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工程与材料力学第11章-弯曲应力

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工程力学第17讲 弯曲应力：正应力 惯性矩(完整)

工程力学第17讲 弯曲应力：正应力 惯性矩(完整)
第 11 章 弯曲应力
本章主要研究：

单辉祖:工程力学
对称弯曲正应力 对称弯曲切应力 梁的强度分析与设计 非对称弯曲应力
1
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7
引言 对称弯曲正应力 惯性矩与平行轴定理 对称弯曲切应力 梁的强度条件 梁的合理强度设计 双对称截面梁的非对称弯曲
单辉祖:工程力学
Ai yCi AyC
yC

i 1
n
A y
i 1
n
i Ci
21
A
A1 yC 1 A2 yCb 2 2
bd db
0.045 m
3. 惯性矩计算
I z I z1 I z 2
2
bd 3 d 3.0210 -6 m4 I z1 bd yC 12 2
d b3 b I z2 db d yC 5.8210 -6 m4 12 2
I z I z 1 I z 2 8.8410 6 m 4
2
4. 最大弯曲正应力
M B yC 30.5 MPa Iz M ( b d yC ) s c,max B 64.5 MPa Iz
dA 0 (b) F x 0 , s A M z 0, A ysdA M (c)
10
物理方面:
s ( y ) E ( y )
单辉祖:工程力学
s E
y

(a)
sdA 0 A
(b)
A ysdA M
yC y dA A 0 A
(c)
(a)(b)
A ydA 0
2
§1 引 言
弯曲应力与对称弯曲 本章内容

材料力学C11_交变应力

材料力学C11_交变应力
M 70 50 M
对称循环，r=-1 ②查图表求各影响系数，计算构件持久限。 求K：
D r 1.4 ; 0.15 ; b 600MPa 查图 d d 求 ：查图得 0.79
r=7.5
K 1.4
求 ：表面精车， =0.94 0 1 0.79 0.94 1 250 69.8MPa 1 1
第11章 交变应力
11.1 交变应力与疲劳失效 11.2 交变应力的循环特征、应力幅和平均应力 11.3 持久极限 11.4 影响持久极限的因素 11.5* 对称循环下构件的疲劳强度计算 11.6* 持久极限曲线 11.7* 不对称循环下构件的疲劳强度计算 11.8* 弯扭组合交变应力的强度计算 11.9* 变幅交变应力 11.10 提高构件疲劳强度的措施 11.* 习题**
2 max min 应力幅(~ Amplitude)： a 2 min 循环特征、 r max /应力比(~ ratio)：
5特征量仅2个独立，如m+a 或max+r
不稳定
max m min max m min a
t t
a
对称循环(symmetric reversed
加工方法 磨 削 车 削 粗 车 未加工的表面 轴表面粗糙度 Ra／m 0.4～0.2 3.2～0.8 1.25～6.3
b／MPa
400 1 0.95 0.85 0.75 800 1 0.90 0.80 0.65 1200 1 0.80 0.65 0.45
下降明显
b高者
表面越差，下降越多 b越高，影响越显著
m， ra
K
1
a rm m
a rm

材料力学——弯曲应力

材料力学——弯曲应力

公式推导
线应变的变化规律 与纤维到中性层的距离成正比。
从横截面上看： 点离开中性轴越远，该点的线应变越大。
2、物理关系
当σ<σP时 虎克定律
E
E
y
y
弯曲正应力的分布规律 a、与点到中性轴的距离成正比； 沿截面高度 线性分布； b、沿截面宽度 均匀分布； c、正弯矩作用下， 上压下拉； d、危险点的位置， 离开中性轴最远处.
M max ymax IZ
x
67.5 103 90 103 5.832 105
104.17MPa
6、已知E=200GPa，C 截面的曲率半径ρ q=60KN/m A FAY B 1m C 3m FBY
M C 60kN m
I z 5.832 105 m 4
M EI
4 103 88 103 46.1MPa 6 7.64 10
9KN
4KN
C截面应力计算
A FA
M 1m
C 1m
B
1m FB
C截面应力分布 应用公式
t ,max
My Iz
2.5KNm
2.5 103 88 103 28.8MPa 6 7.64 10
Fb Fa
C截面： max M C Fb3 62.5 160 32 46.4MPa d W 3
zC
2
0.13
32
（5）结论 轮轴满足强度条件
一简支梁受力如图所示。已知 [ ] 12MPa ，空心圆截面 的内外径之比 一倍，比值不变，则载荷 q 可增加到多大？ q=0.5KN/m A B
反映了截面的几何形状、尺寸对强度的影响
最大弯曲正应力计算公式

