七年级数学培优专题讲解
绝对值培优
一、绝对值的意义：
(1) 几何意义：一般地，数轴上表示数 a 的点到原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作|a| 。
(2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；
③零的绝对值是零。
a 当 a为正数也可以写成：| a |0 当 a为 0
a 当 a为负数说明：（Ⅰ） |a| ≥ 0 即 |a| 是一个非负数；
（Ⅱ） |a| 概念中蕴含分类讨论思想。
二、典型例题
例 1．已知 a、 b、c 在数轴上位置如图：
则代数式| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（）
A ． -3a B． 2c － a C．2a－ 2b D． b
例 2．已知：x0 z ， xy 0 ，且y z x ，那么x z y z x y 的值（）
A ．是正数B．是负数C．是零D．不能确定符号
例 3．已知甲数的绝对值是乙数绝对值的 3 倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？
例 4．方程x2008 2008 x 的解的个数是（）A．1个B． 2 个C．3 个 D ．无穷多个
例 5．已知 |ab－ 2|与 |a－ 1|互为相互数，试求下式的值：
1 1 1 1
ab a 1 b 1 a 2 b 2 a 2007 b 2007
例 6．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4 与 2 ，3与5， 2 与 6 ， 4 与3. 并回答下列各题：
（ 1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：___.
（2）若数轴上的点 A 表示的数为 x，点 B 表示的数为― 1，则 A 与 B 两点间的距离可以表
示为 ________________.
（ 3）结合数轴求得x 2 x 3 的最小值为，取得最小值时x 的取值范围为___.
（ 4）满足x 1 x 4 3 的 x 的取值范围为______.
（ 5）若 x 1 x 2 x 3 x 2008 的值为常数，试求 x 的取值范围．
例 9.若 2 x 4 5 x 1 3x 4 的值恒为常数，则x 应满足怎样的条件？此常数的值为多少？
代数式的化简求值问题培优
一、知识链接
1．“代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。它包括整式、分式、二次根式等内容.
2．用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值。
注：一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化
3．求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打下基础。
二、典型例题例 1．若多项式2mx2x 25x 8 7x23y 5x 的值与x无关，求 m22m25m 4 m 的值. 例 2． x=-2 时，代数式ax 5bx 3cx 6 的值为8，求当x=2时，代数式 ax 5bx3cx 6 的值。
例 3．当代数式x23x 5 的值为7时,求代数式 3x 29x 2 的值.
例 4．已知a2 a 1 0 ，求 a3 2a 2 2007 的值.
例 5．（实际应用） A 和 B 两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件基本相同，只有工资待遇有如下差异：
A 公司，年薪一万元，每年加工龄工资 200 元；
B 公司，半年薪五千元，每半年加工龄工资 50 元。从收入的角度考虑，选择哪
家公司有利？
例 6．三个数 a 、 b 、c 的积为负数，和为正数，且
x a
b c ab ac
bc ，则 ax 3 bx 2 cx 1 的值是 ab
ac
bc
a
b
c
_______
例 7． 如图，平面内有公共端点的六条射线
OA ， OB ，OC ， OD ，OE ，OF ，从射线 OA 开始按逆时针方向依次在射线
上写出数字 1， 2， 3，4， 5， 6， 7， ．
B
A
（1）“ 17”在射线
____上，
8
7
“ 2008”在射线 ___________上．
2
9 1
（2）若 n 为正整数，则射线 OA 上数字的排列规律可以用含
n 的
C 3
F
4 O 6
12
代数式表示为 __________________________ ．
例 8． 将正奇数按下表排成 5 列 :
10 5
11
第一列 第二列 第三列 第四列
第五列
D
E
第一行 1 3 5 7
第二行 15 13 11 9
第三行 17 19 21 23
第四行 31
29
27
25
根据上面规律， 2007 应在
A ． 125 行 ,3 列 B. 125 行 ,2 列 C. 251 行 ,2 列 D. 251 行 ,5 列
n
例 9．定义一种对正整数
n 的“ F ”运算：①当 n 为奇数时，结果为
3n ＋ 5；②当 n 为偶数时，结果为 2k （其中 k 是使
n
2k 为奇数的正整数） ，并且运算重复进行．例如，取
n ＝ 26，则：
F ② 13
F ① F ②
?
26
44 11
第一次
第二次
第三次
若 n ＝449，则第 449 次“ F 运算”的结果是 __________．
练习题
1. 已知 a+b=0,a ≠ b, 则化简 b (a+1)+
a
(b+1) 得 ( ). (
第 15 届江苏省竞赛题 )A.2a
B.2b
C.+2
D.-2
a
1 b
1
2. 已知 x=2,y=-4
3
时 , 代数式 3ax-24by 3 +4986 的值 .
