简单地逻辑联结词地练习题与答案

其中， p：∅是{∅}的元素； q：∅是{∅}的真子集． 此命题为真命题，因为p为真，q也为真，故 “p且q”为真命题.

将下列命题用“且”、“或”联结成新命题： (1)p：矩形的对角线互相平分；q：矩形的对角线相等． (2)p：35 是 5 的倍数；q：35 是 7 的倍数． (3)p：方程 2x2－2 6x＋3＝0 的两根都是实数；q：方程 2x2－2 6x＋3＝0 的两根不等．
解析：
若方程 x2＋mx＋1＝0 有两个不等的负根，
Δ＝m2－4>0， 则 m>0，
解得 m>2， 即 p：m>2. 若方程 4x2＋4(m－2)x＋1＝0 无实根， 则 Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)<0， 解得 1<m<3， 即 q：1<m<3.
因 p 或 q 为真，p 且 q 为假， 所以 p、q 有一个为真一个为假． (1)若 p 真，q 假，

解析： (1)p∧q：梯形有一组对边平行且有 一组对边相等． p∨q：梯形有一组对边平行或有一组对边相 等． (2)此命题为“p且q”形式的命题，其中， p：(n－1)·n·(n＋1)(n∈N*)能被2整除； q：(n－1)·n·(n＋1)(n∈N*)能被3整除． 此命题为真命题，因为p为真命题，q也是真命 题．所以“p且q”为真命题．
1.3简单的逻辑联结词
在数学中常常要使用逻辑联结词 “或”、“且”、“非”，它们与日常生 活中这些词语所表达的含义和用法是不尽 相同的，下面我们就分别介绍数学中使用 联结词“或”、“且”、“非”联结命题 时的含义与用法。
为了叙述简便，今后常用小写字母 p，q，r，s，…表示命题。
一、由“且”构成的复合命题

高考第一轮复习简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词练习一、选择题1．已知命题p ：3≥3，q ：3＞4，则下列选项正确的是( )．A ．“p 或q ”为假，“p 且q ”为假，“p ”为真B ．“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，“p ”为真C ．“p 或q ”为假，“p 且q ”为假，“p ”为假D ．“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，“p ”为假2．下列命题中，正确的是( )．A ．命题“任意的x ∈R ，x 2－x ≤0”的否定是“存在x ∈R ，x 2－x ≥0”B ．命题“p 且q 为真”是命题“p 或q 为真”的必要不充分条件C ．“若am 2≤bm 2，则a ≤b ”的否命题为真D ．若实数x ，y ∈[－1,1]，则满足x 2＋y 2≥1的概率为π43．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2，设h (x )＝f (x )g (x )，则下列说法不正确的是( )．A ．存在x ∈R ，f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝g (x ) B ．任意的x ∈R ，f ⎝⎛⎫x －π2＝g (x ) C ．任意的x ∈R ，h (－x )＝h (x )D ．任意的x ∈R ，h (x ＋π)＝h (x )4．(2011广东深圳调研)若命题“p 或q ”与命题“非p ”都是真命题，则( )．A ．命题p 不一定是假命题B ．命题q 一定是真命题C ．命题q 不一定是真命题D ．命题p 与命题q 同真同假5．若命题p ：任意的x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≥－2x 2＋1是真命题，则实数a 的取值范围是( )．A ．a ≤－3或a ≥2B ．a ≥2C ．a ＞－2D ．－2＜a ＜26．下列命题：①任意的x ∈R ，不等式x 2＋2x ＞4x －3均成立；②若log 2x ＋log x 2≥2，则x ＞1；③“若a ＞b ＞0且c ＜0，则c a ＞c b”的逆否命题是真命题； ④若命题p ：任意的x ∈R ，x 2＋1≥1，命题q ：存在x ∈R ，x 2－x －1≤0，则命题p 且(q )是真命题．其中真命题为( )．A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④二、填空题7．设命题p ：c 2＜c 和命题q ：任意的x ∈R ，x 2＋4cx ＋1＞0.若p 和q 有且仅有一个成立，则实数c 的取值范围是__________．8．已知p (x )：x 2＋2x －m ＞0，且p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为__________．9．(2012江西赣州联考)设有两个命题：p ：不等式21+4>>23xm x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭对一切实数x 恒成立；q ：f (x )＝－(7－2m )x 是R 上的减函数，如果“p 且q ”为真命题，则实数m 的取值范围是__________．三、解答题10．写出下列命题的否定，并判断真假．(1)存在x 0∈R ，2040x －＝；(2)任意的T ＝2k π(k ∈Z )，sin(x ＋T )＝sin x ；(3)集合A 是集合A ∪B 或A ∩B 的子集；(4)a ，b 是异面直线，存在A ∈a ，B ∈b ，使AB ⊥a ，AB ⊥b .11．设p ：方程x 2＋2mx ＋1＝0有两个不相等的正根；q ：方程x 2＋2(m －2)x －3m ＋10＝0无实根．求使p 或q 为真，p 且q 为假的实数m 的取值范围．12．已知命题p ：方程2x 2＋ax －a 2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 0满足不等式200220x ax a ＋＋，若命题“p 或q ”是假命题，求a 的取值范围．参考答案一、选择题1．D 解析：因为p 真，q 假，由含有逻辑联结词的命题的真值表可以判断，“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，p 为假．2．C 解析：A 中否定不能有等号，B 中命题“p 且q 为真”是命题“p 或q 为真”的充分不必要条件，D 中概率计算错误，故选C.3．C 解析：对于A ，f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－sin x ，g (x )＝sin x ，若f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝g (x )， 只需sin x ＝0，即x ＝k π，k ∈Z ，故存在x ∈R ，f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝g (x )； 对于B ，f ⎝⎛⎭⎫x －π2＝sin x ＝g (x )，即任意的x ∈R ，f ⎝⎛⎭⎫x －π2＝g (x )，故B 正确； 对于C ，由于h (x )＝f (x )g (x )＝sin x cos x ＝12sin 2x 为奇函数， 即h (－x )＝－h (x )，故C 不正确；对于D ，由h (x )＝12sin 2x 知，其最小正周期为π，故D 正确． 综上，A ，B ，D 正确，C 不正确，故选C.4．B 解析：命题“p 或q ”与命题“非p ”都是真命题，则p 为假命题，q 为真命题．5．B 解析：依题意，a ＋2＞0且Δ＝16－4(a ＋2)(a －1)≤0，解得a ≥2.6．A 解析：由x 2＋2x ＞4x －3推得x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2＞0恒成立，故①正确；根据基本不等式可知，要使不等式log 2x ＋log x 2≥2成立，需要x ＞1，故②正确；由a ＞b ＞0得0＜1a ＜1b ，又c ＜0，可得c a ＞c b，则可知其逆否命题为真命题，故③正确；命题p 是真命题，命题q 为真命题，所以p 且(q )为假命题，所以选A.二、填空题7．⎝⎛⎦⎤－12，0∪⎣⎡⎭⎫12，1 解析：p ：由c 2＜c 得0＜c ＜1； q ：由Δ＝16c 2－4＜0，得－12＜c ＜12. 要使p 和q 有且仅有一个成立，实数c 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－12，0∪⎣⎡⎭⎫12，1. 8．[3,8) 解析：p (1)：3－m ＞0，即m ＜3.p (2)：8－m ＞0，即m ＜8.∵p (1)是假命题，p (2)是真命题，∴3≤m ＜8.9．1＜m ＜3 解析：p 为真命题，则有1＜m ≤4；q 为真命题，则有7－2m ＞1，即m ＜3，∴1＜m ＜3.三、解答题10．解：它们的否定及其真假分别为：(1)任意的x ∈R ，x 2－4≠0(假命题)．(2)存在T 0＝2k π(k ∈Z )，sin(x ＋T 0)≠sin x (假命题)．(3)存在集合A 既不是集合A ∪B 的子集，也不是A ∩B 的子集(假命题)．(4)a ，b 是异面直线，任意的A ∈a ，B ∈b ，有AB 既不垂直于a ，也不垂直于b (假命题)．11．解：由⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝4m 2－4>0，x 1＋x 2＝－2m >0 得m ＜－1，∴p ：m ＜－1；由Δ2＝4(m －2)2－4(－3m ＋10)＜0知－2＜m ＜3，∴q ：－2＜m ＜3.由p 或q 为真，p 且q 为假可知，命题p ，q 一真一假．当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧m <－1，m ≥3或m ≤－2，此时m ≤－2； 当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－1，－2<m <3，此时－1≤m ＜3. ∴m 的取值范围是(－∞，－2]∪[－1,3)．12．解：由2x 2＋ax －a 2＝0得(2x －a )(x ＋a )＝0，∴x ＝a 2或x ＝－a ，∴当命题p 为真命题时，⎪⎪⎪⎪a 2≤1或|－a |≤1，∴|a |≤2.又“只有一个实数x 0满足x 02＋2ax 0＋2a ≤0”，即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点，∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2.∴当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2.∴命题“p 或q ”为真命题时，|a |≤2.∵命题“p 或q ”为假命题，∴a ＞2或a ＜－2，即a 的取值范围为{a |a ＞2或a ＜－2}．。

（1）1是奇数且1是素数.（假）
（2）2是素数且3是素数. （真）
探究（二）：逻辑联结词“或”
命题(3)是由命
思考 下列三个命题间有什么关系？ 题(1)(2)使用联
（1）27是7的倍数；
结词“或”联 结得到的新命
（2）27是9的倍数；
题.
（3）27是7的倍数 或 是9的倍数。
一般地，用逻辑联结词“ ”把命题p和命题q联结起来,
例2 写出下列命题的否定，并判断
它们的真假：
（1）p：y＝sinx是周期函数；
（2）p：3＜2； （3）p：空集是集合A的子集.
（1）﹁p：y＝sinx不是周期函数.
假命题.
（2）﹁p：3≥2.
真命题.
（3）﹁p：空集不是集合A的子集. 假命题
例3 已知p：函数y＝ax在R上是减函 数，q：不等式x＋|x－2a|＞1的解集为R， 若﹁(p∧q)和p∨q都是真命题，求a的取
p与﹁p必有一个是真命题， 另一个是假命题.
பைடு நூலகம்真假相反
例5 写出下列命题的否定，并判断它们的真假：
（1）p:y=sinx 是周期函数；
解： p ： y=sinx不是周期函数。
假
（2）p:3 < 2
解： p ： 3≥2.
真
(3) p:空集是集合A的子集
解： p ： 空集不是集合A的子集。 假
符号“∧”与“∩”开口都是向下
思考4：在如图所示的串联电路中，开
关p、q处于什么状态时灯泡发亮？
pq
同真为真
其余为假
（一假必假)
思考5：如果把上述电路图中开关p、q 的闭合与断开，分别对应命题p、q的真 与假，那么灯泡发亮与命题p∧q的真假 有什么关系？

