初一七年级绝对值练习(含例题基础培优)

七年级,周末,培优,利用,绝对值,的,几何,意义,七年级周末培优2：利用绝对值的几何意义解题班级：姓名：号次：例题分析：例1 已知a是有理数，| a－2017|+| a－2018|的最小值是________．.例2 |x－2|－| x－5| 的最大值是_______，最小值是_______．例3 方程|x－1|+|x＋2|＝4的解为__________．例4 若 |x+1|+|2－x|＝3，则x的取值范围是________．例 5 对于任意数x，若不等式|x＋2|+|x－4|＞a恒成立，则a的取值范围是___________．例6 不等式|x＋2|+|x－3|＞5的解集是__________．例8（第15届江苏省竞赛题，初一）已知|x＋2|+|1－x|＝9－|y－5|－|1+y|，求x+ y最大值与最小值．一．选择题（共3小题）1．若a，b互为相反数，则下列各对数中不是互为相反数的是（）A．﹣2a和﹣2b B．a+1和b+1 C．a+1和b﹣1 D．2a和2b2．如图，现有3×3的方格，每个小方格内均有不同的数字，要求方格内每一行．每一列以及每一条对角线上的三个数字之和均相等，图中给出了部分数字，则P处对应的数字是（）A．7 B．5 C．4 D．13．下列结论错误的是（）A．若a＞0，b＜0，则a﹣b＞0 B．a＜b，b＞0，则a﹣b＜0C．若a＜0，b＜0，则a﹣（﹣b）＜0 D．若a＜0，b＜0，且|a|＞|b|，则a﹣b＞0二．填空题（共8小题）4．如果x、y都是不为0的有理数，则代数式的最大值是．5．若|m|=3，|n|=2且m＞n，则2m﹣n= ．6．|x+2|+|x﹣2|+|x﹣1|的最小值是．7．已知m、n、p都是整数，且|m﹣n|+|p﹣m|=1，则p﹣n= ．8．若|a+1|+|a﹣2|=5，|b﹣2|+|b+3|=7，则a+b= ．9．【阅读材料】“九宫图”源于我国古代夏禹时期的“洛书”（图1所示），是世界上最早的矩阵，又称“幻方”，用今天的数学符号翻译出来，“洛书”就是一个三阶“幻方”（图2所示）．【规律总结】观察图1、图2，根据“九宫图”中各数字之间的关系，我们可以总结出“幻方”需要满足的条件是；若图3，是一个“幻方”，则a= ．10．电影《哈利•波特》中，小哈利波特穿越墙进入“站台”的镜头（如示意图的Q站台），构思奇妙，能给观众留下深刻的印象．若A、B站台分别位于﹣，处，AP=2PB，则P站台用类似电影的方法可称为“站台”．11．在数轴上，点P表示的数是a，点P′表示的数是，我们称点P′是点P的“相关点”，已知数轴上A1的相关点为A2，点A2的相关点为A3，点A3的相关点为A4…，这样依次得到点A1、A2、A3、A4，…，An．若点A1在数轴表示的数是，则点A2018在数轴上表示的数是．三．解答题（共13小题）12．若|a|+|b|=4，且a=﹣1，求a﹣b的值． 13．已知|a﹣1|=5，|b|=2，|a+b|≠a+b，求ab的值．14．同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离．如|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离．试探索：（1）求|5﹣（﹣2）|= ．（2）若|x﹣3|=|x+1|，则x= ．（3）同样道理|x+5|+|x﹣2|表示数轴上有理数x所对点到﹣5和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|=7，这样的整数是．15．如图，已知数轴上的点A表示的数为6，点B表示的数为﹣4，点C是AB的中点，动点P 从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为x秒（x＞0）．（1）当x= 秒时，点P到达点A．（2）运动过程中点P表示的数是（用含x的代数式表示）；（3）当P，C之间的距离为2个单位长度时，求x的值．16．在一个3×3的方格中填写了9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得到的3×3的方格称为一个三阶幻方．（1）在图1中空格处填上合适的数字，使它构成一个三阶幻方；（2）如图2的方格中填写了一些数和字母，当x+y的值为多少时，它能构成一个三阶幻方．17．已知：数轴上点A表示的数是8，点B表示的数是﹣4．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左运动，动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左运动．P，Q两点同时出发．（1）经过多长时间，点P位于点Q左侧2个单位长度？（2）在点P运动的过程中，若点M是AP的中点，点N是BP的中点，求线段MN的长度．18．已知数轴上的点A和点B之间的距离为32个单位长度，点A在原点的左边，距离原点5个单位长度，点B在原点的右边．（1）点A所对应的数是，点B对应的数是；（2）若已知在数轴上的点E从点A出发向左运动，速度为每秒2个单位长度，同时点F从点B出发向左运动，速度为每秒4个单位长度，在点C处点F追上了点E，求点C对应的数．19．如图，点A、B都在数轴上，且AB=6（1）点B表示的数是；（2）若点B以每秒2个单位的速度沿数轴向右运动，则2秒后点B表示的数是；（3）若点A、B都以每秒2个单位沿数轴向右运动，而点O不动，t秒后有一个点是一条线段的中点，求t．20．观察下面的等式：﹣1=﹣|﹣+2|+3； 3﹣1=﹣|﹣1+2|+3； 1﹣1=﹣|1+2|+3；（﹣）﹣1=﹣|+2|+3；（﹣2）﹣1=﹣|4+2|+3回答下列问题：（1）填空：﹣1=﹣|5+2|+3；（2）已知2﹣1=﹣|x+2|+3，则x的值是；（3）设满足上面特征的等式最左边的数为y，求y的最大值，并写出此时的等式．22．如图，点A、B都在数轴上，O为原点．（1）点B表示的数是；（2）若点B以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，则2秒后点B表示的数是；（3）若点A、B分别以每秒1个单位长度、3个单位长度的速度沿数轴向右运动，而点O不动，t秒后，A、B、O三个点中有一个点是另外两个点为端点的线段的中点，求t的值．23．已知数轴上，点O为原点，点A对应的数为11，点B对应的数为b，点C在点B右侧，长度为3个单位的线段BC在数轴上移动，（1）如图1，当线段BC在O，A两点之间移动到某一位置时，恰好满足线段AC=OB，求此时b的值；（2）线段BC在数轴上沿射线AO方向移动的过程中，是否存在AC﹣OB=AB？若存在，求此时满足条件的b的值；若不存在，说明理由．24．已知，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动7cm到达A点，再从A点向右移动12cm 到达B点，把点A到点B的距离记为AB，点C是线段AB的中点．（1）点C表示的数是；（2）若点A以每秒2cm的速度向左移动，同时C、B点分别以每秒1cm、4cm的速度向右移动，设移动时间为t秒，①点C表示的数是（用含有t的代数式表示）；②当t=2秒时，求CB﹣AC的值；③试探索：CB﹣AC的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．七年级周末培优2：利用绝对值的几何意义解题参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．若a，b互为相反数，则下列各对数中不是互为相反数的是（）A．﹣2a和﹣2b B．a+1和b+1 C．a+1和b﹣1 D．2a和2b【分析】若a，b互为相反数，则a+b=0，根据这个性质，四个选项中，两个数的和只要不是0的，一定不是互为相反数．【解答】解：∵a，b互为相反数，∴a+b=0．A中，﹣2a+（﹣2b）=﹣2（a+b）=0，它们互为相反数；B中，a+1+b+1=2≠0，即a+1和b+1不是互为相反数；C中，a+1+b﹣1=a+b=0，它们互为相反数；D中，2a+2b=2（a+b）=0，它们互为相反数．故选：B．【点评】本题考查了互为相反数的意义和性质：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0；一对相反数的和是0．2．如图，现有3×3的方格，每个小方格内均有不同的数字，要求方格内每一行．每一列以及每一条对角线上的三个数字之和均相等，图中给出了部分数字，则P处对应的数字是（）A．7 B．5 C．4 D．1【分析】设下面中间的数为x，分别表示出相应的数，再根据每一列以及每一条对角线上的三个数字之和均相等，列出方程求解即可．【解答】解：设下面中间的数为x，则三个数字之和为8+x，8﹣3=5，8+x﹣3﹣6=x﹣1，8+x﹣2﹣（x﹣1）=7，5+6+7﹣7﹣3=8，如图所示：P+6+8=7+6+5，解得P=4．故选：C．【点评】此题主要考查有理数的加法，图形的变化规律，学习过程中注意培养自己的观察、分析能力．3．下列结论错误的是（）A．若a＞0，b＜0，则a﹣b＞0 B．a＜b，b＞0，则a﹣b＜0C．若a＜0，b＜0，则a﹣（﹣b）＜0 D．若a＜0，b＜0，且|a|＞|b|，则a﹣b＞0 【分析】根据有理数的减法运算法则对各选项分析判断利用排除法求解．【解答】解：A、若a＞0，b＜0，则a﹣b＞0正确，故本选项错误；B、若a＜b，b＞0，则a﹣b＜0正确，故本选项错误；C、若a＜0，b＜0，则a﹣（﹣b）＜0正确，故本选项错误；D、若a＜0，b＜0，且|a|＞|b|，则a﹣b＞0错误，故本选项正确．故选：D．【点评】本题考查了有理数的减法，要注意字母表示数的抽象性，熟记运算法则是解题的关键．二．填空题（共8小题）4．如果x、y都是不为0的有理数，则代数式的最大值是 1 ．【分析】此题要分三种情况进行讨论：①当x，y中有二正；②当x，y中有一负一正；③当x，y中有二负；分别进行计算．。

初一数学培优经典试题及答案试题一：有理数的加减法题目：计算下列有理数的和：\[ 3 + (-2) + 4 + (-1) \]答案：首先，我们可以将正数和负数分别相加：\[ 3 + 4 = 7 \]\[ -2 + (-1) = -3 \]然后，将两个结果相加：\[ 7 + (-3) = 4 \]所以，最终结果是4。

试题二：绝对值的计算题目：求下列数的绝对值：\[ |-5|, |-(-3)|, |0| \]答案：绝对值表示一个数距离0的距离，不考虑正负号。

因此：\[ |-5| = 5 \]\[ |-(-3)| = |3| = 3 \]\[ |0| = 0 \]所以，这三个数的绝对值分别是5, 3, 和0。

试题三：一元一次方程的解法题目：解下列方程：\[ 2x - 3 = 7 \]答案：首先，将方程中的常数项移到等号的另一边：\[ 2x = 7 + 3 \]\[ 2x = 10 \]然后，将等式两边同时除以2，得到x的值：\[ x = \frac{10}{2} \]\[ x = 5 \]所以，方程的解是x = 5。

试题四：代数式的值题目：当a=3，b=-2时，求代数式\( ab + a - b \)的值。

答案：将给定的a和b的值代入代数式中：\[ ab + a - b = 3 \times (-2) + 3 - (-2) \]\[ = -6 + 3 + 2 \]\[ = -1 \]所以，代数式的值是-1。

试题五：几何图形的周长和面积题目：一个长方形的长是10厘米，宽是5厘米，求这个长方形的周长和面积。

答案：长方形的周长是长和宽的两倍之和：\[ 周长 = 2 \times (长 + 宽) \]\[ 周长 = 2 \times (10 + 5) \]\[ 周长 = 2 \times 15 \]\[ 周长 = 30 \] 厘米长方形的面积是长乘以宽：\[ 面积 = 长 \times 宽 \]\[ 面积 = 10 \times 5 \]\[ 面积 = 50 \] 平方厘米结束语：以上是初一数学培优的经典试题及答案，希望同学们能够通过这些题目加深对数学概念的理解和应用。

七年级培优——绝对值绝对值是七年级数学中的一个非常重要的基本概念，但涉及到的数学思想非常重要，所涉及的方法也会对整个初中数学的学习有很大的帮助，本节课我们将从几种方法对绝对值的综合题进行讲解。

一、利用绝对值的定义求绝对值的值。

绝对值的定义如下：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=.0,0,00,||时当时，当时，当a a a a a a例题1：已知1||≤x ，1||≤y ，求|52||1|--++x y y 的最小值。

方法点拨：要化简|52||1|--++x y y ，必须要搞清楚1+y 和52--x y 的正负情况，当不能判断的时候就需要通过分类来进行化简.解：因为1||≤x ，1||≤y 可得11≤≤-x ，11≤≤-y ，所以210≤+≤y ，从而得1|1|+=+y y因为11≤≤-y ，所以222≤≤-y ，因为11≤≤-x ，所以11≤-≤-x所以323≤-≤-x y所以2528-≤--≤-x y ，即052<--x y ，从而有52)52|52|++-=---=--x y x y x y （ 所以6521|52||1|+-=++-+=--++y x x y y x y y所以当x 取最小值，y 取最大值时，6+-y x 的值最小即当1-=x ，1=y 时，|52||1|--++x y y 的最小值为4611=+--.练习1：若3||=x ，2||=y ，且x y y x -=-||，求y x +的值.练习2：已知0<a ，0>b ，求|5||1|---+-b a a b 的值.练习3：已知a 、b 、c 是非零有理数，且0=++c b a ，求abcabc c c b b a a ||||||||+++的值.练习4：已知1||≤x ，1||≤y ，求|42||1|||--++++x y y y x 的最大值和最小值.练习5：已知152||=++y x x ，3| |=-+y y x ，求x ，y 的值.二、利用数轴解绝对值的值由绝对值的几何意义可知，||a 表示的几何意义为实数a 到原点的距离，||b a -表示的几何意思为实数a 到实数b 在数轴上的距离。

