第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，π2π{|sin ,(,]}63B y y x x ==?,则()A B R I ð=A.1(2,](1,4)2--U B.1(2,]4)2--U C.{-1,2,3} D.{-1,1,2,3}【命题意图】本题主要考查函数的定义域、值域及集合运算，考查运算求解能力，是基础题. 【答案】C2. 已知复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点的坐标为（2，-1），则复数i1+z的虚部为 （ ） A.1- B.21-C.23-D.23 【命题意图】本题主要考查复数的概念及复数的运算，考查运算求解能力，是基础题. 【答案】B【解析】由题知z =i 2-，所以i 2+=z ，所以i 1+z =i 1i 2++= )i 1)(i 1()i 1)(i 2(-+-+=i 2123-，故其虚部为21-,选B.3 下列函数既是奇函数又在（-1,1）上是增函数的是 （ ）A.πcos()2y x =+ B.x y 2-= C.xx y +-=22ln D.x x y --=22 【命题意图】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，考查运用数学基础知识解决问题的能力，是基础题. 【答案】D【解析】πcos()2y x =+=x sin -是奇函数，但在（-1,1）上是减函数，故A 不符合题意； xy 2-=是奇函数，但在（-1,1）上不是单调函数，故B 不符合题意；xxy +-=22ln=)2ln()2ln(x x +--是奇函数，但在（-1,1）上是减函数，故C 不符合题意；x x y --=22是奇函数，且在（-1,1）上是增函数，故D 符合题意，选D.4. 《九章算术》有这样一个问题：今有男子善走，日增等里，九日走一千二百六十里，第一日、第四日、第七日所走之和为三百九十里，问第八日所走里数为 （ ） A ．150 B ．160 C ．170 D ．180 【命题意图】本题主要考查等差数列的通项公式与前n 项和公式，是基础题. 【答案】C5. 执行如图所示的程序框图，输入p ＝10，则输出的A 为 （ ）A ．－12B ．10C ．16D ．32 【命题意图】本题主要考查程序框图，考查运算求解能力，是基础题. 【答案】C【解析】第1次执行循环体：102+-=n S S =0-2+10=8>A =0，是，A =S =8，n =1≥p =10，否，n n 2==2，第2次执行循环体：102+-=n S S =8-4+10=14>A =8，是，A =S =14，n=2≥p=10，否，n n 2==4， 第3次执行循环体：102+-=n S S =14-8+10=16>A =14，是，A =S =16，n =4≥p =10，否， n n 2==8， 第4次执行循环体：102+-=n S S =16-16+10=10>A =16，否，n =8≥p =10，否， n n 2==16， 第5次执行循环体：102+-=n S S =10-32+10=-12>A =16，否，n =16≥p =10，是，输出A =16，故选C.6. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ）A.128B.3128 C.364 D.332【命题意图】本题主要考查简单几何体的三视图及其体积的计算，考查空间想象能力、运算求解能力，是基础题. 【答案】C7. 已知函数)(x f =)sin(ϕω+x A )π||,0,0(<>>ϕωA 的图象向右平移6π个单位得到)(x g 的部分图象如图所示，则)cos(ϕω+=x A y 的单调增区间为( )A.]3ππ,π65π[--k k ，Z k ∈ B.]6π,π31π[π+-k k ，Z k ∈C. ]12ππ,π127π[--k k ，Z k ∈ D.]125ππ,π121π[+-k k ，Z k ∈ 【命题意图】本题主要考查三角函数的图象变换、三角函数的图象与性质，考查运算求解能力，是基础题. 【答案】A【解析】由题知)(x g =])6(sin[ϕπω+-x A =)6sin(ϕωπω+-x A ，由五点作图法知，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-⨯=+-⨯π6π3π2π6π12πϕωωϕωω，解得2=ω，3π2=ϕ，2=A ，所以)32π2cos(2+=x y ，令π23π22ππ2k x k ≤+≤-，Z k ∈，解得365ππππ-<≤-k x k ，Z k ∈，所以)cos(ϕω+=x A y 的单调增区间为]3,65[ππππ--k k ，Z k ∈，故选A. 8. 已知1A 、2A 与1F 、2F 分别为双曲线22221x y a b-=（00a b >>，）的左、右顶点与左、右焦点，P 是双曲线右支上任意一点，则以线段1PF 和12A A 为直径的两圆一定 （ ） A ．相交B.相切C.相离D.以上都可能【命题意图】本题主要考查双曲线的定义及两圆的位置关系的判定，考查运算求解能力，是基础题. 【答案】B9.