2019-2020年高三质量检测(数学文科)

2019-2020学年高三上学期9月质量检测数学试题一、单选题1．设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤则 A ．对任意实数a ，(2,1)A ∈ B ．对任意实数a ，（2,1）A ∉ C ．当且仅当a <0时,（2,1）A ∉ D ．当且仅当32a ≤ 时,（2,1）A ∉ 【答案】D【解析】分析：求出(2,1)A ∈及(2,1)A ∉所对应的集合，利用集合之间的包含关系进行求解.详解：若(2,1)A ∈，则32a >且0a ≥，即若(2,1)A ∈，则32a >， 此命题的逆否命题为：若32a ≤，则有(2,1)A ∉，故选D.点睛：此题主要结合充分与必要条件考查线性规划的应用，集合法是判断充分条件与必要条件的一种非常有效的方法，根据,p q 成立时对应的集合之间的包含关系进行判断. 设{|()},{|()}A x p x B x q x ==，若A B ⊆，则p q ⇒；若A B =，则p q =，当一个问题从正面思考很难入手时，可以考虑其逆否命题形式.2．在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线20x my --=的距离，当θ、m 变化时，d 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点()2,0A ，则根据几何意义得d 的最大值为1OA +. 【详解】22cos sin 1θθ+=∴Q ，P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点()2,0A ，所以d 的最大值为1213OA +=+=，选C. 【点睛】与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．3．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数.详解：由三视图可得四棱锥P ABCD -，在四棱锥P ABCD -中，2,2,2,1PD AD CD AB ====，由勾股定理可知：22,22,3,5PA PC PB BC ====，则在四棱锥中，直角三角形有：,,PAD PCD PAB ∆∆∆共三个，故选C.点睛：此题考查三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原，分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进行棱长、表面积、体积等相关问题的求解.4．设的边AB 上一定点0P 满足014P B AB =u u u r u u u r，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B P C ⋅≥⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，则（ ）A ．2ABC π∠=B ．2BAC π∠=C ．AB AC =D ．AC BC =【答案】D【解析】设||4AB =u u u r，则0||1P B =u u u r ，过点C 作AB 的垂线，垂足为H ，在AB 上任取一点P ，设0HP a =，则由数量积的几何意义可得2||(1)||0PB a PB a -++≥u u u r u u u r恒成立，只需△22(1)4(1)0a a a =+-=-≤即可，由此能求出ABC ∆是等腰三角形，AC BC =．【详解】设||4AB =u u u r，则0||1P B =u u u r ，过点C 作AB 的垂线，垂足为H ， 在AB 上任取一点P ，设0HP a =，则由数量积的几何意义可得，2||||||(1)||PB PC PH PB PB a PB ⋅=⋅=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，00P B PC a ⋅=-u u u r u u u r ， 于是00PB PC P B P C ⋅≥⋅u u u r u u u r u u u r u u u r恒成立，整理得2||(1)||0PB a PB a -++≥u u u r u u u r恒成立，只需△22(1)4(1)0a a a =+-=-≤即可，于是1a =，因此2HB =，即H 是AB 的中点，故ABC ∆是等腰三角形， 所以AC BC =． 故选：D.【点睛】本题考查平面向量的运算、向量的模及向量的数量积的概念、向量运算的几何意义的应用，考查利用向量解决简单的几何问题的能力.二、填空题5．已知集合A={x||x|<2}，B={–2，0，1，2}，则A I B=_____【答案】{0，1}【解析】根据集合的交运算进行计算即可． 【详解】222,x x <∴-<<Q ，因此A I B ={}(){}2,0,1,22,20,1-⋂-=故答案为：{}0,1 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，根据集合交集的定义是解决本题的关键．比较基础．6．若函数()1f x =，()g x =，则()()f x g x +=__________．【答案】1(01)x ≤≤【解析】根据偶次根式被开方数大于等于零可求得()(),f x g x 定义域，取交集得到()()f x g x +的定义域，将()(),f x g x 解析式相加可得所求结果.【详解】Q ()f x 定义域为：{}0x x ≥；()g x 定义域为：{}01x x ≤≤()()f x g x ∴+的定义域为{}01x x ≤≤()())1101f x g x x ∴+==≤≤故答案为：)101x +≤≤ 【点睛】本题考查函数解析式的求解，易错点是忽略了函数定义域的要求，造成所求函数的定义域缺失.7．在()721x -的二项展开式中,第四项的系数为__________. 【答案】560-【解析】利用二项展开式的通项公式，求得第四项的系数. 【详解】二项展开式中，第四项的系数为()334721560C ⋅⋅-=-.故答案为：560- 【点睛】本小题主要考查二项展开式通项公式的运用，属于基础题.8．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________． 【答案】3.10【解析】分析：先确定总基本事件数，再从中确定满足条件的基本事件数，最后根据古典概型概率公式求概率.详解：从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求概率为3.10点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法（理科）：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.9．已知某圆锥体的底面半径3r =，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为23π的扇形，则该圆锥体的表面积是 ． 【答案】【解析】试题分析：由已知沿圆锥体的母线把侧面展开后得到的扇形的弧长为，从而其母线长为，从而圆锥体的表面积为；故答案为：【考点】圆锥体的表面积．10．已知直线()1:3260l x k y -++=与直线()2:2320l kx k y +-+=,记3D k=()223k k -+-，则D =0是直线1l 与直线2l 平行的__________(选填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既非充分又非必要”)条件. 【答案】必要非充分【解析】解0D =求得k 的值.由此12l l //求得k 的值.由此判断出充分、必要条件. 【详解】令0D =得()()232320,890k k k k k -++=+-=，解得9k=-或1k =.当12l l //时，()()323203260k k k k ⎧-++=⎨⨯-≠⎩，解得9k =-.故D =0是直线1l 与直线2l 平行的必要非充分条件. 故答案为：必要非充分 【点睛】本小题主要考查两条直线平行的条件，考查行列式的计算，考查充分、必要条件的判断，属于基础题.11．设函数()()cos 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，若()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________． 【答案】23【解析】根据题意()f x 取最大值4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据余弦函数取最大值条件解得ω的表达式，进而确定其最小值. 【详解】 因为()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，所以()f x 取最大值4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以22π()8()463k k Z k k Z ωωππ-=∈∴=+∈，，因为0>ω，所以当0k =时，ω取最小值为23.【点睛】函数cos()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的性质 （1）max min =+y A B y A B =-，. （2）周期2π.T ω=（3）由π()x k k Z ωϕ+=∈求对称轴，最大值对应自变量满足2π()x k k ωϕ+=∈Z ，最小值对应自变量满足+2()x k k ωϕππ+=∈Z ， （4）由22()22k x k k πππωϕπ-+≤+≤+∈Z 求增区间；由322()22k x k k πππωϕπ+≤+≤+∈Z 求减区间.12．若x ，y 满足x +1≤y ≤2x ，则2y−x 的最小值是__________． 【答案】3 【解析】【详解】分析：作可行域，根据目标函数与可行域关系，确定最小值取法. 详解：作可行域，如图， 平移直线2z y x =-，由图可知直线2z y x =-过点A(1,2)时，z 取最小值3.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.13．能说明“若()()0f x f ＞对任意的(]02x ∈，都成立,则()f x 在(]02，上是增函数”为假命题的一个函数是_________.【答案】()232f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（答案不唯一）【解析】根据题目所给命题为假命题，构造函数()f x 在区间(]02，满足条件“()()0f x f >对任意的(]02x ∈，都成立”且不是增函数. 【详解】由于原命题是假命题，故存在“()()0f x f >对任意的(]02x ∈，都成立”且不是增函数. 设()f x 为二次函数，则()f x 在(]02，必须是先增后减，此时只需二次函数对称轴满足122b a <-<，且二次项系数0a <即可.如()232f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.故答案为：()232f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（答案不唯一） 【点睛】本小题主要考查函数的单调性和最值，考查二次函数的性质，属于基础题.14．已知椭圆()2222:10x y M a b a b+=＞＞，双曲线2222:1x y N m n -=，若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M 的焦距与长轴长的比值为________.1【解析】根据正六边形的性质以及椭圆的定义求得2a ，由此求得椭圆M 的焦距与长轴长的比值（也即离心率） 【详解】由正六边形的性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c +，根据椭圆的定义可知2c a +=，所以椭圆M 的焦距与长轴长的比值为212ca ==.1. 【点睛】本小题主要考查椭圆的定义，考查椭圆的几何性质，考查正六边形的几何性质，属于基础题.15．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________． 【答案】9【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值. 详解：由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△,由角平分线性质和三角形面积公式得111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得11,1ac a c a c=++=，因此1144(4)()559,c a a c a c a c a c +=++=++≥+=当且仅当23c a ==时取等号，则4a c +的最小值为9.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.16．在实数集R 中,我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”.类似地,我们在复数集C 上也可以定义一个称为“序”的关系,记为“＞”.定义如下:对于任意两个复数：()111222121212z a bi z a b i a a b b R z z =+=+∈，，，，，＞当且仅当“12a a ＞”或“12a a =”且“12b b ＞”.按上述定义的关系“＞”，给出以下四个命题: ①若12z z ＞,则12z z ＞； ②若1223z z z z ＞，＞，则13z z ＞；③若12z z ＞,则对于任意12z C z z z z ∈++，＞； ④对于复数0z ＞,若12z z ＞,则12zz zz ＞. 其中所有真命题的序号为______________. 【答案】②③【解析】根据新定义“序”的关系，对四个命题逐一分析，由此判断出真命题的序号. 【详解】对于①，由于12z z >，所以“12a a >”或“12a a =且12b b >”. 当121,2a a =-=-，满足12a a >但12z z <，所以①错误.对于②，根据“序”的关系的定义可知，复数的“序”有传递性，所以②正确. 对于③，设z c di =+，由12z z >，所以“12a a >”或“12a a =且12b b >”，可得“12a c a c +>+”或“12a c a c +=+且12b d b d +>+”，即12z z z z +>+成立，所以③正确.对于④，当123,2,2z i z i z i ===时，126,4zz zz =-=-，12zz zz <，故④错误. 故答案为：②③ 【点睛】本小题主要考查新定义复数“序”的关系的理解和运用，考查分析、思考与解决问题的能力，属于基础题.三、解答题17．已知函数()21sin cos cos 2f x x x x =+-. (1)求()f x 的最小正周期和单调递减区间；(2)若()f x 在区间[]0m ，上恰好有十个零点,求正数m 的最小值. 【答案】（1）最小正周期为π，递减区间为π5ππ,π,88k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）39π8. 【解析】（1）利用降次公式、二倍角公式和辅助角公式化简()f x 解析式，进而求得()f x 的最小正周期和的单调减区间.（1）令()0f x =求得函数()f x 的零点，结合()f x 在区间[]0m ，上恰好有十个零点，求得m 的最小值. 【详解】 （1）()112πsin 2cos 2sin 22224f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==.由ππ3π2π22π242k x k +≤+≤+，解得π5πππ88k x k +≤≤+，所以()f x 的递减区间为π5ππ,π,88k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. （2）令()0f x =，即πsin 204x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()πππ2π,428k x k x k Z +==-∈.由于[]0,x m ∈内，()f x 恰有十个零点，故由()ππ28k x k Z =-∈得k 取1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，恰好10个零点.当10k =时，39π8x =.所以正数m 的最小值为39π8. 【点睛】本小题主要考查利用二倍角公式、降次公式和辅助角公式进行三角恒等变换，考查三角函数最小正周期、单调区间的求法，考查三角函数零点问题，属于中档题.18．如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =AA 1=2，点P ，Q 分别为A 1B 1，BC 的中点．（1）求异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值；（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．【答案】（1）310 20（2）5【解析】分析：（1）先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据向量数量积求得向量1,BP ACu u u v u u u u v的夹角，再根据向量夹角与异面直线所成角的关系得结果；（2）利用平面的方向量的求法列方程组解得平面1AQC的一个法向量，再根据向量数量积得向量夹角，最后根据线面角与所求向量夹角之间的关系得结果.