时 , 代数式 ax +
by+5=1997, 求当 x=-4,y=-
2
2
3. 已知关于 x 的二次多项式 a(x 3-x 2+3x)+b(2x 2 +x)+x 3-5, 当 x=2 时的值为 -17,? 求当 x=-2 时 , 该多项式的值 . ( “希望杯”邀请赛培训题 )
4. 已知 2
2
3 5 0,
4 3 2
a
a 求 4a 12a 9a 10 的值。
5. 已知关于 x 的二次多项式 a ( x 3 x 2
3x) b(2x 2
x) x 3
5 ，当 x=2 时的值为 -17 ，求当 x=-2 时，该多项式的
值。
a b c 19
6. 三个有理数 a 、 b 、 c ，其积是负数，其和是正数，当x
b
时，则代数式
x 95 x 1028 的值是多少？
a
c
7. 已知 m 2
m 1 0 ，求 m 3 2m 2 1997 的值。
8 已知 (x 2
x 1) 5
a x 10
a x 9
a x
a ，则
a 10 a 9 a 0 的值是多少
10
9
1 0
9. 把一个正方体的六个面分别标上字母
A 、
B 、
C 、
D 、
E 、
F 并展开如图 所 示 ,? 已
知 :A=x 2
-4xy+3y 2
,C=3x 2
-2xy-y 2
,B= 1
(C-A),E=B-2C,? 若正方体相对
的两个面上的多项式的和都
2
相等 , 求 D、 F.
人教版2018年七年级数学上册绝对值专题培优卷 一、选择题: 1.如图，M，N两点在数轴上表示的数分别是m，n，则下列式子中成立的是（） A．m+n＜0 B．﹣m＜﹣n C．|m|﹣|n|＞0 D．2+m＜2+n 2.﹣2的绝对值是（） A．2 B．﹣2 C．0.5 D．-0.5 3.若│x│=2,│y│=3,则│x+y│的值为( ) A．5 B．-5 C．5或1 D．以上都不对 4.若|x|=7,|y|=5,且x+y>0,那么x-y的值是（） A．2或12 B．－2或12 C．2或－12 D．－2或－12 5.若数轴上的点A．B分别于有理数a、b对应，则下列关系正确的是( ) A．a＜b B．﹣a＜b C．|a|＜|b| D．﹣a＞﹣b 6.已知a,b是有理数,|ab|=-ab(ab≠0),|a+b|=|a|-b,用数轴上的点来表示a,b,可能成立的是 ( ) A．B． C.D． 7.给出下列判断：①若|m|,则m>0；②若m>n,则|m|>|n|；③若|m|>|n|,则m>n；④任意数m， 则|m|是正数；⑤在数轴上,离原点越远,该点对应的数的绝对值越大,其中正确的结论的个数为（） A．0 B．1 C．2 D．3 8.如图数轴的A．B、C三点所表示的数分别为a、b、c.若|a﹣b|=3，|b﹣c|=5, 且原点O与A．B的距离分别为4、1,则关于O的位置,下列叙述何者正确？ （） A．在A的左边B．介于A．B之间 C．介于B、C之间D．在C的右边 9.已知ab≠0,则+的值不可能的是（） A．0 B．1 C．2 D．﹣2 10.非零有理数a、b、c满足a＋b＋c=0，则所有可能的值为（）
专题辅导七：根据化学方程式的计算 [内容综述] 本期内容主要讲解有关化学反应方程式的计算。化学反应方程式的计算知识要点主要包括： （1）根据化学反应方程式计算反应物和生成物间的质量比。 （2）掌握纯或不纯原料（或产品）的有关计算及混合物参加反应的计算 （3）有关多步反应的计算 （4）有关过量问题的计算。而在最近几年的化学竞赛试题可以看出最后一道或两道计算题都是有关化学方程式的计算，因此化学方程式的计算占有相当重要的地位。另外，竞赛题中所出现的试题绝大多数需要运用一些技巧进行计算。为此，本期主要从化学竞赛中常用的巧解方法进行剖析，供大家参考。 [要点讲解] 一、运用质量守恒法巧解复杂的化学反应的计算。 【例1】有一在空气中暴露过的KOH固体，经分析测得其中含水2.8%,K2CO337.3%.取1克样品投入质量分数为18.25%的盐酸10克后，中和多余酸又用去18.5%的KOH溶液10克。问蒸发以后的溶液得到多少克固体？ 【解析】本题若用常规的解法难度极大，通常按照如下解题过程进行：（1）求出1克样品中K2CO3的质量；（2）求出1克样品中KOH的质量；（3）算出K2CO3生成KCl质量；（4）算出由KOH生成KCl的质量（5）算出过量盐酸和KOH反应生成KCl的质量（6）求出KCl 的总质量。如果抛开那些繁杂的数据，经过仔细分析不难看出，无论是KOH还是K2CO3，与盐酸反应最终均生成KCl。因此抓住氯元素反应前后守恒，即：盐酸中氯元素的质量与KCl 中氯元素的质量守恒。则有：(设蒸发后得到KCl固体的质量为X) HCl------------ KCl 74.5 10克×18.25% x 解得： x==10克×18.25%×74.5/36.5==3.725克 二、运用平均值法巧解化学反应方程式的计算。 【例2】取10克混合物与足量盐酸盐酸充分反应，有可能产生4.4克二氧化碳的是（） A.K2CO3和 MgCO3B．Na2CO3和 CaCO3 C．MgCO3和 BaCO3D．Na2CO3和K2CO3 【解析】本题涉及到许多碳酸盐与稀盐酸的化学反应，可以利用平均式量的方法求解。设碳酸盐的化学式为MCO3，式量为Ａ，则其与盐酸反应的化学方程式为： MCO3+2HCl==MCl2+H2O+CO2 A 44 10克 4.4克 A/10克==44/4.4克 A==100 由计算可知碳酸盐的平均式量为100，即两种碳酸盐的式量的平均值能为100的选项均符合题意。要求一种碳酸盐的式量大于100，另一种碳酸盐的式量小于100即可。对照选项，A和C选项均符合题意。 三、运用关联式法巧解多步化学反应的计算。
绝对值的知识是初中代数的重要内容，在中考和各类竞赛中经常出现，含有绝对值符号的数学问题又是学生遇到的难点之一，解决这类问题的方法通常是利用绝对值的意义，将绝对值符号化去，将问题转化为不含绝对值符号的问题，确定绝对值符号内部分的正负，借以去掉绝对值符号的方法大致有三种类型。 一、根据题设条件 例1 设化简的结果是（）。 （A）（B）（C）（D） 思路分析由可知可化去第一层绝对值符号，第二次绝对值符号待合并整理后再用同样方法化去． 解 ∴应选（B）． 归纳点评只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零，就能根据绝对值意义顺利去掉绝对值符号，这是解答这类问题的常规思路． 二、借助数轴 例2 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式的值等于（）． （A）（B）（C）（D） 思路分析由数轴上容易看出，这就为去掉绝对值符号扫清了障碍． 解原式 ∴应选（C）．