如图所示，在△DEF 中，M 在线段DF 上，DE =3，DM =EM =2，sin F =35,则边EF 的长为（ ） A.4916C.154【命题意图】本题主要考查利用正、余弦定理解三角形，考查运算求解能力，是基础题. 【答案】D10. 已知函数()f x =ln 2b a x x x ++（,a b R ∈）的两个极值点分别在区间（12，1）和（1,2）内，则z a b =+的最大值为 （ ） A.-10 B.-7 C. -4 D.4【命题意图】本题主要考查函数的极值及简单线性规划的解法，考查转化与化归思想、运算求解能力，是中档题. 【答案】C【解析】易知函数()f x 的定义域为（0，+∞），()f x '=22a bx x -+=222x ax b x +-，由题知22x ax b +-=0的两解分别在区间（12，1）和（1,2）内，设()g x =22x ax b +-，则111()0222(1)20(2)820g a b g a b g a b ⎧=+->⎪⎪=+-<⎨⎪=+->⎪⎩，即21020280a b a b a b -+>⎧⎪-+<⎨⎪-+>⎩，作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线0l ： 0a b +=，平移直线0l ，当直线z a b =+过点A 时，z 取得最大值，由21020a b a b -+=⎧⎨-+=⎩解得A (-3,-1)，z max =-3-1=-4，故选C.11.在三棱锥BCD A -中，△ABC 与△BCD 都是边长为6的正三角形，平面ABC ⊥平面BCD ，则该三棱锥的外接球的体积为 （ ） A.π155 B.π60 C.π1560 D.π1520 【命题意图】本题主要考查球的截面性质及球的体积计算，考查空间想象能力、运算求解能力、逻辑推理能力，是难题..【答案】D12. 已知函数)(x f =ax ax x +-2ln 恰有两个零点，则实数a 的取值范围为 （ ）A.（-∞，0）B.（0，+∞）C.（0,1）∪（1，+∞）D.（-∞，0）∪{1}【命题意图】本题主要考查函数零点、利用导数研究函数的图象与性质等综合问题，考查转化与化归思想、数形结合思想和运算求解能力，是难题. 【答案】C【解析】函数)(x f 的定义域为（0，+∞），由题知方程 ax ax x +-2ln =0，即方程)1(ln -=x a xx恰有两解，设x x x g ln )(=，则)(x g '=2ln 1xx-，当e 0<<x 时，)(x g '＞0，当e >x 时，)(x g '＜0，所以)(x g 在（0,e ）上是增函数，在（e ，+∞）上是减函数，且0)1(=g ，当e >x 时，)(x g ＞0，1)1(='g ，作出函数)(x g y =与函数)1(-=x a y 的图象如下图所示，由图可知，函数)(x g y =的图象与函数)1(-=x a y 的图象恰有2个交点的充要条件为10<<a 或1>a ，故选C.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知二项式n xx )3(2-的展开式的各项系数和为64，则展开式中含3x 的项的系数为 .【命题意图】本题主要考查二项式定理及其展开式的通项公式的应用，考查运算求解能力，是基础题. 【答案】540-14. 在△ABC 中，AB=3，AC=2，∠BAC=60°，M 是BC 的中点，N 在线段AM 上，且BN ⊥AM ，则向量在向量上的投影为 .【命题意图】本题主要考查向量的线性运算及向量数量积的应用，考查运算求解能力，是基础题. 【答案】3827【解析】以A 为原点、AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则A （0,0），B （3,0），C （1，3），所以)23,2(M ，设λ==)23,2(λλ，∴-==)23,32(λλ-，因为BN AM ⊥，所以AM BN ×uuu r uuu r =0232332(2=⨯+-λλ），解得1924=λ，所以)19312,199(-=，所以BN AC ×uuu r uuu r =193123199⨯+-=1927，所以向量BN 在向量AC 上的投影为||BN AC AC ×uuu r uuu ruuu r =3827. 15. 已知P 是抛物线x y 42=上一点，F 是该抛物线的焦点，则以PF 为直径且过（0,2）的圆的标准方程为 .【命题意图】本题主要考查抛物线的定义、圆的标准方程，考查运算求解能力，是基础题.【答案】22223939()(()(2424x y x y -+=-+-=或 【解析】设),4(020y y P ，由题知)0,1(F ，由抛物线的定义知，圆的直径为||PF =4120y +，圆心为)2,821(020y y +，由题知20220)02()2821(-+-+y y = )41(2120y +，解得220±=y ，所以圆心为)2,23(±，半径为23，所以所求圆的标准方程为49)2()23(22=±+-y x . 16.已知函数)(x f =))(1(22b ax x x ++-的图象关于直线3=x 对称，则函数)(x f 的值域为 .