高等数学各章知识结构

2023考研数学高等数学每章知识点汇总精品高等数学基础知识篇一1、函数、极限与连续重点考查极限的计算、已知极限确定原式中的未知参数、函数连续性的讨论、间断点类型的判断、无穷小阶的比较、讨论连续函数在给定区间上零点的个数、确定方程在给定区间上有无实根。

2、一元函数积分学重点考查不定积分的计算、定积分的计算、广义积分的计算及判敛、变上限函数的求导和极限、利用积分中值定理和积分性质的证明、定积分的几何应用和物理应用。

3、一元函数微分学重点考查导数与微分的定义、函数导数与微分的计算（包括隐函数求导）、利用洛比达法则求不定式极限、函数极值与最值、方程根的个数、函数不等式的证明、与中值定理相关的证明、在物理和经济等方面的实际应用、曲线渐近线的求法。

4、向量代数与空间解析几何（数一）主要考查向量的运算、平面方程和直线方程及其求法、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）)解决有关问题等，该部分一般不单独考查，主要作为曲线积分和曲面积分的基础。

5、多元函数微分学重点考查多元函数极限存在、连续性、偏导数存在、可微分及偏导连续等问题、多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数求法、有条件极值和无条件极值。

另外，数一还要求掌握方向导数、梯度、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。

6、多元函数积分学重点考查二重积分在直角坐标和极坐标下的计算、累次积分、积分换序。

此外，数一还要求掌握三重积分的计算、两类曲线积分和两种曲面积分的计算、格林公式、高斯公式及斯托克斯公式。

7、无穷级数（数一、数三）重点考查正项级数的基本性质和敛散性判别、一般项级数绝对收敛和条件收敛的判别、幂级数收敛半径、收敛域及和函数的求法以及幂级数在特定点的展开问题。

8、常微分方程及差分方程重点考查一阶微分方程的通解或特解、二阶线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解、微分方程的建立与求解。

