高中数学(人教A版选修1-1)作业1.3简单的逻辑联结词

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1.3简单的逻辑联结词1.用逻辑联结词构成新命题(1)“且”的含义是什么？提示：“且”表示同时的意思，类似于集合中的交集．x∈A∩B，即x∈A 且x∈B.(2)“或”的含义是什么？提示：“或”表示至少一个的意思，类似于集合中的并集．x∈A∪B，即x∈A或x∈B.(3)p是命题p的否命题吗？提示：不是．p是命题p的否定，不是命题p的否命题．若命题p “若m，则n”，那么，p：“若m，则n”．2．含有逻辑联结词的命题真假判断p q p∧q p∨q p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真命题p与命题p的真假一定相反吗？提示：一定．若命题p是真命题，则命题p一定是假命题；若命题p 是假命题，则命题p一定是真命题．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1) “10或15是5的倍数”是p∨q形式的命题，是真命题．(√) 提示：命题“10或15是5的倍数”即“10是5的倍数或15是5的倍数”，是p∨q形式的命题，是真命题．(2)“方程x2＋1＝0没有实数根”是p形式的命题，是真命题．(√) 提示：“方程x2＋1＝0没有实数根”是“方程x2＋1＝0有实数根”的否定，是p形式的命题，是真命题．(3)“有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形”是p∧q形式的命题，是真命题．(√)提示：“有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形”即“有两个角为45°的三角形是等腰三角形且是直角三角形”，是p∧q形式的命题，是真命题．2．若p∧q是假命题，则()A.p是真命题，q是假命题B.p，q均为假命题C.p，q至少有一个是假命题D.p，q至少有一个是真命题【解析】选C.当p，q都是真命题⇔p∧q是真命题，其逆否命题为：p∧q 是假命题⇔p，q至少有一个是假命题，可得C正确．3．(教材二次开发：例题改编)“5≥5”是________形式的新命题，它是________(“真”或“假”)命题．【解析】5≥5，即5＞5或5＝5.真命题．答案：p∨q真类型一含有逻辑联结词的命题的构成(数学抽象)1．在一次跳高比赛前，甲、乙两名运动员各试跳了一次．设命题p 表示“甲的试跳成绩超过2米”，命题q表示“乙的试跳成绩超过2米”，则命题p∨q表示()A．甲、乙恰有一人的试跳成绩没有超过2米B．甲、乙至少有一人的试跳成绩没有超过2米C．甲、乙两人的试跳成绩都没有超过2米D．甲、乙至少有一人的试跳成绩超过2米【解析】选D.命题p∨q为“甲的试跳成绩超过2米或乙的试跳成绩超过2米”，所以p∨q表示甲、乙至少有一人的试跳成绩超过2米．2．指出下列命题的形式及构成它的简单命题．(1)方程x2－3＝0没有有理根．(2)矩形的对角线互相平分且相等．(3)±1是方程x3＋x2－x－1＝0的根．【解析】(1)这个命题是“p”形式的命题，其中p：方程x2－3＝0有有理根．(2)这个命题是“p∧q”形式的命题，其中p：矩形的对角线互相平分，q：矩形的对角线相等．(3)这个命题是“p∨q”形式的命题，其中p：1是方程x3＋x2－x－1＝0的根，q：－1是方程x3＋x2－x－1＝0的根．用逻辑联结词构造新命题的两个步骤提醒：有的命题表面上不含逻辑联结词，但有与联结词等效的词语，注意辨识．【补偿训练】1.分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“p”形式的命题．p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．【解析】p∧q：－1与－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．p∨q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．p：－1不是方程x2＋4x＋3＝0的解．2．分别用“p或q”“p且q”“非p”填空．(1)“正弦函数既是奇函数又是周期函数”是________形式．(2)“负数的对数无意义”是________形式．(3)“e≥2”是________形式．