材料力学弯曲剪应力

材料力学弯曲剪应力

F* N2
自由边 t1 t1
A* F* dx
N1
u
但是，如果从长为dx的梁段 中用铅垂的纵截面在翼缘上截取如 图所示包含翼缘自由边在内的分离 体就会发现，由于横力弯曲情况下 梁的相邻横截面上的弯矩不相等， 故所示分离体前后两个同样大小的 部分横截面上弯曲正应力构成的合 力FN*1 FN*2
和 不相等，因而铅垂的纵截
Iz S*
z ,max
d
75103 N 47.73 102m 12.5 103m
12.6 106 Pa 12.6 MPa
例题 4-13
2. 求ta ta
其中：
FS
,max
S
* za
Izd
S
* za
166
mm
21
mm
560 mm 2
21
mm 2
940 103 mm3
于是有：
ta
FS
S
* z
Izb
§5.7 梁的切应力
3.切应力分布规律
t
FS
S
* z
FS ( h 2 y 2 )
I zb 2I z 4
6FS bh3
h 2 4
y2
S* z
A*
y* C
b
h
y
y
h 2
y
2
2
b 2
h2 4
y2
Iz
bh3 12
b
F
S
h y
t
y
z
t max
t
t max
3 2
FS bh
规律变化的。
思考题: 试通过分析说明，图a中
所示上、下翼缘左半部分 和右半部分横截面上与腹 板横截面上的切应力指向 是正确的，即它们构成了 “切应力流”。

第11章材料力学弯曲应力练习题

第11章材料力学弯曲应力练习题
mpa132804012301010118图示简支粱由no28工字钢制成在集度为q的均布载荷作用下测得横截面c底边的纵向正应变30104试计算梁内的最大弯曲正应力已知钢的弹性模量e200gpaa1m
11—5（a） 试计算图示截面对水平形心轴z的惯性矩。
解： （1）确定形心轴位置
yC A2 C 60 Wz 4Wz
可得：
60 4Wz q 240Wz 2 a
1 2 qa 4
3、计算梁内最大弯曲正应力； 由弯矩图得：
M max 9 qa 2 32
1 2 qa 4
所以梁内最大弯曲正应力：
max
M max 9 240Wz 67.5MPa Wz 32Wz
FN 12103 2、计算应力； N MPa A 5 (40 x)
M
M 6 103 x MPa W 1 5 (40 x) 2 6
3、根据强度条件；
N M
12 103 6 103 x 100 5 (40 x) 1 5 (40 x) 2 6
2、计算最大弯曲正应力； 最大弯矩在固定端。；
M max 7.5 103 103 6 max 176MPa 2 Wz 40 80
3、计算固定端k点处弯曲正应力；
M max yk 7.5 103 103 3012 k 132MPa 3 Iz 40 80
结论:
c=146.9mm
3
A截面的强度足够。
11—17 外伸梁承受载荷F作用，已知载荷F=20 kN，许用应力[σ]＝160 MPa，许用切应力[τ] ＝90 MPa，试选择工字钢型号。
解： 1、绘制剪力图、弯矩图；