此外，数三考查差分方程的基本概念与一介常系数线形方程求解方法。

第一章 函数一、知识结构：二、例题：判断题1. 设arcsin y u =,u 可以复合成一个函数2arcsin 2+=x y ；2. 函数1lg lg y x =的定义域是1x >且10x ≠；3. 函数2x y e -=在(0,)+∞内无界；4. 函数211y x =+在(0,)+∞内无界；5. 21()cos x f x x-=是奇函数；6. ()f x x =与2()g x =是相同函数 ；7. 函数x y e =是奇函数；8. y x =与y =是同一函数； 9. 函数31y x x =++是奇函数；10. 函数1arcsin 2x y -=的定义域是(1,3)- ；11. y x =与 2x y x=不是同一个函数；函数集合函数关系实数集（区间） 集合的运算 （交、并、补）实数集（区间）函数的表示基本初等函数，初等函数复合函数 分段函数 反函数 函数的性质单调性奇偶性周期性有界性经济学常用函数建立函数关系（应用问题）12. 函数cos y x x =是偶函数 .填空题1. 设23,,tan ,u y u v v x ===则复合函数为()y f x == _________；2. 设xx f 1)(=,x x g -=1)(,则)]([x g f = _______ ；3. 复合函数2(sin )x y e =是由 ________, ________, _______函数复合而成的；4. 已知11()1f x x =-,则 (2)f = __________ ；5.y =+其定义域为 __________ ；6. 设函数2()1x f x x -=-,则(1)f -= __________；7. 考虑奇偶性,函数ln(y x =为 ___________ 函数 ；8. 函数2x y e =的反函数是 ,它的图象与2x y e =的图象关于________ 对称 .选择题1. 函数32--=x x y 的定义域是 ( ) (A) (2,)+∞ (B)[2,]+∞ (C)(,3)(3,)-∞+∞ (D)[2,3)(3,)+∞2. 函数 22)1(-=x x y 在区间 (0,1) 内 ( )(A) 单调增加 (B) 单调减少 (C) 不增不减 (D)有增有减 3. 下列函数中，是奇函数的是 ( )(A)42y x x =- (B) 2y x x =- (C)22x x y -=- (D)22x x y -=+4. 已知函数 20()10ax bx f x x x +<⎧=⎨+≥⎩，则(0)f 的值为 ( )(A) a b + (B) b a - (C) 1 (D) 2第二章 极限与连续一、知识结构：二、例题：判断题1. 函数在点0x 处有极限，则函数在0x 点极必连续；2. 0x →时,x 与sin x 是等价无穷小量；3. 若00(0)(0)f x f x -=+，则)(x f 必在0x 点连续；4. 当0x →时，2sin x x +与x 相比是高阶无穷小；5. 函数221y x =+在(,)-∞+∞内是单调的函数；6. 设)(x f 在点0x 处连续，则00(0)(0)f x f x -=+ ；7. 函数 21sin ,0()0,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 在0x =点连续； 8. 1=x 是函数122--=x x y 的间断点；9. ()sin f x x =是一个无穷小量；10. 当0→x 时，x 与)1ln(2x +是等价的无穷小量； 11. 若 )(lim 0x f x x → 存在，则)(x f 在0x 处有定义；极限连续极限 连续极限的定极限的性数列极限 连续的定一点处的连续 开区间上连续 闭区间上连续闭区间连续函数的性质有界性最值性介值性零点定理极限的计函数极限 唯一性 有界性 保号性四则运算夹逼准则 无穷小性质及等价无穷小代换两个重要极限连续函数的计算 连续函数的四则运算 连续函数的复合无穷小与无穷大及关系由连续性求极限初等函数的连续性间断点及类型12. 若x 与y 是同一过程下两个无穷大量，则x y -在该过程下是无穷小量； 13. 22--=x y 是一个复合函数；14. 21sin lim0=+→x x x x ； 15. 11,0,,0,,0,481数列收敛2；16. 函数 1sin y x x= 在 0x = 点连续；17. 0x =是函数ln(2)x y x-=的间断点；18. 以零为极限的变量是无穷小量；填空题1. sin limx xx→∞= _______ ；2. xx xx sin lim +∞→ = _______ ； 3. 函数 922-+=x x y 在 _______ 处间断；4. 1253lim 22-+∞→n n n n = _______； 5. 当 0x → 时，1cos x - 是比 x ______ 阶的无穷小量；6. 当 0x → 时， 若 sin 2x 与 ax 是等价无穷小量，则 a = ______；7.0)lim sin x x x+→= __________ ； 8. 设 sin 2,0(),0xx f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 连续，则 a = _________ ；9.0h →=___________ ；10. 2lim(1)x x x→∞-=________；11. 0ln(13)limsin 3x x x →+=_________ ； 12. 设 21,0()0,0x e x f x x -⎧⎪≠=⎨⎪=⎩ 在 0x = 处________（是、否）连续；13. 当0x →时,23是______（同阶、等价）无穷小量.选择题1. 当0x →时，xy 1sin= 为 ( ) (A) 无穷小量 (B) 无穷大量 (C)有界变量但不是无穷小量 (D)无界变量 2. 1x +→时，下列变量中为无穷大量的是 ( )(A) 113-x (B) 112--x x (C) x 1 (D) 112--x x3.