第八章 弯曲切应力

1 第八章 弯曲切应力 §8.1梁的切应力 横力弯曲时，在梁的横截面上剪力与弯矩同时存在。已知弯矩引起的弯曲正应力呈线性分布。这里，分析由剪力引起的弯曲切应力在横截面上的分布情况。对横截面上平行于中性轴的mm线（见图8-1a）上切应力的分布规律作以下假设： （1）各点切应力的作用线平行或交于一点，见图8-1e。由于梁的外表面上无切应力（图8-1d中的0），由切应力互等定理知，截面周边的切应力必然与周边相切。平行于中性轴的水平线与截面周边有两个交点，当这两点的切应力作用线交于一点时，该交点即为此水平线上所有切应力作用的交点，如图8-1e所示。 （2）各点切应沿剪力SF方向的分量y均相等，如图8-1e所示。用相距xd的横截面1-1

和2-2从梁中截出xd微段，如图8-1b所示。该微段两侧截面上的剪力SF相等，而弯矩分别为M和MMd。为计算横截面上距中性轴y处的切应力，在该处用纵截面mn将上述微段的下部切出得微块A，表示面，如图8-1d所示。图8-1a表示x面所示。图8-1c表示xxd面。

图8-1 梁弯曲时横截面和纵截面上的切应力 剪力SF在x面上y位置产生的切应力分量为y，根据切应力互等定理，在与横截面垂直

的nnmm面上也产生大小相等的切应力，求出也就可求出y。根据上面提到的假设（2）及xd微段很小的特点，可以认为在nnmm面上均匀分布，则可通过微块A沿x方向力的平衡求得。即nnmm面上由引起的合力，与x面和xxd面上分别由弯曲正应力和)d(引起的合力相平衡。设距中性轴为y位置处梁的宽度为b，则力的平衡条件为

11e0)dd(ddyeyAxbA

(a)

如图8-1b所示，设x面和xxd面上距中性轴位置处的应力为、d。从式(7-2)可得

zIM，zI

MMdd (b)

设x面上处的宽度为t，则该处的微面积为 ddtA

(c)

将式(b)和式(c)代入式(a)，并考虑到剪力SF和弯矩M之间的微分关系，得

11dddd1SeyeyzzAbIFA

xMbI

(d) 2

考虑到y有 bISF

zzy*S

(8-1)

式中11dd*eyeyztAS是y处平行于中性轴以外面积对中性轴的静矩。 x面上距中性轴y位置处的最大切应力m发生在切于截面边界线处。设其切线与对称轴

的夹角为m，如图8-1e所示，则

)(cosmmym (8-2)

最大弯曲切应力发生在横截面的中性轴处，该处的正应力为零。因此，最大切应力作用点处于纯剪切应力状态，所以弯曲切应力强度条件为



max

*maxSmaxbISFzz (8-3)

对于等截面直梁，上式变成 

bI

SF

zzS*maxmax

max (8-4)

对于短梁，支座附近有较大集中力作用的梁或者某些薄壁结构组合梁，则不仅要考虑弯曲正应力强度条件，还应同时考虑弯曲切应力强度条件。 必须指出，对于工字形、槽形、箱形和T形等由端部翼缘和中间腹板组合面成的薄壁截面梁，在翼缘与腹板的交界处，正应力和切应力值均较大，这种在正应力和切应力联合作用下的强度计算问题将在第八章中讨论。 1．矩形截面

AFS23max (8-5)

2．圆形截面

AFS34max (8-6)

3．薄壁圆环形截面

AFS2max

(8-7)

§8.2开口薄壁杆的弯曲切应力与弯曲中心 从前面的讨论可以知道，对于截面有对称轴的杆件，当横向载荷作用在对称平面时，才会使杆件发生平面弯曲。对于横截面无对称轴的杆件，也同样存在在何处作用横向力使杆件发生平面弯曲的问题。以图8-2所示的槽钢悬臂梁为例，由试验证实，当外力F沿y方向通过形心C作用时，梁将同时产生弯曲与扭转变形。只有外力F通过某一点A时，梁才只发生弯曲变形，A点称为截面的弯曲中心。由此可见，在横向力作用下的梁仅发生平面弯曲的条件是外力平行于形心主惯性轴，且通过弯曲中心。 3

