江苏省启东中学2013届高三数学寒假专题训练八《数列不等式》

江苏省启东中学2013届高三数学寒假专题训练八《数列不等式》

1．已知函数fxxnxnfnnxnnN()()[()]()(*)00111，，

数列{}an满足afnnNn()(*)

（I）求数列{}an的通项公式； （II）设x轴、直线xa与函数yfx()的图象所围成的封闭图形的面积为Saa()()0，求SnSnnN()()(*)1；（III）在集合MNNkkZ{|2，，且10001500k}中，是否存在正整数N，使得不等式aSnSnn10051()()对一切nN恒成立？若存在，则这样的正整数N共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数N；若不存在，请说明理由.

2．给定正整数n和正数b，对于满足条件baan211的所有无穷等差数列na，试求1221nnnaaay的最大值，并求出y取最大值时na的首项和公差．

3．设数列na的前n项和为nS，已知1231611aaa，，，且

1(58)(52)123nnnSnSAnBn，，，，，

其中AB，为常数.(Ⅰ)求A与B的值；(Ⅱ)证明：数列na为等差数列；

(Ⅲ)证明：不等式51mnmnaaa对任何正整数mn，都成立.

4．已知数列na的首项15,a前n项和为nS，且*15()nnSSnnN

（I）证明数列1na是等比数列；

（II）令212()nnfxaxaxax，求函数()fx在点1x处的导数(1)f并比较2(1)f与22313nn的大小.

5．数列{an}满足)1(21)11(1211nannaannn且.

（Ⅰ）用数学归纳法证明：)2(2nan；

（Ⅱ）已知不等式)1(:,0)1ln(2neaxxxn证明成立对，其中无理数e=2.71828….

6．已知数列}{na是以d为公差的等差数列，数列}{nb是以q为公比的等比数列．

（Ⅰ）若数列}{nb的前n项和为nS,且112abd,31003252010Sab,求整数q的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，试问数列}{nb中是否存在一项kb，使得kb恰好可以表示为该数列中连续(,2)ppNp项的和？请说明理由；

（Ⅲ）若123,,rsrtbabaaba（其中tsr，且（sr）是（tr）的约数），求证：数列}{nb中每一项都是数列}{na中的项.

江苏省启东中学2013届高三数学寒假专题训练八参考答案

1、 解：（I）nN*

fnnnnfnnfn()[()]()()111

fnfnn()()1

ffffff()()()()()()101212323

……

fnfnn()()1

将这n个式子相加，得

fnfnnn()()()012312

ffnnn()()()0012

annnNn()(*)12

（II）SnSn()()1为一直角梯形（n1时为直角三角形）的面积，该梯形的两底边的长分别为fnfn()()1，，高为1

SnSnfnfnaann()()()()112121

12121222[()()]nnnnn

（III）设满足条件的正整数N存在，则

nnnnn()12100522100520102

又M{}200020022008201020122998，，，，，，，

N201020122998，，……，均满足条件

它们构成首项为2010，公差为2的等差数列.

设共有m个满足条件的正整数N，则2010212998()m，解得m495

M中满足条件的正整数N存在，共有495个，Nmin2010 2、解：设na公差为d，则1111,aandndaann．

dnanndadaaaaaynnnnnnn)21()1()()(11111221

dnnann2)1()1(1

)2)(1()2)(1(1111aaanndannnn

)3(2111aann．

又211211,nnababaa．

∴449449)23(332112111bbabaaaannnn，当且仅当231na时，等号成立．

∴8)49)(1()3(2111bnaanyn．

当数列na首项491ba，公差nbd434时，8)49)(1(bny，

∴y的最大值为8)49)(1(bn．

3、解：（Ⅰ）由已知，得111Sa，2127Saa，312318Saaa.

由1(58)(52)nnnSnSAnB，知

2132372122SSABSSAB，， 即 28248ABAB，，

解得 20A，8B.

（Ⅱ）方法1

由（Ⅰ），得 1(58)(52)208nnnSnSn， ①

所以 21(53)(57)2028nnnSnSn. ②

②-①，得 21(53)(101)(52)20nnnnSnSnS， ③

所以 321(52)(109)(57)20nnnnSnSnS. ④

④-③，得 321(52)(156)(156)(52)0nnnnnSnSnSnS.

因为 11nnnaSS，

所以 321(52)(104)(52)0nnnnanana.

又因为 520n， 所以 32120nnnaaa，

即 3221nnnnaaaa，1n.

所以数列na为等差数列.

方法2

由已知，得111Sa，

又1(58)(52)208nnnSnSn，且580n，

所以数列nS是唯一确定的，因而数列na是唯一确定的.

设54nbn，则数列nb为等差数列，前n项和(53)2nnnT.

于是 1(1)(52)(53)(58)(52)(58)(52)20822nnnnnnnTnTnnn，

由唯一性得 nnba，即数列na为等差数列.

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，15(1)54nann.

要证 51mnmnaaa，

只要证 512mnmnmnaaaaa.

因为 54mnamn，(54)(54)2520()16mnaamnmnmn，

故只要证 5(54)12520()162mnmnmnmnaa，

即只要证 2020372mnmnaa.

因为 2558mnmnaaaamn

558(151529)mnmn

202037mn，

所以命题得证.

4、解：由已知*15()nnSSnnN可得12,24nnnSSn两式相减得

1121nnnnSSSS即121nnaa从而1121nnaa当1n时21215SS所以21126aaa又15a所以211a从而21121aa

故总有112(1)nnaa，*nN又115,10aa从而1121nnaa即数列1na是等比数列；

（II）由（I）知321nna 因为212()nnfxaxaxax所以112()2nnfxaaxnax

从而12(1)2nfaana=23212321(321)nn

=232222nn-12n=1(1)31262nnnn

由上22(1)23131212nfnnn-21221nn=

1212121(21)nnnn=12(1)2(21)nnn①

当1n时，①式=0所以22(1)2313fnn；

当2n时，①式=-120所以22(1)2313fnn

当3n时，10n

又011211nnnnnnnnCCCC2221nn

所以12210nnn即①0从而2(1)f22313nn。

5、解：（Ⅰ）证明：（1）当n=2时，222a，不等式成立.

（2）假设当)2(kkn时不等式成立，即),2(2kak

那么221))1(11(1kkkakka. 这就是说，当1kn时不等式成立.

根据（1）、（2）可知：22nak对所有成立.

（Ⅱ）证法一：

由递推公式及（Ⅰ）的结论有 )1.()2111(21)11(221nannannannnnn

两边取对数并利用已知不等式得 nnnannaln)2111ln(ln21

.211ln2nnnna 故nnnnnaa21)1(1lnln1 ).1(n

上式从1到1n求和可得

121212121)1(1321211lnlnnnnnaa

.22111121121121111)3121(211nnnnn