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2实验 区间估计

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121 实验二 区间估计

一 实验目的

学习用Mathematica求一个正态总体的均值、方差的置信区间的方法；求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间的方法.

二 学习Mathematica命令

1. 调用区间估计软件包命令<

用Mathematica作区间估计，必须调用相应的软件包. 对Mathematica2.2 版本，首先要输入并执行命令

<

对Mathematica4.0版本，要输入并执行命令

<

或

<

2. 一个正态总体求均值的置信区间命令MeanCI

无论方差已知, 还是未知, 求正态总体均值的置信区间的命令都是MeanCI, 其格式是

MeanCI[样本观察值,选项1,选项2,…]

选项1用于选定置信度, 形式为ConfidenceLevel->1-, 默认值为ConfidenceLevel->0.95,这时可省略. 选项2用于说明方差, 其形式为KnownVariance->20(方差的已知值)或None,

默认值为KnownVariance->None, 即该选项省略时默认方差未知. 也可以用说明标准差的选项KnownStandardDeviation->0或None来代替选项KnownVariance->20或None.

3. 两个正态总体求均值差的置信区间命令MeanDifferenceCI

命令MeanDifferenceCI的格式是

MeanDifferenceCI[样本1的观察值,样本2的观察值,

选项1,选项2,选项3,…]

选项1用于选定置信度, 形式为ConfidenceLevel->1-, 当1-=0.95时可省略. 选项2用于说明两个总体的方差, 形式是KnownVariance->None或20或{21,22}, 在省略选项2时默认KnownVariance->None, 即方差未知. 选项3用于说明两个总体的方差是否相等, 形式为EqualVariance->False或True. 默认形式是EqualVariance->False, 即默认方差不相等.

理论上, 两个正态总体的方差都未知又不相等时，构造两个正态总体的均值之差的置信区间比较复杂一些(Behrens-Fisher问题). 这里不作深入讨论, 只要求会求出结果来就行了(详见本实验的例5,6).

4. 一个正态总体求方差的置信区间命令VarianceCI

求方差的置信区间的命令VarianceCI比较简单,格式是

VarianceCI[样本观察值,选项]

这里只有一个选项ConfidenceLevel->1-, 用于选定置信度. 当1-= 0.95时, 可省略这一选项. 即ConfidenceLevel->0.95为默认值.

122 5. 两个正态总体求方差比的置信区间命令VarianceRatioCI

命令VarianceRatioCI的格式是

VarianceRatioCI[样本1的观察值, 样本2的观察值, 选项]

同样, 选项ConfidenceLevel->0.95为默认值.

6. 当数据为概括数据时的求置信区间命令

（1） 用NormalCI命令求正态总体方差已知时总体均值的置信区间.命令NormalCI的基本格式是

NormalCI[样本均值,样本均值的标准差, 置信度选项]

(2) 用StudentTCI命令求正态总体方差未知时总体均值的置信区间.命令StudentTCI的基本格式是

StudentTCI[样本均值,样本均值的标准差的估计,自由度,置信度选项]

(3) 用ChiSquareCI命令求总体方差的置信区间.命令ChiSquareCI的基本格式是

ChiSquareCI[样本方差,自由度,置信度选项]

(4) 用命令FRatioCI求得方差比的置信区间. 命令FRatioCI的格式是

FRatioCI[方差比的值, 分子自由度, 分母自由度, 置信度选项]

三 实验内容

1. 一个总体),(2N的均值的置信区间

a) 2已知，关于均值的置信区间

例1 某车间生产滚珠，从长期实践中知道，滚珠直径可以认为服从正态分布. 从某天产品中任取6个测得直径如下(单位：毫米)

14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1

若已知直径的方差是0.06, 试求总体均值的置信度为0.95的置信区间与置信度为0.90的置信区间.

解 输入

<

data1={14.6,15.1,14.9,14.8,15.2,15.1};

MeanCI[data1,KnownVariance->0.06]

(*置信度采取缺省值，即默认置信度95.01, 因已知方差，故加入选项KnownVariance->0.06*)

输出结果为：

{14.754, 15.146}

也就是均值的置信度为0.95的置信区间是(14.754, 15.146). 为了求得置信度为0.90的置信区间, 输入

MeanCI[data1,KnownVariance->0.06,ConfidenceLevel->0.90]

(*置信度通过选项ConfidenceLevel-＞0.90指定*)

输出结果是:

{14.7855,15.1145}

因此, 均值的置信度为0.90的置信区间是(14.7855,15.1145). 比较两个不同置信度所对应的置信区间, 可以看出，置信度越大，所作出的置信区间越大.

