江苏省无锡市第一中学2021届高三上学期十月检测数学试题含答案解析2020.10

2025届青海省海东市平安县第一高级中学物理高三上期末复习检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、单项选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、如图所示，A、B两小球静止在光滑水平面上，用轻弹簧相连接，A球的质量小于B 球的质量．若用锤子敲击A球使A得到v的速度，弹簧压缩到最短时的长度为L1；若用锤子敲击B球使B得到v的速度，弹簧压缩到最短时的长度为L2，则L1与L2的大小关系为()A．L1>L2B．L1<L2C．L1＝L2D．不能确定2、在平直公路上有甲、乙两辆汽车从同一位置沿着同一方向运动，它们的速度－时间图象如图所示，则()A．甲、乙两车同时从静止开始出发B．在t＝2s时乙车追上甲车C．在t＝4s时乙车追上甲车D．甲、乙两车在公路上可能相遇两次3、一物块由O点下落，到A点时与直立于地面的轻弹簧接触，到B点时速度达到最大，到C点时速度减为零，然后被弹回．物块在运动过程中受到的空气阻力大小不变，弹簧始终在弹性限度内，则物块()A．从A下降到B的过程中，合力先变小后变大B ．从A 下降到C 的过程中，加速度先增大后减小C ．从C 上升到B 的过程中，动能先增大后减小D ．从C 上升到B 的过程中，系统的重力势能与弹性势能之和不断增加4、质点在Ox 轴运动，0t =时刻起，其位移随时间变化的图像如图所示，其中图线0~1s 内为直线，1~5s 内为正弦曲线，二者相切于P 点，则（ ）A ．0~3s 内，质点的路程为2mB ．0~3s 内，质点先做减速运动后做加速运动 C ．1~5s 内，质点的平均速度大小为1.27m/s D ．3s 末，质点的速度大小为2m/s5、下列说法中不正确的是（ ）A ．在关于物质波的表达式ε＝hν和p ＝h λ中，能量ε和动量p 是描述物质的粒子性的重要物理量，波长λ或频率ν是描述物质的波动性的典型物理量B ．光电效应既显示了光的粒子性，又显示了光的波动性C ．天然放射现象的发现，揭示了原子核有复杂结构D ．γ射线是波长很短的电磁波，它的穿透能力比β射线要强6、如图甲是建筑工地将桩料打入泥土中以加固地基的打夯机示意图，打夯前先将桩料扶正立于地基上，桩料进入泥土的深度忽略不计。

故 ，
故选：C
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.
13.设函数 , 若 ，则实数 的取值范围是________．
【答案】
【解析】
根据分段函数的定义域，对 进行分类讨论，列出不等式组，由此即可求出结果.
【详解】由题意得 或 解得 或 .
故答案为： .
14.已知 ， ， 与 之间有关系式 ，其中 ．则 取最小值时， 与 的夹角 为_________.
【答案】
【解析】
先根据题中条件，由向量数量积的运算法则，得到 ，根据基本不等式求出其最小值，再由向量夹角公式，即可求出结果.
【详解】因 ， ，
所以 ， ，
又 ，所以 ，
则 ，即 ，
因为 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 （负值舍去）时，等号成立.
故 的最小值为 ，
此时 ，因为 ，所以 .
故答案为： .
15. 设曲线 在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为 ,令 ，则 的值为.
【答案】-2
【解析】
由于y′ ＝n＋1，∴曲线在点(1，1)处的切线为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，得x＝xn＝ ，∴an＝lg ，∴原式＝lg ＋lg ＋…＋lg ＝lg ＝lg ＝－2.
① ；② 为锐角三角形；③ ；④
其中正确的个数是（）
A. 1B.2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
由向量的数量积的几何含义及运算法则，判断各项的正误即可.
【详解】由AH为BC边上的高，
∴ ，而 ，故 ，①正确；
知：向量 的夹角为钝角，即 为锐角，而无法判断 是否为锐角三角形，②错误；

长沙市一中2024—2025学年度高三阶段性检测（一）数学试卷时量：120分钟总分：150分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合,集合,则（ ）{||1}A x x =<∣{B x y ==∣A B = A ．B ．C ．D ．(1,1)-(0,1)[0,1)(1,)+∞2．已知复数z 满足,则复数在复平面内对应的点位于（ ）i 12i z =-+z A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知一个古典概型，其样本空间中共有12个样本点，其中事件A 有6个样本点，事件B 有4个样本点，事件有8个样本点，则（ ）A B +()P AB =A ．B ．C ．D ．231213164．己知等差数列的前5项和,且满足,则等差数列的公差为（ ）{}n a 535S =5113a a ={}n a A ． B ．C ．1D ．33-1-5．已知的展开式中的系数为80，则m 的值为（ ）51(2)my x y x ⎛⎫+-⎪⎝⎭24x y A ．B ．2C ．D ．12-1-6．如图，正方形中，是线段上的动点，且,则ABCD 2,DE EC P = BE (0,0)AP x AB y AD x y =+>>的最小值为（ ）11x y+A ．B ．C D ．47．设,则下列关系正确的是（ ）0.033,ln1.03,e 1103a b c ===-A ．B ．C ．D ．a b c >>b a c >>c b a >>c a b>>8．已知，则1tan 1tan()tan 6,tan tan 3222tan 2αβαβπαβαβαβ⎛⎫⎪--⎡⎤⎛⎫-+-=-=⎪ ⎪⎢⎥-⎣⎦⎝⎭ ⎪⎝⎭（ ）cos(44)αβ+=A ． B ． C ． D ．7981-79814981-4981二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为,则下列说法正确的是（ ）lg 4.8 1.5E M =+A ．地震释放的能量为焦耳时，地震里氏震级约为七级15.310B ．八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍C ．八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍D ．记地震里氏震级为,地震释放的能量为,则数列是等比数列(1,2,,9,10)n n = an {}an 10．已知双曲线的左、右焦点分别为，点P 在双曲线的右支上，现有四2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>12,F F 个条件：①;②；③平分;④点P 关于原点对称的点为Q ,且120PF PF ⋅=1260F F P ∠=︒PO 12F PF ∠,能使双曲线C 的离心率为）12||PQ F F =1+A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④11．如图，是底面直径为2高为1的圆柱的轴截面，四边形绕逆时针旋转ABCD 1OO 1OO DA 1OO 到,则（ ）(0)θθπ≤≤111OO D A A ．圆柱的侧面积为 B ．当时，1OO 4π0θπ<<11DD A C⊥C ．当时，异面直线与所成的角为D ．3πθ=1A D 1OO 4π1A CD △三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．如图，某景区共有A ,B ,C ,D ,E 五个景点，相邻景点之间仅设置一个检票口供出入，共有7个检票口，工作人员为了检测检票设备是否正常，需要对每个检票口的检票设备进行检测若不重复经过同一个检票口，依次对所有检票口进行检测，则共有___________种不同的检测顺序．13．已知函数在上是增函数，且，则的取()sin ()f x x ωω=∈R 7,212ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭3244f f ππ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12f π⎛⎫- ⎪⎝⎭值的集合为___________．14．斜率为1的直线与双曲线交于两点A ，B ,点C 是曲线E 上的一点，满足2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>和的重心分别为的外心为R ,记直线的斜率为,,AC BC OAC ⊥△OBC △,,P Q ABC △,,OP OQ OR 123,,k k k 若，则双曲线E 的离心率为___________．1238k k k =-四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（13分）设函数．2()ln ()f x x ax x a =-++∈R （1）若,求函数的单调区间；1a =()f x （2）设函数在上有两个零点，求实数a 的取值范围（其中e 是自然对数的底数）()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦16．