已知函数2,()1,f x x ⎧-⎪=-⎨11001x x x ≤--<<≤<，则1lim ()x f x →- 和 0lim ()x f x →( )(A) 都存在 (B) 都不存在(C) 第一个存在,第二个不存在 (D) 第一个不存在，第二个存在4. 函数 ()12xf x ⎧⎪=⎨⎪⎩ 11x x ≠= 的连续区间是 ( ) (A)(,1)-∞ (B)(1,)+∞ (C)(,1)(1,)-∞+∞ (D) (,)-∞+∞5. 设 232,0()2,0x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，则 0lim ()x f x +→= ( ) (A) 2 (B) 0 (C) 1- (D) 2-7. 函数 1,0()1,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩ ，在 0x = 处 ( )(A) 左连续 (B) 右连续 (C) 连续 (D) 左、右皆不连续8. 02lim5arcsin x xx→= ( ) (A) 0 (B) 不存在 (C) 25(D) 19. ()f x 在点 0x x = 处有定义，是 ()f x 在 0x x =处连续的 ( )(A) 必要条件 (B) 充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 无关条件 10. 下列极限存在的有 ( )(A)2(1)lim x x x x →∞+ (B) 01lim 21x x →- (C) 10lim xx e →(D) x 计算与应用题1. 设)(x f 在点2x =处连续，且232,2,()2,2x x x f x x a x ⎧-+≠⎪=-⎨⎪=⎩，求 a .2. 求极限:(1)20cos 1lim 2x x x →- ; (2)121lim()21x x x x +→∞+-; (3)3721lim 5x x x x →∞-+-; (4)xx x 10)41(lim -→ ;(5)30(1cos )tan lim x x x x →-; (6)2111lim()222n n →∞+++ ; (7)22lim(1)nn n→∞-; (8)lim()1x x x x →∞+;(9)lim x →- (10)3131lim()11x x x →---. 3. 求极限:(1)32202lim x x x x →- ; (2) 2202lim x x x x →-; (3)34205lim x x x x x→-+; (4) 3352011lim 20125x x x x →∞-+-; (5) 35112113114lim 2012115x x x x →∞-+-; (6) 53112113114lim 2012115x x x x →∞-+-; (7)01lim sin x x x →; (8) 1lim sin x x x →∞; (9) 01lim sin x x x →; (10) 11lim sin x x x →∞.第三章 导数与微分一、知识结构：二、例题：判断题1. 若函数)(x f 在0x 点可导，则00()[()]f x f x ''=；2. 若)(x f 在0x 处可导，则 )(lim 0x f x x → 一定存在；3. 函数 x x f =)( 在其定义域内可导；4. 若 )(x f 在 [,]a b 上连续，则 )(x f 在 (,)a b 内一定可导；5. ()(),()f x f x y e y e f x ''''==已知则；6. 函数 22,1()ln ,014x x f x x x ⎧≥⎪=⎨<<⎪⎩ 在 1x = 点可导；7. 若 (),n f x x = 则 ()(0)!n f n = ；8. 2d()2ax b ax += ；9. 若 ()f x 在 0x 点不可导，则 ()f x 在 0x 不连续； 10. 函数 ()f x x x = 在点 0x = 处不可导 .填空题1. ()f x =则(0)f '= _________ ；导数微分导数微分导数的定义左导数 微分的计算基本微分公式微分形式不变性 微分在近似计算中的应用导数的计算极限的计算右导数基本公式导数四则运算 隐函数导数（对数求导，参数方程求导）反函数求导 可微的定义可微、可导及连续的关系 可微的几何意义复合函数求导导数的几何意义，切线方程 高阶导数可导与连续的关系2. 曲线3y x =在点(1,1)处的切线方程是 ________ ；3. 设ln e x e y x e x e =+++，则y '= ______ ；4. sin(1)x y e =+ ,dy =_______ ；5. 设222e x y x +=，则y ' = ________ ；6. 设e x y n +=，则()n y = ________ ；7. 曲线x e x y +=在点 (0,1) 的处的切线方程是_______；8. 若)(x u 与)(x v 在x 处可导,则])()(['x v x u = _________ ；9. sin ()x x '= _______；10. 设)(x f 在0x 处可导,且A x f =')(0,则000(2)(3)limh f x h f x h h→+--= _______ ； 11. 导数的几何意义为 ________________________ ；12.曲线y =在(1,1)处的切线方程是 ___________ ；13. 曲线31y x =+在(1,0)-处的切线方程是 ___________ ； 14. 函数32sin(1)y x x =+的微分dy =__________ ； 15. 曲线2y x =在点(0,0)处切线方程是_________ ； 16. sin y x =的n (n 是正整数)阶导数是 ________ .选择题1. 