归纳点评这类题型是把已知条件标在数轴上，借助数轴提供的信息让人去观察，一定弄清： 1．零点的左边都是负数，右边都是正数． 2．右边点表示的数总大于左边点表示的数． 3．离原点远的点的绝对值较大，牢记这几个要点就能从容自如地解决问题了． 三、采用零点分段讨论法 例3 化简 思路分析本类型的题既没有条件限制，又没有数轴信息，要对各种情况分类讨论，可采用零点分段讨论法，本例的难点在于的正负不能确定，由于x是不断变化的，所以它们为正、为负、为零都有可能，应当对各种情况—一讨论． 解令得零点：； 令得零点：， 把数轴上的数分为三个部分（如图） ①当时, ∴原式 ②当时，， ∴原式 ③当时，，
∴原式 ∴ 归纳点评虽然的正负不能确定，但在某个具体的区段内都是确定的，这正是零点分段讨论法的优点，采用此法的一般步骤是： 1．求零点：分别令各绝对值符号内的代数式为零，求出零点（不一定是两个）． 2．分段：根据第一步求出的零点，将数轴上的点划分为若干个区段，使在各区段内每个绝对值符号内的部分的正负能够确定． 3．在各区段内分别考察问题． 4．将各区段内的情形综合起来，得到问题的答案． 误区点拨千万不要想当然地把等都当成正数或无根据地增加一些附加条件，以免得出错误的结果． 练习： 请用文本例1介绍的方法解答l、2题 1．已知a、b、c、d满足且，那么 2．若，则有（）。 （A）（B）（C）（D） 请用本文例2介绍的方法解答3、4题 3．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子化简结果为（）．
七上绝对值竞赛专题 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
七年级数学培优专题讲解 绝对值培优 一、 绝对值的意义： (1)几何意义：一般地，数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作|a|。 (2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数； ③零的绝对值是零。 也可以写成： ()()() ||0a a a a a a ??? =??-??当为正数当为0当为负数 二、 典型例题 例1．已知a 、b 、c 在数轴上位置如图： 则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ ） A ．-3a B ． 2c －a C ．2a －2b D ． b 例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++的值（ ） A ．是正数 B ．是负数 C ．是零 D ．不能确定符号 例3．已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢 例4．方程x x -=-20082008 的解的个数是（ ）A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无穷多个 说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；
例5．已知|a b －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值： ()()()() ()() 1111 112220072007ab a b a b a b ++++ ++++++ 例6．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-，3与5，2-与6-，4-与3. 并回答下列各题： （1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗答：___ . （2）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则A 与B 两点间的距离 可以表示为 ________________. （3）结合数轴求得23x x -++的最小值为 ，取得最小值时x 的取值范围为 ___. （4） 满足341>+++x x 的x 的取值范围为 ______ . （5）若1232008x x x x -+-+-++-的值为常数，试求x 的取值范围． 例9.若245134x x x +-+-+的值恒为常数，则x 应满足怎样的条件此常数的值为多少 代数式的化简求值问题培优 一、知识链接 1．“代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。它包括整式、分式、二次根式等内容. 2．用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值。 注：一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化 3．求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打下基础。 二、典型例题例1．若多项式() x y x x x mx 5378522 2 2 +--++-的值与x 无关，求()[] m m m m +---4522 2 的值. 例2．x=-2时，代数式635-++cx bx ax 的值为8，求当x=2时，代数式63 5-++cx bx ax 的值。
范文范例学习参考 精品资料整理 绝对值 一．选择题（共 16小题） 1．相反数不大于它本身的数是（）A ．正数B ．负数C ．非正数 D ．非负数 2．下列各对数中，互为相反数的是（）A.2和 B.﹣0.5和 C.﹣3和 D. 和﹣2 3．a ，b 互为相反数，下列各数中，互为相反数的一组为（ ） A ．a 2 与b 2 B ．a 3与b 5 C ．a 2n 与b 2n （n 为正整数）D ．a 2n +1 与b 2n +1 （n 为正整数） 4．下列式子化简不正确的是（ ） A ．+（﹣5）=﹣5 B ．﹣（﹣0.5）=0.5 C ．﹣|+3|=﹣3 D ．﹣（+1 ）=1 5．若a+b=0，则下列各组中不互为相反数的数是（ ） A.a 3 和b 3 B.a 2 和b 2 C ．﹣a 和﹣b D ．和 6．若a 和b 互为相反数，且a ≠0，则下列各组中，不是互为相反数的一组是（） A ．﹣2a 3 和﹣2b 3 B ．a 2和b 2 C ．﹣a 和﹣b D ．3a 和3b 7．﹣2018的相反数是（）A.﹣2018 B ．2018 C ．±2018 D ．﹣ 8．﹣2018的相反数是（）A.2018B ．﹣2018 C ． D ．﹣ 9．下列各组数中，互为相反数的是（） A ．﹣1与（﹣1） 2 B ．1与（﹣1） 2 C ．2与 D ．2与|﹣2| 10．如图，图中数轴的单位长度为1．如果点B ，C 表示 的数的绝对值相等，那么点 A 表示的数是（ ） A ．