（15分）如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，四边形为矩形，平面1111ABCD A B C D -ABCD 11CC D D 平面为线段的中点，且．11CC D D ⊥,ABCD E 1CD BE CE =（1）求证：平面;AD ⊥11BB D D（2）若,直线与平面的余弦4,2AB AD ==1A E 11BB D D 1D AB D --值．17．（15分）软笔书法又称中国书法，是我国的国粹之一，琴棋书画中的“书”指的正是书法．作为我国的独有艺术，软笔书法不仅能够陶冶情操，培养孩子对艺术的审美还能开发孩子的智力，拓展孩子的思维与手的灵活性，对孩子的身心健康发展起着重要的作用．近年来越来越多的家长开始注重孩子的书法教育．某书法培训机构统计了该机构学习软笔书法的学生人数（每人只学习一种书体），得到相关数据统计表如下：书体楷书行书草书隶书篆书人数2416102010（1）该培训机构统计了某周学生软笔书法作业完成情况，得到下表，其中．60a ≤认真完成不认真完成总计男生5aa女生总计60若根据小概率值的独立性检验可以认为该周学生是否认真完成作业与性别有关，求该培训机构学习0.10α=软笔书法的女生的人数．（2）现从学习楷书与行书的学生中用分层随机抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记4人中学习行书的人数为X ,求X 的分布列及数学期望．参考公式及数据：．22(),()()()()n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++α0.100.050.01x α2.7063.8416.63518．（17分）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆C 上一点，且到的距离2222:1(0)x y C a b a b+=>>12,,(2,3)F F A 12,F F 之和为8．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设B 为A 关于原点O 的对称点，斜率为k 的直线与线段（不含端点）相交于点Q ,与椭圆C 相交于AB 点M ,N ,若为常数，求与面积的比值．2||||||MN AQ BQ ⋅AQM △AQN △19．（17分）设满足以下两个条件的有穷数列为阶“曼德拉数列”：12,,,n a a a (2,3,4,)n n =①；②．1230n a a a a ++++= 1231n a a a a ++++= （1）若某阶“曼德拉数列”是等比数列，求该数列的通项（,用k ,n 表示）；()*2k k ∈N n a 12n k ≤≤（2）若某阶“曼德拉数列”是等差数列，求该数列的通项（,用k ,n 表示）；()*21k k +∈N n a 121n k ≤≤+（3）记n 阶“曼德拉数列”的前k 项和为,若存在,使,试{}n a (1,2,3,,)k S k n = {1,2,3,,}m n ∈ 12m S =问：数列能否为n 阶“曼德拉数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理{}(1,2,3,,)i S i n = 由．长沙市一中2024—2025学年度高三阶段性检测（一）数学参考答案一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．C【解析】，故．故选C ．{11},{0}A xx B x x =-<<=≥∣∣{01}[0,1)A B x x =≤<= ∣2．D【解析】，212i (12i)ii 12i 2i 2i i iz z z -+-+⋅=-+⇒===+⇒=-所以复数在复平面内对应的点位于第四象限，故选D z 3．D【解析】根据概率公式计算可得；由概率的加法公式可614182(),(),()122123123P A P B P A B ====+==知,代入计算可得()()()()P A B P A P B P AB +=+-1()6P AB =故选：D 4．D【解析】,解得,故选D 5151151035;413S a d a a d a =+==+=13,1d a ==5．A 【解析】，55511(2)(2)(2)my x y x y my x y x x ⎛⎫+-=-+- ⎪⎝⎭在的展开式中，由,51(2)x y x-155455(2)()(1)2r r r r r r r r x C x y C x y -----=-⋅令，得r 无解，即的展开式没有的项；424r r -=⎧⎨=⎩51(2)x y x -24x y 在的展开式中，由,5(2)my x y -555155(2)()(1)2rr r r r r r r myC x y mC x y ---+-=-⋅令,解得，5214r r -=⎧⎨+=⎩3r =即的展开式中的项的系数为,5(2)my x y -24x y 35335(1)240mC m --⋅=-又的展开式中的系数为80，5(2)()x my x y +-24x y 所以,解得,故选A ．4080m -=2m =-6．C【解析】正方形中，,则,ABCD 2DE EC = 2233AD AE ED AE CD AE AB =+=+=-而,则，AP x AB y AD =+ 2233AP xAB y AE AB x y AB y AE ⎛⎫⎛⎫=+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又点B,P ,E 共线，于是,即,而，213x y y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭13yx +=0,0x y >>因此，1111443333y x y x x y x y y x ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当，即时取等号，3x y y x=y ==所以当时，．x y ==11x y +故选：C 7．C【解析】记．()e 1,(0)xf x x x =--≥因为,所以当时，,所以在上单调递增函数，()e 1xf x '=-0x >()0f x '>()f x (0,)+∞所以当时，,即,所以．0x >()(0)0f x f >=1xe x ->0.03e 10.03->记．()ln(1),(0)g x x x x =+-≥因为，所以在上单调递增函数，1()1011xg x x x-'=-=<++()g x (0,)+∞所以当时，,即,所以．0x >()(0)0g x g <=ln(1)x x +<ln1.030.03<所以．记．c b >()ln(1),(0)1xh x x x x=+-≥+因为，所以当时，，2211()1(1)(1)x h x x x x '=-=+++0x >()0h x '>所以在上单调递增函数，()h x (0,)+∞所以当时，,即,所以．0x >()(0)0h x h >=ln(1)1x x x +>+0.033ln1.0310.03103>=+所以,综上所述：．b a >c b a >>故选：C 8．A【解析】，1tan 1tan()tan 622tan 2αβαβαβαβ⎛⎫⎪--⎡⎤-+-=⎪⎢⎥-⎣⎦ ⎪⎝⎭．2221tan 2tan 2216tan1tan 22αβαβαβαβ--⎛⎫- ⎪+= ⎪-- ⎪-⎝⎭，2221tan 2tan2cos()226sin()1tan 2αβαβαβαβαβ--⎛⎫-+ ⎪-= ⎪-- ⎪-⎝⎭，221tan2cos()2cos()126,6sin()sin()cos()1tan 2αβαβαβαβαβαβαβ-⎛⎫+ ⎪--=⨯=⎪---- ⎪-⎝⎭，11sin(),sin cos cos sin 33αβαβαβ-=-=又因为，所以，tan tan 32παβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin cos 3cos sin αβαβ=则,所以11cos sin ,sin cos 62αβαβ==2sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ+=+=．241cos(22)12sin ()1299αβαβ+=-+=-⨯=．2179cos(44)2cos (22)1218181αβαβ+=+-=⨯-=-故选：A二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．ACD【解析】对于A:当时，由题意得,15.310E =15.3lg104.8 1.5M =+解得,即地震里氏震级约为七级，故A 正确；7M =对于B:八级地震即时，,解得,8M =1lg 4.8 1.5816.8E =+⨯=16.8110E =所以，16.81.5115.3101010 6.310E E ==>≠所以八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的倍，故B 错误；1.510对于C:六级地震即时，,解得,6M =2lg 4.8 1.5613.8E =+⨯=13.8210E =所以,16.83113.821010100010E E ===即八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍，故C 正确；对于D:由题意得,lg 4.8 1.5(1,2,,9,10)n a n n =+= 所以，所以4.8 1.510n n a += 4.8 1.5(1) 6.31.511010n nn a ++++==所以，即数列是等比数列，故D 正确；6.31.5 1.51 4.81.5101010nn n n a a +++=={}an 故选：ACD 10．