外接球的球心，因为133OE FG PG ===，2AE =，所以3R OA ====所以2239524π4π)π33S R ==⋅=，故选：C.8.过()0,M p 且倾斜角为π,π2αα⎛⎫⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的直线l 与曲线2:2C x py =交于,A B 两点，分别过,A B 作曲线C 的两条切线12,l l ，若12,l l 交于N ，若直线MN 的倾斜角为β.则()tan αβ-的最小值为（）A.2B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】首先画出平面图形，求出tan tan 2k k αβ'⋅=⋅=-的结论，再利用两角和与差的正切公式以及前面的结论将()tan αβ-化简为()2k k ⎛⎫-+-⎪⎝⎭的形式，由基本不等式即可求得最值.【详解】如图，设()00,N x y ，1122(,),(,)A x y B x y ，由于曲线2:2x C y p=，则x y p '=，所以在A 点的切线方程为111()x y y x x p-=-，同理在B 点的切线方程为222()x y y x x p-=-，由于N 点是两切线的交点，所以1010120202()()x y y x x px y y x x p⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，则AB l 为()000000()2xx xy y x x y y y x x p y y p p-=-⇒-=-⇒=+，且过()0,M p ，0y p ∴=-且0tan x k p α==，设2tan ,2p k k k x β''==-∴⋅=-，()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-∴-=+()21k k k k k k -⎛⎫==-+-≥ ⎪+⋅⎝⎭''当且仅当k =时“=”成立，故选：C.二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.下表是某人上班的年收入（单位：万元）与上班年份的一组数据：年份x 1234567收入y2.93.33.64.44.85.25.9则下列命题正确的有（）A.年收入的均值为4.3B.年收入的方差为1.2C.年收入的上四分位数为5D.若y 与x 可用回归直线方程0.5ˆˆyx a =+来模拟，则ˆ 2.3a =【答案】AD 【解析】【分析】对于A ：根据平均数定义运算求解；对于B ：根据方差公式分析求解；对于C ：根据百分位数的定义分析求解；对于D ：根据线性回归方程必过样本中心点分析求解.【详解】对于选项A ：由题意可得：年收入的均值 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.94.37y ++++++==，故A正确；对于选项B ：由题意可得：年份x 1234567收入y2.93.3 3.64.4 4.85.2 5.9()2y y - 1.9610.490.010.250.812.56所以年收入的方差21.9610.490.010.250.812.567.081.277s ++++++==≠，故В错误；对于选项C ：因为70.75 5.25⨯=，所以年收入的上四分位数为第6个数据，是5.2，故C 错误；对于选项D ：因为年份的平均数123456747++++++==x ，即样本中心点为()4,4.3，所以0.5 4.30.523ˆ4.ay x =-=-⨯=，故D 正确；故选：AD.10.已知函数()2cos sin f x x x x ωωω=-(0)>ω，则下列命题正确的有（）A.当2ω=时，5π24x =是()y f x =的一条对称轴B.若()()122f x f x -=，且12minπx x -=，则12ω=C.存在()0,1ω∈，使得()f x 的图象向左平移π6个单位得到的函数为偶函数D.若()f x 在[]0,π上恰有5个零点，则ω的范围为72,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】BD 【解析】【分析】首先对函数表达式进行化简，A 选项，将2ω=，5π24x =代入发现此处有对称中心，没有对称轴；B 选项，由题设知，π为半个周期；C 选项，对函数进行平移变换，再判断奇偶性；D 选项，求出π26x ω+的范围，再确定区间右端点π2π6ω+的范围，从而求出ω的范围.【详解】()1cos 211π1sin2=cos 2=sin 22222262x f x x x x x ωωωωω-⎛⎫=-+-+-⎪⎝⎭对于A ，当2ω=时，()π1sin 462f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，所以55ππ11πsin 246622f ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以5π24x =不是()y f x =的一条对称轴，故A 错误；对于B ，由题意知，2πT =，所以22π2πω=，又因为0ω>，所以12ω=，故B 正确；对于C ，()f x 向左平移π6个单位后，得到()ππ1ππ1sin 2sin 2662362g x x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-=++- ⎪ ⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，假设()g x 为偶函数，则ππππ362k ω+=+，Z k ∈，解得13k ω=+，Zk ∈而(0,1)ω∈，所以假设不成立，故C 错误；对于D ，[]0,πx ∈时，πππ2,2π666x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，令()π1=sin 2062f x x ω⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则π1sin 262x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为()f x 在[]0,π上恰有5个零点，所以π25π29π2π,666ω⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，解得72,3ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故D 正确.故选：BD.11.已知函数()()e ,ln xf xg x x ==-，则下列命题正确的有（）A.若()g x ax ≥恒成立，则1a e≤-B.若()y f x =与1y ax =-相切，则2ea =C.存在实数a 使得()y f x ax =-和()y g x ax =+有相同的最小值D.存在实数a 使得方程()f x x a -=与()x g x a +=有相同的根且所有的根构成等差数列【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ：原题意等价于ln xa x ≤-在()0,∞+内恒成立，令()ln ,0x h x x x=->，利用导数求其最值，结合恒成立问题分析求解；对于B ：对()y f x =求得，结合导数的几何意义列式分析可得()1ln 1a a -=-，代入2e a =检验即可；对于C ：取1a =，利用导数求最值，进而分析判断；对于D ：结合选项C 可知：()(),h x x ϕ的图象，设交点为()(),M m h m ，结合图象分析可知从左到右的三个交点的横坐标依次为ln ,,e m m m ，进而可得结果.