详解：如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，则OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以{}1,,OB OC OOu u u v u u u v u u u u v为基底，建立空间直角坐标系O−xyz．因为AB=AA1=2，所以()()()()()()1110,1,0,3,0,0,0,1,0,0,1,2,3,0,2,0,1,2A B C A B C--．（1）因为P为A1B1的中点，所以31,22P⎫-⎪⎪⎝⎭，从而()131,2,0,2,22BP AC⎛⎫=-=⎪⎪⎝⎭u u u v u u u u v，故11114310,20522BP ACcosBP ACBP AC⋅-+===⨯⋅u u u v u u u u vu u u v u u u u vu u u v u u u u v．因此，异面直线BP与AC1所成角的余弦值为31020．（2）因为Q为BC的中点，所以31,02Q⎫⎪⎪⎝⎭，因此3,02AQ ⎫=⎪⎪⎝⎭u u u v ，()()110,2,2,0,0,2AC CC ==u u u u v u u u u v ．设n =（x ，y ，z ）为平面AQC 1的一个法向量，则10,0,AQ n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v u u u u v即30,22220.x y y z +=⎨⎪+=⎩不妨取)1,1n =-，设直线CC 1与平面AQC 1所成角为θ，则111sin ,CC n cosCC n CC nθ⋅====⋅u u u u v u u u u v u u u u v ，所以直线CC 1与平面AQC 1点睛：本题考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力.利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.19．已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，QM QO λ=u u u u r u u u r ，QN QO μ=u u u r u u u r，求证：11λμ+为定值．【答案】(1) 取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1） (2)证明过程见解析 【解析】【详解】分析：（1）先确定p,再设直线方程，与抛物线联立，根据判别式大于零解得直线l 的斜率的取值范围，最后根据P A ，PB 与y 轴相交，舍去k=3，（2）先设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），与抛物线联立，根据韦达定理可得12224k x x k -+=-，1221x x k =．再由=QM QO λu u u u v u u u v ，=QN QO μu u u v u u u v得=1M y λ-，1N y μ=-．利用直线P A ，PB 的方程分别得点M ，N 的纵坐标，代入化简11λμ+可得结论.详解：解：（Ⅰ）因为抛物线y 2=2px 经过点P （1，2），所以4=2p ，解得p =2，所以抛物线的方程为y 2=4x ． 由题意可知直线l 的斜率存在且不为0， 设直线l 的方程为y =kx +1（k ≠0）．由241y x y kx ⎧=⎨=+⎩得()222410k x k x +-+=． 依题意()2224410k k ∆=--⨯⨯>，解得k<0或0<k<1． 又P A ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点（1，-2）．从而k ≠-3． 所以直线l 斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）． （Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． 由（I ）知12224k x x k -+=-，1221x x k=． 直线P A 的方程为()112211y y x x --=--． 令x =0，得点M 的纵坐标为1111212211M y kx y x x -+-+=+=+--． 同理得点N 的纵坐标为22121N kx y x -+=+-．由=QM QO λu u u u v u u u v ，=QN QO μu u u v u u u v得=1M y λ-，1N y μ=-．所以()()()2212121212122224211111111=21111111M N k x x x x x x k k y y k x k x k x x k k λμ-+-+--+=+=+=⋅=⋅------． 所以11λμ+为定值．点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.20．数列{}n a ,定义{}n a ∆为数列{}n a 的一阶差分数列,其中()*1n n n a a a n N+∆=-∈.(1)若2n a n n =-,试断{}n a ∆是否是等差数列,并说明理由；(2)若111,2,2nnn n n n a a a a b -=∆-==，证明{}n b 是等差数列,并求数列{}n a 的通项公式； (3)对(2)中的数列{}n a ,是否存在等差数列{}n c ,使得1212nn n n n n c C c C c C a ++⋯+=对一切*n N ∈都成立,若存在,求出数列{}n c 的通项公式；若不存在,请说明理由.【答案】（1）{}n a ∆是等差数列，理由见解析；（2）证明见解析，12n n a n -=⋅；（3）存在，且n c n =.【解析】（1）通过计算112,2n n a a a +∆∆∆-==证得{}n a ∆是等差数列.（2）根据1n n n a a a +∆=-，2n n n a a ∆-=得到122n n n a a +=+，利用凑配法证得{}n b 是等差数列,并求得数列{}n a 的通项公式.（3）先求得12,c c ，由此求得n c n =，再利用组合数公式，证得n c n =符合要求. 【详解】（1）由于2n a n n =-，所以()()22111n n n a a n a n n n +=-=+-+-+∆2n =，所以()12122n n a n a n +-=+-∆=∆，且2112a a a =-=∆.所以{}n a ∆是首项为2，公差为2的等差数列.（2）由于1n n n a a a +∆=-，2n n n a a ∆-=，所以12n n n n a a a +--=，即122nn n a a +=+，两边除以12n +得111111111,,22222222n n n n n n n n a a a a a ++++=+-==，所以{}nb 是首项为12，公差为12的等差数列，故12n b n =，即11,222n n n na n a n -==⋅. （3）存在，且n c n =符合题意.依题意1212nn n n n n c C c C c C a ++⋯+=.当1n =时，111c a ==；当2n =时，122222C c C a +=，即2224,2c c +==，而{}n c 是等差数列，故只能n c n =.下证n c n=符合题意.由于n c n =，所以根据组合数公式有1212nn n n nc C c C c C ++⋯+1221n n n n C C n C +⋅+⋯+⋅=⋅()01211111n n n n n n C C C C -----=++++L 12n n n a -=⋅=符合题意. 【点睛】本小题主要考查等差数列的证明，考查等差数列通项公式，考查组合数公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.21．设n 为正整数，集合A =(){}12{|,,,,0,1,1,2,,}n k t t t t k n αα=∈=L L ．对于集合A 中的任意元素()12,,,n x x x α=L 和()12,,,n y y y β=L ，记 M （αβ，）=()()()1111222212n n n n x y x y x y x y x y x y ⎡⎤+--++--+++--⎣⎦L ．（Ⅰ）当n =3时，若()1,1,0α=，()0,1,1β=，求M （,αα）和M （,αβ）的值； （Ⅱ）当n =4时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素,αβ，当,αβ相同时，M （αβ，）是奇数；当,αβ不同时，M （αβ，）是偶数．求集合B 中元素个数的最大值；（Ⅲ）给定不小于2的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素,αβ，M （αβ，）=0．写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由． 【答案】(1)2,1;(2) 最大值为4;(3)【解析】【详解】 （Ⅰ），。

2019-2020年高三上学期期末教学质量检测数学（文）试题 含答案一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 计算： . 2. 已知集合，，则 .3. 已知等差数列的首项为3，公差为4，则该数列的前项和 .4. 一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有 种不同结果（用数值作答）.5. 不等式的解集是 .6. 设8780178(1)x a a x a x a x -=++++，则0178||||||||a a a a ++++= .7. 已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积是 .8. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在轴的正半轴上，终边在射线（）上，则 .9. 已知两个向量，的夹角为，，为单位向量，，若，则 . 10. 已知两条直线的方程分别为：和：，则这两条直线的夹角大小为 （结果用反三角函数值表示）.11. 若，是一二次方程的两根，则 .12. 直线经过点且点到直线的距离等于1，则直线的方程是 . 13. 已知实数、满足，则的取值范围是 .14. 一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为，则的取值范围是 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 在下列幂函数中，是偶函数且在上是增函数的是（ ）A. B. C. D.16. 已知直线：与直线：，记3D k =A. 充分非必要条件C. 充要条件17. 则表示复数的点是（ ）18. A. 1个 B. 4个三、解答题（本大题满分74定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分14分）本题共有2在锐角中，、、分别为内角、（1）求的大小；（2）若，的面积，求的值.B120.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.上海出租车的价格规定：起步费14元，可行3公里，3公里以后按每公里2.4元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里3.6元计算，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.（1）小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费（元）与行车里程（公里）之间的函数关系式.21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.如图，正方体的棱长为2，点为面的对角线的中点.平面交与，于.（1）求异面直线与所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）（2）求三棱锥的体积.22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.已知函数（其中）.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）求函数的反函数；（3）若两个函数与在闭区间上恒满足，则称函数与在闭区间上是分离的.试判断函数与在闭区间上是否分离？若分离，求出实数的取值范围；若不分离，请说明理由.23.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.在数列中，已知，前项和为，且.（其中）（1）求；（2）求数列的通项公式；（3）设，问是否存在正整数、（其中），使得、、成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组；否则，说明理由.静安区xx第一学期期末教学质量检测高三年级数学（文科）试卷答案（试卷满分150分 考试时间120分钟） xx.12一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 计算： . 解：.2. 已知集合，，则 . 解：.3. 已知等差数列的首项为3，公差为4，则该数列的前项和 . 解：.4. 一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有 种不同结果（用数值作答）. 解：45.5. 不等式的解集是 . 解：.6. 设8780178(1)x a a x a x a x -=++++，则0178||||||||a a a a ++++= .解：256.7. 已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积是 . 解：.8. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在轴的正半轴上，终边在射线（）上，则 . 解：.9. 已知两个向量，的夹角为，，为单位向量，，若，则 . 解：-2.10. 已知两条直线的方程分别为：和：，则这两条直线的夹角大小为 （结果用反三角函数值表示）. 解：（或或）.11. 若，是一二次方程的两根，则 . 解：-3.12. 直线经过点且点到直线的距离等于1，则直线的方程是 . 解：或.13. 已知实数、满足，则的取值范围是 . 解：.14. 一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为，则的取值范围是 . 解：.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 在下列幂函数中，是偶函数且在上是增函数的是（ ）A. B. C. D. 解：D.B 116. 已知直线：与直线：，记3D k =A. 充分非必要条件C. 充要条件解：B.17. 则表示复数的点是（ ）解：D.18. A. 1个 B. 4个解：C.三、解答题（本大题满分74定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.在锐角中，、、分别为内角、、所对的边长，且满足. （1）求的大小；（2）若，的面积，求的值. 解：（1）由正弦定理：，得，∴ ，（4分） 又由为锐角，得.（6分）（2），又∵ ，∴ ，（8分）根据余弦定理：2222cos 7310b a c ac B =+-=+=，（12分） ∴ 222()216a c a c ac +=++=，从而.（14分）20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.上海出租车的价格规定：起步费14元，可行3公里，3公里以后按每公里2.4元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里3.6元计算，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.（1）小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费（元）与行车里程（公里）之间的函数关系式. 解：（1）他应付出出租车费26元.（4分）（2）14,03() 2.4 6.8,3103.6 5.2,10x f x x x x x <≤⎧⎪=+<≤⎨⎪->⎩　. 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.如图，正方体的棱长为2，点为面的对角线的中点.平面交与，于.（1）求异面直线与所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）（2）求三棱锥的体积.解：（1）∵ 点为面的对角线的中点，且平面，∴ 为的中位线，得，又∵ ，∴ 22MN ND MD ===（2分） ∵ 在底面中，，，∴ ，又∵ ，为异面直线与所成角，（6分） 在中，为直角，，∴ .即异面直线与所成角的大小为.（8分） （2），（9分）1132P BMN V PM MN BN -=⋅⋅⋅⋅，（12分）22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.已知函数（其中）.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）求函数的反函数；（3）若两个函数与在闭区间上恒满足，则称函数与在闭区间上是分离的.试判断函数与在闭区间上是否分离？若分离，求出实数的取值范围；若不分离，请说明理由. 解：（1）∵ ，∴ 函数的定义域为，（1分）又∵ ()()log )log )0a a f x f x x x +-=+=，∴ 函数是奇函数.（4分） （2）由，且当时，， 当时，，得的值域为实数集. 解得，.（8分）（3）在区间上恒成立，即， 即在区间上恒成立，（11分） 令，∵ ，∴ ， 在上单调递增，∴ ， 解得，∴ .（16分）23.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.在数列中，已知，前项和为，且.（其中） （1）求；（2）求数列的通项公式； （3）设，问是否存在正整数、（其中），使得、、成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组；否则，说明理由. 解：（1）∵ ，令，得，∴ ，（3分）或者令，得，∴ .（2）当时，1111(1)()(1)22n n n n a a n a S ++++-+==，∴ 111(1)22n nn n n n a na a S S ++++=-=-，∴ ， 推得，又∵ ，∴ ，∴ ，当时也成立，∴ （）.（9分） （3）假设存在正整数、，使得、、成等比数列，则、、成等差数列，故（**）（11分） 由于右边大于，则，即， 考查数列的单调性，∵ ，∴ 数列为单调递减数列.（14分） 当时，，代入（**）式得，解得； 当时，（舍）.综上得：满足条件的正整数组为.（16分）（说明：从不定方程以具体值代入求解也可参照上面步骤给分）温馨提示：最好仔细阅读后才下载使用，万分感谢！。

