【精编】2020版高考数学总复习：第6章《不等式、推理与证明》[7]-精心整理

目标函数 z＝960x
＋360y. 如图所示，不等式组表示的平面区域是△ABC 内横坐标和纵
坐标均为整数的点，其中 A(10,8)，B(10,20)，C(6.25,20)．
当直线 l：z＝960x＋360y 经过点 A(10,8)时，运费最低，且最 低运费为 zmin＝960×10＋360×8＝12 480(元)，故选 B．
(2) 若 函 数 y ＝ 2x 图 象 上 存 在 点 (x ， y) 满 足 约 束 条 件
x＋y－3≤0， x－2y－3≤0， x≥m，
则实数 m 的最大值为( B )
A．12 C．32
B．1 D．2
解 析 ： 在 同 一 直 角 坐 标 系 中 作 出 函 数 y ＝ 2x 的 图 象 及
立，则实数 a 的取值范围是 1，32 .
x＋2y－4≤0， 解析：作出不等式组x－y－1≤0，
x≥1
表示的平面区域如图
中阴影部分所示，
由 1≤ax＋y≤4 恒成立，结合图可知，a≥0 且在 A(1,0)处取 得最小值，在 B(2,1)处取得最大值，所以 a≥1，且 2a＋1≤4，故 a 的取值范围为1，32.
考点三 线性规划的实际应用
(2019·黄冈联考)一个小型加工厂用一台机器生产甲、乙 两种桶装饮料，生产一桶甲饮料需要白糖 4 千克，果汁 18 千克，用时 3 小时；生产一桶乙饮料需要白糖 1 千克，果汁 15 千克，用时 1 小时．现 库存白糖 10 千克，果汁 66 千克，生产一桶甲饮料利润为 200 元，生产 一桶乙饮料利润为 100 元，在使用该机器用时不超过 9 小时的条件下，
生产甲、乙两种饮料利润之和的最大值为 600 元．
解析：设生产甲、乙两种饮料分别为 x 桶、y 桶，利润为 z 元，

[关键要点点拨]
数学归纳法的应用
(1)数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明 方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可．第一 步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假
设起着“已知条件”的作用，在n＝k＋1时一定要运用它，
否则就不是数学归纳法．第二步的关键是“一凑假设，二凑 结论”．
用数学归纳法证明不等式 [典题导入]
等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知对任意的 n∈N*，点 (n，Sn)均在函数 y＝bx＋r(b＞0 且 b≠1，b，r 均为常数)的图象上． (1)求 r 的值； (2)当 b＝2 时，记 bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)，证明：对任意的 n∈ N*，不等式b1b＋1 1·b2b＋2 1·…·bnb＋n 1＞ n＋1成立．
由基本不等式知2k＋2 3＝（k＋1）＋2 （k＋2）≥
（k＋1）（k＋2）成立，
故22kk＋＋31≥ k＋2成立，
所以，当 n＝k＋1 时，结论成立．
由①②可知，n∈N*时，不等式b1b＋1 1·b2b＋2 1·…·bnb＋n 1＞ 成立．
n＋1
[规律方法]
应用数学归纳法证明不等式应注意的问题
D [由 f(n)可知，共有 n2－n＋1 项，且 n＝2 时，f(2)＝12＋13＋14.]
4．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n＋1＝2n＋2－
1(n∈N*)的过程中，在验证n＝1时，左端计算所得的项为
_____．
答案 1＋2＋22
5．用数学归纳法证明：“1＋21＋31＋…＋2n－1 1<n(n>1)”，由 n＝k(k>1) 不等式成立，推证 n＝k＋1 时，左边应增加的项的项数是 ________． 解析 当 n＝k 时，不等式为 1＋12＋13＋…＋2k－1 1<k. 则 n＝k＋1 时，左边应为： 1＋12＋13＋…＋2k－1 1＋21k＋2k＋1 1＋…＋2k＋11－1 则增加的项数为 2k＋1－1－2k＋1＝2k. 答案 2k

[跟踪训练] 3．若 α，β 满足－ 1≤1≤ α＋α＋ 2ββ≤≤31，，试求 α＋3β 的取值范围．
解析 设 α＋3β＝x(α＋β)＋y(α＋2β) ＝(x＋y)α＋(x＋2y)β. 则xx＋ ＋y2＝y＝1， 3，解得xy＝＝－2. 1，
∵－1≤－(α＋β)≤1，2≤2(α＋2β)≤6， 两式相加， 得 1≤α＋3β≤7.
B.1a＜1b
C．a2＞b2
D．a3＞b3
D [当 c＝0 时，ac＝bc，排除 A;
当 a 或 b 为 0 时，排除 B；
当 a＝1，b＝－2 时，排除 C.故选 D.]
()
2．(2012·湖南高考)设 a＞b＞1，c＜0，给出下列三个结论：
①ac＞bc；②ac＜bc；③logb(a－c)＞loga(b－c)．
[跟踪训练] 2．若 a、b、c 为实数，则下列命题正确的是
A．若 a＞b，c＞d，则 ac＞bd B．若 a＜b＜0，则 a2＞ab＞b2 C．若 a＜b＜0，则1a＜1b D．若 a＜b＜0，则ba＞ab
()
B [A 中，只有 a＞b＞0，c＞d＞0 时，才成立； B 中，由 a＜b＜0， 得 a2＞ab＞b2 成立； C，D 通过取 a＝－2，b＝－1 验证均不正确．]
当 q＞0 且 q≠1 时， Sa33－Sa55＝aa11q（2（1－1－q3q））－aa11q（4（1－1－q5q））＝q2（1－qq4（3）1－－（ q）1－q5） ＝－qq－4 1＜0，所以Sa33＜Sa55. 综上可知Sa33＜Sa55.
[互动探究] 若本例中“q＞0”改为“q＜0”，试比较它们的大小．
[注意] 用作商法时要注意商式中分母的正负，否则极易 得出相反的结论．
[跟踪训练]

比推理的应用，注重考查考生
差异，掌握演绎推理“三段
论”，能运用“三段论”进行 的推理能力.
一些简单推理.
课堂探究 考点突破
真题模拟演练
课堂探究 考点突破
考点一 类比推理
(1)(2019·太原模拟)我国古代数学名著《九章算术》的论 割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与
圆周合体而无所失矣．”它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在
2.类比推理的步骤和方法 (1)类比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步骤为： ①找出两类事物之间的相似性或一致性； ②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命 题(猜想)． (2)类比推理的关键是找到合适的类比对象．平面几何中的一些定 理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论.
的为( A )
A．S2＝S21＋S22＋S32 B．S2＝S121＋S122＋S123
C．S＝S1＋S2＋S3
D．S＝S11＋S12＋S13
解析：如图，作 OD⊥BC 于点 D，连接 AD，则 AD⊥BC，
从而
S2
＝
12BC·AD
2
＝
1 4
BC2·AD2
＝
1 4
BC2·(OA2
＋
OD2)
个正确的切点弦方程为 xa02x－yb02y＝1 .
解析：若点 P0(x0，y0)在双曲线ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)外，过 点 P0 作该双曲线的两条切线，切点分别为 P1，P2，则切点弦 P1P2 所在直线的方程为x
表达式 1＋1＋11＋1…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，
它可以通过方程
1＋1x ＝x(x＞0)求得 x＝