【解析】(1)“正弦函数既是奇函数又是周期函数”是“正弦函数是奇函数且正弦函数是周期函数”，是p且q的形式．(2)“负数的对数无意义”是非p的形式．(3)“e≥2”即“e>2或e＝2”，是p或q的形式．答案：(1)p且q(2)非p(3)p或q类型二含逻辑联结词命题的真假判断(数学抽象、逻辑推理) 【典例】1.(2021·德阳高二检测)已知命题p：函数y＝2－a x＋1恒过(1，2)点；命题q：若函数f(x－1)为偶函数，则f(x)的图象关于直线x＝1对称，则下列命题为真命题的是()A．p∧q B．p∧q C．p∧q D．p∧q【思路导引】首先判断命题p，q的真假，再结合含有逻辑联结词的命题真假判断得出结论．【解析】选B.函数y＝2－a x＋1恒过定点(－1，1)，所以命题p错误；若函数f(x－1)为偶函数，所以有f(－x－1)＝f(x－1)，关于直线x＝－1对称，所以命题q错误；所以p为真，q为真，所以p∧q为真．2．已知命题p：在△ABC中，C>B是sin C>sin B的充分不必要条件，命题q：a>b是ac2>bc2的充分不必要条件，则()A．p假q真B．p真q假C．p∨q为假D．p∧q为真【思路导引】首先判断命题p，q的真假，再结合含有逻辑联结词的命题真假判断得出结论．【解析】选C.在△ABC中，C>B是sin C>sin B的充要条件，所以命题p是假命题；当c＝0时，a>b不能推得ac2>bc2，命题q为假命题．所以A，B错误．根据含有逻辑联结词的命题真假判断可得p∨q为假命题，p∧q为假命题．3．(2020·全国Ⅱ卷)设有下列四个命题：p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．p4：若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.则下述命题中所有真命题的序号是__________．①p1∧p4②p1∧p2③p2∨p3④p3∨p4【思路导引】判断p1，p2，p3，p4的真假⇒判断所给命题的真假．【解析】对于命题p1，可设l1与l2相交，这两条直线确定的平面为α；若l3与l1相交，则交点A在平面α内，同理，l3与l2的交点B也在平面α内，所以，AB ⊂平面α，即l 3⊂平面α，命题p 1为真命题；对于命题p 2，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题p 2为假命题；对于命题p 3，空间中两条直线相交、平行或异面，命题p 3为假命题；对于命题p 4，若直线m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内所有直线，因为直线l ⊂平面α，所以直线m ⊥直线l ，命题p 4为真命题．综上可知，p 1∧p 4为真命题，p 1∧p 2为假命题，p 2∨p 3为真命题，p 3∨p 4为真命题．答案：①③④判断含逻辑联结词的命题真假的两个步骤给出下列两个命题：命题p ：空间任意三个向量都是共面向量；命题q ：“⎝ ⎛⎭⎪⎫12 x >⎝ ⎛⎭⎪⎫12 y ”是“l n x<l n y”的充要条件，那么下列命题中为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∨qC ．(p)∧qD ．(p)∨q 【解析】选D.平行于同一平面的向量叫共面向量，故空间任意三个向量不一定都是共面向量，例如在三条两两垂直的直线上取向量，则不共面，故命题p 为假命题；由⎝ ⎛⎭⎪⎫12 x >⎝ ⎛⎭⎪⎫12 y 解得x<y ，由l n x<l n y 解得0<x<y ，故“⎝ ⎛⎭⎪⎫12 x >⎝ ⎛⎭⎪⎫12 y ”不是“l n x<l n y”的充要条件，故命题q 为假命题；所以p 为真命题．故p ∧q ，p ∨q ，(p)∧q 为假命题，(p)∨q 为真命题．【补偿训练】分别指出由下列命题构成的“p ∨q”“p ∧q”“p”形式的命题的真假． ①p ：1∈{2，3}，q ：2∈{2，3}；②p ：2是奇数，q ：2是合数；③p ：4≥4，q ：23不是偶数；④p ：不等式x 2－3x －10<0的解集是{x|－2<x<5}，q ：不等式x 2－3x －10<0的解集是{x|x>5或x<－2}．【解析】①因为p 是假命题，q 是真命题，所以p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，p 是真命题．②因为p 是假命题，q 是假命题，所以p ∨q 是假命题，p ∧q 是假命题，p 是真命题．