AD【解析】③平分且为中线，可得,PO 12F PF ∠PO 12PF PF =点P 在双曲线的右支上，所以不成立；若选①②：可得,1212120,60,2PF PF F F P F F c ⋅=∠=︒=21,PF c PF ==，即离心率为，成立；2c a -=1c e a ===+若选②④：，点P 关于原点对称的点为Q ,1260F F P ∠=︒且，可得四边形为矩形，12||PQF F =12F QF P 即可得,1212,2PF PF F F c ⊥=12,PF c PF ==,即离心率为,成立；2c a -=1c e a ===+故选：AD 11．BC【解析】对于A,圆柱的侧面积为，A 错误；1OO 2112ππ⨯⨯=对于B,因为，所以,又,0θπ<<11DD D C ⊥111DD A D ⊥所以平面,所以,B 正确；1DD ⊥11A D C 11DD A C ⊥对于C,因为,所以就是异面直线与所成的角，因为，所以111A D OO ∥11DA D ∠1A D 1OO 113DO D π∠=为正三角形，所以,因为,所以，C 正确；11DO D △1111DD A D ==111A D DD ⊥114DA D π∠=对于D,作,垂足为E ,连接,所以平面,所以．1D E DC ⊥1A E DC ⊥11A D E 1A E DC ⊥在中，11Rt A D E △1A E ==≤=,所以,D 错误．1111222A CD S DC A E =⨯⨯≤⨯=△()1maxA CDS =△故选：BC ．三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．32【解析】如图将5个景区抽象为5个点，见7个检票口抽象为7条路线，将问题化归为不重复走完7条路线，即一笔画问题，从B 或E 处出发的线路是奇数条，其余是偶数条，可以判断只能从B 或E 处出发才能不重复走完7条路线，由于对称性，只列出从B 处出发的路线情形即可．①走路线：3126547,3126745,3147526,3147625,3156247,3157426，共6种；BA ②走路线：4137526,4137625,4265137,4267315,4562137,4573126，共6种；BC ③走路线：7513426,7543126,7621345,7624315，共4种；BE 综上，共有种检测顺序．()266432⨯++=故答案为：3213．11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】由可知，，得，3244f f ππ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32442T nT πππ+=-=,21T n n π=∈+Z 所以,2||42n Tπω==+又函数在上是增函数，()sin ()f x x ωω=∈R 7,212ππ⎛⎫⎪⎝⎭所以，即，所以，7212212T πππ≥-=6T π≥||12ω≤所以，的可能取值为．ω2,6,10±±±当时，由解得，0ω>2222k x k πππωπ-+≤≤+22,22k k x k ππππωωωω-+≤≤+∈Z 经检验，,6,10时不满足题意；2ω=当时，由解得,0ω<2222k x k πππωπ-+≤≤+22,22k k x k ππππωωωω+≤≤-+∈Z 经检验，时满足题意．2,6ω=--所以，的可能取值为．12f π⎛⎫-⎪⎝⎭1sin ,sin 11262122f f ππππ⎛⎫⎛⎫-==-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭14【解析】若直线与双曲线有两个交点G ,H ,设G ,H 的中点为K ，y kx m =+22221x y a b -=联立方程组，整理得,22221y kx m x y ab =+⎧⎪⎨-=⎪⎩()22222222220b a k x a kmx a m a b ----=可得,则，22222G H a km x x b a k +=-22222G H K x x a kmx b a k+==-又由在直线上，可得，(),K K K x y y kx m =+22222222K a km b my m b a k b a k =+=--所以，所以，22K OKK y b k x ka ==22GH OK b k k a ⋅=即直线l 与双曲线相交线的中点与原点的连线的斜率与直线l 的斜率之积为定值，22b a如图所示，取的中点M ,N ,,AC BC 因为的重心P 在中线上，的重心Q 在中线上，OAC △OM OBC △ON所以,可得，12,OP OM OQ ON k k k k k k ====22$OM AC ON BCb k k k k a⋅=⋅=即，2122AC BCb k k k k a⋅=⋅=又由,可得，可得AC BC ⊥1AC BCk k ⋅=-22122b k k a ⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭因为,且的外心为，点R ,则R 为线段的中点，AC BC ⊥ABC △AB 可得，因为，所以，22OR ABb k k a ⋅=1AB k =22OR b k a=所以，所以，3212328b k k k a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ba =所以c e a ===．四、解答题（本题共6小题，共70分）15．解：（1）当时，的定义域为,1a =2()ln ,()f x x x x f x =-++(0,)+∞，2121()21x x f x x x x-++'=-++=令,则,解得,()0f x '>2210x x --<01x <<令,则,解得．()0f x '<2210x x -->1x >∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为．()f x (0,1)(1,)+∞（2）令,则．2()ln 0f x x ax x =-++=ln xa x x=-令，其中，ln ()x g x x x =-1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则．2221ln ln 1()1x xx x x g x x x⋅-+-'=-=令,解得,令,解得．()0g x '>1e x <≤()0g x '<11ex ≤<的单调递减区间为，单调递增区间为,()g x ∴1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭(1,e]．min ()(1)1g x g ∴==又,函数在上有两个零点，111e ,(e)e e ee g g ⎛⎫=+=-⎪⎝⎭()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的取值范围是．a ∴11,e e ⎛⎤- ⎥⎝⎦16．解：（1）在中，E 为线段的中点，且,所以,1BCD △1CD BE CE =1D E CE BE ==所以为直角三角形，且，所以,111,2BE CD BCD =△190CBD ∠=︒1D B BC ⊥因为底面为平行四边形，,所以,ABCD AD BC ∥1AD D B ⊥又因为四边形为矩形，所以,11CC D D 1D D DC ⊥因为平面平面,平面平面平面,11CC D D ⊥ABCD 11CC D D 1,ABCD DC D D =⊂11CC D D 所以平面,1D D ⊥ABCD 因为平面,所以,AD ⊂ABCD 1AD D D ⊥因为平面,11111,,D D D B D D D D B =⊂ 11BB D D 所以平面．AD ⊥11BB D D （2）因为平面平面,所以,AD ⊥11,BB D D BD ⊂11BB D D AD BD ⊥由（1）知平面,又平面,所以,11,D D AD D D ⊥⊥ABCD BD ⊂ABCD 1D D BD ⊥所以两两垂直，1,,DA DB DD 以D 为坐标原点，所在直线为x 轴，所在直线为y 轴，DA DB所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，1DD 在中，,所以,Rt ADB △4,2AB AD ==DB ==设,则,1(0)DD t t =>1(0,0,0),(2,0,0),(2,0,),,(0,2t D A A t E B ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以,1,(2,2t A E AB ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭易知平面的一个法向量为,11BB D D (2,0,0)DA =设直线与平面所成的角为,1A E 11BB D D θ则,解得111sin cos ,||A E DAA E DA A E DA θ⋅====t =所以,11(0,0,(2,0,D AD =-设平面的法向量为1ABD (,,)m x y z =则，令,12020AB m x AD m x⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ x =m = 易知平面的一个法向量为,ABCD (0,0,1)n =则，cos ,||||m n m n m n ⋅===易知二面角是锐角，故二面角1D AB D --1D AB D --17．