【命题意图】本题主要考查函数的对称性、函数的值域，考查转化与化归思想、数形结合思想、运算求解能力，是难题.【答案】[-36,+∞）三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）已知数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足*2()n n S a n n =+?N .（Ⅰ）求数列{n a }的通项公式；（Ⅱ）若n b =n na ，求数列{n b }的前n 项和n T .【命题意图】本题主要考查等比数列的概念、构造法求数列通项公式、错位相减法求和等，考查转化与化归思想、运算求解能力，是基础题.【解析】（Ⅰ）当n =1时，12111+==a S a ，解得11-=a ， 当2≥n 时，n a =1--n n S S =)12(21-+-+-n a n a n n ， 即121-=-n n a a ，………………2分 即)1(211-=--n n a a ，∵0211≠-=-a ，∴01≠-n a ，∴{1-n a }是首项为-2，公比为2的等比数列，………………4分 ∴1-n a =n2-，∴12+-=n n a . ………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知n b =n n n +⨯-2， ∴231212223232nn T n n =-?-?-?--?L=n n n ++++⨯++⨯+⨯+⨯- 21223222132）（，………………8分 设n n n M 223222132⨯++⨯+⨯+⨯= ，则13222)1(22212+⨯+-++⨯+⨯=n n n n n M ，两式相减得13222222+⨯-++++=-n nn n M =1221)21(2+⨯---n n n =22)1(1--+n n ， ∴n M =22)1(1+-+n n ，………………10分∵2)1(321+=++++n n n ， ∴n T =22)1(2)1(1-++-+n n n n . .………………12分 18.（本小题满分12分）中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”，为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研，人社部从网上年龄在15~65的人群中随机调查50人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：（Ⅰ）由以上统计数据填下面2´2列联表，并问是否有90％的把握认为以45岁为分界点对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；（Ⅱ）若从年龄在[45，55），[55，65]的被调查人中各随机选取两人进行调查，记选中的4人中支持“延迟退休”人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望． 参考数据：【命题意图】本题主要考查总体估计、独立性检验、离散型随机变量的分布列与期望，考查阅读理解能力、运算求解能力，是基础题.(Ⅱ)由频率分布直方图知，被调查的50人中年龄在[45,55)和年龄在[55,65]的人数都为0.01×10×50=5，其中年龄在[45,55)和年龄在[55,65]支持“延迟退休”的人数分别为2，1，故ξ的所有可能取值为0, 1,2,3, ………………………6分22342255C C 9(0),C C 50P ξ=== ()11221234342255C C C C C 1C C P ξ+===2512， ()22111242342255C C C C C 2C C P ξ+===103， 142255C (3)C C P ξ===251，……………………10分所以的分布列是所以的期望值是012350251025E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=56. ………………………12分 19.（本小题满分12分）如图，在直角三角形ABC 中，∠BAC =60°，点F 在斜边AB 上，且AB=4AF ，D ，E 是平面ABC 同一侧的两点，AD ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC ，AD =3，AC =BE =4. (Ⅰ)求证：平面CDF ⊥平面CEF ；(Ⅱ)若点M 是线段CB 的中点，求EM 与平面CEF 所成角的正弦值.ξξ【命题意图】本题主要考查空间线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定与性质及线面角的计算，考查空间想象能力、运算求解能力，是中档题.(Ⅱ)以C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系xyz C -，则)0,0,0(C ，)0,34,0(B ，)4,34,0(E ，)0,3,3(F ，)0,32,0(M ，∴=)4,34,0(，=)0,3,3(，=(0,4)--， ┄┄┄7分设平面CEF 的法向量为m =),,(z y x ，则4030CEz CFx ìï?