设)(x f 在点0x 处可导，则下列命题中正确的是 ( )(A) 000()()lim x x f x f x x x →-- 存在 (B) 000()()lim x x f x f x x x →--不存在(C) 00()()lim x x f x f x x →+-存在 (D) 00()()lim x f x f x x∆→-∆不存在2. 设)(x f 在点0x 处可导且0001lim (2)()4x x f x x f x →=--，则0()f x '等于 ( )(A) 4 (B) –4 (C) 2 (D) –23. 设21,10()1,02x x f x x ⎧+-<≤=⎨<≤⎩ ，则)(x f 在点x = 0处 ( )(A) 可导 (B) 连续但不可导 (C) 不连续 (D) 无定义 4. 设()y f x =可导，则(2)()f x h f x --= ( )(A)()()f x h o h '+ (B)2()()f x h o h '-+ (C)()()f x h o h '-+ (D)2()()f x h o h '+5. 设(0)0f =,且0()lim x f x x →存在，则0()limx f x x→＝( ) (A) ()f x ' (B) (0)f ' (C) (0)f (D) 1(0)2f '6. 函数)(x f e y =,则="y ( )(A) )(x f e (B) )(")(x f e x f (C) 2)()]('[x f e x f (D) )}(")]('{[2)(x f x f e x f + 7. 函数 x x x f )1()(-=的导数为 ( )(A)x x x )1(- (B)1)1(--x x (C)x x x ln (D))]1ln(1[)1(-+--x x xx x8. 函数)(x f 在0x x =处连续，是)(x f 在0x 处可导的 ( )(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 9. 已知ln y x x =，则(10)y =( )(A) 91x - (B) 91x (C) 98!x (D) 98!x-10. 函数xxx f =)(在0=x 处 ( )(A) 连续但不可导 (B) 连续且可导 (C)极限存在但不连续 (D)不连续也不可导11. 函数 1,0()1,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩，在 0x = 处 ( )(A) 左连续 (B) 右连续 (C) 连续 (D) 左、右皆不连续 12. 设x x y e e -=+,则y ''=( )(A) x x e e -+ (B) x x e e -- (C) x x e e --- (D) x x e e --+13. 函数0,0()1,0x f x x x≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ ,在点0x =不连续是因为 ( ) (A)(00)(0)f f +≠ (B)(00)(0)f f -≠ (C)(00)f +不存在 (D)(00)f -不存在14. 设1(2)1f x x +=+ ，则()f x '=( )(A) 21(1)x -- (B) 21(1)x -+ (C) 11x + (D) 11x -- 15. 已知函数2ln y x =,则dy =（ ）(A) 2dx x (B) 2x (C) 21x (D) 21dx x16. 设21cos ,0()0,01tan ,0x x x f x x x x x⎧<⎪⎪==⎨⎪⎪>⎩ ，则()f x 在0x =处（ ） (A)极限不存在 (B)极限存在，但不连续 (C)连续但不可导 (D)可导 17. 已知sin y x =，则(10)y = ( )(A) sin x (B) cos x (C) sin x - (D) cos x - 计算与应用题1. 设 f (x ) =xaa a x arccos 22-- (0a >), 求(2)f a '-. 2. 设ln()y xy =确定y 是x 的函数，求dxdy.3. 设xx y 1cos 1ln +=，求dy .4. 设21(1)arctan cos 2y x x x =++，求y '.5.设x y e y ln =确定y 是x 的函数，求dxdy.6. 设)ln(ln x y =，求dy7. 221arcsin x y e x x=+-y , 求y '及dy .8. ln tan ln sin 2xy =+，求y '及dy .9. sin()y x y =+，求y ',dy 并求其在点(,0)π处的切线与法线方程.10. 221cos 5ln xx y -+=,求 y '及dy .11. y e =y '及dy .12. xy e y x -=，求y ',dy 并求其在点(0,1)处的切线与法线方程. 13. 已知2cos 3y x =，求y '. 14. 设22sin 0y x y --=， 求y '. 15. 求13cos x y e x -= 的微分.16. 设ln(y x x =+，求y '. 17. 设cos2x y e = ，求dy .18. 方程0y x e e xy -+=确定y 是x 的函数，求y '.19. 设22arctan()1xy x=- ，求y '. 20. 方程2cos 0y y x e +=确定y 是x 的函数，求y '. 21. 3cos cos x y x x e =+，求dy . 22. ln y x x =，求y ''.23. 已知 ln(y x =+，求y '.24. 设 2011201220112011x x y x x =+++，求y '.25. 已知()sin3f x x =，求()2f π''.26. 求2xe y x=的微分.27. 求由参数方程cos sin x a t y b t=⎧⎨=⎩(a ,b 均为正实数)所确定函数的导数dydx .28. 求由参数方程3cos sin x t t t y t t ⎧=+⎨=-⎩(a ,b 均为正实数)所确定函数的导数dydx .。

