2008年全国高中数学联赛

2008年全国高中数学联赛及加试新疆赛区成绩2008年乌鲁木齐地区高中数学竞赛情况通报一、全国第七届女子数学奥林匹克2008女子数学奥林匹克（第七届）于2008年8月13日至18日在广东省中山纪念中学举行。

国内各省会城市和部分计划单列市组队参加；同时还邀请美国、俄罗斯、菲律宾以及我国香港、澳门组队参加。

乌鲁木齐市代表队：领队：曾世威（乌市教研中心）王红（乌市一中）曹湘江（新疆实验中学）队员：李奕菲（乌市一中）黄自睿（乌市一中）王毅彬（新疆实验中学）杨炜（新疆实验中学）新疆生产建设兵团队:领队：孔彩霞（兵团教研室）徐波（兵团二中）队员：郭晔嘉孟夏李灵林晓（以上四位队员均为兵团二中学生）二、第八届中国西部数学奥林匹克第八届中国西部数学奥林匹克于2008年10月31日至11月4日在贵州省贵阳市贵州师大附中举行。

新疆队:领队：赵一军（乌市第八中学）李瑞瑜（新疆实验中学）队员：张皓晨（铜牌乌市八中）王飞翔（铜牌新疆实验中学）朱生龙（铜牌乌市高级中学）王明明（新疆实验中学）新疆生产建设兵团队:领队：封江勇（兵团二中）队员：宋少鹏（银牌）贠帆（铜牌）宋少栋艾平（以上四位队员均为兵团二中学生）三、2008年全国高中数学联赛及加试2008年全国高中数学联赛及加试于10月12日在兵团二中举行，乌鲁木齐赛区由兵团二中成功举办，在此致谢。

我市1786名高三、高二学生参赛，其中385位同学分获全疆一、二、三等及鼓励奖（见下表）。

获一等奖学生的指导教师获中国数学会颁发的优秀教练员证书；获二、三等奖学生的指导教师获新疆数学会颁发的优秀教练员证书（不累计计算，按最高荣誉证书颁发）。

获奖证书在2008年12月18日全市高三教师教研会上颁发。

一等奖（18名）二等奖（61名）三等奖（134名）鼓励奖（172名）乌鲁木齐市教研中心乌鲁木齐市数学学会2008年12月8日。

2008年全国高中数学联赛受中国数学会委托，2008年全国高中数学联赛由重庆市数学会承办。

中国数学会普及工作委员会和重庆市数学会负责命题工作。

2008年全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。

主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力。

全卷包括6道选择题、6道填空题和3道大题，满分150分。

答卷时间为100分钟。

全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加一些竞赛教学大纲的内容。

全卷包括3道大题，其中一道平面几何题，试卷满分150分。

答卷时问为120分钟。

一 试4．若三个棱长均为整数（单位：cm ）的正方体的表面积之和为564 cm 2，则这三个正方体的体积之和为 （ ）。

（A ）764 cm 3或586 cm 3 （B ） 764 cm 3（C ）586 cm 3或564 cm 3 （D ） 586 cm 3 5．方程组0,0,0x y z xyz z xy yz xz y ++=⎧⎪+=⎨⎪+++=⎩的有理数解(,,)x y z 的个数为 （ ）。