图8-2开口薄壁杆的弯曲中心 开口薄壁杆的抗扭刚度较小，其抗扭转能力弱，较小的扭矩就会产生较大的扭转切应力，同时还将因约束扭转引起附加正应力和切应力。实体杆件和闭合薄壁杆件的抗扭刚度较大，且弯曲中心通常在截面形心附近，所以当横向力通过形心时所产生的扭矩不大，扭转变形可以忽略。因此本节主要讨论开口薄壁杆的弯曲切应力和弯曲中心问题。 首先讨论开口薄壁杆弯曲切应力的计算。图8-3a是在横向力F作用下的开口薄壁杆。力F通过截面的弯曲中心A，杆件只发生弯曲而无扭转，即截面上只有弯曲正应力和弯曲切应

力，而无扭转切应力。根据切应力互等定理，考虑截面为薄壁的特点，弯曲切应力与截面周边相切且沿壁厚均匀分布。设y、z轴为截面的形心主惯性轴，力F平行于y轴，z轴为中

性轴。从杆中截出xd长的一微块abcd，如图8-3a、b所示。侧面ab和cd上的面积为1A，其上弯曲正应力的轴向合力由下两式分别计算

图8-3开口薄壁杆的横截面上的切应力 111*N1dddAzzzzzAAzzISMAyIMAIyMAF

1*N2)d(ddAzzzzzzzISMMAyIMMF

式中*zS是侧面ab对z轴的静矩。纵向面bc上的合内力是xtd，把以上诸力代入x方向的力平衡方程有 0dN1N2xtFF

经整理后得出 4

tISFtISxMzzyzzz*S*dd

式中yFS是横截面上的平行于y轴的剪力。是纵向面bc上的切应力，由切应力互等定理知，它也就是横截面上C点的切应力

tISF

zzSy*

 (8-8)

的指向如图8-3b所示，据此可绘出横截面上切应力的分布。

下面讨论确定弯曲中心的基本方法。横截面上微内力Ad的合力为SyF。为确定SyF作用线的位置，可选取截面内任一点B为力矩中心(图8-3c)。根据合力矩定理有 AzyAraFd

S

(8-9)

式中za是SyF对B点的力臂。r是微内力Ad对B点的力臂，从上式中可解出za，就确定了

SyF的作用线位置。

同理，利用合力矩定理，可得到SzF作用线位置的方程 AySzAraFd

1

(8-10)

式中ya是SzF对B点的力臂，1是SzF在横截面上产生的切应力。由上式解出ya就确定SzF作用线位置。因为SyF、SzF都通过弯曲中心，两者的交点就是弯曲中心A。表8-1给出了工程中常用一些截面的弯曲中心位置。 表8-1 几种截面的弯曲中心位置 截 面 形 状 弯曲 中心 位置 zItbhe422 02re 两狭长矩形中线的交点 与形心重合

§8.3 等强度梁 抗弯截面模量与外力产生的弯矩成正比的梁称为弯曲等强度梁。这样的梁按下式计算

][)()(xMxW (8-11)

一、宽度不变而高度变化的梁 弯曲等强度梁任意截面上的最大正应力均等于许用应力][，例如，图8-4所示宽度b不变而高度)(xh变化的悬臂梁为一等强度梁，其中)(xh可由公式(8-11)求出。因此，由



FxxMxbhxW][)(6)()(2

(8-12)

解得 xbFxh][6)( (8-13)

可见，梁的高度按照抛物线规律变化，其最大值在固定端，为 5

][6)(0bFllhh (8-14)

按照（8-12）式，在加力点)0(x，0)0(h。这时，应按剪切强度条件确定该处的截面高度，即

][2323maxbhFA

F (8-15)

因此解得

][23bFh (8-16)

抛物线外形的梁，从节约材料的角度看总是有利的，由于制造工艺复杂，除精密机械采用外，实际上很少应用。

图8-4 二、高度不变而宽度变化的梁 在工程上经常采用一种等高度h而变宽度)(xb的弯曲等强度梁（图8-5）

图8-5 梁宽)(xb的变化规律，由(8-11)式求得。这时，

][2][)(6)()(2FxxMhxbxW (8-17)

由此得到线性关系： xhFxb][3)(2 (8-18)

当2lx时有，