③因为p 是真命题，q 是真命题，所以p ∨q 是真命题，p ∧q 是真命题，p 是假命题．④因为p 是真命题，q 是假命题，所以p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，p 是假命题．类型三 逻辑联结词的应用(数学抽象、逻辑推理)已知含有逻辑联结词的命题真假判断简单命题的真假【典例】若p ，q 是两个简单命题，p 或q 的否定是真命题，则必有( )A ．p 真q 真B ．p 假q 假C ．p 真q 假D ．p 假q 真【思路导引】由已知推出p 或q 的真假，再判断p ，q 的真假．【解析】选B.p 或q 的否定是真命题，则p 或q 是假命题，所以p ，q 都是假命题．在逻辑联结词的应用中，经常利用核心素养中的逻辑推理，通过对已知条件的分析、运用，得出结论．将本例中“p 或q 的否定是真命题”，改为“p 且q 的否定是假命题”，结论如何？【解析】因为p 且q 的否定是假命题，所以p 且q 是真命题，所以p 和q 都是真命题．利用含有逻辑联结词的命题真假求参数范围【典例】已知p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的负根，q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实数根，若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求m 的取值范围．【思路导引】由p ∨q 为真， p ∧q 为假得p ，q 的真假，然后求参数m 的取值范围．【解析】因为p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的负根，所以⎩⎨⎧Δ＝m 2－4＞0，m ＞0， 所以m ＞2.因为q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实数根，所以Δ＜0，即16(m－2)2－16＜0，所以16(m 2－4m ＋3)＜0，所以1＜m ＜3.因为p ∨q 为真，p ∧q 为假，所以p 为真，q 为假或者p 为假，q 为真．即⎩⎨⎧m ＞2，m≤1或m≥3 或⎩⎨⎧m≤2，1＜m ＜3，解得m≥3或1＜m≤2.所以m 的取值范围为{m|m≥3或1＜m≤2}．应用逻辑联结词求参数范围的四个步骤(1)分别求出命题p ，q 为真时对应的参数集合A ，B.(2)讨论p ，q 的真假．(3)由p ，q 的真假转化为相应的集合间的关系．(4)求解不等式或不等式组得到参数的取值范围．提醒：当p ，q 中有假命题时，求参数范围应从求真命题的补集入手，可简化运算，减少出错．1．已知p ：m<0，q ：x 2＋mx ＋1>0对一切实数x 恒成立，若p ∧q 为真，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2，0) 【解析】选D.q ：x 2＋mx ＋1>0对一切实数恒成立，所以Δ＝m 2－4<0，所以－2<m<2.p ：m<0，因为p ∧q 为真，所以p ，q 均为真，所以⎩⎨⎧－2<m<2，m<0， 所以－2<m<0.2．已知p ：－1≤x≤3，q ：x 2－2x ＋1－a 2≥0(a>0)，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．【解析】因为x 2－2x ＋1－a 2≥0(a>0)，所以x≤1－a 或x≥1＋a ，所以q ：1－a<x<1＋a ，又因为p ：－1≤x≤3，p 是q 的必要不充分条件，所以根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a>01－a≥－11＋a≤3，解得0<a≤2.答案：(0，2]3．若p ：关于x 的不等式a x >1(a>0，且a≠1)的解集是{x|x<0}，q ：函数y ＝l g (ax 2－x ＋a)的定义域为R .若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求a 的取值范围．【解析】根据关于x 的不等式a x >1(a>0，且a≠1)的解集为{x|x<0}知0<a<1，由函数y ＝l g (ax 2－x ＋a)的定义域为R ，知不等式ax 2－x ＋a>0的解集为R ，则⎩⎨⎧a>0，1－4a 2<0， 解得a>12 .因为p ∨q 为真，p ∧q 为假．所以p 和q 一真一假，即“p 假q 真”或“p 真q 假”．