材料力学 第11章 组合变形习题集

材料力学 第11章 组合变形习题集

横截面m-m上任一点C(y，z)处由 弯矩Mz和My引起的正应力分别为
M z y M cos y M y z M sin z
Iz
Iz
Iy
Iy
38
C点的正应力
' ''
M
cos
Iz
y
sin
Iy
z
悬臂梁固定端截面A的弯矩Mz和My 均达到最大值，故该截
面是危险截面。设yo、zo为中性轴上任一点的坐标，并令σ
算 圆轴表面上与轴线成30°方位上的正应变。
32
解: (1)由内力图知，所有截面均为危险截面，危险点为靠近
轴表面的各点，应力状态如图。计算危险点的主应力。轴力
引起的正应力
FN 4F
A πd 2
扭矩引起的切应力
T M 8F
Wp Wp 5πd 2
危险点处的主应力为
1
2
(
)2
( )2
它在y、z两轴上的截距分别为
y* z* h / 2
该截面惯性半径的平方为
iy2
Iy A
h2 12
iz2
Iz A
b2 12
28
中性轴①对应的核心边界上点1的坐标为
ey1
iz2 y*
0
ez1
iy2 z*
h 6
按上述方法可求得与它们对应的截面核
心边界上的点2、3、4，其坐标依次为：
ey2
b 6
ez2 0
车臂的直径d。
18
解：两个缆车臂各承担缆车重量的一半，如 图。则缆车臂竖直段轴力为FN=W/2=3kN 弯矩为M=Wb/2=540N·m 危险截面发生在缆车臂竖直段左侧，由强度条件

第11章 深受弯构件


a)正截面弯曲破坏
b)斜截面弯曲破坏 图11-1 简支深梁的弯曲破坏
c)拉杆拱受力图式
§11-1深受弯构件
（2）剪切破坏 ( 较高) 1) 斜压破坏
2) 劈裂破坏
（a）斜压破坏
（b）劈裂破坏
（3）局部受压和锚固破坏
§11-1深受弯构件
二、短梁的受力性能
（1）弯曲破坏 适筋梁破坏 少筋梁破坏 超筋梁破坏 （2）剪切破坏 斜压破坏 （m＜1） 剪压破坏 （m＝1～2.5） 斜拉破坏 （m>2.5） （3）局部受压和锚固破坏
第11章 深受弯构件
深受弯构件
基本概念和应用
浅梁(普通受弯构件)
P
P h
l / h ＞5 l / h≤5
l 深受弯构件
l / h≤2
（简支梁）
l / h ≤ 2.5 （连续梁） 2 ＜l / h ≤ 5 （简支梁） 2.5 ＜l / h ≤ 5（连续梁）
深梁
深受弯构件
短梁
深受弯构件
基本概念和应用
图11-8 撑杆计算高度 a)盖梁立面示意图 b)盖梁侧面示意图
0Td fsd As
（11-10）
3.抗剪承载力计算
可按一般钢筋混凝土受弯构件计算。
§11-2 深受弯构件的计算
图11-3 柱式墩台示意图 a)正面图 b)侧面图
§11-2 深受弯构件的计算
一、深受弯构件（短梁）的计算
1. 深受弯构件的正截面抗弯承载力计算
fsd As C
0Md Mu fsd As z
l z (0.75 0.05 )( h0 0.5 x) h
深受弯构件
基本概念和应用
深受弯构件

弯曲应力-材料力学


弯曲应力的计算方法
根据材料力学的基本原理，弯曲应力 的计算公式为：σ=M/Wz，其中σ为 弯曲应力，M为弯曲力矩，Wz为截面 对中性轴的抗弯截面系数。
另外，根据不同的弯曲形式和受力情 况，还可以采用其他计算公式来求解 弯曲应力，如均布载荷下的简支梁、 集中载荷下的悬臂梁等。
弯曲应力的计算方法
根据材料力学的基本原理，弯曲应力 的计算公式为：σ=M/Wz，其中σ为 弯曲应力，M为弯曲力矩，Wz为截面 对中性轴的抗弯截面系数。
弯曲应力可能导致材料发生弯曲变形，影响结构的稳定性和精度。
弯曲应力对材料刚度的影响
弯曲应力对材料的刚度有影响，材料的刚度随着弯曲应力的增大而 减小。
弯曲应力与剪切应力的关系
1 2
剪切应力在弯曲应力中的作用
在弯曲过程中，剪切应力会在材料截面的边缘产 生，它与弯曲应力相互作用，影响梁的承载能力 和稳定性。
弯曲应力
材料的韧性和强度都会影响其弯曲应力的大小和分布。韧性好的材料能够更好地分散和 吸收弯曲应力，而高强度的材料则能够承受更大的弯曲应力而不发生断裂。
材料韧性、强度与弯曲应力的关系
韧性
是指材料在受到外力作用时吸收能量的能力。韧性好的材料能够吸收更多的能量，从而 减少因弯曲应力而产生的脆性断裂。
强度
剪切应力的分布
剪切应力在材料截面的边缘最大，向中性轴方向 逐渐减小。
3
剪切应力和弯曲应力的关系
剪切应力和弯曲应力共同作用，影响梁的承载能 力和稳定性，在设计时需要考虑两者的相互作用。
弯曲应力与剪切应力的关系
1 2
剪切应力在弯曲应力中的作用
在弯曲过程中，剪切应力会在材料截面的边缘产 生，它与弯曲应力相互作用，影响梁的承载能力 和稳定性。

