复变函数与积分变换学习指导(第一章)

1 第一章 复数与复变函数 本章首先引入复数域与复平面的概念，其次引入复平面上的点集、区域、Jordan曲线以及复变函数的极限与连续等概念。

第一节 复 数 一.复数的表示

1. 2.欧拉公式 3.虚数 纯虚数 且

4.模 辐角 主辐角

5. 与 的关系

当 时， 例1 求 及 解 2

注意： 一般有两种含义，一种是指非零复数无穷多辐角中的一 个，另一种是指落在之间的主辐角。具体在题目中是指 哪一种含义，需要根据上下文来确定，一般是指主辐角。

二.复数的运算 复数可以看作与复平面上的点对应,也可以看作是与平面上的向量相对应。 1.加法 （遵循平行四边形法则） 2.减法 （遵循三角形法则） 3.乘法 设

4.除法

5.乘方 3

注意： 6.开方 (即求 的根)

例2 计算 解

故 故 例3 解方程 解 由 有 故 三.共轭复数

1. 4

2. 3. 4.

例 P38.4 证明 并说明其几何意义。 证

几何意义:平行四边形两条对角线长的平方和等于四条边长的平方和。 例 P38.5

设 三点适合条件 及 试证 是一个内接于单位圆周 的正三角形的顶点。

证 由 知,位于单位圆周上,故只须证 为正三角形的顶点即可。 由 得 又 （由上题结论知）， 故 即 。 同理可得 ，故得证。 5

四.常用不等式 1. 2. 五.直线与圆的复方程

1.过 的直线的实方程为

当 时，表示 之间的直线段，因此 的直线段的 复方程为 过 的直线的复方程为

2. 三点共线 3. 的中垂线方程为 。 4.以 为心， 为半径的圆周方程为 。 例 P35.7 证明：复平面上的直线方程可写成 其中 为非零复常 数， 为实常数。

证 任给实直线方程 令代入化简得 令 即得 反之，设有方程

令 则得 为一直线。 6

例 P39.13 试证 在负实轴上（包括原点）不连续，除此之外在复平面上处处连续。

证 1）当 时， 无意义，故 在原点不连续。

2）若 为负实数，则 ，当 由负实轴的下方趋于 时, 故在负实轴上任意一点上都不连 续；

3）对任意且不在负实轴上，，取中心在,不包 含负实轴上的点，但整个包含在张角为 的角形内的最大圆,

半径当时,总有

第二节复平面上的点集 一.基本概念

1. 的 的邻域 。 2. 的去心邻域—— 。 3.内点——若 有一个邻域全含于 ，则 为 的内点。 4.外点——若 且 不是 的聚点。 5.边界点——若 的任意邻域内既有属于 的点又有不属于 的点，则 为 的边界点。

6.聚点（极限点）——若 的任意邻域内都含有 的不同于 的点，则 为 的聚点。

7.孤立点——若但 不是 的聚点，则 为的孤立 点。

8.开集——若 的点都是内点，则 为开集。 7

9.闭集——若 的每一个聚点都属于 ，则 为闭集。 10.区域—— 为区域即为连通开集，指为开集且中的任意 两点可用全含于 中的折线连接起来。

11.闭域——区域 以及它的边界。 12.单连通区域——若 为区域，且在 内无论怎样划简单闭曲 线，其内部都全含于 （即没有“洞”的区域）。

13.多连通区域——非单连通的区域。如 例 设 为单位圆内非实数的点集，求 的内点.外点.边界点.聚 点和孤立点。

解 为开集，其内点就是它本身；外点集 ；边界 ；聚点集 ； 没有孤立点。

二.平面曲线

1.连续曲线 ——由所确定的平面点 集,记为,其中是实 变数 的两个实函数，在 上连续，起点为，终点 为 ；当,则点 称为 的重点。 2.简单曲线（Jordan曲线）——无重点的连续曲线。 3.简单闭曲线——起点和终点重合的简单曲线。 简单闭曲线的方向——规定为逆时针正方向，顺时针为负方向。