故⎩⎪⎨⎪⎧a>1，a>12或⎩⎪⎨⎪⎧0<a<1，a ≤12，解得0<a≤12 或a>1.所以a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，12 ∪(1，＋∞).1．若p ∧q 是真命题，则( )A ．p 是真命题，q 是假命题B ．p ，q 均为真命题C ．p 是假命题，q 是真命题D ．p ，q 均是假命题【解析】选B.因为p ∧q 是真命题，故p ，q 均为真命题．2．已知命题p ：所有有理数都是实数，命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )A ．(p)∨qB ．p ∧qC ．(p)∨(q)D ．(p)∧(q)【解析】选C.由已知得p 是真命题，q 是假命题，所以p 是假命题，q 是真命题．所以 (p)∨q 为假命题；p ∧q 为假命题；(p)∨(q)为真命题；(p)∧(q)为假命题．3．(教材二次开发：思考改编)下列命题中是“p 或q”形式的命题的是( )A ．函数y ＝l n x 是减函数B ．函数y ＝a x (a>1)是增函数C ．2是方程x 2－4＝0的根又是方程x －2＝0的根D ．28是5的倍数或是7的倍数【解析】选D.选项A ，B 中的命题不是由逻辑联结词构成的命题，故不是“p 或q”形式的命题；选项C 中的命题可写成“2是方程x 2－4＝0的根且2是方程x －2＝0的根”，该命题是“p 且q”形式的命题；选项D 中的命题可写成“28是5的倍数或28是7的倍数”，该命题是“p 或q”形式的命题．4．若p 为真命题，q 为假命题，则“p ∨q”是________命题．【解析】若p 为真命题，q 为假命题，则“p ∨q”是真命题． 答案：真5．已知p ：x 2－x≥6，q ：x ∈Z .若“p ∧q”“q”都为假，则x 的值组成的集合为______________．【解析】因为“p ∧q”为假，“q”为假，所以q 为真，p 为假． 故⎩⎨⎧x 2－x<6，x ∈Z ， 即⎩⎨⎧－2<x<3，x ∈Z .因此，x 的值可以是－1，0，1，2.答案：{－1，0，1，2}关闭Word 文档返回原板块。

第一章常用逻辑用语1.3 简单的逻辑联结词A级基础巩固一、选择题1．命题“2是3的约数或2是4的约数”中，使用的逻辑联结词的情况是( )A．没有使用逻辑联结词B．使用了逻辑联结词“且”C．使用了逻辑联结词“或”D．使用了逻辑联结词“非”答案：C2．若命题“p且q”为假，且綈p为假，则( )A．p或q为假B．q假C．q真D．p假解析：綈p为假，则p为真，而p∧q为假，得q为假．答案：B3．下列命题中，既是“p或q”形式的命题，又是真命题的是( )A．方程x2－x＋2＝0的两根是－2，1B．方程x2＋x＋1＝0没有实根C．2n－1(n∈Z)是奇数D．a2＋b2≥0(a，b∈R)解析：选项A中，－2，1都不是方程的根；选项B不是“p或q”的形式；选项C也不是“p或q”的形式；选项D中，a2＋b2≥0⇔a2＋b2>0或a2＋b2＝0，且是真命题，故选D.答案：D4．已知p：x∈A∩B，则綈p是( )A．x∈A且x∉B B．x∉A或x∉BC．x∉A且x∉B D．x∈A∪B解析：p：x∈A∩B，即x∈A且x∈B，故綈p是x∉A或x∉B.答案：B5．给出命题p：函数y＝x2－x－1有两个不同的零点；q：若1x<1，则x>1.那么在下列四个命题中，真命题是( )A．(綈p)∨q B．p∧qC．(綈p)∧(綈q) D．(綈p)∨(綈q)解析：对于p ，函数对应的方程x 2－x －1＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×(－1)＝5>0，所以函数有两个不同的零点，故p 为真．对于q ，当x <0时，不等式1x <1恒成立；当x >0时，不等式的解集为{x |x >1}．故不等式1x<1的解集为{x |x <0或x >1}．故q 为假．结合各选项知，只有(綈p )∨(綈q )为真．故选D.答案：D二、填空题6．命题“若a <b ，则2a <2b ”的否命题是________________，命题的否定是______________． 解析：命题“若p ，则q ”的否命题是“若綈p ，则綈q ”，命题的否定是“若p ，则綈q ”． 答案：若a ≥b ，则2a ≥2b 若a <b ，则2a ≥2b7．已知命题p ：对任意x ∈R，总有|x |≥0.q ：x ＝1是方程x ＋2＝0的根，则p ∧(綈q )为________命题(填“真”或“假”)．