全国高中数学联赛试题
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）．
8．设ａｎ是（3－ ）ｎ的展开式中ｘ项的系数（ｎ＝2，3，4，…），则
＝_______．
9．等比数列ａ＋ｌｏｇ23，ａ＋ｌｏｇ43，ａ＋ｌｏｇ83 的公比是______． 10．在椭圆ｘ2／ａ2＋ｙ2／ｂ2＝1（ａ＞ｂ＞0）中，记左焦点为 F，右顶点为 A，短轴上方的端点为 B．若该椭
圆的离心率是
2
（A）y=sin|x|
（B）y=cos|x|
（C）y=|ctgx|
（D）y=lg|sinx|
4、如果满足∠ABC=60°，AC=12，BC=k 的⊿ABC 恰有一个，那么 k 的取值范围是
（A）k=8 3
（B）0<k≤12
（C）2
（D）0＜ｋ≤12 或 k 8 3
5．若（1＋ｘ＋ｘ2）1000 的展开式为ａ０＋ａ１ｘ＋ａ２ｘ２＋…＋ａ2000ｘ2000，
4
ＢＣ的面积是（
）．
Ａ． ／3
Ｂ．3 ／2
Ｃ．3
Ｄ．6
4．给定正数ｐ，ｑ，ａ，ｂ，ｃ，其中ｐ≠ｑ．若ｐ，ａ，ｑ是等比数列，ｐ，ｂ，ｃ，ｑ是等差数列，则一
元二次方程ｂｘ2－2ａｘ＋ｃ＝0（
）．
Ａ．无实根
Ｂ．有两个相等实根
Ｃ．有两个同号相异实根
Ｄ．有两个异号实根
5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线ｙ＝5／3ｘ＋4／5 的距离中的最小值是（
二．填空题（本题满分 54 分，每小题 9 分） 1．arcsin(sin2000)=__________．
2．设 an 是(3
x)n 的展开式中 x 项的系数(n=2，3，4，…)，则 lim (32+33+…+ 3n ))=________. n→∞ a2 a3 an
3．等比数列 a+log23，a+log43，a+log83 的公比是____________.
，则∠ＡＢＦ＝______．
11．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为ａ，则这个球的体积是______． 12．如果：（1）ａ，ｂ，ｃ，ｄ都属于｛1，2，3，4｝； （2）ａ≠ｂ，ｂ≠ｃ，ｃ≠ｄ，ｄ≠ａ；
（3）ａ是ａ，ｂ，ｃ，ｄ中的最小值， 那么，可以组成的不同的四位数 三、解答题〖ＨＴＫ〗（本题满分 60 分，每小题 20 分）
的个数是______．
13．设Ｓｎ＝1＋2＋3＋…＋ｎ，ｎ∈Ｎ ，求ｆ（ｎ）＝
的最大值．
14．若函数ｆ（ｘ）＝－1／2ｘ2＋13／2 在区间［ａ，ｂ］上的最小值为 2ａ，最大值为 2ｂ，求［ａ，ｂ］．
15．已知Ｃ0：ｘ2＋ｙ2＝1 和Ｃ1：ｘ2／ａ2＋ｙ2／ｂ2＝1（ａ＞ｂ＞0），那么，当且仅当ａ，ｂ满足什么条件时， 对Ｃ1 上任意一点 P，均存在以 P 为顶点、与 C0 外切、与Ｃ1 内接的平行四边形？并证明你的结论．
(2)ab，bc，cd，da；
(3)a 是 a，b，c，d 中的最小值，
____ 那么，可以组成的不同的四位数abcd的个数是_________
三、解答题(本题满分 60 分，每小题 20 分)
1
1．设 Sn=1+2+3+…+n，nN*，求 f(n)= Sn 的最大值． (n+32)Sn+1
2000 年全国高中数学联合竞赛试卷
（10 月 15 日上午 8:009:40）
一、选择题（本题满分 36 分，每小题 6 分）
1．设全集是实数，若 A={x| x－2≤0}，B={x|10x2－2=10x}，则 A∩∁RB 是(
)
(A){2}
(B){1}
(C){x|x≤2}
(D)
2．设 sin＞0，cos＜0，且 sinα＞cosα，则α的取值范围是(
2．若函数 f(x)=－1x2+13在区间[a，b]上的最小值为 2a，最大值为 2b，求[a，b]． 22
3．已知 C0：x2+y2=1 和 C1：ax22+ay22=1 (a＞b＞0)．试问：当且仅当 a，b 满足什么条件时，对 C1 上任意一点 P，均存 在以 P 为顶点，与 C0 外切，与 C1 内接的平行四边形？并证明你的结论．
B
A
M
N
EF
C
二．（本题满分 50 分）
D
设数列{a n}和{b n }满足 a0=1，a1=4，a2=49，且
an+1=7an+6bn－3， bn+1=8an+7bn－4．n=0，1，2，……
证明 a n（n=0，1，2，…）是完全平方数．
三．（本题满分 50 分） 有 n 个人，已知他们中的任意两人至多通电话一次，他们中的任意 n－2 个人之间通电话的次数相等，都是 3 k 次，
)
35
(A) 34 170
(B) 34 85
(C) 1 20
(D) 1 30
6．设ω=cosπ+isinπ，则以，3，7，9 为根的方程是(