【详解】对于选项A ，若()g x ax ≥，则ln x ax -≥，且0x >，可得ln xa x≤-，可知原题意等价于ln xa x≤-在()0,∞+内恒成立，令()ln ,0x h x x x =->，则()2ln 1x h x x ='-，令()0h x '>，解得0e x <<；令()0h x '<，解得e x >；可知()y h x =在()0,e 内单调递减，在()e,∞+内单调递增，则()()1e eh x h ≤=-，所以1a e≤-，故A 正确；对于选项B ：因为()e xf x =，则()e xf x '=，设切点为()00,ex P x ，则切线斜率()0=ex k f x '=，可得切线方程为()000ee x x y x x -=-，即()000e e 1x x y x x =+-，由题意可得()000e e 11xx a x ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩，整理得()1ln 1a a -=-，显然2e a =不满足上式，故B 错误；对于选项C ：例如1a =，构建()()e xh x f x x x =-=-，则()e 1xh x '=-，令()0h x '>，解得0x >；令()0h x '<，解得0x <；可知()y h x =在(),0∞-内单调递减，在()0,∞+内单调递增，可知()y h x =的最小值为()01h =；构建()()ln ,0x g x x x x x ϕ=+=-+>，则()111x x x xϕ-=-+='，令()0x ϕ'>，解得1x >；令()0x ϕ'<，解得01x <<；可知()y x ϕ=在()0,1内单调递减，在()1,∞+内单调递增，可知()y x ϕ=的最小值为()11G =，可知()y f x ax =-和()y g x ax =+有相同的最小值1，故C 正确；对于选项D ：结合选项C 可知：()(),h x x ϕ的图象大致如下：设交点为()(),M m h m ，易知01m <<，由图象可知：当直线y a =与曲线()y h x =和曲线()y x ϕ=共有三个不同的交点时，直线y a =必经过点()(),M m h m ，即()a h m =.因为()()h m m ϕ=，所以e ln m m m m -=-，即e 2ln 0m m m -+=.令()()()h x x a h m ϕ===，得e ln e x m x x x m -=-=-，解得x m =或e m x =，由01m <<得1e m m <<.所以当直线y a =与曲线()y h x =和()y x ϕ=共有三个不同的交点时，从左到右的三个交点的横坐标依次为ln ,,e m m m .因为e 2ln 0m m m -+=，即e ln 2m m m +=，所以ln ,,e m m m 成等差数列，故D 正确；故选：ACD.【点睛】关键点点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；（2）求导数，得单调区间和极值点；（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x 轴的交点情况进而求解．第Ⅱ卷（非选择题）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合{}220A x x x =∈--≤N∣，集合(){}22210B x x a x a a =-+++=∣，若B A ⊆，则=a __________.【答案】0或1【解析】【分析】根据题意先求集合,A B ，结合包含关系分析求解.【详解】由题意可知：{}{}{}220120,1,2A x x x x x =∈--≤=∈-≤≤=NN ∣∣，(){}{}22210,1B x x a x a a a a =-+++==+∣，因为B A ⊆，可知{}0,1B =或{}1,2B =，可得0a =或1a =.故答案为：0或1.13.过()1,2P 的直线l 被曲线2240x x y -+=所截得的线段长度为l 的方程为__________.【答案】1x =或34110x y +-=【解析】【分析】根据曲线的方程确定曲线为圆，再根据直线与圆的位置，分2种情况讨论：①当直线的斜率不存在，②当直线的斜率存在时，每种情况下先设出直线的方程，利用直线被圆所截得的线段长度，求解直线的方程可得出答案.【详解】由曲线2240x x y -+=知，该曲线为圆()2224x y -+=且圆心为()2,0，半径为2r =.当直线斜率不存在时，直线方程为1x =，此时圆心到直线的距离为1d =.根据垂径定理，直线截圆所得线段长为：l ==，满足题意.当直线的斜率存在时，设直线方程为：()12y k x =-+，即20kx y k --+=圆心到直线的距离为d =，当直线截圆所得线段长度l =根据垂径定理2222l d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭可得，22222⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，解得34k =-此时直线方程为34110x y +-=.故答案为：1x =或34110x y +-=.14.在ABC 中，设,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且,tan sin sin b c A B C ≠=+，则以下结论正确的有__________.①20,11a b c ⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪+⎝⎭；②211a b c ⎛⎫∈ +⎝⎭；③2b c a +⎫∈⎪⎭；④2b c a ⎛+∈ ⎝；⑤a ∞⎫∈+⎪⎪⎭.【答案】⑤【解析】【分析】依题意可得sin sin sin cos A B C A =+，利用正弦定理将角化边得到cos ab c A=+，将上式两边平方，再由余弦定理得到2220cos a b c A+-=，最后由余弦定理及基本不等式计算可得.【详解】因为tan sin sin A B C =+，即sin sin sin cos AB C A=+，由正弦定理可得cos ab c A=+，所以22222cos a b c bc A=++，又2222cos bc A b c a +-=，所以()()22222222cos 2cos cos cos a b c A bc A b c A b c a A=++=+++-，所以()2221cos 0cos a b c A A ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，因为()0,πA ∈，所以()cos 1,1A ∈-，则1cos 0A +≠，所以2220cos a b c A+-=，()222cos a b c A =+，又b c ≠，所以222b c bc +>，所以()222222cos 2cos a b cA bc A bc a =+>=+-，所以2222b c a +>，则a >a ∞⎫∈+⎪⎪⎭.故答案为：⑤【点睛】关键点点睛：本题关键是余弦定理的灵活应用，第一次得到2220cos a b c A+-=，再由基本不等式得到()222222cos 2cos a b cA bc A bc a =+>=+-.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,P 是线段1AB 上的动点.（1）求证：平面11BDD B ⊥平面11A BC ；（2）1PB 与平面11A BC 所成的角的正弦值为3，求PB 的长.【答案】（1）证明见解析（2）PB =【解析】【分析】（1）根据题意可得111A C DD ⊥，1111AC B D ⊥，进而可证11A C ⊥平面11BDD B ，即可得结果；（2）设1B 在平面11A BC 上的射影点为E ，连接1,EP EB ，利用等体积法可得13EB =，结合线面夹角可得13EB =，进而可得结果.