初一有理数绝对值题50道一、基础巩固1、绝对值等于 5 的数是（）A 5B －5C 5 或－5D 02、绝对值小于 4 的整数有（）A 3 个B 5 个C 7 个D 9 个3、若|x|＝3，则 x=（）A 3B －3C 3 或－3D 04、计算：｜ 7 ｜＝（）A －7B 7C 1/7D 1/75、若|a|＝ a，则 a 是（）A 正数B 负数C 非正数D 非负数6、绝对值最小的数是（）A 1B 0C －1D 不存在7、若|x 2|＝0，则 x=（）A 2B －2C 0D ±28、若|x ＋ 3|＝5，则 x=（）A 2 或－8B －2 或 8C 2 或 8D －2 或－89、下列说法正确的是（）A ｜ 5 ｜＝ 5B ｜ 06 ｜＝ 06C ｜ 1/3 ｜＝ 1/3D ｜ 8 ｜＝810、比较大小：｜ 3 ｜（）｜ 4 ｜A ＞B ＜C ＝D 无法比较二、能力提升11、若|a|＝5，｜b|＝3，且 a＞b，则 a ＋ b 的值为（）A 8B 2C 8 或 2D ±8 或 ±212、已知|x|＝4，｜y|＝1/2，且 xy＜0，则 x/y 的值为（）A －8B 8C 1/8D 1/813、若|x 1| ＋｜y ＋ 2| ＝ 0，则 x ＋ y 的值为（）A －1B 1C －3D 314、当 a＜0 时，化简|a 1| ｜a 2| ＝（）A －1B 1C 2a 3D 3 2a15、若 0＜x＜1，则 x，1/x，x²的大小关系是（）A x＜x²＜1/xB x²＜x＜1/xC 1/x＜x＜x²D 1/x＜x²＜x16、有理数 a，b 在数轴上的位置如图所示，则|a b| ＝（）（数轴略）A a bB b aC a ＋ bD a b17、若|x ＋ 1| ＋｜x 2| ＝ 5，则 x 的值为（）A 3B －2C 3 或－2D 不存在18、已知 a，b 互为相反数，c，d 互为倒数，m 的绝对值为 2，求|a ＋ b|／m cd ＋ m 的值。

2 - 1 =22 2 2 进而 ⎪⎨，解得 ⎪⎨ ⎩ ⎩一元一次方程培优专题——绝对值方程例题1. 解方程： 2 x + 3 = 5【解析】根据绝对值的意义，原方程可化为 2x + 3 = 5 或者 2x + 3 = -5 ，解得 x = 1 或 x = -4【答案】 x = 1 或 x = -4例题2. 解方程 x + 1 - 1 2 - x + 13【解析】原方程整理得： x + 1 = 13 ，即 x + 1 = 13 或者 x + 1 = - 13 ，所以原方程的解为 x = 8 或 x = - 1855 5 5 5【答案】 x = 8 或 x = - 1855例题3. 已知：当 m > n 时，代数式(m 2- n 2+ 3) 和 m 2+ n 2- 5 的值互为相反数，求关于x 的方程m 1 - x = n的解．【解析】因为代数式 (m 2 - n 2 + 3) 和 m 2 + n 2 - 5 的值互为相反数，所以 (m 2 - n 2 + 3) + m 2 + n 2 - 5 = 0 ， 所以 (m 2 - n 2 + 3) = 0 ， m 2 + n 2 - 5 = 0 ，⎧m 2 - n 2 = -3 ⎪m 2 + n 2 = 5⎧m 2 = 1 ⎪n 2 = 4，所以 m = ±1, n = ±2 ，因为 m > n ，当 m = 1时， n = -2 ；当 m = -1 时， n = -2 ；当 m = 1，n = -2 时，方程为 1 - x = -2 ，该方程无解；当 m = -1， n = -2 时，方程为 - 1 - x = -2 ，解得 x = -1 或 x = 3 ．【答案】 x = -1 或 x = 3例题4.解方程4x+3=2x+9【解析】解法一：令4x+3=0得x=-3，将数分成两段进行讨论：4①当x≤-3时，原方程可化简为：-4x-3=2x+9，x=-2在x≤-3的范围内，是方程的解．44②当x>-3时，原方程可化简为：4x+3=2x+9，x=3在x>-3的范围内，是方程的解．44综上所述x=-2和x=3是方程的解．解法二：依据绝对值的非负性可知2x+9≥0，即x≥-9．原绝对值方程可以转化为①4x+3=2x+9，2解得x=3，经检验符合题意．②4x+3=-(2x+9)，解得x=-2，经检验符合题意．综合①②可知x=-2和x=3是方程的解．【答案】x=-2或x=3例题5.解方程4x+3=2x+9【答案】x=3或x=-2例题6.a为有理数，a=2a-3，求a的值．【解析】解法一：要想求出a的值，我们必须先化简a=2a-3．采用零点分段讨论的方法．令a=0，2a-3=0得a=3．2①当a≥3时，由原式可得a=2a-3，求得a=3，在a≥3的范围内；22②当0≤a<3时，由原式可得a=3-2a，求得a=1，在0≤a<3的范围内；22③当a<0，由原式可得-a=-2a+3，求得a=3，不在a<0的范围内．综上可得a的值为3或1．x 解法二：依题意， a 的绝对值和 2a - 3 的绝对值相等，可以得出两者相等或互为相反数，即a = 2a - 3或a = -(2a - 3) 解得 a = 3 或 a = 1．【答案】 a = 3 或 a = 1例题7. 解方程 2 x - 1 = 3x + 1【解析】根据两数的绝对值相等，可以判断这两个数相等或者互为相反数，所以由原方程可以得到2x - 1 = 3x + 1 或 2x - 1 = -3x - 1 ，解得 x = -2， = 0 ．【答案】 x = -2 或 x = 0例题8. 解方程 x - 1 + x - 3 = 4【解析】令 x - 1 = 0 ， x - 3 = 0 得 x = 1 ， x = 3 ，它们可以将数轴分成 3 段：①当 x < 1 时，原方程可化简为： -( x - 1) - ( x - 3) = 4 ， x = 0 在 x < 1 的范围内是原方程的解；②当 1 ≤ x < 3 时，原方程可化简为： x - 1 - ( x - 3) = 4 ，此方程无解；③当 x ≥ 3 时，原方程可化简为： x - 1 + x - 3 = 4 ， x = 4 在 x ≥ 3 的范围内是原方程的解；综上所述，原方程的解为： x = 0 或 x = 4 ．【答案】 x = 0 或 x = 4例题9. 解方程 x - 1 + x - 5 = 4【解析】由绝对值的几何意义可知 1 ≤ x ≤ 5 ．【答案】 1 ≤ x ≤ 5例题10. 解方程： 2 x + 1 - 2 - x = 3【解析】零点为： x = - 1 ， x = 2 ，它们可将数轴分成三段：22 ①当 x < - 1 时，原方程变形为：-(2 x + 1) - (2 - x) =3 ，x = -6 在 x < - 1 的范围内，是方程的解；22②当 - 1 ≤ x < 2 时，原方程变形为： (2 x + 1) - (2 - x) = 3 ， x = 4 在 - 1 ≤ x < 2 的范围内，是方程23 2的解；③当 x > 2 时，原方程变形为：(2 x - 1) - ( x - 2) = 3 ，x = 0 不在 x > 2 的范围内，不是方程的解．综上所述原方程的解为： x = -6 或 x = 4 ．3【答案】 x = -6 或 x = 43例题11. 解方程：方程 x + 3 + 3 - x = 9 x + 52【解析】对 x 的值分 4 段讨论：①若 x < -3 ，则原方程化为 - x - 3 + 3 - x = - 9 x + 5 ，解得 x = 2 ，与 x < -3 矛盾；2②若 -3 ≤ x < 0 ，则原方程化为 x + 3 + 3 - x = - 9 x + 5 ，解得 x = - 2 ；29③若 0 ≤ x < 3 ，则原方程化为 x + 3 + 3 - x = 9 x + 5 ，解得 x = 2 ；29④若 x ≥ 3 ，则原方程化为 x + 3 + x - 3 = 9 x + 5 ，解得 x = -2 ，与 x ≥ 3 矛盾．2综上所述方程的解为 x = ± 2 ．9【答案】 ± 29例题12. 解绝对值方程： x - 3x - 5- 1 = 62【解析】 x - 3x - 5 - 1 = 6 或 -6 ，即 3x - 5 = x - 7 或 3x - 5 = x + 522 2①当 x - 7 ≥ 0 时（即 x ≥ 7 ）， 3x - 5 > 0 ， 3x - 5 = x - 7 化为 3x - 5 = x - 7 ，解得 x = -9 ；22②当 x + 5≥ 0 时（ x ≥ -5 ），若还有 3x - 5 > 0 （即 x ≥ 5 ）， 3x - 5 = x + 5 ，解得 x = 15 ；23 2③当 x + 5≥ 0 时（ x ≥ -5 ），若还有 3x - 5 < 0 （即 x < 5 ）， 3x - 5 = - x - 5 ，解得 x = -1 ．23 2再来检验这三个解 x = -9 （舍去）、 x = 15 、 x = -1 ．【答案】 x = 15 或 x = -13x + 1 = 0，x = - ； x - 3x + 1 = 0 ， x = - ， - ，这 3 个零点将数轴分成 4 段，我们分段讨论 8例题13. 解方程： 3x - 5 + 4 = 8【解析】3x - 5 + 4 = 8 或 - （舍），即 3x - 5 = 4 ，所以 3x - 5 = 4 或 -4 ，即 3x = 9 或 3x = 1 ，故 x = 3 或 x = 1 ．3【答案】 x = 3 或 x = 13例题14. 求方程 x - 3x + 1 = 4 的解．【解析】解法一：1 1 1 32 4研究可以得到结果为： x = 3 或 x = - 5 ，但其实这么做是没必要的．我们来看看解法二．24解法二：①当 x ≤ - 1 时，方程可化为： 4x + 1 = -4 ， x = - 5 ，在 x ≤ - 1 范围内，是方程的解；34 3②当 x > - 1 时，方程可化为 -2 x - 1 = 4 ：当 -2x - 1 = 4 时，得 x = - 5 ， - 5 < - 1 ， x = - 5 不是32 23 2解，舍去；当 -2x - 1 = -4 时，得 x = 3 ，∵ 3 > - 1 ，∴ x = 3 是方程的一个解．22 3 2综上可得，原方程的解为 x = 3 或 x = - 5 ．24【答案】 x = 3 或 x = - 524例题15. 当 0 ≤ x ≤1 时，求方程 x - 1 - 1 - 1 = 0 的解【解析】根据 x 所在的范围，可得 x ≥ 0 ， x - 1≤ 0 ，因此 x = x ，x - 1 = 1 - x ，按从内到外的顺序逐个去除方程中的绝对值符号，原方程可顺次化为： 1 - x - 1 - 1 = 0 ，即 1 - x = 0 ，所以 x = 1 ．【答案】1。