《高等数学》各章知识点总结——第1章1.集合的概念：集合是由确定的、互不相同的对象组成的一个整体。

集合中的对象称为元素，用大写字母A、B等表示集合，用小写字母a、b等表示元素。

集合中的元素无序，不重复。

2.集合的运算：(1)并集：表示由属于任一集合的元素组成的新集合，记作A∪B。

(2)交集：表示同时属于所有集合的元素组成的新集合，记作A∩B。

(3)差集：表示属于一个集合但不属于另一个集合的元素组成的新集合，记作A-B。

(4)互斥：两个集合的交集为空集，即A∩B=∅。

(5)补集：表示全集中不属于一些集合的所有元素的集合，记作A'。

3.集合之间的关系：(1)包含关系：若集合A的所有元素都属于集合B，则称集合A包含于集合B，记作A⊆B。

(2)相等关系：若集合A和集合B的元素完全相同，则称集合A等于集合B，记作A=B。

(3)真包含关系：若集合A包含于集合B，并且集合A不等于集合B，则称集合A真包含于集合B，记作A⊂B。

4.映射的概念：(1)映射：设有两个非空集合A和B，如果存在一种对应关系，使得A 中的每个元素对应B中的唯一元素，则称这种对应关系为映射。

(2)函数：映射的另一种称呼，表示自变量和因变量之间的关系。

通常用f(x)表示函数，其中x为自变量，f(x)为相应的因变量。

5.映射的性质：(1)定义域和值域：映射的定义域是指所有自变量的集合，值域是指所有因变量的集合。

(2)单射：每个自变量只对应唯一的因变量。

(3)满射：每个因变量都有对应的自变量。

(4)一一对应：既是单射又是满射的映射。

(5)复合映射：将两个映射结合起来形成一个新的映射，称为复合映射。

总结：本章主要阐述了集合的基本概念、集合的运算、集合之间的关系和映射的概念及其性质。

理解这些基本概念对于后续学习高等数学的内容具有重要的指导意义，也为我们建立起了抽象数学思维的基础。

在学习中，我们需要牢记集合的运算规则和映射的性质，灵活运用，为数学的进一步学习打下坚实的基础。

大学高数知识框架归纳总结在大学学习中，高等数学无疑是一门重要的基础课程。

高等数学的内容非常广泛，包括了微积分、数学分析、概率论和线性代数等多个方面。

为了帮助同学们更好地理解和掌握高等数学的知识，下面将对其知识框架进行归纳总结。

一、微积分部分微积分是高等数学的核心部分，主要包括了极限、导数和积分。

在微积分的学习中，我们需要掌握以下几个重要概念和定理：1. 极限极限是微积分的基础。

在学习极限时，需要了解函数趋近于无穷时的行为，同时要熟悉常用的极限计算方法，如利用夹逼定理、洛必达法则等。

2. 导数导数是函数变化率的度量，也是微积分的重要内容之一。

在导数的学习中，我们需要熟悉导数的定义、性质和常见的导数计算法则，如常数因子法、求和法等。

3. 积分积分是对函数的反向运算，也是微积分不可或缺的一部分。

在积分的学习中，我们需要了解定积分和不定积分的概念、性质及其计算方法，如换元积分法、分部积分法等。

二、数学分析部分数学分析是对数学概念和计算方法的深入研究，主要包括了数列、级数和函数。

1. 数列数列是由一系列数字按照一定规律排列而成的。

在数列的学习中，我们需要了解数列的定义、性质以及数列的极限，同时要掌握数列的收敛性和发散性判断方法，如比较判别法、比值判别法等。

2. 级数级数是数列的和，也是数学分析中的重要内容。

在级数的学习中，我们需要熟悉级数的定义、性质以及级数的敛散性判断方法，如比较判别法、积分判别法等。

3. 函数函数是数学中常见的概念，也是数学分析的核心内容之一。

在函数的学习中，我们要了解函数的定义、性质以及函数的极限、连续性和可导性。

三、概率论部分概率论是研究随机现象的数学分支，主要包括了概率、随机变量和概率分布等内容。

1. 概率概率是指事件发生的可能性大小。

在概率的学习中，我们需要掌握概率的定义、性质以及概率计算的方法，如加法法则、乘法法则等。

2. 随机变量随机变量是随机现象的数学描述，是概率论的核心概念之一。

《高等数学》各章知识点总结——第1章（五篇）第一篇：《高等数学》各章知识点总结——第1章第1章函数与极限总结1、极限的概念（1）数列极限的定义给定数列{xn}，若存在常数a，对于任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在正整数N ,使得对于n >N 时的一切n,恒有|xn-a |<ε 则称a 是数列{xn}的极限,或者称数列{xn}收敛于a ,记为n→∞limxn=a或xn→a(n→∞).（2）函数极限的定义设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内（或当x>M>0）有定义，如果存在常数A,对于任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在正数δ,（或存在X）使得当x满足不等式0<|x-x0|<δ 时,（或当x>X时）恒有|f(x)-A|<ε,那么常数A就叫做函数f(x)当x→x0（或x→∞）时的极限,记为x→x0limf(x)=A或f(x)→A(当x→x0).