巧用四点共圆证题

图2
证明：和都是等边三角形，
即
和在AF的同侧，
A、D、B、F四点共圆
（同弧所对的圆周角相等）
同理
即AF平分
例3.已知：如图3，在内有一点C，作于点E，于点F，CB//AF交AE于点B，CD//AE交AF于点D。
图3
求证：
证明：过点D作于点M
过点B作于点N
，
M、C、F、D四点共圆
（1）
同理B、E、C、N四点共圆
上述五种基本方法中的每一种的根据就是产生四点共圆的一种原因因此当要求证四点共圆的问题时首先就要根据命题的条件并结合图形的特点在这六种基本方法中选择一种证法给予证明
巧用四点共圆证题
圆有许多重要的性质，如果同学们在把这些性质学好的基础上，能巧妙地应用这些性质来证题，将会取到事半功倍的效果。下面举例说明：
例1.已知：如图1，圆O1和圆O2相交于A、B两点，CD是两圆的外公切线，C、D是切点，CB延长线交AD于E，DB延长线交AC于F。求证：DE·DA=DB·DF。
图1
证明：联结AB。
CD是圆O1的切线，CB是圆O1的弦，
同理
而，
即
四点共圆
例2.已知：如图2，和分别是以的边AB、AC向外作的等边三角形，联结BE、CD相交于F。求证：AF平分。
（2）
又因为，四边形ABCD为平行四边形，所以AM=CN
（1）+（2）得
即
说明：以上三例，都是利用了四点共圆，再根据圆的有关性质来达到证题目的的。
证明四点共圆有下述一些基本方法
证明四点共圆有下述一些基本方法：
方法1从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆．

∴DG＝CG﹣CD＝ ＝ ，
在 Rt△ADG 中，由勾股定理得
＝
＝
，
∴
＝
＝
．
故答案为：6，
．
【变式 1-5】如图，AB⊥BC，AB＝5，点 E、F 分别是线段 AB、射线 BC 上的动 点，以 EF 为斜边向上作等腰 Rt△DEF，∠D＝90°，连接 AD，则 AD 的最 小值为 ．
【答案】 ． 【解答】解：连接 BD 并延长，如图，
模型解读：
模型 1：对角互补型： 若∠A+∠C=180º或∠B+∠D=180º, 则 A、B、C、D 四点共圆 模型 2：同侧等角型 （1）若∠A=∠C, 则 A、B、C、D 四点共圆
（2）手拉手(双子型)中的四点共圆 条件：△OCD∽△OAB 结论：①△OAC∽△OBD ②AC 与 BD 交于点 E,必有∠AEB=∠AOB； ③点 E 在△OAB 的外接圆上,即 O、A、B、E 四点共圆.同理：ODCE 也四点共圆.
∴S△ABC＝
＝
＝300 km2．
则当△ADC 的面积最大时，四边形 ABCD 的面积最大．
当 AD＝CD 时，DF 最大，此时四边形 ABCD 的面积最大．
在 Rt△ACE 中，AC＝
＝10 km，AF＝ AC＝5
km，
∵∠ADF＝
＝30°，
∴DF＝ AF＝5 km，
∴S△ADC＝
Hale Waihona Puke ＝＝925 km2．
C．15
【答案】C
【解答】解：∵∠BAC＝60°，∠BDC＝120°，
∴A、E、D、F 四点共圆，
∵AD 平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠DAF，
∴DE＝DF＝6，

24.24专题6：四点共圆一．【知识要点】 四点共圆模型：（1）若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆（如图1）；（2）共斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（如图2,3）；（3）对角互补的四边形四个顶点共圆（如图4）；（4）共底边且在同侧的两个三角形顶角相等（如图5）。

二．【经典例题】1．已知OA=OB=OC=2，且∠ACB=45°，则AB 的长为（ ） A.2 B.3 C.22 D.322.如图所示，矩形ABCD 的边AB=3，Rt △BEF 的直角顶点E 在对角线AC 上，另一顶点F 在边CD 上，若△BEF 的一个锐角为30°，则BC 的长是（ ） A.3 B.33 C.333或 D.63.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D在AB下方,∠BDC=45°,求证:AD⊥BD.4.如图，四边形ABCD是正方形，E是BC上一点，AE⊥EF交∠BCD的外角平分线于F，求证：AE=EF.5.如图，平面直角坐标系中，将含30°的三角尺的直角顶点C落在第二象限。