2019-2020年高三第二次调研考试数学文试题 含答案本卷分选择题非选择题两部分，共4页，满分150分.考试用时间120分钟.注意事项：1．考生务必将自己的姓名、班级、学校用蓝、黑墨水钢笔签字笔写在答题卷上；2．选择题、填空题每小题得出答案后，请将答案填写在答题卷相应指定位置上。

答在试题卷上不得分；3．考试结束，考生只需将答题卷交回.4. 参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高．正棱锥的侧面积公式：，是底面周长，是斜高.一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U={0，1，2，3，4，5}，集合A={2，4}，B=，则集合A ．{0,4,5,2}B ．{0,4,5}C ．{2,4,5}D ．{1,3,5}2．已知为虚数单位，则=（ ）A -B －1CD 13．设，则这四个数的大小关系是( )0.320.30.3log 2,log 3,2,0.3a b c d ====A ． B . C. D.4．若方程表示双曲线，则k 的取值范围是（）A. B. C. D. 或5.某几何体的三视图如图所示（俯视图是正方形，正视图和左视图是两个全等等腰三角形）根据图中标出的数据，可得这个几何体的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．12 6.已知回归直线斜率的估计值为1.23，样本点的中心为点(4,5)，则回归直线的方程为( )A.＝1.23x ＋4B.＝1.23x ＋5C ．＝1.23x ＋0.08D ．＝0.08x ＋1.237. 设不等式组表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩点的距离大于的概率是（ ）A ． B ． C ．D ．8. 中，角、、所以的边为、、， 若，，面积，则（　）A. B. C. D.9．设｛a n ｝（n ∈N *）是等差数列，S n 是其前n 项的和，且S 5＜S 6，S 6＝S 7＞S 8，则下列结论错误的是（ ）A ．d ＜0B ．a 7＝0C ．S 9＞S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（1）求高一（1）班参加校生物竞赛人数及分数在之间的频数，并计算频率分布直方图中间的矩形的高；（2）若要从分数在之间的学生中任选两人进行某项研究，求至少有一人分数在之间的概率．18.(本小题满分14分）如图，已知⊙所在的平面，是⊙的直径，，C是⊙上一点，且，．(1) 求证：；(2) 求证：；（3）当时，求三棱锥的体积．19.(本小题满分14分）椭圆的离心率为，两焦点分别为，点M是椭圆C上一点，的周长为16，设线段MO（O为坐标原点）与圆交于点N，且线段MN长度的最小值为.（1）求椭圆C以及圆O的方程；（2）当点在椭圆C上运动时，判断直线与圆O的位置关系.20.(本小题满分14分）已知函数.（1）判断奇偶性, 并求出函数的单调区间；（2）若函数有零点，求实数的取值范围.21.(本小题满分14分）设等差数列的公差，等比数列公比为，且，，（1）求等比数列的公比的值；（2）将数列，中的公共项按由小到大的顺序排列组成一个新的数列，是否存在正整数（其中）使得和都构成等差数列？若存在，求出一组的值；若不存在，请说明理由.韶关市xx高三年级第一次调研（期末）测试数学试题(文科)参考答案说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．DCBAB CDDCA二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．11. 12.13. （2分），（3分）14.15. 内切三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．(本题满分12分)函数()的部分图像如右所示.（1）求函数的解析式；（2）设，且，求的值解：（1）∵由图可知：函数的最大值为，………2分且∴，最小正周期………………………………………………………4分∴故函数的解析式为. …………………………………6分（2），………………………………………………………8分∴，∵，∴，…………………………………………………………10分∴ …………………………………………………………………12分17．(本题满分12分)高一（1）班参加校生物竞赛学生成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：（1）求高一（1）班参加校生物竞赛人数及分数在之间的频数，并计算频率分布直方图中间的矩形的高；（2）若要从分数在之间的学生中任选两人进行某项研究，求至少有一人分数在之间的概率．解.（1）分数在之间的频数为，频率为，高一（1）班参加校生物竞赛人数为．………2分所以分数在之间的频数为………4分频率分布直方图中间的矩形的高为．………6分（2）设至少有一人分数在之间为事件A将之间的人编号为，之间的人编号为，在之间的任取两人的基本事件为：，，，，，. 共个，，，，，，，………………………………………………………………………………………………..9分其中，至少有一个在之间的基本事件有个……………………………………10分根据古典概型概率计算公式，得………………………………………11分答：至少有一人分数在之间的概率………………………………………12分18.(本小题满分14分）如图，如图，已知⊙所在的平面，是⊙的直径，C是⊙上一点，且，．(1) 求证：；(2) 求证：；（3）当时，求三棱锥的体积．[网]16.如图所示，一个带正电的粒子沿x轴正向射人匀强磁场中，它所受到的洛伦兹力方向．沿Y轴正向，则磁场方向A.一定沿z轴正向B.一定沿z轴负向．C.一定在xOy平面内D．一定在xoz平面内，[来二、双项选题（共9个小题，每题6分，共54分。

广元市高2019届第三次高考适应性统考数学试卷(文史类)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.复数z 1ii-+=，则共轭复数z 的虚部是（ ） A. ﹣1 B. 1C. i -D. i【答案】A 【解析】 【分析】计算共轭复数z 再求虚部即可. 【详解】()211111i i i i z i i i -+-+--====+-,故1z i =-,故共轭复数z 的虚部是-1. 故选：A【点睛】本题主要考查了复数的基本运算以及共轭复数与虚部的概念,属于基础题型. 2.已知集合A ＝{x |﹣1＜x ＜3}，B ＝{x |x （x ﹣3）≤0}，则A ∪B ＝（ ） A. {x |x ≤3} B. {x |﹣1＜x ＜3}C. { x |0≤x ＜3}D. {x |﹣1＜x ≤3}【答案】D 【解析】 【分析】求解集合B 后再求并集即可.【详解】{}|03B x x =≤≤,故{}|13A B x x ⋃=-<≤. 故选：D【点睛】本题主要考查了集合的基本运算,属于基础题型.3.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. 28πB. 22πC. 20πD. 18π【答案】C 【解析】 【分析】易得该几何体为圆锥与圆柱的组合体,再求体积之和即可. 【详解】由题,组合体中圆锥的体积为2123=43ππ⨯⨯.圆柱的体积为224=16ππ⨯⨯. 故总体积为41620πππ+=. 故选：C【点睛】本题主要考查了根据三视图求圆锥圆柱的体积,属于基础题型.4.过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点M 到y 轴的距离为2，则|AB |＝（ ） A. 8B. 6C. 5D. 4【答案】B 【解析】 【分析】设()()1122,,,A x y B x y ,再表达出M 的坐标,再利用抛物线的性质求解即可. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ,则1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭,又点M 到y 轴的距离为2,故1222x x +=,即124x x +=,又12AB x x p =++,24,2p p == .故426AB =+=.故选：B【点睛】本题主要考查了抛物线的焦半径公式,属于基础题型.5.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝23，S 6＝12a 8，则使S n 达到最大值的n 是（ ） A. 10 B. 11C. 12D. 13【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的基本量法求解{}n a 的通项公式,再根据通项正负分析使S n 达到最大值的n 即可.【详解】设{}n a 的公差为d ,则()11111123232365669261272a a a a d d a d a d =⎧==⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨⨯=-=-+=+⎩⎩⎪⎩. 故1(1)252n a a n d n =+-=-.故{}n a 是首项为正,公差为负数的等差数列.故使S n 达到最大值的n 满足10232522n n a n a +≥⎧⇒≤≤⎨≤⎩ .因为n N +∈.所以12n = 故选：C【点睛】本题主要考查了首项为正,公差为负数的前n 项和最大值问题.属于基础题型. 6.直线y ＝x +b 与圆x 2+y 2﹣4x ﹣4＝0有两个不同交点的一个必要不充分条件是（ ） A. ﹣6＜b ＜2 B. b ＜2 C. ﹣2＜b ＜2 D. ﹣4＜b ＜4【答案】B 【解析】 【分析】先求出直线y ＝x +b 与圆x 2+y 2﹣4x ﹣4＝0有两个不同交点的充要条件再判断即可.【详解】由题,直线y ＝x +b 即0x y b -+=与圆x 2+y 2﹣4x ﹣4＝0即()2228x y -+=有两个不同交点的充要条件为圆心()2,0到直线0x y b -+=的距离d小于半径.故42462d b b =<⇒-<+<⇒-<<.又四个选项中仅有B.“b ＜2”的范围包含且不等于“62b -<<”, 故选：B【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系与必要不充分条件的判定,属于中等题型. 7.ABC ∆中，90A ∠=︒,2,3,AB AC ==设点,P Q 满足,(1)AP AB AQ ACλλ==-.R λ∈若1BQ CP ⋅=,则λ=（ ）A.13B.23C.43D. 2【答案】D 【解析】【详解】试题分析：以A 为坐标原点，,AB AC 分别为,x y 轴建立如图所示的直角坐标系， 则(0,0)A ，(2,0)B ，(0,3)C ，则(2,0)AP λ=，(0,3(1))AQ λ=-，(2,3(1))BQ AQ AB λ=-=--，CP AP AC =-＝(2,3)λ-，所以223(1)(3)1BQ CP λλ⋅=-⨯+-⨯-=，2λ=．故选D ．考点：平面向量的线性运算，平面向量的数量积． 【此处有视频，请去附件查看】8.我国古代名著《九章算术》中用“更相减损术“求两个正整数的最大公约数，这个伟大创举与古老的算法﹣﹣“辗转相除法”实质一样，如图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入a ＝2916，b ＝1998时输出的a ＝（ ）A. 18B. 24C. 27D. 54【答案】D 【解析】 【分析】直接根据题中程序按步骤求解即可. 【详解】由题,输入a ＝2916，b ＝1998,1.因为291619981918÷=⋅⋅⋅,故918r =,1998,918a b ==;0r =为否；2.因199********÷=⋅⋅⋅,故162r =,918,162a b ==;0r =为否；3.因为9181625108÷=⋅⋅⋅,故108r =,162,108a b ==;0r =为否；4.因为162108154÷=⋅⋅⋅,故54r =,108,54a b ==;0r =为否；5.因为108542÷=,故0r =,54,0a b ==;0r =为是； 输出的a 为54. 故选：D【点睛】本题主要考查了程序框图的运用,根据题意逐个循环计算即可.9.若三棱锥P ﹣ABC 的底面边长与侧棱长都是3，则它的内切球的表面积为（ ）A.32π B.272πC.8D.23π 【答案】A 【解析】【分析】利用等体积法求解即可.【详解】作PO ⊥平面ABC 于O ,则OA OB OC ====故高PO ==. 设内切球半径为r ,则三棱锥P ﹣ABC 的体积11433ABCABCSPO S r ⨯⨯=⨯⨯⨯ .故14r PO ==故内切球表面积23=442S ππ⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭.故选：A【点睛】本题主要考查了正四面体内切球的表面积问题,主要是利用等体积法推导出内切球半径等于高的14再计算即可.属于中等题型.10.已知函数f （x ）＝sin （ωx +2φ）﹣2sinφcos （ωx +φ）（ω＞0，φ∈R ）的图象的相邻两条对称轴相距2π个单位，则ω＝（ ） A. 1 B. 12C.13D. 2【答案】D 【解析】 【分析】分析角度的关系将sin(2)x ωϕ+展开,再合一变形求得()f x 的解析式,再根据图象的相邻两条对称轴相距2π个单位求得周期再求ω即可.【详解】()s i()f x x x x x x ωϕϕωϕωϕϕωϕϕϕωϕ=+-+=+++-+()s in (xx xωϕϕ=+-⎡⎤⎣⎦.即()f x =sin x ω又图象的相邻两条对称轴相距2π个单位,故()f x 的周期为π. 故22ππωω=⇒=.故选：D【点睛】本题主要考查了三角函数的和差角公式以及周期的求法,属于基础题型.11.已知函数f （x ）[]()212x x x f x x ⎧-≥⎪=⎨+⎪⎩，，＜其中[x ]表示不超过x 的最大整数，若直线y ＝kx +k （k ＞0）与y ＝f （x ）的图象恰有三个不同的交点，则k 的取值范围是（ ）A. （0，14] B. （11]43，C. [11)43，D. [11]43，【答案】C 【解析】 【分析】根据题意画出函数图像,再分析y kx k =+与图像的交点情况即可.【详解】画出函数图像,由(0)y kx k k =+>为过()1,0-且斜率为k 的直线.易得当直线过()2,1与()3,1时为临界条件.此时13k =与14k =.故11[)43k ∈，.故选：C【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数图像交点的问题,需要根据题意画出对应的函数图像,再根据直线过定点,绕着定点旋转分析即可.属于中等题型.12.已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0，0＞0）的离心率为e ，过右焦点且斜率为2e ﹣2的直线与双曲线两个交点分别位于第三象限和第四象限，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A. （1，53） B. （53，+∞） C. （1，2） D. （2．+∞）【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得斜率022be a<-<,再化简求解即可. 【详解】因为过右焦点且斜率为2e ﹣2的直线与双曲线两个交点分别位于第三象限和第四象限,故斜率22e -小于渐近线的斜率ba且大于0,故0222(1)b e e a<-<⇒-<⇒<两边平方有()5411353e e e e -<+⇒<⇒<.因1e >.故513e <<.故选：A【点睛】本题主要考查了双曲线渐近线的性质,需要根据题意找到对应的不等式关系求解,属于中等题型.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.若x ，y 满足约束条件40101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则z ＝2x ﹣y 的最小值为_____．【答案】1- 【解析】 【分析】画出可行域再分析最值即可.【详解】画出可行域,因为22z x y y x z =-⇒=-,故要求2z x y =-的最小值则在直线1x =与直线40x y +-=的交点()1,3处取得.此时2z x y =-的最小值为231z =-=-.故答案为：-1【点睛】本题主要考查了线性规划求最值的方法,属于基础题型.14.在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 4a 7＝25，则log 5a 1+log 5a 2…+log 5a 10＝_____． 【答案】10 【解析】 【分析】根据等比数列的等积性求解即可.【详解】()()()551525951051210547547log log ...log log log ...log 5log 10a a a a a a a a a a a ++++====故答案为：10【点睛】本题主要考查了等比数列的等积性,属于基础题型.15.