解：（1）根据题意，完成列联表如下：认真完成不认真完成总计男生45a 5a a女生4605a -205a -80a-总计602080由题意可得，2244802060555516 2.7066020(80)15(80)a a a a a a a a χ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦==≥⨯⨯⨯--得．57.38a >易知a 为5的倍数，且，所以,60a ≤60a =所以该培训机构学习软笔书法的女生有（人）．806020-=（2）因为学习软笔书法的学生中学习楷书与行书的人数之比为，24:163:2=所以用分层随机抽样的方法抽取的10人中，学习楷书的有（人），学习行书的有310632⨯=+（人），210432⨯=+所以X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，，4312266464444101010C C C C C 151808903(0),(1),(2)C 21014C 21021C 2107P X P X P X ============．134644441010C C C 2441(3),(4)C 21035C 210P X P X =======X 的分布列为：X 01234P114821374351210所以．183418()0123414217352105E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=18．解：（1）由椭圆的定义得,所以．1228AF AF a +==4a =又为椭圆C 上一点，所以，(2,3)A 22491a b+=将代入，得,4a =212b =所以椭圆C 的标准方程为．2211612x y +=（2）因为B 为A 关于原点O 的对称点，所以,直线的方程为．()2,3B --AB 32y x =设,则直线的方程为,()()2,311Q t t t -<<MN ()32y t k x t -=-联立得，可得,22116123(2)x y y t k x t ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩()2222438(32)4(32)480k x kt k x t k ++-+--=由点Q 在椭圆内，易知，0∆>不妨令,则，()()1122,,,M x y N x y 221212228(23)4(32)48,4343kt k t k x x x x k k ---+=⋅=++所以．()()()()()()222222222121212224811612(32)||11443k k t k MN kx x k x x x x k⎡⎤++--⎣⎦⎡⎤=+-=++-=⎣⎦+又,()2||||131AQ BQ t ⋅==-所以为常数，()()()222222224811612(32)||||||13431k k t k MN AQ BQ k t ⎡⎤++--⎣⎦=⋅+-则需满足为常数，22221612(32)1k t k t+---（此式为与t 无关的常数，所以分子与分母对应成比例）即，解得．221612(32)k k +=-12k =-将代入，可得,得，12k =-1228(23)43kt k x x k -+=+124x x t +=1222x x t +=所以Q 为的中点，MN 所以．||1||AQM AQNS MQ S NQ ==△△19．解：（1）设等比数列的公比为q ．1232,,,,(1)k a a a a k ≥ 若，则由①得,得,1q ≠()21122101k k a q a a a q-+++==- 1q =-由②得或．112a k =112a k=-若,由①得，,得,不可能．1q =120a k ⋅=10a =综上所述，．1q =-或．11(1)2n n a k -∴=-11(1)2n n a k-=--（2）设等差数列的公差为d ,12321,,,,(1)k a a a a k +≥ ,123210k a a a a +++++= ,112(21)(21)0,02k k dk a a kd +∴++=+=即,120,k k a a d ++=∴=当时，“曼德拉数列”的条件①②矛盾，0d =当时，据“曼德拉数列”的条件①②得，0d >，()23211212k k k k a a a a a a ++++++==-+++ ，即，(1)122k k kd d -∴+=1(1)d k k =+由得，即，10k a +=110(1)a k k k +⋅=+111a k =-+．()*111(1),211(1)(1)n n a n n n k k k k k k k∴=-+-⋅=-∈≤++++N 当时，同理可得，0d <(1)122k k kd d -+=-即．1(1)d k k =-+由得,即，10k a +=110(1)a k k k -⋅=+111a k =+．()*111(1),211(1)(1)n n a n n n k k k k k k k∴=--⋅=-+∈≤++++N 综上所述，当时，,0d >()*1,21(1)n n a n n k k k k∴=-∈≤++N 当时，．0d <()*1,21(1)n n a n n k k k k=-+∈≤++N （3）记中非负项和为A ,负项和为B ,则,12,,,n a a a 0,1A B A B +=-=得，即．1111,,2222k A B B S A ==--=≤≤=1(1,2,3,,)2k S k n ≤= 若存在，使，由前面的证明过程知：{1,2,3,,}m n ∈ 12m S =，且．　12120,0,,0,0,0,,0m m m n a a a a a a ++≥≥≥≤≤≤ 1212m m n a a a +++++=- 若数列为n 阶“曼德拉数列”，{}(1,2,3,,)i S i n = 记数列的前k 项和为,则．{}(1,2,3,,)i S i n = k T 12k T ≤，1212m m T S S S ∴=+++≤又,1211,02m m S S S S -=∴==== ．12110,2m m a a a a -∴===== 又，1212m m n a a a +++++=- ，12,,,0m m n S S S ++∴≥ ，123123n n S S S S S S S S ∴++++=++++ 又与不能同时成立，1230n S S S S ++++= 1231n S S S S ++++= ∴数列不为n 阶“曼德拉数列{}(1,2,3,,)i S i n =。

无锡市2023年秋学期高三期终教学质量调研测试数学2024.1（答案在最后）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已如集合{}1,0,1,2,3,4A =-，集合{}2230B x x x =--≤，则A B = （）A.{}1,0,1,2,3-B.{}1,0,1-C.{}0,1,2 D.{}1,0-【答案】A 【解析】【分析】根据一元二次不等式求得集合B ，结合交集运算，可得答案.【详解】由题意集合()(){}{}31013B x x x x x =-+≤=-≤≤，{}1,0,1,2,3A B ⋂=-.故选：A.2.复数12i3i-+在复平面内对应的点所在的象限为（）A.第一象限 B.第二象限C.笵三象限 D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】利用复数的运算将12i3i-+化简，从而可求对应的点的位置.【详解】因为()()()()12i 3i 12i 17i 17i 3i 3i 3i 101010-⋅---===-++⋅-，所以复数12i 3i -+在复平面内对应的点为17,1010⎛⎫- ⎪⎝⎭，易得该点在第四象限.故选：D.3.已知a ，b 是两个不共线的向量，命题甲：向量ta b + 与2a b - 共线；命题乙：12t =-，则甲是乙的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】利用向量共线定理即可判断.【详解】向量ta b + 与2a b -共线等价于()2ta b a b λ+=-r r r r .因为a ，b 是两个不共线的非零向量，所以12t λλ=⎧⎨=-⎩，解得：12t =-.所以甲是乙的充要条件.故选：C.4.从甲地到乙地的距离约为240km ，经多次实验得到一辆汽车每小时托油量Q （单位：L ）与速度v （单位：km/h （0120v ≤≤）的下列数据：v0406080120Q0.0006.6678.12510.00020.000为描述汽车每小时枆油量与速度的关系，则下列四个函数模型中，最符合实际情况的函数模型是（）A.Q av b =+B.32Q av bv cv =++C.0.5v Q a =+D.log a Q k v b=+【答案】B 【解析】【分析】根据题意以及表中数据可知，函数在定义域[]0,120上单调递增，且函数的图象经过坐标原点，即可判断出最符合实际的函数模型．【详解】依题意可知，该函数必须满足三个条件：第一，定义域为[]0,120；第二，在定义域上单调递增；第三，函数经过坐标原点.对于A 选项：Q av b =+不经过坐标原点，故A 不符合;对于B 选项：32Q av bv cv =++满足以上三个条件，故B 符合;对于C 选项：0.5v Q a =+在定义域内单调递减，故C 不符合;对于D 选项：当0v =时，log a Q k v b =+无意义，故D 不符合;故选:B.5.已知0a b >>，设椭圆1C ：22221x ya b +=与双曲线2C ：22221x y a b-=的离心率分别为1e ，2e .