一轮复习简单逻辑连接词全称命题特称命题(含答案)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词最新考纲 1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；2.理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．知识梳理1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断p q p且q p或q非p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用“”表示；含有全称量词的命题叫做全称命题．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用“”表示；含有存在量词的命题叫做特称命题．3．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定x∈M，p(x)x0∈M，p(x0)x0∈M，p(x0)x∈M，p(x)1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)命题p∧q为假命题，则命题p，q都是假命题．(×)(2)若命题p，q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．(√)(3)已知命题p：n0∈N,2n0＞1 000，则p：n0∈N，2n0≤1 000.(×)(4)命题“x∈R，x2≥0”的否定是“x∈R，x2＜0”．(×)2．(2014·重庆卷)已知命题p ：对任意x ∈R ，总有|x |≥0； q ：x ＝1是方程x ＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．p ∧q C ．p ∧qD ．p ∧q 解析 由题意知，命题p 为真命题，命题q 为假命题，故q 为真命题，所以p ∧q 为真命题．答案 A3．(2014·湖南卷)设命题p ：x ∈R ，x 2＋1＞0，则p 为( ) A ．x 0∈R ，x 20＋1＞0 B ．x 0∈R ，x 20＋1≤0C ．x 0∈R ，x 20＋1＜0D ．x ∈R ，x 2＋1≤0解析 “x ∈R ，x 2＋1＞0”的否定为“x 0∈ R ，x 20＋1≤0”，故选B. 答案 B4．若命题“x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析 当a ＝0时，不等式显然成立；当a ≠0时，由题意知⎩⎨⎧a ＜0，Δ＝a 2＋8a ≤0，得－8≤a ＜0.综上，－8≤a ≤0. 答案 [－8,0]5．(人教A 选修1－1P26A3改编)给出下列命题： ①x ∈N ，x 3＞x 2；②所有可以被5整除的整数，末位数字都是0； ③x 0∈R ，x 20－x 0＋1≤0；④存在一个四边形，它的对角线互相垂直． 则以上命题的否定中，真命题的序号为________． 答案 ①②③考点一含有逻辑联结词的命题及其真假判断【例1】(1)(2014·辽宁卷)设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是()A．p∨q B．p∧qC．(p)∧(q) D．p∨(q)(2)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()A．(p)∨(q) B．p∨(q)C．(p)∧(q) D．p∨q解析(1)由于a，b，c都是非零向量，∵a·b＝0，∴a⊥b.∵b·c＝0，∴b⊥c.如图，则可能a∥c，∴a·c≠0，∴命题p是假命题，∴p是真命题．命题q中，a∥b，则a与b方向相同或相反；b∥c，则b与c方向相同或相反．故a与c方向相同或相反，∴a∥c，即q是真命题，则q是假命题，故p∨q是真命题，p∧q，(p)∧(q)，p∨(q)都是假命题．(2)命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包含以下三种情况：“甲、乙均没有降落在指定范围”“甲降落在指定范围，乙没有降落在指定范围”“乙降落在指定范围，甲没有降落在指定范围”．选 A.或者，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”等价于命题“甲、乙均降落在指定范围”的否命题，即“p∧q”的否定．选A.答案(1)A(2)A规律方法若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相反，做出判断即可．【训练1】 (1)若命题p：函数y＝x2－2x的单调递增区间是[1，＋∞)，命题q：函数y＝x－1x的单调递增区间是[1，＋∞)，则()A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．p是真命题D．q是真命题(2)“p∨q”为真命题是“p∧q”为真命题的________条件．解析(1)因为函数y＝x2－2x的单调递增区间是[1，＋∞)，所以p是真命题；因为函数y＝x－1x的单调递增区间(－∞，0)和(0，＋∞)，所以q是假命题．所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，p为假命题，q为真命题，故选D.(2)若命题“p∨q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题．若命题“p∧q”为真命题，则p，q都为真命题，因此“p∨q”为真命题是“p∧q”为真命题的必要不充分条件．答案(1)D(2)必要不充分考点二全(特)称命题的否定及其真假判定【例2】 (1)(2014·安徽卷)命题“x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是()A．x∈R，|x|＋x2＜0 B．x∈R，|x|＋x2≤0C．x0∈R，|x0|＋x20＜0 D．x0∈R，|x0|＋x20≥0(2)(2014·沈阳质量监测)下列命题中，真命题的是()A．x∈R，x2＞0 B．x∈R，－1＜sin x＜1C．x0∈R,2x0＜0 D．x0∈R，tan x0＝2解析 (1)全称命题的否定是特称命题，即命题“x ∈R ，|x |＋x 2≥0”的否定为“x 0∈R ，|x 0|＋x 20＜0”．故选C.(2)x ∈R ，x 2≥0，故A 错；x ∈R ，－1≤sin x ≤1，故B 错；x ∈R,2x ＞0，故C 错，故选D.答案 (1)C (2)D规律方法 (1)对全(特)称命题进行否定的方法有：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定．(2)判定全称命题“x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立．【训练2】 命题“存在实数x ，使x ＞1”的否定是( ) A ．对任意实数x ，都有x ＞1 B ．不存在实数x ，使x ≤1 C ．对任意实数x ，都有x ≤1 D ．存在实数x ，使x ≤1解析 “存在实数x ，使x ＞1”的否定是“对任意实数x ，都有x ≤1”．故选C. 答案 C考点三 与逻辑联结词、全(特)称命题有关的参数问题【例3】 已知p ：x ∈R ，mx 2＋1≤0，q ：x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2,2]解析 依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎨⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.答案 A规律方法 以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p ∨q ”“p ∧q ”“p ”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可．【训练3】已知命题p：“x∈[0,1]，a≥e x”；命题q：“x∈R，使得x2＋4x＋a ＝0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是________．解析若命题“p∧q”是真命题，那么命题p，q都是真命题．由x∈[0,1]，a≥e x，得a≥e；由x∈R，使x2＋4x＋a＝0，知Δ＝16－4a≥0，a≤4，因此e≤a≤4.答案[e,4]微型专题利用逻辑关系判断命题真假2014年高考试题新课标全国Ⅰ卷中考查了一道实际问题的逻辑推理题，这也是今后高考命题的新趋向，大家应加以重视，解决问题的关键是弄清实际问题的含义，结合数学的逻辑关系进行转化．【例4 (1)(2014·新课标全国Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________．(2)对于中国足球参与的某次大型赛事，有三名观众对结果作如下猜测：甲：中国非第一名，也非第二名；乙：中国非第一名，而是第三名；丙：中国非第三名，而是第一名．竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则中国足球队得了第________名．点拨找出符合命题的形式，根据逻辑分析去判断真假．解析(1)由题意可推断：甲没去过B城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A，C城市，而乙“没去过C城市”，说明乙去过城市A，由此可知，乙去过的城市为A.(2)由上可知：甲、乙、丙均为“p且q”形式，所以猜对一半者也说了错误“命题”，即只有一个为真，所以可知丙是真命题，因此中国足球队得了第一名．答案(1)A(2)一点评在一些逻辑问题中，当字面上并未出现“或”“且”“非”字样时，应从语句的陈述中搞清含义，并根据题目进行逻辑分析，找出各个命题之间的内在联系，从而解决问题.[思想方法]1．把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”、“且”、“非”字眼，要结合语句的含义理解．2．含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与?p→真假相反．3．要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，对照否定结构去写，否定的规律是“改量词，否结论”．[易错防范]1．命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p 的结论．2．命题的否定包括：(1)对“若p，则q”形式命题的否定；(2)对含有逻辑联结词命题的否定；(3)对全称命题和特称命题的否定，要特别注意下表中常见词语的否定.词语词语的否定等于不等于大于不大于(或小于等于)小于不小于(或大于等于)是不是一定是不一定是都是不都是(至少有一个不是)必有一个一个也没有任意的某一个且或或且至多有一个至少有两个基础巩固题组(建议用时：30分钟)一、选择题1．(2014·湖北卷)命题“?x∈R，x2≠x”的否定是()A．?x?R，x2≠x B．?x∈R，x2＝x C．?x?R，x2≠x D．?x∈R，x2＝x 解析原命题的否定为“?x∈R，x2＝x”．答案D2．(2014·天津卷)已知命题p：?x＞0，总有(x＋1)e x＞1，则?p为()A．?x0≤0，使得(x0＋1)e x0≤1B．?x0＞0，使得(x0＋1)e x0≤1C．?x＞0，总有(x＋1)e x≤1D．?x≤0，总有(x＋1)e x≤1解析命题p为全称命题，所以?p：?x0＞0，使得(x0＋1)e x0≤1.答案B3．(2015·海淀区模拟)已知命题p：?x∈R，x2＋x－1＜0，则?p为()A．?x∈R，x2＋x－1＞0 B．?x∈R，x2＋x －1≥0C．?x?R，x2＋x－1≥0D．?x?R，x2＋x －1＞0解析含有存在量词的命题的否定，需将存在量词改为全称量词，并将结论否定，即?p：?x∈R，x2＋x－1≥0.答案B4．已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是()A．?p∨q B．p∧qC．?p∧?q D．?p∨?q解析不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而上面叙述中只有?p∨?q为真命题．答案D5．(2014·湖北七市(州)联考)已知命题p：?x∈R，cos x＝54；命题q：?x∈R，x2－x＋1＞0，则下列结论正确的是()A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题(?p)∧(?q)是真命题D．命题(?p)∨(?q)是真命题解析易判断p为假命题，q为真命题，从而只有选项D正确．答案D6．下列命题中的假命题是()A．?x0∈R，lg x0＝0 B．?x0∈R，tan x0＝3C．?x∈R，x3＞0 D．?x∈R,2x＞0解析当x＝1时，lg x＝0，故命题“?x0∈R，lg x0＝0”是真命题；当x＝π3时，tan x＝3，故命题“?x0∈R，tan x0＝3”是真命题；由于x＝－1时，x3＜0，故命题“?x∈R，x3＞0”是假命题；根据指数函数的性质，对?x∈R,2x＞0，故命题“?x∈R,2x＞0”是真命题．答案C7．设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为π2；命题q：函数y＝cos x的图象关于直线x＝π2对称．则下列判断正确的是()A．p为真B．?q为假C．p∧q为假D．p∨q为真解析p是假命题，q是假命题，因此只有C正确．答案C8．(2015·武汉调研测试)已知命题p ：?φ∈R ，使f (x )＝sin(x ＋φ)为偶函数；命题q ：?x ∈R ，cos 2x ＋4sin x －3＜0，则下列命题中为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(?p )∨qC ．p ∨(?q )D ．(?p )∧(?q )解析 利用排除法求解．?φ＝π2，使f (x )＝sin(x ＋φ)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x 是偶函数，所以p 是真命题，?p 是假命题；?x ＝π2，使cos 2x ＋4sin x －3＝－1＋4－3＝0，所以q 是假命题，?q 是真命题．所以p ∧q ，(?p )∨q ，(?p )∧(?q )都是假命题，排除A ，B ，D ，p ∨(?q )是真命题，故选C.答案 C二、填空题9．(2014·合肥质量检测)命题p ：?x ≥0，都有x 3－1≥0，则?p 是________． 答案 ?x 0≥0，有x 30－1＜0.10．命题“?x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan x 0＞sin x 0”的否定是________． 答案 ?x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan x ≤sin x 11．若命题p ：关于x 的不等式ax ＋b ＞0的解集是{x |x ＞－b a }，命题q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )＜0的解集是{x |a ＜x ＜b }，则在命题“p ∧q ”、“p ∨q ”、“?p ”、“?q ”中，是真命题的有________．解析 依题意可知命题p 和q 都是假命题，所以“p ∧q ”为假、“p ∨q ”为假、“?p ”为真、“?q ”为真．答案 ?p 、?q12．下列结论：①若命题p ：?x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：?x ∈R ，x 2－x ＋1＞0.则命题“p ∧?q ”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是a b＝－3；③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题：若“x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”．其中正确结论的序号为________．解析 ①中命题p 为真命题，命题q 为真命题，所以p ∧?q 为假命题，故①正确；②当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确；③正确．所以正确结论的序号为①③.答案 ①③能力提升题组(建议用时：15分钟)13．(2014·衡水中学调研)给定命题p ：函数y ＝ln[(1－x )(1＋x )]为偶函数；命题q ：函数y ＝e x －1e x ＋1为偶函数．下列说法正确的是( ) A ．p ∨q 是假命题B ．(?p )∧q 是假命题C ．p ∧q 是真命题D ．(?p )∨q 是真命题解析 对于命题p ：令y ＝f (x )＝ln[(1－x )(1＋x )]，由(1－x )(1＋x )＞0，得－1＜x ＜1，∴函数f (x )的定义域为(－1,1)，关于原点对称，又∵f (－x )＝ln[(1＋x )(1－x )]＝f (x )，∴函数f (x )为偶函数，∴命题p 为真命题；对于命题q ：令y ＝f (x )＝e x －1e x ＋1，函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称，f (－x )＝e －x －1e －x ＋1＝1e x －11e x ＋1＝1－e x1＋e x＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数，∴命题q 为假命题，∴(?p )∧q 是假命题，故选B. 答案 B14．(2014·湖南五市十校联考)下列命题中是假命题的是( )A ．?α ，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin βB ．?φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数C ．?m ∈R ，使f (x )＝(m －1)·xm 2－4m ＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减D ．?a ＞0，函数f (x )＝ln 2 x ＋ln x －a 有零点解析 对于A ，当α＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立；对于B ，当φ＝π2时，f (x )＝sin(2x ＋φ)＝cos 2x 为偶函数；对于C ，当m ＝2时，f (x )＝(m －1)·xm 2－4m ＋3＝x －1＝1x ，满足条件；对于D ，令ln x ＝t ，?a ＞0，对于方程t 2＋t －a＝0，Δ＝1－4(－a )＞0，方程恒有解，故满足条件．综上可知，选B.答案 B15．(2014·北京海淀区测试)若命题“?x 0∈R ，使得x 20＋mx 0＋2m －3＜0”为假命题，则实数m 的取值范围是________．解析 由已知得“?x ∈R ，x 2＋mx ＋2m －3≥0”为真命题，则Δ＝m 2－4×1×(2m －3)＝m 2－8m ＋12≤0，解得2≤m ≤6，即实数m 的取值范围是2≤m ≤6.答案 [2,6]16．已知命题p ：“?x ∈R ，?m ∈R,4x －2x ＋1＋m ＝0”，若命题?p 是假命题，则实数m 的取值范围是__________．解析 若?p 是假命题，则p 是真命题，即关于x 的方程4x －2·2x ＋m ＝0有实数解，由于m ＝－(4x －2·2x )＝－(2x －1)2＋1≤1，∴m ≤1.答案 (－∞，1]17．已知c ＞0，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x ＞1c 恒成立．如果“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则c的取值范围是________．解析 由命题p 为真知，0＜c ＜1，由命题q 为真知，2≤x ＋1x ≤52，要使此式恒成立，需1c ＜2，即c ＞12，若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，则p ，q 中必有一真一假，当p 真q 假时，c 的取值范围是0＜c ≤12；当p 假q 真时，c 的取值范围是c ≥1.综上可知，c 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[1，＋∞)． 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[1，＋∞)。