﹣4 B ．﹣5 C ．﹣6 D ．﹣2 11．化简|a ﹣1|+a ﹣1=（） A.2a ﹣2 B.0 C ．2a ﹣2或0 D ．2﹣2a 12．如图，M ，N ，P ，R 分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且 MN=NP=PR=1．数a 对 应的点在M 与N 之间，数b 对应的点在P 与R 之间， 若|a|+|b|=3，则原点是（ ） A.M 或R B.N 或P C ．M 或N D ．P 或R 13．已知：a ＞0，b ＜0，|a|＜|b|＜1，那么以下判断正确的是（ ） A.1﹣b ＞﹣b ＞1+a ＞a B.1+a ＞a ＞1﹣b ＞﹣b C.1+a ＞1﹣b ＞a ＞﹣b D ．1﹣b ＞1+a ＞﹣b ＞a 14．点A ，B 在数轴上的位置如图所示，其对应的数分 别是a 和b ．对于以下结论： 甲：b ﹣a ＜0乙：a+b ＞0丙：|a|＜|b|丁： ＞0 其中正确的是（ ） A ．甲乙 B ．丙丁 C ．甲丙 D ．乙丁15．有理数 a 、 b 在数轴上的位置如图所示，则下列各 式中错误的是（ ） A.b ＜a B.|b|＞|a|C ．a+b ＞0 D ．ab ＜0 16．﹣3的绝对值是（）A ．3 B ．﹣3 C ． D ． 二．填空题（共 10小题）
竞赛专题辅导九：综合实验 【内容综述】 1、熟练掌握各基本实验操作技能（制气分勺型，讣I型，集气有排水法，排空气法, 干燥，净化…） 2、培养审准实验目的，审定全系统步骤先后顺序合理，以达目的的能力【要点讲解】 1、读审题中信息，联系学过的知识，紧扣实验目的，创设途径选择最佳。 2、分解每一步骤，明确这一步目的，严格准确操作（如气体的投制，净化，干燥各步） 3、审定系统顺序使整个流程谐调（如先查气密后制气，先去杂后干燥；用洗气瓶，长管进短管出…） 例1、例用下图给出装置，设计实验以粗略测定铜的相对原子量（已知氢、氧原子的相 对质量）回答提出问题。 （1）按气流从左至右流向，仪器组装连接顺序为（用大写字母标） （2）各组仪器接口顺序为（用小写字母标）_______________ 解析：1.读、审题目，实验目的：粗测铜的原子相对质量，由给出的图示，可进行氢气 还原氧化铜实验，能测生成水的量，则可达目的。因是计量实验，要尽量使实验值准确，V 要净化干燥、产物水量要防止其它湿气的干扰。 2 ?分解审定；参照图示，t：!l 除HCI用F,干燥用A;测定水量D紧接C,防止大 气中湿气干扰后接B接口位置注意，洗气瓶导管，长进短出，干燥管粗进细出。 答案：（1） i i A T S D^ B （2）f' , f T a , a C , c d' , d b' 3）A干燥詁'L B吸收大气口水气F吸收F11中混有的HCI 例2、已知某食盐中掺有纯碱。为测定纯碱含量，按下图装置进行实验：
实验步骤： 1. _________________ 组装仪器 2. 准称D 装置为M1克 3. 准称样品混合物的质量 n 克放也入B 内 4. ________ ，使稀H 品缓缓滴在样品上，直至不再产生气泡 5. 向A 中鼓入空气，要缓缓进气几分钟后，再称 _______________ （仪品名称）的总质 量为二克） 请你（1 ）将步骤中缺处补充完整，回答（ 2 ）鼓入空气目的是 ___________ A ，应盛 _______________ 溶液（俗称），用作 ___________ （ 3）步骤4、5操作要慢，缓其目的是 _ ，过快，导致实验值 （偏大或小）（4）E 作用 ______ （ 5） 由记录数据处理，含有纯碱的质量分数为 _______________ （ 6）夹子K 在 _______________ 操作后打开 解析：（1 ）读审题目，明确用测定 U6含量导出纯碱质量。一定要保证产物 C6 纯且产生，吸收都充分 （1）检查气密性 ；打开分液漏斗 a ； 干燥管D 。 （ 2）使产生的全部通过D 被吸收A 中 盛大碱溶液吸收空气中（3）在B 中％反应充分，匚必气流通过碱 石灰被吸收彻底，过快使测定结果偏低 （ 4）防止空气中^6进入Do （5） 强化练习： ★ 1为确定气体X （可能为i ；lL CO 、讣：1的一种），将 X 点燃，将其产生通过 A B 两个洗气瓶，无明显现象， B 中溶夜可使酚酞变红 试回答：（1） A 中盛有 _______ 溶液，B 中液体应为 _________ （2）填下表 "表示增加 X 表示不变 A 质量 V X V B 质量 X V V X 100% （6）操作4_后打开K 夹鼓入空气 【碱石灰由N 曲痢匚混合齟咸）
绝对值与一元一次方程 知识纵横 绝对值是初中数学最活跃的概念之一, 能与数学中许多知识关联而生成新的问题,我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程,简称绝对值方程. 解绝对值方程的基本方法有:一是设法去掉绝对值符号,将绝对值方程转化为常见的方程求解;一是数形结合,借助于图形的直观性求解.前者是通法,后者是技巧. 解绝对值方程时,常常要用到绝对值的几何意义,去绝对值的符号法则, 非负数的性质、绝对值常用的基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法. 例题求解 【例1】方程│5x+6│=6x-5 的解是. 思路点拨设法去掉绝对值符号,将原方程化为一般的一元一次方程来求解. 解:x=11 提示:原方程5x+6=±(6x-5)或从5x+6≥0、5x+6<0 讨论. 【例2】适合│2a+7│+│2a-1│=8的整数a 的值的个数有( ). A.5 B.4 C.3 D.2 思路点拨用分类讨论法解过程繁琐,仔细观察数据特征,借助数轴也许能找到简捷的解题途径. 解:选 B 提示:由已知即在数轴上表示 2a 的点到-7 与+1 的距离和等于 8, 所以 2a 表示-7 到1 之间的偶数. 【例 3】解方程: │x-│3x+1││=4; 思路点拨从内向外,根据绝对值定义性质简化方程. 5解:x=- 4 3 或 x= 2 提示:原方程化为 x-│3x+1=4 或x-│3x+1│=-4
【例 4】解下列方程:
(1)│x+3│-│x -1│=x+1; (2)│x -1│+│x -5│=4. 思路点拨 解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段进行讨论,采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论;有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何意义迅速求解. 解:(1)提示:当 x<-3 时,原方程化为 x+3+(x-1)=x+1,得 x=-5; 当-3≤x<1 时,原方程化为 x+3+x-1=x+1,得 x=-1; 当 x≥1 时,原方程化为 x+3-(x-1)=x+1,得 x=3. 综上知原方程的解为 x=-5,-1,3. (2)提示:方程的几何意义是,数轴上表示数 x 的点到表示数 1 及 5 的距离和等于 4,画出数轴易得满足条件的数为 1≤x≤5,此即为原方程的解. 【例 5】已知关于 x 的方程│x-2│+│x -3│=a ,研究 a 存在的条件,对这个方程的解进行讨论. 思路点拨 方程解的情况取决于 a 的情况,a 与方程中常数 2、3 有依存关系,这种关系决定了方程解的情况,因此,探求这种关系是解本例的关键, 运用分类讨论法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具,读者可从两个思路去解. 解:提示:数轴上表示数x 的点到数轴上表示数2,3 的点的距离和的最小值为1,由此可 得方程解的情况是: (1) 当 a>1 时,原方程解为 x= 5 a ; 2 (2) 当 a=1 时,原方程解为 2≤x≤3; (3) 当 a<1 时,原方程无解.
成都市七年级上期 绝对值培优专题 【绝对值的几何意义】一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . （距离具有非负性） 【绝对值的代数意义】一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 注意：① 取绝对值也是一种运算，运算符号是“| |”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号. ② 绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ③ 绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0. ④ 任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5. 【求字母a 的绝对值】 ①(0) 0(0)(0) a a a a a a >?? ==??-?=?-≤? 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小. 绝对值非负性：|a |≥0 如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c = 【绝对值的其它重要性质】 （1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥，且a a ≥-； （2）若a b =，则a b =或a b =-； （3）ab a b =?； a a b b =(0)b ≠； （4）222||||a a a ==； （5）||a |-|b || ≤ |a ±b | ≤ |a |+|b | a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离． a b -的几何意义：在数轴上，表示数a ．b 对应数轴上两点间的距离． 【去绝对值符号】基本步骤，找零点，分区间，定正负，去符号。 【绝对值不等式】 （1）解绝对值不等式必须设法化去式中的绝对值符号，转化为一般代数式类型来解； （2）证明绝对值不等式主要有两种方法： A ）去掉绝对值符号转化为一般的不等式证明：换元法、讨论法、平方法； B ）利用不等式：|a|-|b|≦|a+b|≦|a|+|b|，用这个方法要对绝对值内的式子进行分拆组合、添项减项、使要证的式
绝对值综合练习题一 1、判断 （1）|31|-和31-互为相反数。（ ） （2）-|a|＝|a| （ ） （3）|-a|＝|a| ( ) （4）-|a|＝|-a| ( ) （5）若|a|＝|b|，则a ＝b ( ) （6）若a ＝b ，则|a|＝|b| ( ) （7）若|a|＞|b|，则a ＞b ( ) （8）若a ＞b ，则|a|＞|b| ( ) （9）若a ＞b ，则|b-a|＝a-b( ) （10）若a 为任意有理数，则|a|=a （ ） （11）如果一个数的倒数是它本身，那么这个数是1和0． ( ) （12）如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是0或1． ( ) （13）如果说“一个数的绝对值是负数”，那么这句话是错的． ( ) （14）如果一个数的相反数是它本身，那么这个数是0． ( ) 2、在数轴上，绝对值为4，且在原点左边的点表示的有理数为________． 3、若x
初中数学竞赛专题辅导因式分解(一) 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 1．运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2-b2=(a+b)(a-b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； (7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数； (8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数； (9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数． 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．
初一数学基础知识讲义 第一讲和绝对值有关的问题 一、知识结构框图： 数 二、绝对值的意义： (1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 (2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数； ③零的绝对值是零。 也可以写成： () () () ||0 a a a a a a ? ?? =? ? - ?? 当为正数 当为0 当为负数 说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数； （Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。 三、典型例题 例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：则代数式| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（A ）A．-3a B． 2c－a C．2a－2b D． b