4.可求长的连续曲线——，若对任意实数列 存在，则称 为可求长曲线，并记 为曲线 的长度。

5.光滑（闭）曲线—— 在都存在.连续且不全为零 为闭曲线且 。 8

6.逐段光滑曲线——有限条光滑曲线衔接而成的连续曲线。 7.基本结论 连续曲线是平面上的有界闭集。 逐段光滑曲线必是可求长曲线（但简单曲线却末必可求长）。

为可求长 均为 上的有界变差函数。 是光滑曲线, 则必是上的绝对连续函数。 定理1.1（Jordan定理） 任一简单闭曲线 将复平面唯一地

分成 . . 三个点集，它们具有以下性质： （1）彼此不交；

（2） 是一个有界区域，称为 的内部； （3） 是一个无界区域，称为 的外部； （4）若简单折线 的一个端点属于,另一个端点属于 ，则 必与 有交点。

第三节 复变函数 一.复函数的概念 1.定义 设为一复数集,若按一对应规律,使中每一个复数都有 唯一的复数与之对应,则在上定义了一个单值函数； 若中的每一个,对应几个或无穷多个复数,则在上定义一个 多值函数。

2.定义 若对平面上点集的任一点,有平面上点集的点, 使得 ,则称 把 变(映)入 (简记为

),或称 是 到 的入变换。 若,且对任一点,有的点,使得,则称 把变(映)成,简记为,或称是 到 的满变换。

3.定义 若是点集到的满变换,且对中的每一点, 在中有一个或至少两个点与之相对应,则在上确定了一个单值

或多值函数,记为,称为的反函数；若是到 的单值变换，则称 是到的双方单值变换或—— 变换。 9

例 把 平面下列曲线分别变成 平面的何种曲线？ (1) 以原点为心，2为半径，在第一象限内的圆弧；

(2) 倾角为 的直线； (3) 双曲线 。

解 设 ，故 (1),因此平面上的对应图形为:以原点为心,半 径为4。在 轴上方的半圆周。

(2) 或 ，因此在 平面上对应的图形为射线 。 (3)设故 平面上对 应的图形为直线 .

二.极限与连续

1. 沿 于 有极限

2. 沿 于 连续 10

证“” ， 故 , 同理 。 “”， 又 、 在 处连续，即得。

三.结论 1.极限若存在则必唯一。 2.若、沿点集在点有极限（连续）,则其和、差、积、 商（分母的极限不为零）沿点集 在点 仍有极限（连续）， 且极限值等于 . 在点 的极限值的和.差.积.商。 ３.若 沿点集 于点 连续且 沿点集 于点 连续，则复合函数 沿 点集 于 连续。

４. 则 在点 的某去心邻域内有界。 ５.聚点定理：每一个有界无穷点集至少有一个聚点。

６.闭集套定理：无穷闭集列 至少有一个为有界且

是 的直径,则必有唯一的 一点 。 7.覆盖定理：设有界闭集 的每一点 都是圆心,则这些圆 中必有有限个圆把 盖住。 8.有界闭集 上的连续函数 的性质： 在 上 有界

在 上有最大值与最小值。 在 上一致连续。 9.习题 P40.17.18.19

四.例子

1.在原点存在极限吗？ 11

解 设 则 由于 但是 故 在原点不存在极限。

2.设,则在点的某一去心邻域内是有界的。 证 因为 故 于是 ,从而 ,所以,在点 内 是有内界的。

3.设在点连续,且,则在点的某一邻域内恒 不为零。

证 因为 在点 连续， 则 ，

特别地，取 ，则由上面的不等式得 ， 因此 在点 的邻域 内就恒不为零。

第四节 复球面与无穷远点 一.复球面 借用地图制图学中将地球投影到平面上的测地投影法,建立复平面与球面上的点的对应，以此来合理地引入无穷远点。

1.取一个在原点与复平相切的球面。 12

2.过作一垂直于复平面的直线交球面于 ,称为北极。为南 极。

3.用直线段将与复球面上的一点相连,此线段交球面于点 , 这样就建立球面上(不包括北极 )的点与复平面上的一一对应。

4.北极 可以看成与复平面上的一个模为无穷大的假想点相对应， 这个假想点称为无穷远点，并记为 。

5.复平面加上点后称为扩充复平面，与它对应的就是整个球面,称为 复球面。

6.数 的运算规定： 无意义； 当 时, 当 (但可取 时), 的实部、虚部及辐角都无意义， 复平面上的每一条直线都经过点,同时,没有一个半平面包含 点 。