先后抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，它们的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6，记骰子的点数分别为x ，y ，向量a =（x ﹣1，1），b =（10﹣2y ，2），则两向量平行的概率是_____ 【答案】536【解析】 【分析】先求出两向量平行时,x y 满足的关系式,再根据古典概型的方法求解满足条件的基本事件数与总的基本事件数即可.【详解】当//a b 时()()2110206x y x y ---=⇒+=. 又抛掷两枚质地均匀的正方体骰子的所有可能情况有6636⨯=种,其中满足6x y +=的基本事件一共有()()()()()1,5,2,3,3,2,4,1,5,1共五种. 故两向量平行的概率是536. 故答案为：536【点睛】本题主要考查了古典概型的方法,属于基础题型.16.定义在R 上的函数f(x)满足()f x +()f x '>1, ()04f =,则不等式()3xxe f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为_________. 【答案】(0,)+∞ 【解析】 【分析】构造函数()()(),xxg x e f x e x R =-∈，根据()3xxe f x e >+，利用导数研究()g x 的单调性，结合原函数的性质和函数值，利用单调性转化不等式，从而可得结果. 【详解】设()()(),xxg x e f x e x R =-∈，则()()()()()''1x x x xg x e f x e f x e e f x f x ⎡⎤=+-=+-⎣⎦()()()()'1,'10f x f x f x f x +>∴+->，()'0g x ∴>，()y g x ∴=在定义域上单调递增，()()3,3x x e f x e g x >+∴>，又()()0000413g e f e =-=-=，()()0,0g x g x ∴>∴>，即不等式()3xxe f x e >+的解集为()0,+∞，故答案为()0,+∞.【点睛】本题主要考查抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.三、解答题：（本大题共5小题，第22（或23）小题10分，其余每题12分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程、计算步骤.）17.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.（1）求角C ；（2）若c =2ABC S ∆=，求ABC ∆的周长.【答案】（1）3C π=（2）5【解析】【详解】试题分析：（1）根据正弦定理把2cos (cos cos )C a B b A c +=化成2c o s (s i nc o s s i n C A B B A C +=，利用和角公式可得1cos ,2C =从而求得角C ；（2）根据三角形的面积和角C 的值求得6ab =，由余弦定理求得边a 得到ABC ∆的周长. 试题解析：（1）由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=12cos sin()sin cos 23C A B C C C π∴+=⇒=⇒=（2）11sin 622ABC S ab C ab ab ∆=⇒=⇒= 又2222cos a b ab C c +-=2213a b ∴+=，2()255a b a b ∴+=⇒+=ABC ∆∴的周长为5+考点：正余弦定理解三角形. 【此处有视频，请去附件查看】18.中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”．为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研．人社部从网上年龄在15～65岁的人群中随机调查100人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：（1）由以上统计数据填2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；（2）从调查的100人中年龄在15～25，25～35两组按分层抽样的方法抽取6人参加某项活动现从这6人中随机抽2人，求这2人中至少1人的年龄在25～35之间的概率． 参考数据：()()()()()22n ad bc k a b c d a c b d -=++++其中n ＝a +b +c +d【答案】（1）见解析；（2）35【解析】 【分析】(1)根据题中数据汇总调表再计算2k 判断即可. (2)根据分层抽样以及枚举法求解概率即可. 【详解】（1）由统计数据填写的2×2列联表如下：()()()()()()22100355451580205050n ad bc k a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯ 6.25＞3.841，∴有95%的把握认为以45岁为分界点的同人群对“延迟退休年龄政策”的态度有差异．即在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异； （2）从调查的100人中年龄在15～25，25～35两组按分层抽样的方法抽取6人参加某项活动， 在15～25，25～35两组共有30人，15～25组有100×0.02×10＝20人，抽取20630⨯=4人，设抽取的4人为A ，B ，C ，D ， 25～35组有100×0.01×10＝10人，抽取10630⨯=2人，设抽取的2人为a ，b ， 现从这6人中随机抽2人的基本事件为：AB ，AC ，AD ，Aa ，Ab ，BC ，BD ，Ba ，Bb ，CD ，Ca ，Cb ，Da ，Db ，ab ，15种情况；这2人中至少1人的年龄在25～35之间的概率是93155=． 所以这2人中至少1人的年龄在25～35之间的概率是35．【点睛】本题主要考查了独立性检验以及分层抽样与枚举法求古典概型概率的方法,属于基础题型. 19.已知Rt △ABC 如图（1），∠C ＝90°，D.E 分别是AC ，AB 的中点，将△ADE 沿DE 折起到PDE 位置（即A 点到P 点位置）如图（2）使∠PDC ＝60°．（1）求证：BC ⊥PC ；（2）若BC ＝2CD ＝4，求点D 到平面PBE 的距离．【答案】（1）见解析；（2 【解析】 【分析】(1)证明BC 垂直平面PCD 中的两条直线,PC DC 再证明BC ⊥平面PCD 即可. (2)取取CD 中点O 建立空间直角坐标系,再利用空间向量解决点到面的距离问题即可.【详解】（1）证明：∵Rt△ABC 如图（1），∠C ＝90°，D.E 分别是AC ，AB 的中点， 将△ADE 沿DE 折起到PDE 位置（即A 点到P 点位置）如图（2）使∠PDC ＝60°． ∴DE ⊥DC ，DE ⊥PD ，DE ∥BC ，∵PD ∩DC ＝D ，∴DE ⊥平面PCD ，∴BC ⊥平面PCD ， ∵PC ⊂平面PCD ，∴BC ⊥PC.（2）解：∵D.E 分别是AC ，AB 的中点，∠PDC ＝60°，BC ＝2CD ＝4， ∴CD ＝PD ＝PC ＝2，取CD 中点O ，BE 中点M ，连结PO ，MO ，则OP ，OD ，OM 两两垂直， 以O 为原点，OD 为x 轴，OM 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则D （1，0，0），P （0，0，B （﹣1，4，0），E （1，2，0）， PD =（1，0，），PB =（﹣1，4，，PE =（1，2，）， 设平面PBE 的法向量n =（x ，y ，z ），则4020n PB x y n PE x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，取x ＝1，得n =（1，1， ∴点D 到平面PBE 的距离为：d 525PD n n⋅===．【点睛】本题主要考查了线面与线线垂直的证明与性质,同时也考查了利用空间向量求解线面距离的方法等.属于中等题型.20.已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a ＞b ＞0）过点（1（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的右顶点为P ，过定点（2，﹣1）的直线l ：y ＝kx +m 与椭圆C 相交于异于点P 的A ，B 两点，若直线PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1+k 2的值．【答案】（1）2214x y +=；（2）1 【解析】 【分析】(1)根据题意列出关于,,a b c 满足的关系式再求解即可.(2)联立直线l 与椭圆的方程,再设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （2，0）,进而表达出直线PA ，PB 的斜率,再利用韦达定理化简求解即可.【详解】（1）由题意可得2222213142a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得a 2＝4，b 2＝1， 则椭圆的方程为24x +y 2＝1，（2）由题意，过定点（2，﹣1）的直线l ：y ＝kx +m ， ∴﹣1＝2k +m ， ∴m ＝﹣2k ﹣1A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （2，0）联立2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得（1+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣4＝0． △＝64k 2m 2﹣4（1+4k 2）（4m 2﹣4）＝16（4k 2﹣m 2+1）＞0．∴x 1+x 2()2282181414k k km k k +-==++，x 1x 2()222161441414k k m k k+-==++∵直线PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2， ∴k 1+k 212121121212122222y y kx m kx m kx k x x x x x ++--=+=+=+----- 22212kx k x --=-k 112x -+-k 212x -=-2k ()121212424x x x x x x +--=-++2k ()()()222821414161161241414k k k k k k k k k+-+-=++-+++2k﹣（2k ﹣1）＝1【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系,包括联立方程利用韦达定理表示题意再化简求解的方法,属于难题.21.已知函数()()1ln f x x x =+,()()()1g x k x k Z =-∈． (1)求函数()f x 的极值；(2)对()1,x ∀∈+∞,不等式()()f x g x >都成立,求整数k 的最大值； 【答案】(1)极小值为21.e -无极大值；(2)3. 【解析】 【分析】()1,求出函数的导数求出函数的单调区间,然后求解函数的极值，()2问题转化为()()110x lnx k x +-->在()1,+∞上恒成立,令()()()11h x x lnx k x =+--,1x >,再求导, 分类讨论,利用导数求出函数的最值,即可求出k 的值． 【详解】解：()()()11f x x lnx =+,0x >，()'2f x lnx ∴=+，当210x e <<时,()'0f x >，函数单调递减,当21x e>时,()'0f x <，函数单调递增, ∴当21x e =时,取得极小值,极小值为222211111ln .f e e e e ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭无极大值．()2(1x ∀∈，)+∞,不等式()()f x g x >都成立,()()11x lnx k x ∴+>-在()1,+∞上恒成立,即()()110x lnx k x +-->在()1,+∞上恒成立, 令()()()11h x x lnx k x =+--,1x >,()'2h x k lnx ∴=-+,当20k -≥时,即2k ≤时,()'0h x >在()1,+∞上恒成立,()h x ∴在()1,+∞上单调递增, ()()12020h x h k k ∴>=-+=-≥, 2k ∴≤,此时整数k 的最大值为2,当2k >时,令()'0h x =,解得2k x e -=,∴当21k x e -<<时,()'0h x <,函数()h x 单调递减,当2k x e ->时,()'0h x >,函数()h x 单调递增,()()()2222()11k k k k min h x h e e k k e e k ----∴==---=-+,由20k e k --+>, 令()2k k ek ϕ-=-+,()2'10k k e ϕ-∴=-+<在()2,k ∈+∞上恒成立, ()2k k e k ϕ-∴=-+在()2,+∞上单调递减,又()2440e ϕ=-+<，()330e ϕ=-+>,∴存在()03,4k ∈使得()00k ϕ=,故此时整数k 的最大值为3, 综上所述整数k 的最大值3．【点睛】本题考查函数的导数的应用,函数的单调性以及函数的极值,构造法的应用,考查转化思想以及计算能力．22.已知直线l参数方程为：3x ty ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，（t 为参数）．在以坐标原点0为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣4ρsinθ+4＝0． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求11OA OB+的值． 【答案】（1）y =；（2）12【解析】 【分析】(1)利用参数方程与极坐标的方法化简求解即可.(2)将直线l的参数方程化为12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,再联立圆的直角坐标方程,利用直线参数方程中参数t 的几何意义表达11OA OB+再计算即可. 【详解】（1）由3x ty ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，（t 为参数），消去参数t 可得：∴直线l的普通方程为y =．由ρ2﹣4ρcosθ﹣4ρsinθ+4＝0，得x 2+y 2﹣4x ﹣4y +4＝0． ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2﹣4x ﹣4y +4＝0；（2）直线l的参数方程化为122x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入x 2+y 2﹣4x ﹣4y +4＝0．整理得：()2240t t -+=． 设A ，B 所对应的参数分别为t 1，t 2，则122t t +=，t 1t 2＝4．∴1212112142OB OA t t OA OB OA OB t t +++====⋅． 【点睛】本题主要考查了坐标系与参数方程的运用,同时也考查了直线参数方程的几何意义,属于中等题型. 23.已知函数f （x ）＝|2x ﹣1|﹣|x +1|．（1）求不等式f（x）≤﹣1的解集M；（2）结合（1），若m是集合M中最大的元素，且a+b＝m（a＞0，b＞0），求【答案】（1）1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）5【解析】【分析】(1)分段去不等式中的绝对值再求解即可.(2)根据(1)可得1m=,再根据柯西不等式求解最大值即可. 【详解】（1）不等式f（x）≤﹣1即|2x﹣1|﹣|x+1|≤﹣1，可得11211xx x≤-⎧⎨-++≤-⎩或1121211xx x⎧-⎪⎨⎪---≤-⎩＜＜或122111xx x⎧≥⎪⎨⎪---≤-⎩，解得：无解或13≤x12＜或12≤x≤1，综上可得13≤x≤1，即所求解集为[13，1]；（2）由（1）可得a+b＝1（a，b＞0），由柯西不等式可得（2≤（32+42）（a+b），即为（2≤25，可得≤5，当且仅当a925=，b1625=时取得等号，则5．【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解以及柯西不等式的运用,属于中等题型.。