（A ） 1 （B ） 2 （C ） 3 （D ） 46．设ABC ∆的内角A B C 、、所对的边a b c 、、成等比数列，则的取值范围是（ ）。

（A ）(0,)+∞ （B ） 51+ （C ）5151()-+ （D ）51)-+∞ 二、填空题（每小题9分，共54分）11．设()f x 是定义在R 上的函数，若(0)2008f = ，且对任意x ∈R ，满足(2)()32x f x f x +-≤⋅，(6)()632x f x f x +-≥⋅，则)2008(f = .12．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为46则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 .三、解答题（每小题20分，共60分）13．已知函数|sin |)(x x f =的图像与直线y kx = )0(>k 有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，求证：2cos 1sin sin 34ααααα+=+． 14．解不等式121086422log (3531)1log (1)x x x x x ++++<++．加 试（A 卷）一、（本题满分50分）如图，给定凸四边形ABCD ，180B D ∠+∠<，P 是平面上的动点，令()f P PA BC PD CA PC AB =⋅+⋅+⋅．（1）求证：当()f P 达到最小值时，P A B C 、、、四点共圆；（2）设E 是ABC ∆外接圆O 的AB上一点，满足：32AE AB =，31BC EC=-，12ECB ECA ∠=∠，又,DA DC 是O 的切线，2AC =，求()f P 的最小值． 二、（本题满分50分）设()f x 是周期函数，T 和1是()f x 的周期且01T <<．证明：（1）若T 为有理数，则存在素数p ，使1p是()f x 的周期； （2）若T 为无理数，则存在各项均为无理数的数列{}n a 满足110n n a a +>>> (1,2,)n =⋅⋅⋅，且每个(1,2,)na n =⋅⋅⋅都是()f x 的周期．三、（本题满分50分）设0k a >，1,2,,2008k =．证明：当且仅当200811k k a =>∑时，存在数列{}n x 满足以下条件： 答一图1（1）010n n x x x +=<<，1,2,3,n =；（2）lim n n x →∞存在； （3）200820071110n n k n k k n k k k x x a x a x -+++==-=-∑∑，1,2,3,n =．2008年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）试题参考答案说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分；2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、（本题满分50分）如题一图，ABCD 是圆内接四边形．AC 与BD 的交点为P ，E 是弧AB 上一点，连接EP 并延长交DC 于点F ，点,G H分别在CE ，DE 的延长线上，满足EAG FAD ∠=∠，EBH FBC ∠=∠，求证：,,,C D G H 四点共圆．二、（本题满分50分）求满足下列关系式组 2222,50,x y z z y z ⎧+=⎨<≤+⎩的正整数解组(,,)x y z 的个数．三、（本题满分50分）设0k a >，1,2,,2008k =．证明：当且仅当200811k k a =>∑时，存在数列{}n x 满足以下条件： （ⅰ）010n n x x x +=<<，1,2,3,n =；（ⅱ）lim n n x →∞存在； （ⅲ）200820071110n n k n k k n k k k x x a x a x -+++==-=-∑∑，1,2,3,n =．题一图。