若213e e =，则双曲线2C 的渐近线方程为（）A.5y x =±B.45y x =±C.2y x =± D.5y x =±【答案】A 【解析】【分析】根据题意及椭圆和双曲线的离心率公式求得ba的值，写出双曲线的渐近线即可.【详解】因为213e e ==，解得255b a =，所以双曲线2C 的渐近线方程为255y x =±.故选：A.6.已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的菱形，且120DAB ∠=︒.若M ，N 分别是侧棱1CC ，1BB 上的点，且2MC =，1NB =，则四棱锥A BCMN -的体积为（）A.B.2C.D.6【答案】A 【解析】【分析】通过分析得到AH 为四棱锥A BCMN -的高，计算体积即可.【详解】取BC 的中点H ，连接AH ，由直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的菱形，且120DAB ∠=︒，所以60,ABC ∠=︒易得AB BC AC ==，所以AH BC ⊥,又因为1BB ⊥面ABCD ，且AH ⊂面ABCD ，所以1BB AH ⊥,又因为1,BB BC B ⋂=且1,BB BC ⊂面11BB CC ，所以AH ⊥面11BB CC ，故AH 为四棱锥A BCMN -的高.易得到AH =，四边形BCMN 的面积为()112232S =⨯+⨯=,所以四棱锥A BCMN -的体积为11333V S AH =⋅=⨯=,故选：A.7.已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，且存在k ∈N ，使得3k S +，9k S +，6k S +成等差数列.若对于任意的N m ∈，满足2532m m a a +++=，则8m a +=（）A.32m + B.16m + C.32D.16【答案】D 【解析】【分析】借助等比数列知识，利用3k S +，9k S +，6k S +成等差数列，求出312q =-，再利用2532m m a a +++=，求出2m a +，再计算8m a +即可.【详解】因为3k S +，9k S +，6k S +成等差数列，所以9362k k k S S S +++=+即96930k k k k S S S S ++++-+-=，即9879876540k k k k k k k k k a a a a a a a a a +++++++++++++++++=，所以()98765420k k k k k k a a a a a a +++++++++++=，因为数列{}n a 是等比数列，且0n a ≠，所以()543244444420k k k k k k a q a q a qaq a q a ++++++⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+=，()32242110k a q q q q q +⎡⎤+++++=⎣⎦，所以()3222110qqq q q +++++=，即()()322110q q q +++=，所以210q q ++=（无解）或3210q +=，即312q =-又因为2532m m a a +++=，所以()33222132m m m a a q a q ++++⋅=+=，所以264m a +=，所以2682164162m m a a q ++⎛⎫=⋅=⨯-= ⎪⎝⎭，故选：D.8.已知函数()f x 的定义域为R ，且()2f x x +为奇函数，()2f x x -为偶函数.令函数()()(),0,,0.f x xg x f x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩若存在唯一的整数0x ，使得不等式()()2000g x a g x +⋅<⎡⎤⎣⎦成立，则实数a 的取值范围为（）A.[)(]8,31,3--B.[)(]3,13,8--⋃C.[)(]3,03,8- D.[)(]8,30,3-- 【答案】B 【解析】【分析】先根据函数奇偶性定义求出()f x ，表示出()g x ，画出图象，分类讨论即可.【详解】令()()2h x f x x =+，()()2m x f x x =-，因为()2f x x +为奇函数，()2f x x -为偶函数.所以()()()2h x h x f x x -=-=-+，()()()2m x m x f x x -==-+，所以()()()()22,h x f x x h x f x x⎧=+⎪⎨-=-+⎪⎩可得()()22f x f x x +-=-L �，同理()()()()2,2m x f x x m x f x x ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩可得()()4f x f x x --=L �，由+①②得()22f x x x =-+，所以()222,02,0x x x g x x x x ⎧-+≥=⎨-<⎩，要满足存在唯一的整数0x ，使得不等式()()2000g x a g x +⋅<⎡⎤⎣⎦成立，而()()()()200000g x a g x g x g x a +⋅=+<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，当0a =时，()200g x <⎡⎤⎣⎦，显然不成立，当a<0时，要使()()00,g x a ∈-只有一个整数解，因为()()111,3,g g =-=所以13a <-≤，即31a -≤<-.当0a >时，要使()()0,0g x a ∈-只有一个整数解，因为()()()0,332,48g g g ==-=-,所以83a -≤-<-，即38a <≤.综上所述：实数a 的取值范围为[)(]3,13,8--⋃.故选:B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.第一组样本数据12,,,n x x x ，第二组样本数据1y ，2y ，…，n y ，其中21i i y x =-（1,2,,i n =⋅⋅⋅），则（）A.第二组样本数据的样本平均数是第一组样本数据的样本平均数的2倍B.第二组样本数据的中位数是第一组样本数据的中位数的2倍C.第二组样本数据的样本标准差是第一组样本数据的样本标准差的2倍D.第二组样本数据的样本极差是第一组样本数据的样本极差的2倍【答案】CD 【解析】【分析】根据平均数和标准差的性质以及中位数和极差的概念可得答案.【详解】设样本数据12,,,n x x x ，的样本平均数为x ，样本中位数为m ，样本标准差为s ，极差为max min x x -，对于A,C 选项：由21i i y x =-，根据平均数和标准差的性质可知，样本数据1y ，2y ，…,n y 的样本平均数为21x -，故A 错误；样本数据1y ，2y ，…,n y 的样本方差为2224a s s =，所以第二组数据的样本标准差2s ，故C 正确；对于B 选项：根据中位数的概念可知，样本数据1y ，2y ，…,n y 的中位数为21m -，故B 错误；对于D 选项：根据极差的概念可知,样本数据1y ，2y ，…，n y 的极差为()()()max min max min max min 21212y y x x x x -=---=-,故D 正确.故选：CD.10.已知函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()πcos 26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A.()y f x =的图象关于点π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭对称B.()g x 在区间π5π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C.将()g x 图象上的所有点向右平移π6个单位长度即可得到()f x 的图象D.函数()()()h x f x g x =+【答案】BCD 【解析】【分析】对于A 选项：：将π12x =代入()f x 验证即可；对于B 选项：换元后结合三角函数图象与性质判断即可；对于C 选项：利用三角函数得图象变换化简整理即可；对于D 选项：借助和差角公式计算即可.【详解】对于A 选项：将π12x =代入()f x ，得ππππsin 2sin 1121232f ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()y f x =的图象不关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称,故选项A 错误;对于B 选项：在()πcos 26g x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，令π26t x =+，则cos y t =，因为π5π,26x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π7π11π2,666t x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，根据余弦函数图象可知cos y t =在7π11π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，故选项B 正确；对于C 选项：将()g x 图象上的所有点向右平移π6个单位长度,可得到πππππππcos 2cos 2cos 2sin 2(),6666233g x x x x x f x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=-++=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选项C 正确；对于D 选项：()()()ππsin 2cos 236h x f x g x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()ππ11sin 2cos 2sin 2cos 2cos 2sin 22,362222h x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫∴=+++=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭结合余弦函数的性质可知：()2h x x =≤，故选项D 正确.