2019年高中毕业年级第三次质量预测文科数学参考答案一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分．）1．C 2．D 3.D 4.C 5.B 6.A 7.B 8.A 9.D 10.A 11.B 12.C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡上．13．．14．. 15.．16．．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.解：（Ⅰ）在中，由余弦定理得-------------①---------2分又在中，---------------4分在中，----------------------6分又即-----------------------②联立①②得，即---------------------------------------------------------------8分（Ⅱ）---------------------------------------------------------10分---------------------------------------------------------------------------12分18（Ⅰ）证明：∵四边形为菱形，∴．∵平面，平面，∴．----------------------------------------------------------------2分又四边形为平行四边形，∴∥，∴，，------------------------------------------------------4分∵，∴平面．∵平面，∴平面平面．----------------------------------------------------6分（Ⅱ）∵，四边形为菱形，∴为等边三角形，且，．∵，，，∴平面，∴四棱锥的体积为．-----------------------------------------8分∵平面，点在线段上，且，所以点到平面的距离．所以，解得------------------------------------------------------------12分19．解：（Ⅰ）由散点图知，选择回归类型更适合．--------------------1分（Ⅱ）对两边取对数，得，即-------------------2分由表中数据得：，∴，-------------------------------4分∴，∴，∴年研发费用与年销售量的回归方程为.-----------------------6分(Ⅲ)由（Ⅱ）知，，∴，--------------------------------------------------------8分令，得，且当时，单调递增；当时，单调递减．----------------------------------10分所以当千万元时，年利润取得最大值，且最大值为千万元.答：要使年利润取最大值，预计下一年度投入27千万元.------------------------12分20．解：（Ⅰ）由抛物线的定义可以，抛物线的方程为-------------------------------------------------------4分（Ⅱ）由（1）可知，点的坐标为当直线斜率不存在时，此时重合，舍去.-------------------------------------------------------5分当直线斜率存在时，设直线的方程为设，，将直线与抛物线联立得：，——————————————————①-------------7分又，即将①带入得，即得或--------------------------------------------------------------------------------------10分当时，直线为，此时直线恒过当时，直线为，此时直线恒过（舍去）所以直线恒过定点---------------------------------------------------------------------------------12分21.解析：解：（Ⅰ）由题意可知，-----4分（Ⅱ）当时，等价于设-------------------------------------------------6分令当时，恒成立在上单调递增，又，在上有唯一零点，且，---------------------------9分单减区间为，单增区间为在的最小值为----------------------------11分--------------------------------------------------------------------12分（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (本小题满分10分)解:（1）由题意可知：直线的普通方程为，，的方程可化为，设点的坐标为，，--------------------------------5分（2）曲线的直角坐标方程为：直线的标准参数方程为，代入得：设，两点对应的参数分别为，，故，异号------------------------------------------------------------------10分23．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）解析：（1）当时，当时解得当时恒成立当时解得综上可得解集………………5分（2）当，即时，无最小值；当，即时，有最小值；当且，即时，当且，即时，综上：当时，无最小值；当时，有最小值；当时，当时，……………… 10分。

2019-2020学年高三年级调研考试(三)数学(文)卷一、选择题1.若集合A =x ,y x 2-2x =0,y ∈R ，B =x ,y y 2=2x ，则A ∩B 中元素的个数为()A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】因为A =x ,y x =0 或x =2,y ∈R ，B =x ,y y 2=2x ，所以A ∩B =0,0 ,2,2 ,2,-2 ，故选C .2.已知a +2i 2a ∈R 是纯虚数，则a +i =()A.3 B.5 C.3D.5【答案】B【解析】a +2i 2=a 2-4+4a i ，因为a +2i 2a ∈R 是纯虚数，所以a 2-4=04a ≠0，所以a =±2，由a +i =±2+i =5 ，故选B .3.若a <b <1且ab ≠0，则下列结论恒成立的是()A.a <12B.ab <b 2C.1a >1b>1D.ab +1>a +b【答案】D【解析】取a =23 ，b =34 ，可排除A ，取a =-2，b =-12 ，可排除B ，取a =-2，b =12，可排除C ，由a <b <1可得a -1 b -1 >0，展开得ab +1>a +b ，故选D .4.已知圆x 2+y 2-2x +4y =0关于双曲线C :x 22m -y 2m +1=1m >0 的一条渐近线对称，则m =()A.12B.13C.15D.17【答案】D【解析】圆x 2+y 2-2x +4y =0关于双曲线C :x 22m-y 2m +1=1m >0 的一条渐近线对称，则圆心1,-2 在渐近线y =-m +12mx 上，所以m +12m =2，m =17，故选D .5.已知a ,b 是单位向量，且a +b =2,-1 ，则a -b =()A.1B.2C.3D.2【答案】A【解析】因为a ,b 是单位向量，a +b =2 ,-1 ，两边平方得2a ⋅b =1，所以a -b =a 2-2a ⋅b +b 2=1，故选A .6.已知等差数列a n 的前n 项和为S n ，若a 6=2，a 2+a 10 2a 3+a 9 =12，则S 5=()A.5B.3C.-3D.-5【答案】D【解析】由题意得a 2+a 10 2a 3+a 9 =2a 6a 3+a 3+a 9 =2a 6a 3+2a 6 =4a 3+4 =12，可得a 3=-1，所以S 5=5a 3=-5，故选D .7.新冠肺炎病毒可以通过飞沫方式传染，已知甲通过检测确诊为新冠肺炎，经过追踪发现甲有A ,B ,C ,D ,E 5名密切接触者，现把这5人分为2组(一组2人，一组3人)，分别送到2个医院进行隔离观察，则A ,B 在同一个医院的概率为()A.15B.310C.25D.12【答案】C【解析】把A ,B ,C ,D ,E 分为2组(一组2人，一组3人)，结果有：AB ,CDE ，AC ,BDE ，AD ,BCE ，AE ,BCD ，BC ,ADE ，BD ,ACE ，BE ,ACD ，CD ,ABE ，CE ,ABD ，DE ,ABC ，共10种，A ,B 在同一个医院的结果有：AB ,CDE ，CD ,ABE ，CE ,ABD ，DE ,ABC ，共4种，所以所求概率P =410 =25 ，故选C .8.已知函数f x =1,x >00,x =0-1,x <0，g x =sinπx ，则下列结论错误的是()A.g f x =0B.f f x =f xC.f x g x =sinπxD.f g x +2 =1【答案】C【解析】由f x =1,x >00,x =0-1,x <0，g x =sinπx ，可得当x >0时，g f x =g 1 =sinπ=0，当x =0时，g f x =g 0 =sin0=0，当x <0时g f x =g -1 =sin -π =0，所以A 正确；当x >0时，f x =1，f f x =f 1 =1，f f x =f x 成立，当x =0时，f 0 =0，f f 0 =f 0 =0，f f x =f x 成立，当x <0时，f x =-1，f f x =f -1 =-1，f f x =f x 成立，所以B 正确，由f 32 g 32 =-1，可知C 错误，由g x ≥-1，g x +2≥1，可知f g x +2 =1正确，故选C .9.已知函数f x =x 3+ax 2-3x +b 满足f x +f -x =2，则f x 的图象在x =1处的切线方程为()A.y =-1B.y =0C.y =x -1D.y =-x +1【答案】A【解析】由f x +f-x=2可得2ax2+2b=2，所以a=0，b=1，f x =x3-3x+1，f x =3x2-3，f1 =-1，f 1 =0，所以f x 的图象在x=1处的切线方程为y=-1，故选A.10.《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，共17卷，是中国古代数学名著，明朝数学家程大位著.书中有这样一道著名的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几丁？”现给出该问题中求小僧人数的算法的程序框图，则图中①②可分别填入()A.s=3m+n3 ；n=100B.s=3n+m3 ；n=100C.s=3n+m3 ；s=100D.s=3m+n3 ；s=100【答案】D【解析】由程序框图可知，n表示小僧人数，m表示大僧人数，根据“大僧三个更无争，小僧三人分一个”，设馒头数为s，则s=3m+n3 ，所以①中填入s=3m+n3，当s=100时结束程序，输出n，故选D.11.如图，正三角形ABC为圆锥的轴截面，D为AB的中点，E为弧BC的中点，则直线DE与AC所成角的余弦值为()A.13B.12C.22D.34【答案】C【解析】取BC 中点O ，BO 中点F ，连接OD ,OE ,FE ,DF ，则∠ODE 就是直线DE 与AC 所成角.设AB =4，则OD =2，OF =1，OE =2，DF =3 ，EF =OE 2+OF 2 =5 ，DE =DF 2+EF 2 =22 ，所以∠ODE =π4 ，即直线DE 与AC 所成角的余弦值为22，故选C .12.已知椭圆C :x 2a 2 +y 2b2 =1a >b >0 的右焦点为F ，设c =a 2-b 2 ，直线x c +y b =1与椭圆C 在第四象限交于点A ，点A 在x 同上的射影为B ，若AB ⋅AF =49b 2，则椭圆C 的离心率为()A.15B.5 5C.25D.10 5【答案】B【解析】由AB ⊥x 轴可得AB ⋅AF =AB 2，所以AB =2b 3，又AB FB=tan ∠BFA =b c ，所以FB =2c 3 ，所以A 5c 3 ,-2b3，代入椭圆C 的方程得25c 29a 2+49 =1，所以e =5 5，故选B .二、填空题13.若函数f x =x 2,x ≥1a x +1 ,x <1的值域为R ，则a 的取值范围是______.【答案】12 ,+∞ 【解析】当x ≥1时，f x =x 2≥1，若a =0，x <1时，f x =0，f x 的值域不是R ；若a <0，x <1时，f x >2a ，f x 的值域不是R ，若a >0，x <1时，f x <2a ，所以当2a ≥1时，f x 的值域为R ，所以a 的取值范围是12,+∞ .14.正项数列a n 满足a 2=1，a 2n +1a n=2a n +a n +1，则使a n >100的最小的n 值为______.【答案】9【解析】由a 2n +1a n=2a n +a n +1得a 2n +1-a n a n +1-2a 2n =0，即a n +1+a n a n +1-2a n =0，因为a n >0，所以a n +1-2a n =0，a n +1=2a n ，a n =a 2⋅2n -2=2n -2，a 8=64，a 9=128，所以使a n >100的最小的n 值为9.15.已知f x =sin x +π3 ，若方程f x =a 在0,5π3上只有4个不同实根x 1,x 2,x 3,x 4x 1<x 2<x 3<x 4 ，则a x 1+2x 2+2x 3+x 4 的最小值为______.【答案】23π【解析】画出f x 的图象，由图象可知3 2≤a <1，x 1+x 2=2×π6 =π3 ，x 2+x 3=2×2π3 =4π3 ，x 3+x 4=2×7π6 =7π3，相加得x 1+2x 2+2x 3+x 4=4π，所以a x 1+2x 2+2x 3+x 4 的最小值为23 π.16.在△ABC 中，AB =AC =3，BC =3，点D 在BC 上，且BD =2DC ，将△ABD 沿AD 折起，使点B 到达点P 位置，且AP ⊥AC ，则三棱锥P -ACD 的外接球半径为______.【答案】7 2【解析】由题意可得AD =DC =1，AB ⊥AD ，因为AP ⊥AC ，所以三棱锥P -ACD 中，AP ⊥底面ADC ，把三棱锥P -ACD 补成三棱柱，则该三棱柱的外接球就是三棱锥P -ACD 的外接球，球心是三棱柱上下底面外接圆圆心连线的中点，底面外接圆半径r =12 ⋅3 sin120°=1，又AP =3，所以三棱锥P -ACD 外接球半径R =12+3 22 =72.三、解答题17.2020年上半年，随着新冠肺炎疫情在全球蔓延，全球超过60个国家或地区宣布进人紧急状态，部分国家或地区直接宣布“封国”或“封城”，随着国外部分活动进入停摆，全球经济缺乏活力，一些企业开始倒闭，下表为2020年第一季度企业成立年限与倒闭分布情况统计表：企业成立年份20192018201720162015企业成立年限x 12345倒闭企业数量(万家) 5.28 4.72 3.58 2.70 2.15倒闭企业所占比例y %21.4%19.1%14.5%10.9%8.7%(1)由所给数据可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y 关于x 的回归方程，预测2014年成立的企业中倒闭企业所占比例.参考数据：5i =1y i =74.6 ，5i =1x i y i =190.2 ，5i =1y i-y 2≈10.70，10 ≈3.16，相关系数r =ni =1x i y i -nx yn i =1x i -x 2ni =1y i -y2，样本x i ,y i i =1,2,...,n 的最小二乘估计公式为b =ni =1x i y i -nx yni =1x 2i -nx2 ，a =y -b x .【答案】(1)用线性回归模型拟合y 与x 的关系;(2)4.84%【解析】(1)由表中数据及参考数据可得x =3，5i =1x i -x 2=10 ，5i =1y i -y 2≈10.70，由5i =1x i =15 ，5i =1y i =74.6 ，可得x =3，y =14.92，所以5i =1x i y i -5x y=190.2-5×3×14.92=-33.6 ，所以r ≈-33.610.70×3.16≈-0.99，因为y 与x 的相关系数近似为-0.99，说明y 与x 的相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系.(2)b =5i =1x i y i -5x y5i =1x 2i -5x 2 =-33.655-5×9 =-3.36，则a =y -b x=14.92+3.36×3=25，所以y 关于x 的回归方程y=-3.36x +25.当x =6时，y=-3.36×6+25=4.84，所以预测2014年成立的企业中倒闭企业所占比例为4.84%.18.已知△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，且满足c tan A tan C+1 -9b =0.(1)求cos A 的值；(2)若点D 在边BC 上，AD 平分角A ，且AD =5 ，求1b+1c 的值.【答案】(1)19 ;(2)23【解析】(1)由c tan Atan C+1 -9b =0及正弦定理可得sin C ⋅sin A cos C +sin C cos Asin C cos A-9sin B =0，即sin A +Ccos A-9sin B =0，因为sin A +C =sin π-B =sin B ，且sin B ≠0，所以cos A =19.(2)因为cos A =19 ，所以sin A =1-cos 2A =459 ，因为AD 平分角A ，所以sin ∠BAD =sin ∠CAD =1-cos A 2=1-19 2=23，由S △ABC =S △ADB +S △ADC ，可得12 bc sin A =12 c ⋅AD sin ∠BAD +12b ⋅AD sin ∠CAD ，12 bc ⋅459 =12 c ⋅5 ⋅23 +12 b ⋅5 ⋅23 ，整理得23bc =b +c ，所以1b+1c =23 .19.如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，点D 为BB 1中点，点E 为点B 关于直线AC 的对称点，AB =BC =AA 1=2，AC =22.(1)求证：平面AC 1D ⊥平面ACC 1A 1；(2)求三棱锥E -ADC 1的体积.【答案】(1)见解析;(2)三棱锥E -ADC 1的体积为23【解析】(1)设AC 1的中点为F ，连接BE 与AC 交于G ，则点G 为AC 中点，连接DF ,FG ，则FG ∥CC 1，且FG =12CC 1.又D 为BB 1的中点，所以DB ∥FG ，且DB =FG ，所以四边形BDFG 为平行四边形，所以BG ∥DF ，因为AA 1⊥底面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ACC 1A 1，因为AB =BC ，G 为AC 中点，所以BG ⊥平面ACC 1A 1，所以DF ⊥平面ACC 1A 1.