《材料力学弯曲》课件

定义方式
弯曲应变通常用曲率半径的变化量与原始曲率半径的比值来表示，即 ΔR/R。其中 ΔR 是曲率半径的变化量，R 是原始曲率半径。
弯曲应变的计算
应变计法
通过在物体上粘贴应变片 ，并利用应变计测量应变 值，从而计算出弯曲应变 。
有限元分析法
利用有限元分析软件，建 立物体的有限元模型，通 过模拟受力情况下的变形 过程，计算出弯曲应变。
实验法
通过实验测试物体的弯曲 变形，利用相关公式计算 出弯曲应变。
弯曲应变的分布
应变分布图
通过绘制应变分布图，可以直观地了 解物体在弯曲变形过程中应变的大小 和分布情况。
应变集中
应变梯度
在弯曲变形过程中，物体不同部位上 的应变大小和方向可能不同，形成应 变梯度。
在物体受力点附近区域，应变会集中 增大，可能导致材料疲劳或断裂。
材料力学的重要性
总结词
材料力学在工程设计和实践中具有重要意义。
详细描述
在工程设计和实践中，材料力学是必不可少的学科之一。通过对材料力学的研究 ，工程师可以更好地理解材料的性能，预测其在各种工况下的行为，从而设计出 更加安全、可靠、经济的工程结构。
材料力学的基本假设
总结词
材料力学基于一系列基本假设，这些假设简 化了问题的复杂性，使得分析更为简便。
学习目标
01
02
03
04
掌握材料力学的基本概念、原 理和分析方法。
理解弯曲问题的特点和解决方 法。
能够运用所学知识解决简单的 弯曲问题。
培养分析问题和解决问题的能 力，提高力学素养。
02
材料力学基础
材料力学的定义
总结词
材料力学是一门研究材料在各种 力和力矩作用下的行为的学科。

材料力学--弯曲正应力及其强度条件


C
E
15 106 200 109
7.5 105
q 40 kN / m
A
C
1.5 m
1.5 m
B 300 200
例21：图示木梁，已知下边缘纵向总伸
长为 10 mm，E=10GPa，求载荷P的大小。
P
300
A
C
B 200
2m
2m
解： AC
l/2
(x) dx
0
l/2 (x) d x l/2 M ( x) d x
1m
例20：简支梁受均布荷载，在其Ｃ截面
的下边缘贴一应变片，已知材料的 E=200GPa，试问该应变片所测得的应变 值应为多大？
q 40 kN / m
A
C
1.5 m
1.5 m
B 300 200
解：C截面的弯矩
ql2 MC 8 45kN m
C截面下边缘的应力 C
MC Wz
15MPa
应变值
P
y1
y2
Cz
解：
max
M max y1 Iz
[ ]
(1)
max
M max y2 Iz
[ ]
(2)
(1) 得： y1 [ ]
(2)
y2 [ ]
例16：图示外伸梁，受均布载荷作用，
材料的许用应力［σ］=160 MPa，校核 该梁的强度。
10 kN / m
2m
4m
200 100
10 kN / m
变形几何关系 从三方面考虑： 物理关系
静力学关系
1、变形几何关系
m
mn
m
aa
bb
mn
m
m
观察到以下变形现象: (1)aa、bb弯成弧线，aa缩短，bb伸长 (2)mm、nn变形后仍保持为直线，且仍与变为
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3. 惯性矩计算
Iz = Iz1 + Iz2
I z1
=
bδ 3 12
+ bδ