其斜边两端点A、B分别落在x轴、y轴上，且AB=12厘米，（1）若OB=6厘米，①求点C的坐标；②若点A向右滑动的距离与点B向上滑动的距离相等，求滑动的距离. （2）点C与点O的距离的最大值是多少厘米？6．（绵阳2015年第25题本题满分14分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，G是AD延长线时的一点，且DG = AD，动点M从A点出发，以每秒1个单位的速度沿着A→C→G的路线向G点匀速运动（M不与A，G重合），设运动时间为t秒，连接BM并延长AG于N．（1）是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若存在，分析点M的位置；若不存在，请说明理由；（2）当点N在AD边上时，若BN⊥HN，NH交∠CDG的平分线于H，求证：BN = HN；（3）过点M分别作AB，AD的垂线，垂足分别为E，F，矩形AEMF与△ACG重叠部分的面积为S，求S的最大值．7.如图，菱形ABCD中，两条对角线AC，BD相交于点O，点E和点F分别是BC和CD上一动点，且∠EOF+∠BCD＝180°，∠ABC＝60°，连接EF．（1）求△OEF是什么特殊的三角形？（2）若AB=2，求CE+CF的长；三．【题库】【A】1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D在AB下方,AD⊥BD,求∠BDC的度数.2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D在AB上方,AD⊥BD,求∠BDC的度数.3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D在AB上方,∠BDC=45°,求证:AD⊥BD.4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D在AB上方,∠ADC=135°,求证:AD⊥BD.5.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点E为△ABC外一点，且∠CEA=45°.求证：AE⊥BE.6.如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2．则BD的长为（）A．B．C．D．【B】1．如图放置的两个正方形，大正方形ABCD边长为a，小正方形CEFG边长为b（a＞b），M 在BC边上，且BM＝b，连接AM，MF，MF交CG于点P，将△ABM绕点A旋转至△ADN，将△MEF绕点F旋转至△NGF，给出以下五个结论：①∠MAD＝∠AND；②CP＝a﹣；③△ABM≌△NGF；＝a2+b2；④S四边形AMFN⑤A，M，P，D四点共圆，其中正确的序号为．【C】1．将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到线段AC，继续旋转α（0°＜α＜120°）得到线段AD，连接CD．（1）连接BD，①如图1，若α＝80°，则∠BDC的度数为；②在第二次旋转过程中，请探究∠BDC的大小是否改变．若不变，求出∠BDC的度数；若改变，请说明理由．（2）如图2，以AB为斜边作直角三角形ABE，使得∠B＝∠ACD，连接CE，DE．若∠CED＝90°，求α的值．【D】1.如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，∠AOC＝40°，P在直径AB上，且∠OCP＝∠ODP＝10°，则∠BOD的度数为（）．A.20°B.30°C.25°D.15°2.正方形ABCD 的中心为O ，面积为1989cm 2．P 为正方形内一点，且∠OPB ＝45°，P A ：PB ＝5：14．则PB 的长为（ ）． A.42cm B.40cm C.35cm D.50cm3.如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D 是BC 边上一动点，过点B 作BE ⊥AD 交AD 的延长线于E ．若AC ＝6，BC ＝8，则的最大值为（ ）A ．B ．C. D ．4.如图，在菱形ABCD 中，点P 是BC 边上一动点，P 和C 不重合，连接AP ，AP 的垂直平分线交BD 于点G ，交AP 于点E ，在P 点由B 点到C 点的运动过程中，∠APG 的大小变化情况是（ ）A ．变大B ．先变大后变小C ．先变小后变大D ．不变5. 如图，ABC ∆中，45B ∠=︒，75C ∠=︒，4AB =，D 为BC 上一动点，过点D 作DE AC ⊥于点E ，DF AB ⊥于点F ，连接EF ，则EF 的最小值为 ( ) A ．3B ．2C ．5D ．6。