解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a 分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。这道例题运用了数形结合的数学思想，由a 、b 、c 在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。 例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++ 的值（ C ） A ．是正数 B ．是负数 C ．是零 D ．不能确定符号 解：由题意，x 、y 、z 在数轴上的位置如图所示： 所以 分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x 、y 、z 三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。 例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？ 分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。 解：设甲数为x ，乙数为y 由题意得：y x 3=， （1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧： 若x 在原点左侧，y 在原点右侧，即 x<0，y>0，则 4y=8 ，所以y=2 ,x= -6 若x 在原点右侧，y 在原点左侧，即 x>0，y<0，则 -4y=8 ，所以y=-2,x=6 （2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧： 若x 、y 在原点左侧，即 x<0，y<0，则 -2y=8 ，所以y=-4,x=-12 若x 、y 在原点右侧，即 x>0，y>0，则 2y=8 ，所以y=4,x=12 例4．（整体的思想）方程x x -=-20082008 的解的个数是（ D ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无穷多个 分析：这道题我们用整体的思想解决。将x-2008看成一个整体，问题即转化为求方程a a -=的解，利用绝对值的代数意义我们不难得到，负数和零的绝对值等于它的相反数，所以零和任意负数都是方程的解，即本题的答案为D 。 例5．（非负性）已知|a b －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值． ()()()()()() 1111 112220072007ab a b a b a b ++++++++++L 0)()(=--+-+=--+++y x z y z x y x z y z x
绝对值的知识是初中代数的重要内容， 在中考和各类竞赛中经常出现， 含有绝对值符号的数 学问题又是学生遇到的难点之一， 解决这类问题的方法通常是利用绝对值的意义， 将绝对值 符号化去，将问题转化为不含绝对值符号的问题， 确定绝对值符号内部分的正负， 借以去掉 绝对值符号的方法大致有三种类型。 一、根据题设条件 例 1 设二’「[化简二二 TT 的结果是（ ）。 思路分析 由八? 一「-可知工一；吒＜ -可化去第一层绝对值符号，第二次绝对值 符号待合并整理后再用同样方法化去. 2-|2-|x-2||=2-|2-(2-z)|=2-|x| = 2-(-x)=2-Fx ???应选（B ）. 归纳点评 只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零，就能根据绝对值意义顺 利去掉绝对值符号，这是解答这类问题的常规思路. 二、借助数轴 例2 实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示, 则代数式的 值等于（ ） 思路分析 由数轴上容易看出，这就为 去掉绝对值符号扫清了障碍. 解 原式 [’」 ；■- . ■; 二 - 应选（C ） (A ) __二 (B )-_?; (C ) 一 丄+ '： (A ) — * (D )
归纳点评这类题型是把已知条件标在数轴上，借助数轴提供的信息让人去观察，一 定弄清： 1.零点的左边都是负数，右边都是正数. 2.右边点表示的数总大于左边点表示的数. 3.离原点远的点的绝对值较大，牢记这几个要点就能从容自如地解决问题了. 三、采用零点分段讨论法 例3化简■ HI - 1 思路分析本类型的题既没有条件限制，又没有数轴信息，要对各种情况分类讨论， 可采用零点分段讨论法，本例的难点在于’■' ' ■的正负不能确定，由于x是不断变化的，所以它们为正、为负、为零都有可能，应当对各种情况一一讨论. 解令"-■-=-得零点：丁二I ; 令讥I丨_」得零点：?一 ', 把数轴上的数分为三个部分（如图） 丄 _____________________ 1___________ I _____ k -4 0 2 ①当X工2时兀一220」+蚪>0 ???原式：'■' ②当-4K2时，x亠处1卄4工0 , ? 原式打 ,：|. ； ③当葢工一4时A-2 <0^+4 <0
greatout 绝对值邂逅一次方程 模型①c?axb x-3?3?3 1、解方程：4x=2- 2、1=+12732x-4x=24-2 +12=2-2x-2-1+1=7-3x 32x-3+4=a有两个解，求a的取值范围。 3、已知关于x的方程 ax?b?cx?d模型②x?1?2x2x-1?x?1 1、 x-53?2x?x?6x?63x3x4-??x5??71 2、 - 1 - greatout 多重绝对值方程怕不怕 1.解方程：3=x-2-4
解方程：2.32=2-x- 已知满足的x有2个，求a3.的取值范围。a?-1x-2 多个绝对值方程怕不怕 已知x-2+x+4=6,则x的取值范围是____ 1. 已知x-2+x+4=8,则x=____ 2. 已知x?3-x-4?5,则x?____ 3. 已知x?3-x-4??7,则x的取值范围为____ 4. - 2 - greatout 。5.____则x的取值范围是+3+2x-4=7,已知2x
6.个。的整数解共有_____+-52x+7=122x 个。_____的整数-1=8x的值的个数有7符合2x+-2x 7. 含绝对值的方程组6x+y=,x+y=12y=_____ ，则1.已知x=___， ____x+=y,-10,xx++y=x+yy=12则 2. 已知|x|+|y|=7,2|x|-3|y|=-1,则。x+y=______3. - 3 - greatout 4.已知|x-1|+|y-2|=6,|x-1|=2y-4,则x+y=________.