【讲练课堂】2022-2023学年七年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题1.5绝对值【名师点睛】1.概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．③有理数的绝对值都是非负数．2.如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；③当a是零时，a的绝对值是零．3.绝对值的非负性：任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．根据上述的性质可列出方程求出未知数的值．【典例剖析】【例1】化简下列各数：（1）﹣（﹣5）（2）﹣（+7）（3）﹣[﹣（+23）]（4）﹣[﹣（﹣a）]（5）|﹣（+7）|（6）﹣|﹣8|（7）|﹣|+4 7 ||（8）﹣|﹣a|（a＜0）【分析】（1）根据相反数定义求出即可；（2）根据相反数定义求出即可；（3）根据相反数定义求出即可；（4）根据相反数定义求出即可；（5）根据绝对值定义求出即可；（6）根据绝对值定义求出即可；（7）根据绝对值定义求出即可；（8）根据绝对值定义求出即可．【解析】（1）﹣（﹣5）＝5；（2）﹣（+7）＝﹣7；（3）﹣[﹣（+23）]=23；（4）﹣[﹣（﹣a）]＝﹣a；（5）|﹣（+7）|＝7；（6）﹣|﹣8|＝﹣8；（7）|﹣|+47||=47；（8）﹣|﹣a|（a＜0）＝﹣（﹣a）＝a．【点评】本题考查了绝对值，相反数的应用，注意：一个负数的绝对值等于它的相反数，一个正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0．【变式】化简：（1）﹣（﹣3）；（2）﹣|﹣3.2|；（3）+（﹣0.5）；（4）﹣|+13 |．【分析】（1）根据相反数的定义解决此题．（2）根据绝对值以及相反数的定义解决此题．（3）根据去括号法则解决此题．（4）根据绝对值以及相反数的定义解决此题．【解析】（1）﹣（﹣3）＝3．（2）﹣|﹣3.2|＝﹣3.2．（3）+（﹣0.5）＝﹣0.5．（4）―|+13|=―13．【点评】本题主要考查绝对值以及相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解决本题的关键．【例2】已知a为整数（1）|a|能取最　小　（填“大”或“小”）值是　0　．此时a＝　0　．（2）|a|+2能取最　小　（填“大”或“小”）值是　2　．此时a＝　0　．（3）2﹣|a﹣1|能取最　大　（填“大”或“小”）值是　2　．此时a＝　1　．（4）|a﹣1|+|a+2|能取最　小　（填“大”或“小”）值是　3　．此时a＝　﹣2≤a≤1　．【分析】（1）由绝对值的性质即可得出答案；（2）由绝对值的性质即可得出答案；（3）由绝对值的性质即可得出答案；（4）由绝对值的性质即可得出答案．【解析】（1）|a|能取最小值是0．此时a＝0．故答案为：小，0，0；（2）|a|+2能取最小值是2．此时a＝0．故答案为：小，2，0；（3）2﹣|a﹣1|能取最大值是2．此时a＝1．故答案为：大，2，1；（4）|a﹣1|+|a+2|能取最小值是3．此时﹣2≤a≤1；故答案为：小，3，﹣2≤a≤1．【点评】本题考查了绝对值的非负性质；熟练掌握绝对值的非负性质是解题的关键．【变式】．（1）如果|x|＝2，则x＝　±2　；（2）如果x＝﹣x，则x＝　0　；（3）如果|x|＝x，求x的取值范围；（4）如果|x|＝﹣x，求x的取值范围．【分析】（1）利用绝对值的定求解即可，（2）利用相反数的定义求解，（3）利用绝对值的性质求解即可，（4）利用绝对值的性质求解即可．【解析】（1）如果|x|＝2，则x＝±2；故答案为：±2．（2）如果x＝﹣x，则x＝0；故答案为：0．（3）如果|x|＝x，则x≥0；（4）如果|x|＝﹣x，则x≤0．【点评】本题主要考查了绝对值，解题的关键是熟记绝对值的定义．【满分训练】一．选择题（共10小题）1．（2022•通辽）﹣3的绝对值是（ ）A．―13B．3C．13D．﹣3【分析】应用绝对值的计算方法进行计算即可得出答案．【解析】|﹣3|＝3．故选：B．【点评】本题主要考查了绝对值，熟练掌握绝对值的计算方法进行求解是解决本题的关键．2．（2022•聊城）实数a的绝对值是54，a的值是（ ）A．54B．―54C．±45D．±54【分析】根据绝对值的意义直接进行解析【解析】∵|a|=5 4，∴a＝±5 4．故选：D．【点评】本题考查了绝对值的意义，即在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．3．（2022•百色）﹣2023的绝对值等于（ ）A．﹣2023B．2023C．±2023D．2022【分析】利用绝对值的意义求解．【解析】因为负数的绝对值等于它的相反数；所以，﹣2023的绝对值等于2023．故选：B．【点评】本题考查绝对值的含义．即：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．4．（2022•绥化）化简|―12|，下列结果中，正确的是（ ）A．12B．―12C．2D．﹣2【分析】利用绝对值的意义解析即可．【解析】|―12|的绝对值是12，故选：A．【点评】本题主要考查了绝对值的意义，正确利用绝对值的意义是解题的关键．5．（2022•南充）下列计算结果为5的是（ ）A．﹣（+5）B．+（﹣5）C．﹣（﹣5）D．﹣|﹣5|【分析】根据相反数判断A，B，C选项；根据绝对值判断D选项．【解析】A选项，原式＝﹣5，故该选项不符合题意；B选项，原式＝﹣5，故该选项不符合题意；C选项，原式＝5，故该选项符合题意；D选项，原式＝﹣5，故该选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了相反数，绝对值，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．6．（2021秋•河东区期末）若ab≠0，那么|a|a+|b|b的取值不可能是（ ）A．﹣2B．0C．1D．2【分析】由ab≠0，可得：①a＞0，b＞0，②a＜0，b＜0，③a＞0，b＜0，④a＜0，b ＞0；分别计算即可．【解析】∵ab≠0，∴有四种情况：①a＞0，b＞0，②a＜0，b＜0，③a＞0，b＜0，④a＜0，b＞0；①当a＞0，b＞0时，|| a +||b=1+1＝2；②当a＜0，b＜0时，|| a +||b=―1﹣1＝﹣2；③当a＞0，b＜0时，|| a +||b=1﹣1＝0；④当a＜0，b＞0时，|| a +||b=―1+1＝0；综上所述，||a+||b的值为：±2或0．故选：C．【点评】本题考查绝对值的定义，运用分类讨论思想和熟练掌握并正确运用绝对值的定义是正确解题的关键．7．（2021秋•泗洪县期末）在数轴上有A、B两点，点A在原点左侧，点B在原点右侧，点A对应整数a，点B对应整数b，若|a﹣b|＝2022，当a取最大值时，b值是（ ）A．2023B．2021C．1011D．1【分析】先根据A、B的位置关系，判断出a、b的大小关系，化简|a﹣b；再根据a取最大值，求出a的值；最后求出b的值．【解析】∵点A在点B左侧，∴a﹣b＜0，∴|a﹣b|＝b﹣a＝2022；a为负整数，取最大值时为﹣1，此时b﹣（﹣1）＝2022，则b＝2021；故选：B．【点评】考查绝对值的化简和数轴．解题的关键在于能够结合数轴判断a、b的大小关系，进而化简|a﹣b|．注意：最大的负整数是﹣1．8．（2021秋•霍邱县期中）若|a|＝﹣a，则在下列选项中a不可能是（ ）A．﹣2B．―12C．0D．5【分析】根据||=―a，结合绝对值性质可知：a≤0，不可能是正数．【解析】∵||=―a，∴实数a是非正数，即a≤0，∴选项中的数a不可能是正数，故选：D．【点评】本题考查了绝对值定义和性质，熟练掌握并正确运用绝对值性质是解题关键．9．（2020秋•九龙坡区校级期末）已知﹣1≤x≤2，则化简代数式3|x﹣2|﹣|x+1|的结果是（ ）A．﹣4x+5B．4x+5C．4x﹣5D．﹣4x﹣5【分析】由于﹣1≤x≤2，根据不等式性质可得：x﹣2≤0，x+1≥0，再依据绝对值性质化简即可．【解析】∵﹣1≤x≤2，∴x﹣2≤0，x+1≥0，∴3|x﹣2|﹣|x+1|＝3（2﹣x）﹣（x+1）＝﹣4x+5；故选：A．【点评】本题考查了不等式性质，绝对值定义和性质，整数加减运算等，熟练掌握并运用绝对值性质化简是解题关键．10．（2020秋•长垣市月考）若x为整数，且满足|x﹣2|+|x+4|＝6，则满足条件的x的值有（ ）A．4个B．5个C．6个D．7个【分析】依据|x﹣2|+|x+4|＝6，分类讨论即可得到所有整数x即可．【解析】①当x＜﹣4时，|x﹣2|+|x+4|＞6（不合题意）；②当﹣4≤x≤2时，|x﹣2|+|x+4|＝6，符合题意的所有整数x的值为﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，③当x＞2时，|x﹣2|+|x+4|＞6（不合题意）；综上所述，满足|x﹣2|+|x+4|＝6的所有整数x的个数是7．故选：D．【点评】此题考查绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．二．填空题（共8小题）11．（2022•常德）|﹣6|＝　6　．【分析】根据绝对值的化简，由﹣6＜0，可得|﹣6|＝﹣（﹣6）＝6，即得答案．【解析】﹣6＜0，则|﹣6|＝﹣（﹣6）＝6，故答案为6．【点评】本题考查绝对值的化简求值，即|a|=a(a≥0)―a(a＜0)．12．（2022•泰州）若x＝﹣3，则|x|的值为　3　．【分析】利用绝对值的代数意义计算即可求出值．【解析】∵x＝﹣3，∴|x|＝|﹣3|＝3．故答案为：3．【点评】此题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键．13．（2020秋•达孜区期末）绝对值不大于4的整数有　9　个．【分析】根据绝对值的性质解析即可．【解析】根据绝对值的概念可知，绝对值不大于4的整数有4，3，2，1，0，﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，一共9个．【点评】解析此题的关键是熟知绝对值的性质，即一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．互为相反数的两个数的绝对值相等．14．（2020秋•吴江区期中）若|x|＝﹣（﹣8），则x＝　±8　．【分析】根据绝对值的性质解析可得．【解析】∵|x|＝﹣（﹣8），∴x＝±8．故答案为：±8．【点评】本题主要考查绝对值，掌握绝对值的性质是解题的关键．15．（2020秋•兴化市月考）当a＝　﹣2　时，式子10﹣|a+2|取得最大值．【分析】根据任何数的偶次方是非负数，即可求解．【解析】∵|a+2|≥0，且当a+2＝0，即a＝﹣2时，|a+2|＝0，∴当a＝﹣2时，代数式10﹣|a+2|取得最大值是10．故答案是：﹣2．【点评】此题主要考查了非负数的性质，解题的关键是明确初中阶段有三种类型的非负数：绝对值、偶次方、二次根式（算术平方根）．16．（2022春•东台市期中）|x﹣2|+9有最小值为　9　．【分析】根据绝对值的非负性即可得出答案．【解析】∵|x﹣2|≥0，∴|x﹣2|+9≥9，∴|x﹣2|+9有最小值为9．故答案为：9．【点评】本题考查了绝对值的非负性，掌握|a|≥0是解题的关键．17．（2021秋•玄武区校级月考）如果|a+2|+|b﹣1|＝0，那么（a+b）2021的值是　﹣1　．【分析】根据绝对值的非负数的性质分别求出a、b，代入计算即可．【解析】∵|a+2|+|b﹣1|＝0，∴a+2＝0，b﹣1＝0，解得a＝﹣2，b＝1，∴（a+b）2021＝（﹣1）2021＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了非负数的性质，掌握当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键．18．（2021秋•虎林市期末）|a+3|+|b﹣2|＝0，则a+b＝　﹣1　．【分析】根据绝对值非负数的性质列式求解即可得到a、b的值，然后再代入代数式进行计算即可求解．【解析】根据题意得，a+3＝0，b﹣2＝0，解得a＝﹣3，b＝2，∴a+b＝﹣3+2＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了绝对值非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．三．解析题（共4小题）19．在有理数3，﹣1.5，﹣312，0，2.5，﹣4，﹣（+3.5），|―12|中，求出其中分数的相反数和绝对值．【分析】据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数；根据绝对值实数轴上的点到原点的距离，可得一个数的绝对值；【解析】﹣1.5的相反数1.5，绝对值是1.5；﹣312的相反数是312，绝对值是312；2.5的相反数是﹣2.5，绝对值是2.5；﹣（+3.5）＝﹣3.5相反数是3.5，绝对值是3.5；|―12|=12相反数是―12，绝对值是12．【点评】本题考查了绝对值，利用了绝对值得性质：正数的绝对等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数．20．求下列各数的绝对值：（1）﹣38；（2）0.15；（3）a（a＜0）；（4）3b（b＞0）；（5）a﹣2（a＜2）；（6）a﹣b．【分析】根据绝对值的含义和求法，求出每个数的绝对值各是多少即可．【解析】（1）|﹣38|＝38；（2）|+0.15|＝0.15；（3）∵a＜0，∴|a|＝﹣a；（4）∵b＞0，∴3b＞0，∴|3b|＝3b；（5）∵a＜2，∴a﹣2＜0，∴|a﹣2|＝﹣（a﹣2）＝2﹣a；（6）a﹣b≥0时，|a﹣b|＝a﹣b；a﹣b＜0时，|a﹣b|＝b﹣a．【点评】此题主要考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解析此题的关键是要明确：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．21．（2020秋•江阴市校级月考）阅读下面的例题：我们知道|x|＝2，则x＝±2请你那么运用“类比”的数学思想尝试着解决下面两个问题．（1）|x+3|＝2，则x＝　﹣5或﹣1　；（2）5﹣|x﹣4|＝2，则x＝　1或7　．【分析】（1）根据绝对值解析即可；（2）根据绝对值的非负性解析即可．【解析】（1）因为）|x+3|＝2，则x＝﹣5或﹣1；（2）因为5﹣|x﹣4|＝2，可得：|x﹣4|＝3，解得：x＝1或7；故答案为：（1）﹣5或﹣1（2）1或7【点评】此题考查绝对值，关键是根据绝对值的非负性和概念解析．22．（2019秋•睢宁县期中）【观察与归纳】（1）观察下列各式的大小关系：|﹣2|+|3|＞|﹣2+3||﹣8|+|3|＞|﹣8+3||﹣2|+|﹣3|＝|﹣2﹣3||0|+|﹣6|＝|0﹣6|归纳：|a|+|b|　≥　|a+b|（用“＞”或“＜”或“＝”或“≥”或“≤”填空）【理解与应用】（2）根据上题中得出的结论，若|m|+|n|＝9，|m+n|＝1，求m的值．【分析】（1）根据提供的关系式得到规律即可；（2）根据（1）中的结论分当m为正数，n为负数时和当m为负数，n为正数时两种情况分类讨论即可确定答案．【解析】（1）根据题意得：|a|+|b|≥|a+b|，故答案为：≥；（2）由上题结论可知，因为|m|+|n|＝9，|m+n|＝1，|m|+|n|≠|m+n|，所以m、n异号．当m为正数，n为负数时，m﹣n＝9，则n＝m﹣9，|m+m﹣9|＝1，m＝5或4；当m为负数，n为正数时，﹣m+n＝9，则n＝m+9，|m+m+9|＝1，m＝﹣4或﹣5；综上所述，m为±4或±5．【点评】本题考查了绝对值的知识，解题的关键是能够根据题意分类讨论解决问题，难度不大．。

七年级数学培优专题讲解绝对值培优一、 绝对值的意义：(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|。

(2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零。

也可以写成： ()()()||0a a a a a a ⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩当为正数当为0当为负数二、 典型例题例1．已知a 、b 、c 在数轴上位置如图： 则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ ）A ．-3aB ． 2c －aC ．2a －2bD ． b例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++的值（ ）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．不能确定符号例3．已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？例4．方程x x -=-20082008 的解的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无穷多个例5．已知|ab －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值：()()()()()()1111112220072007ab a b a b a b ++++++++++例6．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-，3与5，2-与6-，4-与3. 并回答下列各题：（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：___ .（2）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则A 与B 两点间的距离可以表示为 ________________.说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数； （Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。