故选：BCD.11.已知过点()0,t 的直线1l 与抛物线C ：24x y =相交于A 、B 两点，直线2l ：4y kx =+是线段AB 的中垂线，且1l 与2l 的交点为(),Q m n ，则下列说法正确的是（）A.m 为定值B.n 为定值C.22k -<<且0k ≠ D.22t -<<【答案】BD 【解析】【分析】由两直线位置关系设出直线1l 的方程，联立直线与抛物线方程，求出点Q 的坐标，代入4y kx =+即可判断选项A 和B ，利用已知条件找出k 与t 的关系，结合0∆>即可判断选项C 和D.【详解】由题意可知，直线1l 的斜率存在且不为0，因为直线1l 过点()0,t 且与抛物线C ：24x y =相交于A 、B 两点，直线2l ：4y kx =+是线段AB 的中垂线，所以设直线1l ：1,0y x t k k=-+≠，联立方程214y x t kx y ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，可得2440x x t k +-=，所以216160t k ∆=+>,121244x x k x x t⎧+=-⎪⎨⎪=-⎩，所以AB 的中点坐标222,t k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，由题意可知，点(),Q m n 是AB 的中点，所以2m k =-，22n t k=+，因为(),Q m n 在直线2l ：4y kx =+上，所以4n km =+，因为2m k =-，所以242n k k=-⨯+=，所以n 为定值，故选项B 正确；因为k 是变量，所以m 不是定值，故选项A 错误；因为22n t k =+，2n =，所以222t k +=，即222t k=-，又因为216160t k ∆=+>，所以221621620k k ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，即216320k ->，解得22k >或2k <-，故选项C 错误；对选项D ，由选项C 可得212k >，222t k=-，所以22122k t =>-，解得22t -<<，故选项D 正确.故选：BD.12.已知在伯努利试验中，事件A 发生的概率为()01p p <<，我们称将试验进行至事件A 发生r 次为止，试验进行的次数X 服从负二项分布，记作(),X NB r p ~，则下列说法正确的是（）A.若11,2X NB ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则()12kP X k ⎛⎫== ⎪⎝⎭，1,2,3,k =⋅⋅⋅B.若(),X NB r p ~，则()()1k rr P X k p p -==-，,1,2,k r r r =++⋅⋅⋅C.若(),X NB r p ~，(),Y B n p ~，则()()P X n P Y r ≤=≥D.若(),X NB r p ~，则当k 取不小于1r p-的最小正整数时，()P X k =最大【答案】ACD 【解析】【分析】利用负二项分布的概念可判断AB 选项；利用二项分布和负二项分布的概率公式可判断C 选项；分析可得()()()()11P X k P X k P X k P X k ⎧=≥≥-⎪⎨=≥≥+⎪⎩，结合负二项分布的概率公式可判断D 选项.【详解】对于A 选项，因为11,2X NB ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则()11111111122222kk P X k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==---⋅= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 个，A 对；对于B 选项，因为(),X NB r p ~，则()()()11111C 1C 1k rk rr r r rk k P X k pp p p p -------==-=-，,1,2,k r r r =++⋅⋅⋅，B 错；对于C 选项，因为从{}1,2,,n 中取出()0r j j n r +≤≤-个数12r j a a a +<<< 的取法有C r jn +种，这些取法可按r a 的值分类，即()0r a r i i n r j =+≤≤--时的取法有11C C r ir i n r i --+--种，所以，110CC C n r jr i r jr i n r i n i ---+-+--==∑，因为(),X NB r p ~，(),Y B n p ~，设1q p =-，则1p q +=，所以，()()11110CC n rn rn r ir r ir r ir ir i i i P X n p q p q p q -------+-+==≤==+∑∑1111000CCC C n r n r in r i n rr r ijj n r i jr j r j n r j r in r ir i n r i i j j i p q p qp q-----------+---+---+--=====⋅=∑∑∑∑()0C n rr j r j n r jn j p q P Y r -++--===≥∑，C 对；对于D 选项，因为(),X NB r p ~，()P X k =最大，则()()()()11P X k P X k P X k P X k ⎧=≥≥-⎪⎨=≥≥+⎪⎩，所以，()()()()111121111C 1C 1C 1C 1k r k r r r r r k k k r k r r r r r k k p p p p p p p p ---------+---⎧-≥-⎪⎨-≥-⎪⎩，解得111k r k p p --≤≤+，所以，当k 取不小于1r p-的最小正整数时，()P X k =最大，D 对.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题考查负二项分布的问题，解决本题的关键在于正确理解负二项分布的定义，知晓负二项分布的概率公式，结合负二项分布的概率公式求解.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知直线6:30l x y --=与圆222:40C x y x y +--=相交于,A B 两点，则||AB =______.【答案】【解析】【分析】首先求出圆的圆心坐标和半径，计算圆心到直线的距离，再计算弦长即可.【详解】圆222:40C x y x y +--=，22(1)(2)5x y -+-=，圆心(1,2)，半径r =.圆心到直线的距离102 d==.AB==【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系中的弦长问题，熟练掌握弦长公式为解题的关键，属于简单题.14.随着杭州亚运会的举办，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”火遍全国.现有甲、乙、丙3位运动员要与“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”站成一排拍照留念，则这3个吉祥物互不相邻的排队方法数为______.（用数字作答）【答案】144【解析】【分析】先将甲、乙、丙3位运动员排序，然后将“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”三个吉祥物插入3位运动员形成的4个空位中，利用插空法可得出不同的排队方法种数.【详解】先将甲、乙、丙3位运动员排序，然后将“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”三个吉祥物插入3位运动员形成的4个空位的3个空位中，所以，不同的排队方法种数为3334A A624144=⨯=种.故答案为：144.15.已知函数()()sin3f x xϕ=+在区间[],ϕϕ-上的值域为,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则ϕ的值为______.【答案】π8【解析】【分析】先得到0ϕ>，根据[],xϕϕ∈-得到[]32,4xϕϕϕ+∈-，根据值域得到方程，检验后求出答案.【详解】由题意得0ϕ>，当[],xϕϕ∈-时，[]32,4xϕϕϕ+∈-，由于()()sin3f x xϕ=+在区间[],ϕϕ-上的值域为,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故①π24π5π424ϕϕ⎧-=-⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩或②5π44π204ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪-≤-<⎪⎩，解①得π8ϕ=，满足π5π816ϕ≤≤解②得5π16ϕ=，不满足π08ϕ<≤，舍去，综上，ϕ的值为π8.