5.已知x-y=4,|x|+|y|=7,求x,y的值。 22=______ a+b6.已知3a-2|b|=5,4|a|-6a=3b,则 数形结合突破绝对值 y=x-1+x-2，求y的取值范围。1.已知 x-1+x-2=a分别有2.满足什么条件时，方程2a个解？无解？无数解？当 - 4 - greatout 的取值范围。3.已知，求y2x-1-x-y=
绝对值综合专题讲义 绝对值的定义： 绝对值的性质： （1） 绝对值的非负性，可以用下式表示 （2） |a|= （3） 若|a|=a ，则 ；若|a|=-a ，则；任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个 数的相反数， （4） 若|a|=|b|，则 （5） |a+b||a|+|b| |a-b|||a|-|b|| |a|+|b||a+b| |a|+|b||a-b| 【例1】 （1） 绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个？ （2） 若ab<|ab|，则下列结论正确的是（ ） A.a ＜0，b ＜0 B.a ＞0，b ＜0 C.a ＜0，b ＞0 D.ab ＜0 （3） 下列各组判断中，正确的是（ ） A ．若|a|=b ，则一定有a=b B.若|a|＞|b|,则一定有a ＞b C. 若|a|＞b ，则一定有|a|＞|b| D.若|a|=b ，则一定有a 2=(-b)2 （4） 设a ，b 是有理数，则|a+b|+9有最小值还是最大值？其值是多少？ （5） 若3|x-2|+|y+3|=0，则 x y 的值是多少？ （6） 若|x+3|+(y-1)2=0，求n x y )4( --的值 【巩固】 1、绝对值小于3.1的整数有哪些？它们的和为多少？ 2、有理数a 与b 满足|a|>|b|，则下面哪个答案正确（ ） A.a ＞b B.a=b C.a
A.a ＜0 B.a ＞0 C.b ＜0 D.b ＞0 5、设b a ,是有理数，则||8b a ---是有最大值还是最小值？其值是多少？ 小知识点汇总： 若(x-a)2+(x-b)2=0,则；若|x-a|+(x-b)2=0,则； 若|x-a|+|x-b|=0，则； （1） 已知 x 是有理数，且|x|=|-4|，那么x=＿＿＿＿ （2） 已知x 是有理数，且-|x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿ （3） 已知x 是有理数，且-|-x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿ （4） 如果x ，y 表示有理数，且x ，y 满足条件|x|=5，|y|=2，|x-y|=y-x ，那么x+y 的值是多少？ （5） 解方程05|5|2 3=-+x （6） 解方程|4x+8|=12 （7） 若已知a 与b 互为相反数，且|a-b|=4，求 12+++-ab a b ab a 的值 【巩固】 1、巩固|x|=4，|y|=6，求代数式|x+y|的值 2、解方程 |3x+2|=-1 3、已知|x-1|=2，|y|=3，且x 与y 互为相反数，求 y xy x 4312--的值 （1） 已知a=-2 1，b=-31，求||32|34|2|2|4)2(|42|2--+-+-++a b b a b a b a 的值 （2） 若|a|=b ，求|a+b|的值 （3） 化简：|a-b| （4） 有理数a ，b ，c 在数轴上对应点如图所示，化简|b+a|+|a+c|+|c-b| 【巩固】 1、化简：（1）|3.14-π| （2）|8-x|（x ≥8） C B 0 A
化学竞赛专题辅导铁及几种常见的金属 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】
竞赛专题辅导：铁及几种常见的金属【内容综述】 1.对"铁三角中铁的不同化合价的转化关系的初步认识 2.对铁的单质氧化物氢氧化物的转化关系的知识 3.铜及铜锈.铜盐等常识. 【要点讲解】 1.由生活中铁.铜及其化合物的种种表现入手,联系体现的性质解题 2.由铁.铜及其化合物的带色,转化等特性为解题突破口. 例1.下列有关铁的知识叙述不正确的是:__________ A.纯净的铁是银白色的,铁粉是黑色的;一般见到的铁器表面发红,铁的特性是有磁性. B.铁桶不能盛稀硫酸,硫酸铜溶液;但可以盛冷的浓硫酸. C.钢铁都是含碳的铁合金,练钢练钢练铁都是氧化一还原反应的原理 D.铁的的去锈剂是稀酸,铁的氧化物中,凡含+2价的称为氧化亚铁. 解析:铁在生活中各种表现都体现其性质,它具有金属通性,有磁性,它的细小颗粒发黑是光学方面的结果,在潮湿空所职易生成红色铁锈,可用稀盐酸.稀硫酸除去.Fe与稀反应,溶解并生成,Fe与溶液反应,本身溶解置换出Cu;Fe和冷浓生成致密氧化膜把自己包围,保护起来;所以都对,生铁是用CO把Fe从铁矿石中还原的冶练出来,再用氧化剂降低含碳量使性能更优越成为钢.C也对.HNO3不是去锈剂,四氧化三铁()中有二,价铁,则答案为 D . 例2(1)生锈的铁片a克,在足量b克盐酸中浸泡,看到的现象有_________;若完全反应完溶液量a+b-c克,则铁体上的铁锈有______克;反应后溶液的溶质为(写化学式)_________ (2)将铁粉与氧化铜混合物溶于稀硫酸,反应一段时间后,向溶液中插入一铁片,铁片无变化,此时固体一定有_________(物质名称),溶液中的阳离子是________(符号,除H)