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(p∨q)∨r=p∨(q∨r)（“或”运算 满足结合律）
分配律
p∨(q∧r)=(p∨q)∧(p∨r)（“或” 运算满足分配律）
重写律
¬(p∨q)=¬p∧¬q（“或”运算 的否定满足重写律）
“或”在日常生活中的例子
天气情况
“今天下雨或阴天”（表示今天至少是其中一种天 气）。
交通方式
“你可以乘公交车或地铁去公司”（表示你可以选择 其中一种交通方式）。
简单的逻辑联结词(且或)
contents
目录
• 引言 • 逻辑联结词“且” • 逻辑联结词“或” • “且”与“或”的比较与联系 • 练习与思考
01 引言
主题简介
1
逻辑联结词是逻辑学中的基本概念，用于描述命 题之间的逻辑关系。其中，“且”和“或”是最 常用的两个逻辑联结词。
2
“且”表示命题之间的同时成立关系，即所有条 件都必须满足。
味的冰淇淋。
03 逻辑联结词“或”
“或”的定义
“或”是逻辑联结词的一种，表示两种情况中至 少有一种情况存在。
在逻辑学中，“或”可以表示为符号“∨”。
“或”的含义与日常用语中的“或者”相似，但 逻辑学中的“或”更为严格和精确。
“或”的逻辑运算规则
交换律
p∨q=q∨p（“或”运算满足交 换律）
结合律
“且”在日常生活中的例子
例子1
小明和小华都想去旅游，小明说 ：“我想去海边。”小华说：“ 我也想去海边。” 于是他们决定
一起去海边旅游。
例子2
小李和小张都想去电影院看电影 ，小李说：“我想看科幻片。” 小张说：“我也想看科幻片。” 于是他们决定一起看科幻电影。