（或limf(x)=A）x→∞类似的有：如果存在常数A,对∀ε>0,∃δ>0,当x:x0-δ<x<x0（x0<x<x0-δ）时，恒有f(x)-A<ε，则称A为f(x)当x→x0时的左极限（或右极限）记作x→x0-limf(x)=A(或lim+f(x)=A)x→x0x→x0x→x0x→x0显然有limf(x)=A⇔lim-f(x)=lim+f(x)=A) 如果存在常数A,对∀ε>0,∃X>0,当x<-X(或x>X)时，恒有f(x)-A<ε，则称A为f(x)当x→-∞（或当x→+∞）时的极限记作limf(x)=A(或limf(x)=A)x→-∞x→+∞显然有limf(x)=A⇔limf(x)=limf(x)=A)x→∞x→-∞x→+∞2、极限的性质（1）唯一性若limxn=a，limxn=b，则a=bn→∞n→∞若limf(x)=Alimf(x)=B，则A=Bx→∞(x→x0)x→∞(x→x0)（2）有界性（i）若limxn=a，则∃M>0使得对∀n∈Nn→∞+,恒有xn≤M（ii）若limf(x)=A，则∃M>0当x:0<x-x0<δ时，有f(x)≤Mx→x0（iii）若limf(x)=A，则∃M>0,X>0当x>X时，有f(x)≤Mx→∞（3）局部保号性（i）若limxn=a且a>0(或a<0)则∃N∈N+，当n>N时，恒有xn>0(或xn<0)n→∞)=A，且A>0(或A<0)，则∃δ>0当x:0<x-x0<δ时，有（ii）若limf(xx→x0f(x)>0(或f(x)<0)3、极限存在的准则（i）夹逼准则给定数列{xn},{yn},{zn}若①∃n0∈N,当n>n0时有yn≤xn≤zn ②limyn=limzn=a，n→∞n→∞+则limxn=an→∞ 给定函数f(x),g(x),h(x)， 若①当x∈U(x0,r)（或x>X）时，有g(x)≤f(x)≤h(x)②limg(x)=limh(x)=A，x→∞(x→x0)x→∞(x→x0)0则limf(x)=A x→∞(x→x0)（ii）单调有界准则给定数列{xn}，若①对∀n∈N+有xn≤xn+1(或xn≥xn+1)②∃M(m)使对∀n∈N+有xn≤M(或xn≥m)则limxn存在n→∞若f(x)在点x0的左侧邻域（或右侧邻域）单调有界，则lim-f(x)（或lim+f(x)）x→x0x→x0存在4、极限的运算法则（1）若limf(x)=A，limg(x)=Bx→∞(x→x0)x→∞(x→x0)则(i)lim[f(x)±g(x)]=A±Bx→∞(x→x0)(ii)lim[f(x)⋅g(x)]=A⋅Bx→∞(x→x0)(iii)limx→∞(x→x0)f(x)A=⋅（B≠0）g(x)B0（2）设（i）u=g(x)且limg(x)=u0（ii）当x∈U(x0,δ)时g(x)≠u0x→x0（iii）limf(u)=Au→u0则limf[g(x)]=limf(u)=Ax→x0u→u05、两个重要极限（1）limsinx=1x→0xsinu(x)=1u(x)→0u(x)limlimsinx11=0，limxsin=1，limxsin=0x→∞x→∞x→0xxxxu(x)⎛1⎫1⎫⎛lim1+（2）lim 1+⎪=e ⎪u(x)→∞x→∞u(x)⎭x⎭⎝⎝=e;lim(1+x)=ex→01xv(x)→0lim(1+v(x))1v(x)=e;6、无穷小量与无穷大量的概念（1）若limα(x)=0，即对∀ε>0,∃δ>0,当x:0<x-x0<δ（或x→∞(x→x0)x>X）时有α(x)<ε，则称当x→x0(或x→∞)，α(x)无穷小量（2）或X>0),若limf(x)=∞即对∀M>0,∃δ>0(当x:0<x-x0<δx→∞(x→x0)（或x>X）时有f(x)>M则称当x→x0(或x→∞)，f(x)无穷大量7、无穷小量与有极限的量及无穷大量的关系，无穷小量的运算法则（1）limf(x)=A⇔f(x)=A+α(x),其中limx→∞(x→x0)x→∞(x→x0)α(x)=0（f(x)≠0）⇒lim（2）limf(x)=0x→∞(x→x0)x→∞(x→x0)1=∞f(x)（3）limg(x)=∞⇒limx→∞(x→x0)x→∞(x→x01=0 g(x))（4）limf(x)=∞且∃M>0,当x:0<x-x0<δ（或x>X）时有g(x)≤M，x→∞(x→x0)则lim[f(x)+g(x)]=∞x→∞(x→x0)（5）limf(x)=0且∃M>0,当x:0<x-x0<δ（或x>X）时有g(x)≤M，x→∞(x→x0)则lim[f(x)⋅g(x)]=0x→∞(x→x0)nn（6）limfk(x)=0(k=1,2,Λ,n)则limx→∞(x→x0)x→∞(x→x0)k=1∑fk(x)=0,limx→∞(x→x0)k=1∏fk(x)= 0，8、无穷小量的比较x→∞(x→x0)limf(x)=0,limg(x)=0,limα(x)=0x→∞(x→x0)x→∞(x→x0)若（1）lim小。

第⼀一讲极限与连续分为如下部分：1.定义2.性质3.⽆无穷⼩小4.⽆无穷⼤大5.函数极限的计算6.数列列极限的计算7.应⽤用!定义（极限定义——四句句话）⼀一.⼀一共有25种定义（6x4+1）6:x的六种趋向⽅方式，分为局部性质与渐进性质（注意对于x不不等于x0）4:f的四种趋向⽅方式，有三种是⽆无穷的情况（注意：任取M，与⽆无界定义相区别）（宇哥基础笔记）1:数列列定义（注意n为⾃自然数，只有渐进性质）函数极限定义注意两点：1.x趋向于x0，x不不等于x02.若f在x0的去⼼心邻域⽆无定义，则极限不不存在，反之，极限存在，则推在x0的去⼼心邻域处处有定义数列列极限的定义也注意两点：1.xn的极限与其前有限项⽆无关（类似于⽆无穷级数的收敛性与前n项⽆无关）2.xn的极限为a互推xn的任意的⼦子列列的极限也为a，特别的，xn的极限为a互推xn的奇数项与偶数项的极限均为a（注意：要涵盖xn的所有项）⼆二.有关定义的考法（17宇哥强化笔记）1.定X，N以及那个什什么（打不不出来）（主要是利利⽤用极限语⾔言来证明极限）⽅方法是：从有关f的不不等式推导出有关x的不不等式，从⽽而来定，若f的式⼦子复杂，可通过适当的放缩。