子与已知的式子联系起来。 【绝对值必考题型】 例1:已知卜一21+年一31=0,求x+y的值。 【例瞄青讲】 （-）绝对值的非负性问题 1.非负性：若有几个非负数的和为0 ,那么这几个非负数均为0. 2.绝对值的非负性；若同+问+上| = 0 ,则必有” =0 ,b = 0 , c = 0 【例题】若卜+3|+|），+ 1| + ,+5| = 0，则x-y-z=。 总结：若干非奂数之和为0 , O 【巩固】若卜〃 + 3| + 〃一 1 + 2一 1| = 0，则p-\-2n + 3m = 【巩固】先化简，再求值：3。6- 2ab2 -2（ab-^a2b） +2ab .其中。、%满足|。+ 3匕+ 1| + （2〃-4）2 =0. （二）绝对值的性质 【例1】若a<0 ,则4a+71al等于（） A . 1 la B . -1 la C . -3a D . 3a 【例2］一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（） A. 1 ,0 B .正数 C .非正数 D ,非负数 【例3】已知1x1=5 , lyl=2，且xy >。，则x-y的值等于（） A . 7 或-7 B . 7 或 3 C . 3 或-3 D . -7 或-3
【例4】若刊=7 ,则*是( ) x A .正数 B .负数 C .非负数 D .非正数 【例5】已知：2>0/<0,团<山<1,那么以下判断正确的是( ) A . l-b>-b> l+a>a B . l+a>a> 1-b>-b 【例11】已知a , b , c 为三个有理数，它们在数轴上的对应位置如图所示，则 I II II I lc-bl-lb-al-la-cl= ?1 0 ° ' b C . l+a> l-b>a>-b D . 1-b > l+a>-b>a 【例6］已知a . b 互为相反数，且la-bl=6 ,则lb J 的值为( ) A . 2 B . 2 或3 C . 4 D . 2 或4 【例 7】a < 0 , ab < 0 ,计算lb-a+ll-la-b-51,结果为( ) A . 6 B . -4 【例8】若lx+yl=y-x ,则有( A.y>0,x<0 C ?-2a+2b+6 D . 2a-2b-6 ) B . y<0,x>0 【例 9］已知：x < 0 < z , xy > 0 ,且lyl > lzl> Ixl f 那么Ix+zhdy+zl-lx-yl 的值( ) A.是正数 B.是负数 C.是零 D.不能确定符号 【例10］给出下面说法： (1 )互为相反数的两数的绝对值相等； (2 )一个数的绝对值等于本身，这个数不是负数； (3 )若Iml > m ,则 m < 0 ； (4 )若lai > Ibl ,则a > b ,其中正确的有( ) A. (1) (2) (3) B. (1) (2) (4) C. (1) (3) (4) D. (2) (3) (4)
绝对值及其应用专题练习 1.|a|=7，|b|=3，且a,b异号，求|a+b|-|a-b|的值。 2. |a|=3，|b|=5，那么|a+b|-|a-b|的绝对值多少？ 3.若a
8. 已知有理数a,b,c都不为0，|-a|+|a|=0，|ab|=ab，|c|-c=0，化简|b|-|a+b-|c-b|+|a+c| 9.已知有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|-|b-1|-|a-c|-|1-c| 10如图，化简|c|-|c-b|+|a-c|+|a+b| 11.已知有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示，化简| b-c|-|b+c|+|a-c|-|a+c|-|a+b| 12. 已知有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示，（1）化简| a+1|-|c-b|+|b-1|
（2）若a+b+c=0，且b与-1的距离和c到-1的距离相等，求-a2+2b-c-(a-4c-b)的值 13.解方程 （1）|x+1|=3 （2）|3x-2|=5 （3）|x-1|+|x+3|=12 （4）|x-1|-|x+5|=4 14. |x+1|+|x-1|的最小值是多少？ 15. |x-3|+|x+2|的最小值是a，|x-3|-|x+2|的最大值是b，求a+b的值