第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．命题p∧q，p∨q，¬p的真假判断p q p∧q p∨q ¬p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等∀存在量词存在一个、至少有一个、有些、某些等∃3.名称全称命题特称命题形式语言表示对M中任意一个x，有p(x)成立M中存在元素x0，使p(x0)成立符号表示∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)否定∃x0∈M，¬p(x0)∀x∈M，¬p(x)1．一种关系逻辑联结词与集合的关系：“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．2．两类否定(1)¬(p∧q)⇔(¬p)∨(¬q).(2)¬(p∨q)⇔(¬p)∧(¬q).3．三句口诀p∧q全真为真，p∨q有真即真，¬p与p真假相反．1．(基础知识：复合命题真假)已知p ：2是偶数，q ：2是质数，则命题¬p ，¬q ，p ∨q ，p ∧q 中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B2．(基础知识：特称命题的否定)设命题p ：∃n 0∈N ，n 20 ＞，则¬p 为( ) A ．∀n ∈N ，n 2＞2n B ．∃n 0∈N ，n 20 ≤C ．∀n ∈N ，n 2≤2nD ．∃n 0∈N ，n 20 ＝答案：C3．(基本方法：判断命题真假)已知命题p ：对任意x ∈R ，总有4x >0；命题q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(¬p )∧(¬q )C ．(¬p )∧qD ．p ∧(¬q )答案：D4．(基本能力：含有量词命题的真假)给出下列命题： ①∀x ∈N ，x 3＞x 2；②所有可以被5整除的整数，末位数字都是0； ③∃x 0∈R ，x 20 －x 0＋1≤0；④存在一个四边形，它的对角线互相垂直， 则以上命题的否定中，真命题的序号为________． 答案：①②③5．(基本应用：求参数)已知命题p ：x 2－5x ＋4≤0，q ：13－x ＜1.若(¬q )∧p 是真命题，则x 的取值范围是________．答案：[2，3]题型一 含有逻辑联结词的命题真假1．(2021·太原模拟)已知命题p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋1≥0；命题q ：若a ＜b ，则1a ＞1b ，则下列命题中为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∧(¬q )C ．(¬p )∧qD ．(¬p )∧(¬q )解析：x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －12 2＋34 ≥34 ＞0，所以∃x 0∈R ，使x 20 －x 0＋1≥0成立，故p 为真命题，¬p 为假命题．又易知命题q 为假命题，所以¬q 为真命题，可知p ∧(¬q )为真命题．答案：B2．若命题p ：函数y ＝x 2－2x 的单调递增区间是[1，＋∞)，命题q ：函数y ＝x －1x 的单调递增区间是[1，＋∞)，则( )A ．p ∧q 是真命题B ．p ∨q 是假命题C ．¬p 是真命题D ．¬q 是真命题解析：因为函数y ＝x 2－2x 的单调递增区间是[1，＋∞)， 所以p 是真命题；因为函数y ＝x －1x 的单调递增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，所以q 是假命题，所以p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，¬p 为假命题，¬q 为真命题． 答案：D3．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2 ；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称，则下列判断正确的是__________．(填序号)①p 为真命题；②¬q 为假命题； ③p ∧q 为假命题；④p ∨q 为真命题； ⑤(¬p )∧(¬q )为真命题；⑥¬(p ∨q )为真命题．解析：p 、q 均为假命题，故¬q 为真命题，p ∧q 为假命题，p ∨q 为假命题，(¬p )∧(¬q )为真命题，¬(p ∨q )为真命题．答案：③⑤⑥ 方法总结复合命题的真假判断方法解读适合题型直接 法(1)确定这个命题的结构及组成这个命题的每个简单命题；(2)判断每个简单命题的真假；(3)根据真值表判断原命题的真假能够顺利分解为简单命题转化 法 根据原命题与逆否命题的等价性，判断原命题的逆否命题的真假性原命题的真假性不易判断题型二 全称命题、特称命题1．下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R ，x 2≥0 B ．∀x ∈R ，2x －1＞0 C ．∃x 0∈R ，lg x 0＜1 D ．∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2解析：因为sin x 0＋cos x 0＝2 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋π4 ≤2 ＜2，所以选项D 为假命题． 答案：D2．已知命题p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋1≥0；命题q ：若a 2<b 2，则a <b .下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∧(¬q )C ．(¬p )∧qD ．(¬p )∧(¬q )解析：∵方程x 2－x ＋1＝0的根的判别式Δ＝(－1)2－4＝－3<0，又对于二次函数y ＝x 2－x ＋1，其图象开口向上，∴x 2－x ＋1>0恒成立，∴p 为真命题．对于命题q ，取a ＝2，b ＝－3，22<(－3)2，而2>－3，∴q 为假命题，¬q 为真命题．因此p ∧(¬q )为真命题．答案：B3．“∀x ∈R ，x 2－πx ≥0”的否定是( ) A ．∀x ∈R ，x 2－πx ＜0 B ．∀x ∈R ，x 2－πx ≤0C ．∃x 0∈R ，x 20 －πx 0≤0D ．∃x 0∈R ，x 20 －πx 0＜0解析：全称命题的否定是特称命题，所以“∀x ∈R ，x 2－πx ≥0”的否定是“∃x 0∈R ，x 20 －πx 0＜0”．答案：D4．命题“∃x 0∈N ，使得ln x 0(x 0＋1)＜1”的否定是( )A．∀x∈N，都有ln x(x＋1)＜1B．∀x∉N，都有ln x(x＋1)≥1C．∃x0∈N，都有ln x0(x0＋1)≥1D．∀x∈N，都有ln x(x＋1)≥1解析：原命题是特称命题，其否定为全称命题，所以原命题的否定是“∀x∈N，ln x(x＋1)≥1”．答案：D1．全称命题与特称命题真假的判断方法命题名称真假判断方法一判断方法二全称命题真所有对象使命题真否定为假假存在一个对象使命题假否定为真特称命题,真,存在一个对象使命题真,否定为假假,所有对象使命题假,否定为真2.全称命题与特称命题的否定(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．题型三命题中参数的取值范围[典例剖析]类型1复合命题中的参数问题[例1](2021·武汉模拟)已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x 的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p∨q是真命题，则实数a的取值范围是________．解析：若命题p是真命题，则Δ＝a2－16≥0，即a≤－4或a≥4；若命题q是真命题，则－a4≤3，即a ≥－12. 因为p ∨q 是真命题，所以a ∈R ， 即a 的取值范围是(－∞，＋∞). 答案：(－∞，＋∞) 方法总结1．已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围．如本题中，当p 为真时a 的范围与当q 为真时a 的范围的并集．2．含逻辑联结词命题真假的等价关系： (1)p ∨q 真⇔p ，q 至少一个真⇔(¬p )∧(¬q )假． (2)p ∨q 假⇔p ，q 均假⇔(¬p )∧(¬q )真． (3)p ∧q 真⇔p ，q 均真⇔(¬p )∨(¬q )假． (4)p ∧q 假⇔p ，q 至少一个假⇔(¬p )∨(¬q )真． (5)¬p 真⇔p 假；¬p 假⇔p 真． 类型 2 含有量词命题中的参数问题[例2] (1)(任意恒成立)已知函数f (x )＝e xx －mx (e 为自然对数的底数)，若f (x )＞0在(0，＋∞)上恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，e)C ．⎝⎛⎭⎫－∞，e24 D ．⎝⎛⎭⎫e 24，＋∞解析：∵f (x )＝e xx －mx ＞0在(0，＋∞)上恒成立，∴m ＜e xx 2 在(0，＋∞)上恒成立，令g (x )＝e xx2 ，x ＞0，∴g ′(x )＝（x 2－2x ）e x x 4 ＝（x －2）e xx 3 ，当0＜x ＜2时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减； 当x ＞2时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增，则当x ＝2时，g (x )取得最小值，且最小值为g (2)＝e 24，∴m ＜e 24，则实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，e 24 . 答案：C(2)(存在成立)若命题“∃x 0∈R ，使得x 20 ＋(a －1)x 0＋1＜0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意得Δ＝(a －1)2－4＞0，∴a ＞3或a ＜－1. 答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞) 方法总结1．∃x 0∈R ，使b ≤－x 20 －2x 0成立． 设y ＝－x 2－2x ＝－(x ＋1)2＋1， ∴y max ＝1.只要b ≤y max 即可，∴b ≤1.2．单变量对“任意”恒成立，“存在”成立问题： (1)∀x ∈[m ，n ]，a ＞f (x )恒成立⇔a ＞f (x )max ， a ＜f (x )恒成立⇔a ＜f (x )min .(2)∃x 0∈[m ，n ]，使a ＞f (x )成立⇔a ＞f (x )min ， a ＜f (x )成立⇔a ＜f (x )max .[题组突破]1．对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4＜0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，2] C ．(－2，2]D ．(－2，2)解析：当a ＝2时，有－4＜0，对∀x ∈R 恒成立． 当a ≠2时，有⎩⎪⎨⎪⎧a －2＜0，Δ＝[－2（a －2）]2－4（a －2）·（－4）＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜2，－2＜a ＜2，∴－2＜a ＜2.综上可得－2＜a ≤2. 答案：C2．已知命题p ：∀x ∈R ，log 2(x 2＋x ＋a )＞0恒成立，命题q ：∃x 0∈[－2，2]，2a ≤，若命题p ∧q 为真命题，则实数a 的取值范围为________．解析：由题知，命题p ：∀x ∈R ，log 2(x 2＋x ＋a )＞0恒成立，即x 2＋x ＋a －1＞0恒成立，所以Δ＝1－4(a －1)＜0，解得a ＞54 ；命题q ：∃x 0∈[－2，2]，使得2a ≤，则a ≤2.当p ∧q为真命题时，须满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＞54，a ≤2，故实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤54，2 . 答案：⎝⎛⎦⎤54，23．若“∃x 0∈⎣⎡⎦⎤－π4，π3 ，m ≤tan x 0＋2”为真命题，则实数m 的最大值为________．解析：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π3 时，1≤tan x ＋2≤2＋3 .∃x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π3 ，使m ≤tan x 0＋2，则m ≤2＋3 .答案：2＋34．(母题变式)若例1中p ∧q 为真命题，求实数a 的取值范围． 解析：∵p ∧q 为真命题， ∴p 和q 均为真命题，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－4或a ≥4，a ≥－12.∴a 的取值范围为[－12，－4]∪[4，＋∞).5．(母题变式)若例1中p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围． 解析：由p ∨q 为真命题，p ∧q 是假命题知，命题p 和q 一真一假．若p 真q 假，则a ＜－12；若p 假q 真，则－4＜a ＜4.故a 的取值范围是(－∞，－12)∪(－4，4).再研高考创新思维1．(2019·高考全国卷Ⅲ)记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，2x －y ≥0 表示的平面区域为D .命题p ：∃(x ，y )∈D ，2x ＋y ≥9；命题q ：∀(x ，y )∈D ，2x ＋y ≤12.下面给出了四个命题①p ∨q ；②¬p ∨q ；③p ∧¬q ；④¬p ∧¬q . 这四个命题中，所有真命题的编号是( ) A ．①③ B ．①② C ．②③D ．③④解析：法一：画出可行域如图中阴影部分所示．目标函数z ＝2x ＋y 是一条平行移动的直线，且z 的几何意义是直线z ＝2x ＋y 的纵截距．显然，直线过点A (2，4)时，z min ＝2×2＋4＝8，即z ＝2x ＋y ≥8，∴2x ＋y ∈[8，＋∞).由此得命题p ：∃(x ，y )∈D ，2x ＋y ≥9正确； 命题q ：∀(x ，y )∈D ，2x ＋y ≤12不正确，∴①③真，②④假．法二：取x ＝4，y ＝5，满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，2x －y ≥0， 且满足2x ＋y ≥9，不满足2x ＋y ≤12，故p 真，q 假，∴①③真，②④假． 答案：A2．(2019·高考浙江卷)已知a ∈R ，函数f (x )＝ax 3－x .若存在t ∈R ，使得|f (t ＋2)－f (t )|≤23 ，则实数a 的最大值是________．解析：由题意，得f (t ＋2)－f (t ) ＝a (t ＋2)3－(t ＋2)－(at 3－t ) ＝a [(t ＋2)3－t 3]－2＝a (t ＋2－t )[(t ＋2)2＋(t ＋2)·t ＋t 2]－2 ＝2a (3t 2＋6t ＋4)－2＝2a [3(t ＋1)2＋1]－2. 由|f (t ＋2)－f (t )|≤23 ，得|2a [3(t ＋1)2＋1]－2|≤23 ，即－23 ≤2a [3(t ＋1)2＋1]－2≤23 ，23 ≤a [3(t ＋1)2＋1]≤43， ∴23 ·13（t ＋1）2＋1 ≤a ≤43 ·13（t ＋1）2＋1 . 设g (t )＝43 ·13（t ＋1）2＋1 ，则当t ＝－1时，g (t )max ＝43，∴当t ＝－1时，a 取得最大值43 ，满足题意．答案：43素养升华命题真假的判断已知命题p ：∀x ＞2，2x ＞x 2；命题q ：∃x 0∈R ，x 30 ＝1－x 20 ，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(¬p )∧qC ．p ∧(¬q )D ．(¬p )∧(¬q )解析：在平面直角坐标系中作出y ＝2x 与y ＝x 2的图象，如图①所示，结合图象可知当x ∈(2，4)时，2x ＜x 2，可知p 为假命题，所以¬p 为真命题．在平面直角坐标系中作出y ＝x 3与y ＝1－x 2的图象，如图②所示，结合图象可知y ＝x 3与y ＝1－x 2的图象有交点，可知q 为真命题，所以(¬p )∧q 为真命题．答案：B- 11 -。

九年级数学上册综合算式专项练习题解简单的逻辑联结词逻辑联结词是数学中常用的一种工具，它能够帮助我们准确地表达数学问题中的逻辑关系。

在九年级数学上册的综合算式中，我们会遇到一些涉及到逻辑联结词的问题。

本文将为大家解答一些简单的逻辑联结词相关的练习题。

1. 已知命题p为“3是一个素数”，命题q为“6是一个偶数”。

请你分别用逻辑联结词表示以下命题。

a) 3既是一个素数又是一个偶数。

b) 3是一个素数或者是一个偶数。

c) 如果3是一个素数，那么6是一个偶数。

解析：a) 命题p∧qb) 命题p∨qc) 命题p→q2. 命题p为“x＞0”，命题q为“x²＞0”。

请用逻辑联结词表示以下命题。

a) 当x大于0时，x的平方也大于0。

b) 只有当x大于0时，x的平方才大于0。

c) 当x的平方大于0时，x必须大于0。

解析：a) 命题p→qb) 命题p→qc) 命题q→p3. 命题p为“n是偶数”，命题q为“n是正数”。

请用逻辑联结词表示以下命题。

a) n既是偶数又是正数。

b) n是偶数或者是正数。

c) 如果n是偶数，那么n一定是正数。

解析：a) 命题p∧qb) 命题p∨qc) 命题p→q4. 命题p为“a＞b”，命题q为“b＞c”。

请用逻辑联结词表示以下命题。

a) 当a大于b时，b大于c。

b) 只有当a大于b时，b才大于c。

c) 当b大于c时，a必定大于b。

解析：a) 命题p→qb) 命题p→qc) 命题q→p5. 命题p为“m是整数”，命题q为“m是有理数”。

请用逻辑联结词表示以下命题。

a) m既是整数又是有理数。

b) m是整数或者是有理数。

c) 如果m是整数，那么m一定是有理数。

解析：a) 命题p∧qb) 命题p∨qc) 命题p→q通过以上习题的解答，我们可以看出逻辑联结词在数学中的重要性。

借助逻辑联结词，我们能够有效地表达命题之间的关系，推导出结论，解决数学问题。

因此，对于九年级数学上册综合算式中的逻辑联结词相关的练习题，掌握逻辑联结词的用法是非常重要的。

因为该方程的判别式Δ＝m02＋4＞0恒成立，故┐p为假命题．
(2)┐p：所有的三角形的三条边不全相等．
显然┐p为假命题．
有关全(特)称命题问题的解题策略． (1)判断全(特)称命题真假时，要注意假命题时只需举出 一个反例否定即可，而真命题必须保证对限定的集合中 每一个元素都成立． (2)写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命 题是全称命题还是特称命题，并找到其量词的位置及相 应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在 量词改成全称量词，同时否定结论．
解析：全称命题的否定是特称命题，
即命题“x∈R，|x|＋x2≥0”的否定为“x0∈R，|x0|＋ x02<0”．
故选C.
(2)已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若m满足关于x的方程2ax＋ b＝0，则下列选项中的命题为真命题的是( )
A．x0∈R，f(x0)<f(m) B．x0∈R，f(x0)>f(m) C．x∈R，f(x0)≤f(m) D．x∈R，f(x)≥f(m)
考向分层突破二：含有逻辑联结词的命题的真假判断
例1：(1)(2014•辽宁卷)设a，b，c是非零向量．已知命题p：若 a•b＝0，b•c＝0，则a•c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下 列命题中真命题是( )
A．p∨q B．p∧q C．( ┐p)∧(┐q) D．p∨(┐q)
解析： (1)命题p：若a•b＝0，b•c＝0，则a•c＝0，错误；
2．含量词的命题的否定方法 是“改量词，否结论”，即把全称量词与存在量词互换， 然后否定原命题的结论．
3．判断命题的真假要注意： 全称命题为真需证明，为假举反例即可； 特称命题为真需举一个例子，为假则要证明全称命题为真．
考向分层突破一：全称命题与特称命题