2.定e（原谅我不不能打出来）来讨论f（x）的范围Note1.注意例例题中有个结论 f极限为a可以推出f的绝对值极限为a的绝对值（利利⽤用极限的定义与中学知识来证，同理理数列列极限也是）2.e要取正整数，不不能取变量量。

3.由极限来推出的f的范围，只是陈述事实，⽽而不不是取值范围。

4.即使给我整个世界，我也只在你的身边"性质及其考法三⼤大性质——唯⼀一性，局部有界性，局部保号性1.唯⼀一性——极限存在必唯⼀一，所以极限存在可以推左极限等于右极限Note：⼀一般分左右极限的情况1.分段点 2.e的∞ 3.arctan∞2.局部有界性（注意局部包括局部性质与渐进性质）定义（会证会⽤用）（利利⽤用了了中学知识，绝对值的不不等式）Note：该定义只是有界的充分⾮非必要条件，即函数有界不不⼀一定极限存在，如sinx关于函数f（x）的有界性的判定⽅方法：1.理理论法（中学知识）：连续初等函数在闭区间内必有界2.计算法（⼤大学知识）：函数在开区间内连续，再加上端点的极限存在，则可以推出该函数在区间内有界3.四则运算：当极限不不存在时，拆！（⚠）（有限个）有界+有界=有界（有限个）有界x有界=有界Note：初等函数在闭定义区间内连续有界（初等函数在定义区间内连续，在闭定义区间内连续，必有界）3.局部保号性（此处的局部也是包括局部和渐进性质）定义（会证会⽤用）拓拓展：脱帽法（没有=号）带帽法（有等号，尤其极限A必须有等号，如x分之1在x趋于∞）Note：1.极限的运算法则：能不不能拆，拆了了再说。

大一下高数知识点总结框架高等数学作为大学的一门重要基础课程，对于理工科学生来说尤为重要。

下面给出一份大一下学期的高等数学知识点总结框架，希望能帮助你更好地学习和理解高数知识。

第一章：函数与极限1.1 函数的定义和性质1.2 基本初等函数及其性质1.3 极限的概念与性质1.4 无穷小与无穷大1.5 极限运算法则1.6 极限存在准则1.7 无穷小的比较1.8 函数的连续性第二章：导数与微分2.1 导数的定义和性质2.2 基本初等函数的导数2.3 反函数的导数2.4 高阶导数与莱布尼茨公式2.5 隐函数与参数方程的导数2.6 微分的概念与性质2.7 微分中值定理及其应用2.8 泰勒公式与函数的近似计算第三章：积分与应用3.1 不定积分的定义和性质3.2 基本初等函数的不定积分3.3 数值积分与微积分基本定理3.4 定积分的概念和性质3.5 定积分的计算方法3.6 曲边梯形法和辛普森法3.7 定积分的应用（求面积、求体积）3.8 一致连续性与积分中值定理第四章：多元函数微分学4.1 二元函数的极限与连续性4.2 偏导数与全微分4.3 隐函数的偏导数4.4 多元函数的导数与方向导数4.5 多元函数的极值与条件极值4.6 多元函数的泰勒公式4.7 重积分的概念和性质4.8 二重积分的计算方法第五章：多元函数积分学5.1 三重积分的定义和性质5.2 三重积分的计算方法5.3 三重积分的应用5.4 重积分的曲线坐标和极坐标表示5.5 曲线、曲面和曲斜坐标系下的重积分5.6 曲线积分的概念和性质5.7 第一类曲线积分的计算方法5.8 第二类曲线积分的计算方法第六章：无穷级数6.1 数项级数的概念和性质6.2 正项级数收敛的判别法6.3 函数项级数的收敛性6.4 幂级数的收敛半径6.5 幂级数的性质与展开式6.6 傅里叶级数的定义和性质6.7 傅里叶级数的收敛条件6.8 傅里叶级数的展开和应用这是一份基于大一下学期高等数学知识点的总结框架，涵盖了函数与极限、导数与微分、积分与应用、多元函数微分学、多元函数积分学以及无穷级数等内容。

