常数项级数的概念和性质

而级数 r m 1uN 1收敛,
m 1
,
m 1
uN 1 ,

uN m
部分和数列
i 1
n
s1 u1 , s2 u1 u2 , s3 u1 u2 u3 ,, sn u1 u2 un ,
2. 级数的收敛与发散:
当n 无限增大时 , 如果级数 un 的部分和
n 1
数列sn 有极限 s , 即 lim sn s 则称无穷级数
5 1 故 n 5 1 6. 2 n1 n( n 1)

性质3. 在级数中去掉、加上或改变有限项, 不会
影响级数的敛散性. 证: 将级数 的部分和为
n 1
un 的前 k 项去掉,
n

所得新级数
n uk l S k n S k
un1 N , 当n N时, 有 , un
un1 即 un
(n N )
当 1时, 取 1 ,
使r 1,
uN 2 ruN 1 ,
uN m r
m 1
uN 3 ruN 2 r 2 uN 1 ,
1 (1) sin ; n n 1


6.比值审敛法(达朗贝尔 D’Alembert 判别法)：
un 1 (数或 ) 设 un 是正项级数,如果 lim n u n 1 n
则 1时级数收敛; 1 时级数发散; 1 时失效.

证明 当为有限数时, 对 0,
n 1
正项级数收敛 部分和所成的数列 sn有界.
3.比较审敛法 设 un和 vn均为正项级数，
n 1


且 un vn ( n 1, 2,) ,若 vn 收敛,则 un 收敛； 反之，若 un 发散，则 vn 发散.

n 1 n 1

n 1

证明 (1) 设 vn un vn ,
收敛 发散
四、级数收敛的必要条件
设收敛级数 证: un S n S n 1 则必有
lim u n lim S n lim S n 1 S S 0
n n n
可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 . 例如, 其一般项为
不趋于0, 因此这个级数发散.
a aq a aqn , 1 q 1 q 1 q
n
a sn 当q 1时, lim q 0 lim n 1 q 收敛 n
n n lim q lim sn 当q 1时, n n
发散
如果 q 1时
当q 1时,
n dx 1 设 p 1, 由图可知 p n1 p n x 1 1 1 sn 1 p p p 2 3 n 2 dx n dx o 1 1 p n1 p x x
y
y
Байду номын сангаас
1 ( p 1) xp
1
2
3
4
x
1 1
n
dx 1 1 1 (1 p1 ) 1 p 1 x p1 n p1
sn na
发散
当q 1时, 级数变为a a a a
lim sn不存在
n
发散
当q 1时, 收敛 综上 aq n 0 当q 1时, 发散
n
例2
判别无穷级数 22 n 31 n 的收敛性.
n 1

解
4 un 2 3 4 , 3
n 1
n 1

n 1
且 sn u1 u2 un v1 v2 vn ,
即部分和数列有界

un收敛. n 1

(2) 设 sn (n ) 且 un vn ,
则 n sn

推论: 若
不是有界数列 定理证毕.
vn发散. n 1
n 1
为原级数部分和 则新级数的部分和序列 序列 S n ( n 1 , 2 , )的一个子序列, 因此必有
S
推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散.
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注意
收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.
例如 (1 1) (1 1)
1111
(n N )
由比较审敛法的推论, 得证.
5.极限审敛法：
设
un 为正项级数, n 1
n n

如果 lim nun l 0 (或lim nun ), 则级数
u
n 1


n 发散;
如果有 p 1 , 使得lim n p un 存在,
n
则级数
u
n 1
即 A a1 a2 an 1 3 3 3 3 2. n 3 10 100 1000 10
二、级数的概念
1. 级数的定义:

一般项 (常数项)无穷级数
un u1 u2 u3 un n1
级数的部分和
sn u1 u2 un ui

级数
n 1

1 发散. n( n 1)
4.比较审敛法的极限形式:
un l, 设 un 与 v n 都是正项级数, 如果 lim n v n n 1 n 1




则(1) 当 0 l 时, 二级数有相同的敛散性;
(2) 当 l 0 时，若
v n 收敛, 则 un 收敛; n 1
即sn有界,
则P 级数收敛.
当p 1时, 收敛 P 级数 当p 1时, 发散
重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数.
例 2 证明级数
证明

n 1

1 是发散的. n( n 1)
1 1 , n( n 1) n 1
1 而级数 发散, n 1 n 1
1 1 1 sn 1 3 3 5 ( 2n 1) ( 2n 1)
1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) 2 3 2 3 5 2 2n 1 2n 1
1 1 (1 ), 2 2n 1
1 1 lim sn lim (1 ) n n 2 2n 1
n
u
n 1

n
收敛 , 这时极限 s 叫做级数
u
n 1

n
的和. 并
写成 s u1 u2 u3
如果sn 没有极限,则称无穷级数
u
n 1

n 发散.
即 常数项级数收敛(发散) lim sn 存在(不存在)
n
余项 rn s sn un1 un 2
n 1


(3) 当 l 时, 若
v n 发散,则 un 发散;
n 1 n 1


un 证明 (1) 由lim l n v n
l 对于 0, 2
l un l N , 当n N时, l l 2 vn 2
l 3l 即 vn un vn 2 2
n 收敛.
例 3 判定下列级数的敛散性:
1 (2) n ; n 1 3 n 1 sin n 1, 原级数发散. 解 (1) lim n sin 1 lim n n n 1 1 n n 1 3 n 1, lim ( 2) lim n 1 n n 1 n n 3 3 1 n收敛 , 故原级数收敛. n 1 3
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注意: lim u n 0 并非级数收敛的充分条件.
n
例如, 调和级数 虽然 但此级数发散 .
事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则
1 1 1 1 1 n 但 S 2n S n n 1 n 2 n 3 2n 2 n 2
矛盾! 所以假设不真 .
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五、小结
常数项级数的基本概念
基本审敛法
1.由定义,若sn s ,则级数收敛;
2.当lim un 0 ,则级数发散;
n
3.按基本性质.
一、正项级数及其审敛法
1.定义: 如果级数 un中各项均有 un 0，
这种级数称为正项级数. 2.正项级数收敛的充要条件: s1 s2 sn 部分和数列 { sn } 为单调增加数列. 定理
1 , 2
1 级数收敛, 和为 . 2
例4. 判别级数
解:
的敛散性 .
故原级数收敛 , 其和为
三、基本性质
性质 1 如果级数
u
n 1

n
收敛,则 kun 亦收敛.
n 1

结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变.
性质 2 设两收敛级数s

un , v n , n 1 n 1

u
n 1

n 收敛(发散)
且v n kun ( n N )( kun v n ) , 则
v n 收敛(发散). n 1

比较审敛法的不便: 须有参考级数.
例 1 讨论 P-级数
1 1 1 1 1 p p p p 的收敛性.( p 0) 2 3 4 n 1 1 设 p 1, p , 则P 级数发散. 解 n n