（3）结合数轴求得23x x -++的最小值为 ，取得最小值时x 的取值范围为 ___.（4） 满足341>+++x x 的x 的取值范围为 ______ .（5）若1232008x x x x -+-+-++-的值为常数，试求x 的取值范围．例7.若24513a a a +-+-的值是一个定值，求a 的取值范围.例8.已知112x x ++-=，化简421x -+-．例9.若245134x x x +-+-+的值恒为常数，则x 应满足怎样的条件？此常数的值为多少？练习题 1.如果有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，求a b a c b c ++--+的值. b -1 c 0 a 12.已知2x ≤，求32x x --+的最大值与最小值．3.若0abc <，求a b c a b c +-的值4.有理数a ，b ，c ，d 满足1abcdabcd =-，求abcda b c d+++的值．5.试求123...2005x x x x -+-+-++-的最小值6. 已知式子：431744+---+-x x x 的值恒为一个常数，求x 的取值范围。

初一(七年级)数学上册绝对值同步练习题基础检测：I. ______________________ —8的绝对值是___ ，记做。

2 .绝对值等于5的数有__________________ 。

3 .若 | a | = a ,贝U a ____________ 。

4. ________ 的绝对值是2004, 0的绝对值是___________ 。

5一个数的绝对值是指在____________ 上表示这个数的点到________ 的距离。

6. 如果xv y v 0,那么 | x | ______________ | y |。

7. | x — 1 | =3 ，贝U x = _________________ 。

8 .若 | x+3 | + | y —4 | = 0,贝U x + y = _________ 。

9. 有理数a , b在数轴上的位置如图所示，则a ______ b,| a> | b|。

_b 0a10. | x |v畀，则整数x = _____________ 。

II. ____________________________________________ 已知| x | — | y | =2，且y =—4，贝U x = ___________ 。

12 .已知 | x | =2 ，| y | =3，则x +y = ___________ 。

13. 已知| x +1 |与| y —2 |互为相反数，贝U| x | + | y |14. 式子| x +1 |的最小值是—，这时，x值为______ 。

15. 下列说法错误的是( )A 一个正数的绝对值一定是正数B 一个负数的绝对值一定是正数C任何数的绝对值一定是正数D任何数的绝对值都不是负数16. 下列说法错误的个数是( )(1)绝对值是它本身的数有两个，是0和1(2)任何有理数的绝对值都不是负数(3)一个有理数的绝对值必为正数(4)绝对值等于相反数的数一定是非负数17.设a是最小的正整数, b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数,b + c等于（）A -1B 0C 1D 2拓展提高：18.如果a , b互为相反数，c, d互为倒数, m的绝对值为2,求式子+ m —cd的值。

人教版七年级上册数学绝对值专项训练一、绝对值的概念1. 定义：一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|。