2008年全国高中数学联赛江西省预赛试题一、选择题（每小题6分,共36分）1、若函数()()2lg 43f x ax x a =-+-的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）. A 、()4,+∞ ；B 、[]0,4；C 、()0,4；D 、()(),14,-∞-+∞ ．2、设221a b +=，()0b ≠，若直线2ax by +=和椭圆22162x y +=有公共点，则a b 的取值范围是（ ）.A 、11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； B 、[]1,1-； C 、(][),11,-∞-+∞ ； D 、[]2,2-.3、四面体ABCD 的六条棱长分别为7,13,18,27,36,41，且知41AB =，则CD = .A 、7 ；B 、13 ；C 、18 ；D 、27．4、若对所有实数x ，均有sin sin cos cos cos 2k k k x kx x kx x ⋅+⋅=，则k =（ ）. A 、6； B 、5； C 、4； D 、3．5、设(212n n a +=，n b 是n a 的小数部分，则当*n N ∈时，n n a b 的值（ ）．A 、必为无理数；B 、必为偶数；C 、必为奇数；D 、可为无理数或有理数．6、设n 为正整数，且31n +与51n -皆为完全平方数，对于以下两个命题：（甲）.713n +必为合数；（乙）.()28173n n +必为两个平方数的和. 你的判断是（ ）A.甲对乙错；B. 甲错乙对；C.甲乙都对；D.甲乙都不一定对. 二、填空题（每小题9分，共54分）7、过点()1,1P 作直线l ，使得它被椭圆22194x y +=所截出的弦的中点恰为P ，则直线l 的方程为 .8、设x R ∈，则函数()f x =的最小值为 .9、四面体ABCD 中，面ABC 与面BCD 成060的二面角，顶点A 在面BCD 上的射影H 是BCD ∆的垂心，G 是ABC ∆的重心，若4AH =，AB AC =，则GH = ．10、000sin 20sin 40sin80⋅⋅= .11、数列{}n a 满足：11a =，且对每个*n N ∈，1,n n a a +是方程230n x nx b ++=的两根，则201kk b==∑ .12、从前2008个正整数构成的集{}1,2,,2008M = 中取出一个k 元子集A ，使得A 中任两数之和不能被这两数之差整除，则k 的最大值为 ． 三、解答题：13、（20分）AD 是直角三角形ABC 斜边BC 上的高，（AB AC <），12,I I 分别是,ABD ACD ∆∆的内心，12AI I ∆的外接圆O 分别交,AB AC 于,E F ，直线,EF BC 交于点M ；证明：12,I I 分别是ODM ∆的内心与旁心．14、（20分）设,,x y z 为非负实数，满足1xy yz zx ++=，证明：11152x y y z z x ++≥+++．15、（20分）对于2n 元集合{}1,2,,2M n = ，若n 元集{}12,,,n A a a a = ，{}12,,,n B b b b = 满足：,A B M A B ==∅ ，且11n nk k k k a b ===∑∑，则称A B 是集M 的一个“等和划分”（A B 与B A 算是同一个划分）．试确定集{}1,2,,12M = 共有多少个“等和划分”．2008年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答一、选择题（每小题6分,共36分）1、若函数()()2lg 43f x ax x a =-+-的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）. A 、()4,+∞ ；B 、[]0,4；C 、()0,4；D 、()(),14,-∞-+∞ ．答案：B ．解：欲使()f x 的值域为R ，当使真数243ax x a -+-可取到一切正数，故或者0a =；或者0a >且()24430a a --≥，解得04a ≤≤2、设221a b +=，()0b ≠，若直线2ax by +=和椭圆22162x y +=有公共点，则a b 的取值范围是（ ）.A 、11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； B 、[]1,1-； C 、(][),11,-∞-+∞ ； D 、[]2,2-.答：C ． 解：将2axy b-=代入椭圆方程并整理得，()22223121260a b x ax b +-+-=， 因直线和椭圆有公共点，则判别式()()()222212431260a a b b -+-≥，利用221a b +=，化简得22a b ≥，所以1ab≥．即(][),11,a b ∈-∞-+∞ ．3、四面体ABCD 的六条棱长分别为7,13,18,27,36,41，且知41AB =，则 CD = .A 、7 ；B 、13 ；C 、18 ；D 、27． 答案：B .解：四面体中，除CD 外，其余的棱皆与AB 相邻接，若长13的棱与AB 相邻，不妨设13BC =，据构成三角形条件，可知{}7,18,27AC ∉，36, 7AC BD ⇒=⇒=，{}{},18,27AD CD ⇒=，于是ABD ∆中，两边之和小于第三边，矛盾。

sin B b = sin A = a = q ∈
5 − 1, 5 + 1 . 所以选 C.
2
2
二、填空题 (本题满分 54 分，每小题 9 分)
7. 设 f (x) = ax + b，其中 a, b 为实数，f1(x) = f (x), fn+1(x) = f (fn(x))，
n = 1, 2, · · · ，若 f7(x) = 128x + 381，则 a + b =
于是
a + b > c, b + c > a
⇒
q2 q2
− +
q q
− −
1 1
< >
0, 0
⇒
√ 5− 2
1
<
q
<
√ 5+ 2
1.
sin A cot C + cos A sin A cos C + cos A sin C sin(A + C)
sin B cot C + cos B =√sin B co√s C + cos B sin C = sin(B + C)
负的 1 局在前 2 局. 于是需要比赛 6 局的情况是在前 4 局中，甲或乙在 1, 2
局和 3, 4 局中均为 1 胜 1 负. 相应分布列为
局数ξ 概率P
2
4
6
22 +
3
12 3
C21
·
1 3
2 3
3
+
C21
·
2 3
13 3
4
12 3
22 3
于是