第13讲泰勒展开式及相关不等式放缩在导数中的
应用（高阶拓展、竞赛适用）
（2类核心考点精讲精练）
1.5年真题考点分布
5年考情
考题示例考点分析关联考点
2022年新I卷，第7题,5分泰勒展开式及
相关不等式放缩比较指数幂的大小
比较对数式的大小
2022年全国甲卷理科，第12题,5分泰勒展开式及
相关不等式放缩比较三角函数值大小
2021年全国乙卷理科，第12题,5分泰勒展开式及
相关不等式放缩比较对数式的大小
2.命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的载体内容，设题不定，难度较大，分值为5分
【备考策略】1能理解泰勒公式的本质2能运用泰勒公式求解
【命题预测】泰勒公式是高等数学中的重点，也是一个难点，它贯穿于高等数学的始终．泰勒公式的重点
就在于使用一个n
次多项式
npx
，去逼近一个已知的函数
fx，而且这种逼近有很好的性质：
npx
与
fx在x
点具有相同的直到阶n
的导数，所以泰勒公式能很好的集中体现高等数学中的“逼近”这一思想精
髓．泰勒公式的难点就在于它的理论性比较强，一般很难接受，更不用说应用了．但泰勒公式无论在科研
领域还是在证明、计算应用等方面，它都起着很重要的作用．运用泰勒公式，对不等式问题进行分析、构
造、转化、放缩是解决不等式证明问题的常用方法与基本思想．在高中阶段，会基本运用即可
2
知识讲解1．泰勒公式：
泰勒公式是将一个在
0x处具有n
阶导数的函数利用关于
0()xx的n
次多项式来逼近函数的方法．
【定理1】若函数()fx
在包含
0x的某个闭区间[,]ab上具有n
阶导数，且在开区间(,)ab
上具有(1)n
阶导数，
则对闭区间[,]ab上任意一点x
，成立下式：
200
000002!!n
nfxfx
fxfxfxxxxxxxRx
n
其中：()
0()nfx表示()fx
在
0xx
处的n
阶导数，等号后的多项式称为函数()fx
在
0x
处的泰勒展开式，剩余
初中数学竞赛：不等式的应用
不等式与各个数学分支都有密切的联系，利用“大于”、“小于”关系，以及不等式一系列的基本性质能够解决许多有趣的问题，本讲主要结合例题介绍一下这方面的应用．
例1 已知x＜0，-1＜y＜0，将x，xy，xy2按由小到大的顺序排列．
分析 用作差法比较大小，即若a-b＞0，则a＞b；若a-b＜0，则a＜b．
解 因为x-xy=x(1-y)，并且x＜0，-1＜y＜0，所以x(1-y)＜0，则x＜xy．
因为xy2-xy=xy(y-1)＜0，所以xy2＜xy．
因为x-xy2=x(1+y)(1-y)＜0，所以x＜xy2．
综上有x＜xy2＜xy．
例2 若
试比较A，B的大小．
显然，2x＞y，y＞0，所以2x-y＞0，所以A-B＞0，A＞B．
例3 若正数a，b，c满足不等式组
试确定a，b，c的大小关系．
解①+c得
②+a得
③+b得
由④，⑤得
所以 c＜a．
同理，由④，⑥得b＜C．
所以a，b，c的大小关系为b＜c＜a．
例4 当k取何值时，关于x的方程
3(x+1)=5-kx
分别有(1)正数解；(2)负数解；(3)不大于1的解．
解 将原方程变形为(3+k)x=2．
(1)当 3+k＞0，即 k＞-3时，方程有正数解．
(2)当3+k＜0，即k＜-3时，方程有负数解．
(3)当方程解不大于1时，有
所以1+k，3+k应同号，即
得解为 k≥-1或k＜-3．
注意 由于不等式是大于或等于零，所以分子1+k可以等于零，而分母是不能等于零的。
例5已知
求｜x-1｜-｜x+3｜的最大值和最小值．
｜x-1｜-｜x+3｜
达到最大值4．结合x＜-3时的情形，得到：在已
说明 对含有绝对值符号的问题，无法统一处理．一般情况下，是将实数轴分成几个区间，分别进行讨论，即可脱去绝对值符号．