解析：命题p 为真命题，命题q 为假命题，所以命题綈q 为真命题，所以p ∧綈q 为真命题．答案：真8．已知p ：x 2－x ≥6，q ：x ∈Z.若“p ∧q ”“綈q ”都是假命题，则x 的值组成的集合为________．解析：因为“p ∧q ”为假，“綈q ”为假，所以q 为真，p 为假．故⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＜6，x ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧－2＜x ＜3，x ∈Z.因此，x 的值可以是－1，0，1，2.答案：{－1，0，1，2}三、解答题9．写出下列命题的p ∨q ，p ∧q ，綈p 的形式，并判断其真假：(1)p ：2是有理数；q ：2是实数．(2)p ：5不是15的约数；q ：5是15的倍数．(3)p ：空集是任何集合的子集；q ：空集是任何集合的真子集．解：(1)p ∨q ：2是有理数或2是实数，真命题；p ∧q ：2是有理数且2是实数，假命题；綈p ：2不是有理数，真命题．(2)p ∨q ：5不是15的约数或5是15的倍数，假命题；p ∧q ：5不是15的约数且5是15的倍数，假命题；綈p ：5是15的约数，真命题．(3)p ∨q ：空集是任何集合的子集或空集是任何集合的真子集，真命题；p ∧q ：空集是任何集合的子集且空集是任何集合的真子集，假命题；綈p ：空集不是任何集合的子集，假命题．10．已知命题p ：方程x 2＋2x ＋a ＝0有实数根；命题q ：函数f (x )＝(a 2－a )x 在R 上是增函数．若p ∧q 为真命题，求实数a 的取值范围．解：当p 是真命题时，Δ＝4－4a ≥0，解得a ≤1.当q 是真命题时，a 2－a ＞0，解得a ＜0或a ＞1.由题意，得p ，q 都是真命题，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ＜0或a ＞1， 解得a ＜0，所以实数a 的取值范围是(－∞，0)．B 级 能力提升1．给定命题p ：若x 2≥0，则x ≥0；命题q ：已知非零向量a ，b ，则“a ⊥b ”是“| a －b |＝| a ＋b |”的充要条件，则下列各命题中，假命题是( )A ．p ∨qB ．(綈p )∨qC ．(綈p )∧qD ．(綈p )∧(綈q )解析：命题p 为假命题，命题q 为真命题，所以綈p 是真命题，綈q 为假命题，所以(綈p )∧(綈q )为假命题．答案：D2．给出下列结论：(1)当p 是真命题时，“p 且q ”一定是真命题；(2)当p 是假命题时，“p 且q ”一定是假命题；(3)当“p 且q ”是假命题时，p 一定是假命题；(4)当“p 且q ”是真命题时，p 一定是真命题．其中正确结论的序号是________．解析：(1)错误，当q 是假命题时，“p 且q ”是假命题，当q 也是真命题时，“p 且q ”是真命题；(2)正确；(3)错误，p 也可能是真命题；(4)正确．答案：(2)(4)3．已知a ＞0，设p ：函数y ＝a x在R 上单调递减；q ：不等式x ＋|x －2a |＞1的解集为R ，如果“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，求实数a 的取值范围．解：对于命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递减，即0＜a ＜1.对于命题q ：不等式x ＋|x －2a |＞1的解集为R ，即函数y ＝x ＋|x －2a |在R 上恒大于1，又y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2a ，x ≥2a ，2a ，x ＜2a ，所以 y min ＝2a ＞1，即a ＞12. 由p ∨q 为真，p ∧q 为假，根据复合命题真值表知p 、q 一真一假．如果p 真q 假，则0＜a ≤12；如果p 假q 真，则a ≥1.综上所述，a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[1，＋∞)．。

[解析] 设方程 x2＋(a2－5a＋4)x－1＝0 的两根为 x1，x2，由题意不妨设 x1＜1，x2
＞1，所以
x1－1x2－1＜0， 即x1x2－x1＋x2＋1＜0. 又因为 x1＋x2＝－(a2－5a＋4)， x1x2＝－1，所以 a2－5a＋4＜0，
所以 1＜a＜4.