简单的逻辑联结词或(or)且(and)非(not) 教学目标1.理解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义.(重点)2.会判断命题“p∧q”“p∨q”“﹁p”的真假.(难点)3.掌握命题的否定与否命题的区别.(易混点)教材整理1 “且”“或”“非”的含义阅读教材P14第1段～第6段，P15“思考”～第3段，P16“思考”～第2段，完成下列问题.1..用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q，读作“p且q”.2.用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q，读作“p或q”.3.对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作﹁p，读作“非p”或“p的否定”.课堂练习1.命题：“菱形的对角线互相垂直平分”，使用的逻辑联结词的情况是()A.没有使用逻辑联结词B.使用了逻辑联结词“且”C.使用了逻辑联结词“或”D.使用了逻辑联结词“非”【解析】菱形的对角线互相垂直且互相平分.∴使用逻辑联结词“且”.【答案】 B2.若p：正数的平方大于0，q：负数的平方大于0，则p∨q：________.(用文字语言表述)【答案】正数或负数的平方大于0教材整理2 含有逻辑联结词的命题的真假判断阅读教材P14第7,8段，P15最后两行，P17第3,4段，完成下列问题.课堂练习1.已知命题p：5≤5，q：5＞6，则下列说法正确的是()A.p∧q为真，p∨q为真，﹁p为真B.p∧q为假，p∨q为假，﹁p为假C.p∧q为假，p∨q为真，﹁p为假D.p∧q为真，p∨q为真，﹁p为假【解析】易知p为真命题，q为假命题，由真值表可得：p∧q为假，p∨q为真，﹁p为假.【答案】 C2.若命题p：常数列是等差数列，则﹁p：________.【解析】只否定命题的结论：常数列不是等差数列.【答案】常数列不是等差数列例题分析(1)用适当的逻辑联结词填空(填“且”“或”“非”)：①若a2＋b2＝0，则a＝0________b＝0；②若ab＝0，则a＝0________b＝0；③平行四边形的一组对边平行________相等.【解析】①若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0，故填且.②若ab＝0，则a＝0或b＝0，故填或.③平行四边形的一组对边平行且相等，故填且.【答案】①且②或③且(2)将下列命题写成“p∧q”“p∨q”和“﹁p”的形式：①p：6是自然数，q：6是偶数；②p：∅⊆{0}，q：∅＝{0}；③p：甲是运动员，q：甲是教练员.【解】①p∧q：6是自然数且6是偶数.p∨q：6是自然数或6是偶数. ﹁p：6不是自然数.②p∧q：∅⊆{0}且∅＝{0}.p∨q：∅⊆{0}或∅＝{0}. ﹁p：∅⃘{0}.③p∧q：甲是运动员且甲是教练员.p∨q：甲是运动员或甲是教练员.﹁p：甲不是运动员.小结1.判断一个命题的构成形式时，不能仅从命题的字面上找逻辑联结词，而应当从命题的结构特征进行分析判断.2.用逻辑联结词构造新命题的两个步骤3.常见词语的否定形式：[再练一题]1.(1)判断下列命题的形式(从“p∨q”“p∧q”和“﹁p”中选填一种)：①π不是整数：______；②6≤8：______；③2是偶数且2是素数：_______.(2)分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“﹁p”形式的命题：①p：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，q：方程x2＋2x＋1＝0的两根的绝对值相等；②p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，q：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.【解析】(1)①﹁p②p∨q③p∧q(2)①“p∨q”：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等；“p∧q”：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根且两根的绝对值相等；“﹁p”：方程x2＋2x＋1＝0没有两个相等的实数根.②“p∨q”：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻的任何一个内角；“p∧q”：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任何一个内角；“﹁p”：三角形的外角不等于与它不相邻的两个内角的和.指出下列命题的真假：(1)命题：“不等式|x＋2|≤0没有实数解”；(2)命题：“－1是偶数或奇数”；(3)命题：“2属于集合Q，也属于集合R”.【精彩点拨】本题主要考查判断复合命题的真假，关键是搞清每个简单命题的构成形式.【自主解答】(1)此命题是“﹁p”的形式，其中p：不等式|x＋2|≤0有实数解.∵x＝－2是该不等式的一个解，∴命题p为真命题，即﹁p为假命题，故原命题为假命题.(2)此命题是“p或q”的形式，其中p：－1是偶数，q：－1是奇数. ∵命题p为假命题，命题q为真命题，∴“p∨q”为真命题，故原命题为真命题.(3)此命题为“p∧q”的形式，其中p：2∈Q，q：2∈R.∵命题p为假命题，命题q为真命题.∴命题“p∧q”为假命题，故原命题为假命题.小结判断含逻辑联结词的命题的真假时，首先确定该命题的构成，再确定其中简单命题的真假，最后由真值表进行判断.[再练一题]2.分别写出由下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”“﹁p”形式的命题，并判断其真假.(1)p ：等腰梯形的对角线相等，q ：等腰梯形的对角线互相平分； (2)p ：函数y ＝x 2－2x ＋2没有零点，q ：不等式x 2－2x ＋1>0恒成立. 【解】 (1)p ∧q ：等腰梯形的对角线相等且互相平分，假命题. p ∨q ：等腰梯形的对角线相等或互相平分，真命题. ﹁p ：等腰梯形的对角线不相等，假命题.(2)p ∧q ：函数y ＝x 2－2x ＋2没有零点且不等式x 2－2x ＋1>0恒成立，假命题. p ∨q ：函数y ＝x 2－2x ＋2没有零点或不等式x 2－2x ＋1>0恒成立，真命题. ﹁p ：函数y ＝x 2－2x ＋2有零点，假命题.探究 对涉及命题的真假且含参数的问题，参数范围怎样确定？【提示】 已知命题p ∧q 、p ∨q 、﹁p 的真假，可以通过真值表判断命题p 、q 的真假，然后将命题间的关系转化为集合间的关系，利用解不等式求参数的范围，要注意分各种情况进行讨论.已知命题p ：方程x 2＋2ax ＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0的解集为R ，若“p 或q ”与“﹁q ”同时为真命题，求实数a 的取值范围. 【精彩点拨】分别解出p ，q 中a 的范围→由条件得出p ，q 的真假→求出a 的取值范围 【自主解答】 命题p ：方程x 2＋2ax ＋1＝0有两个大于－1的实数根，等价于⎩⎨⎧Δ＝4a 2－4≥0，x 1＋x 2>－2，(x 1＋1)(x 2＋1)>0⇔⎩⎨⎧a 2－1≥0，－2a >－2，2－2a >0，解得a ≤－1.命题q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0的解集为R ，等价于a ＝0或⎩⎨⎧a >0，Δ<0，由于⎩⎨⎧ a >0，Δ<0⇔⎩⎨⎧a >0，a 2－4a <0，解得0<a <4，∴0≤a <4.因为“p 或q ”与“﹁q ”同时为真命题，即p 真且q 假，所以⎩⎨⎧a ≤－1，a <0或a ≥4，解得a ≤－1.故实数a 的取值范围是(－∞，－1].小结应用逻辑联结词求参数范围的四个步骤1.分别求出命题p，q为真时对应的参数集合A，B.2.由“p且q”“p或q”的真假讨论p，q的真假.3.由p，q的真假转化为相应的集合的运算.4.求解不等式或不等式组得到参数的取值范围.[再练一题]3.已知命题p：方程2x2＋ax－a2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数x0满足不等式x20＋2ax0＋2a≤0.若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围. 【解】由2x2＋ax－a2＝0，得(2x－a)(x＋a)＝0，∴x＝a2或x＝－a，∴当命题p为真命题时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a2≤1或|－a|≤1，∴|a|≤2. 又“只有一个实数x0满足不等式x20＋2ax0＋2a≤0”，即抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点，∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或a＝2，∴当命题q为真命题时，a＝0或a＝2，∴命题“p或q”为真命题时，|a|≤2.∵命题“p或q”为假命题，∴a>2或a<－2.即a的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞).1.已知命题p：3≥3，q：3＞4，则下列判断正确的是()A.p∨q为真，p∧q为真，﹁p为假B.p∨q为真，p∧q为假，﹁p为真C.p∨q为假，p∧q为假，﹁p为假D.p∨q为真，p∧q为假，﹁p为假【解析】p为真，q为假，故选D. 【答案】 D2.已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件.则下列命题为真命题的是()A.p∧qB.﹁p∧﹁qC.﹁p∧qD.p∧﹁q【解析】因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对任意x∈R，y＝2x>0恒成立，故p为真命题；因为当x>1时，x>2不一定成立，反之当x>2时，一定有x>1成立，故“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故q为假命题，则p∧q、﹁p 为假命题，﹁q为真命题，﹁p∧﹁q、﹁p∧q为假命题，p∧﹁q为真命题，故选D.【答案】 D3.命题“若x＞0，则x2＞0”的否定是________.【答案】若x＞0，则x2≤04.命题p：x＝π是y＝|sin x|的一条对称轴；q：2π是y＝|sin x|的最小正周期.下列命题：①p∨q；②p∧q；③﹁p；④﹁q.其中真命题的序号是________.【解析】∵π是y＝|sin x|的最小正周期，∴q为假.又∵p为真，∴p∨q为真，p∧q为假，﹁p为假，﹁q为真.【答案】①④5.判断下列命题的真假：(1)函数y＝cos x是周期函数并且是单调函数；(2)x＝2或x＝－2是方程x2－4＝0的解.【解】(1)由p：“函数y＝cos x是周期函数”，q：“函数y＝cos x是单调函数”，用联结词“且”联结后构成命题p∧q.因为p是真命题，q是假命题，所以p∧q是假命题.(2)由p：“x＝2是方程x2－4＝0的解”，q：“x＝－2是方程x2－4＝0的解”，用“或”联结后构成命题p∨q.因为p，q都是真命题，所以p∨q是真命题.。