高中竞赛不等式公式大全
摘要：
一、前言
二、高中竞赛不等式公式简介
1.基本不等式
2.柯西不等式
3.排序不等式
4.切比雪夫不等式
5.赫尔德不等式
6.闵可夫斯基不等式
7.伯努利不等式
8.拉格朗日不等式
9.詹森不等式
10.其他不等式
三、高中竞赛不等式公式应用举例
1.基本不等式应用
2.柯西不等式应用
3.排序不等式应用
4.切比雪夫不等式应用
5.赫尔德不等式应用
6.闵可夫斯基不等式应用 7.伯努利不等式应用
8.拉格朗日不等式应用
9.詹森不等式应用
10.其他不等式应用
四、结论
正文：
一、前言
在高中数学竞赛中，不等式问题常常出现在各个章节中，解决不等式问题需要掌握一定的技巧和方法。为了更好地应对这类问题，我们整理了高中竞赛中常见的不等式公式大全，希望能为同学们提供帮助。
二、高中竞赛不等式公式简介
1.基本不等式
基本不等式（Fundamental Inequality）是最常见的不等式之一，形式为：(a^2 + b^2) / 2 >= ab。当且仅当 a = b 时，等号成立。
2.柯西不等式
柯西不等式（Cauchy Inequality）是一种特殊的平方和不等式，形式为：(a_1^2 + a_2^2 + ...+ a_n^2) * (b_1^2 + b_2^2 + ...+ b_n^2) >=
(a_1b_1 + a_2b_2 + ...+ a_nb_n)^2。当且仅当存在一个标量 k 使得 a_i =
kb_i 时，等号成立。
3.排序不等式
排序不等式（Sorting Inequality）是一种关于排序的数学不等式，形式为：对于任意的实数 a_1, a_2, ..., a_n，有 (a_1 + a_n) * n / 2 >= (a_2 + a_(n-1)) * n / 2 >= ...>= (a_n + a_1) * n / 2。
1 自招竞赛 数学
“竞赛中递推型数列不等式问题的求解策略”
讲义编号：
学员： 年级： 授课日期：
讲师： 授课方式（在线或线下）： （线下填）授课教学点：
知识定位
递推公式背景下的数列型不等式一直是高中数学竞赛和高考考查的重点。由于此类问题融函数、三角和不等式等知识模块于一体，自然渗透着重要的数学思想和方法，因此，一直备受命题者的青睐。讲义以试题为例，就竞赛中的递推型数列不等式问题的求解策略作一探究。
知识诊断
1.（2013华约）
2 知识梳理
回忆数列中不动点法的知识点。
常见题型和方法解析
1 以数列的通项公式为切入点
数列的通项公式可以分析数列的基本性质（单调性，有界性等），为解决数列型不等式问题提供了科学的决策依据。因此，求解通项公式就成为解决递推型数列不等式问题首选的突破口。
例1 设数列(0)nan满足
12212,(),2mnmnmnaaamnaa 其中，,mnNmn、。证明：
（1）对一切nN，有
2122;nnnaaa
（2）122009111...1.aaa
（2009，全国高中数学联赛湖北省预赛）
3 例2 设数列na定义为
21+11,=2+31().nnnaaaanN
证明：
（1）当1n时，114nnnaaa；
（2）1211113...2naaa。
（2011，全国高中数学联赛天津赛区预赛）
4 例3 已知数列na满足211111,(1,2,...),nnnnaaanSna为其前项和。
13(21)2nnnS证明：
2 以数列的递推公式为切入点
尽管数列的通项公式是刻画数列最佳的手段，但在处理实际问题中会发现许多递推型数列通项公式的求解过程繁琐，或递推公式本身复杂，有时甚至无法求解。面对如此困境时，只能转向递推公式本身，寄希望于在递推公式的适当恒等变换中寻求求解思路。