又DF ⊂平面AC 1D ，所以平面AC 1D ⊥平面ACC 1A 1.(2)由(1)知BE ∥DF ，所以点E ,B 到平面ADC 1的距离相等，所以V 三棱锥E -ADC 1=V 三棱锥B -ADC 1=V 三棱锥A -BDC 1.由AB =BC =2，AC =22，可得AB ⊥BC ，因为平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，AB ⊥平面BCC 1B 1，又△BDC 1的面积S =12 ×1×2=1，所以V 三棱锥A -BDC 1=13 ×AB ×S =13 ×2×1=23，所以三棱锥E -ADC 1的体积为23.20.已知抛物线C :y 2=2px p >0 与直线y =x +1只有一个公共点，点A ,B 是抛物线C 上的动点.(1)求抛物线C 的方程；(2)①若k OA +k OB =1，求证：直线AB 过定点；②若P x 0,y 0 是抛物线C 上与原点不重合的定点，且k PA +k PB =0，求证：直线AB 的斜率为定值，并求出该定值.【答案】(1)y 2=4x ;(2)①见解析;②见解析,定值为-2y 0 .【解析】(1)y 2=2px 与y =x +1联立得y 2-2py +2p =0因为抛物线C 与直线y =x +1只有一个公共点，所以△=2p 2-8p =0，p =2，所以抛物线C 的方程为y 2=4x .(2)①设A y 214 ,y 1 ，B y 224 ,y 2，则k OA +k OB =4y 1 +4y 2=1，所以y 1y 2y 1+y 2 =4，又k AB =y 1-y 2y 214 -y 224=4y 1+y 2 ，所以直线AB 的方程为y -y 1=4y 1+y 2x -y 214，即y =4y 1+y 2 x +y 1-y 21y 1+y 2 =4y 1+y 2 x +y 1y 2y 1+y 2 =4y 1+y 2x +4，当x =0时y =4，所以直线AB 过定点0,4 .②设A y 214 ,y 1 ，B y 224 ,y 2，则k PA +k PB =y 1-y 0y 214 -y 204 +y 2-y 0y 224 -y 204=4y 1+y 0 +4y 2+y 0 =0，所以y 1+y 0+y 2+y 0=0，y 1+y 2=-2y 0，所以直线AB 的斜率k AB =y 1-y 2y 214 -y 224=4y 1+y 2 =-2y 0 .即直线AB 的斜率为定值-2y 0 .21.已知函数f x =ax 2ln x +12-x ln x +1.(1)若a <e2，讨论f x 的单调性；(2)若a =1，x ≥1，求证：f x >32 x 2-2x +1+sin x .【答案】(1)当a ≤0时，f x 在0,1e 上单调递增，在1e,+∞ 上单调递减；当0<a <e 2 时，f x 在0,1e 和12a ,+∞ 上单调递增，在1e ,12a上单调递减;(2)见解析【解析】(1)因为f x =ax 2ln x +12-x ln x +1，所以f x =2ax ln x +2ax -ln x -1=2ax -1 ln x +1 x >0 ，①若a ≤0，则2ax -1<0，当x ∈0,1e时，f x >0，f x 是增函数，当x ∈1e,+∞ 时，f x <0，f x 是减函数；②若0<a <e 2 ，即12a >1e ，当x ∈0,1e 和x ∈12a ,+∞ 时，f x >0，f x 是增函数，当x ∈1e ,12a时，f x <0，f x 是减函数.综上可得，当a ≤0时，f x 在0,1e 上单调递增，在1e,+∞ 上单调递减；当0<a <e 2 时，f x 在0,1e 和12a ,+∞ 上单调递增，在1e ,12a上单调递减.(2)当a =1时，要证f x >32x 2-2x +1+sin x ，只需证f x ≥32 x 2-2x +2，即证x 2-x ln x -1+1x≥0，因为x ≥1，所以x 2-x ≥0，设g x =ln x -1+1x，则g x =1x -1x 2 =x -1x2 ≥0，所以g x 在1,+∞ 上是增函数，g x ≥g 1 =0，ln x -1+1x≥0，所以x 2-x ln x -1+1x≥0，因此f x >32x 2-2x +1+sin x 成立22.平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为3,3 ，在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ2=2+22 ρsin θ+π4.(1)求曲线C 的参数方程；(2)若P ,Q 是曲线C 上的不同两点，且AP 2+AQ 2=40，求证：线段PQ 的中点M 恒在一条直线上，并求出此直线的直角坐标方程.【答案】(1)曲线C 的参数方程x =1+2cos φy =1+2sin φ(φ为参数);(2)x +y =0【解析】(1)ρ2=2+22 ρsin θ+π4=2+2ρcos θ+2ρsin θ，由ρ2=x 2+y 2，ρcos θ=x ，ρsin θ=y ，得曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2=2+2x +2y ，即x -1 2+y -1 2=4，设x -1=2cos φ，y -1=2sin φ，得曲线C 的参数方程x =1+2cos φy =1+2sin φ(φ为参数).(2)设P 1+2cos φ1,1+2sin φ1 ，Q 1+2cos φ2,1+2sin φ2 ，设M x ,y ，则x =1+cos φ1+cos φ2，y =1+sin φ1+sin φ2，由AP 2+AQ 2=40，得2cos φ1-2 2+2sin φ1-2 2+2cos φ2-2 2+2sin φ2-2 2=40，整理得1+cos φ1+cos φ2+1+sin φ1+sin φ2=0，即x +y =0，所以点M 恒在直线x +y =0上，所以此直线的直角坐标方程为x +y =0.23.已知函数f x =x -m -x -2m .(1)若m =2，求不等式f x >1的解集；(2)若对满足a >b >0的任意实数a ,b ，关于x 的方程f x =a +1a -b b的解集∅，求m 的取值范围.【答案】(1)72,+∞ ;(2)m 的取值范围是-3,3【解析】解：(1)当m =2时，f x =x -2 -x -4 =-2,x <22x -6,2≤x ≤42,x >4，当x <2时，-2>1不成立，当2≤x ≤4时，由2x -6>1，得72<x ≤4，当x >4时，2>1成立，所以不等式f x >1的解集为72,+∞ .(2)因为f x =x -m -x -2m ≤x -m -x -2m =m ，所以-m ≤f x ≤m ，又a +1a -b b =a -b +b +1a -b b ≥33a -b b ⋅1a -b b=3，当a -b =b =1a -b b，即a =2，b =1时取等号，若对满足a >b >0的任意实数a ,b ，关于x 的方程f x =a +1a -b b的解集为∅，则m <3，所以m 的取值范围是-3,3 .。

2019-2020学年高三第二学期月考（文科）数学试卷一、选择题1．已知集合A＝{（x，y）|x2+y2≤2，x∈Z，y∈Z}，B＝{（x，y）|x+1＞0}，则A∩B的元素个数为（）A．9B．8C．6D．52．i是虚数单位，x，y是实数，x+i＝（2+i）（y+yi），则x＝（）A．3B．1C．D．3．平面向量，满足||＝4，||＝2，（+2）＝24，则|﹣2|＝（）A．2B．4C．8D．164．命题p：∀x∈R，e x＞x，命题q：∃x0∈R，x02＜0，下列给出四个命题①p∨q；②p∧q；③p∧￢q；④￢p∨q所有真命题的编号是（）A．①③B．①④C．②③D．②④5．为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者．下列说法中，错误的是（）A．服药组的指标x的均值和方差比未服药组的都低B．未服药组的指标y的均值和方差比服药组的都高C．以统计的频率作为概率，患者服药一段时间后指标x低于100的概率约为0.94 D．这种疾病的患者的生理指标y基本都大于1.56．已知，则sin2α＝（）A．﹣1B．1C．D．07．直线x＝m与椭圆交于A，B两点，△OAB（O为原点）是面积为3的等腰直角三角形，则b等于（）A．1B．2C．3D．48．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，为得到的图象，可以将函数f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度﹣1B．向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度9．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和C1C上（异于端点），则过三点A，F，E的平面被正方体截得的图形（截面）不可能是（）A．正方形B．不是正方形的菱形C．不是正方形的矩形D．梯形10．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝2a n+1，如图是计算该数列的前n项和的程序框图，图中①②③应依次填入（）A．i＜n，a＝2a+1，S＝S+a B．i＜n，S＝S+a，a＝2a+1C．i≤n，a＝2a+1，S＝S+a D．i≤n，S＝S+a，a＝2a+111．过点A（2a，0）作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为B，与另一条渐近线交于点C，B是AC的中点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．12．x1＝1是函数f（x）＝+（b﹣3）x+2b﹣a的一个极值点，则ab的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题）13．函数的零点个数为．14．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝AD＝1，BC＝CD＝BD＝，则四棱锥的外接球的表面积为．15．在△ABC中，D是AB边上一点，AD＝2DB，DC⊥AC，DC＝，则AB ＝．16．奇函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），当0＜x≤1时，f（x）＝log2（4x+a），若，则a+f（a）＝．三、解答题（共70分.）17．为抗击“新冠肺炎”，全国各地“停课不停学”，各学校都开展了在线课堂，组织学生在线学习，并自主安排时间完成相应作业为了解学生的学习效率，某在线教育平台统计了部分高三备考学生每天完成数学作业所需的平均时间，绘制了如图所示的频率分布直方图．（1）如果学生在完成在线课程后每天平均自主学习时间（完成各科作业及其他自主学习）为5小时，估计高三备考学生每天完成数学作业的平均时间占自主学习时间的比例（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（结果精确到0.01）；（2）以统计的频率作为概率，估计一个高三备考学生每天完成数学作业的平均时间不超过45分钟的概率．18．S n是等差数列{a n}的前n项和，对任意正整数n，2S n是a n a n+1与1的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列的最大项与最小项．19．点P是直线y＝﹣2上的动点，过点P的直线l1，l2与抛物线y＝x2相切，切点分别是A，B．（1）证明：直线AB过定点；（2）以AB为直径的圆过点M（2，1），求点P的坐标及圆的方程．20．如图，在多面体ABCDE中，平面ACD⊥平面ABC，AC⊥BC，BC＝2AC＝4，DA＝DC，CD＝3，F是BC的中点，EF⊥平面ABC，．（1）证明：A，B，E，D四点共面；（2）求三棱锥B﹣CDE的体积．21．已知函数；（1）试讨论f（x）的单调性；（2）当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是，求b的值．请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题如果多做，则按所做的第一题计分.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C的极坐标方程为，P点的极坐标为，在平面直角坐标系中直线l经过点P，且倾斜角为60°．（1）写出曲线C的直角坐标方程以及点P的直角坐标；（2）设直线与曲线C相交于A，B两点，求的值．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知f（x）＝|x﹣m|（x+2）+|x|（x﹣m）．（1）当m＝2时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）若x＞1时，f（x）＞0，求m的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A＝{（x，y）|x2+y2≤2，x∈Z，y∈Z}，B＝{（x，y）|x+1＞0}，则A∩B的元素个数为（）A．9B．8C．6D．5【分析】利用交集定义先求出A∩B，由此能求出A∩B的元素个数．解：∵集合A＝{（x，y）|x2+y2≤2，x∈Z，y∈Z}，B＝{（x，y）|x+1＞0}，∴A∩B＝{（x，y）|}＝{（0，﹣1），（0，0），（0，1），（1，﹣1），（1，0），（1，1）}，∴A∩B的元素个数为6．故选：C．2．i是虚数单位，x，y是实数，x+i＝（2+i）（y+yi），则x＝（）A．3B．1C．D．【分析】先利用复数代数形式的乘除运算化简，再利用复数相等的定义计算即可．解：（2+i）（y+yi）＝y+3yi，所以3y＝1，x＝y＝，故选：D．3．平面向量，满足||＝4，||＝2，（+2）＝24，则|﹣2|＝（）A．2B．4C．8D．16【分析】先根据数量积求出•＝4，再求模长的平方，进而求得结论．解：因为平面向量，满足||＝4，||＝2，∵（+2）＝24⇒+2•＝24⇒•＝4，则|﹣2|2＝﹣4•+4＝42﹣4×4+4×22＝16；∴|﹣2|＝4；故选：B．4．命题p：∀x∈R，e x＞x，命题q：∃x0∈R，x02＜0，下列给出四个命题①p∨q；②p∧q；③p∧￢q；④￢p∨q所有真命题的编号是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【分析】判定出p真q假⇒￢p为假，￢q为真，①③为真命题．解：令f（x）＝e x﹣x，利用导数可求得当x＝0时，f（x）＝e x﹣x＝1，1是极小值，也是最小值，从而可判断p为真命题，命题q为假命题．故①p∨q为真；②p∧q为假；③p∧￢q为真；④￢p∨q为假．所有真命题的编号是①③．故选：A．5．为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者．下列说法中，错误的是（）A．服药组的指标x的均值和方差比未服药组的都低B．未服药组的指标y的均值和方差比服药组的都高C．以统计的频率作为概率，患者服药一段时间后指标x低于100的概率约为0.94 D．这种疾病的患者的生理指标y基本都大于1.5【分析】由图可得服药组的指标x的均值和方差比未服药组的都低判断A；未服药组的指标y的取值相对集中，方差较小判断B；再求出患者服药一段时间后指标x低于100的频率判断C；直接由图象判断D．解：由图可知，服药组的指标x的均值和方差比未服药组的都低，∴A说法正确；未服药组的指标y的取值相对集中，方差较小，∴B说法不对；以统计的频率作为概率，患者服药一段时间后指标x低于100的概率约为0.94，∴C说法正确；这种疾病的患者的生理指标y基本都大于1.5，∴D说法正确．故选：B．6．已知，则sin2α＝（）A．﹣1B．1C．D．0【分析】由题意利用诱导公式求得2α＝2kπ﹣，可得sin2α的值．解：由诱导公式及，可得cos（+α）＝cos（+α），可得（舍去），或（+α）+（+α）＝2kπ，k∈Z，即2α＝2kπ﹣，∴sin2α＝﹣1，故选：A．7．直线x＝m与椭圆交于A，B两点，△OAB（O为原点）是面积为3的等腰直角三角形，则b等于（）A．1B．2C．3D．4【分析】利用△OAB（O为原点）是面积为3的等腰直角三角形，求出A的坐标，代入椭圆方程求解即可．解：直线x＝m与椭圆交于A，B两点，△OAB是等腰直角三角形，解得m＝±，不妨A取，A点在椭圆上，代入椭圆，可得，解得b＝2，故选：B．8．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，为得到的图象，可以将函数f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度﹣1B．向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【分析】由函数图象可得A，利用周期公式可求ω，由f（）＝sin（2×+φ）＝﹣1，结合范围|φ|＜，可求φ，可求函数解析式f（x）＝sin（2x+），进而化简g（x）解析式由函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换即可求解．解：由函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象，可得A＝1，＝﹣＝，即＝π求得ω＝2，∵f（）＝sin（2×+φ）＝﹣1，即sin（+φ）＝1，∴+φ＝+2kπ，k∈Z，即φ＝+2kπ，k∈Z，∵|φ|＜，∴φ＝，∴f（x）＝2sin（2x+）．由图可知，，，所以把f（x）的图象向右平移个单位得到g（x）的图象．故选：D．9．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和C1C上（异于端点），则过三点A，F，E的平面被正方体截得的图形（截面）不可能是（）A．正方形B．不是正方形的菱形C．不是正方形的矩形D．梯形【分析】画出图形，通过特殊位置判断截面形状即可．