故答案为：π816.已知函数()2e ,0,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，若函数()f x 的图象在点()()()111,0A x f x x <和点()()()222,0B x f x x >处的两条切线相互平行且分别交y 轴于M 、N 两点，则AM BN的取值范围为______.【答案】e,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】由()()12f x f x =''可得出21e 2x x =-，利用弦长公式得出22e 2x AM BN x =，利用导数求出函数()e 2xg x x=在()0,∞+上的值域，即可为所求.【详解】当0x <时，()2f x x =-，()2f x x '=-，则()112f x x =-'，当0x >时，()e x f x =，()e xf x '=，则()22e x f x '=，因为函数()f x 的图象在点()()()111,0A x f x x<和点()()()222,0B x f x x >处的两条切线相互平行，则()()12f x f x =''，即212e x x -=，则21e2x x =-，1AM x =，2BN x =，所以，2122e 2x AM x BNx x ==-=，令()e 2xg x x =，其中0x >，则()()2e 12x x g x x'-=，当01x <<时，()0g x '<，此时函数()g x 在()0,1上单调递减，当1x >时，()0g x '>，此时函数()g x 在()1,∞+上单调递增，所以，()()e 12g x g ≥=，因此，AM BN 的取值范围是e ,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.故答案为：e,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于利用切线斜率相等得出2x 、1x 所满足的关系式，然后将AM BN转化为含2x 的函数，转化为函数的值域问题求解.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设数列{}n a 满足11a =，22a =，214363n n n a a a n ++=-+-.（1）证明：数列{}13n n a a n +-+为等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式.【答案】17.证明见解析18.()1312·32n n n n a --=-【解析】【分析】（1）整理题目中的等式，根据等比数列的定义，可得答案；（2）根据等比数列的通项公式，利用累加法，可得答案.【小问1详解】由214363n n n a a a n ++=-+-，则()21131339n n n n a a n a a n +++-++=-+，所以()2113133n n n n a a n a a n+++-++=-+，由11a =，22a =，则21321340a a -+=-+=≠故数列{}13n n a a n +-+为等比数列.【小问2详解】由（1）可知数列{}13n n a a n +-+是以4为首项，以3为公比，故11343n n n a a n -+-+=⨯，11433n n n a a n -+-=⨯-，则0214331a a -=⨯-⨯；324332a a -=⨯-⨯；L()214331n n n a a n ---=⨯-⨯-.由累加法可得：()()()()1114133311312321322n n n n n n n a a --⨯-⎡⎤+-⨯--⎣⎦-=-=⨯---，由11a =，则()1312312n n n n a --=⨯--.18.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC的面积为()2224a b c +-.（1）求sin C ；（2）若()sin 32B A -=，求tan A .【答案】（1）378;（2）73.【解析】【分析】（1）借助面积公式与余弦定理以及同角三角函数的平方关系计算即可.（2）借助三角函数的相关知识求出()()tan ,tan B A A B -+，利用配凑角及二倍角公式计算即可.【小问1详解】结合题意：ABC的面积为()2221sin 24S ab C a b c ==+-,sin C =，结合余弦定理可得：sin 0C C =>，所以22sin sin cos 1C C C C ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得sin 81cos 8C C ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以sin 8C =.【小问2详解】因为()sin 032B A -=>，所以B A >，易得A 为锐角，所以()31cos 32B A -==，所以()()()sin 37tan cos 31B A B A B A --==-，由上问可知()37sin sin 8C A B =+=,()1cos cos 8A B C +=-=-,所以()()()sin tan cos A B A B A B ++==-+()()()()()()37tan tan 31tan 2tan 31tan tan A B B A A A B B A A B B A --+--=+--==⎡⎤⎣⎦++-所以22tan tan 21tan AA A==-,整理得22tan 0A A +-,即)(33tan 0A A +-=，解得tan 7A =-（舍去），或7tan 3A =.19.如图，在四棱锥A BCDE -中，平面ABC ⊥平面BCDE ，2CD DE BE ==，BC CD ⊥，//BECD ，F 是线段AD 的中点.（1）若BA BC =，求证：EF ⊥平面ACD ；（2）若1BE =，60ABC ∠=︒，且平面ABC与平面ADE 夹角的正切值为3，求线段AC 的长.【答案】（1）证明见详解（2【解析】【分析】（1）首先证BG ⊥平面ACD ，通过证明四边形BGFE 是平行四边形，得EF BG ，进而得证；（2）利用空间向量法求解即可【小问1详解】取AC 的中点G ，连接BG 、FG ，因为BA BC =，所以BG AC ⊥,又因为平面ABC⊥平面BCDE ，平面ABC 平面BCDE BC =，BC CD ⊥，所以CD ⊥平面ABC ，BG ⊂平面ABC ，所以CD BG ⊥，因为AC CD C = ，,AC CD ⊂平面ACD ,所以BG ⊥平面ACD ，又因为F 是线段AD 的中点，所以FG CD ∥且12FG CD =，BE CD 且12BE CD =，所以FG BE 且FG BE =，四边形BGFE 是平行四边形，所以EF BG ，所以EF ⊥平面ACD 【小问2详解】如图建系因为1BE =，又2CD DE BE ==，所以22CD DE BE ===,又因为BC CD ⊥，//BE CD ，所以四边形BCDE 是直角梯形，所以BC ===设AB m=，所以),,0Am ，()2D ，()0,0,1E ，所以),,1EA m =-，()ED =，设平面ADE 的一个法向量()1,,n x y z =，所以101,0my z n m z ⎛⎫+-=⇒=+ ⎪ ⎪+=⎝⎭ ，平面ABC 的法向量()20,0,1n =，设平面ABC 与平面ADE 夹角为θ，所以23tan 3θ=，cos 7θ=，所以32m =，所以3,,022A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()C，所以AC ==20.为考察药物M 对预防疾病A 以及药物N 对治疗疾病A 的效果，科研团队进行了大量动物对照试验.根据100个简单随机样本的数据，得到如下列联表：（单位：只）药物M疾病A未患病患病合计未服用301545服用451055合计7525100（1）依据0.1α=的独立性检验，分析药物M 对预防疾病A 的有效性；（2）用频率估计概率，现从患病的动物中用随机抽样的方法每次选取1只，用药物N 进行治疗.已知药物N 的治愈率如下：对未服用过药物M 的动物治愈率为12，对服用过药物M 的动物治愈率为34.若共选取3次，每次选取的结果是相互独立的.记选取的3只动物中被治愈的动物个数为X ，求X 的分布列和数学期望.附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d=+++α0.1000.0500.0100.001x α2.7063.8416.63510.828【答案】20.药物M 对预防疾病A 有效果.21.答案见解析.【解析】【分析】（1）根据公式算出卡方，与表格中的数据比较即可.（2）结合全概率公式先求概率，每名志愿者用药互不影响，且实验成功概率相同，X 服从二项分布求分布列和数学期望即可．【小问1详解】零假设为0H :药物M 对预防疾病A 无效果，根据列联表中的数据，经计算得到()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++2100(30101545)75254555⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯100 3.030 2.70633=≈>,根据小概率值0.1α=的独立性检验，我们推断零假设不成立，即认为药物M 对预防疾病A 有效果.