例2 一种产品的某质量指标服从正态分布. 取25只作为样本, 样本平均值为950x.

已知标准差为100, 求总体均值的置信区间. (05.0)

输入

NormalCI[950,100/25]

输出为

{942.16, 957.84} 123

b) 2未知，关于均值的置信区间

例3 对某种型号飞机的飞行速度进行15次试验，测得最大飞行速度如下

422.2，417.2，425.6，420.3，425.8，423.1，418.7，428.2

438.3，434.0，312.3，431.5，413.5，441.3，423.0

假设最大飞行速度服从正态分布，试求总体均值(最大飞行速度的期望)的置信区间(＝0.05与10.0).

解 输入

data2={422.2,417.2,425.6,420.3,425.8,423.1,418.7,428.2,

438.3,434.0,312.3,431.5,413.5,441.3,423.0}

MeanCI[data2]

(*因为置信度是0.95, 省略选项ConfidenceLevel->0.95,

又方差未知, 选项KnownVariance->None也可以省略*)

输出结果是：

{401.535, 435.132}

因此的置信度为0.95的置信区间是(401.535, 435.132).

再输入

MeanCI[data2, ConfidenceLevel->0.90]

得到输出:

{404.538,432.128}

因此的置信度为0.90的置信区间是(404.538,432.128).

例4 从一批袋装食盐中抽取16袋, 重量的平均值为75.503x(克), 样本标准差为2022.6s. 假设袋装重量近似服从正态分布, 求总体均值的置信区间. (05.0)

解 这里, 样本均值为503.75, 样本均值的标准差的估计为ns/=6.2002/4, 自由度为15, 05.0,

因此关于置信度的选项可省略. 输入

StudentTCI[503.75, 6.2002/Sqrt[16], 15]

输出置信区间为

{500.446, 507.054}

2. 两个正态总体均值差的置信区间

例5 随机地从A批导线中抽取4根，又从B批导线中抽取5根，测得电阻（Ω）为

A批导线：0.143 0.142 0.143 0.137

B批导线：0.140 0.142 0.136 0.138 0.140

设测定数据分别来自分布N(,)112和N(,)222，且两样本相互独立.又222121,,,均未知，求21的置信区间（置信度为0.95）.

解 输入

list1={0.143,0.142,0.143,0.137};

list2={0.140,0.142,0.136,0.138,0.140};

MeanDifferenceCI[list1,list2]

(*因为置信度是0.95, 省略选项ConfidenceLevel->0.95; 选项EqualVariances->False 省略了, 默认两个正态总体的方差不相等*)

输出结果是:

{-0.00231535,0.00641535}

即12的置信度为0.95的置信区间是(-0.00231535, 0.00641535). 又输入

MeanDifferenceCI[list1,list2,EqualVariances->True]

(*省略选项ConfidenceLevel->0.95; 增加选项EqualVariances->True后,

认为两个正态总体的方差相等*)

得到输出: 124 {-0.00199635,0.00609635}

这时12的置信度为0.95的置信区间是(-0.00199635, 0.00609635). 两种情况得到的结果基本一致.

当数据为概括数据时, 则也应该用StudentTCI命令求总体均值差的置信区间.

例6 比较A、B两种灯泡的寿命, 从A种取80只作为样本, 计算出样本均值2000x,样本标准差801s. 从B种取100只作为样本, 计算出样本均值1900y,样本标准差1002s. 假设灯泡寿命服从正态分布, 方差相同, 且相互独立. 求均值差21的置信区间. (05.0)

解 这里命令StudentTCI的第一个对象应是两个正态总体的均值差.第二个对象应是两个正态总体的均值差的标准差的估计. 根据等方差性假定, 通常用2111nnsw来估计它,其中2)1()1(21222211nnsnsnsw. 第三个对象应是自由度221nndf. 第四个对象应是关于置信度的选项. 正确输入第二个和第三个对象是关键.

输入

sp=Sqrt[(79*80^2+99*100^2)/(80+100-2)];

StudentTCI[2000-1900,sp*Sqrt[1/80+1/100],80+100-2]

输出置信区间

{72.8669, 127.133}.