6分
又因为函数 y＝－log(a2－2a－2)(x＋2)在(－2，＋∞)上是减函数， 所以 a2－2a－2＞1，
的补集．
3．已知命题 p：关于 x 的方程 x2－ax＋4＝0 有实根；命题 q：关于 x 的函数 y＝2x2 ＋ax＋4 在[3，＋∞)上是增函数．若 p∨q 是真命题，p∧q 是假命题，则实数 a 的取 值范围是( ) A．(－12，－4]∪[4，＋∞) B．[－12，－4]∪[4，＋∞) C．(－∞，－12)∪(－4,4) D．[－12，＋∞)
答案：C
由含逻辑联结词命题的真假求参数的取值范围 [典例] (本题满分 12 分)已知命题 p：方程 x2＋(a2－5a＋4)x－1＝0 的一个根大于 1， 一个根小于 1；命题 q：函数 y＝－log(a2－2a－2)(x＋2)在(－2，＋∞)上是减函数．若 p∨q 为真，p∧q 为假， 求 a 的取值范围．
解析：命题 p：2∉{1,3}是真命题． 因为{x|x2－4＝0}＝{－2,2}，所以命题 q：2∉{x|x2－4＝0}是假命题． 答案：假 2∉{1,3}或 2∉{x|x2－4＝0} 真
3．若 p：不等式 ax＋b>0 的解集为x|x>－ba，q：关于 x 的不等式(x－a)(x－b)<0 的 解集为{x|a<x<b}，且“p∧q”为真命题，则 a，b 满足________． 解析：因为命题“p∧q”为真命题，所以 p、q 均为真命题，于是 a>0，且 a<b. 答案：0<a<b

课时提升作业六简单的逻辑联结词一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·东莞高二检测)若命题“p”与命题“p∨q”都是真命题,那么　( )A.命题p与命题q的真假相同B.命题p一定是真命题C.命题q不一定是真命题D.命题q一定是真命题【解题指南】根据命题和其否定真假性相反,判定出p的真假,结合“或”命题真假确定q 的真假.对照选项即可.【解析】选D.命题p是真命题,则p是假命题.又命题p∨q是真命题,所以必有q是真命题.【补偿训练】如果命题“p且q”是假命题,“非p”是真命题,那么　( )A.命题p一定是真命题B.命题q一定是真命题C.命题q可以是真命题也可以是假命题D.命题q一定是假命题【解析】选C.“非p”是真命题,则p为假命题,命题q可以是真命题也可以是假命题.2.(2016·黄冈高二检测)如果命题“(p∨q)”为真命题,则　( )A.p,q均为真命题B.p,q均为假命题C.p,q中至少有一个为真命题D.p,q中一个为真命题,一个为假命题【解析】选B.由(p∨q)为真等价于(p)∧(q)为真命题,故p和q均为真命题,可得p和q均为假命题.3.(2016·石家庄高二检测)已知命题p:“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2-3x+2≠0”,命题q:“>”的充要条件为“lna>lnb”,则下列复合命题中假命题a 12b 12是　( ) A.p ∨q B.p ∧q C.(p)∨(q)　D.p ∧(q)【解析】选B.对于命题p,中括号内【“若x 2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x ≠1,则x 2-3x+2≠0”】整个是p 命题,而不是单看引号内的命题,p 为真;对于命题q,当a=1,b=0时,>,但lna>lnb 不成立,q 是假命题,所以q 是真命题;所以p ∧q 是假命题,p ∨q,(p)∨a 12b 12(q)和p ∧(q)是真命题.4.已知命题p:函数f(x)=2ax 2-x-1(a ≠0)在(0,1)内恰有一个零点;命题q:函 数y=x 2-a 在(0,+∞)上是减函数.若p 且q 为真命题,则实数a 的取值范围 是　( ) A.(1,+∞) B.(1,2]C.(-∞,2]D.(-∞,1]∪(2,+∞)【解析】选B.由题意,命题p:{Δ=1+8a >0,a >0,f(0)·f(1)=(‒1)·(2a ‒2)<0,解得a>1.命题q:2-a<0,得a>2,所以q:a ≤2,故由p 且q 为真命题,得1<a ≤2.5.