+=ïíï?+=ïïîuur uu u rm m ，取x =1，则3-=y ，z =3，∴平面CEF 的一个法向量为m =（1，3-，3）， ┄┄┄9分 设直线ME 与平面CEF 所成的角为θ，则θsin =||||||EM EM ××uuu ruuu rm m91919， ┄┄┄11分 ∴直线ME 与平面12分20. （本小题满分12分）已知1F 、2F 分别是椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，M 是椭圆E上一点，线段M F 1的中点为N ，△O NF 1（O 为坐标原点）的周长为3，过右焦点2F 与x 轴垂直的直线与椭圆E 在第一象限交于点C，23||2=C F .(Ⅰ)求椭圆E 的标准方程；(Ⅱ)过1F 作直线l 交椭圆E 于B A ,两点，)0,5(-P ，以PB PA ,为邻边作平行四边形PAQB ，求四边形PAQB 面积的取值范围.【命题意图】本题主要考查椭圆的定义、几何性质及直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力、逻辑思维能力，是难题.21. （本小题满分12分）已知函数2()x xf x x x e=+-（其中e 2.71828=L ）. (Ⅰ)求)(x f 在))1(,1(f 处的切线方程；(Ⅱ)若函数2()ln[()]g x f x x x b =-+-的两个零点为12,x x ，证明：1()g x '+2()g x '12()2x x g +'>. 【命题意图】本题主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、导数的综合应用，考查运算求解能力、转化与化归思想，是难题. 【解析】(Ⅰ)由题意得1()+21e x x f x x -'=-，e1)1(=f ， ∴)(x f 在))1(,1(f 处的切线斜率为1)1(='f ， ∴)(x f 在))1(,1(f 处的切线方程为1e1-=-x y ，即01e e e =+--y x . ……………4分 (Ⅱ)由题意知函数()ln g x x x b =--，所以1()1g x x'=-， 因为12,x x 是函数()g x 的两个零点，所以1122ln ln x b x x b x +=⎧⎨+=⎩，相减得2211ln xx x x -=请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，点P是△ABC的外接圆O在C点的切线与直线AB的交点．（Ⅰ）若∠ACB＝∠APC，证明：BC⊥PC；2，PC＝4，求CD的长．（Ⅱ）若D是圆O上一点，∠BPC=∠DAC，AC=2，AB=2【命题意图】本题主要考查三角形相似的判定与性质、弦切角定理、切割线定理等平面几何知识，考查推理论证能力，是容易题.【证明】（Ⅰ）由弦切角定理知，∠ABC=∠ACP，∵∠ACB＝∠APC，∴△ACB∽△APC，∴∠BAC=∠CAP，∵∠BAC+∠CAP=180°，∴∠BAC=∠CAP =90°，∴BC 是圆O 的直径，又PC 是圆O 的的切线，∴BC ⊥PC . ┄┄┄5分 （Ⅱ）由切割线定理知，PB PA PC ⨯=2，即)22(42+=PA PA ， 即016222=-+PA PA ，解得22=PA （负值舍去），由弦切角定理及同弧所对的圆周角相等知，∠ACP =∠ABC =∠CDA ， ∵∠BPC =∠DAC ，∴△CAD ∽△APC ，∴CD AC AC AP =，∴22)2(22==AP AC CD =22. ┄┄┄10分23. （本小题满分10分）选修4—4 ：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：2sin 4cos ρθθ-=0，直线l 过点M (0,4)且斜率为-2.（Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，写出直线l 的标准参数方程； （Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求||AB 的值.【命题意图】本题主要考查参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程的应用，是基础题.（Ⅱ）由（Ⅰ）知直线l的标准参数方程为xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t为参数），代入24y x=整理得2200t++=，┄┄6分设BA,点对应的参数分别为1t，2t，则20,552121=-=+t ttt，┄┄8分则||AB=||21tt-.┄┄10分24. （本小题满分10分）选修4—1：不等式选讲(Ⅰ) 若a,b,均为正数，且1a b+=.证明：11(1)(1)9a b++≥；(Ⅱ)若不等式2|||3|≥--+axx的解集为}1|{≥xx，求实数a的值.【命题意图】本题主要考查简单不等式的证明、基本不等式的应用、含绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，是基础题.：。