)
55
(A)x4+x3+x2+x+1=0 (C) x4x3x2+x+1=0
(B) x4x3+x2x+1=0 (D) x4+x3+x2x1=0
)
3 33
(A)(2k+π，2k+π)， kZ
6
3
(B)( 2kπ+ π，2kπ+π)，k Z 3 6 33
(C)(2k+5π，2k+)，k Z 6
(D)(2k+π，2k+π)∪(2k+5π，2k+)，k Z
4
3
6
3．已知点 A 为双曲线 x2y2=1 的左顶点，点 B 和点 C 在双曲线的右分支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面
得分 评卷人
2003 年全国高中数学联合竞赛试卷
5
一．选择题（本题满分 36 分，每小题 6 分）本题共有 6 小题，每题均给出 A、B、C、D 四个结论， 其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得 6 分；不 选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得 0 分)。
2002 年全国高中数学联赛试题及解答
一、选择题（本题满分 36 分，每小题 6 分） 1．设全集是实数集，若Ａ＝｛ｘ｜ Ａ．｛2｝ Ｃ ．｛ｘ｜ｘ≤2｝
≤0｝，Ｂ＝｛ｘ｜
＝10ｘ｝，则Ａ∩ 是（
Ｂ．｛－1｝
Ｄ．
）．
2．设ｓｉｎα＞0，ｃｏｓα＜0，且ｓｉｎ ＞ｃｏｓ ，则 的取值范围是（
）．
Ａ．（2ｋπ＋π／6，2ｋπ＋π／3），ｋ∈Ｚ Ｂ．（2ｋπ／3＋π／6，2ｋπ／3＋π／3），ｋ∈Ｚ Ｃ．（2ｋπ＋5π／6，2ｋπ＋π），ｋ∈Ｚ Ｄ．（2ｋπ＋π／4，2ｋπ＋π／3）∪（2ｋπ＋5π／6，2ｋπ＋π），ｋ∈Ｚ 3．已知点 A 为双曲线ｘ2－ｙ2＝1 的左顶点，点 B 和点 C 在双曲线的右分支上，△ＡＢＣ是等边三角形，则△Ａ
其中 k 是自然数，求 n 的所有可能值．
二○○一年全国高中数学联合竞赛题
（10 月 4 日上午 8：00—9：40）
学生注意：1、本试卷共有三大题（15 个小题），全卷满分 150 分。
2、用圆珠笔或钢笔作答。
3、解题书写不要超过装订线。
4、不能使用计算器。
一、 选择题（本题满分 36 分，每小题 6 分）
（A）1
（B）2
（C）4
（D）不确定
2、命题 1：长方体中，必存在到各顶点距离相等的点；
命题 2：长方体中，必存在到各棱距离相等的点；
命题 3：长方体中，必存在到各面距离相等的点；
2
以上三个命题中正确的有
（A）0 个
（B）1 个
（C）2 个
（D）3 个
3、在四个函数 y=sin|x|, y=cos|x|, y=|ctgx|, y=lg|sinx|中以为周期、在（0， ）上单调递增的偶函数是
。
10、不等式
1
2
3
的解集为
。
log 1 x
2
2
11、函数 y x x 2 3x 2 的值域为
。
12、在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一场块中种同一种植物，相邻
的两块种不同的植物。现有 4 种不同的植物可供选择，则有
种栽种方案。
二、解答题（本题满分 60 分，每小题 20 分）
本题共有 6 个小是题，每题均给出（A）（B）（C）（D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的
代表字母填在题后的括号内，每小题选对得 6 分；不选、选错或选的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律
得 0 分。
1、已知 a 为给定的实数，那么集合 M={x|x2-3x-a2+2=0,x∈R}的子集的个数为
（B）3 枝康乃馨价格高
（C）价格相同
（D）不确定
二、填空题（本题满分 54 分，每小题 9 分）
7．椭圆ρ＝1／（2－ｃｏｓθ）的短轴长等于______________．
3
8、若复数 z1,z2 满足|z1|=2,|z2|=3,3z1-2z2= -I,则 z1z2=
。
2
9、正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1 ，则直线 A1C1 与 BD1 的距离是
4．在椭圆x2+y2=1 (a＞b＞0)中，记左焦点为 F，右顶点为 A，短轴上方的端点为 B.若该椭圆的离心率是 5－1，则
a2 b2
2
∠ABF=_________.
5．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为 a，则这个球的体积是________.