【小问1详解】因为1DD ⊥平面1111D C B A ，且11AC ⊂平面1111D C B A ，可得111AC DD ⊥，四边形1111D C B A 为正方形，则1111AC B D ⊥，且111111,B D DD D B D ⋂=，1DD ⊂平面11BDD B ，可得11A C ⊥平面11BDD B ，且11AC ⊂平面11A BC ，所以平面11BDD B ⊥平面11A BC .【小问2详解】设1B 在平面11A BC 上的射影点为E ，连接1,EP EB，可知11A BC V是以边长为1134A BC S =⨯=V ，因为111111B A BC B A B C V V --=，即1111222332EB ⨯=⨯⨯⨯⨯，解得1233EB =，设1PB 与平面11A BC 所成的角的大小为θ，则1113sin 3EB PB PB θ===，可得1PB =，在1BPB △中，由余弦定理得，222111π2cos4PB BB PB BB PB =+-⨯⨯，即224PB =+-，解得PB =.16.甲和乙进行中国象棋比赛，每局甲赢的概率为0.8，甲输的概率为0.2，且每局比赛相互独立.（1）若比赛采取三局两胜制，且乙已经赢得比赛，则比赛需要的局数X 的数学期望()E X 为多少？（保留小数点后一位）（2）由于甲､乙实力悬殊，乙提出“甲赢5局之前乙赢2局，则乙胜”，求乙胜的概率.【答案】（1）2.6（2）0.34464【解析】【分析】（1）分析可知X 的可能取值为2，3，结合条件概率求()()2,3P X P X ==，进而可得期望；（2）根据题意分析乙胜的情况，结合独立事件概率乘法公式分析求解.【小问1详解】记“乙已经赢得比赛”为事件A ，则()120.20.2C 0.20.80.20.104P A =⨯+⨯⨯⨯=，由题意可知：X 的可能取值为2，3，则有：()()12C 0.20.20.80.20.2582,30.104130.10413P X P X ⨯⨯⨯⨯======，所以X 的数学期望()583423 2.6131313E X =⨯+⨯=≈.【小问2详解】由题意可知：每局乙赢的概率00.2p =，则()()()()2321110200030004000C 1C 1C 1P A p p p p p p p p p p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-+-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦()415000C 1p p p ⎡⎤+-⎣⎦()()()()234200000121314151p p p p p ⎡⎤=+-+-+-+-⎣⎦()()()()()22340.21210.2310.2410.2510.2⎡⎤=+-+-+-+-⎣⎦0.048.6160.34464=⨯=，所以乙胜的概率0.34464.17.()()ex af x a -=∈R .（1）若()f x 的图象在点()()00,A x f x 处的切线经过原点，求0x ；（2）对任意的[)0,x ∈+∞，有()sin f x x ≥，求a 的取值范围.【答案】（1）1（2）πln2,42∞⎛⎤-+ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）求得()ex af x -'=，得到()00ex af x -='且()00ex af x -=，根据题意，列出方程，即可求解；（2）根据题意，转化为e sin 0x a x --≥在[)0,x ∈+∞恒成立，令()e sin x ag x x -=-，当0a ≤时，符合题意；若0a >，求得()ecos x ag x x --'=，令()()h x g x '=，利用导数求得()g x '的单调性，结合()π00,02g g ⎛⎫<> '⎪⎝⎭'，得到存在唯一的0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=，得出()g x 的单调性和极小值，进而求得a 的取值范围.【小问1详解】由函数()e x af x -=，可得()e x af x -'=，所以()00ex af x -='且()00ex af x -=，即切线的斜率为0e x a -，切点为()00e,x aA x -因为()f x 的图象在点()()00,A x f x 处的切线经过原点，可得000e 0ex a x ax ---=-，解得01x =.【小问2详解】任意的[)0,x ∈+∞，有()sin f x x ≥，即e sin 0x a x --≥在[)0,x ∈+∞恒成立，令()[)esi ,0,n x ag x x x -=∈-+∞，若0a ≤，则0x a -≥，可得e 1x a -≥，所以()e sin 1sin 0x ag x x x -=-≥-≥，符合题意；若0a >，可得()ecos x ag x x --'=，令()()h x g x '=，则()e sin x a h x x -+'=，当0πx ≤≤时，()0h x '>，()g x '在[]0,π递增，而()π2π0e 10,e02a ag g --⎛⎫=-<=> ⎪⎝⎭''，所以，存在唯一的[]0π0,0,π2x ⎛⎫∈⊆ ⎪⎝⎭，使得()000e cos 0x ag x x --'==，所以，当00x x <<时，()0g x '<，()g x 在()00,x 递减，当0πx x <<时，()0g x '>，()g x 在区间()0,πx 递增，故当0x x =，函数()g x 取得极小值()00000e sin cos sin 0x ag x x x x -=-=-≥，所以0π04x <≤，此时，00lncos x a x -=，可得00πlncos ln 42a x x =-≤-，即πln2042a <≤+；当πx >时，()πln 2142e sin e1e1e 10x x ax ag x x ---=-≥-≥-≥->，因而πln2042a <≤+，符合题意，综上所述，实数a 的取值范围是求πln2,42∞⎛⎤-+ ⎥⎝⎦.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解；2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．18.已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的上焦点为(，下顶点为A，渐近线方程是y =，过20,3B ⎛⎫ ⎪⎝⎭点的直线交双曲线上支于,P Q 两点，,AP AQ 分别交直线23y =于,M N 两点，O 为坐标原点.（1）求C 的方程；（2）求证：,,,M N O A 四点共圆；（3）求（2）中的圆的半径r 的取值范围.【答案】（1）22142-=y x （2）证明见解析（3）5.3⎛ ⎝【解析】【分析】（1）根据题意得到关于,,a b c 的方程组，解出即可；（2）方法一：设直线2:3PQ y kx =+，联立双曲线方程得到韦达定理式，求出11836M x x y =+，22836N x x y =+，最后计算并证明出BO BA BM BN =即可；方法二：转化为证明出1OM AN k k =，同法一设线联立得到韦达定理式，再整体代入计算出1OM AN k k =即可；（3）设圆心为T ，计算出(),1T k -，根据r =k 的范围即可.【小问1详解】由题，222ac a b c b==+=，解得224,2a b ==，所以C 的方程为22142-=y x .