如果在本问题中去掉等方差性的假定, 则两个正态总体的均值差的标准差的估计是

222121nsns, 自由度近似地为222212121121211211111nsnnsnnsnsdf, 或者)1,1min(21nndf.

输入

Clear[sw, df];

sw=Sqrt[80^2/80+100^2/100];

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2个小样本的置信区间

2个小样本的置信区间

2个小样本的置信区间

在统计学中，置信区间是指对总体参数的一个区间估计。它是一

种用来描述总体参数可能取值范围的统计区间。本文将介绍如何计算

包含两个小样本的置信区间。

假设我们有两个相互独立的小样本，分别称为样本1和样本2。我

们想要估计这两个样本均值的差异，并计算置信区间。

首先，我们需要计算样本1和样本2的均值分别为x1和x2。然后，

计算两个样本的标准差分别为s1和s2。接下来，我们需要确定显著性

水平，通常使用95%的显著性水平。

根据统计推断的原理，我们可以使用学生t分布来计算两个小样

本的置信区间。根据样本量的不同，我们将分为两种情况进行计算。

如果两个样本的样本量都较大（通常要求大于等于30），那么我

们可以使用正态分布近似计算置信区间。置信区间的计算公式为：

置信区间=（x1 - x2）± Z * √（s1^2 / n1 + s2^2 / n2）

其中，x1和x2分别为样本1和样本2的均值，s1和s2分别为样

本1和样本2的标准差，n1和n2分别为样本1和样本2的样本量，Z

是对应于所选显著性水平的Z值。

如果两个样本的样本量较小（小于30），那么我们需要使用学生

t分布来计算置信区间。置信区间的计算公式为：

置信区间=（x1 - x2）± t * √（s1^2 / n1 + s2^2 / n2）

其中，x1和x2分别为样本1和样本2的均值，s1和s2分别为样

本1和样本2的标准差，n1和n2分别为样本1和样本2的样本量，t

是自由度为n1+n2-2所对应的t值。

通过计算，我们可以得到样本均值差的置信区间。这个区间表示

了我们对总体平均值差异的估计范围。

需要注意的是，置信区间的宽度取决于样本的大小和方差。样本

量越大，置信区间越窄；样本方差越小，置信区间也越窄。

在使用置信区间时，我们需要注意解释结果的方式。置信区间并

不能确定总体参数的确切取值，只是给出了一个估计的范围。因此，在解读结果时要注意使用适当的语言，如“我们估计两个样本的均值

概率论与数理统计实验实验3参数估计假设检验

概率论与数理统计实验实验3参数估计假设检验

概率论与数理统计实验实验3 参数估计 假设检验实

验目的实验内容直观了解统计描述的基本内容。2、假设检验1、参数估计3、

实例4、作业一、参数估计参数估计问题的一般提法X1, X2,…, Xn要依据该样本对参数作出估计，或估计的某个已知函数 .现从该总体抽样，得样

本设有一个统计总体，总体的分布函数向量). 为 F(x, )，其中 为未知参

数 ( 可以是参数估计点估计区间估计点估计 —— 估计未知参数的值

区间估计—— 根据样本构造出适当的区间，使他以一定的概率包含未知参数或未知

参数的已知函数的真?（一）、点估计的求法1、矩估计法 基本思想是用样本矩估计总体矩 .令设总体分布含有个m未知参数 ??1 ，…，??m解此方程组得其

根为 分别估计参数??i ，i=1,...,m，并称其为??i 的矩估计。2、最大似然估计法

（二）、区间估计的求法 反复抽取容量为n的样本,都可得到一个区间,这个

区间可能包含未知参数 的真值,也可能不包含未知参数的真值,包含真值的区间占

置信区间的意义1、数学期望的置信区间设样本 来自正态母体X(1) 方差?? 2已知, ?? 的置信区间(2) 方差?? 2 未知 , ?? 的置信区间 2、方差的区间估计

未知时, 方差?? 2 的置信区间为（三）参数估计的命令1、正态总体的参

数估计 设总体服从正态分布，则其点估计和区间估计可同时由以下命令获

得： [muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X,alpha) 此命令以alpha

为显著性水平，在数据X下，对参数进行估计。（alpha缺省时设定为0.05），返回值muhat是X的均值的点估计值，sigmahat是标准差的点估计值, muci是均值的区间估