第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存 在量词一、选择题1. 已知命题p ：存在n ∈N,2n>1 000，则非p 为( )A ．任意n ∈N,2n≤1 000B ．任意n ∈N,2n>1 000C ．存在n ∈N,2n≤1 000D ．存在n ∈N,2n<1 000解析 特称命题的否定是全称命题，即p ：存在x ∈M ，p(x)，则非p ：任意x ∈M ，非p(x)．答案 A2． ax2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是( )．A ．0＜a≤1B ．a ＜1C ．a≤1D ．0＜a≤1或a ＜0解析 (筛选法)当a ＝0时，原方程有一个负的实根，可以排除A 、D ；当a ＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B ，故选C.答案 C3．下列命题中的真命题是 ( )．A ．∃x ∈R ，使得sin x ＋cos x ＝32B ．∀x ∈(0，＋∞)，ex>x ＋1C ．∃x ∈(－∞，0)，2x<3xD ．∀x ∈(0，π)，sin x>cos x解析 因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2<32，故A 错误；当x<0时，y ＝2x 的图象在y ＝3x 的图象上方，故C 错误；因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4时有sin x<cos x ，故D 错误．所以选B.答案 B4．已知命题p ：∃a0∈R ，曲线x2＋y2a0＝1为双曲线；命题q ：x2－7x ＋12＜0的解集是{x|3＜x＜4}．给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧綈q”是假命题；③命题“綈p∨q”是真命题；④命题“綈p∨綈q”是假命题．其中正确的是________．A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④解析因为命题p和命题q都是真命题，所以命题“p∧q”是真命题，命题“p ∧綈q”是假命题，命题“綈p∨q”是真命题，命题“綈p∨綈q”是假命题．答案 D5．已知命题p：∃x0∈R，mx20＋1≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0.若p∨q 为假命题，则实数m的取值范围为()A．m≥2B．m≤－2C．m≤－2或m≥2D．－2≤m≤2解析若p∨q为假命题，则p、q均为假命题，即綈p：∀x∈R，mx2＋1＞0与綈q：∃x0∈R，x20＋mx0＋1≤0均为真命题．根据綈p：∀x∈R，mx2＋1＞0为真命题可得m≥0，根据綈q：∃x0∈R，x20＋mx0＋1≤0为真命题可得Δ＝m2－4≥0，解得m≥2或m≤－2.综上，m≥2.答案 A6．以下有关命题的说法错误的是()A．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”B．“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件C．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题D．对于命题p：∃x∈R，使得x2＋x＋1<0，则綈p：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0解析A、B、D正确；当p∧q为假命题时，p、q中至少有一个为假命题，故C错误．答案 C二、填空题7．命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0成立”的否定是________．答案对任意x∈R，都有x2＋2x＋5≠08．存在实数x，使得x2－4bx＋3b<0成立，则b的取值范围是________．解析要使x2－4bx＋3b<0成立，只要方程x2－4bx＋3b＝0有两个不相等的实根，即判别式Δ＝16b2－12b>0，解得b<0或b>34.答案 (－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞ 9．若“∀x ∈R ，(a －2)x ＋1>0”是真命题，则实数a 的取值集合是________．解析 “∀x ∈R ，(a －2)x ＋1>0”是真命题，等价于(a －2)x ＋1>0的解集为R ，所以a －2＝0，所以a ＝2.答案 {2}10．已知命题p ：“∃x ∈R 且x>0，x>1x ”，命题p 的否定为命题q ，则q 是“____________”；q 的真假为________．(选填“真”或“假”)答案 ∀x ∈R ＋，x≤1x 假11．命题“∃x0∈R,2x20－3ax0＋9＜0”为假命题，则实数a 的取值范围为________．解析 题目中的命题为假命题，则它的否定“∀x ∈R,2x2－3ax ＋9≥0”为真命题，也就是常见的“恒成立”问题，只需Δ＝9a2－4×2×9≤0，[来源:中_教_网z_z_s_tep] 即可解得－22≤a≤2 2.答案 [－22，22]12．令p(x)：ax2＋2x ＋a ＞0，若对任意x ∈R ，p(x)是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析 ∵对任意x ∈R ，p(x)是真命题．∴对任意x ∈R ，ax2＋2x ＋a ＞0恒成立，当a ＝0时，不等式为2x ＞0不恒成立，当a≠0时，若不等式恒成立，则{ a ＞0，＝4－4a2＜0，∴a ＞1.答案 a ＞113．若命题“∀x ∈R ，ax2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析 当a ＝0时，不等式显然成立；当a≠0时，由题意知⎩⎨⎧a ＜0，Δ＝a2＋8a≤0，得－8≤a ＜0.综上，－8≤a≤0.答案 [－8,0]三、解答题14. 写出下列命题的否定，并判断真假.(1)q: ∀x ∈R ，x 不是5x-12=0的根;(2)r:有些素数是奇数;(3)s: ∃x0∈R ，|x0|＞0.解 (1)⌝q: ∃x0∈R ，x0是5x-12=0的根，真命题.(2)⌝r:每一个素数都不是奇数，假命题.(3)⌝s:∀x ∈R ，|x|≤0，假命题. 15．已知c>0，设命题p ：函数y ＝cx 为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，函数f(x)＝x ＋1x >1c 恒成立．如果“p 或q”为真命题，“p 且q”为假命题，求c 的取值范围．解 由命题p 为真知，0<c<1，由命题q 为真知，2≤x ＋1x ≤52，要使此式恒成立，需1c <2，即c>12，若“p 或q”为真命题，“p 且q”为假命题，则p 、q 中必有一真一假，当p 真q 假时，c 的取值范围是0<c≤12；当p 假q 真时，c 的取值范围是c≥1.综上可知，c 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫c|0<c≤12或c≥1. 16． 已知命题p ：方程x2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根；命题q ：方程4x2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若“p ∨q”为真，“p ∧q”为假，求实数m 的取值范围． 解 若方程x2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根，则⎩⎨⎧ Δ＝m2－4＞0，m ＞0，解得m ＞2，即命题p ：m ＞2. 若方程4x2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根，则Δ＝16(m －2)2－16＝16(m2－4m ＋3)＜0，解得1＜m ＜3，即q ：1＜m ＜3.因“p ∨q”为真，所以p ，q 至少有一个为真，又“p ∧q”为假，所以命题p ，q 至少有一个为假，因此，命题p ，q 应一真一假，即命题p 为真、命题q 为假或命题p 为假、命题q 为真．∴⎩⎨⎧ m ＞2，m≤1或m≥3或⎩⎨⎧m≤2，1＜m ＜3.解得：m≥3或1＜m≤2， 即实数m 的取值范围为[3，＋∞)∪(1,2].。

∴a>2或a<－2.
即a的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞).
1.已知命题p：3≥3，q：3＞4，则下列判断正确的是()
A.p∨q为真，p∧q为真，﹁p为假
B.p∨q为真，p∧q为假，﹁p为真
C.p∨q为假，p∧q为假，﹁p为假
D.p∨q为真，p∧q为假，﹁p为假
【解析】p为真，q为假，故选D.
∴命题“p∧q”为假命题，故原命题为假命题.
判断含逻辑联结词的命题的真假时，首先确定该命题的构成，再确定其中简单命题的真假，最后由真值表进行判断.
[再练一题]
2.分别写出由下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”“﹁p”形式的命题，并判断其真假.
(1)p：等腰梯形的对角线相等，q：等腰梯形的对角线互相平分；
∴当命题p为真命题时， ≤1或|－a|≤1，
∴|a|≤2.
又“只有一个实数x0满足不等式x ＋2ax0＋2a≤0”，
即抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点，
∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或a＝2，
∴当命题q为真命题时，a＝0或a＝2，
∴命题“p或q”为真命题时，|a|≤2.
∵命题“p或q”为假命题，
p∨q：∅⊆{0}或∅＝{0}.
﹁p：∅⃘{0}.
③p∧q：甲是运动员且甲是教练员.
p∨q：甲是运动员或甲是教练员.
﹁p：甲不是运动员.
1.判断一个命题的构成形式时，不能仅从命题的字面上找逻辑联结词，而应当从命题的结构特征进行分析判断.
2.用逻辑联结词构造新命题的两个步骤
3.常见词语的否定形式：
正面
由于 ⇔ 解得0<a<4，∴0≤a<4.
因为“p或q”与“﹁q”同时为真命题，即p真且q假，

“非”命题对常见的几个正面词语的否定.
正面 否定 = ≠ > ≤ 是 都是 至多有 至少有 任意 所有 一个 一个 的 的 至少有 没有一 某个 某些 两个 个 不是 不都是
例4 写出下列命题的否定,并判断它 们的真假:
（ ）p：y sin x是周期函数； 1 （2）p：3 2； （3）p：空集是集合A的子集。
逻辑联结词中的”且”相当于集合中的”交 集”,即两个必须都选.
1.3.3 非(not)
思考?


下列命题间有什么关系? (1)35能被5整除;
(2)35不能被5整除.
一般地,对一个命题p全盘否定,就得 到一个新命题,记作
p
读作”非p”或”p的否定” 若p是真命题,则 p 必是假命题;若 p是假命题,则 p 必是真命题.
全真为真,有假即假.
p q
例1
将下列命题用”且”联结成新命题,并判断 它们的真假: (1)P:平行四边形的对角线互相平分,q:平行四 边形的对角线相等. (2)P:菱形的对角线互相垂直,q:菱形的对角线 互相平分.
例2
用逻辑联结词”且”改写下列命题,并判断它 们 的真假:

(1)1既是奇数,又是素数; (2)2和3都是素数.
2 2 （1）2+2=5； （2）3是方程x 9 0的根；（3） （-1） 1。
补例1 分别指出下列各组命题组成的“p或 q”,“p且q”,“非p”形式的复合命题的真假。 (1)p:2+2=5,q:3>2; (2)p:9是质数,q:8是12的约数; (3)p:1∈{1，2},q:{1}∈{1,2}. 补例2 指出下列复合命题的形式及构成复合 命题的简单命题,并判断复合命题的真假。 (1)非空集合A∩B的元素,既是集合A的元素,也 是集合B的元素. (2)5≥3. (3)梯形的中位线平行于两底且等于两底之和. (4)正数或0的平方根是实数.

）
3."若p且q”与“ p或q”均为假命题，指出命 题p、q的真假
4.下列命题为特称命题的 是（
）
（ 1 ）偶函数的图像关于 y轴对称；（ 2）正四棱柱都是平行六 面体
（3）不相交的直线是平行 直线；（ 4）存在实数大于等于 3
问题1：
5 已知命题p : x R, 使 sin x ; 命题q : x R, 都有x 2 x 1 0. 2 给出下列结论: ①命题“ p q”是真命题;②命题“ p q”是假命题;
简单的逻辑联结词、全称量词 与存在量词（复习课）
一、底线知识检测
1.三个a、b、c数均为零的否定是（ C.a、b、c至少一个为零 ） A.a、b、c均不为零 B.a、b、c至多一个为零 D.a、b、c不全为零
2.对命题“ x R, x 2 2 x 4 0"的否定正确的是（ A.x R, x 2 2 x 4 0 C.x R, x 2 2 x 4 0 B.x R, x 2 2 x 4 0 D.x R, x 2 2 x 4 0
例3.写出以下命题的否定 , 并判断其真假： (1) p : 有的菱形是正方形 ; (2)q : x R, x 2 2 x 2 0; (3)r : 至少有一个实数 x, 使x 3 1 0; (4) s : a, b R, ax b 0恰有一个解 .
三、巩固提升
三、巩固提升
若三条抛物线 y x 2 4ax 4a 3, y x 2 (a 1) x a 2 , y x 2ax 2a中至少有一条与 x轴有公共点，求 a的
2
取值范围 .
小结：
（1）“p且q”，”p或q”，”非p”三种命题形式真假性 的判断； （2）命题的否定与命题的否命题的区别； （3）含量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”． （4）根据命题的真假及充要条件求参数的取值范围．