【小问2详解】（方法一）设()()11222,,,,:3P x y Q x y PQ y kx =+，代入22142-=y x ，化简整理得()224322039k x kx -+-=，有()22212201632Δ420990k k k x x ⎧-≠⎪⎪⎛⎫=--->⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎩，解得21629k <<，且()()1212222243243239,223292k k x x x x k k kk -+====----，112:2y AP y x x +=-，令23y =得11836M x x y =+，同理22836N x x y =+，()()1212121288643636922x x x x BM BN y y y y =⨯=++++()()()121221212126464864922939x x x x y y k x x k x x ==+++++()()()22223292641632846499399232k k k k k k -==⋅+⋅+--，22162339BO BA ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭，则BO BA BM BN =，所以,,,M N O A 四点共圆.（方法二）设,OM AN 的倾斜角分别为,αβ.由对称性，不妨设PQ 的斜率0k >，此时,αβ均为锐角，所以,,,M N O A 四点共圆πAOM ANM ∠∠⇔+=，ππ2αβ⎛⎫⇔++= ⎪⎝⎭ππ,,0,22αβαβ⎛⎫⇔+=∈ ⎪⎝⎭tan tan 1αβ⇔=1OM AN k k ⇔=设()()11222,,,,:3P x y Q x y PQ y kx =+，代入22142-=y x ，化简整理得()224322039k x kx -+-=，有()22212201632Δ420,990k k k x x ⎧-≠⎪⎪⎛⎫=--->⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎩解得21629k <<，()()121222324,9232kx x x x k k =-+=---，112:2y AP y x x +=-，令23y =得11836M x x y =+，同理22836N x x y =+，121222,4OM AN AQ y y k k k x x ++===()21212121212121288864223339444OM ANkx kx k x x k x x y y k k x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭=⋅==()()()2222328464399232132492kk k k k k ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+-+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎣⎦所以,,,M N O A 四点共圆.【小问3详解】设圆心为T ，则1T y =-，121212124448823636333M N T x x x x x x x y y kx kx ⎛⎫⎪+==+=+ ⎪++ ⎪++⎝⎭()()()()()()221212221212223284822392324438643284643339399232kk kx x x x k k k k k x x k x x k k k k⋅+⋅++--==⋅=+++⋅+⋅+--，(),1T k ∴-，因为21629k <<，则5.3r ⎛= ⎝【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用设线法得到韦达定理式，然后利用四点共圆的充要条件代入计算证明即可，第三问的关键是得到圆心坐标，从而得到r =19.给定自然数n 且2n ≥，设12,,,n x x x 均为正数，1ni i x T ==∑（T 为常数），11n i ni i nx x T x T x -==--∑.如果函数()f x 在区间I 上恒有()0f x ''>，则称函数()f x 为凸函数.凸函数()f x 具有性质：()1111n n i i i i f x f x n n ==⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑.（1）判断()1xf x x=-，()0,1x ∈是否为凸函数，并证明；（2）设()1,2,,ii x y i n T == ，证明：111111n ny y n -≤---；（3）求nnx T x -的最小值.【答案】（1）()f x 在()0,1上为凸函数，证明见解析（2）证明见解析（3）()5128221nn --.【解析】【分析】（1）对()f x 求导之后，再求二阶导数，证明()0f x ''>即可得出结论；（2）根据凸函数的性质得，()11111111n n i i i i f y f y n n --==⎛⎫≥ ⎪--⎝⎭∑∑；将11n i n i i nx x T x T x -==--∑中的分子、分母同时除以T ，得到()111n ni i n y f y y -==-∑；加上1111n ni i n n i i y y y y -===-=-∑∑，利用以上条件得到一个关于n y 与n 的不等式，变形后即可得出结论.（3）设i i x y T=，将n n x T x -转化为1n n y y -，判断其单调性，将问题转化为求n y 的最小值；利用（2）的结论，求出n y 的最小值，代入1n ny y -即可得出答案.【小问1详解】()f x 在()0,1上为凸函数.证明：由题知，()22(1(1)())(11)x f x x x x ==-'----，所以()43(1)(11)2()2f x x x x =-'=--'，因为()0,1x ∈，所以10x ->，()0f x ''>，所以()f x 在()0,1上为凸函数.【小问2详解】证明：因为i i x y T =()1,2,,i n = ，所以11111n n n i i i i i i x T y x TT T =======∑∑∑，由题知11n i n i i n x x T x T x -==--∑，分子分母同时除以T ，得1111i n n i n i x x TT x x T T -==--∑，所以1111n i n i i n y y y y -==--∑，即()111n n i i n y f y y -==-∑，根据凸函数的性质得，()11111111n n i i i i f y f y n n --==⎛⎫≥ ⎪--⎝⎭∑∑，所以111111111111n i n i n n i i y y n n y y n -=-=-⋅≥----∑∑，又因为1111n n i i n n i i y y yy -===-=-∑∑，所以1(11111))111(11(11)n n n n n n y y y n n y n y y n ⋅---⋅≥=------⋅--，两边同时乘以n 1-，得(1)(111()1)n n n n y n y y n y --≥----，因为()1,2,,i x n T i <= ，所以(0,1)i i x y T =∈，又因为2n ≥，所以(1)(1011(1))n n n n y n y y n y --≥>----，两边同时取倒数，得11(11(1))1)(111n n n n n y n y y n y y n ----≤=-----，所以111111n n y y n -≤---，即111111n n y y n -≤---.【小问3详解】设i i x y T =()1,2,,i n = ，则n n x y T =，且()0,1n y ∈，所以11111n n n n n n n x x y T x T x y y T ===-----，随n y 增大而增大，由（2）知，111111n n y y n -≤---，所以()2111n n n n y y y n n y -⋅--≤--，所以()2(34)210n n y n n y n --+-≤-，当2n =时，120n y -+≤，12n y ≥，所以1111n n n x T x y =-≥--，当且仅当1212y y ==时，等号成立，当3n ≥时，()()34342222n n n y n n ---+≤≤--，所以1n n n n x y T x y =≥--22(5128)(34)(24)4128n n n n nn n--++-+-=-+()22288(22412821n n n nn n n-+-+--==-+-，当且仅当()()12111221nny ny y yn n n--=====---时，等号成立，当2n=时，最小值为1，满足上式，所以nnxT x-的最小值是()5128221nn--.【点睛】关键点点睛：第2问的关键是将条件中x转化为y，紧紧围绕凸函数的性质来做文章；第3问关键是将nnxT x-转化为1nnyy-，利用第2问的结论，求出ny的最小值.。