解：当BE＝CF时，截面是矩形；当2BE＝CF时，截面是菱形；当BE＞CF时，截面是梯形，故选：A．10．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝2a n+1，如图是计算该数列的前n项和的程序框图，图中①②③应依次填入（）A．i＜n，a＝2a+1，S＝S+a B．i＜n，S＝S+a，a＝2a+1C．i≤n，a＝2a+1，S＝S+a D．i≤n，S＝S+a，a＝2a+1【分析】模拟程序的运行过程，即可得出程序框图中应填的内容．解：取n＝1，有S＝a＝1，即a1＝1，不能进入循环，判断框应是i＜n进入循环；进入循环后第一次加上的应该是a2＝2a1+1，所以先算a＝2a+1．故选：A．11．过点A（2a，0）作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为B，与另一条渐近线交于点C，B是AC的中点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．【分析】有题意BO垂直平分AC∠AOB＝∠BOC，又∠AOB，AOC互为补角，所以∠AOB为60°，求出渐近线的斜率，即得出a，b的关系，再由a，b，c之间的关系进而求出a，c的关系，即求出离心率．解：依题意，一条渐近线是x轴与另一条渐近线的对称轴，OB垂直平分AC，∠AOB＝∠BOC，又∠AOB，AOC互为补角，所以渐近线的倾斜角是60°或120°，所以渐近线的斜率为，即＝，c2＝a2+b2，所以离心率e＝＝＝＝2，故选：C．12．x1＝1是函数f（x）＝+（b﹣3）x+2b﹣a的一个极值点，则ab的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】先求导，再f'（1）＝0得2a+b﹣2＝0且△＞0，所以a≠﹣1，ab＝a（2﹣2a），（a≠﹣1）利用二次函数图象和性质求出答案．解：f'（x）＝x2+2ax+b﹣3，f'（1）＝0⇒2a+b﹣2＝0，若函数f（x）有一个极值点，则△＝4a2﹣4（b﹣3）＝4a2﹣4（2﹣2a﹣3）＝4a2+4（2a+1）＝4（a+1）2＞0所以a≠﹣1，ab＝a（2﹣2a）＝，故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．函数的零点个数为3．【分析】条件等价于函数与y＝x2的图象交点个数，数形结合即可．解：令，分别作与y＝x2的图象如图，又因为指数函数的增长速度最终会远远超过幂函数的增长速度，所以两函数图象有3个交点，即f（x）有3个零点，故答案为3．14．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝AD＝1，BC＝CD＝BD＝，则四棱锥的外接球的表面积为5π．【分析】根据已知条件定出球心的位置，然后求出球的半径，代入球的表面积公式可求．解：如图，由已知，在底面ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，由PA⊥底面ABCD，易得△PAC，△PBC，△PCD都是直角三角形，所以球心是PC的中点，，S＝4πR2＝5π．故答案为：5π15．在△ABC中，D是AB边上一点，AD＝2DB，DC⊥AC，DC＝，则AB ＝3．【分析】设BD＝x，由已知结合锐角三角函数定义及余弦定理分别表示cos A，建立关系x的方程，可求．解：如图，设BD＝x，则由余弦定理可得，，又由余弦定理可得，7＝BC2＝9x2，＝13x2﹣3，即7＝6+x2，解得x＝1，∴AB＝3．故答案为：116．奇函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），当0＜x≤1时，f（x）＝log2（4x+a），若，则a+f（a）＝2．【分析】根据题意，分析可得f（x）是以4为周期的奇函数，结合函数的解析式分析可得，解可得a＝2，分析可得f（2）的值，计算可得答案．解：根据题意，函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），则f（﹣x）＝f（x+2），又由f（x）为奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），则有f（x+2）＝﹣f（x），则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即f（x）是以4为周期的奇函数，又由当0＜x≤1时，f（x）＝log2（4x+a），则，解可得a＝2，又由f（x）是以4为周期的奇函数，则f（2）＝f（﹣2）且f（2）+f（﹣2）＝0，则f （2）＝0，故a+f（a）＝2+f（2）＝2；故答案为：2．三、解答题（共70分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．为抗击“新冠肺炎”，全国各地“停课不停学”，各学校都开展了在线课堂，组织学生在线学习，并自主安排时间完成相应作业为了解学生的学习效率，某在线教育平台统计了部分高三备考学生每天完成数学作业所需的平均时间，绘制了如图所示的频率分布直方图．（1）如果学生在完成在线课程后每天平均自主学习时间（完成各科作业及其他自主学习）为5小时，估计高三备考学生每天完成数学作业的平均时间占自主学习时间的比例（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（结果精确到0.01）；（2）以统计的频率作为概率，估计一个高三备考学生每天完成数学作业的平均时间不超过45分钟的概率．【分析】（1）先利用每组的频率×该组区间的中点值再相加求出平均值的估计值，再处于总时间5小时，即可得到所求的结果；（2）由直方图，算出[25，35）和[35，45）这两组的概率，再相加即可得到样本中高三备考学生每天完成数学作业的平均时间不超过45分钟的频率，以样本估算总体，进而得出每个高三备考学生每天完成数学作业的平均时间不超过45分钟的概率．解：（1）高三备考学生每天完成数学作业的平均时间的平均值的估计值为30×0.1+40×0.18+50×0.3+60×0.25+70×0.12+80×0.05＝52.6，完成数学作业的平均时间占自主学习时间的比例估计值为；（2）由直方图，样本中高三备考学生每天完成数学作业的平均时间不超过45分钟的频率为0.28，估计每个高三备考学生每天完成数学作业的平均时间不超过45分钟的概率为0.28．18．S n是等差数列{a n}的前n项和，对任意正整数n，2S n是a n a n+1与1的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列的最大项与最小项．【分析】（1）设{a n}的首项为a1，公差为d，取n＝1，2，求出数列的通项公式即可．（2）记，利用函数图象结合函数的单调性推出当n≤4时，递增且都大于﹣1，当n≥5时，递增且都小于﹣1，得到结果即可．解：（1）设{a n}的首项为a1，公差为d，取n＝1，2，得，解得或，当a1＝1，d＝2时，满足条件；当时，不满足条件，舍去，综上，数列{a n}的通项公式为a n＝2n﹣1．（2），记，f（x）在（﹣∞，4.5）与（4.5，+∞）上都是增函数（图象如图3），对数列，当n≤4时，递增且都大于﹣1，当n≥5时，递增且都小于﹣1，数列的最大项是第4项，值为9，最小项是第5项，值为﹣11．19．点P是直线y＝﹣2上的动点，过点P的直线l1，l2与抛物线y＝x2相切，切点分别是A，B．（1）证明：直线AB过定点；（2）以AB为直径的圆过点M（2，1），求点P的坐标及圆的方程．【分析】（1）设A，B，P的坐标，求出直线AP，BP的方程，因为两条直线的交点P，可得直线AB的方程为：，整理可得恒过（0，2）点；（2）因为AB为直径的圆过点M（2，1），所以，由（1）设直线AB的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而可得直线AB的斜率，即求出P的坐标，即求出直线AB，进而求出圆心坐标．解：（1）证明：设点A（x1，y1），B（x2，y2），P（b，﹣2），过点A，P的直线方程为，同理过点B，P的直线方程为，因为点P是两切线的交点，所以，即y＝2bx+2恒过（0，2）．（2）解：设直线AB为y＝kx+2（k＝2b），与抛物线方程联立得x2﹣kx﹣2＝0，其中△＞0，x1x2＝﹣2，x1+x2＝k，因为M（2，1）在AB为直径的圆上，所以，即（x1﹣2，y1﹣1）（x2﹣2，y2﹣1）＝0⇔（x1﹣2）（x2﹣2）+（y1﹣1）（y2﹣1）＝0⇔（x1﹣2）（x2﹣2）+（kx1+1）（kx2+1）＝0，整理得（k2+1）x1x2+（k﹣2）（x1+x2）+5＝0，即k2+2k﹣3＝0，解得k＝1或k＝﹣3．当k＝1时，，圆心为，半径，圆的标准方程为；当k＝﹣3时，，圆心为，半径，圆的标准方程为．20．如图，在多面体ABCDE中，平面ACD⊥平面ABC，AC⊥BC，BC＝2AC＝4，DA＝DC，CD＝3，F是BC的中点，EF⊥平面ABC，．（1）证明：A，B，E，D四点共面；（2）求三棱锥B﹣CDE的体积．【分析】（1）设M是AC的中点，则DM⊥AC，且，从而DM⊥平面ABC，由EF⊥平面ABC，得DM∥EF，且，四边形DEFM是平行四边形，从而DE∥MF，推导出MF∥AB，DE∥AB，由此能证明A，B，E，D四点共面．（2）D到平面BCE的距离是A到平面BCE距离的，EF⊥平面ABC，从而EF⊥AC，AC⊥BC，进而AC⊥平面BCE，由V B﹣CDE＝V D﹣BCE．能求出三棱锥B﹣CDE的体积．解：（1）证明：如图4，设M是AC的中点，因为DA＝DC＝3，所以DM⊥AC，且，因为平面ACD⊥平面ABC，交线为AC，DM⊂平面ACD，所以DM⊥平面ABC，又EF⊥平面ABC，所以DM∥EF，且，四边形DEFM是平行四边形，从而DE∥MF，在△ABC中，M，F是AC，BC的中点，所以MF∥AB，所以DE∥AB，从而A，B，E，D四点共面．（2）解：由（1），所以D到平面BCE的距离是A到平面BCE距离的，EF⊥平面ABC⇒EF⊥AC，又AC⊥BC⇒AC⊥平面BCE，所以D到平面BCE的距离为，△BCE的面积，故三棱锥B﹣CDE的体积为．21．已知函数；（1）试讨论f（x）的单调性；（2）当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是，求b的值．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）求出f（x）的极值，函数f（x）有3个零点等价于f（a）•f（1）＜0，即（a3﹣3a2﹣6b）（3a﹣1+6b）＞0，根据函数的单调性求出b的值即可．解：（1）f'（x）＝x2﹣（a+1）x+a＝（x﹣1）（x﹣a），当a＝1时，f'（x）＝（x﹣1）2≥0，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；当a＜1时，在（a，1）上，f'（x）＜0，f（x）单调递减；在（﹣∞，a）和（1，+∞）上，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当a＞1时，在（1，a）上，f'（x）＜0，f（x）单调递减；在（﹣∞，1）和（a，+∞）上，f'（x）＞0，f（x）单调递增；综上，当a＝1时，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；当a＜1时，f（x）在（a，1）上单调递减；在（﹣∞，a）和（1，+∞）上单调递增；当a＞1时，f（x）在（1，a）上单调递减；在（﹣∞，1）和（a，+∞）上单调递增．（2）当a≠1时，函数有两个极值和，若函数f（x）有三个不同的零点⇔f（a）•f（1）＜0，即（a3﹣3a2﹣6b）（3a﹣1+6b）＞0，又因为a的取值范围恰好是，所以令g（a）＝（a3﹣3a2﹣6b）（3a﹣1+6b）恰有三个零点，若a＝3时，g（3）＝﹣6b（6b+8），b＝0或；当b＝0时，g（a）＝a2（3a﹣1）（a﹣3）＞0，解得符合题意；当时，g（a）＝（a3﹣3a2+8）（3a﹣9）＝0，则a3﹣3a2+8＝0不存在这个根，与题意不符，舍去，所以b＝0．请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题如果多做，则按所做的第一题计分.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C的极坐标方程为，P点的极坐标为，在平面直角坐标系中直线l经过点P，且倾斜角为60°．（1）写出曲线C的直角坐标方程以及点P的直角坐标；（2）设直线与曲线C相交于A，B两点，求的值．【分析】（1）运用极坐标和直角坐标的关系：x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2，代入化简可得所求；（2）由题意可设直线l的参数方程，代入曲线C的直角坐标方程，运用韦达定理和参数的几何意义，化简可得所求值．解：（1）因为，所以ρ﹣ρsinθ＝2，则，即＝y+2，两边平方整理得x2＝4y+4；由P点的极坐标，可得P点的直角坐标x＝ρcosθ＝0，y＝ρsinθ＝1，所以P（0，1）．（2）由题意设直线l的参数方程为（t为参数），与曲线C的方程x2＝4y+4联立，得，设PA，PB对应的参数分别为t1，t2，则，t1t2＝﹣32，所以＝＝，而，所以．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知f（x）＝|x﹣m|（x+2）+|x|（x﹣m）．（1）当m＝2时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）若x＞1时，f（x）＞0，求m的取值范围．【分析】（1）将f（x）写成分段函数式，讨论x≤0时，0＜x＜2时，x≥2时，不等式的解，再求并集可得所求解集；（2）由题意可得f（m）＝0，且x＞m恒成立，求得m的范围，检验可得所求范围．解：（1）当m＝2时，f（x）＝|x﹣2|（x+2）+|x|（x﹣2）＝，当x≤0时，﹣2x2+2x+4＜0⇒x＜﹣1；当0＜x＜2时，﹣2x+4＜0⇒x＞2矛盾；当x≥2时，2x2﹣2x﹣4＜0⇒﹣1＜x＜2矛盾，综上，x＜﹣1，则f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1}；（2）对任意的x＞1时，因为f（m）＝0，f（x）＞0＝f（m），所以x＞m，则m≤1，当m≤1，x＞1时，x﹣m＞0，则f（x）＝（x﹣m）（x+2）+x（x﹣m）＞0恒成立，所以m的取值范围是m≤1．。

四川省绵阳市高考数学一诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x ∈Z |（x ﹣4）（x +1）＜0}，B={2，3，4}，则A ∩B=（ ）A ．（2，4）B ．{2，4}C ．{3}D ．{2，3}2．（5分）若x ＞y ，且x +y=2，则下列不等式成立的是（ ） A ．x 2＜y 2 B ． C ．x 2＞1D ．y 2＜13．（5分）已知向量，，若，则x 的值是（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．2 4．（5分）若，则tan2α=（ ） A ．﹣3 B ．3C ．D ．5．（5分）某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费．某职工某月缴水费55元，则该职工这个月实际用水为（ ）立方米．A ．13B ．14C ．15D ．166．（5分）已知命题p ：∃x 0∈R ，使得e x0≤0：命题q ：a ，b ∈R ，若|a ﹣1|=|b﹣2|，则a ﹣b=﹣1，下列命题为真命题的是（ ）A ．pB ．¬qC ．p ∨qD ．p ∧q7．（5分）函数f （x ）满足f （x +2）=f （x ），且当﹣1≤x ≤1时，f （x ）=|x |．若函数y=f （x ）的图象与函数g （x ）=log a x （a ＞0，且a ≠1）的图象有且仅有4个交点，则a 的取值集合为（ ） A ．（4，5） B ．（4，6） C ．{5} D ．{6} 8．（5分）已知函数f （x ）=sin ϖx +cos ϖx （ϖ＞0）图象的最高点与相邻最低点的距离是，若将y=f （x ）的图象向右平移个单位得到y=g （x ）的图象，则函数y=g （x ）图象的一条对称轴方程是（ ）祝您高考马到成功！A ．x=0B ．C ．D ．9．（5分）在△ABC 中，“C=”是“sinA=cosB”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 10．（5分）已知0＜a ＜b ＜1，给出以下结论： ①；②；③．则其中正确的结论个数是（ ） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个11．（5分）已知x 1是函数f （x ）=x +1﹣ln （x +2）的零点，x 2是函数g （x ）=x 2﹣2ax +4a +4的零点，且满足|x 1﹣x 2|≤1，则实数a 的最小值是（ ） A ．2﹣2B ．1﹣2C ．﹣2D ．﹣112．（5分）已知a ，b ，c ∈R ，且满足b 2+c 2=1，如果存在两条互相垂直的直线与函数f （x ）=ax +bcosx +csinx 的图象都相切，则a +c 的取值范围是（ ）A ．[﹣2，2]B ．C ．D ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．（5分）已知变量x ，y 满足约束条件，则z=2x +y 的最小值是 ．14．（5分）已知偶函数f （x ）在[0，+∞）上单调递增，且f （2）=1，若f （2x +1）＜1，则x 的取值范围是 ． 15．（5分）在△ABC 中，AB=2，AC=4，，且M ，N 是边BC 的两个三等分点，则= ．16．（5分）已知数列{a n }的首项a 1=m ，且a n +1+a n =2n +1，如果{a n }是单调递增数列，则实数m 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）祝您高考马到成功！