特称命题存在M 中的一个x 0，使p (x 0)成立∃x 0∈M ，p (x 0)∀x ∈M ，⌝p (x )知识拓展1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1)p ∨q ：p ，q 中有一个为真，则p ∨q 为真，即有真为真． (2)p ∧q ：p ，q 中有一个为假，则p ∧q 为假，即有假即假． (3)⌝ p ：与p 的真假相反，即一真一假，真假相反．2．含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．3．命题的否定和否命题的区别：命题“若p ，则q ”的否定是“若p ，则⌝q ”，否命题是“若⌝p ，则⌝q ”．题型三 含参命题中参数的取值范围【例题精讲】例1. 已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数，若p ∧q 是真命题，则实数a 的取值范围是________________．例2. 已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－m ，若对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________________． 引申探究本例(2)中，若将“∃x 2∈[1,2]”改为“∀x 2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是________________．思维升华 (1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围．(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．【课堂练习】1. 已知命题“∃x 0∈R ，使2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,3) C ．(－3，＋∞) D ．(－3,1)2. 已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2,2]常用逻辑用语考点分析 有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等偏下．解决这类问题应熟练把握各类知识的内在联系． 一、命题的真假判断典例1 (1)(佛山模拟)已知a ，b 都是实数，那么“a ＞b ”是“ln a ＞ln b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件(2)(全国名校大联考)已知命题p ：∀x ∈R,3x <5x ；命题q ：∃x 0∈R ，x 30＝1－x 20，则下列命题中为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．(⌝ p )∧q C ．p ∧(⌝q ) D ．(⌝p )∧(⌝q )二、充要条件的判断典例 2 (1)(广东广雅中学、江西南昌二中联考)已知命题甲是“⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x 2＋xx －1≥0”，命题乙是“{x |log 3(2x ＋1)≤0}”，则下列说法正确的是( ) A ．甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件1．已知命题p ，q ，“⌝ p 为真”是“p ∧q 为假”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件2．下列命题中， 为真命题的是( ) A ．∀x ∈R ，－x 2－1<0B ．∃x 0∈R ，x 20＋x 0＝－1 C ．∀x ∈R ，x 2－x ＋14>0D ．∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2<03．若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．1. 简单的逻辑联结词2. 全称量词与存在量词及含有一个量词的否定【课后作业】1．已知命题p ：“x >3”是“x 2>9”的充要条件，命题q ：“a 2>b 2”是“a >b ”的充要条件，则下列判断正确的是( ) A ．p ∨q 为真 B ．p ∧q 为真 C ．p 真q 假 D ．p ∨q 为假2．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称，则下列判断正确的是( ) A ．p 为真 B ．⌝ q 为假 C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真9．命题“∃n 0∈N ，n 20＞02n”的否定是________________．10．已知函数f (x )的定义域为(a ，b )，若“∃x 0∈(a ，b )，f (x 0)＋f (－x 0)≠0”是假命题，则f (a ＋b )＝________.11．以下四个命题：①∀x ∈R ，x 2－3x ＋2>0恒成立；②∃x 0∈Q ，x 20＝2；③∃x 0∈R ，x 20＋1＝0；④∀x ∈R,4x 2>2x －1＋3x 2.其中真命题的个数为________．12．已知命题“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a >0”的否定为假命题，则实数a 的取值范围是____________．13．已知命题p ：－4<x －a <4，命题q ：(x －2)(3－x )>0，若⌝p 是⌝q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是______．14．下列结论：①若命题p ：∃x 0∈R ，tan x 0＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0，则命题“p ∧(⌝q )”是假命题； ②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是ab ＝－3；③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题是“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”． 其中正确结论的序号为________．15．已知命题p ：∃x 0∈R ，e 0x －mx 0＝0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若p ∨( q )为假命题，则实数m 的取值范围是________．16．已知函数f (x )＝x 2－x ＋1x －1(x ≥2)，g (x )＝a x (a >1，x ≥2)．(1)若∃x 0∈[2，＋∞)，使f (x 0)＝m 成立，则实数m 的取值范围为________________；(2)若∀x 1∈[2，＋∞)，∃x 2∈[2, ＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的取值范围为________________．。

§1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词A 组 专项基础训练(时间：30分钟)1．已知命题p ：所有有理数都是实数；命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( ) A ．(綈p )∨q B ．p ∧q C ．(綈p )∧(綈q )D ．(綈p )∨(綈q )2．(2015·开封模拟)已知命题p ，q ，“綈p 为真”是“p ∧q 为假”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知命题p ：“x >2是x 2>4的充要条件”，命题q ：“若a c 2>bc 2，则a >b ”，那么( )A ．“p 或q ”为真B ．“p 且q ”为真C ．p 真q 假D ．p ，q 均为假4．下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R,2x －1>0 B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0 C ．∃x 0∈R ，lg x 0<1D ．∃x 0∈R ，tan ⎝⎛⎭⎫x 0＋π4＝5 5．已知命题p ：若a >1，则a x >log a x 恒成立；命题q ：在等差数列{a n }中，m ＋n ＝p ＋q 是a n ＋a m ＝a p ＋a q 的充分不必要条件(m ，n ，p ，q ∈N *)．则下面选项中真命题是( ) A ．(綈p )∧(綈q ) B ．(綈p )∨(綈q ) C ．p ∨(綈q )D ．p ∧q6．命题p ：∀x ∈R ，sin x <1；命题q ：∃x ∈R ，cos x ≤－1，则下列结论是真命题的是( ) A ．p ∧q B ．(綈p )∧q C ．p ∨(綈q )D ．(綈p )∧(綈q )7．已知命题p ：所有指数函数都是单调函数，则綈p 为( ) A ．所有的指数函数都不是单调函数 B ．所有的单调函数都不是指数函数 C ．存在一个指数函数，它不是单调函数 D ．存在一个单调函数，它不是指数函数8．(2015·太原模拟)已知命题p ：∃x 0∈R ，e x 0－mx 0＝0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若p ∨(綈q )为假命题，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，0)∪(2，＋∞) B ．[0,2] C ．RD ．∅9．命题“∃x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0”的否定是________．10．若命题“∃x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 11．已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：13－x >1，若“綈q ∧p ”为真，则x 的取值范围是________．12．下列结论：①若命题p ：∃x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0.则命题“p ∧(綈q )”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是ab ＝－3；③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”．其中正确结论的序号为________．B组专项能力提升(时间：15分钟)13．已知命题p：∃x∈R，x－2>lg x，命题q：∀x∈R，x2>0，则()A．p∨q是假命题B．p∧q是真命题C．p∧(綈q)是真命题D．p∨(綈q)是假命题14．四个命题：①∀x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为()A．0 B．1C．2 D．415．下列结论正确的是()A．若p：∃x∈R，x2＋x＋1<0，则綈p：∀x∈R，x2＋x＋1<0B．若p∨q为真命题，则p∧q也为真命题C．“函数f(x)为奇函数”是“f(0)＝0”的充分不必要条件D．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的否命题为真命题16．已知命题p：“∀x∈R，∃m∈R,4x－2x＋1＋m＝0”，若命题綈p是假命题，则实数m 的取值范围是________.17．设p：方程x2＋2mx＋1＝0有两个不相等的正根；q：方程x2＋2(m－2)x－3m＋10＝0无实根．则使p∨q为真，p∧q为假的实数m的取值范围是________．18．已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2.若同时满足条件：①∀x∈R，f(x)<0或g(x)<0；②∃x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)<0，则m的取值范围是________.答案精析1．D [不难判断命题p 为真命题，命题q 为假命题，从而上述叙述中只有(綈p )∨(綈q )为真命题．]2．A [由“綈p 为真”可得p 为假，故p ∧q 为假；反之不成立．] 3．A [由已知得命题p 是假命题，命题q 是真命题，因此选A.]4．B [A 项，∵x ∈R ，∴x －1∈R ，由指数函数性质得2x －1>0；B 项，∵x ∈N *，∴当x ＝1时，(x －1)2＝0与(x －1)2>0矛盾；C 项，当x 0＝110时，lg 110＝－1<1；D 项，当x ∈R 时，tan x ∈R ，∴∃x 0∈R ，tan ⎝⎛⎭⎫x 0＋π4＝5.] 5．B [当a ＝1.1，x ＝2时，a x ＝1.12＝1.21，log a x ＝log 1.12>log 1.11.21＝2， 此时，a x <log a x ，故p 为假命题． 命题q ，由等差数列的性质，当m ＋n ＝p ＋q 时，a n ＋a m ＝a p ＋a q 成立，当公差d ＝0时，由a m ＋a n ＝a p ＋a q 不能推出m ＋n ＝p ＋q 成立，故q 是真命题． 故綈p 是真命题，綈q 是假命题，所以p ∧q 为假命题，p ∨(綈q )为假命题，(綈p )∧(綈q )为假命题，(綈p )∨(綈q )为真命题．] 6．B [p 是假命题，q 是真命题，所以B 正确．]7．C [命题p ：所有指数函数都是单调函数，则綈p ：存在一个指数函数，它不是单调函数. ]8．B [若p ∨(綈q )为假命题，则p 假q 真．命题p 为假命题时，有0≤m <e ；命题q 为真命题时，有Δ＝m 2－4≤0，即－2≤m ≤2.所以当p ∨(綈q )为假命题时，m 的取值范围是0≤m ≤2.] 9．∀x ∈R ，x 2＋2x ＋5≠0解析 否定为全称命题：“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋5≠0”． 10．(－∞，－1)∪(3，＋∞)解析 因为命题“∃x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1<0”等价于x 20＋(a －1)x 0＋1＝0有两个不等的实根，所以Δ＝(a －1)2－4>0，即a 2－2a －3>0，解得a <－1或a >3. 11．(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)解析 因为“綈q ∧p ”为真，即q 假p 真，而q 为真命题时，x －2x －3<0，得2<x <3，所以q假时有x ≥3或x ≤2；p 为真命题时，由x 2＋2x －3>0，解得x >1或x <－3，由⎩⎪⎨⎪⎧x >1或x <－3，x ≥3或x ≤2，解得x <－3或1<x ≤2或x ≥3，所以x 的取值范围是x <－3或1<x ≤2或x ≥3. 12．①③解析 ①中命题p 为真命题，命题q 为真命题， 所以p ∧(綈q )为假命题，故①正确； ②当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确； ③正确，所以正确结论的序号为①③.13．C [∵x ＝10时，x －2＝8，lg 10＝1，x －2>lg x 成立，∴命题p 为真命题，又x 2≥0，命题q 为假命题，所以p ∧(綈q )是真命题．] 14．A [∵x 2－3x ＋2>0，Δ＝(－3)2－4×2>0， ∴当x >2或x <1时，x 2－3x ＋2>0才成立， ∴①为假命题．当且仅当x ＝±2时，x 2＝2，∴不存在x ∈Q ，使得x 2＝2， ∴②为假命题．对∀x ∈R ，x 2＋1≠0，∴③为假命题． 4x 2－(2x －1＋3x 2)＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0， 即当x ＝1时，4x 2＝2x －1＋3x 2成立， ∴④为假命题．∴①②③④均为假命题．]15．D [∵x 2＋x ＋1<0的否定是x 2＋x ＋1≥0，∴A 错；若p ∨q 为真命题，则p 、q 中至少有一个为真，∴B 错；f (x )为奇函数，但f (0)不一定有意义，∴C 错；命题“若x 2－3x ＋2＝0则x ＝1”的否命题为“若x 2－3x －2≠0，则x ≠1”，是真命题，D 对．]16．(－∞，1]解析 若綈p 是假命题，则p 是真命题， 即关于x 的方程4x －2·2x ＋m ＝0有实数解， 由于m ＝－(4x －2·2x )＝－(2x －1)2＋1≤1，∴m ≤1. 17．(－∞，－2]∪[－1,3) 解析 设方程x 2＋2mx ＋1＝0的两根分别为x 1，x 2，由⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝4m 2－4>0，x 1＋x 2＝－2m >0，得m <－1，所以命题p 为真时，m <－1.由方程x 2＋2(m －2)x －3m ＋10＝0无实根，可知Δ2＝4(m －2)2－4(－3m ＋10)<0，得－2<m <3，所以命题q 为真时，－2<m <3.由p ∨q 为真，p ∧q 为假，可知命题p ，q 一真一假，当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧m <－1，m ≥3或m ≤－2，此时m ≤－2；当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－1，－2<m <3，此时－1≤m <3，所以所求实数m 的取值范围是m ≤－2或－1≤m <3. 18．(－4，－2)解析 当x ≥1时，g (x )≥0，∴要满足条件①，则f (x )<0在x ≥1时恒成立，f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)为二次函数，抛物线必须开口向下，即m <0.f (x )＝0的两根x 1＝2m ，x 2＝－m －3，且x 1－x 2＝3m ＋3.(ⅰ)当x 1>x 2，即－1<m <0时，必须大根x 1＝2m <1，即m <12.∴此时－1<m <0；(ⅱ)当x 1<x 2，即m <－1时，大根x 2＝－m －3<1，即m >－4.∴此时－4<m <－1； (ⅲ)当x 1＝x 2，即m ＝－1时，x 1＝x 2＝－2<1也满足条件． ∴满足条件①的m 的取值范围为－4<m <0.满足条件②∃x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )<0，必须满足二次函数的小根小于－4.(ⅰ)当m >－1时，小根x 2＝－m －3<－4且m <0，无解． (ⅱ)当m <－1时，小根x 1＝2m <－4且m <0，解得m <－2. (ⅲ)当m ＝－1时，f (x )＝－(x ＋2)2≤0恒成立， ∴不满足②.∴满足①②的m 的取值范围是－4<m <－2.。