数学竞赛平面几何讲座：四点共圆问题第四讲四点共圆问题“四点共圆”问题在数学竞赛中经常出现，这类问题一般有两种形式：一是以“四点共圆”作为证题的目的，二是以“四点共圆”作为解题的手段，为解决其他问题铺平道路.1 “四点共圆”作为证题目的例1．给出锐角△ABC，以AB为直径的圆与AB边的高CC′及其延长线交于M，N.以AC为直径的圆与AC边的高BB′及其延长线将于P，Q.求证：M，N，P，Q四点共圆.分析：设PQ，MN交于K点，连接AP，A欲证M，N，P，Q四点共圆，须证MKKN＝PKKQ，即证(MC′-KC′)(MC′+KC′)＝(PB′-KB′)(PB′+KB′)或MC′2-KC′2=PB′2-KB′2 . ①不难证明 AP=AM，从而有AB′2+PB′2=AC′2+MC′2.故MC′2-PB′2=AB′2-AC′2=(AK2-KB′2)-(AK2-KC′2)′2-KB′2. ②由②即得①，命题得证.例2．A、B、C三点共线，O点在直线外，O1，O2，O3分别为△OAB，△OBC，△OCA的外心.求证：O，O1，O2，O3四点共圆.分析：作出图中各辅助线.易证O1O2垂直平分OB，O1O3垂直平分OA.观察△OBC及其外接圆，立得∠OO2O1= ∠OO2B=∠OCB.观察△OCA及其外接圆，立得∠OO3O1=∠OO3A=∠OCA.由∠OO2O1=∠OO3O1 O，O1，O2，O3共圆.利用对角互补，也可证明O，O1，O2，O3四点共圆，请同学自证.2 以“四点共圆”作为解题手段这种情况不仅题目多，而且结论变幻莫测，可大体上归纳为如下几个方面.(1)证角相等例3．在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＞CD，K，M分别在AD，BC上，∠DAM＝∠CBK.求证：∠DMA＝∠CKB.分析：易知A，B，M，K四点共圆.连接KM，有∠DAB＝∠CMK.∵∠DAB+∠ADC＝180°，∴∠CMK+∠KDC＝180°.故C，D，K，M四点共圆∠CMD＝∠D但已证∠AMB＝∠BKA，∴∠DMA＝∠CKB.(2)证线垂直例4．⊙O过△ABC顶点A，C，且与AB，BC交于K，N(K与N不同).△ABC外接圆和△BKN外接圆相交于B和M.求证：∠BMO=90°.分析：这道国际数学竞赛题，曾使许多选手望而却步.其实，只要把握已知条件和图形特点，借助“四点共圆”，问题是不难解决的.连接OC，OK，MC，MK，延长BM到G.易得∠G∠BAC=∠BNK=∠BMK.而∠COK=2∠BAC=∠GMC+ ∠BMK=180°-∠CMK，∴∠COK+∠CMK=180° C，O，K，M四点共圆.在这个圆中，由∠OMC=∠但∠GMC=∠BMK，故∠BMO=90°.(3)判断图形形状例5．四边形ABCD内接于圆，△BCD，△ACD，△ABD，△ABC的内心依次记为IA，IB，IC，ID.试证：IAIBICID是矩形.分析：连接AIC，AID，BIC，BID和DIB.易得∠AICB=90°+ ∠ADB=90°+∠ACB=∠AIDB A，B，ID，IC四点共圆.同理，A，D，IB，IC四点共圆.此时∠AICID=180°-∠ABID =180°- ∠ABC，∠AICIB=180°-∠ADIB=180°- ∠ADC，∴∠AICID+∠AICIB0°- (∠ABC+∠ADC)0°-×180°=270°.故∠IBICID=90°.同样可证IAIBICID其它三个内角皆为90°.该四边形必为矩形.(4)计算例6．正方形ABCD的中心为O，面积为1989㎝2.P 为正方形内一点，且∠OPB=45°，PA:PB=5:14.则PB=__________分析：答案是PB=42㎝.怎样得到的呢？连接OA，OB.易知O，P，A，B四点共圆，有∠APB=∠AOB=90°.故PA2+PB2=AB2由于PA:PB=5:14，可求PB.(5)其他例7．设有边长为1的正方形，试在这个正方形的内接正三角形中找出面积最大的和一个面积最小的，并求出这两个面积(须证明你的论断).分析：设△EFG为正方形ABCD 的一个内接正三角形，由于正三角形的三个顶点至少必落在正方形的三条边上，所以不妨令F，G两点在正方形的一组对边上.作正△EFG的高EK，易知E，K，G，D四点共圆∠KDE=∠KGE=60°.同理，∠KAE=60°.故△KAD也是一个正三角形，K必为一个定点.又正三角形面积取决于它的边长，当KF丄AB时，边长为1，这时边长最小，而面积S= 也最小.当KF通过B点时，边长为2 ，这时边长最大，面积S=2 -3也最大.例8．NS是⊙O的直径，弦AB丄NS于M，P为ANB上异于N的任一点，PS交AB于R，PM的延长线交⊙O于Q.求证：RS＞MQ.分析：连接NP，NQ，NR，NR的延长线交⊙O于Q′.连接MQ′，SQ′.易证N，M，R，P四点共圆，从而，∠SNQ′=∠MNR=∠MPR=∠SPQ=∠SNQ.根据圆的轴对称性质可知Q与Q′关于NS成轴对称MQ′=MQ.又易证M，S，Q′，R四点共圆，且RS是这个圆的直径(∠RMS=90°)，MQ′是一条弦(∠MSQ′＜90°)，故RS＞MQ′.但MQ=MQ′，所以，RS＞MQ.练习题1.⊙O1交⊙O2 于A，B两点，射线O1A交⊙O2 于C 点，射线O2A交⊙O1 于D点.求证：点A是△BCD的内心.(提示：设法证明C，D，O1，B四点共圆，再证C，D，B，O2四点共圆，从而知C，D，O1，B，O2五点共圆.)2.△ABC为不等边三角形.∠A及其外角平分线分别交对边中垂线于A1，A2；同样得到B1，B2，C¬1，C2.求证：A1A2=B1B2=C1C2.(提示：设法证∠ABA1与∠ACA1互补造成A，B，A1，C四点共圆；再证A，A2，B，C四点共圆，从而知A1，A2都是△ABC的外接圆上，并注意∠A1AA2=90°.)3.设点M在正三角形三条高线上的射影分别是M1，M2，M3(互不重合).求证：△M1M2M3也是正三角形在Rt△ABC中，AD为斜边BC上的高，P是AB上的点，过A点作PC的垂线交过B所作AB的垂线于Q点.求证：PD丄QD.(提示：证B，Q，E，P和B，D，E，P分别共圆) 5.AD，BE，CF是锐角△ABC的三条高.从A引EF的垂线l1，从B引FD的垂线l2，从C引DE的垂线l3.求证：l1，l2，l3三线共点.(提示：过B作AB的垂线交l1于K，证：A，B，K，C四点共圆)。