2. 性质：-绝对值具有非负性，即|a|≥0。

-互为相反数的两个数的绝对值相等，即若a 与b 互为相反数，则|a| = |b|。

二、典型例题1. 求一个数的绝对值-例1：求|-5|的值。

解：|-5| = 5。

-例2：求|0|的值。

解：|0| = 0。

-例3：求|3.5|的值。

解：|3.5| = 3.5。

2. 已知一个数的绝对值求这个数-例4：已知|a| = 4，求a 的值。

解：因为|a| = 4，所以 a = 4 或 a = -4。

-例5：已知|b| = -2，求b 的值。

解：因为绝对值具有非负性，所以不存在一个数的绝对值为负数，此题无解。

3. 绝对值的化简-例6：化简|2 - 5|。

解：|2 - 5| = |-3| = 3。

-例7：化简|x - 3|（x＜3）。

解：因为x＜3，所以x - 3＜0，那么|x - 3| = 3 - x。

4. 绝对值的运算-例8：计算|3| + |-2|。

解：|3| + |-2| = 3 + 2 = 5。

-例9：计算|5 - 3| - |2 - 4|。

解：|5 - 3| - |2 - 4| = |2| - |-2| = 2 - 2 = 0。

三、专项练习1. 填空题- |-8| = ____。

-若|x| = 6，则x = ____。

-绝对值等于3 的数是____。

- |0 - 5| = ____。

2. 选择题-下列说法正确的是（）。

A. 绝对值等于它本身的数只有0B. 绝对值等于它本身的数是正数C. 绝对值等于它本身的数是非负数D. 绝对值等于它本身的数是负数-若|a| = -a，则a 一定是（）。

A. 正数B. 负数C. 非正数D. 非负数3. 解答题-已知|a - 2| + |b + 3| = 0，求a、b 的值。

-化简|x - 1| + |x - 3|（1＜x＜3）。

绝对值与动点问题1. 如图，点A 、B 和线段CD 都在数轴上，点A 、C 、D 、B 起始位置所表示的数分别为-2、0、3、12；线段CD 沿数轴的正方向以每秒1个单位的速度移动，移动时间为t 秒．（1）当t =0秒时，AC 的长为______，当t =2秒时，AC 的长为______； （2）用含有t 的代数式表示AC 的长为______；（3）当t =______秒时AC -BD =5，当t =______秒时AC +BD =15；（4）若点A 与线段CD 同时出发沿数轴的正方向移动，点A 的速度为每秒2个单位，在移动过程中，是否存在某一时刻使得AC =2BD ，若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．2. 阅读下列材料并解决有关问题：我们知道|x |={x ，(x ＞0)0，(x =0)−x ，(x ＜0)，现在我们可以用这个结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|x +1|+|x -2|时，可令x +1=0和x -2=0，分别求得x =-1，x =2（称-1，2分别叫做|x +1|与|x -2|的零点值．）在有理数范围内，零点值x =-1和x =2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况： （1）当x ＜-1时，原式=-（x +1）-（x -2）=-2x +1； （2）当-1≤x ≤2时，原式=x +1-（x -2）=3； （3）当x ＞2时，原式=x +1+x -2=2x -1．综上所述，原式={−2x +1，(x ＜−1)3，(−1≤x ≤2)2x −1，(x ＞2)．通过以上阅读，请你解决以下问题：（1）分别求出|x +2|和|x -4|的零点值；（2）化简代数式|x +2|+|x -4|； （3）求方程：|x +2|+|x -4|=6的整数解；（4）|x +2|+|x -4|是否有最小值？如果有，请直接写出最小值；如果没有，请说明理由．3. （1）阅读下面材料：点A 、B 在数轴上分别表示实数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为|AB |．当A 、B 两点中有一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图1，|AB |=|OB |=|b |=|a -b |； 当A 、B 两都不在原点时，①如图2，点A 、B 都在原点的右边|AB |=|OB |-|OA |=|b |-|a |=b -a =|a -b |；②如图3，点A 、B 都在原点的左边，|AB |=|OB |-|OA |=|b |-|a |=-b -（-a ）=|a -b |； ③如图4，点A 、B 在原点的两边，|AB |=|OB |+|OA |=|a |+|b |=a +（-b ）=|a -b |；（2）回答下列问题：①数轴上表示2和5两点之间的距离是______ ，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是______ ，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是______ ；②数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是______ ，如果|AB|=2，那么x为______ ；③当代数式取|x+1|+|x-2|最小值时，相应的x的取值范围是______ ；）④求|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2015|的最小值．（提示：1+2+3+…+n=n(n+1)24.已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且|a+5|+（b-1）2=0，规定A、B两点之间的距离记作|AB|=|a-b|．（1）求A、B两点之间的距离|AB|；（2）设点P在线段AB之间且在数轴上对应的数为x，当|PA|-|PB|=2时，求x的值；（3）若点P在线段AB之外，N、M分别是PA、PB的中点．对于①|PN|+|PM|的值，②||PN|-|PM||的值．探究①②中值的结果，判断哪个结果的值一定是一个常数，说明理由并求出这个常数．5.我们知道在数轴上表示两个数x，y的点之间的距离可以表示为|x-y|，比如表示3的点与-2的点之间的距离表示为|3-（-2）|=|3+2|=5；|x+2|+|x-1|可以表示数x的点与表示数1的点之间的距离与表示数x的点与表示数-2的点之间的距离的和，根据图示易知：当表示数x的点在点A和点B之间（包含点A和点B）时，表示数x的点与点A的距离与表示数x的点和点B的距离之和最小，且最小值为3，即|x+2|+|x-1|的最小值是3，且此时x的取值范围为-2≤x≤1，请根据以上材料，解答下列问题：（1）|x+2|+|x-2|的最小值是______；|x+1|+|x-2|=7，x的值为______．（2）|x+2|+|x|+|x-1|的最小值是______；此时x的值为______．（3）当|x+1|+|x|+|x-2|+|x-a|的最小值是4.5时，求出a的值及x的值或取值范围．6.若a、b互为相反数，b、c互为倒数，并且m的立方等于它本身．+ac值；（1）试求2a+2bm+2|，试求4（2a一S）+2（2a-S）-（2）若a＞1，且m＜0，S=|2a一3b|-2|b-m|-|b+12（2a-S）的值．（3）若m≠0，试讨论：x为有理数时，|x+m|-|x-m|是否存在最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．7.在数轴上表示a，0，1，b四个数的点如图所示，已知OA=OB，求|a+b|+|a|+|a+1|b 的值．8.在学习绝对值后，我们知道，|a|表示数a在数轴上的对应点与原点的距离．如：|5|表示5在数轴上的对应点到原点的距离．而|5|=|5-0|，即|5-0|表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离．类似的，有：|5-3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|=|5-（-3）|，所以|5+3|表示5、-3在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a-b|．请根据绝对值的意义并结合数轴解答下列问题：（1）数轴上表示2和3的两点之间的距离是______；数轴上P、Q两点的距离为3，点P表示的数是2，则点Q表示的数是______．（2）点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、-3、1，那么A到B的距离与A到C 的距离之和可表示为______（用含绝对值的式子表示）；满足|x-3|+|x+2|=7的x的值为______．（3）试求|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-100|的最小值．9.阅读下列材料：我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；即|x|=|x-0|，也就是说，|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为|x1-x2|表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离；在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义：例1：解方程|x|=2．容易得出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的x=±2；例2：解不等式|x-1|＞2．如图，在数轴上找出|x-1|=2的解，即到1的距离为2的点对应的数为-1，3，则|x-1|＞2的解为x＜-1或x＞3；例3：解方程|x-1|+|x+2|=5．由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和-2的距离之和为5的点对应的x的值．在数轴上，1和-2的距离为3，满足方程的x 对应点在1的右边或-2的左边．若x对应点在1的右边，如图可以看出x=2；同理，若x对应点在-2的左边，可得x=-3．故原方程的解是x=2或x=-3．参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程|x+3|=4的解为______ ；（2）解不等式|x-3|+|x+4|≥9；（3）若|x-3|-|x+4|≤a对任意的x都成立，求a的取值范围．10.点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a-b|．利用数形结合思想回答下列问题：（1）数轴上表示1和3两点之间的距离______．（2）数轴上表示-12和-6的两点之间的距离是______．（3）数轴上表示x和1的两点之间的距离表示为______．（4）若x表示一个有理数，且-4＜x＜2，则|x-2|+|x+4|=______．11.在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．【提出问题】三个有理数a，b，c满足abc＞0，求|a|a +|b|b+|c|c的值．【解决问题】解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．①a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，则|a|a +|b|b+|c|c=aa+bb+cc=1+1+1=3；②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a＞0，b＜0，c＜0，则|a|a +|b|b+|c|c=aa+−bb+−cc=1+(−1)+(−1)=−1．综上所述，|a|a +|b|b+|c|c值为3或﹣1．【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：（1）三个有理数a，b，c满足abc＜0，求|a|a +|b|b+|c|c的值；（2）若a，b，c为三个不为0的有理数，且a|a|+b|b|+c|c|=−1，求abc|abc|的值．12.同学们都知道，|5-（-2）|表示5与-2之差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：（1）求|5-（-2）|=______．（2）找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x-1|=4这样的整数是______．（3）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x-3|+|x-5|是否有最小值？如果有写出最小值如果没有说明理由．13.阅读材料：我们知道，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点间的距离表示为AB．则AB=|a-b|．所以式子|x-3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离．根据上述材料，解答下列问题：（1）数轴上表示2和5两点之间的距离是_____，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是_____．（2）数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为_________．（3）若|x-3|=|x+1|，则x=______；（4）若|x+4|+|x﹣2|=6，写出满足条件的所有整数x，并求这些整数的和.答案和解析1.【答案】解：（1）2；4；（2）t+2；（3）6；11；（4）假设存在，则点A表示的数为2t-2，C表示的数为t，D表示的数为t+3，B表示的数为12，∴AC=|2t-2-t|=|t-2|，BD=|t+3-12|=|t-9|，∵AC=2BD，∴|t-2|=2|t-9|，．解得t1=16，t2=203秒．故在运动的过程中使得AC=2BD，此时运动的时间为16秒和203【解析】【分析】本题考查了绝对值、数轴以及一元一次方程的应用，根据数量关系列出一元一次方程是解题的关键．（1）依据A、C两点间的距离求解即可；（2）t秒后点C运动的距离为t个单位长度，从而得到点C表示的数；根据A、C两点间的距离求解即可；（3）t秒后点C运动的距离为t个单位长度，点D运动的距离为t个单位长度，从而可得到点C、点D表示的数；根据两点间的距离表示出AC、BD，根据AC-BD=5和AC+BD=15得到关于t的含绝对值符号的一元一次方程，分别解方程即可得出结论；（4）假设存在，找出AC、BD，根据AC=2BD即可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解方程即可得出结论．【解答】解：（1）当t=0秒时，AC=|-2-0|=|-2|=2；当t=2秒时，移动后C表示的数为2，∴AC=|-2-2|=4．故答案为2；4；（2）点A表示的数为-2，点C表示的数为t；∴AC=|-2-t|=t+2．故答案为t+2；（3）∵t秒后点C运动的距离为t个单位长度，点D运动的距离为t个单位长度，∴C表示的数是t，D表示的数是3+t，∴AC=t+2，BD=|12-（3+t）|，∵AC-BD=5，∴t+2-|12-（t+3）|=5．解得：t=6．∴当t=6秒时AC-BD=5；∵AC+BD=15，∴t+2+|12-（t+3）|=15，t=11；当t=11秒时AC+BD=15，故答案为6，11；（4）见答案.2.【答案】解：（1）∵|x+2|和|x-4|的零点值，可令x+2=0和x-4=0，解得x=-2和x=4，∴-2，4分别为|x+2|和|x-4|的零点值．（2）当x＜-2时，|x+2|+|x-4|=-2x+2；当-2≤x＜4时，|x+2|+|x-4|=6；当x≥4时，|x+2|+|x-4|=2x-2；（3）∵|x+2|+|x-4|=6，∴-2≤x≤4，∴整数解为：-2，-1，0，1，2，3，4．（4）|x+2|+|x-4|有最小值，∵当x=-2时，|x+2|+|x-4|=6，当x=4时，|x+2|+|x-4|=6，∴|x+2|+|x-4|的最小值是6．【解析】本题主要考查了绝对值，解题的关键是能根据材料所给信息，找到合适的方法解答．（1）根据题中所给材料，求出零点值；（2）将全体实数分成不重复且不遗漏的三种情况解答；（3）由|x+2|+|x-4|=6，得到-2≤x≤4，于是得到结果；（4）|x+2|+|x-4|有最小值，通过x的取值范围即可得到结果．3.【答案】（1）3；3；4；（2）|x+1|；-3或1；(3)-1≤x≤2; (4)1015056【解析】解：①数轴上表示2和5两点之间的距离是：|2-5|=3，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是：|-2+5|=3，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是：|1+3|=4，②数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是：|x+1|，当|AB|=2，即|x+1|=2，解得x=-3或1．③若|x+1|+|x-2|取最小值，那么表示x的点在-1和2之间的线段上，所以-1≤x≤2．=1008时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2015|最小，④解：当x=1+20152最小值为1+2+3+…+1007+0+1+2+3+…+1007=（1+2+3+…+1007）×2×2=(1+1007)×10072=1015056．故答案为：3，3，4；|x+1|，-3或1；-1≤x≤2;1015056①根据两点间的距离公式即可求解；②根据两点间的距离公式可求数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离，再根据两点间的距离公式列出方程可求x；③求|x+1|+|x-2|的最小值，意思是x到-1的距离之和与到2的距离之和最小，那么x应在-1和2之间的线段上；④根据提示列出算式计算即可求解．本题考查了数轴，涉及的知识点为：数轴上两点间的距离=两个数之差的绝对值．绝对值是正数的数有2个．4.【答案】解：（1）∵|a+5|+（b-1）2=0，∴a=-5，b=1，|AB|=|a-b|=|-5-1|=6；（2）因为P在A、B之间|PA|=|x-（-5）|=x+5，|PB|=|x-1|=1-x∵||PN |-|PM ||， ∴x +5-（1-x ）=2， ∴x =-1；（3）②||PN |-|PM ||的值是一个常数 当点P 在线段AB 的左侧时有|PN |-|PM |=12|PB |-12|PA |=12（|PB |-|PA |）=12|AB |=3； 当点P 在线段AB 的右侧时有|PN |-|PM |=12|PB |-12|PA |=12（|PB |-|PA |）=-12|AB |=-3； ∴点P 在线段AB 之外时总有||PN |-|PM ||=3，而|PN |+|PM |的结果与点P 位置有关，不为常数， ∴||PN |-|PM ||的值为常数，这个常数为3．【解析】（1）根据绝对值与平方的和0，可得绝对值、平方同时为0，根据两点间的距离公式，可得答案；（2）根据两点间的距离公式，可得答案；（3）根据分类讨论，可得，||PN |-|PM ||的值，可得答案．题考查了绝对值，两点间的距离公式是解题关键，（3）要分类讨论，要不重不漏． 5.【答案】解：（1）4；-3或4； （2）3；0（3）由图可得，只有当a =1.5且0≤x ≤1.5或a =-1.5且-1≤x ≤0时，|x +1|+|x |+|x -2|+|x -a |的最小值是4.5，∴当|x +1|+|x |+|x -2|+|x -a |的最小值是4.5时，a =1.5且0≤x ≤1.5或a =-1.5且-1≤x ≤0．【解析】解：（1）根据绝对值的几何意义可得，当-2≤x ≤2时，|x +2|+|x -2|的最小值是4； 当x ＜-1时，-x -1-x +2=7，解得x =-3， 当-1≤x ＜2时，x +1+2-x =7，方程无解， 当x ≥2时，x +1+x -2=7，解得x =4， ∴x 的值为-3或4，故答案为：4；-3或4；（2）根据绝对值的几何意义可得，当x =0时，|x +2|+|x |+|x -1|的最小值是3， 故答案为：3；0； （3）见答案.（1）根据绝对值的几何意义，得出|x +2|+|x -2|的最小值； （2）根据绝对值的几何意义，得出|x +2|+|x |+|x -1|的最小值；（3）画出数轴，分两种情况进行讨论：当a =1.5且0≤x ≤1.5或a =-1.5且-1≤x ≤0时，|x +1|+|x |+|x -2|+|x -a |的最小值是4.5．本题主要考查了数轴以及绝对值的几何意义的运用，一个数x 的绝对值的几何意义是：在数轴上表示这个数x 的点离远点（表示数0）的距离，x 的绝对值表示为|x |．解题时注意分类思想的运用．6.【答案】解：（1）∵a +b =0，bc =1， ∴ac =-1 ∴2a+2b m+2+ac =0-1=-1∴b ＜-1，2a -3b ＞0，b +12＜0 ∵m 的立方等于它本身，且m ＜0 ∴m =-1，b -m =b +1＜0 ∴s =2a -3b +2b +2+b +12=2a +52 ∴2a -s =-524（2a -S ）+2（2a -S ）-（2a -S ） =5（2a -S ） =-252；（3）若m ≠0，此时m =±1 ①若m =1，则|x +m |-|x -m |=|x +1|-|x -1| 当x ≤-1时|x +1|-|x -1|=-x -1+x -1=-2 当-1＜x ≤1时|x +1|-|x -1|=x +1+x -1=2x 当x ＞1时|x +1|-|x -1|=x +1-x +1=2∴当x 为有理数时，存在最大值为2； ②若m =-1同理可得：当x 为有理数时，存在最大值为2．综上所述，当m =±1，x 为有理数时，|x +m |-|x -m |存在最大值为2．【解析】（1）先根据a 、b 互为相反数，b 、c 互为倒数，得出a +b =0，bc =1，再代入所求代数式进行计算；（2）根据a ＞1及m 的立方等于它本身把S 进行化简，再代入所求代数式进行计算；（3）根据若m ≠0，可知m =±1，①当m =1时，代入|x +m |-|x -m |，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，求出代数式的值，②同理，当m =-1时代入所求代数式，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，求出代数式的值，即可．本题考查的是绝对值的性质，相反数及倒数的定义，代数式求值，熟知以上知识是解答此题的关键．7.【答案】解：由已知条件和数轴可知：b ＞1＞0＞-1＞a ， ∵OA =OB ，∴|a +b |+|ab |+|a +1|=0+1-a -1=-a ． 故|a +b |+|a b |+|a +1|的值为：-a ．【解析】由已知条件和数轴可知：b ＞1＞0＞-1＞a ，再由这个确定所求绝对值中的正负值就可求出此题．此题主要考查了学生数轴和绝对值的定义，即正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0．数轴左边的为负数，右边的为正数． 8.【答案】（1）1 -1或5 |x +3|+|x -1|（3）|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-100|=（|x-1|+|x-100|）+（|x-2|+|x-99|）+…+（|x-50|+|x-51|）|x-1|+|x-100|表示数轴上数x的对应点到表示1、100两点的距离之和，当1≤x≤100时，|x-1|+|x-100|有最小值为|100-1|=99；|x-2|+|x-99|表示数轴上数x的对应点到表示2、99两点的距离之和，当2≤x≤99时，|x-2|+|x-99|有最小值为|99-2|=97；…|x-50|+|x-51|表示数轴上数x的对应点到表示50、51两点的距离之和，当50≤x≤51时，|x-50|+|x-51|有最小值为|51-50|=1．所以，当50≤x≤51时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-100|有最小值为：99+97+95+…+3+1=（99+1）+（97+3）+…+（51+49）=100×25=2500．【解析】解：（1）数轴上表示2和3的两点之间的距离是3-2=1；数轴上P、Q两点的距离为3，点P表示的数是2，则点Q表示的数是2-3=-1或2+3=5；（2）A到B的距离与A到C的距离之和可表示为|x+3|+|x-1|，∵|x-3|+|x+2|=7，当x＜-2时，3-x-x-2=7，x=-3，当-2≤x≤3时，x不存在．当x＞3时，x-3+x+2=7，x=4．故满足|x-3|+|x+2|=7的x的值为-3或4．（3）当绝对值的个数为奇数时，取得最小值x是其中间项，而当绝对值的个数为偶数时，则x取中间两项结果一样．从而得出对于|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-100|，当50≤x≤51时取得最小值．此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．9.【答案】1或-7【解析】解：（1）根据绝对值得意义，方程|x+3|=4表示求在数轴上与-3的距离为4的点对应的x的值为1或-7．（2）∵3和-4的距离为7，因此，满足不等式的解对应的点3与-4的两侧．当x在3的右边时，如图，易知x≥4．当x在-4的左边时，如图，易知x≤-5．∴原不等式的解为x≥4或x≤-5（3）原问题转化为：a大于或等于|x-3|-|x+4|最大值．∵当x≥3时，|x-3|-|x+4|应该恒等于-7，当-4＜x＜3，|x-3|-|x+4|=-2x-1随x的增大而减小，∴-7＜|x-3|-|x+4|＜7，∵当x≤-4时，|x-3|-|x+4|=7，∴|x-3|-|x+4|的最大值为7．故a≥7．仔细阅读材料，根据绝对值的意义，画出图形，来解答．本题是一道材料分析题，通过阅读材料，同学们应当深刻理解绝对值得几何意义，结合数轴，通过数形结合对材料进行分析来解答题目．由于信息量较大，同学们不要产生畏惧心理．10.【答案】（1）2（2） 6（3）|x-1|（4）6【解析】解：（1）数轴上表示1和3两点之间的距离为|3-1|=2；（2）数轴上表示-12和-6的两点之间的距离是|-6-（-12）|=6；（3）数轴上表示x和1的两点之间的距离表示为|x-1|；（4）∵-4＜x＜2，∴|x-2|+|x+4|=|-4-2|=6，故答案为：2，6，|x-1|，6．（1）依据在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a-b|，即可得到结果．（2）依据在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a-b|，即可得到结果．（3）依据在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a-b|，即可得到结果．（4）依据-4＜x＜2，可得表示x的点在表示-4和2的两点之间，即可得到|x-2|+|x+4|的值即为|-4-2|的值．本题考查的是绝对值的几何意义，两点间的距离，理解绝对值的几何意义是解决问题的关键．11.【答案】解：（1）∵abc＜0，∴a，b，c都是负数或其中一个为负数，另两个为正数，①当a，b，c都是负数，即a＜0，b＜0，c＜0时，则：|a|a +|b|b+|c|c=−aa+−bb+−cc=-1-1-1=-3；②a，b，c有一个为负数，另两个为正数时，设a＜0，b＞0，c＞0，则|a|a +|b|b+|c|c=−aa+bb+cc=-1+1+1=1．（2）∵a，b，c为三个不为0的有理数，且a|a|+b|b|+c|c|=−1，∴a，b，c中负数有2个，正数有1个，∴abc＞0，∴abc |abc|=abcabc=1．【解析】（1）仿照题目给出的思路和方法，解决（1）即可；（2）根据已知等式，利用绝对值的代数意义判断出a，b，c中负数有2个，正数有1个，判断出abc的正负，原式利用绝对值的代数意义化简计算即可．本题主要考查了绝对值的意义、分类讨论的思想方法．能不重不漏的分类，会确定字母的范围和字母的值是关键．12.【答案】7 -3，-2，-1，0，1【解析】解：（1）原式=|5+2|=7．故答案为：7；（2）令x+3=0或x-1=0时，则x=-3或x=1．当x＜-3时，-（x+3）-（x-1）=4，-x-3-x+1=4，解得x=-3（范围内不成立）；当-3≤x≤1时，（x+3）-（x-1）=4，x+3-x+1=4，0x=0，x为任意数，则整数x=-3，-2，-1，0，1；当x＞1时，（x+3）+（x-1）=4，解得x=1（范围内不成立）．综上所述，符合条件的整数x有：-3，-2，-1，0，1．故答案为-3，-2，-1，0，1；（3）由（2）的探索猜想，对于任何有理数x，|x-3|+|x-5|有最小值为2．（1）直接去括号，再按照去绝对值的方法去绝对值就可以了．（2）要x的整数值可以进行分段计算，令x+3=0或x-1=0时，分为3段进行计算，最后确定x的值．（3）根据（2）方法去绝对值，分为3种情况去绝对值符号，计算三种不同情况的值，最后讨论得出最小值．此题考查了整式的加减，去绝对值和数轴相联系的综合试题以及去绝对值的方法和去绝对值在数轴上的运用，难度较大，去绝对值的关键是确定绝对值里面的数的正负性．13.【答案】解：（1）3；4；（2）︱x+2︱；（3）1；（4）∵|x+4|+|x﹣2|=6，若x<-4，则原式可化为-（4+x）+（2-x）=6，x=-4；若-4≤x≤2，则x+4-（x-2）=6，x不存在；若x>2，则x+4+x-2=6，x=2；∴x=-4或2．符合条件的整数在-4和2之间，整数和为2+1+0+（-1）+（-2）+（-3）+（-4）=-7．【解析】【分析】本题考查的是绝对值的定义，解答此类问题时要用分类讨论的思想．（1）根据数轴可知，表示2和5两点之间的距离是两者差的绝对值为3，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是两者差的绝对值为4；（2）数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为两者差的绝对值．（3）根据绝对值的意义，可知|x-3|是数轴上表示数x的点与表示数3的点之间的距离，|x+1|是数轴上表示数x的点与表示数-1的点之间的距离，若|x-3|=|x+1|，则此点必在-1与3之间，故x-3＜0，x+1＞0，由此可得到关于x的方程，求出x的值即可；（4）由于x-3及x-1的符号不能确定，故应分x＞-4，-4≤x≤2，x＜2三种情况解答．【解答】解：（1）|2-5|=3，|-3-1|=4，故答案为3；4；（2）数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为︱x+2︱；故答案为︱x+2︱；（3）根据绝对值的意义可知，此点必在-1与3之间，故x-3＜0，x+1＞0，∴原式可化为3-x=x+1，∴x=1；故答案为1；（4）见答案．。