(2016·湛江高二检测)已知实数a 满足1<a<2,命题p:函数y=lg(2-ax)在区间上是[0,1]减函数;命题q:x 2<1是x<a 的充分不必要条件,则　( ) A.p 或q 为真命题 B.p 且q 为假命题 C.p 且q 为真命题D.p 或q 为真命题【解析】选A.因为实数a 满足1<a<2,命题p:函数y=lg(2-ax)在区间上是减函数,为[0,1]真命题;命题q:x 2<1是x<a 的充分不必要条件,为真命题,故p 或q 为真命题.【补偿训练】命题p:函数y=x+在上的值域为;命题q:lo (a+1)>lo a(a>0).下2x[3,92]g 12g 12列命题中,真命题是　( )A.p ∧qB.(p)∨qC.p ∧(q)D.p ∨q【解析】选B.因为y=x+在上为减函数,在[,4]上为增函数,2x2所以当x=1时,y=1+2=3,当x=4时,y=4+=,即最大值为,249292当x=时,y=+=+=2,即最小值为2, 22222222故函数的值域为,故命题p 为假命题.[22,92]若a>0,则a+1>a,则lo (a+1)<lo a,故命题q 为假命题,g 12g 12则(p)∨q 为真命题.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016·信阳高二检测)已知命题p:a 2≥0(a ∈R),命题q:函数f(x)=x 2-x 在区间及 (0,+∞)上都是减函数,则f(x)在(-∞,+∞)上是减函数.给出下列结论: ①“p ∨q ”是真命题 ②“p ∨q ”是假命题 ③p 为假命题④q 为假命题其中所有正确结论的序号为 .【解析】当a ·b >0时,a 与b 的夹角为锐角或零度角,所以命题p 是假命题;命题q 是假命题,例如f(x)=故①③④错误,②正确. {-x +1,x ≤0,‒x +2,x >0.答案:②8.(2016·临汾高二检测)已知c>0,且c ≠1.设命题p:函数f(x)=log c x 为减函数,命题q:当x ∈时,函数g(x)=x+>恒成立.如果p 或q 为真命题,p 且q 为假命题,则实数c[12,2]1x 1c的取值范围为 .【解题指南】先从p,q 都为真命题求出c 的范围,再利用p,q 一真一假确定c 的范围.【解析】由f(x)=log c x 为减函数得0<c<1.当x ∈时,由基本不等式可得g(x)=x+在[12,2]1x上的最小值为g(1)=2.当x ∈时,由函数g(x)=x+>恒成立,得2>,解得c>[12,2][12,2]1x 1c 1c 12,又c ≠1,所以c>且c ≠1.如果p 真q 假,则0<c ≤;如果p 假q 真,则c>1,所以实数c 的1212取值范围为∪(1,+∞).(0,12]答案:∪(1,+∞)(0,12]三、解答题(每小题10分,共20分)9.(教材P18习题1.3A 组T3改编)写出下列命题的p ∨q,p ∧q,p 的形式,并判断其真假: (1)p:是有理数;q:是实数.22(2)p:5不是15的约数;q:5是15的倍数.(3)p:空集是任何集合的子集;q:空集是任何集合的真子集. 【解析】(1)p ∨q:是有理数或是实数,真命题;22p ∧q:是有理数且是实数,假命题;22p:不是有理数,真命题.2(2)p ∨q:5不是15的约数或5是15的倍数,假命题; p ∧q:5不是15的约数且5是15的倍数,假命题; p:5是15的约数,真命题.(3)p ∨q:空集是任何集合的子集或空集是任何集合的真子集,真命题; p ∧q:空集是任何集合的子集且空集是任何集合的真子集,假命题; p:空集不是任何集合的子集;假命题.【补偿训练】分别指出由下列各组命题构成的“p ∧q”“p ∨q”“p ”形式的命题的真假: (1)p:6<6,q:6=6.(2)p:梯形的对角线相等;q:梯形的对角线互相平分. (3)p:函数y=x 2+x+2的图象与x 轴没有公共点;q:不等式x 2+x+2<0无解.【解析】(1)因为p 为假命题,q 为真命题, 所以p ∧q 为假命题,p ∨q 为真命题,p 为真命题. (2)因为p 为假命题,q 为假命题,所以p ∧q 为假命题,p ∨q 为假命题,p 为真命题. (3)因为p 为真命题,q 为真命题,所以p ∧q 为真命题,p ∨q 为真命题,p 为假命题. 10.