计,sigmaci是标准差的区间估计.例1、给出两列参数?? =10, ??=2正态分布随机数，

并以此为样本值，给出 ?? 和 ?? 的点估计和区间估计命

两种估计区间解法的讨论

两种估计区间解法的讨论

第２４卷第５期　

２００８年ｌ０月　大　学　数　学　

ＣＯＬＬＥＧＥ　ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ　Ｖｏ１．２４。Ｎｏ．５　

０ｃｔ．２００８　

两种估计区间解法的讨论　

李述清　，　胡　波　，　李根平。　

（１．第二炮兵工程学院３０３教研室，西安７１００２５；２．第二炮兵工程设计研究院，北京１０００１１；　３．第二炮兵工程学院数学教研室，西安７１００２５）　

［摘　要］依据等概率对称区间和等密度对称区间的概念引出两种估计区间求解方法，并通过两种方法　推导证明了等密度对称区间即为最短估计区间．然后分别就Ｆ分布和Ｘ　分布情形对这两种区间估计方法作　以比较．比较发现，在同样条件下，等密度对称区间总比概率对称区间要短，并且随着自由度增加，两种区间趋　于重合．　［关键词］区间估计；等概率对称区间；等密度对称区间　［中图分类号］０２１２．１　［文献标识码］Ｃ　［文章编号］１６７２—１４５４（２００８）０５—０１８４—０６　

ｌ　引　言　

在进行参数区间估计时，置信区间的估计不是唯一的．而衡量一个区间估计的优良有两点，一个是　

置信水平ａ（０＜ａ＜１），另一个是区间的长度．通常的作法是对给定的置信水平ａ，求出相应的置信区　

间，此时，置信区间的最优性表现为区间长度的最短性．因此，能使置信区间长度达到最短，一般就认为　

比较合理．区间估计的一个基本思路是：尽可能多地略去小概率区间，而着重留下相对较大概率区间．这　

也是符合实际考虑的．不过为了简化计算，通常截去首尾．／２概率区间　１］．明显的，这种方法对于对称分　

布形式是合理的．但对于非对称分布形式就显得不合理了．本文就概率密度函数为单峰且无平谷的情　

形，分别根据等概率置信区间和等密度置信区间的概念引出两种估计区间求解方法，并证明了等密度置　

信区间就是最短估计区间．并以编程计算对这两种方法加以比较．　

２　区间估计的定义与计算　

定义ｌ　对于参数　，如果有两个统计量　一　（Ｘ　，Ｘ　，…，Ｘ　）和　一　（Ｘ　，Ｘ　，…，Ｘ　），对给定　

假设检验

假设检验

第六章 参数估计

一、点估计

（一）点估计的定义

（二）良好估计量的标准

1.无偏性

样本平均数的无偏估计。是总体平均数（期望）X

样本方差。是总体方差的无偏估计21nS

而样本方差。是总体方差的有偏估计2nS

2.有效性

当无偏估计不止一个时，无偏估计变异（方差）小者有效性高。

3.一致性

当样本容量越来越大时，估计值应越来越接近它所估计的总体参数，估计会越来越精确。

4.充分性

样本统计量是否充分反映了样本的充分信息。

二、区间估计

（一）区间估计的定义

（二）置信区间与显著性水平

显著性水平：估计总体参数落在某一区间时，可能犯错误的概率。用α表示。

置信度：对总体参数估计正确的概率。用1-α表示。

置信区间：在一定置信度的要求下，所估计的总体参数落入的区间。

（三）区间估计的原理

样本分布是区间估计的理论根据。根据样本统计量分布的形态和分布的标准误，和根据置信度查出的临界值，可以计算出置信区间。

三、总体平均数的区间估计

（一）总体平均数区间估计的一般步骤

（二）总体平均数估计1：总体正态分布，总体方差已知，不论样本容量n大小，样本平均数的抽样分布为正态分布。 其平均数就等于总体平均数，即)(XE

为样本容量为总体标准差，准误，为样本平均数分布的标其中nnXX

9,.82.8.5,.61.6.---,,905520109099105011111022222222XXXXXXXXXXXXXXPXXPZXZXPZXZXPZXZPZXZPNX＋时，有当显著性水平＋时，有当显著性水平＋———从而）（～—因而..