安徽省合肥市一六八中学2025届高三第二次模拟考试数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知()A ，)B，P 为圆221x y +=上的动点，AP PQ =，过点P 作与AP 垂直的直线l 交直线QB于点M ，若点M 的横坐标为x ，则x 的取值范围是（ ）A ．1x ≥B ．1x >C ．2x ≥D ．x ≥2．要得到函数12y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需将函数23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标（ ） A ．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移4π个单位长度 B ．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移4π个单位长度 C ．缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移524π个单位长度 D ．缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移1124π个单位长度3．已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，则BD CD ⋅=（）A ．4B ．6C ．D ．4．设{1,0,1,2}U =-，集合2{|1,}A x x x U =<∈，则U C A =（ ） A ．{0,1,2}B ．{1,1,2}-C ．{1,0,2}-D ．{1,0,1}-5．已知集合{}2(,)|A x y y x ==，{}22(,)|1B x y x y =+=，则AB 的真子集个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．在直角坐标平面上，点(),P x y 的坐标满足方程2220x x y -+=，点(),Q a b 的坐标满足方程2268240a b a b ++-+=则y bx a--的取值范围是（ ） A ．[]22-,B ．4747,33⎡⎤---+⎢⎥⎣⎦C ．13,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．6767,33⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦7．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有 A ．72种B ．36种C ．24种D ．18种8．在ABC 中，点P 为BC 中点，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若AM AB λ=，(0,0)AN AC μλμ=>>，则λμ+的最小值为（ ）A ．54B ．2C ．3D ．729．已知函数2()2f x x x =-，集合{|()0}A x f x =≤，{}|()0B x f x '=≤，则A B =（ ）A ．[-1,0]B ．[-1,2]C ．[0,1]D ．(,1][2,)-∞⋃+∞10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．53π B ．43π C ．223π+D ．243π+11．已知复数21aibi i-=-，其中a ，b R ∈，i 是虚数单位，则a bi +=（ ） A ．12i -+B ．1C ．5D 512．下列函数中，图象关于y 轴对称的为（ ） A ．2()1f x x =+B ．727)2(f x x x +-，[]1,2x ∈-C ．si 8)n (f x x =D ．2()x xe ef x x-+=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届安徽省江淮十校高三第二次联考数学（文）试题一、单选题1．若全集U =R ，集合2{|16}A x Z x =∈<，{|10}B x x =-≤，则()U A B ⋂=ð（ ） A ．{|14}x x <„ B ．{|14}x x <<C ．{1,2,3}D ．{2,3}【答案】D【解析】化简集合A ，再由交并补的定义，即可求解. 【详解】{|44}{3,2,1,0,1,2,3}A x x =∈-<<=---Z ， {|1}U B x x =>ð，(){2,3}U A B =I ð.故选:D 【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题. 2．下列说法错误的是（ ）A ．命题“若2430x x -+=，则3x =”的逆否命题为“若3x ≠，则2430x x -+≠”B ．命题“(0,)x ∀∈+∞，23x x <”是假命题C ．若命题p 、q ⌝均为假命题，则命题p q ⌝∧为真命题D ．若()f x 是定义在R 上的函数，则“(0)0f =”是“()f x 是奇函数”的必要不允分条件 【答案】B【解析】选项A ：按照四个命题的关系，判断为正确；选项B ：转化为指数幂比较大小，不等式成立，故判断错误；选项C ：根据或且非的真假关系，判断为正确；选项D ：根据充分必要条件判断方法，为正确. 【详解】选项A: 命题“若2430x x -+=，则3x =”的 逆否命题为“若3x ≠，则2430x x -+≠”，故正确；选项B: (0,)x ∀∈+∞， 022()()13233x x x <==，而0,323xxx>∴<，命题“(0,)x ∀∈+∞，23x x <”为真，判断错误；选项C: 若命题p 、q ⌝均为假命题， 则命题p ⌝、q 均为真命题， 故命题p q ⌝∧为真命题，判断正确； 选项D: ()f x 是定义在R 上的函数， 若“()f x 是奇函数”则“(0)0f =”正确； 而“(0)0f =”，()f x 不一定是奇函数， 如2()f x x =，选项D 判断正确. 故选:B 【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及到四种命题的关系，全称命题的真假判定，或且非复合命题的真假关系，以及充分必要条件的判断，属于基础题.3．已知函数()x x f x e e -=-（e 为自然对数的底数），若0.50.7a -=，0.5log 0.7b =，0.7log 5c =，则（ ）A ．()()()f b f a f c <<B ．()()()f c f b f a <<C ．()()()f c f a f b <<D ．