专题三：绝对值（基础专题）一．选择题1．若a＝﹣5，|a|＝|b|，则b的值等于（）2．下列判断正确的是（）A．若|a|＝|b|，则a＝b B．若|a|＝|b|，则a＝﹣bC．若a＝b，则|a|＝|b|D．若a＝﹣b，则|a|＝﹣|b|3．有下列结论：①|a|一定是正数；②只有两个数相等时，它们的绝对值才相等；③绝对值最小的数是0；④在数轴上表示﹣a的点一定在原点的左边；⑤有理数分为正有理数和负有理数；其中正确的结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，四个有理数在数轴上的对应点分别为点M，P，N，Q，若点P，Q表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最大的有理数的点是（）A．点M B．点P C．点N D．点Q二．填空题5．若a＞0，b＜0，化简a+3b﹣|a|+|2b|得．6．绝对值不大于3的整数是______________．绝对值小于2015的所有整数之积为_____．7．数轴上到原点的距离小于3的整数的个数为x，不大于3的正整数的个数为y，绝对值等于3的整数的个数为z，则x+y+z＝_____．三．解答题8．已知|x﹣4|+|y+2|＝0，求x与y的值．9．已知|x﹣4|+|5﹣y|＝0，求12（x+y）的值．10．若|a|＝4，|b|＝2，且a，b异号，求a与b的值．11．有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示．（1）在横线上填入“＞”或“＜”：a______0；b______0；c______0；|c|______|a|．（2）试在数轴上找出表示﹣a，﹣b，﹣c的点；（3）试用“＜”将a，﹣a，b，﹣b，c，﹣c，0连接起来．12．已知数a ，b 表示的点在数轴上的位置如图所示．（1）在数轴上表示出a ，b 的相反数的位置，并将这四个数从小到大排列；（2）若数b 与其相反数相距16个单位长度，则b 表示的数是多少？（3）在（2）的条件下，若数a 与数b 的相反数表示的点相距4个单位长度，则a 表示的数是多少？【参考答案】1。

初一有理数绝对值题50练一、基础概念理解1、绝对值的定义：数轴上表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值。

正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0。

例如，5 的绝对值是 5，－3 的绝对值是 3，0 的绝对值是 0。

练习 1：求下列各数的绝对值：（1）－7 （2）8 （3）0 （4）－12练习 2：若一个数的绝对值是 4，求这个数。

练习 3：绝对值等于本身的数是（）A 正数B 负数C 非负数D 非正数二、简单计算2、计算绝对值的运算。

例如：｜ 5 ＋ 3 ｜＝｜ 2 ｜＝ 2练习 4：计算：（1）｜ 7 9 ｜（2）｜ 3 ＋ 8 ｜（3）｜ 5 12 ｜练习 5：已知| a ｜＝ 3，｜ b ｜＝ 5，且 a ＜ b，求 a ＋ b 的值。

练习 6：若| x 2 ｜＝ 5，求 x 的值。

三、比较大小3、利用绝对值比较有理数的大小。

两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

例如：比较 3 和 5 的大小。

因为｜ 3 ｜＝ 3，｜ 5 ｜＝ 5，3 ＜5，所以 3 ＞ 5。

练习 7：比较下列各组数的大小：（1） 1 和 4 （2）0 和 2 （3） 05 和 2练习 8：如果 a ＜ 0，b ＜ 0，且| a ｜＜｜ b ｜，那么 a 和 b 的大小关系是（）A a ＞ bB a ＝ bC a ＜ bD 无法确定练习 9：有理数 a、b 在数轴上的位置如图所示，比较| a ｜和| b ｜的大小。