【小问2详解】设A 表示药物N 的治愈率，1B 表示对未服用过药物M ,2B 表示服用过药物M 由题，()1150.625P B ==，()2100.425P B ==，且()10.5P A B =，()20.75P A B =，()()()()()1122P A P B P A B P B P A B =⨯+⨯0.60.50.40.750.6=⨯+⨯=.药物N 的治愈率30.65P ==，则3~3,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()303280C 5125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()121332361C 55125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()212332542C 55125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3333273C 5125P X ⎛⎫===⎪⎝⎭，X 的分布列如下表所示X 0123P8125361255412527125()8365427901231251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．21.在直角坐标系xOy 中，动点(),P x y 与定点()1,0F 的距离和P 到定直线l ：4x =的距离的比是常数12，记动点P 的轨迹为W .（1）求W 的方程；（2）过动点()0,T t （0t <）的直线交x 轴于点H ，交W 于点,A M （点M 在第一象限），且2AT TH =.作点A 关于x 轴的对称点B ，连接BT 并延长交W 于点N .证明：直线MN .【答案】（1）22143x y +=;（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据题意列出关于动点P 的轨迹表达式，化简整理即可.（2）设直线AM 的方程为(),0y kx t k =+>,借助2AT TH =及韦达定理，求出,M N 的坐标，表示并化简直线MN 斜率，利用基本不等式计算即可.【小问1详解】结合题意：设点P 到定直线l ：4x =的距离为d ，则12PF =，12=，化简得22143x y +=.故W 的方程为22143x y +=.【小问2详解】由题意可知：直线AM 的斜率存在，故可设直线AM 的方程为(),0y kx t k =+>，设()()1122,,,,A x y M x y ,所以()11,B x y -，,0t H k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为2AT TH = ，所以()11,2,t x t y t k ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭，且()0,T t 在椭圆内部.所以22,3,,3,t t A t B t k k ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭联立2234120y kx t x y =+⎧⎨+-=⎩，()2223484120k x ktx t +++-=，所以122228,34t kt x x x k k -+=+=+所以()22216634k t t x k k --=+，22212334k t t y k--=+，即点()2222166123,3434k t t k t t M k k k ⎛⎫---- ⎪ ⎪++⎝⎭,因为2,3t B t k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,T t ，所以422BT t k k t k-==-，所以直线BT 的方程可设为2y kx t =-+，设()33,,N x y 联立22234120y kx t x y =-+⎧⎨+-=⎩，()222316164120k x ktx t +-+-=，所以()2133322216166,316316t kt k t t x x x x k k k k --+=+==++，()223322166481522316316k t t k t t y kx t k t k k k --+=-+=-+=++，故()22221664815,316316k t t k t t N k k k ⎛⎫--+ ⎪ ⎪++⎝⎭,所以直线MN 斜率为()()224222232224242322248151233842885414454316342,166166192721927231634MNk t t k t t y y k k k k k k k k k t t k t t x x k k k k k k k k +---⎛⎫-+++++===⨯=+ ⎪-----++⎝⎭-++结合题意可知0k >，即()2223833224483MN k k k k k k k ⎡⎤+⎢⎥=+⨯=+≥+⎢⎥⎣⎦当且仅当324k k =，即4k =时，直线MN.故直线MN.22.已知函数()4ln f x x ax x =+（R a ∈），()f x '为()f x 的导函数，()()g x f x '=.（1）若12a =-，求()y f x =在⎡⎣上的最大值；（2）设()()11,P x g x ，()()22,Q x g x ，其中211x x ≤<.若直线PQ 的斜率为k ，且()()122g x g x k ''+<，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1（2）[12,)-+∞【解析】【分析】（1）若12a =-，求得()3412ln 12f x x x =-'-，得到()2(1)(1)12x x x g x x '-++=⨯，结合()g x '的符号，得到()0g x <，即()0f x '<，进而求得函数()f x 的最大值；（2）根据题意，转化为任意12,[1,)x x ∈+∞，都有()()121212()()2g x g x g x g x x x +-<-''，令12x t x =，得出314(1)(2ln )0t a t t t-+-->对于(1,)t ∀∈+∞恒成立，记()314(1)(2ln )t t a t t t ϕ=-+--，求得()22212(1)t a t t t ϕ+=-⋅'，分类讨论，求得函数的函数()t ϕ与最值，即可求解.【小问1详解】解：若12a =-，可得()412ln f x x x x =-，则()3412ln 12f x x x =-'-，即()()3412ln 12g x f x x x ==--'，可得()2212(1)(1)1212x x x g x x x x -++=-=⨯'，当x ⎡∈⎣时，()0g x '>，所以()y g x =在⎡⎣上单调递增，又由4e 160g -=<，所以()0g x <，即()0f x '<，所以函数()y f x =在⎡⎣上单调递减，所以()()max 11f x f ==，即函数()f x 的最大值为1.【小问2详解】解：由()()()()1122,,,P x g x Q x g x ，可得1212()()g x g x k x x -=-，因为()()122g x g x k +''<，所以对任意12,[1,)x x ∈+∞且21x x <，都有()()121212()()2g x g x g x g x x x +-<-''，因为()4ln f x x ax x =+，可得()()34ln g x f x x a x a =+'=+，则()212a g x x x='+，对任意12,[1,)x x ∈+∞且21x x <，令12(1)x t t x =>，则()()()()()()1212122x x g x g x g x g x ⎡⎤-+-⋅-'⎣'⎦()()22331212112212121224ln 4ln a a x x x x x a x x a x x x ⎛⎫=-+++-+-- ⎪⎝⎭3322121121212212441212(2ln x x x x x x x x x a a x x x =--++--332214(331)(2ln )0x t t t a t t t=-+-+-->对于2[1,),(1,)x t ∀∈+∞∀∈+∞恒成立，由332332224(331)(1)(1)x t t t x t t -+-=-≥-则314(1)(2ln )0t a t t t -+-->对于(1,)t ∀∈+∞恒成立，记()314(1)(2ln )t t a t t tϕ=-+--，可得()222222(1)1212(1)(1)t t a t t a t t t ϕ-+=-+⋅'⋅=-，①若12a ≥-，则()0t ϕ'>，()t ϕ在(1,)+∞单调递增，所以()()10t ϕϕ>=，符合题意；②若12a <-，则()212(1)t t ϕ'=-当t ∈时，()0t ϕ'<，()t ϕ在(1,)+∞单调递减；当)t ∈+∞时，()0t ϕ'>，()t ϕ在(1,)+∞单调递增，所以，当t ∈时，()()10t ϕϕ<=，不符合题意（舍去），综上可得，12a ≥-，即实数a 的取值范围为[12,)-+∞【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．。