yC
−δ2
2
= 3.02×10-6
m4
I
z
2
= δb 3 12
+δb δ
+
b 2
−
yC
2
= 5.82×10-6
m4
I z = I z1 + I z2 =8.84×10−6 m4
4. 最大弯曲正应力
σ
t,max
本章主要内容
l 对称弯曲正应力 l 对称弯曲切应力 l 弯曲强度计算与合理强度设计 l 双对称截面梁非对称弯曲
应力与强度 l 弯拉（压）组合应力与强度
§2 对称弯曲正应力
r 弯曲试验与假设 r 对称弯曲正应力公式 r 例题
r 弯曲试验与假设
弯 曲 试 验
试验现象 （纯弯与正弯矩作用）
u 横线为直线, 仍与纵线正交 v 靠顶部纵线缩短, 靠底部纵
90kN 2. C 截面上K点正应力
x
σK
=
M C ⋅ yK IZ
=
60 ×103 × (180 − 30) ×10−3 2
5.832 ×10−5
= 61.7 ×106 Pa = 61.7MPa （压应力）
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
3. C 截面最大正应力
120
C 截面弯矩
B
x
180
第 11 章 弯曲应力
本章主要研究：
l 对称弯曲正应力 l 对称弯曲切应力 l 梁的强度分析与设计 l 非对称弯曲应力 l 弯拉(压)组合问题
§1 引言 §2 对称弯曲正应力 §3 惯性矩与平行轴定理 §4 对称弯曲切应力 §5 梁的强度条件 §6 梁的合理强度设计 §7 双对称截面梁的非对称弯曲 §8 弯拉(压)组合
§1 引 言
r 弯曲应力与对称弯曲 r 本章内容
r 弯曲应力与对称弯曲
弯曲应力 l 弯曲正应力 梁弯曲时横截面上的σ l 弯曲切应力 梁弯曲时横截面上的τ
对称弯曲
对称截面梁，在纵向对称面承受横向外力时的受力与 变形形式－对称弯曲
r 弯曲应力与对称弯曲
梁的纵向对称面： 梁的横截面竖向对称轴与梁的轴线组成的平面。
=
bh2 6
空心矩形截面
IZ
=
b0h03 12
−
bh3 12
WZ
=
( b0h03 12
−
bh3 12
) /(h0
/
2)
r 平行轴定理
平行轴定理
建立 Iz 与 Iz0 的关系
Iz = ∫A y2dA Iz = ∫A( y0 + a)2dA
Iz = ∫A y02dA + 2a∫A y0dA + Aa2
z 3.全梁上最大正应力
FBY
y
FS 90kN
(+ ) (− )
(+)
M ql2 / 8 = 67.5kN⋅ m
解：1. 求支反力
FAy = 90kN FBy = 90kN
M C = 90×1− 60×1× 0.5 = 60kN ⋅ m
x
IZ
=
bh3 12
=
0.12× 0.183 12
= 5.832 ×10−5 m4
=
M B yC Iz
= 30.5
MPa
σ
c,max
=
M
B
(
b+δ Iz
−
yC
)
=
64.5
MPa
例 3-3 已知：钢带厚 δ = 2mm, 宽 b = 6mm, D=1400mm, E=200GPa。试计算：带内的 σmax 与 M
解：1. 问题分析 已知钢带的变形（轴线曲率 半径），求钢带应力与内力
r 静矩与惯性矩
静矩
∫ Sz =
ydA = AyC
A
[L]3
－截面对z轴的静矩
n
n
∑ Sz = Sz i = ∑ Ai yCi
i =1
i =1
n
∫ ∑ Sy =
zdA=
A
AzC
S y = Ai zCi
i =1
惯性矩
Iz = ∫A y2dA [L]4
－截面对 z 轴的惯性矩
n
Iz = ∑ Izi
i=1
∫σdA = 0 (b) A
∫ yσdA = M (c) A
(a)→(b)
∫ ydA=0 A
∫ ydA
yC =
A
A
=0
中性轴通过横截面形心
(a)→(c)
∫E y2dA= M
ρA
∫ Iz = y2dA－截面对z轴的惯性矩 A
1= M ρ EI z
(d)
EIZ－弯曲刚度
(d)→(a)
σ ( y)= My Iz
中性轴与形心轴