（数轴略）四、综合应用4、绝对值在实际问题中的应用。

例如：出租车的收费标准是起步价 8 元（3 千米以内），超过 3 千米的部分每千米 15 元。

某人乘坐出租车行驶了 x 千米（x ＞ 3），则应付车费为 8 ＋ 15(｜ x 3 ｜）元。

练习 10：某工厂生产一种零件，规定零件的尺寸误差不能超过±05毫米，若生产的零件尺寸为 x 毫米，用绝对值表示零件尺寸的误差范围。

练习 11：一足球队在一场比赛中的胜负情况可以用净胜球数来表示，若净胜球数为正数，则表示赢球；若净胜球数为负数，则表示输球；若净胜球数为 0，则表示平局。

2021年人教版七年级数学上册《1.2.4绝对值》培优专项练习一．选择题（共12小题）1．若a+3＝0，则a的绝对值是（）A．3B．C．﹣D．﹣32．若|a|＝|b|，则a，b的关系是（）A．a＝b B．a＝﹣bC．a＝0且b＝0D．a+b＝0或a﹣b＝03．如果一个数的绝对值不大于2，则这个数一定不是（）A．0B．﹣1C．﹣2D．﹣34．若x为整数，且满足|x﹣2|+|x+4|＝6，则满足条件的x的值有（）A．4个B．5个C．6个D．7个5．已知|x﹣2|+|x+y﹣5|+|y﹣1|＝y﹣1．则x+y的值为（）A．2B．3C．4D．56．已知|a|＝5，则a等于（）A．+5B．﹣5C．0D．+5或﹣57．若m为有理数，则m+|m|的结果必为（）A．正数B．负数C．非正数D．非负数8．把有理数a代入|a+4|﹣10得到a1，称为第一次操作，再将a1作为a的值代入得到a2，称为第二次操作，…，若a＝23，经过第2020次操作后得到的是（）A．﹣7B．﹣1C．5D．119．已知a是一个正整数，记G（x）＝a﹣x+|x﹣a|．若G（1）+G（2）+G（3）+…+G（2019）+G（2020）＝90，则a的值为（）A．11B．10C．9D．810．已知有理数a，b，c满足a＜0＜b＜c，则代数式的最小值为（）A．c B．C．D．11．若a＝﹣2018，则式子|a2+2017a+1|+|a2+2019a﹣1|的值为（）A．4034B．4036C．4037D．403812．若|abc|＝abc，则＝（）A．1B．﹣1C．1或7D．﹣1或7二．填空题（共6小题）13．如果|x﹣3|＝5，那么x＝．14．化简|π﹣4|+|3﹣π|＝．15．若abcd＞0，则的值为．16．已知式子|x+1|+|x﹣2|+|y+3|+|y﹣4|＝10，则x+y的最小值是．17．如果一个物体某个量的实际值为a，测量值为b，我们把|a﹣b|称为绝对误差，把称为相对误差．例如，某个零件的实际长度为10cm，测量得9.8cm，那么测量的绝对误差为0.2cm，相对误差为0.02．若某个零件测量所产生的绝对误差为0.3，相对误差为0.02，则该零件的测量值b是．18．若有理数x、y、z均不为0，设代数式的最大值为a，最小值为b，则a+b＝．三．解答题（共9小题）19．已知A＝，B＝．（1）当m＞0时，比较A﹣B与0的大小，并说明理由；（2）设y＝+B，①当y＝3时，求m的值；②若m为整数，求正整数y的值．20．a、b、c在数轴上的位置如图，则：（1）用“＞、＜、＝”填空：a0，b0，c0．（2）用“＞、＜、＝”填空：﹣a0，a﹣b0，c﹣a0．（3）化简：|﹣a|﹣|a﹣b|+|c﹣a|．21．解答下列问题：（1）已知x是5的相反数，y比x小﹣7，求x与﹣y的差；（2）求的绝对值的相反数与的相反数的差．22．已知有理数a、b、c在数轴上的位置，（1）a+b0；a+c0；b﹣c0；（用“＞，＜，＝”填空）（2）试化简|a+b|﹣|a+c|+|b﹣c|．23．已知y＝|2x+6|+|x﹣1|+4|x+1|，求y的最小值．24．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．【提出问题】三个有理数a，b，c满足abc＞0，求++的值．【解决问题】解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．①a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，则++＝++＝1+1+1＝3；②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a＞0，b＜0，c＜0，则++＝++＝1+（﹣1）+（﹣1）＝﹣1．综上所述，++值为3或﹣1．【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题：（1）已知a，b是不为0的有理数，当|ab|＝﹣ab时，则+的值是；（2）已知a，b，c是有理数，当abc＜0时，求++的值；（3）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求++的值．25．有理数：，﹣1，5，0，3.5，﹣2．（1）将上面各数在下图的数轴上表示出来，并把这些数用“＜”连接．（2）请将以上各数填到相应的横线上；正有理数：；负有理数：．26．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且表示数a的点、数b的点与原点的距离相等．（1）用“＞”“＜”或“＝”填空：b0，a+b0，a﹣c0，b﹣c0；（2）|b﹣1|+|a﹣1|＝；（3）化简|a+b|+|a﹣c|﹣|b|+|b﹣c|．27．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示﹣3和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．（2）如果|x+1|＝3，那么x＝；（3）若|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B 两点间的最大距离是，最小距离是．（4）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|＝．2021年人教版七年级数学上册《1.2.4绝对值》培优专项练习参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．若a+3＝0，则a的绝对值是（）A．3B．C．﹣D．﹣3【分析】先求出a的值再计算a的绝对值．【解答】解：由a+3＝0得a＝﹣3，∴|﹣3|＝3．故选：A．【点评】本题考查有理数计算，解题关键是熟练掌握绝对值化简方法．2．若|a|＝|b|，则a，b的关系是（）A．a＝b B．a＝﹣bC．a＝0且b＝0D．a+b＝0或a﹣b＝0【分析】根据绝对值性质选择．【解答】解：根据绝对值性质可知，若|a|＝|b|，则a与b相等或相反，即a+b＝0或a﹣b ＝0．故选：D．【点评】一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．3．如果一个数的绝对值不大于2，则这个数一定不是（）A．0B．﹣1C．﹣2D．﹣3【分析】逐项分析，即可得到结论．【解答】解：A、|0|＝0，这项不符合题意；B、|﹣1|＝1，这项不符合题意；C、|﹣2|＝2，这项不符合题意；D、|﹣3|＝3大于2，这项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了绝对值的意义，掌握性质是解题的关键．4．若x为整数，且满足|x﹣2|+|x+4|＝6，则满足条件的x的值有（）A．4个B．5个C．6个D．7个【分析】依据|x﹣2|+|x+4|＝6，分类讨论即可得到所有整数x即可．【解答】解：①当x＜﹣4时，|x﹣2|+|x+4|＞6（不合题意）；②当﹣4≤x≤2时，|x﹣2|+|x+4|＝6，符合题意的所有整数x的值为﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，③当x＞2时，|x﹣2|+|x+4|＞6（不合题意）；综上所述，满足|x﹣2|+|x+4|＝6的所有整数x的个数是7．故选：D．【点评】此题考查绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．5．已知|x﹣2|+|x+y﹣5|+|y﹣1|＝y﹣1．则x+y的值为（）A．2B．3C．4D．5【分析】因为绝对值是一个非负数，所以y﹣1＞0根据非负数的性质列式求出x+y的值即可．【解答】解：|x﹣2|+|x+y﹣5|+|y﹣1|＝y﹣1，|x﹣2|+|x+y﹣5|＝0，由题意得，x﹣2＝0，x+y﹣5＝0，解得x＝2，x+y＝5．故选：D．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．6．已知|a|＝5，则a等于（）A．+5B．﹣5C．0D．+5或﹣5【分析】根据绝对值的性质解答．【解答】解：∵一个数的绝对值是5，∴这个数是5或﹣5．故选：D．【点评】本题考查了绝对值的性质，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．7．若m为有理数，则m+|m|的结果必为（）A．正数B．负数C．非正数D．非负数【分析】分三种情况：m＝0，m＞0，m＜0进行分析即可．【解答】解：当m＝0时，|m|+m＝0，当m＞0时，|m|+m＞0，当m＜0时，|m|+m＝0，则|m|+m≥0，故选：D．【点评】此题主要考查了绝对值，关键是掌握绝对值的性质：①当a是正有理数时，a 的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．8．把有理数a代入|a+4|﹣10得到a1，称为第一次操作，再将a1作为a的值代入得到a2，称为第二次操作，…，若a＝23，经过第2020次操作后得到的是（）A．﹣7B．﹣1C．5D．11【分析】先确定第1次操作，a1＝|23+4|﹣10＝17；第2次操作，a2＝|17+4|﹣10＝11；第3次操作，a3＝|11+4|﹣10＝5；第4次操作，a4＝|5+4|﹣10＝﹣1；第5次操作，a5＝|﹣1+4|﹣10＝﹣7；第6次操作，a6＝|﹣7+4|﹣10＝﹣7；…，后面的计算结果没有变化，据此解答即可．【解答】解：第1次操作，a1＝|23+4|﹣10＝17；第2次操作，a2＝|17+4|﹣10＝11；第3次操作，a3＝|11+4|﹣10＝5；第4次操作，a4＝|5+4|﹣10＝﹣1；第5次操作，a5＝|﹣1+4|﹣10＝﹣7；第6次操作，a6＝|﹣7+4|﹣10＝﹣7；第7次操作，a7＝|﹣7+4|﹣10＝﹣7；…第2020次操作，a2020＝|﹣7+4|﹣10＝﹣7．故选：A．【点评】本题考查了绝对值和探索规律．解题的关键是先计算，再观察结果是按照什么规律变化的．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．9．已知a是一个正整数，记G（x）＝a﹣x+|x﹣a|．若G（1）+G（2）+G（3）+…+G（2019）+G（2020）＝90，则a的值为（）A．11B．10C．9D．8【分析】根据绝对值的意义，当x≥a时，|x﹣a|＝x﹣a，则G（x）＝0；当x＜a时，|x ﹣a|＝﹣x+a，则G（x）＝a﹣x﹣x+a＝2a﹣2x，设第n个数时，即x＝n，G（x）开始为0，即x＝a＝n，所以G（1）+G（2）+G（3）+G（4）+…+G（2020）＝2n﹣2+2n﹣4+2n ﹣6+…+2n﹣2n+0+0+…+0＝n2﹣n，然后解方程n2﹣n＝90即可．【解答】解：当x≥a时，则|x﹣a|＝x﹣a，∴G（x）＝a﹣x+x﹣a＝0；当x＜a时，则|x﹣a|＝﹣（x﹣a）＝﹣x+a，∴G（x）＝a﹣x﹣x+a＝2a﹣2x，∵G（1）+G（2）+G（3）+G（4）+…+G（2020）＝90，∴设第n个数时，即x＝n，G（x）开始为0，即x＝a＝n，∴G（n）＝2n﹣2n＝0，∴G（1）+G（2）+G（3）+G（4）+…+G（2020）＝2n﹣2+2n﹣4+2n﹣6+…+2n﹣2n+0+0+…+0＝2n×n﹣2（1+2+3+…+n）＝2n2﹣2×＝n2﹣n，即n2﹣n＝90，解得n1＝10，n2＝﹣9（舍去）．故选：B．【点评】本题考查了绝对值：当a＞0，|a|＝a；当a＝0，|a|＝0；当a＜0，|a|＝﹣a．也考查了数字变化规律型问题的解决方法．10．已知有理数a，b，c满足a＜0＜b＜c，则代数式的最小值为（）A．c B．C．D．【分析】利用a、b、c的大小关系得到＜＜，由于＝|x﹣|+|x﹣|+|x﹣|，根据绝对值的定义，代数式的值可表示为在数轴上，数x对应的点到三个数、、对应的点的距离之和，然后利用当x＝时，数x对应的点到三个数、、对应的点的距离之和最小，从而得到代数的最小值．【解答】解：∵a＜0＜b＜c，∴＜＜，∵＝|x﹣|+|x﹣|+|x﹣|，∴表示为在数轴上，数x对应的点到三个数、、对应的点的距离之和，如图，当x＝时，数x对应的点到三个数、、对应的点的距离之和最小，最小值为﹣＝c，即代数式的最小值为c．故选：A．【点评】本题考查了绝对值：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．也考查了数轴上两点间的距离．11．若a＝﹣2018，则式子|a2+2017a+1|+|a2+2019a﹣1|的值为（）A．4034B．4036C．4037D．4038【分析】依据a＝﹣2018，代入代数式|a2+2017a+1|+|a2+2019a﹣1|，利用绝对值的性质即可得出结果．【解答】解：∵a＝﹣2018，∴|a2+2017a+1|+|a2+2019a﹣1|＝|20182﹣2017×2018+1|+|20182﹣2019×2018﹣1|＝|2018×（2018﹣2017）+1|+|2018×（2018﹣2019）﹣1|＝|2018+1|+|﹣2018﹣1|＝2019+2019＝4038，故选：D．【点评】本题主要考查了绝对值的性质，如果用字母a表示有理数，则数a绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．12．若|abc|＝abc，则＝（）A．1B．﹣1C．1或7D．﹣1或7【分析】根据|abc|＝abc，分两种情况①a、b、c均为正数，②a、b、c中一正两负，进行解答即可．【解答】解：因为a、b、c均不为0，由|abc|＝abc可得，①a、b、c均为正数，则＝7；②a、b、c中一正两负，则＝﹣1，＝﹣1，＝1，所以＝﹣1﹣1+1＝﹣1，故选：D．【点评】本题考查绝对值的意义，理解绝对值的意义是正确解答的前提．二．填空题（共6小题）13．如果|x﹣3|＝5，那么x＝8或﹣2．【分析】根据绝对值的性质可得求出x﹣3＝±5，从而求出x的值．【解答】解：∵|x﹣3|＝5，∴x﹣3＝±5，解得x＝8或﹣2．故答案为：8或﹣2．【点评】本题考查了绝对值的性质，绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．解题的关键是牢记性质．14．化简|π﹣4|+|3﹣π|＝1．【分析】因为π≈3.414，所以π﹣4＜0，3﹣π＜0，然后根据绝对值定义即可化简|π﹣4|+|3﹣π|．【解答】解：∵π≈3.414，∴π﹣4＜0，3﹣π＜0，∴|π﹣4|+|3﹣π|＝4﹣π+π﹣3＝1．故答案为1．【点评】本题主要考查了实数的绝对值的化简，解题关键是掌握绝对值的规律，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，比较简单．15．若abcd＞0，则的值为5或﹣3或1．【分析】有三种可能：①a、b、c、d都是正数，此时＝1+1+1+1+1＝5；②a、b、c、d都是负数，此时＝1﹣1﹣1﹣1﹣1﹣1+1＝﹣3；③a、b、c、d中有两个正数，有两个负数此时，＝1，由此即可解决．【解答】解：∵abcd＞0，∴＝1，∵abcd＞0，∴有三种可能：①a、b、c、d都是正数，此时＝+1+1+1+1＝5．②a、b、c、d都是负数，此时＝1﹣1﹣1﹣1﹣1+1＝﹣3．③a、b、c、d中有两个正数，有两个负数，此时＝1．综上所述，此时的值为5或﹣3或1．故答案为：5或﹣3或1．【点评】本题考查绝对值的应用，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．16．已知式子|x+1|+|x﹣2|+|y+3|+|y﹣4|＝10，则x+y的最小值是﹣4．【分析】令+＝a，+＝b，根据绝对值的几何意义进行综合分析即可得到答案．【解答】解：令+＝a，+＝b，根据绝对值几何意义，a表示x到﹣1与2两点之间的距离之和；b表示y到﹣3与4两点之间的距离之和；∵当﹣1≤x≤2，﹣3≤y≤4时，正好有a+b＝10，∴当x＝﹣1，y＝﹣3时，x+y的最小值为：﹣1+（﹣3）＝﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查了绝对值的几何意义，理解并正确运用“即两个实数a、b表示的两个点之间的距离”是解题的关键．17．如果一个物体某个量的实际值为a，测量值为b，我们把|a﹣b|称为绝对误差，把称为相对误差．例如，某个零件的实际长度为10cm，测量得9.8cm，那么测量的绝对误差为0.2cm，相对误差为0.02．若某个零件测量所产生的绝对误差为0.3，相对误差为0.02，则该零件的测量值b是14.7或15.3．【分析】由绝对误差和相对误差的定义得出：＝0.3，＝0.02，再根据绝对值的化简法则及分式的除法运算法则计算即可．【解答】解：∵绝对误差为0.3，相对误差为0.02，∴＝0.3，＝0.02，∴a＝＝＝15，∴＝0.3，∴15﹣b＝±0.3，解得：b＝14.7或15.3；故答案为：14.7或15.3．【点评】本题考查了绝对值在分式化简计算中的应用，根据题意正确列式并明确绝对值和分式的化简法则是解题的关键．18．若有理数x、y、z均不为0，设代数式的最大值为a，最小值为b，则a+b＝0．【分析】根据a＞0时，；a＜0时，，可知：当x、y、z都大于0时代数式的值最大；当x、y、z都小于0时，代数数值最小，求出a和b的值即可．【解答】解：当x、y、z均为正时，xyz＞0，原式取得最大值a＝2018+2019+2020+2021＝8078；当x、y、z均为负时，xyz＜0，原式取得最小值b＝（﹣2018）+（﹣2019）+（﹣2020）+（﹣2021）＝﹣8078，∴a+b＝0．【点评】此题主要考查了绝对值，以及有理数的除法，关键是要知道：一个非0有理数与它的绝对值的商等于±1．三．解答题（共9小题）19．已知A＝，B＝．（1）当m＞0时，比较A﹣B与0的大小，并说明理由；（2）设y＝+B，①当y＝3时，求m的值；②若m为整数，求正整数y的值．【分析】（1）先根据分式的加减运算求出A﹣B，再结合m＞0及（m﹣1）2≥0即可得到答案；（2）①由题意可得到关于m的分式方程，解分式方程可求得m，一定要检验；②先根据代数式变形得到y＝2+，再结合m为整数，y为正整数，即可得到答案．【解答】解：（1）当m＞0时，A﹣B≥0．由题意，得：A﹣B＝﹣＝＝，∵m＞0，∴m+1＞0，∴2（m+1）＞0，（m﹣1）2≥0，∴≥0，∴A﹣B≥0；（2）∵y＝+B，∴y＝+＝，①∵y＝3，∴＝3，去分母，得：2m+4＝3（m+1），去括号，得：2m+4＝3m+3，移项，得：2m﹣3m＝3﹣4，合并同类项，得：﹣m＝﹣1，系数化为1，得：m＝1，检验：当m＝1时，m+1＝2≠0，∴m＝1是方程的解．∴m的值为1．②y＝＝＝2+，∵m为整数，y为正整数，∴m+1＝﹣2或1或2，即m＝﹣3或0或1，当m＝﹣3时，y＝2+＝2﹣1＝1，当m＝0时，y＝2+＝2+2＝4，当m＝1时，y＝2+＝2+1＝3，综上所述，正整数y的值为1或3或4．【点评】本题综合考查了分式的化简，配方法在化简求值中的应用，分式方程的解法，题目计算难度较大，综合性较强．20．a、b、c在数轴上的位置如图，则：（1）用“＞、＜、＝”填空：a＜0，b＜0，c＞0．（2）用“＞、＜、＝”填空：﹣a＞0，a﹣b＜0，c﹣a＞0．（3）化简：|﹣a|﹣|a﹣b|+|c﹣a|．【分析】（1）根据数轴得出a＜b＜0＜c，|a|＞|c|＞|b|，再判断大小即可；（2）根据数轴得出a＜b＜0＜c，|a|＞|c|＞|b|，再判断大小即可；（3）根据数轴得出a＜b＜0＜c，|a|＞|c|＞|b|，再去掉绝对值符号，求出即可．【解答】解：从数轴可知：a＜b＜0＜c，|a|＞|c|＞|b|，（1）a＜0，b＜0，c＞0，故答案为：＜，＜，＞；（2）﹣a＞0，a﹣b＜0，c﹣a＞0，故答案为：＞，＜，＞；（3）|a|﹣|a﹣b|+|c﹣a|＝﹣a+a﹣b+c﹣a＝c﹣b﹣a．【点评】本题考查了数轴和有理数的大小比较，有理数的化简的应用，题目比较好，难度不大．21．解答下列问题：（1）已知x是5的相反数，y比x小﹣7，求x与﹣y的差；（2）求的绝对值的相反数与的相反数的差．【分析】（1）由题意得x＝﹣5，y＝x﹣（﹣7）＝﹣5+7＝2，再代入x﹣（﹣y）计算可得．（2）根据题意列出式子计算即可．【解答】解：（1）根据题意知x＝﹣5，y＝x﹣（﹣7）＝﹣5+7＝2，则x﹣（﹣y）＝﹣5﹣（﹣2）＝﹣3．（2）由题意得：﹣|﹣|﹣（﹣）＝．【点评】本题主要考查有理数的加法，解题的关键是根据题意列出算式并熟练掌握有理数的加减运算法则．22．已知有理数a、b、c在数轴上的位置，（1）a+b＜0；a+c＜0；b﹣c＞0；（用“＞，＜，＝”填空）（2）试化简|a+b|﹣|a+c|+|b﹣c|．【分析】（1）根据数轴确定a，b，c的范围，即可解答；（2）根据绝对值的性质，即可解答．【解答】解：（1）由数轴可得：c＜a＜0＜b，∴a+b＜0，a+c＜0，b﹣c＞0，（2）∵a+b＜0，a+c＜0，b﹣c＞0，∴|a+b|﹣|a+c|+|b﹣c|＝﹣a﹣b+a+c+b﹣c＝0．故答案为：（1）＜；＜；＞；（2）原式＝0．【点评】本题考查了数轴，解决本题的关键是根据数轴确定a，b，c的范围．23．已知y＝|2x+6|+|x﹣1|+4|x+1|，求y的最小值．【分析】利用x的取值不同分别得出函数的最小值，进而得出答案．【解答】解：令2x+6＝0，x﹣1＝0，x+1＝0，解得：x＝﹣3，x＝1，x＝﹣1．当x＜﹣3时，则y＝﹣2x﹣6﹣x+1﹣4x﹣4＝﹣7x﹣9，则没有最小值；当﹣3≤x≤﹣1时，则y＝2x+6﹣x+1﹣4x﹣4＝﹣3x+3，则最小值为6；当﹣1≤x＜1时，则y＝2x+6﹣x+1+4x+4＝5x+11，则最小值为6；当x≥1时，则y＝2x+6+x﹣1+4x+4＝7x+9，则最小值为16；故y的最小值为6．【点评】此题主要考查了绝对值函数最值求法，利用分类讨论得出是解题关键．24．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．【提出问题】三个有理数a，b，c满足abc＞0，求++的值．【解决问题】解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．①a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，则++＝++＝1+1+1＝3；②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a＞0，b＜0，c＜0，则++＝++＝1+（﹣1）+（﹣1）＝﹣1．综上所述，++值为3或﹣1．【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题：（1）已知a，b是不为0的有理数，当|ab|＝﹣ab时，则+的值是0；（2）已知a，b，c是有理数，当abc＜0时，求++的值；（3）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求++的值．【分析】（1）仿照题目给出的思路和方法，解决（1）即可；（2）（3）根据已知等式，利用绝对值的代数意义判断出a，b，c中负数有2个，正数有1个，判断出abc的正负，原式利用绝对值的代数意义化简计算即可．【解答】解：（1）a，b是不为0的有理数，当|ab|＝﹣ab时，a＞0，b＜0，或a＜0，b ＞0，当a＞0，b＜0时，；当a＜0，b＞0时，．故答案为：0．（2）abc＜0，∴a、b、c都是负数或其中一个为负数，另两个为正数，①当a、b、c都是负数，即a＜0，b＜0，c＜0时，则：＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3；②a、b、c有一个为负数，另两个为正数时，设a＜0，b＞0，c＞0，则＝﹣1+1+1＝1（3）∵a，b，c为三个不为0的有理数，且a+b+c＝0得，a+b＝﹣c，c+a＝﹣b，b+c＝﹣a．a、b、c有一个为负数，另两个为正数时，设a＜0，b＞0，c＞0，＝1﹣1﹣1＝﹣1．【点评】本题主要考查了绝对值的意义、分类讨论思想方法，能不重不漏的分类，会确定字母范围和字母的值是关键．25．有理数：，﹣1，5，0，3.5，﹣2．（1）将上面各数在下图的数轴上表示出来，并把这些数用“＜”连接．（2）请将以上各数填到相应的横线上；正有理数：，5，3.5；负有理数：﹣1，﹣2．【分析】（1）将题中各点在数轴中表示出来，并比较大小；（2）根据正数大于0，负数小于0，0既不是正数也不是负数即可解题．【解答】解：（1）如图所示：把这些数用“＜”连接为：﹣2＜﹣1＜0＜＜3.5＜5．（2）正有理数：，5，3.5；负有理数：﹣1，﹣2．故答案为：，5，3.5；﹣1，﹣2．【点评】本题考查了数轴、有理数比较大小，数轴上的点表示的数右边的总比左边的大．26．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且表示数a的点、数b的点与原点的距离相等．（1）用“＞”“＜”或“＝”填空：b＜0，a+b＝0，a﹣c＞0，b﹣c＜0；（2）|b﹣1|+|a﹣1|＝a﹣b；（3）化简|a+b|+|a﹣c|﹣|b|+|b﹣c|．【分析】（1）根据数轴，判断出a，b，c的取值范围，进而求解；（2）根据绝对值的性质，去绝对值号，合并同类项即可；（3）根据绝对值的性质，去绝对值号，合并同类项即可．【解答】解：∵b＜﹣1＜c＜0＜1＜a，|a|＝|b|，∴（1）b＜0，a+b＝0，a﹣c＞0，b﹣c＜0；（2）|b﹣1|+|a﹣1|＝﹣b+1+a﹣1＝a﹣b；（3）|a+b|+|a﹣c|﹣|b|+|b﹣c|＝0+（a﹣c）+b﹣（b﹣c）＝0+a﹣c+b﹣b+c＝a．故答案为：＜，＝，＞，＜；a﹣b．【点评】本题主要考查数轴、绝对值、整式的加减等知识的综合运用，解决此题的关键是能够根据数轴上的信息，判断出a，b，c等字母的取值范围，同时解决此题时也要注意绝对值性质的运用．27．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是3；表示﹣3和2两点之间的距离是5；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．（2）如果|x+1|＝3，那么x＝2或﹣4；（3）若|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B 两点间的最大距离是8，最小距离是2．（4）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|＝6．【分析】（1）根据数轴，观察两点之间的距离即可解决；（2）根据绝对值可得：x+1＝±3，即可解答；（3）根据绝对值分别求出a，b的值，再分别讨论，即可解答；（4）根据|a+4|+|a﹣2|表示数a的点到﹣4与2两点的距离的和即可求解．【解答】解：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是：4﹣1＝3；表示﹣3和2两点之间的距离是：2﹣（﹣3）＝5，故答案为：3，5；（2）|x+1|＝3，x+1＝3或x+1＝﹣3，x＝2或x＝﹣4．故答案为：2或﹣4；（3）∵|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，∴a＝5或1，b＝﹣1或b＝﹣3，当a＝5，b＝﹣3时，则A、B两点间的最大距离是8，当a＝1，b＝﹣1时，则A、B两点间的最小距离是2，则A、B两点间的最大距离是8，最小距离是2；故答案为：8，2；（4）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，|a+4|+|a﹣2|＝（a+4）+（2﹣a）＝6．故答案为：6．【点评】此题考查数轴上两点之间的距离的算法：数轴上两点之间的距离等于相应两数差的绝对值，应牢记且会灵活应用．。