(2016·泉州高二检测)设命题p:函数f(x)=是R 上的减函数,命题q:函数(a ‒32)xf(x)=x 2-4x+3在上的值域是.若“p ∨q”为真命题,“p ∧q”为假命题,求实数a 的取值范围.【解析】若命题p 为真,则0<a-<1,得<a<,323252若命题q 为真,即f(x)=(x-2)2-1在上的值域是,得2≤a ≤4. 因为p ∨q 为真,p ∧q 为假,得p,q 中一真一假. 若p 真q 假,则{32<a <52,a <2或a >4,得<a<2; 32若p 假q 真,则{a ≤32或a ≥52,2≤a ≤4,得≤a ≤4;52综上:实数a 的取值范围为<a<2或≤a ≤4.3252一、选择题(每小题5分,共10分) 1.(2016·益阳高二检测)已知命题p:函数f(x)=|sin 2x-|的最小正周期为π;命题q:若函12数f(x+1)为偶函数,则f(x)关于x=1对称.则下列命题是真命题的 是　( ) A.p ∧qB.p ∨qC.(p)∧(q)D.p ∨(q)【解析】选B.函数f(x)==|2sin 2x-1|=|cos2x|,|s in 2x ‒12|1212因为cos2x 的周期是π, 所以函数f(x)=的最小正周期为,即命题p 是假命题.|s in 2x ‒12|π2若函数f(x+1)为偶函数,则f(-x+1)=f(x+1),即f(x)关于x=1对称,所以命题q 为真命题,则p ∨q 为真命题.2.(2016·株洲高二检测)已知命题p:π是有理数,命题q:x 2-3x+2<0的解集是(1,2).给出下列结论:(1)命题p ∧q 是真命题. (2)命题p ∧(q)是假命题. (3)命题(p)∨q 是真命题.(4)命题(p)∨(q)是假命题,其中正确的是　( ) A.(1)(3)B.(2)(4)C.(2)(3)D.(1)(4)【解析】选C.因为命题p:π是有理数,是假命题,命题q:x 2-3x+2<0的解集是(1,2)是真命题,所以p 是真命题,q 是假命题,所以(1)命题p ∧q 是真命题错误. (2)命题p ∧(q)是假命题,正确. (3)命题(p)∨q 是真命题,正确. (4)命题(p)∨(q)是假命题,错误. 二、填空题(每小题5分,共10分)3.给出命题p:直线ax+3y+1=0与直线2x+(a+1)y+1=0互相平行的充要条件是a=-3,命题q:若平面α内不共线的三点到平面β的距离相等,则α∥β.关于以上两个命题,下列结论中正确的是 .①命题“p 且q ”为真 ②命题“p 或q ”为假 ③命题“p 或q ”为假 ④命题“p 且q ”为真【解析】若两直线平行,则必满足a(a+1)-2×3=0,解得a=-3或a=2,但当a=2时两直线重合,所以两直线平行⇔a=-3,所以命题p 为真;命题q 中如果这三点不在平面β的同侧,则不能推出α∥β,所以命题q 为假,故只有④正确. 答案:④4.(2016·洛阳高二检测)已知命题p:关于x 的方程x 2-ax+4=0有实根;命题q:关于x 的函数y=2x 2+ax+4在,故p 为真命题时,a 的取值范围为.(2)当q 为真命题时a 的取值范围为a ≥-, 14由题意得,p 与q 一真一假,从而当p 真q 假时有a 无解;{0≤a ≤3,a <‒14,当p 假q 真时有{a <0或a >3,a ≥‒14,所以a>3或-≤a<0.14所以实数a 的取值范围是∪(3,+∞).[-14,0)【补偿训练】已知命题p:(x+1)(x-5)≤0,命题q:1-m ≤x ≤1+m. (1)若p 是q 的必要条件,求实数m 的取值范围.(2)若m=5,“p ∨q ”为真命题,“p ∧q ”为假命题,求实数x 的取值范围.【解析】(1)由p 可得集合A={x|-1≤x ≤5},由q 可得集合B={x|1-m ≤x ≤1+m}.由p 是q 的必要条件,则B ⊆A,①B=Ø,1-m>1+m,m<0;②B≠Ø,m≥0,1-m≥-1且1+m≤5,0≤m≤2,综上,m≤2.(2)“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,则p与q一真一假,p真q假,x的取值范围是Ø.p假q真,x的取值范围是.所以x的取值范围为.。