17．（12分）若函数f （x ）=Asin （ωx +φ）的部分图象如图所示．（1）求函数f （x ）的解析式； （2）设，且，求sin2α的值．18．（12分）设公差大于0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3=15，且a 1，a 4，a 13成等比数列，记数列的前n 项和为T n ．（Ⅰ）求T n ；（Ⅱ）若对于任意的n ∈N *，tT n ＜a n +11恒成立，求实数t 的取值范围． 19．（12分）在△ABC 中，，D 是边BC 上一点，且，BD=2．（1）求∠ADC 的大小； （2）若，求△ABC 的面积．20．（12分）已知函数f （x ）=x 3+x 2﹣x +a （a ∈R ）．（1）求f （x ）在区间[﹣1，2]上的最值；（2）若过点P （1，4）可作曲线y=f （x ）的3条切线，求实数a 的取值范围． 21．（12分）函数f （x ）=﹣lnx +2+（a ﹣1）x ﹣2（a ∈R ）．（1）求f （x ）的单调区间； （2）若a ＞0，求证：f （x ）≥﹣．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是（α为参祝您高考马到成功！数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程； （2）设，，若l 1，l 2与曲线C 分别交于异于原点的A ，B两点，求△AOB 的面积．.[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）=|2x ﹣1|+|2x +3|． （1）解不等式f （x ）≥6；（2）记f （x ）的最小值是m ，正实数a ，b 满足2ab +a +2b=m ，求a +2b 的最小值．祝您高考马到成功！四川省绵阳市高考数学一诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x ∈Z |（x ﹣4）（x +1）＜0}，B={2，3，4}，则A ∩B=（ ） A ．（2，4） B ．{2，4} C ．{3} D ．{2，3}【解答】解：集合A={x ∈Z |（x ﹣4）（x +1）＜0}={x ∈Z |﹣1＜x ＜4}={0，1，2，3}，B={2，3，4}， 则A ∩B={2，3}， 故选：D2．（5分）若x ＞y ，且x +y=2，则下列不等式成立的是（ ）A ．x 2＜y 2B ．C ．x 2＞1D ．y 2＜1【解答】解：∵x ＞y ，且x +y=2，∴x ＞2﹣x ， ∴x ＞1，故x 2＞1正确，故选：C3．（5分）已知向量，，若，则x 的值是（ ） A ．﹣1 B ．0C ．1D ．2【解答】解：根据题意，向量，，若，则有2x=（x ﹣1），解可得x=﹣1，故选：A ．祝您高考马到成功！4．（5分）若，则tan2α=（ ） A ．﹣3 B ．3 C ．D ．【解答】解：∵=，可求tanα=﹣3，∴tan2α===．故选：D ．5．（5分）某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费．某职工某月缴水费55元，则该职工这个月实际用水为（ ）立方米．A ．13B ．14C ．15D ．16【解答】解：设该职工这个月实际用水为x 立方米，∵每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元水费收费，∴用水不超过10立方米的缴水费不超过30元，∵该职工这个月缴水费55元，∴该职工这个月实际用水超过10立方米，超过部分的水费=（x ﹣10）×5，∴由题意可列出一元一次方程式：30+（x ﹣10）×5=55，解得：x=15，故选：C ．6．（5分）已知命题p ：∃x 0∈R ，使得e x0≤0：命题q ：a ，b ∈R ，若|a ﹣1|=|b ﹣2|，则a ﹣b=﹣1，下列命题为真命题的是（ ） A ．pB ．¬qC ．p ∨qD ．p ∧q【解答】解：由指数函数的值域为（0，+∞）可得： 命题p ：∃x 0∈R ，使得e x0≤0为假命题， 若|a ﹣1|=|b ﹣2|，则a ﹣1=b ﹣2或a ﹣1=﹣b +2 即a ﹣b=﹣1，或a +b=3，故命题q 为假命题， 故¬q 为真命题；祝您高考马到成功！p ∨q ，p ∧q 为假命题， 故选：B7．（5分）函数f （x ）满足f （x +2）=f （x ），且当﹣1≤x ≤1时，f （x ）=|x |．若函数y=f （x ）的图象与函数g （x ）=log a x （a ＞0，且a ≠1）的图象有且仅有4个交点，则a 的取值集合为（ ） A ．（4，5） B ．（4，6） C ．{5} D ．{6} 【解答】解：因为f （x +2）=f （x ）， 所以f （x ）的周期为2，在x ∈[﹣1，1]时，f （x ）=|x |．画出函数f （x ）与g （x ）=log a x 的图象如下图所示；若函数y=f （x ）的图象与函数g （x ）=log a x （a ＞0，且a ≠1）的图象有且仅有4个交点，则函数g （x ）=log a x 的图象过（5，1）点，即a=5， 故选：C8．（5分）已知函数f （x ）=sin ϖx +cos ϖx （ϖ＞0）图象的最高点与相邻最低点的距离是，若将y=f （x ）的图象向右平移个单位得到y=g （x ）的图象，则函数y=g （x ）图象的一条对称轴方程是（ ） A ．x=0 B ．C ．D ．祝您高考马到成功！【解答】解：∵函数f （x ）=sin ϖx +cos ϖx=2sin （ωx +）（ϖ＞0）图象的最高点与相邻最低点的距离是，∴设函数f （x ）的周期为T ，则（）2+[2﹣（﹣2）]2=（）2，解得：T=2，∴T=2=，解得：ω=π，∴f （x ）=2sin （πx +），∴y=g （x ）=f （x ﹣）=2sin [π（x ﹣）+]=2sin （πx +），∵令πx +=kπ+，k ∈Z ，解得：x=k +，k ∈Z ，∴当k=0时，函数y=g （x ）图象的一条对称轴方程是：x=． 故选：C ．9．（5分）在△ABC 中，“C=”是“sinA=cosB”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【解答】解：“C=”⇔“A +B=”⇔“A=﹣B”⇒sinA=cosB ，反之sinA=cosB ，A +B=，或A=+B ，“C=”不一定成立，∴A +B=是sinA=cosB 成立的充分不必要条件，故选：A ．10．（5分）已知0＜a ＜b ＜1，给出以下结论： ①；②；③．则其中正确的结论个数是（ ） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 【解答】解：∵0＜a ＜b ＜1， 故y=为减函数，y=x a 在（0，+∞）上为增函数，祝您高考马到成功！故，即①正确；y=b x 为减函数，y=在（0，+∞）上为增函数，，即②错误；y=log a x 与在（0，+∞）上均为减函数，故，．即③正确；故选：B11．（5分）已知x 1是函数f （x ）=x +1﹣ln （x +2）的零点，x 2是函数g （x ）=x 2﹣2ax +4a +4的零点，且满足|x 1﹣x 2|≤1，则实数a 的最小值是（ ）A ．2﹣2B ．1﹣2C ．﹣2D ．﹣1【解答】解：∵f′（x ）=1﹣=，∴当﹣2＜x ＜﹣1时，f′（x ）＜0，当x ＞﹣1时，f′（x ）＞0，∴当x=﹣1时，f （x ）取得最小值f （﹣1）=0，∴f （x ）只有唯一一个零点x=﹣1，即x 1=﹣1，∵|x 1﹣x 2|≤1，∴﹣2≤x 2≤0，∴g （x ）在[﹣2，0]上有零点，（1）若△=4a 2﹣4（4a +4）=0，即a=2±2，此时g （x ）的零点为x=a ，显然当a=2﹣2符合题意；（2）若△=4a 2﹣4（4a +4）＞0，即a ＜2﹣2或a ＞2+2，①若g （x ）在[﹣2，0]上只有一个零点，则g （﹣2）g （0）≤0， ∴a=﹣1，②若g （x ）在[﹣2，0]上有两个零点，则，解得﹣1≤a ＜2﹣2．祝您高考马到成功！综上，a 的最小值为﹣1． 故选：D ．12．（5分）已知a ，b ，c ∈R ，且满足b 2+c 2=1，如果存在两条互相垂直的直线与函数f （x ）=ax +bcosx +csinx 的图象都相切，则a +c 的取值范围是（ ）A ．[﹣2，2]B ．C ．D ．【解答】解：∵函数f （x ）=ax +bcosx +csinx ，b 2+c 2=1，∴f′（x ）=a +ccosx ﹣bsinx=a ﹣sin （x ﹣φ），其中tanφ=， 则f′（x ）∈[a ﹣1，a +1]，若存在两条互相垂直的直线与函数f （x ）=ax +bcosx +csinx 的图象都相切，则存在k 1，k 2∈[a ﹣1，a +1]，使k 1k 2=﹣1， 由（a ﹣1）（a +1）=a 2﹣1≥﹣1得： a=0， 则a +c=c=sin （φ+θ），其中tanθ=，故a +c ∈[﹣，]，故选：B ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．（5分）已知变量x ，y 满足约束条件，则z=2x +y 的最小值是 3 ．【解答】解：作出约束条件对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x +y 得y=﹣2x +z ， 平移直线y=﹣2x +z ，由图象可知当直线y=﹣2x +z 经过点A 时，直线y=﹣2x +z 的截距最小， 此时z 最小． 由，解得A （1，1），代入目标函数z=2x +y 得z=2×1+1=3．祝您高考马到成功！即目标函数z=2x +y 的最小值为3． 故答案为：3．14．（5分）已知偶函数f （x ）在[0，+∞）上单调递增，且f （2）=1，若f （2x +1）＜1，则x 的取值范围是 （﹣，） ．【解答】解：根据题意，f （x ）为偶函数，则（2x +1）=f （|2x +1|），又由f （x ）在[0，+∞）上单调递增，且f （2）=1，则f （2x +1）＜1⇒f （|2x +1|）＜f （2）⇒|2x +1|＜2，解可得﹣＜x ＜；则x 的取值范围是（﹣，）； 故答案为：（﹣，）．15．（5分）在△ABC 中，AB=2，AC=4，，且M ，N 是边BC 的两个三等分点，则=．【解答】解：根据题意，如图△ABC 中，AB=2，AC=4，，且M ，N 是边BC 的两个三等分点， 有=+=+=+（﹣）=+， =+=+=+（﹣）=+，祝您高考马到成功！则=（+）•（+）=2+2+•=；即=；故答案为：．16．（5分）已知数列{a n }的首项a 1=m ，且a n +1+a n =2n +1，如果{a n }是单调递增数列，则实数m 的取值范围是 （，） ．【解答】解：根据题意，数列{a n }中，a n +1+a n =2n +1，对其变形可得[a n +1﹣（n +1）]+（a n ﹣n ）=0，即a n +1﹣（n +1）=﹣（a n ﹣n ）， 又由a 1=m ，则a 1﹣1=m ﹣1，当m=1时，a n ﹣n=0，则a n =n ，符合题意，当m ≠1时，数列{a n ﹣n }是以m ﹣1为首项，公比为﹣1的等比数列， 则a n ﹣n=（m ﹣1）×（﹣1）n ， 即a n =（m ﹣1）×（﹣1）n +n ，则a n ﹣1=（m ﹣1）×（﹣1）n ﹣1+n ﹣1， 当n 为偶数时，a n ﹣a n ﹣1=2（m ﹣1）+1，① 当n 为奇数时，a n ﹣a n ﹣1=﹣2（m ﹣1）+1，② 如果{a n }是单调递增数列，则有，解可得＜m ＜，即m 的取值范围是（，）∪（1，）；祝您高考马到成功！故答案为：（，）．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）若函数f （x ）=Asin （ωx +φ）的部分图象如图所示．（1）求函数f （x ）的解析式； （2）设，且，求sin2α的值．【解答】解：（1）由图得，A=2． …（1分），解得T=π，于是由T=，得ω=2．…（3分）∵，即， ∴，k ∈Z ，即，k ∈Z ，又， 所以，即． …（6分）（2）由已知，即， 因为，所以，∴． …（8分）祝您高考马到成功！∴===． …（12分）18．（12分）设公差大于0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3=15，且a 1，a 4，a 13成等比数列，记数列的前n 项和为T n ．（Ⅰ）求T n ；（Ⅱ）若对于任意的n ∈N *，tT n ＜a n +11恒成立，求实数t 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）设{a n }的公差为d （d ＞0）， 由S 3=15有3a 1+=15，化简得a 1+d=5，①…（2分）又∵a 1，a 4，a 13成等比数列，∴a 42=a 1a 13，即（a 1+3d ）2=a 1（a 1+12d ），化简得3d=2a 1，②…（4分） 联立①②解得a 1=3，d=2，∴a n =3+2（n ﹣1）=2n +1． …（5分）∴，∴．…（7分）（Ⅱ）∵tT n ＜a n +11，即，∴，…（9分）又≥6，当且仅当n=3时，等号成立，∴≥162，…（11分）∴t ＜162． …（12分）19．（12分）在△ABC 中，，D 是边BC 上一点，且，BD=2．（1）求∠ADC 的大小； （2）若，求△ABC 的面积．祝您高考马到成功！【解答】解：（1）△ABD 中，由正弦定理，得，∴，∴．（2）由（1）知，∠BAD=∠BDA=，故AB=BD=2．在△ACD 中，由余弦定理：AC 2=AD 2+CD 2﹣2AD•CD•cos ∠ADC ， 即，整理得CD 2+6CD ﹣40=0， 解得CD=﹣10（舍去），CD=4， ∴BC=BD +CD=4+2=6． ∴S △ABC =．20．（12分）已知函数f （x ）=x 3+x 2﹣x +a （a ∈R ）．（1）求f （x ）在区间[﹣1，2]上的最值；（2）若过点P （1，4）可作曲线y=f （x ）的3条切线，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）f'（x ）=3x 2+2x ﹣1=（3x ﹣1）（x +1），…（1分）由f'（x ）＞0解得或x ＜﹣1；由f'（x ）＜0解得，又x ∈[﹣1，2]，于是f （x ）在上单调递减，在上单调递增．…（3分） ∵， ∴f （x ）最大值是10+a ，最小值是．…（5分）（2）设切点Q （x ，x 3+x 2﹣x +a ），P （1，4）， 则，整理得2x 3﹣2x 2﹣2x +5﹣a=0，…（7分） 由题知此方程应有3个解．祝您高考马到成功！令μ（x ）=2x 3﹣2x 2﹣2x +5﹣a ，∴μ'（x ）=6x 2﹣4x ﹣2=2（3x +1）（x ﹣1）， 由μ'（x ）＞0解得x ＞1或，由μ'（x ）＜0解得，即函数μ（x ）在，（1，+∞）上单调递增，在上单调递减．…（10分）要使得μ（x ）=0有3个根，则，且μ（1）＜0，解得，即a 的取值范围为． …（12分）21．（12分）函数f （x ）=﹣lnx +2+（a ﹣1）x ﹣2（a ∈R ）．（1）求f （x ）的单调区间；（2）若a ＞0，求证：f （x ）≥﹣．【解答】解：（1）． …（1分）①当a ≤0时，f'（x ）＜0，则f （x ）在（0，+∞）上单调递减；…（3分）②当a ＞0时，由f'（x ）＞0解得，由f'（x ）＜0解得．即f （x ）在上单调递减；f （x ）在上单调递增；综上，a ≤0时，f （x ）的单调递减区间是（0，+∞）；a ＞0时，f （x ）的单调递减区间是，f （x ）的单调递增区间是． …（5分）（2）由（1）知f （x ）在上单调递减；f （x ）在上单调递增， 则． …（6分）要证f （x ）≥，即证≥，即lna +≥0，祝您高考马到成功！即证lna ≥．…（8分）构造函数，则，由μ'（a ）＞0解得a ＞1，由μ'（a ）＜0解得0＜a ＜1，即μ（a ）在（0，1）上单调递减；μ（a ）在（1，+∞）上单调递增； ∴，即≥0成立．从而f （x ）≥成立．…（12分）请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设，，若l 1，l 2与曲线C 分别交于异于原点的A ，B两点，求△AOB 的面积．【解答】解：（1）∵曲线C 的参数方程是（α为参数），∴将C 的参数方程化为普通方程为（x ﹣3）2+（y ﹣4）2=25，即x 2+y 2﹣6x ﹣8y=0． …（2分）∴C 的极坐标方程为ρ=6cosθ+8sinθ． …（4分） （2）把代入ρ=6cosθ+8sinθ，得，∴． …（6分）把代入ρ=6cosθ+8sinθ，得，∴． …（8分）∴S△AOB ===． …祝您高考马到成功！（10分）.[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）=|2x ﹣1|+|2x +3|． （1）解不等式f （x ）≥6；（2）记f （x ）的最小值是m ，正实数a ，b 满足2ab +a +2b=m ，求a +2b 的最小值．【解答】解：（1）当x ≤时，f （x ）=﹣2﹣4x ，由f （x ）≥6解得x ≤﹣2，综合得x ≤﹣2，…（2分） 当时，f （x ）=4，显然f （x ）≥6不成立，…（3分）当x ≥时，f （x ）=4x +2，由f （x ）≥6，解得x ≥1，综合得x ≥1，…（4分）所以f （x ）≥6的解集是（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）．…（5分）（2）f （x ）=|2x ﹣1|+|2x +3|≥|（2x ﹣1）﹣（2x +3）|=4，即f （x ）的最小值m=4． …（7分） ∵a•2b ≤，…（8分）由2ab +a +2b=4可得4﹣（a +2b ）≤，解得a +2b ≥，∴a +2b 的最小值为．…（10分）祝您高考马到成功！。