()()()f a f b f c <<【答案】D【解析】先比较,,a b c 的大小关系，再根据()xx f x e e -=-单调性，比较函数值的大小，即可求解. 【详解】因为0.50.71a -=>，01b <<，0c <，∴a b c >> 又()f x 在R 上是单调递减函数，故()()()f a f b f c <<. 故选:D . 【点睛】本题考查了指数幂和对数值的大小关系，以及指数函数的单调性，属于中档题. 4．等差数列{}n a ，若2586104()6()132a a a a a ++++=，则94a a +=（ ） A ．9 B ．10C ．11D ．12【答案】C【解析】根据等差数列性质得到5811a a +=，得到答案. 【详解】286105584()61212132()a a a a a a a +++++==，5811a a ∴+=，故459811a a a a +=+=.故选：C. 【点睛】本题考查了等差数列性质的应用，意在考查学生的计算能力. 5．函数2sin 2xy x =-的图象大致是 A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据函数22xy sinx =-的解析式，根据定义在R 上的奇函数图像关于原点对称可以排除A ，再求出其导函数，根据函数的单调区间呈周期性变化，分析四个选项即可得到结果 【详解】当0x =时，0200y sin =-= 故函数图像过原点，排除A 又12cos 2y x =-'Q ，令0y '= 则可以有无数解，所以函数的极值点有很多个，故排除B D ， 故函数在无穷域的单调区间呈周期性变化 结合四个选项，只有C 符合要求故选C 【点睛】本题主要考查了由函数的表达式判断函数图像的大体形状，解决此类问题，主要从函数的定义域，值域，单调性以及奇偶性，极值等方面考虑，有时也用特殊值代入验证．6．已知向量a r ，b r满足||a =r 1b r ||=，且||||a b a b -=+r r r r ，则|2|a b -r r 等于（ ）A B CD ．3【答案】C【解析】计算得到0a b ⋅=r r ，再计算2|2|7a b -=r r 得到答案.【详解】||||a b a b -=+r r r r Q ，0a b ∴⋅=r r ，222|2|||4||47a b a b a b ∴-=+-⋅=r r r r r r ，|2|a b ∴-=r r .故选：C . 【点睛】本题考查向量模的计算，意在考查学生的计算能力.7．平面直角坐标系xOy 中，若角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边为单位圆O 交于点03,5P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且,02πα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则cos()6πα+=（ ）A ．410B C ．410D 【答案】C【解析】根据三角形函数定义得到3cos 5α=，4sin 5α=-，再利用和差公式计算得到答案. 【详解】 题意知3cos 5α=，4sin 5α=-，所以cos cos cos sin sin 666πππααα⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭. 故选：C . 【点睛】本题考查了三角函数定义，和差公式，意在考查学生对于三角函数知识的灵活运用.8．已知函数222,0()2,0x x x f x x x x ⎧--≥=⎨-<⎩，则满足(2)(1)0f x f -+->的x 的取值范围是（ ） A ．(,3)-∞ B ．(1,3)-C ．(,1)(3,)-∞-+∞UD ．(3,)+∞【答案】A【解析】根据函数图像知函数是在R 上单调递减且为奇函数，化简得到21x -<，得到答案. 【详解】画出函数图像知：()f x 在R 上单调递减且为奇函数，所以(2)(1)0,(2)(1),21,3f x f f x f x x -+->∴->∴-<∴<. 故选：.A【点睛】本题考查了根据函数的单调性和奇偶性解不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.9．长方､堑堵､阳马､鳖臑这些名词出自中国古代数学名著《九章算术·商功》，其中阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊椎体的称呼.取一长方，如图长方体1111ABCD A B C D -，按平面11ABC D 斜切一分为二，得到两个一模一样的三棱柱，称该三棱柱为堑堵，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中与矩形为底另有一棱与底面垂直的三棱锥1D ABCD -称为阳马，余下的三棱锥11D BCC -是由四个直角三角形组成的四面体称为鳖臑，已知长方体1111ABCD A B C D -中2AB =，3BC =，14AA =，按以上操作得到阳马，则阳马的最长棱长为（ ）A ．5B ．5C 29D ．2【答案】C【解析】阳马的最长棱长为长方体的体对角线，计算得到答案. 【详解】根据题意知阳马的最长棱长为长方体的体对角线，∴22223429++= 故选：C. 【点睛】本题考查了立体几何中线段的最值问题，意在考查学生的空间想象能力.10．已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin 2sin A B =，cos cos 2a B b A +=，22a =则ABC ∆面积为（ ）A 5B 6C 7D 2【答案】C【解析】根据正弦定理得到2c =，再根据余弦定理得到3cos 4C =，再计算面积得到答案. 【详解】sin 2sin A B =，故222a b ==()cos cos 2sin cos sin cos 2sin 2a B b A R A B B A R C c +=+===，所以2223cos 24a b c C ab +-==，所以7sin C =，17sin 2ABC S ab C ∆==. 故选：C . 【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生的综合应用能力.11．关于函数()2sin()16f x x ππ=-+有下述四个结论:（ ）①()f x 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 ②()y f x =的图象关于点7,16⎛⎫⎪⎝⎭对称 ③()f x 的最小正周期为2 ④()f x 的值域为[1,3]- A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】求三角函数的单调区间，对称，周期和值域依次判断每个选项得到答案. 【详解】 令6t x ππ=-，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以,63t ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()2sin 1f x t =+在,63t ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上为增函数，即()f x 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，所以①正确；令6x k πππ-=，所以16x k =+，k ∈Z ，所以②正确； ()f x 的最小正周期为2，所以③正确；()f x 的值域为[1,3]-，④正确.故选：D . 【点睛】本题考查了三角函数的性质，意在考查学生的综合应用能力.12．