大学高等数学知识点框架
一、微积分
1.导数与微分
2.积分与不定积分
3.定积分与曲线下面积
4.微分方程
二、级数
1.数列与级数的概念
2.收敛与发散
3.数项级数
4.幂级数
三、微分方程
1.一阶微分方程
2.二阶线性齐次微分方程
3.二阶线性非齐次微分方程
4.变量分离法与齐次微分方程
四、空间解析几何
1.三维空间直角坐标系
2.平面与直线的方程
3.空间曲面与二次曲线
4.空间直线与平面的位置关系
五、多元函数微分学
1.多元函数的极限
2.偏导数与全微分
3.多元复合函数的求导法则
4.隐函数与参数方程的求导
六、重积分与曲线曲面积分
1.重积分的概念与性质
2.二重积分的计算
3.三重积分的计算
4.曲线曲面积分的计算
七、常微分方程
1.一阶常微分方程
2.二阶常微分方程
3.高阶常微分方程
4.常微分方程的解析解与数值解
八、线性代数
1.线性方程组与矩阵
2.矩阵的运算与性质
3.矩阵的秩与逆
4.特征值与特征向量
九、概率论与数理统计
1.基本概念与概率空间
2.随机变量及其分布律
3.多维随机变量与联合分布
4.参数估计与假设检验
以上是大学高等数学的主要知识点框架，涵盖了微积分、级数、微分方程、空间解析几何、多元函数微分学、重积分与曲线曲面积分、常微分方程、线性代数以及概率论与数理统计等内容。

通过深入学习这些知识点，可以建立起扎实的数学基础，为进一步学习相关学科打下坚实的基础。

大一高数有几章知识点大一高数一共有六章知识点。

以下是对每一章的简要介绍：第一章：极限与连续这一章主要介绍了函数极限的概念与性质，以及连续函数的定义和基本性质。

其中包括极限的四则运算、夹逼准则、函数极限存在的条件等内容。

第二章：一元函数的导数与微分在这一章中，我们学习了导数的定义及其基本性质。

通过对一元函数的导数定义和推导，掌握了用导数求函数的增减性、极值、凹凸区间等问题。

还学习了微分的概念和微分的应用。

第三章：一元函数的积分在这一章中，我们主要学习了定积分和不定积分的概念及其性质。

学会了利用积分求解曲线下的面积、曲线的长度、体积等问题。

同时，掌握了反常积分的概念和计算方法。

第四章：多元函数的极限与连续这一章主要介绍了多元函数的极限和连续。

通过学习多元函数的极限定义、极限存在的条件、连续函数的定义和性质，掌握了对多元函数进行极限运算和连续性分析的方法。

第五章：多元函数的偏导数与全微分在这一章中，我们学习了多元函数的偏导数和全微分的概念。

通过对多元函数的偏导数的计算和性质的研究，了解了多元函数的切平面和切线方程的求解方法。

第六章：多元函数的积分学这一章主要介绍了多元函数的重积分和曲线积分。

通过学习多重积分的概念、计算方法和应用，掌握了对二重积分和三重积分的计算。

同时，学习了曲线积分的定义和计算方法，以及格林公式和高斯公式的应用。

以上为大一高数课程的六章知识点的简要介绍。

掌握这些知识，对于深入理解数学的基本概念和方法非常重要。

希望同学们能够认真学习，并在实际问题中灵活运用这些知识。

高等数学各章知识结构高等数学是一门广泛涉及多个领域的学科，包括微积分、线性代数、概率论等。

下面将介绍高等数学各章的知识结构。

一、数列与数学归纳法（150字）数列与数学归纳法是高等数学的起点，包括等差数列、等比数列、递推数列等概念。

这一章主要讨论数列的性质、极限与收敛性等问题，并引入数学归纳法进行证明。

二、函数与极限（200字）函数与极限是高等数学的核心概念，也是微积分的基础。

这一章主要包括函数的定义、性质、基本函数、复合函数等内容，引入了极限的概念和计算方法。

三、导数与微分（250字）导数与微分是微积分的重要内容，也是应用最广泛的部分。

这一章主要讨论导数的定义、求导法则、高阶导数等内容，以及微分的定义与应用。

四、不定积分（200字）不定积分是微积分的另一个重要内容，研究的是函数的原函数。

这一章主要介绍不定积分的定义、基本积分法、换元积分法、分部积分法等内容。

五、定积分（200字）定积分是微积分的重要应用之一，主要研究函数在区间上的积分。

这一章主要包括定积分的定义、性质、基本公式、几何应用等内容。

六、微分方程（250字）微分方程是高等数学的又一重要内容，研究的是包含导数的方程。

这一章主要介绍了一阶线性微分方程、高阶线性微分方程、常微分方程的基本概念、解法和应用。

七、无穷级数（200字）无穷级数是数列的延伸，研究的是无穷多个数的求和。

这一章主要介绍级数的概念、收敛性、常用级数以及级数收敛的判定方法等内容。

八、多元函数与偏导数（250字）多元函数与偏导数是高等数学的另一个重要部分，研究的是多个变量间的关系。

这一章主要包括多元函数的概念、偏导数的定义与计算、全微分等内容。

九、多重积分（200字）多重积分是对多元函数求积分的扩展，研究的是多维空间中的积分。

这一章主要介绍二重积分、三重积分的定义、计算方法以及应用。

十、曲线与曲面积分（200字）曲线与曲面积分是高等数学的应用之一，主要研究曲线和曲面上的积分。