中性轴－横截面受拉与受压区的分界线 形心轴－通过横截面形心的坐标轴
截面弯曲刚度与抗弯截面系数 弯曲刚度EI－代表梁截面抵抗弯曲变形的能力 抗弯截面系数Wz－代表梁截面几何性质对弯曲强度 的影响
r 例题
例 2-1 梁用№18 工字钢制成，Me=20 kN•m, E=200 GPa。 试计算：最大弯曲正应力σmax ，梁轴曲率半径 ρ
w 正应力公式： σ ( y) = My
Iz
σ
max
=
M Wz
（Wz － 抗弯截面系数）
x 应用条件： σ max ≤σ p , 对称弯曲 , 纯弯与非纯弯
一些易混淆的概念
对称弯曲与纯弯曲 对称弯曲－对称截面梁，在纵向对称面承受横向外 力时的受力与变形形式 纯 弯 曲－梁或梁段各横截面的剪力为零弯矩为常 数的受力状态
∫ I z0 = A y02dA
∫A y0dA = 0
I z = I z0 + Aa2
同理得： I y = I y0 + Ab2
Cy0z0－形心直角坐标系 Oyz －任意直角坐标系
二者平行
例
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
120
1.C 截面上K点正应力
180
B
K
x
30 2.C 截面上最大正应力
τ
max
=
3 2
FS A
截面翘曲与非纯弯推广
切应力非均布 → 切应变非均布 → 截面翘曲 l 当FS=常数时， ab = a'b' ，弯曲 σ 仍保持线性分布 l 当梁上作用横向分布载荷时，只要 l > 5h，纯弯σ
线伸长 Ž 纵线伸长区,截面宽度减小
纵线缩短区, 截面宽度增大
弯曲假设
u 横截面变形后保持平面，仍与纵线正交－弯曲平 面假设
v 各纵向“纤维”处于单向受力状态－单向受力假设
推论 u 梁内存在一长度不变的过渡层－中性层 中性层与横截面的交线－中性轴
v 中性轴⊥截面纵向对称轴 w 横截面间绕中性轴相对转动
=
2 5.832 ×10−5
= 104.17 ×106 Pa = 104.17MPa
M ql2 / 8 = 67.5kN⋅ m
r 例题
例 3-2 已知：F=15 kN, l=400 mm, b=120mm, δ=20mm 试计算：截面 B-B 的最大拉应力σt,max与压应力σc,max
解：1. 弯矩计算
解：1. 工字钢（GB 706-1988） 一种规范化、系列化的工字形截面的标准钢材 №18 工字钢：
I z = 1.66 × 10−5 m4 Wz = 1.85 × 10−4 m3
I z = 1.66 × 10−5 m4 Wz = 1.85 × 10−4 m3
Me=20 kN•m，E=200 GPa，求 σmax 与 ρ
σ
max
=
Mymax Iz
Wz
=
Iz ymax
－抗弯截面系数
σ
max
=M Wz
总结
假设 平面假设，单向受力假设
综合考虑三方面
ε
(
y)=
y ρ
结论
σ ( y)= Eε ( y)
∫ ∫ σdA=0 yσdA= M
A
A
u 中性轴位置：中性轴过截面形心
v 中性层曲率：1 = M
ρ EI z
（I z －惯性矩） （EI z － 截面弯曲刚度）
u 应力～变形关系：
σ =E y ρ
∴
σ max
=
E
ymax ρ
v 内力～变形关系：
1= M ρ EIz
∴
M
=
EI z ρ
带厚 δ=2 mm, 宽 b= 6mm, D = 1400mm,
E = 200GPa，求 σmax 与 M
2. 应力计算
σ max
=
E
ymax ρ
ρ = D + δ = 0.701 m 22
σ ( y)= Eε ( y)
σ
(
y)=
E
y ρ
(a)
r 对称弯曲正应力公式
应力的分布图： M
σ = E ε = Ey ρ
z 中性轴 M
x
Z
σmax
y
σmax
y
中性轴的位置？
中性层的曲率
1 =？ ρ
1 ρ 为梁弯曲变形后的曲率
M Z 静力方面：
y
由横截面上的弯矩和正应力
zAσdA x 的关系→正应力的计算公式。
2. 应力计算