已知函数2ln ,0()12,02e xx xf x x x x ⎧>⎪⎪=⎨⎪+-≤⎪⎩(e 为自然对数的底数)，则满足f (x )＝f [f (1)]的x 个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】根据解析式求得f （f （1））12=-，即问题转化为f （x ）12=-的解的个数，分x ＞0和x ≤0两种情况分别研究方程根的个数即可． 【详解】由题意得，f （f （1））12=-，∴当x ≤0时，x 2+2x 1122-=-； 解得x ＝0或x ＝﹣2； 当x ＞0时，12elnx x =-； 即lnx 12e=-x ； 在同一坐标系中画出y ＝lnx ，y 12e=-x 的图象， 由图象知，只有一个交点，∴方程有唯一的实根． 综上述：满足f （x ）＝f [f （1）]的x 个数是3个； 故选：C ．【点睛】本题考查了函数的零点与方程的根的关系，属于中档题．二、填空题13．曲线2()cos f x x x =-在点(0,(0))f 处的切线方程为_______________. 【答案】1y =-【解析】求导得到'()2sin f x x x =+，计算(0)0f '=，(0)1f =-，得到答案. 【详解】2()cos f x x x =-，故'()2sin f x x x =+，(0)0f '=Q ，(0)1f =-，∴切线方程为1y =-.故答案为：1y =-. 【点睛】本题考查了切线问题，意在考查学生的计算能力.14．n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，32a =，2106a a =，则6S =____________.【答案】632【解析】根据等比数列的性质，求出公比及1a ，即可求解. 【详解】因为{}n a 为等比数列，所以2106210a a a a =⋅=，即21,2a q ==，∴112a =∴66161(1)63(1)12a q S a q q -==-=-. 故答案为: 632【点睛】本题考查等比数列的性质，以及通项公式的基本量运算，考查等比数列的前n 项和，属于基础题.15．函数()cos f x x x =-，且对任意实数x 都有()()f x f x θθ-=+()R θ∈，则cos2θ=_______. 【答案】12-【解析】根据题意得到()0f θ'=，得到tan θ=，计算221tan cos 21tan θθθ-=+得到答案. 【详解】()f x Q图像关于x θ=对称，()0f θ'∴=sin 0θθ∴-=，tan θ∴=222222cos sin 1tan 1cos 2cos sin 1tan 2θθθθθθθ--∴===-++. 故答案为：12-. 【点睛】本题考查了根据三角函数对称求参数，意在考查学生的综合应用能力.16．当[0,1]x ∈时，不等式32320ax x x -++>恒成立，则实数a 的取值范围是________. 【答案】4a >-【解析】讨论0x =和(]0,1x ∈两种情况，令1[1,)t x=∈+∞，构造函数32()23h t t t t =--+，计算最值得到答案.【详解】当0x =时，显然成立，a R ∈.当(]0,1x ∈时，则不等式232332320,x x ax x x a x---++>∴>. 令1[1,)t x =∈+∞，则232332,23x x a a t t t x-->∴>--+， 令32()23h t t t t =--+，[1,)t ∈+∞，2()661110h t t t '=--+≤-<.所以()h t 在[)1,t ∈+∞上为减函数，所以max ()(1)4a h t h >==-. 综上所述：实数a 的取值范围是4a >-. 故答案为：4a >-. 【点睛】本题考查了根据不等式恒成立求参数，意在考查学生对于导数知识的综合应用.三、解答题17．已知函数2()sin(2)sin(2)2cos 166f x x x x a ππ=++-++- （1）若()f x 的最小值是2，求a ；（2）求函数()y f x =，[0,]x π∈的单调递减区间.【答案】（1）4（2）2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（1）化简得到()2sin 26f x x a π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，计算最值得到答案.（2）取3222262k x k πππππ+≤+≤+，解得263k x k ππππ+≤≤+，k ∈Z ，得到答案. 【详解】（1）2()sin(2)sin(2)2cos 12cos 266f x x x x a x x a ππ=++-++-=++2sin 26x a π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，min ()22f x a ∴=-+=，4a ∴=.（2）由3222262k x k πππππ+≤+≤+，k ∈Z ，得263k x k ππππ+≤≤+，k ∈Z ，又0x π≤≤，263x ππ∴≤≤. ∴函数()y f x =，[]0,x π∈的单调递减区间是2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了根据三角函数的最值求参数，函数单调性，意在考查学生的综合应用能力. 18．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知22n n S a =-. （1）判断数列{}n a 是否为等比数列，并说明理由； （2）设21log n n b n a =-+，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）是，理由见解析（2）2n T n =【解析】（1）利用公式1n n n a S S -=-计算得到12n n a a -=，得到答案. （2）计算得到21n b n =-，计算前n 项和n T 得到答案. 【详解】（1）数列{}n a 是等比数列.22n n S a =-Q ①，1122n n S a --∴=-②()2n ≥，①-②得，122n n n a a a -=-，即12n n a a -=(2)n ≥，又1122S a =-，得120a =≠，∴数列{}n a 为等比数列，首项为2，公比为2.（2）Q 由（1）知{}n a 公比2q =，12a =，2nn a ∴=，21log 221n n b n n ∴=-+=-.212(121)13(21)2n n n nT b b b n n +-∴=+++=+++-==L L .【点睛】本题考查了等比数列的证明，数列求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用. 19．已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足1()()2x f x g x ++=.（1）求()f x ，()g x ，并证明:2(2)[()]2f x g x =+；（2）求函数()(2)2()F x f x g x =-，[1,1]x ∈-的最小值.【答案】（1）()22x xf x -=+，()22x xg x -=-，证明见解析（2）1【解析】（1）根据奇函数和偶函数的性质得到()22x x f x -=+，()22x x g x -=-，再验证得到答案.（2）2()[()]2()2F x g x g x =-+，根据单调性得到最值.【详解】（1）1()()2x f x g x ++=①，1()()2x f x g x -+∴-+-=， 且()f x 为偶函数，()g x 为奇函数1()()2x f x g x -+∴-=②， 由①②得，()22x x f x -=+，()22x xg x -=-.22(2)22x x f x -∴=+，()2222[()]222222x x x x g x --+=-+=+，2(2)[()]2f x g x ∴=+.