03 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词知识梳理1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．(2)命题p ∧q 、p ∨q 、非p 的真假判断2.(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用“∀”表示；含有全称量词的命题叫做全称命题．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用“∃”表示；含有存在量词的命题叫做特称命题．(3)含有一个量词的命题的否定要点整合1．若p ∧q 为真，则p ，q 同为真；若p ∧q 为假，则p ，q 至少有一个为假；若p ∨q 为假，则p ，q 同为假；若p ∨q 为真，则p ，q 至少有一个为真．2．“p ∧q ”的否定是“(非p )∨(非q )”；“p ∨q ”的否定是“(非p )∧(非q )”．题型一. 含有一个逻辑联结词命题的真假性例1. 已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x >0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(非p )∧(非q )C ．(非p )∧qD ．p ∧(非q )解析： 根据指数函数的图象可知p 为真命题．由于“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，所以q 为假命题，所以非q 为真命题．逐项检验可知只有p ∧(非q )为真命题．故选D.[答案] D判断含有一个逻辑联结词命题的真假性的步骤第一步：先判断命题p 与q 的真假性，从而得出非p 与非q 的真假性．第二步：根据“p ∧q ”与“p ∨q ”的真值表进行真假性的判断．变式1．设命题p ：3≥2，q ：函数f (x )＝x ＋1x (x ∈R )的最小值为2，则下列命题为假命题的是( )A ．p ∨qB ．p ∨(非q )C ．(非p )∨qD ．p ∧(非q )解析：选C.命题p ：3≥2是真命题，命题q 是假命题，∴(非p )∨q 为假命题，故选C.变式2．已知命题p ：∀x ∈R ，2x <3x ，命题q ：∃x ∈R ，x 2＝2－x ，若命题(非p )∧q 为真命题，则x 的值为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选D.∵非p ：∃x ∈R ，2x ≥3x ，要使(非p )∧q 为真，∴非p 与q 同时为真．由2x ≥3x 得⎝⎛⎭⎫23x ≥1， ∴x ≤0，由x 2＝2－x 得x 2＋x －2＝0，∴x ＝1或x ＝－2，又x ≤0，∴x ＝－2.变式3．设p ：y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是减函数；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴有两个不同的交点，若p ∨(非q )为假，则a 的范围为__________．解析：∵p ∨(非q )为假，∴p 假q 真．p 为假时，a >1，q 为真时，(2a －3)2－4>0，即a <12或a >52，∴a 的范围为(1，＋∞)∩⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－∞，12∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞ ＝⎝⎛⎭⎫52，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫52，＋∞题型二. 含有一个量词的命题的否定例2. 命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是( )A ．∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1B ．∀x ∉(0，＋∞)，ln x ＝x －1C ．∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≠x 0－1D ．∃x 0∉(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1解析： 由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为全称命题，则所求命题的否定为∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1，故选A.[答案] A(1)特称命题与全称命题否定的判断方法：“∃”“∀”相调换，否定结论得命题．对没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；(2)判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可．变式1．命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0的否定为( )A ．非p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2>0B ．非p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0C ．非p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0D ．非p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2＜0解析：选C.根据特称命题的否定形式知非p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，故选C.变式2．设命题p ：任意两个等腰三角形都相似，q ：∃x 0∈R ，x 0＋|x 0|＋2＝0，则下列结论正确的是 ( )A ．p ∨q 为真命题B ．(非p )∧q 为真命题C ．p ∨(非q )为真命题D ．(非p )∧(非q )为假命题解析：选C.∵p 假，非p 真；q 假，非q 真，∴p ∨q 为假，(非p )∧q 为假，p ∨(非q )为真，(非p )∧(非q )为真，故选C.题型三. 全称命题与特称命题真假性的应用例3. 已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2，2]解析： 依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎨⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2. [答案] A根据全称与特称命题的真假性求参数范围的步骤第一步：对两个简单命题进行真假性判断．第二步：根据p ∧q 为真，则p 真q 真，p ∧q 为假，则p与q 至少有一个为假，p ∨q 为真，则p 与q 至少有一个为真，p ∨q 为假，则p 假q 假．第三步：根据p 、q 的真假性列出关于参数的关系式，从而求出参数的范围．变式1．若命题“存在实数x 0，使x 20＋ax 0＋1＜0”的否定是真命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－2] B ．[－2，2]C ．(－2，2)D ．[2，＋∞)解析：选B.因为该命题的否定为：“∀x ∈R ，x 2＋ax ＋1≥0”是真命题，则Δ＝a 2－4×1×1≤0， 解得－2≤a ≤2.故实数a 的取值范围是[－2，2]．变式2．(名师原创)若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，sin x ≤m ”是真命题，则实数m 的范围为( ) A ．[1，＋∞) B ．(－∞，1]C.⎝⎛⎦⎤－∞，12 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 解析：选A.∵∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，12≤sin x ≤1. ∴“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，sin x ≤m ”为真命题时，m ≥1，故选A.【真题演练】1.【浙江理数】命题“*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x >”的否定形式是（ ）A ．*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x <B ．*x n ∀∈∀∈，R N ，使得2n x <C ．*x n ∃∈∃∈，R N ，使得2n x <D ．*x n ∃∈∀∈，R N ，使得2n x <【答案】D【解析】∀的否定是∃，∃的否定是∀，2n x ≥的否定是2n x <．故选D ．2.【高考新课标1，理3】设命题p ：2,2n n N n ∃∈>，则p ⌝为( )（A ）2,2n n N n ∀∈> （B ）2,2n n N n ∃∈≤（C ）2,2n n N n ∀∈≤ （D ）2,=2n n N n ∃∈【答案】C【解析】p ⌝:2,2nn N n ∀∈≤，故选C.3.【高考浙江，理4】命题“**,()n N f n N ∀∈∈且()f n n ≤的否定形式是（ ） A. **,()n N f n N ∀∈∈且()f n n > B. **,()n N f n N ∀∈∈或()f n n >C. **00,()n N f n N ∃∈∈且00()f n n >D. **00,()n N f n N ∃∈∈或00()f n n >【答案】D.【解析】根据全称命题的否定是特称命题，可知选D.4.【陕西卷】原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，假，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假【答案】B5.【重庆卷】已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x >0，q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．非p ∧非qC ．非p ∧qD ．p ∧非q【答案】D【解析】根据指数函数的图像可知p 为真命题．由于“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，所以q 为假命题，所以非q 为真命题，所以p ∧非q 为真命题．6.【湖北卷】在一次跳伞中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．(⌝p)∨(⌝q)B ．p ∨(⌝q)C ．(⌝p)∧(⌝q)D ．p ∨q【答案】A“至少一位学员没降落在指定区域”即“甲没降落在指定区域或乙没降落在指定区域”，可知选A.。

§1.3简单的逻辑联结词一、选择题1、命题“p ”或“非p ”( )A 、可能都是真命题B 、可能都是假命题C 、一真一假D 、只有p 是真命题2、“a+b>2c ”的一个充分不必要条件是（ ）A 、a>c 或b>cB 、a>c 且b<cC 、a>c 且b>cD 、a>c 或b<c3、用反证法证明命题“如果a>b,那么33b a >”时，假设的内容应是（ ） A 、33b a =B 、33b a <C 、且33b a =33b a < D 、或33b a =33b a < 4、如果原命题的结论是“p 且q ”形式，那么否命题的结论形式是（ ）A 、q p ⌝⌝且B 、q p ⌝⌝或C 、q p 或⌝D 、p q 或⌝5、如果原命题的结论是“p 或q ”形式，那么否命题的结论形式是（ ）A 、q p ⌝⌝或B 、q p 或⌝C 、p q 或⌝D 、q p ⌝⌝且6、|x|+|y|0≠等价于（ ）A 、x=0且y=0B 、x=0或y=0C 、00≠≠y x 且D 、00≠≠y x 或7、命题“存在实数x,使|x+1|4,02<≤x 且”是（ ）A 、“p 或q ”的形式B 、“非p ”的形式C 、真命题D 、假命题8、的是且""""B A x B x A x ⋂∉∉∉（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件9、若命题p:0是偶数，命题q ：2是3的约数，则下列命题中为真的是（ ）A 、q p ∧B 、q p ∨C 、p ⌝D 、q p ⌝∧⌝10、如果命题“非p 或非q ”是假命题，则在下列各结论中正确的是（ ）（1）命题“q p ∧”是真命题； （2）命题“q p ∧”是假命题；（3）命题“q p ∨”是真命题； （4）命题“q p ∨”是假命题；A 、（1）（3）B 、（2）（4）C 、（2）（3）D 、（1）（4）11、设A 、B 是全集U 的子集，命题p 为“3B A ⋂∈”，则命题“非p ”为（ ）：A 、)()(3BC A C U U ⋃∈ B 、 )()(3B C A C U U ⋂∈C 、B A ⋃∈3D 、B A ⋃∉312、设p 、q 是两个命题，则“复合命题p 或q 为真，p 且q 为假”的充要条件是（ ）A 、p 、q 中至少有一个为真B 、p 、q 中至少有一个为假C 、p 、q 中只有一个为真D 、p 为真，q 为假13、由下列各组命题构成“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ”形式的复合命题中，“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，“非p ”为真的是（ ）A 、p ：3为偶数；q ：4是奇数B 、p ：3+2=6；q ：5＞3C 、{}b a a p ,:∈；q ：{a}≠⊂ {a,b}D 、Q ≠⊂R ；N=N14、下列命题：（1）5>4或4>5；（2）9≥3；（3）命题“若a>b,则a+c>b+c ”；（4）命题“菱形的两条对角线互相垂直”，其中，假命题的个数是（ ）A 、0B 、1C 、2D 、315、若p 、q 是两个简单命题，且“p 或q ”的否定是真命题，则必有（ ）A 、p 真q 真B 、p 假q 假C 、p 真q 假D 、p 假q 真二、填空题16、由命题p:6是12的约数，q: 6是24的约数,构成“p 或q ”的形式的命题是 ；“p 且q ”的形式的命题是 ；“非p ”的形式的命题是 ；17、若把命题""B A ⊆看成一个复合命题，那么复合命题的形式是 ，其中构成它的两个简单命题是 、 。