第一章有理数：绝对值与数轴培优训练人教版2024—2025学年七年级上册 知识归纳：1.代数意义：(0)||(0)a a a a a ≥⎧=⎨-≤⎩引申：.若x m =（m ＞0），则x m =±.若a ＞0，则1a a =；若a ＜0，则1aa=-. 2.几何意义：|a |表示的是数轴上表示数a 的点到原点的距离。

3．灵活运用绝对值基本性质:①2220;;;a a a a ab a b ===•≥②③④)0(≠=b ba b a；⑤a b +≤a b +.4.绝对值的非负性的应用：①若0a b +=，则0a b ==；②20a b +=，则0a b ==. 5.分类讨论思想6. 数轴上的线段与动点问题 典型例题：例1 已知|4x ﹣3|+|2y +5|+|3z +1|＝0，求2x ﹣y +|﹣z |的值． 变式1.若|a +2|+|b ﹣7|＝0，则a +b 的值为（ ） A ．﹣1B ．1C ．5D ．﹣5变式2.已知|x ﹣2|+|y ﹣3|＝0． （1）求x ，y 的值；（2）已知|x +y +z |＝7，求z 的值．例2若a +b +c ＜0，abc ＞0，则的值为 ．变式3.如果a •b ＜0，那么＝ ．变式 4.已知a 、b 、c 均为不等于0的有理数，则的值为 ．变式5.如果x 、y 都是不为0的有理数，则代数式的最大值是 ．变式6.已知a ，b ，c 都是有理数，且满足＝1，那么6﹣＝ ．变式7.若不等式|x ﹣2|+|x +3|+|x ﹣1|+|x +1|≥a 对一切数x 都成立，则a 的取值范围是 ．变式8.设abcd 是一个四位数，且a ≤b ≤c ≤d ，则式子|a ﹣b |+|b ﹣c |+|c ﹣d |+|d ﹣a |的最大值是 ． 变式9.若a +b +c ＜0，abc ＞0，则的值为 ．变式10.若ab ≠0，那么+的取值不可能是（ ）A ．﹣2B ．0C ．1D ．2变式11.若ab ＞0，则++的值为（ ） A ．3B ．﹣1C ．±1或±3D ．3或﹣1 变式12.若非零有理数m 、n 、p 满足|m |m ＋|n |n ＋|p |p ＝1．则2mnp|3mnp |＝ .变式13.如果是非零有理数，且0=++c b a ，abc abcc c b b a a +++的所有可能的值为( )．A ．0B ． 1或一lC ．2或一2D ．0或一2c b a 、、变式14.阅读下列材料并解决有关问题：我们知道()()()0000x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩ 所以当0x >时，1x x x x ==； 当0x <时， 1x x x x==--．现在我们可以用这个结论来解决下面问题：（1）已知a ，b 是有理数，当ab ≠0时，a ba b+= ； （2）已知a ，b 是有理数，当abc ≠0时，a b ca b c++= ； （3）已知a ，b ，c 是有理数，a+b+c =0，abc ＜0，则b c a c a ba b c+++++= ．例3.根据绝对值的性质，回答下面的问题：（1）当x 取何值时，5x -有最小值？这个最小值是多少？ （2）当x 取何值时，39x --有最大值？这个最大值是多少？ （3）当x 取何值时，5x -+1x -有最小值？这个最小值是多少？ （4）当x 取何值时，5x -++1x 有最小值？这个最小值是多少？（5）不相等的有理数,,a b c 在数轴上的对应点分别为A 、B 、C ，如果||||||a b b c a c -+-=-，那么B 点在A 、C 的什么位置？变式15.式子|x ﹣2|+1的最小值是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3变式16.|x ﹣3|＝3﹣x ，则x 的取值范围是 ．变式17.若|5||2|7x x ++-=，求x 的取值范围。

绝对值邂逅一次方程模型①c=+b ax 1、解方程：4x -2=333-=+x 2、244-23=x 112-x 72=+ 2122-x 3-=+711-x 2-=+3、已知关于x 的方程有两个解，求a 的取值范围。

a 43-23=+x 模型②dcx +=+b ax 1、2x 1=-x 1x 1-2+=x 2、63x 3-4+=x 5-765x x x =++1x 23=-+x多重绝对值方程怕不怕1.解方程：34-2-x =2.解方程：32-x -2=3.已知满足的x 有2个，求a 的取值范围。

a 1-2-x =多个绝对值方程怕不怕1.____x ,64x 2-x 的取值范围是则已知=++2.____,842-==++x x x 则已知3.____x ,54--3==+则已知x x 4.____x ,74--3的取值范围为则已知-=+x x5.。

____x ,74-232的取值范围是则已知=++x x 6.个。

的整数解共有_____127x 25-x 2=++7.个。

的值的个数有的整数符合_____81-2-72x x x =+含绝对值的方程组1.已知，则x=___，y=_____6y x ,12y x =+=+2.____y x ,12y -y x 10,y x x =+=+=++则3.已知|x|+|y|=7,2|x|-3|y|=-1,则x+y=______。

4.已知|x-1|+|y-2|=6,|x-1|=2y-4,则x+y=________.5.已知x-y=4,|x|+|y|=7,求x,y 的值。

6.已知3a-2|b|=5,4|a|-6a=3b,则a 2+b 2=______数形结合突破绝对值1.已知，求y 的取值范围。

2-x 1-x +=y 2.当a 满足什么条件时，方程分别有2个解？无解？无数解？a 2-x 1-x =+3.已知，求y 的取值范围。

2-x -1-x =y 4.当a 满足什么条件时，方程分别有1个解？无解？无数解？a 2-x -1-x =5.____m m 5-x 4x 3-x 2x 1-x 的最大值为，恒成立，则若≥++++++6.____y x ,4x 3-x 2-1x y 的取值范围是可以取所有实数，则且已知+++=小结：解含绝对值的二元一次方程组时，分类讨论是万能的，但不到万不得已不要轻易用，杀敌一千自损八百。

七年级绝对值培优练习经典题26道，含答案
七年级绝对值培优练习经典题
下年是七年级的绝对值培优教材内容，前8道是例题，后面18道是练习，同学们可以下载打印作一下
例1考察绝对值的非负性，求出a,b的值代入计算即可
例2不懂可以关注亘晨数学的视频，有一个视频专门讲这类题的
例3根据a,b,c为整数，可以推出有两个数相等且有两个数是相邻自然数
例4考察绝对值的几何意义
例5去掉绝对值大部分项可以抵消
例6按照绝对值的定义去绝对值化简即可
例7可以用字母来代替动点
下面是18道培优练习
【培优例题】答案
1题：2917/2018；2题：-1，1；2，0，-1；3，-1；3题：2；4题：（1）3，5，-2，5；（2）7，（3）6，（4）9；5题：0；6题：1-2c+b;7题：（1）5，（2）2.5；8题：1990.
【培优练习答案】
1题：5，-5；3，-3；2题：10，-10；3题：1；4题：2；5题：-2，-8；6题：-1008；
7题：-1；8题：大于等于；9题：C；10题：0，2; 11题：4；12题：2；13题：（1）2，（2）25；14题：0；15题：4，0，-4；16题：（1）1，（2）3.5，-1.5，（3）4/15，2/23；17题：（1）3，3，4（2）|-1-x|, -3,1, -1小于等于x小于等于2; 18题：b+c。