（2）由（1）知2()[()]2()2F x g x g x =-+，[1,1]x ∈-，又()22xxg x -=-在[]1,1-上单调递增，∴当[]1,1x ∈-时，33()22g x -≤≤， ∴当()1g x =，()min 1F x =，∴当[]1,1x ∈-时，()F x 最小值为1.【点睛】本题考查了函数解析式，函数最值，意在考查学生对于函数知识的综合应用.20．已知钝角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中A 为钝角，若tan b a B =，且32sin 2sin cos 2C B A =+.（1）求角B ；（2）若点D 满足2BD DC =u u u r u u u r，且BC=AD .【答案】（1）6π（2【解析】（1）化简得到sin cos A B =得到2A B π=+，代入化简得到答案.（2）根据余弦定理得到a ，3b c ==，再利用余弦定理计算得到答案. 【详解】（1）tan b a B =Q sin sin sin cos A BB B⋅∴=，又(0,)B π∈，sin 0B ∴>，sin cos A B ∴=.A Q 为钝角，B ∴为锐角，0,2A ππ⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭，sin()sin 2A B ππ⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭，2A B ππ∴-=-，故2A B π=+.32sin 2sin cos 2C B A =+Q ，32sin()2sin cos 2A B B A +=+，3sin cos 4A B ∴=，又2A B π=+，B ∴为锐角，23sin cos cos 24B B B π⎛⎫∴+== ⎪⎝⎭，cos 2B ∴=，6B π∴=.（2）2BD DC =u u u r u u u r Q ，又BC =BD ∴=由（1）知6B π=，23A π∴=，6C π∴=，b c ∴=，由余弦定理得:22222cos BC a b c bc A ==+- a ∴=，3b c ∴==，在ABD ∆中，2222cos 9122332AD AB BD AB BD B =+-⋅⋅=+-⋅⋅=，AD ∴=.【点睛】本题考查了三角恒等变换，余弦定理，意在考查学生对于三角知识的综合应用. 21．已知函数32()21f x x ax =-+()a R ∈. （1）若3a =-，求()f x 的极值；（2）若()f x 在(0,)+∞内有且仅有一个零点，求()f x 在区间[]22-,上的最大值､最小值.【答案】（1）()1f x =极小值， ()2f x =极大值（2）()25f =，()227f -=- 【解析】（1）求导得到6((1))f x x x +'=，得到函数单调性，得到极值. （2）讨论0a =，0a >，0a <三种情况，分别计算得到最值. 【详解】（1）32()231f x x x =++，2()666(1)f x x x x x '∴=+=+，令()0f x '>得，1x <-或0x >；令()0f x '<得，10x -<<，()f x ∴在(),1-∞-和()0,∞+上是单调增函数，在()1,0-上是调减函数，故()(0)1f x f ==极小值， ()(1)2f x f =-=极大值. （2）2()622(3)63a f x x ax x x a x x ⎛⎫'=-=-=-⎪⎝⎭， 当0a =时，3()21f x x =+在()0,∞+上无零点，与题意不符，舍去；当0a >时()63a f x x x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，令()0f x '>，03a >，3a x >或0x <， ()f x 在(),0-∞和,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，令()0f x '<，03a x <<，()f x 在0,3a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 故(0)1()f x f ==极大值，3()1327a a f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭极小值，若()f x 在()0,∞+上有且只有一个零点，此时()0f x =极小值即31027a -=， 3a ∴=，32()231f x x x ∴=-+，当[]2,2x ∈-时，(0)1()f x f ==极大值， ()0f x =极小值， 又(2)27(1)0f f -=-<=，(2)5(0)1f f =>=，()(2)5f x f ∴==最大值，()(2)27f x f =-=-最小值；当0a <时，()63a f x x x ⎛⎫'=-⎪⎝⎭，此时03a<，令()0f x '>得0x >或3a x <， ()f x ∴在,3a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和()0,∞+上单调递增，令()0f x '<得03a x <<，()f x 在,03a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， ()(0)10f x f ∴==>极小值.()f x ∴在()0,∞+上无零点，与题意不符；综上，()(2)5f x f ==最大值，()(2)27f x f =-=-最小值. 【点睛】本题考查了函数的极值和最值，意在考查学生对于导数知识的综合应用. 22．已知函数2()(1)x f x xe a x =++()a R ∈.（1）若1a =-，求()f x '的单调区间； （2）若0a >，证明()f x 有且仅有两个零点.【答案】（1）()f x '的单调增区间为()0,∞+，单调减区间为(),0-∞（2）证明见解析 【解析】（1）求导得到()(1)2(1)xf x x e x '=+-+，记()(1)2(1)xg x x e x =+-+，得到()00g '=，根据函数的导数的正负得到函数的单调性.（2）()()2(1)xf x e a x '=++，得到函数单调性，证明分别在()0,1x -及()1,0-各有一个零点，得到答案. 【详解】（1）当1a =-时，2()(1)x f x xe x =-+，()(1)2(1)xf x x e x '∴=+-+，记()(1)2(1)xg x x e x =+-+，()(2)2xg x x e '∴=+-，()00g '=0x <时，01x e <<，(2)20x x e +-<，()0g x '<， 0x >时，e 1x >，(2)20x x e +->，()0g x '>.. ()g x ∴在(),0-∞单调递减，()0,∞+单调递增.()f x '∴的单调增区间为()0,∞+，单调减区间为(),0-∞.（2）若0a >，则()()2(1)xf x e a x '=++，令()0f x '=得1x =-，且(,1)x ∈-∞-时，()0f x '<，(1,)x ∈-+∞，()0f x '>.()f x ∴在(),1-∞-）单调递减，()1,-+∞单调递增，1(1)0ef -=-<，(0)0f a =>，记011x =-<-， 由xy xe =在(),1-∞-上单调递减知001x x ee>-，()0001110x f x x e e∴=+>-+>，()f x ∴共有2个零点，且分别在()0,1x -及()1,0-各有一个零点，得证.【点睛】本题考查了函数的单调区间，零点问题，意在考查学生的综合应用能力.。